Danh mục ký hiệu, từ viết tắt R Tập hợp số thực N Tập hợp số tự nhiên C Tập hợp số phức Rn Không gian Euclide n chiều Ck Không gian hàm có đạo hàm cấp k liên tục ||.|| Chuẩn Euclide x ˙ Đạo hàm cấp hàm x theo biến độc lập (t) Df Ma trận Jacobi hàm véc tơ f O(ε) Vô bé bậc cao ε ε → ∞ Nr (i, j) Lân cận bán kính r Cell C(i, j) CNN chiều J k f (t) Toán tử tích phân Riemann-Liouville bậc k Dα f (t) Toán tử đạo hàm cấp phân số α theo định nghĩa LHD α D∗ f (t) Toán tử đạo hàm cấp phân số α theo định nghĩa RHD Γ(z) Hàm Gamma B(p, q) Hàm Beta Lf (t) Phép biến đổi Laplace f (t) ∗ g(t) Tích chập Laplace hai hàm Eα,β (z) Hàm Mittag-Leffler với hai tham số α, β arg(λ) Acgument số phức λ Lf h (x) Đạo hàm Lie sign(x) Hàm dấu viii CNN Mạng nơ ron tế bào LHD Định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo cách từ bên trái RHD Định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo cách từ bên phải otonom Hệ phi tuyến x = f (x) có vế phải không phụ thuộc ˙ trực tiếp vào biến t, hay gọi hệ tự trị non-otonom Hệ phi tuyến x = f (t, x) có vế phải phụ thuộc trực ˙ tiếp vào biến t, hay gọi hệ không tự trị Cell (tế bào) Một đơn vị xử lý CNN SC-CNN State Controled CNN - CNN điều khiển trạng thái NPCR Number of Pixels Change Rate - Độ đo phần trăm số pixel thay đổi ảnh rõ khoá thay đổi UACI Unified Averaged Changed Intensity - Độ đo cường độ thay đổi trung bình thống hai ảnh LTI Linear time independent - Hệ tuyến tính bất biến thời gian CT1, CT2, Nói đến công trình thứ nhất, thứ danh mục công trình công bố luận án ix Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh sách hình ii Danh sách bảng v Danh mục ký hiệu, từ viết tắt viii Chương MỞ ĐẦU 1.1 Tổng quan lý thuyết hỗn loạn, CNN hỗn loạn ứng dụng mã hoá, bảo mật truyền thông 1.1.1 Tình hình nghiên cứu giới 1.1.2 Tình hình nghiên cứu nước 1.2 Mục đích đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài 10 1.3 Phương pháp nghiên cứu 11 1.4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài 12 1.5 Bố cục luận án 12 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 14 2.1 Hệ động lực phi tuyến 14 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 Nghiệm cân bằng, ổn định Phương pháp Lyapunov Hỗn loạn Số mũ Lyapunov 2.2 Mạng nơ ron tế bào 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Phương trình vi phân mô tả CNN 2.2.3 Sự ổn định CNN 2.3 Giải tích cấp phân số 2.3.1 Các hàm số liên quan x 15 16 20 21 23 23 26 29 31 32 2.3.2 Định nghĩa tích phân, đạo hàm cấp phân số 2.3.3 Phương pháp gần giải phương trình vi phân cấp phân số 2.3.4 Hệ động lực cấp phân số 2.4 Một số kiến thức khác điều khiển 35 39 41 43 2.4.1 Ổn định thời gian hữu hạn 2.4.2 Điều khiển đồng hỗn loạn 43 46 Chương CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU HÀNH VI HỖN LOẠN CỦA CNN 51 3.1 Nghiên cứu CNN hỗn loạn bậc phân số 51 3.2 Đồng CNN hỗn loạn 60 3.2.1 Đồng CNN hỗn loạn với ma trận mẫu trạng thái chưa biết 3.2.2 Đồng đầu CNN hỗn loạn thông qua toán so khớp mô hình 3.2.3 Đồng CNN hỗn loạn bậc phân số 3.3 Điều khiển, đồng thời gian hữu hạn 88 3.3.1 Điều khiển ổn định thời gian hữu hạn với tham số chắn 3.3.2 Điều khiển ổn định thời gian hữu hạn với tham số không chắn 3.3.3 Điều khiển đồng thời gian hữu hạn với tham số không chắn 3.4 So sánh đánh giá kết 60 77 86 90 94 97 103 Chương ỨNG DỤNG CNN HỖN LOẠN TRONG BẢO MẬT TRUYỀN THÔNG ẢNH 106 4.1 Mô hình đề xuất 106 4.2 Mô phân tích bảo mật 112 Kết luận chung 119 Danh mục công trình công bố 121 Tài liệu tham khảo 123 xi Chương MỞ ĐẦU Chương cung cấp nhìn tổng quan lịch sử hình thành phát triển lý thuyết