SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong năm gần đây, đề thi Đại học, Cao đẳng, thi THPT Quốc gia hay đề thi học sinh giỏi thường có vài câu nghiệm phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhỏ hàm số, chứng minh bất đẳng thức, chứng minh phương trình có nghiệm nhất, tìm điều kiện tham số để phương trình, hệ phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình có nghiệm Đây dạng toán gây khó khăn học sinh, gặp dạng toán học sinh thường lúng túng, cách giải toán Vì vậy, học sinh thường chán nản, không hứng thú không quan tâm đến việc học Toán Trong trình trực tiếp giảng dạy, thấy công cụ để giải chúng định lí dấu tam thức bậc hai, đặt ẩn phụ, sử dụng tính đơn điệu hàm số, Trong số công cụ đó, thấy hiệu sử dụng tính đơn điệu hàm số Nó vừa ngắn gọn, vừa gần gũi với vấn đề mà em học sinh học năm cuối cấp Với tinh thần trên, nhằm giúp em học sinh làm tốt dạng toán này, đặc biệt học sinh lớp 12 chuẩn bị thi vào THPT quốc gia, định chọn đề tài nghiên cứu là: “ ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP” II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận 1.1Các khái niệm tính đồng biến nghịch biến hàm số a) Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng ( a; b ) • • Hàm số y = f (x) gọi đồng biến (tăng) khoảng ( a; b ) ∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Hàm số y = f (x) gọi nghịch biến (giảm) khoảng ( a; b ) ∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) b) Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm K • Nếu f ' ( x) ≥ 0; ∀x ∈ K f ' ( x) = số hữu hạn điểm hàm số y = f (x) đồng biến K • Nếu f ' ( x) ≤ 0; ∀x ∈ K f ' ( x) = số hữu hạn điểm hàm số y = f (x) nghịch biến K 1.2 Các tính chất tính đơn điệu Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP • Định lí 1: Nếu hàm số y = f (x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục D phương trình f ( x) = m (m số không đổi) có nhiều nghiệm D f ( x) = f ( y ) x = y với x, y thuộc D • Chứng minh: Giả sử phương trình f ( x) = m có nghiệm x = a, tức f (a) = m Do hàm số y = f (x) đồng biến nên: • Khi x > a suy f ( x) > f (a) = m nên phương trình f ( x) = m vô nghiệm • Khi x < a suy f ( x) < f (a) = m nên phương trình f ( x) = m vô nghiệm Tương tự cho trường hợp hàm số y = f (x) nghịch biến Vậy phương trình f ( x) = m có nhiều nghiệm • Định lí 2: Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) hàm số y = g (x) nghịch biến (hoặc đồng biến) liên tục D phương trình f ( x) = g ( x) nhiều nghiệm D • Chứng minh: Giả sử x = a nghiệm phương trình f ( x) = g ( x) , tức f (a) = g (a) Giả sử f (x) đồng biến, g (x) nghịch biến - Nếu x > a, ta có: f ( x) > f (a) = g (a) > g ( x) Suy phương trình f ( x) = g ( x) vô nghiệm x > a - Nếu x < a, ta có: f ( x) < f (a) = g (a) < g ( x) Suy phương trình f ( x) = g ( x) vô nghiệm x < a Tương tự cho trường hợp ngược lại Vậy, phương trình có nhiều nghiệm o Lưu ý: • Nếu hàm số y = f (x) đồng biến D f(u) < f(v) u < v D • Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến D f(u) < f(v) u > v D Cơ sở thực tiễn: a) Thuận lợi - Học sinh trang bị kiến thức, tập luyện tập nhiều - Học sinh hứng thú tiết học, phát huy khả sáng tạo, tự học yêu thích môn học - Có khích lệ từ kết học tập học sinh thực chuyên đề Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP b) Khó khăn - Giáo viên nhiều thời gian để chuẩn bị dạng tập - Nhiều học sinh bị kiến thức đại số giải tích, không nắm vững kiến thức hàm số - Đa số học sinh học yếu - Sách giáo khoa học sinh có tập, chí tập áp dụng cách giải nên học sinh không quen sử dụng khó khăn - Phương pháp áp dụng tiết học tự chọn bồi dưỡng học sinh giỏi hay áp dụng cho học sinh giỏi ôn thi THPT quốc gia nên thời gian nhiều khó khăn cho học sinh trung bình yếu III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Giải pháp 1: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình: ( x + 1) ( + ) ( ) x + x + + 3x + x + = Phân tích tìm lời giải Đây toán chứa thức bậc hai nên đại đa số học sinh thường bình phương hai vé đặt ẩn phụ gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên, ý chút ta chuyển vế thấy phương trình có dạng f (u ) = f (v) Từ đó, ta định hướng cách giải phương trình theo phương pháp đơn điệu Giải ( x + 1) ( + x + x + ) + 3x( + x + ) = ⇔ ( x + 1) ( + 2 ⇔ ( x + 1)  + ( x + 1) +  = − 3x + ( − 3x ) +  (*)   (  ) ) )  Xét hàm số f (t ) = t + t + ; ∀ t ∈ R , ta có: f ' (t ) = + t + + ( x + x + = − 3x + x + t2 t +3 > 0, ∀ t Suy hàm số f (t ) đồng biến R Do đó, phương trình (*) trương đương với 1 f ( x + 1) = f ( − 3x ) ⇔ x + = − 3x ⇔ x = − Vậy nghiệm phương trình x = − 5 Ví dụ 2: Giải phương trình: x + x − ( x + 1) x + = Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Phân tích tìm lời giải Đối với toán này, học sinh thường chuyển vế bình phương hai vế Tuy nhiên, bình phương phương trình trở thành bậc dẫn đến khó khăn cho việc tìm nghiệm phương trình Nếu chuyển vế léo trường hợp khó phát dạng f (u ) = f (v) Giải Điều kiện: x ≥ − ( ) x + x − ( x + 1) x + = ⇔ x + x = ( x + 1) x + ⇔ x x + = ( x + 2) x + ( ) ( ) 2 ⇔ x ( x ) + =  x + + 1 x +   ( (1) ) Xét hàm số f (t ) = t + t; ∀ t ≥ , ta có: f ' (t ) = 3t + > 0; ∀ t ≥ Suy hàm số f (t ) đồng biến với t ≥ ( )  2x ≥ x ≥ ⇔ Do đó: (1) ⇔ f ( x ) = f x + ⇔ x + = x ⇔   2  2x + = 4x 4x − 2x − = x ≥ ⇔ ⇔ x − x − =  x ≥ 1+   1± ⇔ x = x =  Nhận xét: Qua hai ví dụ ta thấy không sử dụng tính đơn điệu hàm số vào giải phương trình khó khăn việc giải phương trình Do việc sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải số phương trình hiệu đơn giản nhiều phương pháp khác phương pháp quen thuộc tất học sinh lớp 12 Ví dụ 3: Giải phương trình: − x + 10 x − 17 x + = x x − x Giải Ta thấy x = không nghiệm phương trình Xét x ≠ , chia hai vế phương trình cho x3, ta được: −2+ 10 17 − + = 23 − x x x x Đặt y= , ( y ≠ 0) , x ta phương trình: y − 17 y + 10 y − = 23 y − ⇔ ( y − 1) + 2( y − 1) = y − + 23 y − Trong đó: f ( t ) = t + 2t; ∀t ∈ R ⇒ Giáo viên: Trần Bá Tuấn (*) f ' (t ) = 3t + > 0; ∀t Trang - SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Suy hàm số f ( t ) đồng biến R nên (*) ⇔ f ( y − 1) = f ( 5y2 −1 ) y = ⇔ y − = y − ⇔ y − 17 y + y = ⇔ y y − 17 y + = ⇔   y = 17 ± 97 16  3 ( ) Với y = (loại) Với y= 17 − 97 16 17 + 97 ⇒x= = = 16 y 17 − 97 12 Với y= 17 + 97 16 17 − 97 ⇒x= = = 16 y 17 + 97 12 Vậy phương trình có hai nghiệm là: x= 17 − 97 12 x= 17 + 97 12 Ví dụ 4: Giải phương trình : 2x + + 2x = x + + + x + ĐK : x ≥ − Thêm vào hai vế, PT cho trở thành : + x + + x = + x + + + x + (*) Xét hàm số f (t ) = t + t , t ≥ Ta có : f ' (t ) = + > 0; t > Suy hàm số f(t) đồng t biến với t ≥ x ≥  x ≥  x =1 ⇔  ⇔ x =1 Do : (*) ⇔ x + = + x + ⇔ x = x + ⇔  4 x − x − =  x = −  (thỏa) Vậy x = nghiệm phương trình 2.Giải pháp 2: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm Ví dụ 1: Chứng minh phương trình x + + x − = − x có nghiệm x + x + + x − − = ⇔ f ( x) = ĐK : x ≥ PT cho trở thành : Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP 1 > 0, ∀x ≥ Ta có: f ' ( x) = 3x + x + + Suy hàm số f(x) đồng ( x − 1) biến với x ≥ f(1) = Vậy x = nghiệm PT Ví dụ 2: Giải phương trình : 3x + + x = − x − 1 ĐK : x ≥ PT cho trở thành : 3x + + x + x − − = ⇔ f ( x) = Ta có: f ' ( x) = 3x + + 55 x + x − > 0, ∀x ≥ Suy hàm số f(x) đồng biến với x ≥ f(1) = Vậy x = nghiệm PT Ví dụ 3: Giải phương trình : ( x − 2) [ log ( x − 3) + log ( x − 2) ] = x + Giải: Điều kiện: x > ( x − 2)[ log ( x − 3) + log ( x − 2) ] = x + ⇔ log ( x − 3) + log ( x − ) − ⇔ log ( x − 3) + log ( x − ) = x +1 x−2 x +1 =0 (*) x−2 Ta thấy x = nghiệm phương trình (*) x +1 Xét hàm số f ( x) = log ( x − 3) + log ( x − 2) − x − ; ∀x > 1 f ' ( x ) = + + > 0; ∀x > Suy hàm số f (x) đồng Ta có : ( x − 3) ln ( x − 2) ln ( x − 2) biến khoảng (3 ; +∞) Do đó, phương trình (*) có nghiệm x = Nhận xét : Qua ví dụ cho thấy việc ứng dung tính đơn điệu vào giải phương trình cần thiết tiện lợi Đặc