MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Ngày soạn : Tiết: Chuyên đề I- MỤC TIÊU: Giúp học sinh: Về kiến thức: - Củng cố định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm, số phương pháp tính tích phân học để vận dụng tính tích phân - Nắm phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ đơn giản: Dạng P(x)/Q(x) với P(x), Q(x): có bậc cao 2 Về kỹ năng: - Nhận dạng, tính số tích phân dạng hàm hữu tỉ đơn giản - Sử dụng thông thạo tính chất, bảng nguyên hàm số phương pháp tính tích phân để tính tích phân Về tư thái độ: - Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức - Hình thành tư logic, lập luận chặt chẽ, linh hoạt trình suy nghĩ II- CHUẨN BỊ : Giáo viên: - Giáo án, bảng phụ Học sinh: - Ôn trước kiến thức học: Nguyên hàm, tích phân III- PHƯƠNG PHÁP: - Nêu giải vấn đề, thuyết trình, phân tích, tổng hợp, gợi mở vấn đáp… IV-TIẾN TRÌNH BÀI HỌC: Ổn định lớp : Kiểm tra cũ: Câu hỏi 1: Tính tích phân ( học sinh lên bảng) I =∫ 2x + dx x +1 Câu hỏi 2: Điền vào chỗ chấm bảng sau: Máy chiếu Bài mới: GV ĐVĐ: Ta vừa tính tích phân hàm hữu tỉ dạng bậc 1/bậc cách chia tử cho mẫu: Tử = thương + dư Mẫu Mẫu Trong đó: thương dư : số tách đưa dạng tính tích phân Tiết ta xét tiếp tích phân hàm hữu tỉ dạng bậc / bậc Vậy gặp dạng này, để tính tích phân ta làm nào? HSTL: Chia tử cho mẫu GV: Vậy thương dư có kết gì? HSTL: Thương: số , dư : đa thức bậc số GV: Lúc dẫn tới việc tính tích phân hàm số hữu tỉ dạng: Dạng 1: ax + bx + c mx + n Dạng 2: ax + bx + c Ta xét dạng: g Hoạt động 1: Tích phân hàm số hữu tỉ dạng 1: I = ∫ e dx ax + bx + c (a ≠ 0) Nội dung Hoạt động GV-HS I Dạng 1: - GV: Dùng phương pháp a) ∆ >0 : để tách? Cách 1: Đồng - HS: Đồng vế 1 A B - GV: Khi đồng nhất, làm = = ( + ) để tìm A, B ? ax + bx + c a ( x − x1 )( x − x2 ) a x − x1 x − x2 Đồng để tìm a, b cách giải hệ cho x giá - HS: Ta giải hệ lấy x giá trị để trị ( thường cho x giá trị nghiệm x1, x2) tìm A, B (thường lấy Cách 2: Thêm, bớt tách giá trị nghiệm để tìm A, 1 1 = = ( − ) B cho nhanh) ax + bx + c a ( x − x1 )( x − x2 ) a( x1 − x2 ) x − x1 x − x2 - GV: Sau tách , tìm nguyên hàm công thức nào? - HS: Dùng công thức 2) b) ∆ = : 1 1 = = 2 ax + bx + c a ( x − x0 ) a ( x − x0 ) c) ∆ < 0: 1 = ax + bx + c a (x + m) + n (Đặt x + m = n.tant) * Ví dụ áp dụng: -VD1: dx I1 = ∫ x + 6x + dx 1 1 = = ( − ) x + 6x + ( x − 2).