hỗn loạn hệ động lực phi tuyến nói chung; Mạng nơ ron tế bào hành vi hỗn loạn mạng nơ ron tế bào nói riêng; Mối liên hệ hỗn loạn mã hoá, bảo mật truyền thông; Xác định mục đích phạm vi nghiên cứu, ý nghĩa khoa học thực tiễn số kết đạt đề tài 1.1 1.1.1 Tổng quan lý thuyết hỗn loạn, CNN hỗn loạn ứng dụng mã hoá, bảo mật truyền thông Tình hình nghiên cứu giới a, Lịch sử hình thành phát triển lý thuyết hỗn loạn Sir Isaac Newton mang đến cho giới ý tưởng mô hình hoá vận động hệ thống vật lý phương trình vi phân Đó điều quan trọng để phát minh phép tính chuyển động, từ phương trình đến vận tốc, gia tốc chuyển động liên quan đến đạo hàm cấp vị trí Phương pháp ông đến sử dụng để mô hình hoá toán học vận động nói chung làm thay đổi nhiều lĩnh vực khoa học Sau nhà khoa học tiếp tục mở rộng phương pháp sử dụng phương trình vi phân để mô tả vận động, phát triển hệ thống Khi tìm nghiệm hiểu tính chất nghiệm, chúng thường mô tả hai loại chuyển động phổ biến Nếu nghiệm miền bị chặn không gian trạng thái hành vi dẫn tới là: A- trạng thái ổn định, thường lượng hay tiêu tán ma sát; Hoặc B- dẫn tới dao động, tuần hoàn bán tuần hoàn, giống lắc đồng hồ hay chuyển động mặt trăng hành tinh Bên cạnh đó, nhà khoa học biết đến hệ thống có hành vi phức tạp hơn, nồi nước sôi, phân tử khí va chạm phòng Rõ ràng tồn loại chuyển động thứ ba phức tạp nhiều hai loại phổ biến Tuy nhiên, dù ghi nhận tồn song thời gian dài phức tạp loại chuyển động khó để quan sát, mô tả nghiên cứu Một số nhà toán học vật lý quen thuộc với tồn loại chuyển động thứ ba James Clerk Maxwell, người nghiên cứu chuyển động phân tử khí từ năm 1860, nhận thức hệ thống bao gồm hai hạt khí va chạm hộp kín có chuyển động loại A B, hành vi thời gian dài chuyển động đoán trước Ông ý thức thay đổi nhỏ vị trí ban đầu hạt dẫn đến thay đổi to lớn quỹ đạo phân tử Henri Poincare năm 1890 nghiên cứu hệ đơn giản gồm ba vật thể tương tác hệ mặt trời (Bài toán ba vật thể) kết luận chuyển động vô phức tạp phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu Nghiên cứu ông toán ba vật thể áp dụng cho loạt hệ thống vật lý sau Các đóng góp quan trọng tiếp tục thực Birkhoff, Cartwright, Littlewood, Levinson, Kolmogorov Năm 1963, Edward Lorenz (Viện công nghệ Massachusetts) báo "Deterministic Nonperiodic Flow - Luồng phi tuần hoàn tất định"[42] trình bày tính chất động lực bất ổn định mô hình dự báo thời tiết liên quan đến phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu Lorenz mô khí hệ 12 phương trình vi phân Để kiểm tra chuỗi liệu có độ dài lớn hơn, thay bắt đầu lại, Lorenz bắt đầu mô chừng Ông nạp điều kiện ban đầu tương ứng với bước Ông chạy mô sau quay lại ông nhận thấy trình tự tiến hoá nghiệm khác so với kết chạy từ đầu Máy tính Lorenz có độ xác sáu chữ số thập phân vào thời điểm đó, nhiên ông nạp điều kiện ban đầu với ba số thập phân nghĩ phần lại có sai số không đáng kể Nhưng sai khác nhỏ đưa đến kết khác hoàn toàn so với dự kiến Hiện tượng trở nên tiếng với tên gọi "Hiệu ứng bướm" Vùng hút Lorenz trở thành biểu tượng lý thuyết hỗn loạn sinh với nó, lĩnh vực khoa học động, quan tâm nghiên cứu ngày Vào năm 1975, sau khoảng ba kỷ nghiên cứu, nhiều nhà khoa học giới nhận thức tồn cần thiết nghiên cứu loại chuyển động thứ - loại C, gọi hỗn loạn ngày Loại chuyển động không ổn định, đơn giản bán tuần hoàn với số chu kỳ lớn không thiết phải lượng lớn biến tương tác Hành vi xảy hệ đơn giản Người đưa từ "CHAOS - HỖN LOẠN" Tien-Yien Li James A Yorke (Đại học Maryland) báo "Period three implies chaos - Hệ tồn ba chu kỳ nghĩa hỗn loạn" [39] Ngoài phải kể đến