Hà Tĩnh tháng 11 năm 2015 Tr n Qu c Vi t TUY N CH N CÁC BÀI TOÁN H PHƯƠNG TRÌNH K2 pi abcdef Ne t.V n L i Nói Đ u c Di n Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang Tr n Qu c Vi t TUY N CH N CÁC BÀI TOÁN H PHƯƠNG TRÌNH Ne t.V n Ph n I Các Bài Toán Bài Toán Gi i h phương trình  x3 + 3x2 + 3x = 2y + 6y + 6y x2 + y = y x (x + y) + x y (y − x) K2 pi Bài Toán Gi i h phương trình  √y + 2x − + √1 − y = y + x√x = y (x − 1) + x2 − y c Di n Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang Tr n Qu c Vi t TUY N CH N CÁC BÀI TOÁN H PHƯƠNG TRÌNH Ne t.V n Ph n II Hư ng D n Gi i Bài toán Gi i h phương trình sau  x3 + 3x2 + 3x = 2y + 6y + 6y (1) x2 + y = y x (x + y) + x y (y − x) (2) L i Gi i Đi u ki n: x (x + y) ≥ ; y (y − x) ≥ Ta có:  2   y x (x + y) ≤ x + xy + y 2 ⇒ y   x y (y − x) ≤ x − xy + y Khi đó:   √  −1 +    x= y   2√ y = x2 + xy  −1 − ⇔ x= y  x, y ≥     x, y ≥ (2) ⇔ √   −1 +  x= y  ⇔   x, y ≥  x=y=0 pi √   −1 +  x= y     x, y ≥ √ ⇔    −1 −  x= y   x, y ≥   √ y thay lên phương trình l i ta đư c: √ K2 −1 + x= V i  x, y ≥ −1 + ⇔ −4 + √ y (y − x) ≤ x2 + y (3) x (x + y) + x y −1 + +3 y3 − √ √ 3+3 5 y −1 + + √ y = 2y + 6y + 6y √ −15 + y2 + y=0⇔y=0⇒x=0 V i x = y = thay lên phương trình th a mãn V y nghi m c a h phương trình (x; y) = (0; 0) c Di n Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang Tr n Qu c Vi t TUY N CH N CÁC BÀI TOÁN H PHƯƠNG TRÌNH Bài toán Gi i h phương trình sau Ne t.V n  √y + 2x − + √1 − y = y + x√x = y (x − 1) + x2 − y L i Gi i Phương trình th hai c a h ta có y (x − 1) + √ xy − y − x2 − y = √ x2 − y = x x xy − y − (x2 − y) y (x − 1) + x2 − y = y−x x (y − x) √ = √ x x x √ √ y−x x2 − x + y √ ⇒ xy − y = √ + x x = x x ⇒ y (x2 − x) = x2 − x + y ⇒ 4y x2 − x = x2 − x + y ⇔ y − x2 + x 2 = ⇔ y = x2 − x Thay vào phương trình đ u c a h ta đư c √ √ x2 + x − + −x2 + x + = x2 − x + S d ng b t đ ng th c AM-GM ta có x2 + x − + x2 + x = 2 pi √ √ x2 + x − ≤ −x2 + x + ≤ −x2 + x + + −x2 + x + = 2 T suy x2 + x −x2 + x + + 2 ⇔ (x − 1)2 ≤ ⇔ x = ⇒ y = K2 x2 − x + ≤ Th l i ta th y thõa mãn h phương trình V y h phương trình có nghi m nh t (1; 0) Bài toán Gi i h phương trình sau  y + y x + y = x + x  √ x3 y 2 x − y + √  = xy (xy + x − y) c Di n Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn L i Gi i Trang Tr n Qu c Vi t TUY N CH N CÁC BÀI TOÁN H PHƯƠNG TRÌNH Ne t.V n Ta th y xy = không ph i nghi m c a phương trình (2) Chia c v pt cho xy ta đư c: √ x−y √ + =1 x−y xy ) (1 + xy √ x−y Phương trình tr thành Đăt t = xy  2t + t=0 = ⇔ = (1 − 2t)(1 + t)2 ⇔  (1 + t)2 t=− • V i t = ⇒ x = y thay vào phương trình đ u ta đư c nghi m x = y = √ √ • V i t = − ⇔ x − y + 3xy = T phương trình đ u ta có y4 + y2 (T /M ) x4 + y = xy(x2 + 1) ⇒ xy > √ Suy phương trình x − y + 3xy = vô nghi m V y h phương trình cho có nghi m nh t x = y = √ Bài toán Gi i h phương trình sau  (x + 1)y 2014 = 2√x 2x + = 4√x − y 2015 pi L i Gi i K2 Đi u ki n x ≥ Xét phương trình th nh t c a h ta có √ (x + 1)y 2014 = x ≤ x + ⇒ y 2014 ≤ ⇒ y ∈ [−1; 1] √ √ Khi 2x + = x − y 2015 ≤ x + √ ⇔2 x−1 ≤0 ⇔x=1 Do x = ⇒ y = −1 (T /M ) V y h phương trình có nghi m (1; −1) Bài toán Gi i h phương trình sau  4x3 + y + y √2x − y = 3y x √  x + 4x2 + y + y + = 3xy c Di n Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn L i Gi i Trang Tr n Qu c Vi t TUY N CH N CÁC BÀI TOÁN H PHƯƠNG TRÌNH x+ √ Ne t.V n √ Ta có 3xy = x + 4x2 + y + y + ≥ Nh n th y xy = không nghi m nên xét hai trư ng h p sau N u x > y > có 4x2 + y+2 y + ≥ (x + 2x) (y + 2y) = 9xy > 3xy Suy trư ng h p vô nghi m N u x < y < xét phương trình th nh t − 2x − y = −3xy + 4x3 y y + + ≥ −3xy + 3xy = y 2 ⇔ y = 2x Thay vào phương trình th hai c a h , nh n đư c x+ ⇔ x+ √ 4x2 + √ 4x2 + √ 2x + 4x2 + = 6x2 = 3x2 ⇔ x + − √ 1√ ; − √ 2√ 3 √ K2 pi V y h có nghi m nh t (x; y) = √ √ 4x2 + = − 3x ⇔ x = − c Di n Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang