TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu I  x2 dx x2  7x  12    I   1 16   dx =  x  16ln x   9ln x   = 1 25ln2  16ln3 x  x  3 Câu I  dx x5  x3 1 x    x x3 x2  x3( x2  1)  Ta có:   I    ln x   Câu I  Câu I  2 3  ln( x2  1)    ln2  ln5  2 2x 1 3x2  x  2x  5x  dx 13 14  I   ln  ln  ln2 3 15 xdx ( x  1)3 x x  1 1   ( x  1)2  ( x  1)3  I   ( x  1)2  ( x  1)3 dx   Ta có: 3 ( x  1) ( x  1) Dạng 2: Đổi biến số Câu I  Câu I  ( x  1)2 (2x  1)4 dx  7x  199 101  2x  1  7x    I     2x   99  x 1   Ta có: f ( x)     2x   I  (x 5x  4) 99  7x   1  7x     d    2x  12  2x    2x   dx 100 Câu  x    x 1    I    C  2x    2x   dx 1  7x       100  2x   dx  100   2  1 900  Đặt t  x2   I  Trang http://megabook.vn x7 Câu I  Câu I   x5(1  x3)6dx (1  x )5  Đặt t  1 x2  dt  2xdx  I  dx (t  1)3 1 dt   t5 25  Đặt t   x3  dt  3x2dx  dx  Câu 10 I   1 x( x  1) 2  x7 Câu 12 I   x(1  x7 ) Câu 13 I    Đặt : x  11  t t8  t (1  t ) dt      30   168 1 t    t  t  dt  ln   32 dt Đặt t  x  I    I   10 2 t (t  1)2 x ( x  1) x.( x10  1)2 3x2 I   Đặt t  x2  I  dx dx Câu 11 I   dt  I  dx x4.dx (1  x7 ).x6 x7.(1  x7 ) dx Đặt t  x7  I  128  t dt 1 t(1  t ) dx x (1  x2 )  I  t 3  t6 dt  t2   117  41     t  t    dt = 135 12 t     Câu 14 I   x2001 (1  x2 )1002 x2004  I  1002 x (1  x ) Cách 2: Ta có: I  dx dx   1002  3 x   1 x  1000  x2 1 x x2   dt   11 x2000.2xdx Đặt t  1 x2  dt  2xdx  2000 2 (1  x ) (1  x ) (t  1)1000  1  I   1000 dt   1   21 t 1 t  t Câu 15 I   dx Đặt t   1 d 1    t  2002.21001 dx Trang http://megabook.vn x3 dx 1 x  Ta có: 1   x4 x2 Đặt t  x   dt     dx   x x2   x2  x 2   1  t  I   ln  ln   dt   t  t     1 2 t  2 2 t    1   dt Câu 16 I   1  x2 1 x4 1 dx 1  1 dt Đặt t  x   dt     dx  I     x x  x x2  t   x2  x2 du 5 ; tan u   u1  arctan2; tan u   u2  arctan Đặt t  tan u  dt  2 2 cos u 1 x  Ta có: u  2 2 du  (u2  u1)   arctan  arctan2   u 2    I Câu 17 I   1 x2 x x Câu 18 I   x4  x6  1 1 x  Ta có: I   dx Đặt t  x   I  ln x x x dx dx x4  ( x4  x2  1)  x2 x4  x2  x2 x2      x6  x6  ( x2  1)( x4  x2  1) x6  x2  x6   Ta có: 1 d( x3)     I   dx   dx    (x )  4 x 1 Câu 19 3  I x4  I 3  x2 x dx ( x  1)( x  1) Câu 20 I   xdx x  x2  dx  3   1      dx  ln(2  3)  12  x  x  1  Đặt t  x2  I  1 dt 11  0 t  t  0 Trang http://megabook.vn dt  1    t      2     Câu 21 I  1  x2  x  x2  1 1 x2   Ta có: dx x  x2  x2  x2  x2 Đặt t  x  1  1  dt     dx x x2    dt  I  1 0t du Đặt t  tan u  dt  cos u  I   du   TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng x Câu 22 I   dx 3x  9x  x  I  dx   x(3x  9x2  1)dx   3x2dx   x 9x2  1dx 3x  9x2  + I   3x dx  x  C1 1 + I   x 9x  1dx   9x2  d(9x2  1)  (9x2  