đóng góp lý thuyết KolmogorovArnold-Moser (KAM theory) [73] liên quan đến tính phi tuyến hỗn loạn hệ Hamilton, hệ giới thiệu D.Ruelle F Takens cho mở rộng tính bất ổn định ghi nhận hành vi hỗn loạn, khám phá tính chất hỗn loạn lớp hàm Logistic M.J.Feigenbaum, P Coullet C Trensser; Lý thuyết Ergodic trơn Ya B Pesin D.Ruelle nhấn mạnh đến Entropy số mũ Lyapunov tiêu chuẩn hành vi hỗn loạn [44] Ngày nay, nhà khoa học nhận hành vi hỗn loạn quan sát thí nghiệm mô hình có từ nhiều lĩnh vực khoa học Đó tượng xảy mô hình phi tuyến, hành vi A hay B, nhạy cảm với điều kiện ban đầu, hoà trộn topo, có quỹ đạo tuần hoàn trù mật Hiện tượng hỗn loạn trở thành phổ biến cho thí nghiệm mà trước hành vi bất thường cho lỗi thử nghiệm nhiễu, đánh giá lại giải thích thuật ngữ kiến thức Tóm lại hiểu biết hỗn loạn kiến thức trước tạo thành tập hợp nguyên tắc thống mà gọi Lý thuyết hệ động lực Nó trở thành lĩnh vực nghiên cứu quan trọng toán học ứng dụng nhiều ngành khoa học khác vật lý, hệ sinh học, kinh tế, hoá học, khoa học máy tính [47], [67], [69] Hệ động lực phi tuyến nói chung lý thuyết hỗn loạn nói riêng môn học bắt buộc khoa toán khoa kỹ thuật nhiều trường đại học hàng đầu giới, từ Stanford đến Harvard Rất nhiều trung tâm nghiên cứu lớn lý thuyết hỗn loạn trường đại học, viện nghiên cứu tập đoàn công nghệ tiếng, tham khảo http://www.cns.gatech.edu/centers/ Một số tạp chí danh mục ISI chuyên đăng nghiên cứu hỗn loạn: REGULAR & CHAOTIC DYNAMICS (Springer), CHAOS SOLITONS & FRACTALS (Elsevier), CHAOS (AIP), INTERNATIONAL JOURNAL OF BIFURCATION AND CHAOS (Worldscientific) Ngoài có nhiều tạp chí liên quan đến hệ phi tuyến, ứng dụng toán học, vật lý v.v hàng năm đăng tải hàng nghìn báo hỗn loạn lĩnh vực liên quan, tìm sở liệu khoa học (MathSciNet, EMIS, ) b, Mạng nơ ron tế bào hành vi hỗn loạn Mạng nơ ron tế bào (CNN-Cellular Neural Network) giới thiệu Leon Chua Lin Yang năm 1988 [12] Nó hệ thống xử lý thông tin tín hiệu bao gồm số lượng lớn phần tử xử lý tương tự đơn giản, gọi tế bào, kết nối địa phương với thực xử lý song song để giải nhiệm vụ tính toán định Ý nghĩa quan trọng phân biệt CNN với mạng nơ ron khác liên kết địa phương tế bào Đây lợi lớn làm cho mô hình CNN thích hợp cho việc thực mạch công nghệ có Từ phát minh, có nhiều ứng dụng CNN giới thiệu, đặc biệt nhiệm vụ xử lý ảnh [13], [18], [23] Năm 1993, Chua Roska diễn giải CNN theo nghĩa Cellular Nonlinear Network [14] Bằng cách này, mô hình ban đầu mở rộng sử dụng để tạo tín hiệu hỗn loạn siêu hỗn loạn, nhận dạng mẫu tĩnh động, tạo sóng sóng xoắn ốc tự động, hỗn loạn theo không gian-thời gian [80] Từ quan điểm kỹ thuật, CNN đặc trưng mạng bao gồm kết nối địa phương hệ động lực phi tuyến để tạo hành vi định để xử lý thông tin Theo đó, hướng nghiên cứu hành vi động lực khả tạo tín hiệu hỗn loạn hệ phi tuyến CNN có nhiều kết báo cáo [9], [19], [29], [30], [40], [48], [62], [68] , [70], [78], [83] Các kết thường tập trung vào việc điều chỉnh tham số xem xét thay đổi giá trị riêng ma trận hệ số hệ tuyến tính hoá, quan sát biểu đồ rẽ nhánh, tính toán số mũ Lyapunov; Qua nhận thấy thay đổi hành vi động lực học hệ kết luận với tham số hệ có hành vi trạng thái hỗn loạn Ngoài việc nghiên cứu CNN hệ động lực phi tuyến với bậc nguyên, có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu hành vi hỗn loạn CNN bậc phân số Mặc dù giải tích bậc phân số biết đến phần toán học tuý từ ba kỷ Nhưng ứng dụng hệ động lực bậc phân số khoa khọc kỹ thuật quan tâm nghiên cứu gần [21], [45] Các nghiên cứu hệ động lực bậc phân số mô xác nhiều tượng tự nhiên kỹ thuật với hành vi phức tạp Với hệ hỗn loạn bậc phân số, lúc người ta lại quan tâm đến cấp phân số đạo hàm hệ phương trình trạng thái Việc khảo sát hệ đòi hỏi công cụ toán học phức tạp giải tích bậc phân số [22], [28], phương pháp số tìm nghiệm hệ phương trình vi phân bậc phân số [6], tính số mũ Lyapunov hệ hỗn loạn bậc phân số [20] Đối với CNN, Arena người nghiên cứu tượng rẽ nhánh hỗn loạn CNN bậc phân số [5] Sau đó, Ivo Petras ý nghĩa số ý CNN bậc phân số [49] Trong [35], tượng hỗn loạn CNN cell bậc phân số báo cáo Mô hình CNN cell bậc phân số nghiên cứu [10], [11] c, Hỗn loạn mã hoá KẾT LUẬN CHUNG Trên sở nghiên cứu theo hướng chuyên ngành đăng ký, luận án nghiên cứu đạt số kết sau (1) Nghiên cứu hệ phi tuyến CNN CNN cấp phân số Sử dụng công cụ toán học để khảo sát hành vi động học nói chung hành vi hỗn loạn nói riêng CNN, từ đề xuất bậc đạo hàm phân số đảm bảo CNN có hành vi hỗn loạn (2) Đề xuất số luật điều khiển giải toán đồng hỗn loạn CNN với CNN, CNN với hệ hỗn loạn khác Đã tổng quát hoá số toán trước quan tâm giải bổ sung giả thiết cho toán gần với mô hình thực tế (có nhiều tham số bất định, có nhiễu) (3) Sử dụng phương pháp tuyến tính hoá toàn bộ, phương pháp giải toán so khớp mô hình lý thuyết điều khiển để giải toán đồng đầu hai hệ hỗn loạn Bài toán đồng CNN hỗn loạn cấp phân số giải (4) Trên sở lý thuyết giải toán đồng bộ, luận án xây dựng mô hình sử dụng đồng CNN hỗn loạn bảo 119 mật truyền thông ảnh Mô hình phân tích, so sánh đảm bảo hiệu bảo mật Trên sở kết đạt được, luận án mở số hướng nghiên cứu lý thuyết hỗn loạn nói chung CNN hỗn loạn nói riêng • Nghiên cứu sâu hệ động lực cấp phân số ứng dụng • Nghiên cứu phát triển thuật toán tính số mũ Lyapunov cho hệ động lực cấp phân số cải thiện thời gian độ phức tạp • Nghiên cứu ứng dụng hỗn loạn phân tích chuỗi thời gian kinh tế nói chung • Hoàn thiện cứng hoá thuật toán mã hoá bảo mật truyền thông ảnh đề xuất 120 Danh mục công trình công bố Đàm Thanh Phương, Phạm Thượng Cát, Điều khiển thích nghi đồng mạng nơron tế bào hệ hỗn loạn Chen với tham số bất định, Tuyển tập công trình khoa học hội nghị điện tử toàn quốc lần thứ (VCM2012), pp 307-312, 2012 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng, Thuật toán mã hoá ảnh dựa đồng thích nghi hai hệ hỗn loạn khác nhau, Tạp chí KHCN Đại học Thái Nguyên, Vol 106, No 6, pp 111-119, 2013 Đàm Thanh Phương, Phạm Thượng Cát, Đồng thích nghi hệ CNN hỗn loạn ứng dụng bảo mật truyền thông, Tạp chí Tin học Điều Khiển học, Vol 29, No 3, pp 221-231, 2013 Đàm Thanh Phương, Phạm Thượng Cát, Phạm Đức Long, Đồng đầu mạng nơron tế bào hỗn loạn thông qua toán so khớp mô hình ứng dụng bảo mật truyền thông, Tuyển tập công trình khoa học hội nghị toàn quốc lần thứ ĐK&TĐH (VCCA2013), pp 477-484, 2013 (Giải nhì báo hay hội nghị) Dam Thanh Phuong, Pham Thuong Cat, Finite time control of Chaotic Cellular Neural Network with uncertain parameters, Applied Mathe- 121 matical Sciences, Vol 8, No 68, pp 3393-3403, 2014 (SCOPUS, H index: 21) Đàm Thanh Phương, Đồng thời gian hữu hạn mạng nơron tế bào hệ hỗn loạn thống với tham số bất định, Chuyên san điều khiển tự động hoá - Tạp chí tự động hoá ngày nay, No 11, pp 12-18, 2014 Đàm Thanh Phương, Phạm Thượng Cát, Đồng lớp mạng nơron tế bào tổng quát có nhiễu ngoài, nhiều tham số bất định ứng dụng, Kỷ yếu hội thảo Một số vấn đề chọn lọc CNTT&TT lần thứ 17, pp 69-76, 2014 Phuong Dam Thanh, Cat Pham Thuong, Adaptive Synchronization of Chaotic SC-CNN with Uncertain State Template, Mathematical Problems in Engineering, http://dx.doi.org/10.1155/2015/909680, 2015 (SCIE, IF=0.762(2015)) Phuong Dam Thanh, Cat Pham Thuong, Chaos in the fractional order Cellular Neural Network and its sychronization, Proc of 15th International Conference on Control, Automation and Systems (ICCAS 2015), pp 161-166 , 2015 122 Tài liệu tham khảo [1] M P Aghababa, A novel adaptive finite-time controller for synchronizing chaotic gyros with nonlinear inputs, Chin Phys B Vol 20, No 9, 090505 1-6, 2011 [2] M P Aghababa, H P Aghababa, A general nonlinear adaptive control scheme for finite-time synchronization of chaotic systems with uncertain parameters and nonlinear inputs, Nonlinear Dyn, Vol 69, pp 1903-1914, 2012 [3] Gonzalo Alvarez and Shujun Li, Some basic cryptographic requirements for chaos-based cryptosystems, International Journal of Bifurcation and Chaos, vol 16, No 8, pp 2129-2151, 2006 [4] P Arena, S Baglio, L Fortuna, G Manganaro, “Dynamics of state controlled CNNs”, Proc Int Conf Circuits and Systems (ISCAS), pp 56-59, 1996 [5] P Arena, R Caponetto, L Fortuna and D Porto, Bifurcation and chaos in noninteger order cellular neural networks, International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol 8, No 7, pp 1527-1539, 1998 [6] Ali H Assi (Edited) Engineering education and research using MATLAB - Chapter 10 and 19, InTech Publishing, 2011 123 [7] S Behnia, A Akhshani, H Mahmodi, A novel algorithm for image encryption based on mixture of chaotic map, Chaos, Solitons and Fractals, Vol 35, pp 408-419, 2008 [8] Sanjay P Bhat and Dennis S Bernstein, Finite time stability of continuous autonomous systems, SIAM Journal on Control and Optimization, Vol 38, No 3, 2000 [9] M Biey, M Gilli and P Checco, Bifurcation processes and chaotic phenomena in cellular neural networks, Proc of European Conference on Circuit Theory and Design, pp 89-92, 2001 [10] R Caponetto, L Fortuna, M Lavorgna, D Porto, Design of a chaotic generator using two CNN cells having non-integer order, Proc of IEEE International Symposium on Circuits and Systems, pp 233-236, 2000 [11] Vedat Celik and Yakup Demir, Chaotic fractional order delayed cellular neural network, New Trends in Nanotechnology and Fractional Calculus Applications, pp 313-320, Springer, 2010 [12] Leon Chua, L Yang, Cellular neural networks: theory, IEEE Trans Circuits Syst, Vol 35, No 10, pp 1257-1272, 1988 [13] Leon Chua and Lin Yang, Cellular neural networks: Applications, IEEE Trans Circuit Systems Vol 35, No.10, pp 1272-1290, 1988 [14] Leon Chua and Tamas Roska, The CNN paradigm, IEEE Trans Circuits Syst, Vol 40, No 3, pp 147-156, 1993 [15] C J Cheng and C B Cheng, An asymmetric image cryptosystem based on the adaptive synchronization of an uncertain unified chaotic system 124 and a cellular neural network, Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, Vol 18, pp 2825–2837, 2013 [16] Guanrong Chen and Tetsushi Ueta, Yet another chaotic atractor, International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol No.7, pp 14651466, 1999 [17] YangQuan Chen, Ivo Petras and Dingyu Xue, Fractional order control - A tutorial, Proc of American Control Conference, pp 1397-1411, 2009 [18] Valerio Cimagalli and Marco Balsi, Cellular neural networks: A review, Proc of Sixth Italian Workshop on Parallel Architectures and Neural Networks, pp 1-31, 1993 [19] Pritha Das and Amitava Kundu, Bifurcation and chaos in delayed cellular neural network model, Journal of Applied Mathematics and Physics, Vol 2, pp 219-224, 2014 [20] Marius F Danca, Lyapunov exponents of a class of piecewise continuous systems of fractional order, Nonlinear Dyn, Doi 