CHUYÊN ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH A - Lý thuyết: Các phương pháp giải Phương pháp - B1: Từ pt ta rút ẩn biểu diễn theo ẩn lại ( thường rút ẩn có hệ số nhỏ nhất) - B2: Thế biều thức vào pt lại để pt ẩn - B3: Giải Pt thu - B4: Thay ẩn vừa tìm vào pt để tìm ẩn lại kết luận PP cộng đại số - B1: Nhân vế pt với số thích hợp ( cần) để hệ số ẩn pt đối - B2: Cộng (nếu hệ số đối nhau) trừ(nếu hệ số nhau) vế pt để pt ẩn - B3: Giải Pt thu - B4: Thay ẩn vừa tìm vào pt để tìm ẩn lại kết luận Đặt ẩn phụ: Khi ở các pt có những nhóm giống thì ta chọn làm ẩn phụ Dùng BĐT: Dùng BĐT để lập luận trường hợp xảy dấu bằng - BĐT Côsi: a+b ≥ ab ; a1 + a + + a n ≥ n n a1.a a n ( Dấu bằng xảy các số bằng nhau) - BĐT Bunhiacopxki: (a1.x1 + a x + + a n x n ) ≤ (a12 + a 22 + + a 2n ).(x12 + x 22 + + x 2n ) Dấu bằng xảy bộ số tương ứng tỉ lệ B – Bài tập: (Riêng hệ vô tỷ ta xét sau cùng với PT vô tỷ) I- Dạng Hệ bậc nhất Bài Giải hệ phương trình 3 x + y = 11 a  7 x + y = 29 3 x + y = b  2 x − y = −2 x + y + z =  d 2x + 3y − 2z = − x + 2y + 2z =   x − y + 3z =  e 2 x + y − z = 10 3 x + y + z =  ( x + 20)( y − 1) = xy g  ( x − 10)( y + 1) = xy  x + y = 16  f  x + z = 22  y + z = 28  y + 27  y − 5x +5= − 2x  h   x + + y = y − 5x  Bài 2: Giải hệ phương trình  x + 2y  5x + 6z =   x + y = − 2xy  3y + 4z = a  b.:  x + 2y  x − 2y =   x + y + z = 128   x + y − z =  y + z − x = x + z − y =   x + y + z = 11  c 3 x + y + z = 24 2 x − y + z =   x + y + z = 15  x + y + t = 16  e   x + z + t = 18  y + z + t = 20 5 x + y = 2  x − y = i   x − y =   c  y − = z   z − x =  x y z  = = f  3 x − y + z = 16 d Bài 3: GHPT 1 1  x + y = 12  a   + 15 =  x y   x + y + y + 2x =  b   − =1  x + y y + x  x + y = 13 d  3 x − y = −6 e   3x  x +1 − y + =  c   2x − =  x + y + 3 x + y = 16  x + y = 18 3 x + y = 10 f  2 x − y = −11 5 x − − y + = 2( x − x ) + y + = g  3( x − x) − y + = −7 h  2 x − x + + y + y + = 13 HD: Đặt ẩn phụ II - Dạng 2: Hệ bậc cao Hệ đối xứng loại -Nhận dạng: Là hệ pt mà nếu mỗi cặp số (x; y) là nghiệm thì (y; x) cũng là nghiệm ( vai trò x và y là ở các PT) - PP giải: Đặt x+y = S; xy = P Giải HPT với S và P sau đó tìm x, y nhờ PT: X2 – S.X + P =0 Chú ý: Với hệ giả đối xứng loại thì đặt x-y = S; -xy = P Khi đó nghiệm của Pt là x và -y Bài 4: GHPT  x + y - 2x - 2y = a   x + y − xy =  x + xy + y = 19( x − y ) d   x − xy + y = 7( x − y ) 5( x + y ) + y = −19  x + y + xy = −35 c  x + y = e  2 3 ( x + y )( x + y ) = 280  x + y + xy = 13 f   x − y + xy = 2  x + y − 3xy =  x + 4y + 6xy = 19 + 2y + 6y g  h  (HD: Đặt 2y+1=a)  x + 4y2 = − 4y 3x − xy = 3y + Hệ đối xứng loại - Nhận dạng: Cũng loại I, loại II “đối xứng” đối xứng phương trình không đối xứng phương trình kiểu I + Một cách nhận dạng khác cho x=y phương trình hệ Hay nói cách khác x=y nghiệm hệ Đây đặc điểm khai thác hệ - Phương pháp: Thông thường, ta trừ theo vế ta thu nghiệm x=y, số nghiệm khác Sau thay lại tìm nghiệm (x;y) *Chú ý: Hệ giả đx thì x ở PT được thay bằng –y ở PT và ngược lại Bài 5: GHPT  x + 2y = 5x + a   y + 2x = 5y +  2 x = y + y c  2 y = x +  x 2 x = y − y + b  2 y = x − x +  x − y = /   y − x = /  1− y2 x =  1+ y2  g  y = 1− x  1+ x2 | x |= − y e  | y |= − x d  x = x + y f   y = y + x 2y   x = − y h   y = 2x  1− x2 5x = y + 3y − i  −5y = x − 3x − 3 Hệ đẳng cấp (giả đx ) 2  x − 2y = 2x − y k  (giả đx)  y − 2x = −2y + x - Nhận dạng: Là HPT mà tất cả các hạng tử chứa ẩn đều có bậc bằng - Phương pháp: Đặt x = ty (hoặc y = tx), thế vào pt sau dó chia từng vế ta được pt ẩn t Giải pt tìm t, thay vào tìm x và y Bài 6: GHPT  xy − = − y a   xy = + x  x + xy − y = b  2 x − xy + y =  x − xy + y = c   x − xy + y = Một số dạng khác Bài 7: GHPT  x − xy + y = a  ( HD: Phân tích PT thành nhân tử rồi thế x vào pt 2)  x + xy + y − 27 =  x + y + z = xy + yz + zx b  2003 (HD: Từ PT dùng BĐT phụ để suy x=y=z)  x + y 2003 + z 2003 = 2004  x + y = (HD: Nhân vế trái của PT với vế phải của PT và ngược lại) 9 4  x + y = x + y c   x + y = ;(HD:Nhân chéo vế) 5 2  x + y = x + y d   x = y + e  (HD: Hệ đx loại - trừ từng vế)  y = x +  x + xy + y =  f  y + yz + z = z + zx + x =  x, y, z > (HD: cộng vào vế, PTTNT rồi nhân từng vế cả pt)  x + x = + y + y g   x + y = x y + xy + (HD: Đặt: x-y=a; x+y =b sau đó sử dụng pp thế)  x + x y + y = 17 (HD :Đặt x+y = a; xy=b sau đó sử dụng pp thế)  x + xy + y = h  Bài 8: Giải hệ phương trình (PP dùng BĐT) x + y + z = ( HD: Dùng BĐT phụ a + b + c ≥ ab + bc + ca(*) cho PT (2) ) a  4  x + y + z = xyz  x + y = 1(1) b 1999 1999 y =  x − ( 2000 ) y − 2000 x (x + y + xy + 2001)(2) (HD: Tìm ĐK, xét x>y và y>x sau đó suy x = y) c  x + 32 − x = y − 4  x + 32 − x = 24 − y Giải: ĐK: ≤ x ≤ 32 Hệ cho tương đương với ( x + 32 − x ) + ( x + 32 − x ) = y − y + 21   x + 32 − x = y − Theo bất đẳng thức BunhiaCốp xki ta có ( x + 32 − x ) ≤ (12 + 12 )( x + 32 − x ) = 64 ⇒ x + 32 − x ≤ ( ⇒ x + 32 − x ) ≤ [2( ] x + 32 − x ) ≤ 256 x + 32 − x ≤ Suy ( x + 32 − x ) + ( x + 32 − x ) ≤ 12 Mặt khác y − y + 21 = ( y − 3) + 12 ≥ 12 Đẳng thức xẩy x= 16 y=3 (t/m) Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (16;3) III- Dạng Giải biện luận hệ phương trình Phương pháp giải: • Từ phương trình hệ tìm y theo x vào phương trình thứ hai để phương trình bậc x • Giả sử phương trình bậc x có dạng: ax = b (1) • Biện luận phương trình (1) ta có biện luận hệ + Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b - Nếu b = hệ có vô số nghiệm - Nếu b ≠ hệ vô nghiệm + Nếu a ≠ (1) ⇒ x = b , Thay vào biểu thức x ta tìm y, lúc hệ phương trình a có nghiệm mx − y = 2m(1) 4 x − my = m + 6(2) Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình:  Từ (1) ⇒ y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m + ⇔ (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) (2m + 3)(m − 2) 2m + = m+2 m2 − m 2m + m Khi y = Hệ có nghiệm nhất: ( ;) m+2 m+2 m+2 +) Nếu m2 – ≠ hay m ≠ ± x = +) Nếu m = (3) thỏa mãn với x, y = mx -2m = 2x – Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với x ∈ R +) Nếu m = -2 (3) trở thành 0x = Hệ vô nghiệm 2m + m ;) m+2 m+2 - Nếu m = hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với x ∈ R Vậy: - Nếu m ≠ ± hệ có nghiệm nhất: (x,y) = ( - Nếu m = -2 hệ vô nghiệm Bài 9: Giải biện luận hệ phương trình sau: mx + y = 3m − mx + y = 10 − m b)   x + my = m +  x + my = (m − 1) x − my = 3m − 2 x − y = m + a)  ) IV - Dạng 4: Xác định tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước *Phương pháp giải: • Giải hệ phương trình theo tham số • Viết x, y hệ dạng: n + k với n, k nguyên f (m) • Tìm m nguyên để f(m) ước k Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: mx + y = m +  2 x + my = 2m − HD Giải: mx + y = m + ⇔  2 x + my = 2m − 2mx + y = 2m +  2 2mx + m y = 2m − m (m − 4) y = 2m − 3m − = ( m − 2)(2m + 1) ⇔ 2 x + my = 2m − để hệ có nghiệm m2 – ≠ hay m ≠ ± Vậy với m ≠ ± hệ phương trình có nghiệm (m − 2)(2m + 1) 2m +  = = 2−  y = m+2 m+2 m −4  x = m − = −  m+2 m+2 Để x, y số nguyên m + ∈ Ư(3) = {1;−1;3;−3} Vậy: m + = ± 1, ± => m = -1; -3; 1; -5 Bài Tập: Bài 10: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: (m + 1) x + y = m −  2 m x − y = m + m Bài 11 a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm (2; -1) 2mx − (m + 1) y = m − n  (m + 2) x + 3ny = 2m − (HD: Thay x = ; y = -1 vào hệ ta hệ phương trình với ẩn m, n) b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + = có hai nghiệm x = x = -2 (HD: thay x = x = -2 vào phương trình ta hệ phương trình với ẩn a, b c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + (HD:Dùng định lí bơzu cho f(x)) d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + Xác định hệ số a b biết f(2) = , f(-1) = Bài 12: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) Bài 13: Định m để đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m x + 2y = đồng quy Bài 14 :Định m để đường thẳng sau đồng quy a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – b) mx + y = m + ; (m +2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – Bài 15: mx + y =  x + my = Cho hệ phương trình:  Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 2x + y + 38 =3 m −4 HD Giải: - Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nhất: m ≠ ± - Giải hệ phương trình theo m 8m −  y=  mx + y = (m − 4) y = 8m − mx + y =  m −4 ⇔ ⇔ ⇔   x + my = mx + m y = 8m  x + my =  x = 9m − 32  m2 − 9m − 32 8m − - Thay x = ;y= vào hệ thức cho ta được: m −4 m −4 9m − 32 8m − 38 2 + + =3 m −4 m −4 m −4 => 18m – 64 +8m – + 38 = 3m2 – 12 ⇔ 3m2 – 26m + 23 = ⇔ m1 = ; m2 = Vậy m = ; m = 23 23 (cả hai giá trị m thỏa mãn điều kiện)