1)  C2 18 27  I  (9x2  1)  x3  C 27 Câu 23 I     x2  x 1 x x x2  x 1 x x dx x2 dx   1 x x x dx   1 x x dx x2 dx Đặt t=  x x  t   x x  x3  (t  1)2  x2dx  t (t  1)dt 1 x x + I1   4 4   (t  1)dt  t  t  C = 9 x + I2   1 x x Vậy: I   Câu 24 I   1 dx = 1 x x 2x  2x   dx  1 x x   x x  C1 d(1  x x)  x x  C2 =  3 1 x x C  Đặt t  2x  I = Trang http://megabook.vn t2   t dt 2  ln2 dx Câu 25 I   2x   4x  1 Câu 26 I   x3  x2 dx 12  Đặt t  4x  I  ln   Đặt: t   x2  I    t  t  dt  0 1 x Câu 27 I   1 15 dx x   t t 11  4ln2 dt = 2  t  t   dt = 1 t  t 1  0  Đặt t  x  dx  2t.dt I = 2 x3 Câu 28 I   dx x   x  2 dt   (2t  6)dt  6 dt  3  6ln 2 t 1 t  3t  1  Đặt t  x   2tdu  dx  I   Câu 29 I   x 2t  8t x  1dx 1  t7 t4   Đặt t  x   t  x   dx  3t dt  I   3(t  1)dt  3     28  0 3 Câu 30 I   x2  x 3x  1 dx  t2  1   1 4  2tdt 2tdt  Đặt t  3x   dx   I   3 t 1 t 4 2  t 1 100   t  t   ln   ln 9 t  27 2 Câu 31 I   x2  x  x 1  24 dt ( t  1) dt    92 t 1 dx x   t  x  t   dx  2tdt  Đặt 2(t  1)2  (t  1)   I  2tdt t  4t  54  2 (2t  3t )dt    2t    1 Trang http://megabook.vn x2dx Câu 32 I  2 ( x  1) x 1  Đặt t  x   t  x   2tdt  dx I   (t  1)2 t3 2tdt 2  x 1 Câu 33 I   1  2  t3  1 1 16  11  t   dt    2t    t 1  t 3  2x  dx  Đặt t    2x  dt  dx  2x  dx  (t  1)dt x  t  2t (t  2t  2)(t  1) t  3t  4t  4 2 Ta có: I =  dt   dt    t    dt 2 22 22 2 t t2  t t = Câu 34 I    t2 2   3t  4ln t   = 2ln2   t  x 1 dx x2     x     I  dx =  x   ln x  x    2 x 1 3 x 1 8 =  ln   2  ln   3 Câu 35 I   ( x  1)3 2x  x2 dx 1  I   ( x  1)3 2x  x2 dx   ( x2  2x  1) 2x  x2 ( x  1)dx Đặt t  2x  x2  I   0 2x  3x  x Câu 36 I   x2  x   I  ( x2  x)(2x  1) x2  x  dx dx Đặt t  x2  x   I   (t  1)dt  x3dx Câu 37 I    x2  Đặt t   x2  x2  t   2xdx  3t 2dt  I   3 (t  4t )dt     43   23 2  Câu 38 I   11  dx x   x2 Trang http://megabook.vn 15  Ta có: I  + I1  + I2  1  x   x2  1 (1  x)2  (1  x2 ) 1  x   x2 11   x2 dx     1 dx   dx x x x   1 1 1 dx   11  1   1 dx   ln x  x |1  1 x  1  x2 dx Đặt t  1 x2  t  1 x2  2tdt  2xdx  I2= 2x  1  t 2dt 2 2(t  1) 0 Vậy: I  Cách 2: Đặt t  x  x2  3 x x   Câu 39 I    x2 dx x Câu 40 I    x2  Ta có: I   x I= t (tdt )   t2 Câu 41 I   ( x2  1) x2  x 2 x  x2 3  Đặt t  x  I   1  Đặt t  x   I   3t dt 4  15 ln x2  x    2  5 2t  dt   1    dt  5   ln    2  12 t t  t  1  t(t  1)  t3  2 dx 1   2   =    ln    3   dx  Đặt t  x  x2  x   I  Câu 44 I   dx Câu 43 I   t2 x 27   x2  t   x2  tdt   xdx xdx Đặt t =  t 2    dt   (1  )dt   t  ln  t2  t2   3t 4 Câu 42 I  dx x4  3 1  Ta có: I     1 dx Đặt t    I  x  x 1 x x2 2 (1   x ) (2   x )  1 2dt  ln(2t  1) 2t   ln dx 42 36   Đặt  1 x  t  I    2t  16    dt  12  42ln t t  3 Trang http://megabook.vn 3 3 x2 2( x  1)  x 1  x x 1 Câu 45 I   t (t  1)2 Câu 46 I  2  x  x3  2011x 2  Ta có: I   M 2  N 2011  1 2 2011 x2 dx   dx  M  N x3 x  dx Đặt t  dx  2 x  I 1 x2 x3 2  (1  x2 1  M    2  2011 2011x dx      2x2  3 t 3dt    213 128 14077 16 x3)  x3 3 3 dt     t t       t  Đặt u   Câu 48 I  t3 2   du   t2 t 4.