Đang tải... (xem toàn văn)
Ứng dụng của phương pháp xác định hình chiếu một điểm lên mặt phẳng để giải các bài toán hình học không gian trong các đề thi đại học
S GIO DC & O TO THA THIấN HU trường trung học phổ thông vinh xuâ & sáng kiến kinh nghiệm B mụn: Toỏn hc đề tài : ứng dụng phương pháp xác định hình chiếu điểm lên mặt phẳng để giảI toán hình học không gian đề thi đại học H v tờn: T: Toỏn n v: Trng THPT Vinh Xuõn Vinh Xuõn, thỏng 03 nm 2013 MC LC Trang Phn -M U 1.1 - Lý chn ti 1.2 - Mc ớch nghiờn cu ti 1.3 - Phm vi nghiờn cu ti 1.4 - Nhim v nghiờn cu ca ti 1.5 - Phng phỏp nghiờn cu ti Phn -NI DUNG 2.1 - C S Lí THUYT .4 2.2 - BA BI TON C BN V XC NH HèNH CHIU CA MT IM LấN MT PHNG . 2.3 - CC V D MINH HA 2.4 - BI TP . 15 Phn -KT LUN KIN NGH 16 DANH MC TI LIU THAM KHO .17 & Trang Phn - M U 1.1 - Lý chn ti Bi toỏn Tớnh th tớch ca a din, khong cỏch v gúc chng trỡnh mụn Toỏn trng Trung hc ph thụng (THPT) thng xut hin cỏc t kim tra cui hc k, k thi tt nghip THPT v thi tuyn sinh i hcCao ng Tuy nhiờn nhiu bi toỏn tớnh th tớch ca a din, tớnh khong cỏch v gúc ũi hi ngi hc phi nm vng cỏch xỏc nh hỡnh chiu ca mt im lờn mt phng tớnh khong cỏch, t ú mi tớnh c th tớch ca a din; xỏc nh c khong cỏch v gúc Mt khỏc, cỏc dng toỏn v tớnh th tớch ca a din, tớnh khong cỏch v gúc li a dng, phong phỳ m thi lng cú hn lp thỡ giỏo viờn cng khú truyn t ht c Hn na k nng xỏc nh hỡnh chiu ca mt im lờn mt phng ũi hi hc sinh phi nm vng cỏc k nng c bn v quan h vuụng gúc, quan h song song chng trỡnh mụn toỏn lp 11 m a s hc sinh khụng theo kp 1.2 - Mc ớch nghiờn cu ti ti ng dng ca phng phỏp xỏc nh hỡnh chiu mt im lờn mt phng gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian cỏc thi i hc ny s giỳp hc sinh h thng c cỏch xỏc nh hỡnh chiu ca mt im lờn mt phng; rốn luyn cho hc sinh h thng k nng gii quyt cỏc bi toỏn tớnh th tớch ca a din, tớnh khong cỏch v gúc thng gp chng trỡnh Toỏn THPT thụng qua vic xỏc nh hỡnh chiu mt im lờn mt phng 1.3 - Phm vi nghiờn cu ti 1.3.1 Khỏch th: Chng trỡnh mụn Toỏn THPT 1.3.2 i tng: Cỏc bi toỏn v Hỡnh hc khụng gian cỏc thi i hc-cao ng 1.4 - Nhim v nghiờn cu ca ti ti ng dng ca phng phỏp xỏc nh hỡnh chiu mt im lờn mt phng gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian cỏc thi i hc cung cp cho hc sinh v phng phỏp, k nng v h thng bi v Tớnh Trang th tớch ca a din, khong cỏch v gúc t cỏc bi toỏn ó c cỏc thi i hc-Cao ng 1.5 - Phng phỏp nghiờn cu ti ti c nghiờn cu bng phng phỏp phõn tớch v tng hp lý thuyt Trang Phn - NI DUNG 2.1 - C S Lí THUYT 1.1 Khỏi nim v hỡnh chiu a Phộp chiu song song Cho mt phng () v ng thng ct () Vi mi im M khụng gian, ng thng i qua M v song song vi s ct () ti im M xỏc nh im M c gi l hỡnh chiu ca im M trờn mt phng () theo phng ca ng thng hay núi gn l theo