( x − 4) x − x − 2 b ( x0 = − ) 2a - GV: Để tìm nguyên hàm dùng công thức nào? - HS: Dùng công thức 4) - GV: Để tìm nguyên hàm dùng công thức nào? - HS: Dùng công thức 6) - GV: Cho ví dụ, nêu cách làm ví dụ? - HS: VD1: dạng với ∆ >0 VD2: dạng với ∆ = VD3: dạng với ∆ < - GV: Yêu cầu nhóm hoạt động cử đại diện nhóm lên trình bày - Học sinh nhận xét GV xác hóa 1 1 => I1 = ∫ ( − ) dx x −4 x −2 - GV: yêu cầu học sinh dùng cách thêm bớt tách ( nhà) 1 (ln x − − ln x − ) = x −4 = ln x −2 1 (ln − ln 2) = ln 2 = -VD2: I2 = ∫ dx x + 4x +1 =∫ dx 4( x + ) 2 1 −1 x+1 20 −1 1 = + = = - GV: Còn cách phân tích khác không? - HS: Có thể dùng đẳng thức NX: 1 dx dx dx I2 = ∫ =∫ = x + 4x +1 (2x +1) 2 ∫0 (2x +1) 1 −1 1  = = −  −1 ÷= 2x +1 3  - VD3: 1 dx dx I3 = ∫ =∫ x + 2x + −1 (x +1) + 2 −1 Đặt: x+1=2tant π  π − < t < ÷ 2  x t -1 π dx=2(1+tan2t).dt π => I = ∫ π 2(1 + tan t )dt 1 π π = dt = = 4(tan t + 1) ∫0 Hoạt động 2: Tích phân hàm số hữu tỉ dạng 2: g mx + n I =∫ dx (m ≠ 0, a ≠ 0) ax + b x + c e Nội dung Hoạt động GV- HS II Dạng 2: a) ∆ >0 : mx + n mx + n = ax + bx + c a ( x − x1 )( x − x2 ) Cách 1: Đồng - GV: Ta dùng phương pháp đồng để phân tích tách không? - HS: Ta làm tương tự mx + n mx + n A B = = ( + ) ax + bx + c a ( x − x1 )( x − x2 ) a x − x1 x − x2 dạng trường hợp ∆ >0 - GV: Ngoài dùng Đồng để tìm a, b cách giải hệ cho x phương pháp để tách? giá trị ( thường cho x giá trị nghiệm - HS: Ta thêm bớt để tách x1, x2) Cách 2: Thêm bớt dựa theo nghiệm mẫu tách Cách 3: Thêm bớt dựa theo đạo hàm mẫu tách - VD 4: I4 = ∫ x +4 dx x + 3x + - GV: Hãy phân tích tách phương pháp đồng nhất? Cách 1: x+4 A B = + x + 3x + x + x + A( x + 2) + B ( x + 1) = ( x + 1).( x + 2) - HS: nhận nhiệm vụ, tính toán đưa kết - GV: Hãy dùng cách lại để phân tích ( Yêu cầu nhà, có hướng dẫn) Đồng nhất, ta có: A=3; B= − => I = ∫ ( − )dx x +1 x + 1 dx dx = 3∫ − 2∫ x +1 x+2 0 = 3ln x + − ln x + = 3ln − 2ln + ln = 5ln − 2ln Cách 2: x+4 x+4 = x + 3x + ( x + 1).( x + 2) x +1 + ( x + 1).( x + 2) ( x + 1).( x + 2) 1 = + ( − ) x + −1 + x + x + = − x +1 x + = - GV: Nếu không phân tích theo x+1 ta phân tích theo x+2 không? - HS: Ta phân tích theo x+2 sau: x+2 + ( x + 1).( x + 2) ( x + 1).( x + 2) 1 = + ( − ) ( x + 1) −1 + x + x + 1 = + 2( − ) ( x + 1) x +1 x + = − x +1 x + = Cách 3: x+4 2( x + 4) = x + 3x + 2 x + 3x + 2 2x + = ( + ) x + 3x + x + 3x + } 44 48 du dang (∆>0) u b) ∆ = : - VD 5: I5 = ∫ x −1 dx x + 6x + Cách 1: 3x − 3x − = x + 6x + ( x + 3) A B = + ( x + 3) ( x + 3) A( x + 3) + B = ( x + 3) => A = 3; B = −10 Cách 2: 3x − 3x − = x + 6x + ( x + 3) 3( x + 3) 10 = − ( x + 3) ( x + 3) 10 = − x + ( x + 3) 2 Đáp số: 3ln − - GV: Hãy nêu cách giải ? - HS: Có thể làm theo cách giống trên: Cách 1: Đồng Cách 2: Thêm bớt theo nghiệm mẫu để tách Cách 3: Thêm bớt theo đạo hàm mẫu - GV: Tuy nhiên chọn theo cách cho hợp lý, lời giải ngắn gọn, phức tạp - GV: Gọi học sinh chỗ giải theo cách 1, cách - GV: Yêu cầu học sinh nhà làm theo đủ cách rút kinh nghiệm cho thân c) ∆ < : - VD 6: 2x + I =∫ dx x − x + 2x + 2x − = + x − x + x − x + ( x − 1) + 22 64 48 48 I1 I2 3 d ( x − x + 5) I1 = ∫ = ln x − x + = ln x − 2x + - GV: Ta phân tích để đưa dạng biết? π  π − < t < ÷ 2  Đặt : x – = 2tant - HS: Phân tích thành I1 I2 áp dụng công thức 2) dạng (với ∆ < 0) dx = 2(1+tan t)dt x t π -1 π - Yêu cầu học sinh thực hiện, GV xác hóa π 2(1 + tan t )dt 3 π 3π = dt = = ∫ 4(tan t + 1) 2 0 3π => I = ln + => I = 3∫ Hoạt động 3: Một vài ví dụ dạng khác đưa dạng 1, dạng Hoạt động GV Hoạt động HS - VD 7: xdx x + 13 x + 36 Đặt t = x2 dt = 2xdx x t I7 = ∫ 1 - GV: I7 có dạng 1, dạng hay không? - HS: Không rơi vào dạng - GV: Liệu ta biến đổi dùng phương pháp để đưa dạng hay không? - HS: Ta đặt ẩn phụ đưa dạng với ∆ > - GV: Sử dụng cách học để phân tích tách - HS: Thực 1 dt => I = ∫ 2 t − 13t + 36 1 dt = ∫ (t − 4).(t − 9) 1 1 = ∫ ( − ) dt t −9 t −4 = 1 (ln t − − ln t − ) 10 t −9 = ln 10 t − - GV: I8 có dạng 1, dạng hay không? - HS: Không dạng - GV: Liệu ta biến đổi dùng phương pháp để đưa dạng hay không? - HS: Ta đặt ẩn phụ đưa dạng với ∆ > 0 (ln − ln ) 10 32 = ln 10 27 = - VD 8: x dx I8 = ∫ x − x3 − Đặt t = x3 dt = 3x2 dx x t - GV: Sử dụng cách học để phân tích tách - HS: Thực 1 x x dx tdt I8 = ∫ = ∫ x − x − t −t − 1 1 = ∫( + ) dt 3 t − t +1 1 ln t − + ln t +1 9 = − ln = - VD 9: 2x +41x-91 I9 = ∫ dx ( x − 1)( x − x − 12) −1 - GV: Ta biến đổi dùng phương pháp đổi biến đưa dạng biết không? - HS: Ta không đổi biến giống VD 7, VD - GV: Vậy tìm A, B, C cho ∀x ∉{ 1; 4; −3} ta co': x + 41x − 91 A B C = + + ( x −1).( x − 4).( x + 3) x −1 x − x + - HS: Ta hoàn toàn làm phương pháp đồng Từ tách để tính tích phân - GV: Yêu cầu học sinh nhà tự hoàn thiện - GV: Vậy với hàm hữu tỉ bậc cao ta sử dụng phương pháp giống hàm hữu tỉ dạng 1, dạng Như vậy, sở tiết cung cấp cách tính tích phân hàm hữu tỉ dạng dạng 2, em vận dụng cách linh hoạt gặp dạng bậc cao Củng cố, dặn dò: - Kiến thức học bài: Cách tính tích phân hàm hữu tỉ dạng dạng - Chú ý: Phải biết nhận dạng hàm số dấu tích phân để lựa chọn phương pháp cách biến đổi cách đặt phù hợp với hàm số - Giờ sau tiếp tục luyện tập tích phân HDVN: Về nhà làm tập sau: dx 1) I= ∫ x + 6x − 2) I= ∫ dx 25x + 10x + dx 3) I= ∫ x + 4x + −1 ( x − 2)dx 4) I= ∫ x + 5x + 5) I= ∫ 6) I= ∫ (2x − 5) dx x + 8x + 16 (2x − 1) dx x − 4x + 20 V Rút kinh nghiệm ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………