Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Đánh Giá  x  y 1  x4  x2  (1)   Câu 1: (Phạm Hoàng)  y  x  1 y  1 (2)  1  x 1  y   y   x  y   Điều kiện: x  1; y  VP(2)  y  y  x  1 y  1  x  y   x  1 y  1   y 1    2y   x  y     x  1 y  1 x y  x  y  y (3) TH1: x  y   x  y  x  y  3  x  y  y  x  y  Ta có: VP1  x  y   x  x   x   x4  x2    x  1 1.1.1  x  x     3x   3x    x  1  x  x     x   y  TH2: x  y   x  y   x  y  3   x  y  y   x  y  3 (loại) x 2 Vậy  x; y   1;1     x  y2 1  x   y y  x   Câu 2: (Huỳnh Kim Kha)   x  y  1  x   x  y  17   1  2 Điều kiện: x  3 1   x    y  1  y GSTT HCMC x   y x   3 Page Áp dụng AM-GM: VT(3)   x  4  y  1  y x    x     y  1  y   x  3  y  x   VP(3) x   y2 1  y   Dấu “=” xảy   y  x 3 y  x   Thế y  x  vào   ta x  x  x     x  1   x  1    x2  6x 1 x  x   x  x   f  x  1  f  x2  6x   Xét hàm số f  t   t  t có f '  t   3t   t  R  f  t  đồng biến R x   y   Nên x   x  x   x  x  3 x  1    x  3  y  x   y     Vậy  x; y   0; ;  3;0  ; 1;   x  xy 2  x  y  3x  x  1  y 3x  y  Câu 3: (Huỳnh Kim Kha)   y  x  3x  y  x   y  1  2  x  y  0; y   Điều kiện 3 x  y  2 y  x;3 x  y  Ta có: x  xy  3x  x  1  y 3x  y  3x  3x   y   3x  y    x  y   x y x x 5     x  xy  y   y   3 x  1 2  3x  y    x x y  y 1 y GSTT HCMC  3 Page Đặt t  x 5t  t 2 , t    3   3t    t  1  2t  1   t  y t 1 Do 1  x  y Thế vào   ta x  3x  x   4 x   3x  x      x  x     x  1    VP 4 Ta lại có: VT   x  x  x  2 Dấu “=” xảy x   y  Vậy  x; y   1;1  29 x  y x3  3y    x2  y   x  xy x y Câu 4: (Huỳnh Kim Kha)   x y  x  x  y  x  17      1  2 x 6x  y    Điều kiện:  x  y  x   x  y   4 y  x  x  y    x  (loại)  x  y  2 x  y  Xét x    4 y  x   y0 x  y  Xét x    VP1  x3 x3 x3   x2  y   3 x y   3 x  y  x2  y2 x  y2 x  y2  y 29    3 29 x  y 2x x  Do  3y   3 x  y   3 2 y x  xy x y  y 6 1   x x  t  1  t  2t  7t  1 y 29  t Đặt t  ; t    3   t 1 x  y x 6t 1 t2   t  1  t  GSTT HCMC Page Thế vào   ta x  x  x  17  x  17 17 y 6  17 17  ;   6 Vậy  x; y     xy  3x  y    x   y   xy  x  y    Câu 5: (Huỳnh Kim Kha)   x   y  3x   x2 y  x3  x2  x   1  2   x  ; y  2 Điều kiện:   y  3x    y  1 Đặt a  x  1; b  y  2; a  0; b  Khi đó:  3   1   x       x  1 y    a  1 b  1   ab    3 1 a b b 3 a 1 b 1 b 1 a 1 b 1 b 1  4 Áp dụng AM-GM: VP 4  1 a b b 1 1  1 a b b  3            VT 4 a 1 b 1 b 1 a 1 b 1 b 1  a 1 b 1 b 1   a 1 b 1 b 1  Dấu “=” xảy a  b  x   y   y  x2  2x 1 Thay y  x  x  vào   ta được:      2x 1 1   x  1 2x 1   x  x    x  3x3  x  x   x  x  1  x GSTT HCMC  x  1  x  x       x  1   2x 1     x  (Vì x   x  x   x  x3  x  x    x  1 x  1  x        x  1  x     x2  x     x2  x      2x 1  x x x 2  x  1  x  x     x  1  x    0x  ) Page  y2 Vậy  x; y   1;    1  x 3  1  x 3     y   1  x 1  y       3 Câu 6: (Huỳnh Kim Kha)   2 2  x  y   x  y   12 xy  x 1  y   y  1  2 1  x  1; 1  y   2 8  x  y   12 xy   Điều kiện:    Ta có: VT   x  y  x  y  12 xy  x  y   x  y 2   x  y   x2  y  x  y Do đó: x 1  y   y  x  y  x  y  x  xy  y    x  y    x  y Thế vào 1 ta   1  x 1  x   1 x     1  x   1  x 1  x   1  x   1  x     2  x2 1 x       1  x     1 x   3  x2 1 x  1 x  x   x  x  1  x 1  x    x   3 1     x    x2    x2    x2  x  0 x 3     y          1  ;   6 Vậy  x; y       x  y  x  y  1  x y   y x   y  Câu 7: (Huỳnh Kim Kha)   x x  y   y  1 x  y  xy  3x   1  2 x  y  Điều kiện:  GSTT HCMC Page Ta có: VT1   x y   x  y  1    x  y x  y  1  x y   xy  y  1  x y   y x   y  x y   xy  y  1  y   xy  y   x  y  1   xy  y   x  y  1  xy  y   xy  y  xy  x  x   y  x  1  y    x 1  y    x 1  y   x 1  y Thay vào   ta được: x x   x 4 x   x  x   3 Áp dụng AM-GM: x   x  1 4 VT 3  x x   x x   x x   x x x     x  x   VP 3  x  x  14   x  3 Dấu “=” xảy x   y  Vậy  x; y   1;0  3x  y  x  y  x  1  x x  y  Câu 8: (Huỳnh Kim Kha)  14 xy  y x3  y3  x  x  x  xy  y  1  2 2 x  y    14 xy  y 0 Điều kiện:  x    x  xy  y   Từ   ta có: x  x3  y   y  x  xy  y   2 x  xy  y  3  Ta lại có: 1  x  x x  y  x  y  x  xy  y  x  x  y Nếu x  x  y  y  x  x GSTT HCMC x2    x  xy  y  4 14 xy  y  Từ ta có hệ: Page  y  x  x2   y  2x  4x2    y  2x  4x  9 x  14 xy  y    15 x  xy   x 15 x  y    6 x  xy  y    15 x  x  y  x  y      x   ; y   17  y  2x  4x  y  2x  4x2 32 256   Thử lại nghiệm thỏa Nếu x  x  y : Từ    x  xy  y  Do y  (do  3 ) Và x  y   x   x  y   x  xy  y  x3  y   x  y    x  y Ta chứng minh x  xy  y x  xy  y  x  y  x  y   x  xy  y Do đó: x  x2   (luôn đúng) 14 xy  y x3  y 14 xy  y   x2    x  y x  xy  y  x  14 x  y  x  y   x  y    x  y  Thay x  y vào 1 ta được: x  x  x  x  1 y   x  2x  x   x   y 1  x  x  2x   1 1 9 9 Vậy  x; y   1;1 ;  ;  113 x3  x y  xy   x3  y   17 x  y   Câu 9: (Huỳnh Kim Kha)  x   y   2x  y  2x  y  1  2 Điều kiện: x  0; y  GSTT HCMC Page Từ 1 ta có: 17 x  y  11 3x  x y  xy   x  y 3 2 3   11 3 2 3x  x y  xy   x  y 4  113 3x3  x y  xy   x  y  x   x  3x  x y  xy  x  3x  x y  xy  x  x  y     x  y TH1: x      y    y (Vô nghiệm) TH2: x  y     x   x  2x 1   2x  x    x  1   2x  x     x  1      x  x    x  1  x2  x    2x  x  2x  x     x  1    1   x   y   2x  x  2x  x   4x     Vậy  x; y   1;1  2x  x  y   y  y  x  x  y  Câu 10: (Quang Cong)   x  x  2 y   1  y  x  x  1  2  x    x  0; x  x   x    1   Điều kiện:  y  ; x  x  y     y  2   2 y  y  x   x  y     Áp dụng AM-GM: VT1  x  x  y   y  y  x   2x   x  y  y   y  x   x  y  VP1 2 Dấu “=” xảy x  y Thay vào   ta được: GSTT HCMC x  x  x   1  x  x  x Page  x   x     x  1 x  x  x  1      x 1 1   x 1 1 x  x  1   x 1   (Vô nghiệm)   x  x  1   Vậy hệ cho vô nghiệm  x2  x    y  y   Câu 11: (Thiện Nguyễn)  6 x  y  11  10  x  x   I   y  y    10  x  x   Điều kiện:   x  1     y   I     15   x  1   y    12  2a   II  a    b a  x     II    b  y   15  6a  b  12  2a Đặt   12  2a   a 2 Mặt khác: 12  2a  12  2a    a  12a  2b  