phng (Hỡnh hc 11, trang 72, nxb GD 2007) b Phộp chiu vuụng gúc Cho ng thng vuụng gúc vi mt phng () Phộp chiu song song theo phng ca lờn mt phng () c gi l phộp chiu vuụng gúc lờn mt phng () (Hỡnh hc 11, trang 102, nxb GD 2007) 1.2.Nhn xột: T khỏi nim v phộp chiu vuụng gúc, ta cú nhn xột sau: + Nu im A l hỡnh chiu ca im A trờn mt phng () thỡ AA() Nh vy chng t A l hỡnh chiu vuụng gúc ca im A trờn mp() thỡ ta phi chng minh ng thng AA() v im A() + Cho ng thng d khụng vuụng gúc vi mp() Nu ng thng d ct mt phng () ti im O, ta ly im A tựy ý trờn ng thng d khỏc im O Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca im A trờn mp() v l gúc gia d v () Khi ú ã AOH = + Gi s hai mt phng () v () ct theo giao tuyn d v l s o gúc ca hai mt phng () v () Khi ú t mt im M() (m Trang Md) ta xỏc nh hỡnh chiu I ca im M trờn ng thng d v xỏc nh hỡnh chiu H ca M trờn mp() Khi ú ã ( (ã ) , ( ) ) = MIH = 2.2 - BA BI TON C BN V XC NH HèNH CHIU CA MT IM LấN MT PHNG 2.1.Ba bi toỏn c bn v xỏc nh hỡnh chiu ca mt im lờn mt phng a Bi toỏn 1: Xỏc nh hỡnh chiu ca im S lờn mt phng (P) ó bit mt ng thng vuụng gúc vi mt phng (P) ú b Bi toỏn 2: Xỏc nh hỡnh chiu ca im S lờn mt phng (P) ó bit im S thuc mt phng (Q) m (Q)(P) c Bi toỏn 3: Xỏc nh hỡnh chiu ca im S lờn mt phng (P) ó bit hai mt phng (Q) v (R) ct nhau, cựng vuụng gúc vi (P) 2.2.Cỏc bc xỏc nh hỡnh chiu ca im S lờn mt phng (P) Bc Xỏc nh ng thng (P); + bi toỏn thỡ ng thng ó cú sn; + bi toỏn thỡ ng thng l ng thng nm mt phng (Q) qua S v vuụng gúc vi giao tuyn m ca hai mt phng (P) v (Q); m + bi toỏn thỡ ng thng l giao tuyn ca hai mt phng (Q) v (R) Trang Bc Xỏc nh giao im H ca ng thng d vi mt phng (P), ú d l ng thng qua S v d song song vi ; 2.3 - CC V D MINH HA Trong cỏc t kim tra nh k, kim tra hc k, thi tt nghip THPT, thi tuyn sinh i hc, cao ng cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian thng c khai thỏc nhiu l hỡnh (khi) chúp v hỡnh (khi) lng tr Do ú cỏc vớ d sau õy ch yu s xoay quanh hai loi hỡnh (khi) chúp v hỡnh (khi) lng tr 3.1.Hỡnh (khi) chúp, lng tr cú mt cnh bờn vuụng gúc vi ỏy Vớ d 1: Cho t din ABCD cú cnh AD vuụng gúc vi mt phng (ABC); AC=AD=4cm, AB=3cm, BC=5cm Tớnh khong cỏch t A ti mp(BCD) ( thi i hc, Cao ng nm 2002-Khi D) Gii: + Gi I l hỡnh chiu ca A trờn BC Khi ú DI BC Suy ra: (ADI)(BCD) (*) Gi H l hỡnh chiu ca A trờn DI T (*) suy AH(BCD) Do ú d(A,(BCD))=AH Xột tam giỏc ADI vuụng ti A cú AH l ng cao nờn ta cú: 1 = 2+ (1) AH AI AD + Xột tam giỏc ABC cú BC2= AC2+ AB2 nờn tam giỏc ABC vuụng ti A cú AI l ng cao Do ú, ta cú: T (1) v (2), ta cú: 1 = + (2) 2 AI AB AC 1 1 1 1 = + + = 2+ 2+ 2 2 AH AB AC AD AH 4 34 Vy d( A,( BCD ) ) = AH = ( cm ) 17 Nhn xột: Bi toỏn ny cú th s dng phng phỏp ta hay phng phỏp Trang th tớch tớnh khong cỏch t im A n mp(BCD) Vớ d 2: Cho lng tr ABC.ABC cú di cnh bờn bng 2a, ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A, AB=a, AC=a v hỡnh chiu vuụng gúc ca nh A trờn mp(ABC) l trung im ca cnh BC Tớnh theo a th tớch chúp A'.ABC v tớnh cụsin gúc gia hai ng thng AA v BC ( thi i hc, Cao ng nm 2008-Khi A) Gii: + Gi H l trung im ca BC Khi ú AH(ABC) Theo gi thit, ta cú tam giỏc ABC vuụng ti A nờn BC=2a v AH = BC = a Xột tam giỏc AHA vuụng ti H nờn A ' H = a Do ú VA ' ABC a3 = S ABC A ' H = ( đvtt ) + Gi l gúc gia hai ng thng AA v BC Xột tam giỏc ABH vuụng ti A nờn BH=2a, ú tam giỏc BBH cõn ti B ã T ú, ta cú = B ' BH (vỡ AA//BB) Suy cos = Nhn xột: Bi toỏn ny cú th s dng phng phỏp ta gii 3.2.Hỡnh (khi) chúp, lng tr cú mt mt bờn vuụng gúc vi ỏy Vớ d 1: Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, mt bờn SAD l tam giỏc u v nm mt phng vuụng gúc vi ỏy Gi M, N, P l trung im ca SB, BC, CD Chng minh AM vuụng gúc vi BP v tớnh th tớch ca t din CMNP ( thi i hc, Cao ng nm 2007-Khi A) Gii: + Gi H l hỡnh chiu ca S trờn cnh AD Khi ú H l trung im ca AD v SH(ABCD) Trang SHBP (1) Trong hỡnh vuụng ABCD, ta cú BPHC (2) T (1) v (2), ta cú: BP(SHC)BPSC AN // HC M BP(AMN) MN // SC Vy BPAM (pcm) + Ta cú SH(ABCD) (SHB)(ABCD) v (SHB)(ABCD)=HB Do ú, ta gi K l hỡnh chiu ca im M trờn HB thỡ MK(ABCD) MK(CNP) Xột SAD u cnh a cú SH l ng cao nờn SH = a Xột SHB cú MK//SH (vỡ SH v MK cựng vuụng gúc vi (ABCD)) nờn MK = SH a = Do ú, ta cú VCPMN Vớ d 2: 1 a a SH a 3 = SCNP MK = ữ = ( đvtt ) 3 2 2 96 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh 2a, SA=a, SB = a v mp(SAB) vuụng gúc vi mt ỏy Gi M, N l trung im ca AB, BC Tớnh theo a th tớch ca chúp S.BMDN v tớnh cosin gúc gia hai ng thng SM v DN ( thi i hc, Cao ng nm 2008-Khi B) Gii: + Do ABCD l hỡnh vuụng nờn BDACBDMN Gi H l hỡnh chiu ca S trờn AB, ú SH(ABCD) Xột tam giỏc SAB cú AB = SA2 + SB tam giỏc SAB vuụng ti S; cú SH l ng cao ca tam giỏc SAB nờn 1 = + SH = a SH SA SB Trang Do vy, ta cú VS BMDN 1 a a = S BMDN SH = a 2.2a ữ = ( đvtt ) 3 + Trong mt phng (ABCD), ta k ng thng qua M song song vi DN ct AD ti E, ú SAAE v AE = ( a Gi l gúc gia hai ng thng SM ) ( ) ã ã v DN Khi ú = SM , DN = SM , ME Xột tam giỏc SAE vuụng ti A, nờn SE = SA2 + AE = a (1) Xột tam giỏc MAE vuụng ti A, nờn ME = MA2 + AE = a (2) a ã T (1) v (2), suy tam giỏc SME cõn ti E nờn = SME cos = a Vy cos = Vớ d 3: Cho hỡnh hp ng ABCD.A'B'C'D' cú ỏy l hỡnh vuụng, tam giỏc A'AC vuụng cõn, AC'=a Tớnh th tớch ca t din ABB'C' v khong cỏch t im A n mt phng (BCD ') theo a ( thi i hc nm 2012-Khi D) Gii: + Theo gi thit ABCD.A'B'C'D' l hỡnh hp ng cú ỏy l hỡnh vuụng, nờn ta cú BC(ABAB) Vỡ tam giỏc AAC vuụng cõn ti A nờn A ' A = AC = A ' C AC ' a a = = AB = A ' B ' = 2 2 1 a a a a3 Vy VABB ' C ' = S ABB ' B ' C ' = ữ = ( đvtt ) 3 2 2 48 + Do AD//BC(BCD)(BCDA) Xột hai mt phng (ABBA) v (BCDA) cú BC(ABBA) Trang 10 (ABBA)(BCDA) Gi H l hỡnh chiu ca im A trờn BA=(ABBA)(BCDA) Suy AH(BCDA) (BCD) Do ú, ta cú: d( A,( BCD ') ) = d( A,( BCD ' A ') ) = AH Xột tam giỏc ABA vuụng ti A cú AH l ng cao nờn 1 a = + 2 AH = AH AB AA ' a Vy d( A,( BCD ') ) = ( đvđd ) Vớ d 4: Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC nh S, cú di cnh ỏy bng a Gi M v N ln lt l trung im ca SB, SC Tớnh theo a din tớch tam giỏc AMN, bit rng mp(AMN) vuụng gúc vi mp(SBC) ( thi i hc, Cao ng nm 2002-Khi A) Gii: + Xột tam giỏc SBC cú MN l ng trung bỡnh nờn MN = a Gi E l trung im ca BC, gi I=MNSE Khi ú I l trung im ca MN v l trung im ca SE Do S.ABC l hỡnh chúp u nờn SAB = SAC AM=AN Do ú AIMN (1) Theo gi thit, ta cú (AMN)(SBC) (2) T (1) v (2), ta cú AI(SBC) AISE Nờn tam giỏc SAE cõn ti A Xột tam giỏc ABC u cnh a nờn cú ng cao AE = SA = SB = SC = a a Xột tam giỏc SEC vuụng ti E nờn SE = SC CE = a Trang 11 Xột tam giỏc AIE vuụng ti I nờn AI = AE IE = Vy S AMN a 10 1 a 10 a a 10 = AI MN = ( đvdt ) ữ = 2 16 3.3.Hỡnh (khi) chúp, lng tr cú hai mt ct cựng vuụng gúc vi ỏy Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v D; AB=AD= 2a , CD=a; gúc gia hai mt phng (SBC) v (ABCD) bng 600 Gi I l trung im ca cnh AD Bit hai mt phng (SBI) v (SCI) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABCD), tớnh th tớch chúp S.ABCD theo a ( thi i hc nm 2009-Khi A) Gii: + Ta cú (SBI) v (SCI) cựng vuụng gúc vi ỏy nờn SI(ABCD) Gi K l hỡnh chiu ca I trờn BC, ú ã SBC ( (ã ) , ( ABCD ) ) = SKI = 60 Ta cú S ABCD = 3a ; S ABI = a ; S ICD S IBC = S ABCD S IAB S ICD a2 = 3a = Gi F l trung im ca AB ú BC = DF = a 2S 3a Xột tam giỏc IBC, ta cú S IBC = BC.IK IK = IBC = BC ã Xột tam giỏc SIK vuụng ti I, ta cú: tan SIK = SI 3a 15 SI = IK tan 600 = IK 3a 15 Vy th tớch ca chúp S.ABCD l V = S ABCD SI = ( đvtt ) 3.4.Mt s bi toỏn khỏc v hỡnh (khi) a din liờn quan n hỡnh Trang 12 chiu Vớ d 1: Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC vi SA=2a, AB=a Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn cnh SC Chng minh SC vuụng gúc vi mt phng (ABH) Tớnh th tớch ca chúp S.ABH theo a ( thi i hc nm 2012-Khi B) Gii: + Gi O l hỡnh chiu ca S trờn mp(ABC), D l trung im ca cnh AB Khi ú O l trng tõm ca tam giỏc u ABC v DOAB AB DC AB ( SDC ) Do ú ABSC Ta cú AB SO SC AH SC ( ABH ) ( đpcm ) T ú, ta cú: SC AB + Xột tam giỏc SOC vuụng ti O, ta cú: SO = SC OC = Xột hai tam giỏc ng dng SOC # DHC Nờn DH = a 33 DH SO = DC SC SO.DC a 11 = SC Xột tam giỏc DHC vuụng ti H nờn HC = DC DH = SH = SC HC = Vy VS ABH a 7a 1 a 11 = S ABH SH = AB.DH SH = ( đvtt ) 3 96 Nhn xột: õy l bi toỏn v hỡnh chúp u nờn nú cú hỡnh chiu ca nh lờn mt ỏy trựng vi tõm ca ỏy Vớ d 2: Cho lng tr ABCD.A1B1C1D1 cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht, AB=a, AD = a Hỡnh chiu vuụng gúc ca im A1 trờn mt Trang 13 phng (ABCD) trựng vi giao im ca AC v BD Gúc gia hai mt phng (ADD1A1) v (ABCD) bng 600 Tớnh th tớch lng tr ó cho v khong cỏch t im B1 n mt phng (A1BD) theo a ( thi i hc nm 2011-Khi B) Gii: + Gi O=ACBD, ú A1O(ABCD) Gi E l hỡnh chiu ADD ( (ã A ) , ( ABCD ) ) = ãA EO = 60 1 ca O trờn AD Khi ú: Xột tam giỏc ABD cú OE l ng trung bỡnh nờn OE = AB a = 2 Xột tam ( giỏc A1OE vuụng ti O nờn ) AO tan ã 1EO = A1O = EO tan ( 600 ) = a A EO Do ú VABCD A1B1C1D1 3a = S ABCD A1O = AB AD A1O = ( đvtt ) + Ta cú B1C // A1D ( A1BD ) nờn d( B1 ;( A1BD ) ) = d( C ;( A1BD ) ) (1) Do A1O(ABCD) nờn (A1BD)(ABCD) Gi H l hỡnh chiu ca C trờn BD ú, ta cú: CH(A1BD) (2) T (1) v (2), ta cú: d( B1 ;( A1BD ) ) = CH Xột tam giỏc BCD vuụng ti C cú CH l ng cao nờn CH = 1 = + 2 CH CB CD a a Vy d( B ;( A BD ) ) = CH = 1 Vớ d 3: Cho hỡnh chúp S.ABC nh S, ỏy l tam giỏc cõn vi AB=AC=3a,BC=2a Bit rng cỏc mt bờn (SAB), (SBC), (SCA) hp vi Trang 14 mt ỏy (ABC) mt gúc 600 K ng cao SH ca hỡnh chúp a) Chng minh rng H l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ABC v SABC b) Tớnh th tớch ca chúp S.ABC ( thi i hc Quc gia H Ni nm 2001) Gii: a) + Gi H l hỡnh chiu ca im S trờn mp(ABC) Gi I, J, K ln lt l hỡnh chiu ca S trờn cỏc cnh AB, BC, CA T ú, suy ra: HIAB, HJBC, HKCA; gúc ca cỏc mt bờn (SAB), (SBC), (SCA) vi mt ỏy ã ã ã ã ã ã (ABC) ln lt l SIH , SJH , SKH v SIH = SJH = SKH = 600 Xột tam giỏc SHI vuụng ti H, ta cú: HI = SH cot 600 (1); Xột tam giỏc SHJ vuụng ti H, ta cú: HJ = SH cot 600 (2); Xột tam giỏc SHK vuụng ti H, ta cú: HK = SH cot 600 (3); T (1), (2) v (3), ta cú: HI=HJ=HK hay H l tõm ng trũn ni tip ca tam giỏc ABC (pcm) Do tam giỏc ABC cõn ti A nờn ba im A, H, J thng hng, suy ra: AHBC AH BC BC(SHA) Suy ra: BCSA (pcm) BC SH T ú, ta cú b) Ta cú ABC l tam giỏc cõn ti A nờn AJ va l trung tuyn va l ng cao ca tam giỏc ABC, ú JA = T ú S ABC = AB BJ = 2a BC AJ = 2a 2 Chu vi ca tam giỏc ABC l 2p=AB+BC+CA=8ap=4a Ta cú SABC = p.HJ HJ = SABC a = p Xột tam giỏc SHJ vuụng ti H, ta cú HS = JH tan 600 HS = Vy th tớch ca chúp S.ABC l VS ABC a 2a 3 = SABC HS = ( đvtt ) 3 Trang 15 Nhn xột: õy l bi toỏn v hỡnh chúp cú cỏc mt bờn to vi mt ỏy cỏc gúc bng nờn nú cú hỡnh chiu ca nh lờn mt ỏy l tõm ca ng trũn ni tip a giỏc ỏy Trang 16 2.4 - BI TP Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB=a, AD = a , SA=a v SA vuụng gúc vi mt phng (ABCD) Gi M v N ln lt l trung im ca AD v SC; I l giao im ca BM v AC Chng minh rng mt phng (SAC) vuụng gúc vi mt phng (SMB) Tớnh th tớch ca t din ANIB ( thi i hc, Cao ng nm 2006-Khi B) Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B, BA = 3a, BC = 4a; mt phng (SBC) vuụng gúc vi mt phng (ABC) Bit SB = 2a v ã SBC = 300 Tớnh th tớch chúp S.ABC v khong cỏch t im B n mt phng (SAC) theo a ( thi i hc nm 2011-Khi D) Cho lng tr ng ABC.A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng, AB=BC=a, cnh bờn AA ' = a Gi M l trung im ca cnh BC Tớnh theo a th tớch ca lng tr ABC.A'B'C' v khong cỏch gia hai ng thng AM, B'C ( thi i hc, Cao ng nm 2008-Khi D) Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a Gi E l im i xng ca D qua trung im ca SA, M l trung im ca AE, N l trung im ca BC Chng minh MN vuụng gúc vi BD v tớnh (theo a) khong cỏch gia hai ng thng MN v AC ( thi i hc, Cao ng nm 2007-Khi B) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, cnh bờn SA=a; hỡnh chiu vuụng gúc ca nh S trờn mt phng (ABCD) l im H thuc on AC, AH = AC Gi CM l ng cao ca tam giỏc SAC Chng minh M l trung im ca SA v tớnh th tớch t din SMBC theo a ( thi i hc nm 2010-Khi D) Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.A'B'C' cú BB'=a, gúc gia ng thng BB' v ã mt phng (ABC) bng 600; tam giỏc ABC vuụng ti C v BAC = 600 Hỡnh chiu vuụng gúc ca im B' lờn mt phng (ABC) trựng vi trng tõm ca tam giỏc ABC Tớnh th tớch t din A'ABC theo a ( thi i hc, Cao ng nm 2007-Khi B) Trang 17 Phn - KT LUN KIN NGH xut-Kin ngh ti ng dng ca phng phỏp xỏc nh hỡnh chiu mt im lờn mt phng gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian cỏc thi i hc ó cp n ng dng ca ba bi toỏn c bn v xỏc nh hỡnh chiu ca mt im lờn mt phng tớnh th tớch ca a din, tớnh khong cỏch v gúc Tuy nhiờn, tớnh th tớch ca a din, tớnh khong cỏch v gúc li phong phỳ, a dng v c khai thỏc nhiu cỏc t kim tra, thi tt nghip, thi tuyn sinh i hc, cao ng Do ú chỳng ta cn thit dy k cho hc sinh k nng xỏc nh hỡnh chiu ca mt im lờn mt phng t lp 11 m khụng phi i n lp 12 mi dy Kt lun Qua ti ng dng ca phng phỏp xỏc nh hỡnh chiu mt im lờn mt phng gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian cỏc thi i hc ó gii thiu c ng dng ca ba bi toỏn c bn v xỏc nh hỡnh chiu ca mt im lờn mt phng tớnh th tớch ca a din, tớnh khong cỏch v gúc Cỏc dng toỏn liờn quan n th tớch ca a din, tớnh khong cỏch v gúc l ch c quan tõm, khai thỏc nhiu qua cỏc t kim tra v thi c Trong vit ti ny, tụi chõn thnh cỏm n quý ng nghip, c bit l cỏc giỏo viờn t ó ng viờn v úng gúp nhiu ý kin quý bỏu ti c hon thnh Rt mong quý thy cụ t v ng nghip vui v úng gúp ý kin cỏc ti ln sau tụi vit c tt hn Mt ln na tụi chõn thnh cỏm n! Vinh Xuõn, thỏng 03 nm 2013 Ngi thc hin Trang 18 DANH MC TI LIU THAM KHO Hỡnh hc 11, nxb GD 2007 Hỡnh hc Nõng cao 11, nxb GD 2007 www.moet.edu.vn Trang 19 PHN NH GI V XP LOI CA HI NG XẫT SNG KIN KINH NGHIM CA TRNG THPT VINH XUN (Ch tch H xp loi, ký v úng du) Xp loi: Vinh Xuõn, ngy thỏng .nm CH TCH HI NG PHN NH GI V XP LOI CA HI NG XẫT SNG KIN KINH NGHIM S GD&T THA THIấN HU