(t  1) 3dt dt  dt  t4   Đặt t   x  I  1 dx Câu 47 I    3 14077 213  16 128 dx x4 2 2  2 (t  1)2 dt  (t  1)3  3 2t(t  1)2 dt  Đặt t  x   I   dx 3  t 1   t   u  I    dt t 2.(t  1)  1  t  t4 1    du   dt 2 3 u du  3 x4 dx  1  x  x  x 1    Đặt t  x2  Trang http://megabook.vn  1  u3 2    3     0 1  u3  3  I  (t  1)2 dt = t2  2  t  2t  t2  2 3 dt   t dt   2t 2 2 dt  19  4   ln      Dạng 2: Đổi biến số dạng 1   dx  x ln  x    1 x    1 x Câu 49 I    1 x  Tính H   1 x    x  cost; t   0;   H    2 dx Đặt u  ln(1  x)  K  Tính K   2x ln(1  x)dx Đặt   dv  2xdx Câu 50 I   (x  x2 )  x2 dx 2 I=  (x  x )  x dx = 2 x  x dx + 2 + Tính A = x x  x2 dx = A + B 2 2 2  x2 dx Đặt t   x Tính được: A =  x2 dx Đặt x  2sin t Tính được: B = 2 2 + Tính B = x 2 Vậy: I  2 Câu 51 I   3    x2 dx 2x4  Ta có: I   2x + Tính I =  2x + Tính I   dx   dx =  x2 2x4  x2 2x4 dx 4 x dx   21 16 dx Đặt x  2sin t  dx  2costdt Trang http://megabook.vn    cos tdt 12    cot t dt   cot t d (cot t )        sin t 8 8  sin t  2  I2  Vậy: I  1  3 16 x2dx  x6 Câu 52 I   6  Đặt t  x3  dt  3x2dx  I  1 dt 0  t    16  Đặt t  2sin u, u  0;   dt  2cosudu  I   dt   2 30 18  2 x dx x2 Câu 53 I   x2dx Câu 54 I    x  x2  Ta có: I   x2dx 22  ( x  1)2 Đặt x   2cost 2   I   2 Câu 55  t  Đặt x  2cost  dx  2sin tdt  I   sin2 dt    (1  2cost ) 2sin t  (2cost )2 dt =    4cost  2cos2t  dt =    3 4 2   2x  x2 dx  Đặt x  sin t  I   (cost  sin t ) costdt  0 Dạng 3: Tích phân phần Câu 56 I   x2  1dx Trang 10 http://megabook.vn  12   8  2x  du  dx  u  ln( x  x  1)  x  x   Đặt   dv  xdx v  x  2 x2 1 2x3  x2 I ln( x2  x  1)   dx 2 x  x 1 3 11 1 2x  31 dx  ln3   ln3   (2x  1)dx   dx   12 20 x2  x  x2  x  ln x Câu 153 I   x 1 dx u  ln x  dx 8 x 1  du    dx    Đặt   I  x  1.ln x  dx  6ln8  4ln3  2J x  dv  x   x  v  x  3  t t 1  x 1 2tdt  2 dt      dx Đặt t  x   J    dt 2 t  t  1 x t 1 t 1 2 + Tính J    t 1    2t  ln  t 1   Từ I  20ln2  6ln3    ln3  ln2 e x  x ln x  x e dx x Câu 154 I   e e e e x e dx x  I   xexdx   ln xexdx   1 e e 1 e x e x e dx = ee1 x Vậy: I  I  I     ln2 x  dx   x  ln x e  ln x Câu 155 I    e ln x 1x e  ln x  Tính I   dx Đặt t   ln x  I  2  3 + Tính I   ln2 xdx Lấy tích phân phần lần I  e  Vậy I  e  e e x e e dx  ee   dx x x 1 +Tính I   ex ln xdx  ex ln x   e + Tính I   xexdx  xex   exdx  ee(e  1) 2  3 Trang 34 http://megabook.vn Câu 156 I  ln( x  1)  x3 dx  2x u  ln( x2  1) du  2 dx   x2  Do I =  ln( x  1)   Đặt   dx  2x2 1 x( x2  1) dv  v   x   2x ln2 ln5  x  ln2 ln5 dx d( x2  1)          dx  1  x x2   1 x 1 x2   2 ln2 ln5     ln | x |  ln | x2  1| = 2ln2  ln5  1 Câu 157 I =  ln( x  1) x2 dx  dx u  ln( x  1) du   dx  x   I   ln( x  1)  dx   3ln2  ln3  Đặt   dv  x ( x  1) x  v   1 x2 x   1 x   dx  1 x  Câu 158 I   x ln     dx   x du     1 x    2  (1  x) I   x2 ln   x dx   Đặt u  ln  x        2   x  0   x2   dv  xdx v  x     2  ln3 x ln3 ln3 1  dx    1  dx    ln  x 1  ( x  1)( x  1)  2  1 Câu 159 I   x ln  x   dx x  2 Câu 160 I   x2.ln(1  x2)dx Câu 161 I   ln x ( x  1) dx   1 10 u  ln  x    Đặt  x   I  3ln3  ln2   dv  x2dx    x2 )  I  ln2     Đặt u  ln(1  dv  x dx u  ln x  dx   Đặt  dv   ( x  1)2  Trang 35 http://megabook.vn I   ln3  ln ln x  e x (e x  ln x) dx  ex e Câu 162 I   e e  Ta có: I   ln x.dx   e2x x 1e 1 dx  H  K e e  + H   ln2 x.dx Đặt: u  ln x  H  e   2ln x.dx  e  dv  dx 1 e e2x + K x 1e dx Đặt t  e    I  x 1 Vậy: I  ee –  ln ee 1 t 1 e dt  ee  e  ln t ee  e1  e ee  x 1x Câu 163 I   ( x   )e dx x 2  Ta có: I   e x x  x  dx    x   e x dx  H  K x 1 + Tính H theo phương pháp phần I1 = H  xe x x I  x 1x 52     x   e dx  e  K x 1 2 e  Câu 164 I  ln( x   x)dx      Đặt u  ln x   x  I  x ln  dv  dx  x   x Trang 36 http://megabook.vn  x x 9 dx  TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ 1 Câu 165 I    x2ex  0 x   dx 1 x  4  I   x2ex dx   x 1 x dx 11 t 1 1 + Tính I   x e dx Đặt t  x  I   e dt  et  e  30 3 x3 + Tính I     dt       4 1 t x 1 x Vậy: I  e    3   x2 Câu 166 I   x  ex   x3  2  I   xe dx + x2 1 dx 2 + Tính I   xexdx  e2 + Tính I   cos2 t  sin2 t   x2   I2    dx    x2  x t4 dx Đặt t  x  I  4  dt  ( cot t  t ) 2 = 3 x2   dx Đặt x  2sin t , t   0;   2  Vậy: I  e2   Câu 167 I   x 4 x   e2x   x2  x2 dx x3 4 x  I   xe2x dx   dx  I  I e2  + Tính I   xe dx  + Tính I    I 2x x3  x2 dx Đặt t   x2  I  3  e2 61 3 3 12 Trang 37 http://megabook.vn 16 x2  Câu 168 I   ( x  1) exdx 2  Đặt t  x  1 dx  dt I   t  2t  t2  Câu 169 I     e2 2 et 1dt       et 1dt = e  1    e   e  t2 t  1  x2 1 x3.e dx  x2 2  Đặt t  1 x  dx  tdt  I   (t  1)e dt   t 2et dt  et 2 t 1  2 + J   t e dt  t e   2te dt  4e e  tet  etdt  1 1  2 t t 2 t  J  (e2  e)    4e e  2(te t e t )   Vậy: I  e2 x ln( x2  1)  x3 Câu 170 I   x2   Ta có: f ( x)  dx x ln( x2  1)  x( x2 1)  x  x ln( x 1) x x x 1 x 1 x 1 x 1 1  F( x)   f (x)dx   ln(x  1)d (x  1)   xdx  d ln(x  1) 2 2 = ln ( x  1)  x  ln( x2  1)  C 2  4  I   ln x  x2   3x3 Câu 171 I   x 9   ln x  x2   3x3 x 9 + Tính I    x2   I1  ln9  udu  ln3 + Tính I   Vậy I   dx    ln x  x2  x 9 dx Đặt ln  x  dx  34  x3 x 9  x2   u  du  dx  I  3I x2  u2 ln9 ln2  ln2  ln3 x3 x 9 dx Đặt  I   (u2  9)du  ( dx ln x  x2  x2   v  dv  x x 9 dx, x  v 9 u3 44  9u)  3   ln x  x2   3x3 x2  dx  I  3I  ln2  ln2  44 Trang 38 http://megabook.vn dx e ( x3  1) ln x  2x2  dx  x ln x Câu 172 I   e e e  ln x  I   x dx   dx  x ln x 1 e x3 e3  +  x dx   31 e + e e  ln x d(2  x ln x) e   x ln xdx    x ln x  ln  x ln x  ln 1 Câu 173 I  e3 x ln3 x  ln x Vậy: I  e3  e  ln dx dx  2tdt ln3 x  (t  1)3 x  Đặt t   ln x   ln x  t  (t  1)3 dt = t  I  t  3t  3t  1 15 dt  (t  3t  3t  )dt   ln2   t t 1  Câu 174 I  x sin x dx x  cos u x   Đặt   sin x dv  dx  cos2 x    4 dx  cos xdx Đặt t  sin x  I   cos x    sin2 x + I1  2  0  2  ln 2 Vậy:  ln(5  x)  x3  x dx 1 x2 Câu 175 I  ln(5  x) dx   x  x dx  K  H x2 1 4  Ta có: I   + K ln(5  x) x2    du  dx x 4 dx  dx   I      cos x   cos x cos x v   0 cos x  u  ln(5  x)  dx  K  ln4 dx Đặt  dv   x2 + H=  x  x dx Đặt t   x  H  164 15 164 Vậy: I  ln4  15 Câu 176 I    x(2  x)  ln(4  x2 )  dx Trang 39 http://megabook.vn dt 1 t  2 ln 2 2 0  Ta có: I   x(2  x)dx +  ln(4  x2 )dx = I  I 2 + I   x(2  x)dx    ( x  1)2 dx  0 2 + I   ln(4  x2 )dx  x ln(4  x2 )  2  (sử dụng đổi biến: x  1 sin t ) x2 dx (sử dụng tích phân phần)  x  6ln2    (đổi biến x  2tan t ) Vậy: I  I  I  3   6ln2 ln x dx x 1 Câu 177 I   u  ln x  dx 8 x 1  du  dx  Đặt   I  x  1ln x  2 dx  x dv  x   x  v  x  3  2t dt  x 1  2   dx Đặt t  x   J   dt   ln3  ln2 2 x t  t    2 + Tính J    I  6ln8  4ln3  2(2  ln3  ln2)  20ln2  6ln3   x2 1 x3 ln xdx Câu 178 I  u  ln x  1  1  Ta có: I      ln xdx Đặt  dv  (  )dx x  1 x x3 x  1 2   1  63  ln x  ln x     ln x  dx =  ln2   ln2 x 64  4x4    4x  I  e x  x ln x  x e dx x Câu 179 I   e e e x e dx  H  K  J x  Ta có: I   xe dx   e ln xdx   x x e e 1 + H   xexdx  xex 1e  exdx  ee(e  1) e e e x e x e e dx  ee   dx  ee  J x x 1 + K   ex ln xdx  ex ln x   1 Vậy: I  H  K  J  ee1  ee  ee  J  J  ee1 Trang 40 http://megabook.vn  x cos x  sin3 x  Câu 180 I  dx   2cos x  Ta có     Đặt sin x  sin x  u  x du  dx   dv  cos x dx  v     sin3 x 2sin2 x    1 1 dx    I =  x +    (  )  cot x  = sin x   sin2 x 2 2 4  x sin x  cos3 xdx Câu 181 I     u  x du  dx 4 x dx     sin x  Đặt:   I      tan x   dv  dx v 2cos2 x cos2 x   cos3 x 2.cos2 x    ( x  sin x) 0  sin x dx Câu 182 I    Ta có: I   x sin2 x dx    sin2x   sin2x dx  H  K 0 u  x du  dx  dx x x  dv    + H  dx   dx Đặt:  v  tan  x       sin2 x    2  0 2cos x  2cos  x    4    4        2   H    x   1 2  tan  x     ln cos x              sin x cos2 x + K dx Đặt t   x  K   dx  sin2x  sin2x 0 2    dx 2  tan  x     K    40  2cos2 x      4  Vậy, I  H  K    2K   Trang 41 http://megabook.vn Câu 183 I   x(cos3 x  cos x  sin x)  dx  cos2 x     cos x(1  cos2 x)  sin x  x.sin x dx   x.cos x.dx   dx  J  K  2    cos x  cos x 0    Ta có: I   x      u  x  J  ( x.sin x)   sin x.dx   cos x  2 + Tính J   x.cos x.dx Đặt  0 dv  cos xdx 0  x.sin x + Tính K    cos x  dx Đặt x    t  dx  dt (  t ).sin(  t ) K   cos2(  t )   cos2 x  (  t ).sin t dt    cos2 t ( x    x).sin x  2K    dt    dx    K   cos x Đặt t  cosx  dt   sin x.dx  K   cos2 x sin x.dx  (  x).sin x dt ,  1 t2 dx   sin x.dx 0  cos2 x đặt t  tan u  dt  (1 tan2 u)du 1  K     Vậy I  (1  tan2 u)du     tan2 u 2 Câu 184 I   x  ( x  sin x)sin x  Ta có: I   2 Vậy I  x sin2 x  u    2 4 dx (1  sin x)sin x dx Đặt 2 dx   sin x    du  x(1  sin x)  sin2 x + K      2 2 2 (1  sin x)sin2 x 3 4 + H     2 dx   x sin x dx   Câu 185 I   3 dx HK  sin x u  x   du  dx dv  dx  v   cot x  H    sin2 x  2 dx dx  3  32   x 2  cos  x  2cos    2   2  32  2 x  sin2 x dx  cos2x Trang 42 http://megabook.vn   x  sin x dx   cos2x  Ta có: I     x dx   sin2 x dx  H  K 2cos2 x   u  x x x  du  dx dx   + H  dx   dx Đặt  2 dv  cos x v  tan x 2cos x  cos2 x  2cos2 x     1   H  x tan x   tan xdx   ln cos x 0  2  + K      ln2  1  dx   tan2 xdx   tan x  x     2 3 2cos2 x sin2 x Vậy: I  H  K  1      1  ln2       (  ln2) 2 3 2  Câu 186 I   x  1sin x  1.dx 2 1  Đặt t  x   I   t.sin t.2tdt   2t sin tdt   2x2 sin xdx 2  du  4xdx   I  2x2 cos x   4x cos xdx Đặt u  2x dv  sin xdx v   cos x u  4x du  4dx Đặt  Từ suy kết  dv  cos xdx v  sin x  Câu 187 I   sin x   cos x e dx x  I  x e dx sin x x  e dx 0  cos x 2x cos    x x 2sin cos 2 sin x x 2 exdx  tan x exdx e dx   + Tính I     cos x 2x 0 2cos x  ue   du  exdx   x 2 e dx    tan x exdx  Đặt dv  dx   + Tính I   I  e  2 x x 20   v  tan 2x cos2 2cos   2  Do đó: I  I  I  e2 Trang 43 http://megabook.vn  Câu 188 I   cos x ex (1  sin2x) dx  cos x  (sin x  cos x)dx u du    x cos x   e ex  I  02 x dx Đặt   dx sin x e (sin x  cos x) dv  v   sin x  cos x (sin x  cos x)     I  cos x x e  2 sin x sin xdx   sin x  cos x 0 ex sin xdx  ex  u1  sin x du1  cos xdx 1   Đặt   I  sin x x  dx   1 e  dv1  ex v1  ex   u2  cos x du2   sin xdx   Đặt  dx   1  dv1  ex v1  ex   I  1     cos x e2 1 ex  sin xdx  ex 1    I  2I     cos xdx x  e  e 1   e2  cos xdx ex  e 1  I   2 e2  Câu 189 I  sin6 x  cos6 x  6x    dx   Đặt t   x  dt  dx  I     6t  2I    6t   dt     sin t  cos t 6x (6x  1) sin x  cos x 6x   dx   (sin6 x  cos6 x)dx     5  5   cos4x dx  16   8 4 5 I  32  Câu 190 I     sin4 xdx 2 x    Ta có: I   x sin xdx  2x        x dx   6x    sin6 x  cos6 x sin xdx 2x    2x sin4 xdx 2x  Trang 44 http://megabook.vn  I1  I 2x sin4 xdx  2x   + Tính I   Đặt x  t  I     sin xdx 2x  2t  dt   2t sin4 (t )   I     x sin xdx 2x  0  sin4 x dt   dx x 2t   1 6  sin4 t    sin4 xdx  16 (1  cos2x)2 dx  40   4  16 (3  4cos2x  cos4x)dx   64 80 Câu 191 I  e  cos(ln x)dx  Đặt t  ln x  x  et  dx  et dt   I   et costdt =  (e  1) (dùng pp tích phân phần)  2 Câu 192 I   esin x sin x.cos3 xdx 11 t  Đặt t  sin x  I   e (1  t )dt  e (dùng tích phân phần) 20 2  Câu 193 I   ln(1  tan x)dx   Đặt t  =     x  I   ln   tan   t  dt =       4    tan t   ln 1   tan t dt = 4   ln2dt   ln(1  tan t )dt  = t.ln2 04  I  2I   ln2  I   ln2  Câu 194 I   sin x ln(1  sin x)dx u  ln(1  sin x)  Đặt  dv  sin xdx   cos x   du   sin x dx  v   cos x Trang 45 http://megabook.vn  ln  tan t dt     I   cos x.ln(1  sin x)   cos x 0  2 cos x  sin x  dx    dx   (1  sin x)dx   1  sin x  sin x 0  Câu 195 I  tan x.ln(cos x) dx cos x   Đặt t  cosx  dt   sin xdx  I    ln t t dt    u  ln t du  t dt  Đặt    I   1 ln2 dv  dt 2   v t t  Trang 46 http://megabook.vn ln t t2 dt TP6: TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Câu 196 Cho hàm số f(x) liên tục R f ( x)  f ( x)  cos4 x với x R   I Tính: f ( x)dx     Đặt x = –t     2   f ( x)dx       2  f ( x)dx    f (t )(dt )      f (t )dt     f ( x)dx    f ( x)  f ( x)  dx  2  cos4 xdx  I   3 16 1 Chú ý: cos4 x   cos2x  cos4x 8 Câu 197 Cho hàm số f(x) liên tục R f ( x)  f ( x)   2cos2x , với x R Tính: 3  I f ( x)dx 3   Ta có : I     f ( x)dx   3  3 f ( x)dx   f ( x)dx (1)  + Tính : I    3 f ( x)dx Đặt x  t  dx  dt  I     f (t )dt  f ( x)dx  Thay vào (1) ta được: I     f ( x)  f ( x) dx        3   2       cos xdx   cos xdx   sin x 02  sin x     0        http://megabook.vn 2 1  cos2x    cos x dx Trang 47  sin x  Câu 198 I    x2  x  dx  I      x2 sin xdx     x sin xdx  I  I   + Tính I    x2 sin xdx Sử dụng cách tính tích phân hàm số lẻ, ta tính I     + Tính I    x sin xdx Dùng pp tích phân phần, ta tính được: I    4   x e  3x    x  Suy ra: I  Câu 199 I    I  e x  x  1  x  e x  3x    x  e x  x  1  x  dx dx   e x  x  1  x   e x  x  1 e x  x  1  x  5 2 dx   dx   e x  x  1 e x  x  1  x  dx 5 e x  x  1 e x  x  1  x  dx    dx 2 x  1(e x x   1) x  1(e x x   1) e x  x  1 x Đặt t  e x    dt  dx x 1 e5 1  I  3  e2 1 2e5  2e5  dt  I   2ln t   2ln t e 1 e 1  Câu 200 I  x2  ( x sin x  cos x)2 dx  x u  x x cos x  cos x  I dx Đặt  x cos x cos x ( x sin x  cos x) dx dv  ( x sin x  cos x)2     I  x  cos x( x sin x  cos x)  dx  cos2 xdx = 4 4 Trang 48 http://megabook.vn  cos x  x sin x dx du  cos x  1 v  x sin x  cos x 