22  2  Và a    b  a     b  a  6a  b   1  2 Cộng vế theo vế 1   ta được: a  x  2 a  5a  b  12a  2b  29    a     a     b  1     b  1  y  3 Vậy  x; y   1; 3  x 2 x   y    Câu 12: (Phạm Hoàng)   x  y   xy  72   GSTT HCMC Page  x  x    y  12    x    x  2   y  12   y  12      2  x  y  3  xy  72  x  y  3  xy  72 *       Đặt u  x; x   ; v  y  1; y  1  u  v   x  y  1; x  y  3 Ta có:     u  v  uv    2x   x  2  x  y  1   x  y  3 2   y  1   y  1   x  y  1   x  y  3 2    x  y  1   x  y  3  72 2 ** Từ * ,  **   x  y  1   x  y     x  y  3  xy   x  y    xy  x  y   xy  x  y  x  y   xy  x  y    x  y  1   x  y  y 1  2x  x   Dấu = xảy  x  y    y 1 x  y 1  Vậy  x; y    2;1  x  y  xy    x  y  12  xy   Câu13: (Dat Tran)   x3 y  y  x  x  15   y  x  y  x    1  x  y  xy   x  y  x  y  VT3  x  y  xy      x  y 1   2  3  x  y   x  y  12  12   Đặt u  x; y  ; v 1;1  u  v   x  1; y  1 Ta có:     u  v  u  v  x  y  12  12   x  1   y  1  x  y  x  y   VP(3) Dấu “=” xảy x  y GSTT HCMC Page 10 Thay vào   ta có:  x   x  x   x  x  x    x  5  x    x    5x     x3   x  5 x  x  x  x    x  x  x  x      x  x3  x   x   x   x  x  x3  x   x  5 x   x3  x     x   x   f  x  f Xét hàm số f  t   t  2t có f '  t   3t    f  t  đồng biến  x   y  x2   y  x2  x2 y  y    Câu 14: (Lê Anh Tuấn)   y  2x2  y2   x2    y y  1     x   x2    x3  2 Điều kiện: y   2    y 1  2x2  y2   x2    y y    y 1   x2  y2   x2   y 1  y 1   2  2x2  y   x2   y  y   x  y   y          x2   y  y 1 y 1     x2  y  x2  y     0 0   x  y  1  22   x2  y   y   2x  y   y  x2   y x2   y       y 1  0)  (vì 2 2 2x  y   y 1 x 1  y  y  x 1 TH1: y   1   x   x  x     x2 x2       x2    x2    x2   x2     x2   0 x0  x2   x2   x2      x2 x2  TH2: y  x   1  y GSTT HCMC     x2   y   x2  y   y 1 y  y   3 Page 11 Vì y  nghiệm   3   x   1    x2  2 y y Ta có bất đẳng thức:  a   b    a  b a, b    a  b  1  a 1  b   a  b    a  b  1  a 1  b    a  b  ab  Dấu = ab  Áp dụng với a  x ; b    3  1   x2      x2  2 y y y x2   x   y 1 y2 Vậy  x; y    0;1 Câu 15: (Huỳnh Kim Kha)  x  y  16   x   x  y    1  y   y  x       x  x  y   y  16   y  xy    x   x  y   64    2   2x  y    42   x  2y   42   3x  y  1  2  82   Đặt u  x  y;  ; v  x  y;   u  v   x  y;8      Ta có: u  v  u  v  Dấu “=” xảy  2x  y   42   x  2y  42   3x  y   82 2x  y y  2x  x y 4 Thay x  y vào 1 ta được: x3  x  16 x   1  x  3x  x    x    x  x   1  x  1  x  x     x  x  3 a  x  b3  x  x   1  x  a   Đặt   3 1  x  x    x  x    a  x2  x   1  x  b b    GSTT HCMC Page 12 a  b3  1  x  b  a    a  b   a  ab  b   1  x  a  b   a  b   a  b   a  ab  b   x     2  a  ab  b   x  2 a  x  x  16  b  0 2  Trường hợp 1: a  ab  b   x    2 a  x  x  16 b    Vô nghiệm 2  Mà    Trường hợp 2: a  b  x   3 x  x   x3  x  19 x     x  3 x  x    x  3  y  3    x  3  2  y  3  2  x  3  2  y  3  2    Vậy  x; y    3; 3 ; 3  2; 3  2 ; 3  2; 3  2 GSTT HCMC  Page 13