biệt việc chứng minh phương trình có nghiệm Giải pháp 3: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải hệ phương trình  x − y + y = y − x + x Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :  5 x + y = Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP  x + x + x = y + y + y (1)  x + y = (2) Hpt cho trở thành:  Ta có : (1) ⇔ x = y Thế x = y vào PT (2), ta : 2y = ⇔ y = Vậy HPT có nghiệm (x ; y) = (1 ; 1)  x − y = y − x Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :  x − + y − =  ĐK : x ≥ 1; y ≥ HPT trở thành :  x + x = y + y   x − + y − = (1) (2) Từ (1), t a có : x = y Thế x = y vào PT (2) , ta có : y − + y − − = ⇔ f ( y) = Với f ' ( y) = + > 0; ∀y > y − 3y − Suy hàm số f(y) đồng biến với y ≥ f(2) = Do y = nghiệm PT (2) Vậy HPT có nghiệm (x ; y) = (2 ; 2) Nhận xét: - Trong số trường hợp việc đưa PT dạng f(x) = f(y) phải biến đổi phải đặt ẩn phụ - Thông thường hai phương trình hệ có phương trình sử dụng phương pháp đơn điệu của hàm số, sau vào phương trình lại để giải  x + x = 2( y + 1) 2y + Ví dụ 3: Giải hệ phương trình :  x − 2 y + + =  t ≥ ĐK : y ≥ − Đặt y + = t ⇔ 2 y + = t  Suy : 2( y + 1) y + = t + t Giáo viên: Trần Bá Tuấn Do đó, Pt (1) trở thành : x + x = t + t ⇔ f ( x) = f (t ) Trang - SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Với f(u) = u + u Suy : f’(u) = 3u + > với u ≥ Do x = t Suy y + = x Thế y + = x vào PT(2) ta y + = ⇔ y = ⇒ x = ( thỏa ĐK) Vậy HPT cho có nghiệm (x ; y) = (1; 0) Giải pháp 4: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải bất phương trình Ví dụ 1: Giải bất phương trình : 5x + 12x > 13x Phân tích tìm lời giải Đây toán bất phương trình mũ, nhiên khó để sử dụng phương pháp giải bất phương trình mũ để giải.Ta sử dụng phương pháp đơn điệu để giải Giải x x x    12     12  Bpt ⇔   +   > ⇔ f ( x) > f (2) Với f ( x) =   +    13   13   13   13  x x x 5    12   12  ⇒ f ' ( x) =   ln  +   ln  < 0, ∀x ∈ R Do hàm số f(x) nghịch biến  13   13   13   13  R Suy ra, bất phương trình có nghiệm x < Vậy, tập nghiệm bất phương trình S = ( − ∞;2) Nhận xét: Đây bất phương trình quen thuộc học sinh lớp 12 Tuy nhiên, ta sử dụng phương pháp việc giải bất phương trình đơn giản nhiều Ví dụ 2: Giải bất phương trình : x(x8 + x2 + 16) > 6(4 – x2) Giải Bpt ⇔ f ( x) = x + x + x + 16 x − 24 > ⇔ f ( x) > f (1) (*) Ta có : f ' ( x ) = x + 3x + 12 x + 16 = x + 3( x + ) + > 0, ∀x ∈ R Suy hàm số f(x) đồng biến R (**) Từ (*) (**), suy bpt cho có nghiệm x >1 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (1;+∞ ) Ví dụ 3: Giải bất phương trình : log x + 3x + < x2 − x − 2x + 2x + Phân tích tìm lời giải Đây bất phương trình lôgarit, em học sinh đưa dạng x + 3x + < x − x−2 đến bước học sinh không giải Nếu học 2x + 2x + Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 10 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP sinh nắm vững đơn điệu dễ dàng nhận thấy ( ) ( log 2 x + x + − log x + x + Giải ) ( ) + x + − x + 3x + = x − x − ) x + 3x + log 2 < x2 − x − 2x + 2x + ( (x (2x ) ( ) ( ⇔ log + x + 5) + ( x + x + 5) < log ( x ⇔ f ( x + x + 5) < f ( x + x + 3) (*) ) ( + x + 3) + ( x ) + x + 3) ⇔ log x + x + − log 2 x + x + < x + x + − x + x + 2 2 Với hàm số 2 2 f (t ) = log t + t , ∀t > , ta có : f ' (t ) = t ln + > 0, ∀t > Do hàm số f đồng biến với t > (**)  x < −1 Từ (*) (**), suy : Bpt ⇔ x − x − > ⇔  x > Vậy tập nghiệm bất  phương trình S = ( − ∞;−1) ∪ ( 2;+∞ ) Giải pháp 5: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức Để sử dụng phương pháp này, điều quan trọng tương ứng bất đẳng thức cần chứng minh, ta cần xây dựng hàm số, nghiên cứu tính đơn điệu đoạn, khoảng nửa khoảng cho thích hợp Ví dụ 1: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z ≤ Chứng 1 27 minh rằng: xy + yz + zx + x + y + z ≥ Giải 1 P = + + +x+ y+z Đặt: xy yz zx Áp dụng BĐT Cauchy, ta có : Đặt t = xyz , ta có: < t ≤ Xét hàm số : f (t ) = P≥ 3 ( xyz ) + xyz x+ y+z  1 ≤ Suy ra: t ∈  0;  P ≥ + 3t t  2  1  1 + 3t , với t ∈  0;  Ta có: f ' (t ) = − < 0, ∀t ∈  0;  t t  2  2  1 Suy hàm số f(t) nghịch biến t ∈  0;   2 Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 11 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP  1 1 27 27 Do đó, với t ∈  0;  ta có: f (t ) = + 3t ≥ f   = Vậy, P ≥ t  2 2 Đẳng thức xảy x = y = z = Ví dụ 2: Cho số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a > b ≥ e Chứng minh b a rằng: a < b Giải: ln a ln b ln x < f ( x) = ; ∀x ≥ e Xét hàm số a b x a b < b a ⇔ b ln a < a ln b ⇔ Ta có : f ' ( x) = − ln x ≤ 0; ∀x ≥ e Suy hàm số f(x) nghịch biến [e ; +∞) x2 ln a ln b b a Do đó: f (a) < f (b) ⇔ a < b ⇔ a < b Giải pháp 6: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để tìm điều kiện tham số cho hàm số đồng biến nghịch biến miền cho trước Để giải toán tìm điều kiện tham số m để hàm số y = f(x) đồng biến nghịch biến miền D đó, ta thường làm sau : o Tính f’(x) o Áp dụng định lí điều kiện đủ để hàm số đơn điệu o Biến đổi BPT f’(x)≥ (hoặc f’(x) ≤ 0) dạng g(x) ≥ h(m) g(x) ≤ h(m) o Lập bảng biến thiên hàm số g(x) g ( x); g ( x ) o Tìm max D D o Từ bảng biến thiên suy kết toán 1 Ví dụ 1: Cho hàm số y = − x + mx + ( m − 2) x − Tìm m để hàm số đồng biến 3 khoảng (1 ; 3) Giải : Ta có : y ' = − x + 2mx + m − Hàm số đồng biến khoảng (1 ; 3) ⇔ − x + 2mx + m − ≥ 0, ∀x ∈ (1;3) Giáo viên: Trần Bá Tuấn x2 + ⇔m≥ , ∀x ∈ (1;3) 2x + Trang - 12 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Bảng biến thiên x -∞ g ' ( x) g (x) - +∞ + +∞ -3 Từ bảng biến thiên, ta có : m ≤ g ( x), ∀x ∈ ( 0;+∞ ) ⇔ m ≤ g ( x) = g (11) = −3 ( 0; +∞ ) • Chú ý : Hàm số y = f(x) liên tục có đạo hàm tập D Khi bất phương trình f ( x ) ≥ h ( m) f(x) ≥ h(m) nghiệm với x ∈ D ⇔ D Ví dụ 3: Cho hàm số y = x − 2mx + m + Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (1 ; 2) Giải Tập xác định : D = R Đạo hàm ( y ' = x − 4mx = x x − m ) Nếu m ≤ y’ ≥ 0, ∀x∈ (0 ; +∞) Tức hàm số đồng biến (0 ; +∞) nên đồng biến khoảng (1; 2) Nếu m > phương trình y’ = có ba nghiệm phân biệt − m ;0; m Hàm số đồng biến khoảng (1 ;2) ⇔ m ≤ ⇔ m ≤ Vậy m ≤ Nếu toán sử dụng phương pháp đơn điệu hàm số Hàm số đồng biến khoảng (1 ; 2) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1;2) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ [1;2] ( Do y’ liên tục x = 1, x = 2) ⇔ m ≥ x , ∀x ∈ [1;2] ⇔ m ≤ ( x ) = [1; ] Vậy m ≤ • Nhận xét : Qua ví dụ ta thấy, sử dụng phương pháp đơn điệu hàm số giait đơn giản hiệu nhiều Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 14 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Giải pháp 7: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để tìm điều kiện tham số cho phương trình, bất phương trình hệ phương trình có nghiệm • Đối với toán nghiệm phương trình, bất phương trình mà tham số độc lập với ẩn biến đổi phương trình, bất phương trình, đặt ẩn phụ để điều ta sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải • Phương pháp chung : o Biến đổi phương trình, bất phương trình cho dạng sau : f(x) = g(m) ; f(x) ≤ g(m) ; f(x) ≥ g(m); f(x) < g(m); f(x) > g(m) o Tìm tập xác định D hàm số f(x) o Lập bảng biến thiên hàm số f(x) f ( x); f ( x) o Tìm max D D o Từ bảng biến thiên, suy kết toán Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực : x2 + − x = m Giải Điều kiện : x ≥ Xét hàm số f ' ( x) = ( x ) x +1 lim f ( x) = lim x →+∞ x→+∞ ( − x f ( x) = x + − x < 0, ∀x > ) x + − x = lim ( [0 ; +∞), ta có : x →+∞ x2 + + x )( x2 + + x )=0 Bảng biến thiên x f ' ( x) f (x) +∞ - Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 15 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f(x) = m có nghiệm thực [0 ; + ∞) ⇔ < m ≤ • Chú ý: Cho hàm số y = f(x) liên tục tập D Khi : Phương trình f(x) = m có nghiệm x∈D ⇔ f ( x ) ≤ m ≤ max f ( x ) D D Ví dụ 2: ) ( Tìm m để bất phương trình : m x − x + + + x( − x ) ≤ có nghiệm thực đoạn [0 ; + ] Giải x −1 Đặt t = x − x + , ta có: t ' = x − x + ; t ' = ⇔ x = x t' - t 1+ + 2 2 Do đó, ta có : ≤ t ≤ Suy t = x – 2x + ⇒ x(2 –x) = - (t – 2) Khi bất t2 − 2 ( ) m t + − t − ≤ ⇔ m ≤ phương trình cho trở thành t + (*) ( ) ( t + 1) + > 0, ∀t ∈ [1;2] t − đoạn [1; 2] Ta có : f ' (t ) = f ( t ) = Xét hàm số ( t + 1) t +1 ⇒ hàm số f(t) đồng biến đoạn [1 ; 2] Do đó, bất phương trình cho có nghiệm thực x ∈ [0 ; + ] ⇔ bất phương trình (*) có nghiệm t ∈ [1 ; 2] ⇔ m ≤ max f (t ) = f (2) = [1; ] • Chú ý : Cho hàm số y = f(x) liên tục tập hợp D Khi : f ( x ) ≥ h ( m) o Bất phương trình f(x) ≥ h(m) có nghiệm với x ∈ D ⇔ max D f ( x ) ≤ h( m ) o Bất phương trình f(x) ≤ h(m) có nghiệm với x ∈ D ⇔ D Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 16 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Các tập áp dụng x + + 2x + > 1) 2) x − x + − x − x + 11 > − x − x −  (3 − x) − x − y y − =  (4 x + 1) x + ( y − 3) − y = 3)  2  4 x + y + − x = 4)   2 − x − (2 y − 1) = ( 53 − x ) 10 − x + ( y − 48 ) − y = 5)   x − y + + x = −2 x + y + 11 + x + 66   x −1 − y −1 = y − x 7)  2  x + y = 10) log ( 17 − x ) − x + ( y − 14 ) − y = 6)   2 x + y + + 3 x + y + 11 = x + x + 13 ln( x + 1) − ln( y + 1) = y − x 8)  2 x + y = 3   x − 3x = y − y 9)  6  x + y = x2 + x + = x − 3x + 2x2 − 2x + x2 11) Chứng minh với x dương, ta có bất đẳng thức e > + x + x b a     12) Chứng minh bất đẳng thức  a + a  ≤  2b + b  ; a ≥ b >     13) Tìm giá trị m để hàm số sau : y = x3 + mx + (m + 6) x − (2m + 1) đồng biến R 14) Cho hàm số : y = − x − 3x + mx + gọi đồ thị ( C) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số nghịch biến khoảng (0; +∞) 15) Tìm giá trị m để hàm số y = x − (3m − 1) x + ( m + 3) x + 4m − đồng biến khoảng (1; +∞) 16) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + x + x + + x + x = m 17) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với x: m.4x + (m – 1).2x+2 + m – > 18) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm với x: 3cos x − 5cos x − 36sin x − 15cos x + 36 + 24a − 12a ≥ 19) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x +1 − − x ≥ m 20) Tìm tất giá trị m cho: (x + 1)(x + 3)(x2 + 4x + 6) ≥ m 21) Tìm m để hàm số sau xác định với x : y = cosx + Giáo viên: Trần Bá Tuấn 1 cos2x + cos3x + m Trang - 17 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP 22) Tìm tất giá trị thực m để hệ phương trình sau có nghiệm thực  x − y + y − 3x − =  2  x + − x − y − y + m = IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Chuyên đề thực giảng dạy tham gia dạy lớp 12 luyện thi THPT quốc gia Trong trình học chuyên đề này, học sinh thực thấy tự tin hơn, biết vận dụng gặp toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn Toán, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Được phân công tổ chuyên môn, phụ trách hai lớp 12B3 lớp 12B8 Trong đó, lớp 12B3 lớp chọn nâng cao tiến hành dạy thực nghiệm cho lớp Sau hoàn thành chuyên đề tiến hành kiểm tra lớp 12B3 với lớp không dạy thực nghiệm 12B15 thầy Vũ Quốc Hiệu với kết sau: Đề ra: 1) Giải phương trình : x + + x + x + = 2) Giải bất phương trình : x + 3x + x + 16 < + − x x −1  3 =0  x − x − y − y − y − + ln y +1 ; ( x, y ∈ R ) 3) Giải hệ phương trình :   y[ log ( x − 3) + log y ] = x +  Lớp 12B3 có sỉ số 38 Lớp 12B15 có sỉ số 37 Câu 12B3 12B15 28/38 12/37 Câu : Có 28/38 học sinh lớp 12B3 thực câu chiếm tỉ lệ 73,68% Đây câu phương pháp đơn điệu nên em học sinh phát phương trình có nghiệm Tuy nhiên, lớp không dạy thực nghiệm 12B15 tỉ lệ học sinh nhận biết phương trình có nghiệm nhất, có 12/37 học sinh làm chiếm tỉ lệ 32,43% Sau làm học sinh qua kiểm tra thực nghiệm Các học sinh làm trình bày chưa chặt chẽ Điều kiện xác định hay tập xác định kí hiệu chưa Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 18 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 19 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Câu 12B3 12B15 20/38 8/37 Câu : Có 20/38 học sinh làm câu chiếm tỉ lệ 52,63% Đây bất phương trình chứa thức bậc hai dạng bất phương trình Tuy nhiên, có số học sinh chưa phát dạng f (u ) < f (v) Đối với lớp 12B15 có 8/37 học sinh làm câu chiếm tỉ lệ 21,62%, lại không làm làm nửa Một sô học sinh bình phương vế, cách giải minh họa câu Nhưng có học sinh làm tốt câu Tuy số sai xót − ≤ x ≤ mà − ≤ x < Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 20 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Câu 12B3 12B15 9/38 2/37 Câu : Có 9/39 học sinh thực câu chiếm tỉ lệ 23,68% Đây câu mà học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức để suy luận Vì vậy, số học sinh lúng túng gặp số dạng toán này, lớp 12B15 tỉ lệ 2/37 chiếm tỉ lệ 5,41% Một vài học sinh làm tốt câu Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 21 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Dựa vào kết khảo sát thực nghiệm, ta thấy học sinh dạy thực nghiệm phần nắm bắt dạng toán đơn điệu hàm số phương pháp giải dạng toán Qua giúp có niềm tin thực đề tài V KẾT LUẬN, ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Các dạng toán đơn điệu nói chung đa dạng phong phú Mỗi toán có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt kiến thức học làm cho học sinh phát triển tư sáng tạo Chuyên đề mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sáng tạo Để đạt kết cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm tài liệu tham khảo liên quan Bằng chút vốn hiểu biết kinh nghiệm giảng dạy số năm, hệ thống số kiến thức liên quan, sưu tầm tích lũy số toán học sinh tham khảo tự giải Một toán có nhiều cách giải, song việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị độc đáo việc không dễ dàng Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức bản, sau cung cấp cho học sinh cách nhận dạng toán, thể toán từ học sinh vận dụng linh hoạt kiến thức bản, phân tích tìm hướng giải toán tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Để cho đề tài áp dụng rộng rãi học sinh trường THPT Sông Ray sử dụng thành thạo, kiến nghị BGH nhà trường dành thêm thời gian, phụ đạo cho đối tượng học sinh khá, giỏi có nguyện vọng thi THPT quốc gia đăng kí vào đại học, cao đẳng Mặc dù tập trung nghiêm túc trình thực đề tài này, đưa ví dụ, toán minh họa số tập luyện tập Song chắn không tránh khỏi sai xót khiếm khuyết Rất mong đóng góp ý kiến độc giả đồng nghiệp để đề tài ngày tốt VI TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Doãn Minh Cường – Nguyễn Tiến Tài – Đỗ Mạnh Hùng (2008) Đại số giải tích 10 (cơ bản), NXB Giáo dục [2] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông (2008) Đại số giải tích 10 (nâng cao), NXB Giáo dục [3] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất (2008) Đại số giải tích 12 (cơ bản), NXB Giáo dục Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 22 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP [4] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng (2008) Đại số giải tích 12 (nâng cao), NXB Giáo dục [5] Trần Phương (2009) Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn Toán – 1, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [6] Phan Huy Khải (2010) Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [7] Tủ sách Toán học tuổi trẻ (2010) Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông thi vào đại học, cao đẳng – môn Toán tập một, NXB giáo dục Việt Nam VII PHỤ LỤC Sở GD & ĐT Đồng Nai Kiểm tra chuyên đề tính đơn điệu hàm số Trường THPT Sông Ray Thời gian: 45 phút Đề ra: 1) Giải phương trình : x + + x + x + = ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… 2) Giải bất phương trình : x + 3x + x + 16 < + − x ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 23 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP x −1  3 =0  x − x − y − y − y − + ln y +1 ; ( x, y ∈ R ) 3) Giải hệ phương trình :   y[ log ( x − 3) + log y ] = x +  ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Hết Sông Ray, ngày 19 tháng năm 2016 Người thực Trần Bá Tuấn Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 24 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT SÔNG RAY ––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– Sông Ray, ngày 19 tháng năm 2016 PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2015 – 2016 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Họ tên tác giả: Trần Bá Tuấn Chức vụ: giáo viên Đơn vị: Trường THPT Sông Ray Họ tên giám khảo 1: Chức vụ: Đơn vị: Trường THPT Sông Ray Số điện thoại giám khảo: * Nhận xét, đánh giá, cho điểm xếp loại sáng kiến kinh nghiệm: Tính Điểm: …………./6,0 Hiệu Điểm: …………./8,0 Khả áp dụng Điểm: …………./6,0 Nhận xét khác (nếu có): Tổng số điểm: /20 Xếp loại: GIÁM KHẢO (Ký tên, ghi rõ họ tên) Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 25 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT SÔNG RAY ––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– Sông Ray, ngày 19 tháng năm 2016 PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2015 – 2016 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Họ tên tác giả: Trần Bá Tuấn Chức vụ: giáo viên Đơn vị: Trường THPT Sông Ray Họ tên giám khảo 2: Chức vụ: Đơn vị: Trường THPT Sông Ray Số điện thoại giám khảo: * Nhận xét, đánh giá, cho điểm xếp loại sáng kiến kinh nghiệm: Tính Điểm: …………./6,0 Hiệu Điểm: …………./8,0 Khả áp dụng Điểm: …………./6,0 Nhận xét khác (nếu có): Tổng số điểm: /20 Xếp loại: GIÁM KHẢO (Ký tên, ghi rõ họ tên) Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 26 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT SÔNG RAY ––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– Sông Ray, ngày 19 tháng năm 2016 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2015 – 2016 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Họ tên tác giả: TRẦN BÁ TUẤN Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THPT Sông Ray Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào ô tương ứng, ghi rõ tên môn lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học môn: Toán học  - Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác:  Sáng kiến kinh nghiệm triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành  Tính (Đánh dấu X vào ô đây) - Đề giải pháp thay hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đắn  - Đề giải pháp thay phần giải pháp có, bảo đảm tính khoa học, đắn  - Giải pháp gần áp dụng đơn vị khác chưa áp dụng đơn vị mình, tác giả tổ chức thực có hiệu cho đơn vị  Hiệu (Đánh dấu X vào ô đây) - Giải pháp thay hoàn toàn mới, thực toàn ngành có hiệu cao  - Giải pháp thay phần giải pháp có, thực toàn ngành có hiệu cao  - Giải pháp thay hoàn toàn mới, thực đơn vị có hiệu cao  - Giải pháp thay phần giải pháp có, thực đơn vị có hiệu  - Giải pháp gần áp dụng đơn vị khác chưa áp dụng đơn vị mình, tác giả tổ chức thực có hiệu cho đơn vị  Khả áp dụng (Đánh dấu X vào ô dòng đây) - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT  Trong ngành  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT  Trong ngành  - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT  Trong ngành  Xếp loại chung: Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại  Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết chịu trách nhiệm không chép tài liệu người khác chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ Tổ trưởng Thủ trưởng đơn vị xác nhận kiểm tra ghi nhận sáng kiến kinh nghiệm tổ chức thực đơn vị, Hội đồng chuyên môn trường xem xét, đánh giá; tác giả không chép tài liệu người khác chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ tác giả NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN XÁC NHẬN CỦA TỔ THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên ghi rõ họ tên) CHUYÊN MÔN (Ký tên, ghi rõ (Ký tên ghi rõ họ tên) họ tên đóng dấu) Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 27 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Trần Bá Tuấn Giáo viên: Trần Bá Tuấn Phạm Văn Tánh Trang - 28 [...]