10.1007/s11071015-1984-6, 2015 [21] Lokenath Debnath, Recent applications of fractional calculus to science and engineering, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Vol 2003, Issue 54, pp 3413-3442, 2003 [22] Kai Diethelm, Analysis of fractional differential equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 265, pp 229–248, 2002 [23] Radu Dogaru and Leon Chua, Universal CNN cells, International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol 9, No , pp.1-48, 1999 125 [24] Peter Dorato, An Overview of finite-time stability, Current Trends in Nonlinear Systems and Control, Part 2, pp 185-194, Birkhauser Boston Publishing, 2006 [25] Glenn Elert, The chaos hypertexbook, http://hypertextbook.com/chaos [26] M Forti, M Manetti, M Marini, E Panti, A topological approach to analyze equilibrium configurations of neural network circuits, Proc of 37th Midwest Simposium on Circuits and Systems, pp 614-617, 1994 [27] Ramazan Gencay and W David Dechert, An algorithm for the n Lyapunov exponents of an n-dimensional unknown dynamical system, Physica D, Vol 59, pp.142-157, 1992 [28] Varsha D Gejji and A Babakhani, Analysis of a system of fractional differential equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 293, pp 511–522, 2004 [29] M Gilli, F Corinto, M Biey and P.P Civalleri On the dynamic behavior of cellular neural networks, Proc of the IEEE International Joint Conference on Neural Networks, pp 1936 - 1941, 2002 [30] L Goras, R Ghinea, T Dinu and T David, On the dynamics of a class of cellular neural networks, Proc of the IEEE International Workshop Cellular Neural Networks and Their Applications, pp 92-97, 2002 [31] Giuseppe Grassi and Saverio Masocolo, Synchronization hight dimensional chaotic systems via eigenvalue placement with applications to Cellular Neural Networks, International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol 9, No 4, pp 705–711, 1999 126 [32] H S Guerrero, C Hernandez, R.M L Gutierrez, L C Avendano, R A C Perez, Chaotic Synchronization in nearest-neighbor coupled networks of 3D CNNs, Journal of Applied Research and Technology, Vol 11, pp 26-41, 2013 [33] C Guzelis, L.O Chua, Stability analysis of generalized CNN, Int J Circuit Theory Appl 21, 1-33, 1993 [34] J.J Hopfield, Neurons with graded response have collective computational properties like those of two-state neurons, Proc of the National Academy of Sciences, USA, Vol 81, pp 3088-3092, 1984 [35] Xia Huang, Zhao Zhao, Zhen Wang and Yuxia Li, Chaos and hyperchaos in fractional-order cellular neural networks, Neurocomputing, Vol 94, pp 13-21, 2012 [36] G Kamenkov, On stability of motion over a finite interval of time, Journal of Applied Math and Mechanics, Vol 17, pp 529–540, 1953 [37] L Kocarev, Chaos-based cryptography: a brief overview, IEEE Circuits and Systems Magazine, Vol 1, Issue 3, pp 6-21, 2001 [38] A Lebedev, The problem of stability in a finite interval of time, Journal of Applied Math and Mechanics, Vol 18, pp 75–94, 1954 [39] Tien Yien Li and James A Yorke, Period three implies chaos, The American Mathematical Monthly, Vol 82, No 10, pp 985-992, 1975 [40] Song Sun Lin, Wen Wei Lin and Ting Hui Yang, Bifurcations and chaos in two-cells Cellular neural networks with periodic inputs, International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol 14, Issue 09, pp 1-49, 2004 127 [41] Guo D Li, Guo M Zhao, Wen X Xu and Sheng Z Yao, Research on application of image encryption technology based on chaotic of cellular neural network, Journal of Digital Information Management, Vol 12, No 2, pp 151-158, 2014 [42] Edward Lorenz, Deterministic Nonperiodic Flow, Journal of the Atmospheric Sciences, Vol 20, pp 130-141, 1963 [43] Jinhu Lu, Guanrong Chen, Daizhan Cheng, Sergej Celikovsky, Bridge the gap between the Lorenz system and the Chen system, International Journal of Bifurcation and Chaos Vol 12, No.2, pp 2917-2926, 2002 [44] Marian Gidea and Constantin P Niculescu Chaotic dynamical systems an introduction, Craiova Universitaria Press, 2002 [45] Radek Matusu, Application of fractional order calculus to control theory, International Journal of Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, Vol 5, Issue 7, pp 1162-1169, 2011 [46] D Lopez-Mancilla and C Cruz-Hernandez, Output synchronization of chaotic systems: Model-matching approach with Application to Secure Communication, Nonlinear Dynamics and Systems Theory, Vol 5, No 2, pp 141-156, 2005 [47] Philip Mirowski From mandelbrot to chaos in economic theory, Southern Economic Journal, Vol 57, Issue 2, pp 289-307, 1990 [48] Istvan Petras and Marco Gilli, Complex dynamics in one-dimensional CNNs, International Journal of Circuit Theory and Applications, Vol 34, Issue 1, pp 3-20, 2006 128 [49] Ivo Petras, A Note on the fractional-order cellular neural networks, Proc of International Joint Conference on Neural Networks, pp 10211024, 2006 [50] Louis M Pecora and Thomas L Carroll, Synchronization in chaotic systems, Physica Review Letters, Vol 64, No 8, pp 821-825, 1990 [51] Louis M Pecora, Thomas L Carroll, Gregg A Johnson, and Douglas J Mar, Fundamentals of synchronization in chaotic systems, concepts, and applications, Chaos, Vol 7, No 4, pp 520-543, 1997 [52] Jun Peng and Du Zhang, Image encryption and chaotic cellular neural network, Machine Learning in Cyber Trust, Chapter 8, Springer, 2009 [53] A Pikovsky , M G Rosenblum, and J Kurths, Phase synchronization in regular and chaos systems, International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol 10, No 10, pp 2291-2305, 2000 [54] Tang Qian and Wang Xing Yuan, Chaos control and synchronization of cellular neural network with delays based on OPNCL control, Chin Phys Lett, Vol 26, No 3, pp 1-4, 2010 [55] Tao Ren, Zhi L Zhu and Hai Yu, Design of finite-time synchronization controller and its application to security communication System, AppliedMathematics & Information Sciences, Vol 8, No 1, pp 387-391, 2014 [56] David J Rijlaarsdam and Valeri M Mladenov, Synchronization of chaotic cellular neural networks based on Rossler cells, Proc of IEEE Seminar on Neural Network Applications in Electrical Engineering, pp 41-43, 2006 129 [57] R Rhouma, S Meherzi, S Belghith, OCML-based colour image encryption, Chaos, Solitons Fractals, Vol 40, No 1, pp 309-318, 2008 [58] Michael T Rosenstein, James J Collins and Carlo J De Luca, A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets, Physica D, Vol 65, Issues 1-2, pp 117-134, 1993 [59] T Roska, L.O Chua, Cellular neural networks with nonlinear and delay type template elements, Int J Circuit Theory Appl 20, 469481, 1992 [60] M G Rosenblum, A Pikovsky and J Kurths, Synchronization - A universal concept in nonlinear sciences, Cambridge University Press, 2001 [61] C E Shannon, Communication theory of secrecy systems, Bell System Technical Journal Vol 28, No 4, pp 656-715, 1949 [62] Angela Slavova, Dynamic Properties of Cellular Neural Networks, Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, Vol 6, No 2, pp 107-116, 1993 [63] A Slavova, Dynamic properties of cellular neural networks with nonlinear output function, IEEE Trans CAS-I Vol 45, No 5, pp.587-590, 1998 [64] Angela Slavova Applications of some mathematical methods in the analysis of cellular neural networks, Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol 114, pp 387-404, 2000 130 [65] Angela Slavova, Stability analysis of cellular neural networks with nonlinear dynamics, Nonlinear Analysis: Real World Applications, Vol 2, pp 93-103, 2001 [66] J Slotine and W Li, Applied nonlinear control, Prentice Hall, 1991 [67] Steven H Strogatz Nonlinear dynamics and chaos: With applications to physics, biology, chemistry, and engineering, Westview Press, 2015 [68] P.S Swathy and K Thamilmaran, An experimental study on SC-CNN based canonical Chua’s circuit, Nonlinear Dyn, No 71, pp 505-514, 2013 [69] Tao Yang, A survey of chaotic secure communication systems, International Journal of Computational Cognition, Vol.2, No 2, pp 81-130, 2004 [70] Mana Tanaka, Yasuteru Hosokawa and Yoshifumi Nishio, Chaotic phenomena in cellular neural networks using three kinds of cloning templates, Proc of the IEEE Workshop on Nonlinear Circuit Networks, pp 30-33, 2013 [71] L.O Chua, N Wang, On the application of degree theory to the analysis of resistive nonlinear networks, Int J Circuit Theory Appl Vol 5, pp 35-68, 1997 [72] Xiao-Dong Wang, Wei-Jun Li, and Ping Xiong, CNN hyperchaotic synchronization with applications to secure communication, Lecture Notes in Computer Science, pp 621-627, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012 131 [73] C Eugene Wayne An introduction to KAM theory, Preprint: 29 Retrieved 20 June 2012 [74] H Wang, Z Han, Q Xie and W Zhang, Finite-time chaos control of unified chaotic systems with uncertain parameters, Nonlinear Dyn, Vol 55, pp 323-328, 2009 [75] Stephen Wiggins, Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos,Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg, 2003 [76] Alan Wolf, Jack B Swift, Harry L Swinney and John A Vastano Determining Lyapunov exponents from a time series, Physica D, Vol 16, Issues3, pp 285-317, 1985 [77] Yue Wu, Joseph P Noonan and Sos Agaian, NPCR and UACI randomness tests for image encryption, Cyber Journal: Multidisciplinary Journals in Science and Technology, Journal of Selected Areas in Telecommunications (JSAT), April Edition, pp 31-38, 2011 [78] Fei Xiang, Huijuan Xiao, Shuisheng Qiu and Chengliang Deng, Dynamical behavior of three-order cellular neural network with application in image secure communication, Proc of the IEEE International Conference on Computational Intelligence and Security, pp 968-971, 2007 [79] Wang Xingyuan, Xu Bing and Zhang Huaguang, A multi-ary number communication system based on hyperchaotic system of 6th-order cellular neural network, Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, Vol 15, No 1, pp 124-133, 2010 132 [80] Mustak E Yalcin, Johan A K Suykens and Joos P L Vandewall, Cellular neural networks multi - scroll chaos and synchronization, World Scientific Publishing, 2005 [81] W Yang, X Xia, Y Dong and S Zheng, Finite time synchronization between two different chaotic systems with uncertain parameters, Journal of Computer and Information Science, Vol.3, No 3, pp 174-179, 2010 [82] Yaqin Zhao, Shuying Li, Huan Lian, and Zhilu Wu, "A six-dimensional hyperchaotic system selection and its application in DS-CDMA System", Journal of Communications, Vol 9, No 11, pp 859-866, 2014 [83] Fan Zou and Josef A Nossek, Bifurcation and chaos in cellular neural networks, IEEE Trans Circuits Syst, Vol 40, Issue 3, pp 166-173, 1993 133