... Trang - 18 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 19 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Câu 2 12B3 12B15 20/38 8/37 Câu 2 : Có 20/38 học sinh làm được câu này chiếm tỉ lệ 52,63% Đây là một bất phương trình chứa căn thức bậc hai và cũng là một dạng cơ bản của bất phương trình Tuy nhiên, có một số học sinh... HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP 7 Giải pháp 7: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình, bất phương trình và hệ phương trình có nghiệm • Đối với các bài toán về nghiệm của phương trình, bất phương trình mà tham số độc lập với ẩn hoặc biến đổi phương trình, bất phương trình, đặt ẩn phụ để được điều đó thì ta có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải. . .SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP 2x2 + 2x − 4 x2 + 2 g ' ( x ) = > 0, ∀x ∈ (1;3) g ( x ) = Xét hàm số ( 2 x + 1) 2 2 x + 1 trên đoạn [1 ; 3] Ta có Mặt khác, hàm số g(x) liên tục trên [1 ; 3] Do đó hàm số g(x) đồng biến trên đoạn 11 g ( x) = g (3) = [1; 3] Vậy m ≥ g ( x), ∀x ∈ (1;3) ⇔ m ≥ max [1;3] 7 • Chú ý : Hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên... phải vận dụng rất nhiều kiến thức để suy luận Vì vậy, một số học sinh vẫn còn lúng túng khi gặp một số dạng toán này, lớp 12B15 thì tỉ lệ này quá ít 2/37 chiếm tỉ lệ 5,41% Một vài học sinh làm khá tốt câu này Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 21 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Dựa vào kết quả khảo sát thực nghiệm, ta thấy rằng các học sinh được dạy thực nghiệm một phần... SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT SÔNG RAY ––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc –––––––––––––––––––––––– Sông Ray, ngày 19 tháng 5 năm 2016 PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2015 – 2016 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ... trị của m sao cho: (x + 1)(x + 3)(x2 + 4x + 6) ≥ m 21) Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x : y = cosx + Giáo viên: Trần Bá Tuấn 1 1 cos2x + cos3x + m 2 3 Trang - 17 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP 22) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hệ phương trình sau có nghiệm thực  x 3 − y 3 + 3 y 2 − 3x − 2 = 0  2 2 2  x + 1 − x − 3 2 y − y + m = 0 IV HIỆU QUẢ CỦA... Cấn Văn Tuất (2008) Đại số và giải tích 12 (cơ bản), NXB Giáo dục Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 22 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP [4] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng (2008) Đại số và giải tích 12 (nâng cao), NXB Giáo dục [5] Trần Phương (2009) Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn Toán – quyển 1, NXB Đại... lệ 21,62%, còn lại là không làm được hoặc làm một nửa bài Một sô các học sinh đều bình phương 2 vế, nhưng rồi không có cách giải như minh họa ở câu 1 Nhưng cũng có những học sinh làm tốt câu này Tuy vẫn còn một số sai xót như − 2 ≤ x ≤ 1 mà là − 2 ≤ x < 1 Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 20 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Câu 3 12B3 12B15 9/38 2/37 Câu 3 : Có 9/39... Trang - 13 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Bảng biến thiên x -∞ 1 g ' ( x) g (x) - +∞ 0 + 0 +∞ -3 Từ bảng biến thiên, ta có : m ≤ g ( x), ∀x ∈ ( 0;+∞ ) ⇔ m ≤ min g ( x) = g (11) = −3 ( 0; +∞ ) • Chú ý : Hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên tập D Khi đó bất phương trình f ( x ) ≥ h ( m) f(x) ≥ h(m) nghiệm đúng với mọi x ∈ D ⇔ min D Ví dụ 3: Cho hàm số y = x... pháp đơn điệu của hàm số Hàm số đồng biến trên khoảng (1 ; 2) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1;2) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ [1;2] ( Do y’ liên tục tại x = 1, x = 2) ⇔ m ≥ x 2 , ∀x ∈ [1;2] ⇔ m ≤ min ( x 2 ) = 1 [1; 2 ] Vậy m ≤ 1 • Nhận xét : Qua ví dụ 3 ta thấy, nếu chúng ta sử dụng được phương pháp đơn điệu của hàm số thì giait đơn giản và hiệu quả hơn nhiều Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 14 SKKN: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA