Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH LỚP LÊN § CẤU TẠO SỐ TỰ NHIÊN Bài 1: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết lấy chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị thương dư 2, chữ số hàng trăm chia cho chữ số hàng đơn vị thương dư Hd: + Gọi số cần tìm abc , (a, b, c chữ số từ đến 9, a khác 0) Ta có: b = c  + Chữ số hàng đơn vị phải lớn ( số dư 2) Chữ số hàng đơn vị lớn (vì chẳng hạn b = x + = 10) Vậy suy c = + Ta thấy: b = x + = Theo đề ta lại có: a = c x + = x + = Thử lại: =  + 2; =  + Bài 2: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết lấy số cộng với tổng chữ số 2000 Hd: + Giả sử số abcd , a  0;0  a, b, c, d  10 Theo đề ta có 2000 - abcd = a + b + c + d hay 2000 – (a + b + c + d) = abcd Lập luận để có ab = 19 + Từ tìm c = d = Thử lại: 2000 – 1981 = + + + = 19 Vậy số cần tìm 1981 Bài 3:Tìm số tự nhiên A có chữ số, biết B tổng chữ số A C tổng chữ số B, đồng thời cho biết A = B + C + 51 Hd: + Giả sử A = ab , a  0;0  a, b  10 Lập luận để có C số có chữ số c nên ab  a  b  c  51 hay a   c  51 Từ a   c  51 lập luận để có a = + Từ a = tìm c = Nên số phải tìm 6b Xét 60, … , 69 ta thấy có 66 cho kết c = Thử lại: 12 + + 51 = 66 Vậy 66 số cần tìm Bài 4:Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chia số cho hiệu chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị thương 15 dư Hd:+ Gọi số phải tìm ab, (a  0; a, b  10 ) Theo đầu ta có ab = (a – b) 15 +2 Hay b  16 = a  + Nếu a lớn a  + lớn 47 Khi b  16 lớn 47 nên b lớn (vì 47 : 16 = dư 15) + Vì a  +  nên b  b = a = 14 : (loại) b = a = Thử lại (6 – 2)  15 + = 62 Số phải tìm 62 Bài 5:Tìm số có chữ số, biết lấy số chia cho tổng chữ số thương dư 12 Hd:+ Gọi số phải tìm ab , (  a, b < 10, a  0) Dùng cho HSG Lớp Giáo án dạy hè lớp lên Ta có ab =  (a + b) + 12, với a + b > 12 Nguyễn Tú Sau biến đổi ta có:  a =  b + 12 + Vì  b + 12 chia hết :  a chia hết cho , suy a = a = 8, thay vào ta tìm a = Thử lại thấy thoả mãn Kết luận: Số phải tìm 87 Bài 6:Tìm số tự nhiên có chữ số, biết lấy số chia cho tổng chữ số thương 11 Hd:+ Gọi số cần tìm abc , (a, b, c chữ số từ đến 9, a khác 0) abc  (a  b  c )  11 (theo ra) 100  a 10  b  c  11 a  11 b  11 c (cấu tạo số nhân số với tổng) 89  a  b  10  c (cùng bớt 11 a  10  b  c ) 89  a  cb  a  1, cb  89  abc  198 Bài 7:Tìm số chia thương phép chia có dư mà số bị chia 5544, số dư 10, 14 cuối Hd: 5544 -… … … - Lập luận để có thương số có chữ số, số chia số có chữ số 104 - Mô trình chia: -… - Tìm tích riêng tương ứng với lần chia có số dư 144 10, 14, -… + Tích số chia chữ số hàng cao thương 55 – 10 = 45 + Tích số chia chữ số hàng cao thứ thương 104 – 14 = 90 + Tích số chia chữ số hàng cao thứ thương 114 – = 135 Trong tích riêng có số 45 số lẻ nhỏ nên số chia số lẻ, mà số 45 chia hết cho số có chữ số 45 Vậy số chia 45, thương 123 Bài 8:Khi nhân số tự nhiên với 2008, học sinh quên viết chữ số số 2008 nên tích bị giảm 221400 đơn vị Tìm thừa số chưa biết Hd:Thừa số biết 2008, viết sai thành 208 Thừa số bị giảm 2008 – 208 = 1800 (đvị) Thừa số chưa biết giữ nguyên, thừa số biết bị giảm 1800 đơn vị tích bị giảm 1800 lần thừa số chưa biết Theo đề số giảm 221400 Vậy thừa số chưa biết 221400 : 1800 = 123 Bài 9:Tìm số tự nhiên có chữ số, biết lấy số chia cho hiệu chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị, ta thương 28 dư Hd:Gọi số phải tìm ab , (  a, b < 10, a  0) Ta có ab = (a – b)  28 + Khi < a – b < không ab số có chữ số Nếu a – b = ab = 29 loại a không trừ cho b Nếu a – b = ab = 57 loại a không trừ cho b Nếu a – b = ab = 85 chọn a – b = – = Bài 10:Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số gấp 20 lần tổng chữ số Hd:Gọi số phải tìm abc , (  a, b, c < 10, a  0) Dùng cho HSG Lớp Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú Theo ta có: abc = (a + b + c)  20 Vế trái có tận nên vế phải có tận 0, hay c = Khi đ ó 10 ab = 20 (a+b) Suy ab =2(a+b) suy 10a+b=2a+2b ta có:  a = b suy a = 1, b = Thử lại: 180 = (1 + + 0)  20 Bài 11: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số gấp lần tích chữ số Hd:Gọi số phải tìm abc , (  a, b, c < 10, a  0) Theo ta có: abc =  a  b  c Điều chứng tỏ abc  , tức c = c = Dễ thấy c = vô lý ( Loại) Với c = 5: Ta có ab5  25 Vậy suy b = b = Với b = vô lý (Loại) Với b = 7: Suy a = Số phải tìm 175 Bài 12:Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chuyển chữ số cuối lên trước chữ số đầu ta số số cho 765 đơn vị Hd:Gọi số phải tìm abc , (  a, b, c < 10, a  0) Theo ta có: cab - abc = 765  11  c = 85 + b + 10  a Vì 85 + b + 10  a  95  11  c  95  c =  14 = b + 10  a  a = 1, b = Vậy số phải tìm 149 Bài 13:Tìm số tự nhiên có chữ số, biết ta xóa chữ số hàng trăm ta số giảm lần so với số ban đầu Hd:Gọi số phải tìm abc , (  a, b, c < 10, a  0) Theo ta có: abc =  bc  a  100 =  bc  a  50 =  bc  a bội  a = 3, bc = 50 Vậy số phải tìm 350 Bài 14:Tìm số tự nhiên có chữ số, biết ta viết số theo thứ tự ngược lại ta số lớn hơn số cho 693 đơn vị Hd:Gọi số phải tìm abc , (  a, b, c < 10, a  0) Theo ta có: cba - abc = 693  99  (c – a) = 693  c – a = 693 : 99 =  a = 1, c = ; a = 2, c = b = 0, 1, 2, … , Bài 15:Tìm số tự nhiên có chữ số có chữ số hàng đơn vị 5, biết chuyển chữ số lên đầu ta số giảm bớt 531 đơn vị Hd:Gọi số phải tìm abc5 , (  a, b, c < 10, a  0) Theo ta có: abc5 - 5abc = 531  abc  10 + - ( 5000 + abc) = 531 Dùng cho HSG Lớp Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú  abc = 614 Vậy số phải tìm là: 6145 Bài 16:Tìm số tự nhiên có chữ số, biết xóa chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị ta số giảm 4455 đơn vị Hd:Gọi số phải tìm abcd , (  a, b, c, d < 10, a  0) Theo ta có: abcd - ab = 4455  cd = 99  ( 45 - ab )  ( 45 - ab ) = 0, ( 45 - ab ) = Nếu ( 45 - ab ) = 0: Số phải tìm 4500 Nếu ( 45 - ab ) = 1: Số phải tìm 4499 Bài 17:Tìm số tự nhiên có chữ số, biết viết số theo thứ tự ngược lại ta số gấp lần số ban đầu Hd:Gọi số phải tìm abcd , (  a, b, c, d < 10, a  0) Theo ta có: abcd  = dcba  a = a = a  tích abcd  không số có chữ số Nếu a = 1: Ta có 1bcd  = dcb1 điều vô lý Nếu a = 2: Ta có 2bcd  = dcb2   d có tận  d = d = Nếu d = 3: Ta có 2bc3  > 3cb2 vô lý Nếu d = 8: Ta có 2bc8  = 8cb2  390  b + 30 = 60  c  39  b + =  c  b = 1, c = Vậy số phải tìm là: 2178 Bài 18:Tìm số tự nhiên biết viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị ta số gấp lần số ban đầu Hd:Vì số phải tìm có chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị nên phải số có chữ số Vậy gọi số phải tìm Ab , (  b < 10, A > 0) Theo ta có: Ab  = A0b b6=A56 b=A5  b = (Vì A > 0)  A = Số phải tìm 15 Bài 19:Tìm số tự nhiên biết viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng trăm ta số gấp lần số ban đầu Hd:Vì số phải tìm có chữ số hàng chục chữ số hàng trăm nên phải số có chữ số Vậy gọi số phải tìm Abc , (  b, c < 10, A > 0) Theo ta có: Abc  = A0bc  bc  = A  80   bc = A  80  bc = 80 (Vì A > 0)  A = Số phải tìm 180 § DÃY SỐ CÁCH ĐỀU Bài 1: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, , 2006 a) Dãy có số hạng? Số hạng thứ 190 số hạng nào? b) Chữ số thứ 100 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? Hd: a) Số số hạng: (2006 – 2) : + = 1003 Số hạng thứ 190 là: (190 – 1)  + = 380 Dùng cho HSG Lớp Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú b) Dãy số 2, 4, 6, …, 98 có + [(98 – 10) : + 1]  = 94 chữ số Vì 94 < 100 nên chữ số thứ 100 phải nằm dãy số 100, 102, 104, …, 998 Chữ số thứ 100 dùng để viết dãy số cho chữ số thứ 100 – 94 = dãy số 100, 102, 104, …, 998 Vậy chữ số thứ 100 chữ số Bài 2: Cho dãy số 11, 13, 15, , 175 a) Tính số chữ số dùng để viết tất số hạng dãy số cho Chữ số thứ 136 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? b) Tính tổng số hạng dãy số cho Hd:a) Dãy số 11, 13, …, 99 có [(99 – 11) : + 1]  = 90 chữ số Dãy số 101, 103, …, 175 có [(175 – 101) : + 1] x = 114 chữ số Số chữ số sử dụng dãy cho là: 90 + 114 = 204 (chữ số) + Vì 204 > 136 > 90 nên chữ số thứ 136 phải nằm dãy số 101, 103, …,175 Chữ số thứ 136 dãy số 11, 13, 15, , 175 chữ số thứ 136 – 90 = 46 dãy số 101, 103, …, 175 + Ta có: 46 : = 15 (dư 1) + Tìm số hạng thứ 16 dãy số 101, 103, …, 175 131 Vậy chữ số thứ 136 dãy cho b) Số số hạng dãy số cho 45 + 38 = 83 Vậy suy ra:11 + 13 + 15 + … + 175 = (11 + 175) 83 : = 7719 Bài 3: Cho dãy số 4, 8, 12, 16, a) Xét xem số 2002 2008 có thuộc dãy số cho không? Nếu thuộc cho biết số thứ tự dãy b) Chữ số thứ 74 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? Hd:a) Đặc điểm dãy số cho số hạng dãy chia hết cho Số 2002 không chia hết không thuộc dãy số cho Số 2008 chia hết thuộc dãy số cho Số thứ tự dãy số 2008 (2008 – 4) : + = 502 b) Trong dãy 12, 16, 20, …, 96 có [(96 – 12) : + 1] × = 44 chữ số Vậy chữ số thứ 74 dãy số cho chữ số thứ 74 – – 22 × = 28 dãy số 100, 104, 108, … Ta có 28 : = nên chữ số thứ 28 dãy số 100, 104, 108, … chữ số cuối số hạng thứ dãy số 100, 104, 108, … Chữ số cần tìm Bài 4:Cho dãy số 11, 14, 17, 20, … a) Chữ số thứ 166 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? b) Tính tổng 130 số hạng dãy số cho Hd:a) Dãy số 11, 14, 17, …, 98 có số chữ số là: [(98 – 11) : + 1] × = 60 Dãy số 101, 104, 107, …, 998 có số chữ số là: [(998 – 101) : + 1] × = 900 Vì 60 < 166 < 900 nên chữ số thứ 166 phải nằm dãy số 101, 104, …, 998 Chữ số thứ 166 dãy số cho chữ số thứ 166 – 60 = 106 dãy số 101, 104, …, 998 Ta có: 106 : = 35 (dư 1) nên chữ số thứ 166 dãy số cho chữ số số hạng thứ 36 dãy số 101, 104, …, 998 Số hạng thứ 36 dãy số101, 104, …, 998 206 Vậy chữ số cần tìm b) Số hạng thứ 130 398 Vậy tổng (11 + 398) × 100 : = 20450 Bài 5:Cho dãy số 1, 3, 5, 7, , 2009 a) Dãy có số hạng? Số hạng thứ 230 số hạng nào? b) Chữ số thứ 100 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? Hd:a) Số số hạng: (2009 – 1) : + = 1005 Số hạng thứ 230 là: (230 – 1)  + = 459 b) Chữ số thứ 100 chữ số Dùng cho HSG Lớp 5 Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú Bài 6:Cho dãy số 10, 12, 14, , 138 a) Chữ số thứ 103 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? b) Tính tổng số hạng dãy số cho Hd:a) Số chữ số sử dụng dãy 10, 12, … 96, 98  45 = 90 (chữ số) Vì 103 > 90 nên chữ số thứ 103 dãy số đã cho phải nằm dãy số 100, 102, …, 138 Chữ số thứ 103 dãy số cho chữ số thứ 103 – 90 = 13 dãy số 100, 102, …, 138 + Ta có: 13 : = (dư 1) nên chữ số thứ 103 dãy số cho chữ số số hạng thứ dãy số 100, 102, …, 138 Số hạng thứ dãy số100, 102, …, 138 108 Vậy chữ số cần tìm b) Số số hạng dãy (138 – 10) : + = 65 Vậy 10 + 12 + 14 + … + 138 = (10 + 138)  65 : = 4810 Bài 7:Cho dãy số 101, 102, 103, …, 1000, 1001, , 2005 a) Dãy có số hạng? Số hạng thứ 75 số hạng nào? b) Tính số chữ số dùng để viết tất số hạng dãy số cho Chữ số thứ 116 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? Hd:a) Số số hạng (2005 – 101) : + = 1905 Số hạng thứ 75 (75 – 1) × + 101 = 175 b) Số chữ số 899 × + 1006 × = 8721 Vì có: 116 < 899  nên chữ số thứ 116 thuộc dãy số 101, 102, …999 Ta oó 116 : = 38 (dư 2) nên chữ số thứ 116 chữ số thứ số hạng thứ 39 dãy số cho Số hạng thứ 39 (39 – 1)  + 101 = 139 Vậy chữ số cần tìm chữ số Bài 8:Cho dãy số 11, 16, 21, 26, 31, a) Tính số chữ số dùng để viết số hạng dãy số cho kể từ số hạng đến số hạng 2001 Chữ số thứ 124 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? b) Tính tổng 203 số hạng dãy số cho Hd:a) [(96 – 11) : + 1]  + [(996 – 101) : + 1]  3] +  = 18  + 180  +  = 580 Ta có 18  < 124 < 180  nên chữ số thứ 124 thuộc dãy số có ba chữ số 101, 106, …, 996 Chữ số thứ 124 dãy số cho chữ số thứ 124 – 18  = 88 dãy số 101, 106, …, 996 Ta có 88 : = 29 (dư 1) nên chữ số thứ 88 dãy số 101, 106, …, 996 chữ số thứ số hạng thứ 30 dãy số 101, 106, …, 996 Số hạng thứ 30 (30 – 1)  + 101 = 246 Vậy chữ số cần tìm chữ số b) Số hạng thứ 203 (203 – 1)  + 11 = 1021 Tổng (11 + 1021)  203 : = 104748 Bài 9:Cho dãy số 2, 5, 8, 11, …, 2009 a) Dãy có số hạng? Số hạng thứ 99 số hạng nào? b) Chữ số thứ 50 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? Hd:a) Số số hạng: (2009 – 2) : + = 670 Số hạng thứ 99 là: (99 – 1)  + = 296 b) Dãy số 2, 5, có chữ số Dãy số 11, 14, 17, …, 98 có [(98 – 11) : + 1]  = 60 chữ số Có < 50 < 60 nên chữ số thứ 50 dãy số cho thuộc dãy số 11, 14, 17, …, 98 Dùng cho HSG Lớp Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú Chữ số thứ 50 dãy số cho chữ số thứ 50 – = 47 dãy số 11, 14, 17, …, 98 Ta có 47 : = 23 (dư 1) nên chữ số thứ 47 dãy số 11, 14, 17, …, 98 chữ số thứ số hạng thứ 24 dãy số 11, 14, 17, …, 98 Số hạng thứ 24 (24 – 1)  + 11 = 80 Vậy chữ số cần tìm chữ số Bài 10:Cho dãy số 1, 5, 9, 13, … a) Chữ số thứ 135 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? b) Tính tổng 200 số hạng dãy số cho Hd:a) Dãy số 1, 5, 9, 13, 17, 21, …, 97 có + [(97 – 13) : + 1]  = 47 chữ số Dãy số 101, 105, 109, …, 997 có [(997 – 101) : + 1]  = 675 chữ số Vì 47 < 135 < 675 nên chữ số thứ 135 phải nằm dãy số 101, 105, …, 997 Chữ số thứ 135 dãy số 101, 105, …, 997 chữ số thứ 135 – 47 = 88 dãy số 101, 105, …, 997 Ta có: 88 : = 29 (dư 1) nên chữ số thứ 88 dãy số 101, 105, …, 997 chữ số thứ số hạng thứ 30 dãy số 101, 105, …, 997 Số hạng thứ 30 (30 – 1)  + 101 = 217 Vậy chữ số cần tìm chữ số b) Số hạng thứ 200 (200 – 1)  + = 797 Tổng (1 + 797)  200 : = 79800 Bài 11:Cho dãy số 5, 8, 11, … a) Tính tổng 205 số hạng dãy số cho? b) Chữ số thứ 135 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? Hd: a) Số hạng thứ 204 dãy số là: [(204 – 1)  3] + = 620 Tổng 204 số hạng đầu dãy: (620 + 5)  102 = 62500 + 1250 = 63750 Tổng 204 số hạng đầu dãy: 63750 + 623 = 64373 b) Số có chữ số dãy là: (8 – 5) : + = Số có chữ số dãy là: (98 – 11) : + = 30 Số có chữ số dãy là: (998 – 111) : + = 330 Ta có  + 30  < 135 < 330  nên chữ số thứ 135 thuộc dãy số có ba chữ số 101, 104, …, 998 Chữ số thứ 135 dãy số cho chữ số thứ 135 – 30  - = 63 dãy số 101, 104, …, 998 Ta có 63 : = 21 (dư 0) nên chữ số thứ 63 dãy số 101, 104, …, 998 chữ số thứ số hạng thứ 21 dãy số 101, 104, …, 998 Số hạng thứ 21 (21 – 1)  + 101 = 161 Vậy chữ số cần tìm chữ số Bài 12: Tính tổng S = 10, 11 + 11, 12 + 12, 13 + … + 98, 99 + 99, 100 Hd: S = (10 + 11 + 12 + … + 98 + 99) + (0, 10 + 0, 11 + 0, 12 + … + 0, 98 + 0, 99) = [(99  100) : – (9  10) : 2] + [(99  100) : – (9  10) : : 100] = 4905 + 49, 05 = 4954, 05 Bài 13: Tính tổng S = – + – + …… - 1000 + 1001 Hd: S = + (3 – 2) + (5 - 4) + …… + (1001 – 1000) =1 + + + ……+ = + [(1001 – 2) : + 1] : = 501 Dùng cho HSG Lớp Giáo án dạy hè lớp lên Bài 14:Cho dãy số , , 7, 10 , … Nguyễn Tú 3 a) Xác định số hạng thứ 2009 dãy số cho? b) Trong 2009 số hạng đầu dãy có số tự nhiên? Tính tổng tất số tự nhiên đó? Hd:Ta thấy dãy số dãy số cách với khoảng cách d = 10 10 Vậy số hạng thứ 2009 dãy số là: (2009 - 1)  + = 20081 3 b) Số hạng thứ 2007 dãy số là: (2007 - 1)  10 + = 669 3 Dãy số tự nhiên có 2009 số hạng đầu dãy là: 7, 17, 27, …, 669 Từ dễ dàng suy kết với dãy số tự nhiên cách Bài 15: a) Tìm x biết: (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + …… + (x + 28) = 155 b) Tính tổng: S = 9, + 8, + …… + 2, – 1, – 2, - … – 7, – 8, Hd: a) Ta có: x + + x + + x + + …… + x + 28 = 155 (x + x + … + x) + (1 + + + … + 28) = 155 10  x + 145 = 155 x =1 b) Ta có: S = 9, + 8, + …… + 2, – 1, – 2, - … – 7, – 8, = (2, – 1, 2) + (3, – 2, 3) + … (8, – 7, 8) + (9, – 8, 9) = 1,  = 8, CÁC DẠNG TÍNH NHANH PHÂN SỐ Dạng 1: Tính tổng nhiều phân số có tử số mẫu số phân số liền sau gấp lần mẫu số phân số liền trước Ví dụ: 1 1 1      16 32 64 Cách giải: Cách 1: 1   1 Bước 2: Ta thấy:   2 1   4 1   8 Bước 3: Vậy A = 1    2  Bước 1: Đặt A = Dùng cho HSG Lớp  1   16 32 64 1 1 1  1              4 4 8 64  2  32 Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú 1 1 1 A =         2 4 32 64 A= 164 64 63 A=   64 64 64 63 Đáp số: 64 Cách 2: Bước 1: Đặt A = 1 1 1      16 32 64 Bước 2: Ta thấy: 1 1 2 1   1 4 1    1 8 …………… 1 1 1      16 32 64 64 63 =1=   64 64 64 64 Bước 3: Vậy A = Dạng 2: Tính tổng nhiều phân số có tử số mẫu số phân số liền sau gấp n lần mẫu số phân số liền trước (n > 1) Ví dụ: A = 1 1 1      16 32 64 Cách giải: Bước 1: Tính A x n (n = 2) 1 1 1   Ta có: A x = x        16 32 64  2 2 2 =      16 32 64 1 1 = 1     16 32 Bước 2: Tính A x n - A = A x (n - 1) 1 1  1  1 1   A x - A = 1             16 32   16 32 1 1 1 1 1  A x (2 - 1) =      -     16 32 16 32 64 A=164 64 63   A= 64 64 64 5 5 5   Ví dụ 2: B =    18 54 162 486 64  Bước 1: Tính B x n (n =3) Dùng cho HSG Lớp Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú 5 5 5  B x = x        486   18 54 162 = 15 5 5      2 18 54 162 Bước 2: Tính B x n - B 15 5 5  5 5  5     Bx3 - B =       -     18 54 162  2  18 54 162 486  15 5 5 5 5 5 B x (3 - 1) = -           2 18 54 162 18 54 162 486 15 Bx2=  486 3645  Bx2= 486 3640 Bx2  486 3640 B= :2 486 1820 B 486 910 B 243 Bài tập Bài 1: Tính nhanh 2 2 2       12 24 48 96 192 1 1 1 1 b)        16 32 64 128 256 1 1 1 c)      27 81 243 729 3 3 d)     32 128 512 3 3 e) +    25 125 625 1 1 g)      10 20 40 1280 1 1 h)      27 81 59049 a) Dạng 3: Tính tổng nhiều phân số có tử số n (n > 0); mẫu số tích thừa số có hiệu n thừa số thứ mẫu phân số liền trước thừa số thứ mẫu phân số liền sau: 1 1    x 3x4 x5 x6 3 43 5 65    A= x 3x4 x5 x6 Ví dụ: A = Dùng cho HSG Lớp 10 Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú Hay 12 phút Đáp số: 12 phút Bài (Dạng 2-Loại 3): Một người xe đạp với vận tốc 12 km/giờ ô tô với vận tốc 28 km/giờ khởi hành lúc từ địa điểm A tới B Sau nửa xe máy với vận tốc 24 km/giờ xuất phát từ A để đến B Hỏi đường từ A đến B vào lúc xe máy điểm xe đạp ô tô Lưu ý: Muốn tìm thời điểm vật nằm khoảng cách xe ta thêm vật chuyển động với vận tốc TBC hai vật cho Giải: Ta có sơ đồ: A C D E B Trong sơ đồ thời điểm phải tìm xe đạp đến điểm C, xe máy đến điểm D ô tô đến điểm E (CD = DE) Giả sử có vật thứ tư xe X xuất phát từ A lúc có vân tốc = vận tốc trung bình xe đạp ô tô xe X nằm điểm khoảng cách xe đạp ô tô Vậy xe máy đuổi kịp xe X có nghĩa lúc xe máy nằm vào khoảng cách xe đạp ôtô Vận tốc xe X là: (12 + 28 ) : = 20 (km/giờ) Sau nửa xe X trước xe máy là: 20 x 0,5 = 10 (km) Để đuổi kịp xe X, xe máy phảI thờigian là: 10 : (24 -20) = 2,5 (giờ) Lúc xe máy đuổi kịp xe X lúc xe máy nằm vào khoảng xe đạp ôtô lúc là: + 0,5 + 2,5 = Đáp số: Bài (Dạng 3-Loại 1): Hai thành phố A B cách 186 km Lúc sáng người xe máy từ A với vận tốc 30 km/giờ B Lúc người khác xe máy từ B A với vận tốc 35km/giờ Hỏi lúc hai người gặp chỗ gặp cách A bao xa? Giải: Thời gian người thứ xuất phát trước người thứ hai là: – = Khi người thứ hai xuất phát người thứ quãng đường là: 30 x = 30 (km) Khi người thứ hai bắt đầu xuất phát khoảng cách hai người là: 186 – 30 = 156 (km) Thời gian để hai ngườigặp là: 156 : (30 + 35 ) =2 25 (giờ) = 24 phút Vậy hai người gặp lúc: 7giờ + 2giờ 24 phút = 24 phút Chỗ gặp cách điểm A: 30 + 25 x 30 = 102 (km) Đáp số: 102 km Dùng cho HSG Lớp 70 Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú Bài (Dạng 3-Loại 2): Hai người xe đạp ngược chiều khởi hành lúc Người thứ từ A, người thứ hai từ B nhanh người thứ Họ gặp cách A 6km iếp tục không nghỉ Sau gặp người thư tới B quay trở lại ngườ thứ hai tới A quay trở lại Họ gặp lần thứ hai cách B 4km Tính quãng đường AB Giải: Ta biết từ lúc khởi hành đến lúc hai người gặp lần thứ hai hai người hết lần quãng đường AB Ta có sơ đồ biểu thị quãng đường đượccủa người thứ nét liền, người thứ hai đường có gạch chéo, chỗ hai người gặp C: A B C Nhìn vào sơ đồ ta thấy lần hai người đoạn đường AB người thứ đI 6km Do đến gặp lần thứ hai người thứ được: x = 18 (km) Quãng đường người thứ quãng đường AB cộng thêm 4km Vậy quãng đường AB dài là: 18 – = 14 (km) Đáp số: 14km Bài 10 (Dạng 3-Loại 3): Hai anh em xuất phát vạch đích chạy ngược chiều đường đua vòng tròn quanh sân vận động Anh chạy nhanh chạy 900m gặp em lần thứ Họ tiếp tục chạy gặp lần thứ 2, lần thứ Đúng lần gặp lần thứ họ dừng lại vạch xuất phát ban đầu Tìm vận tốc người, biết người em chạy tất 9phút Giải: Sau lần gặp hai người chạy quãng đường vòng đua Vậy lần gặp hai người chạy vòng đua Mà hai người xuất phát lúc điểm lại dừng lại điểm xuất phát nên người chạy số nguyên vòng đua Mà = + anh chạy nhanh em nên anh chạy vòng đua em chạy vòng đua Vậy sau lần gặp anh chạy quãng đường là: 900 x = 2700 (m) Một vòng đua dài là: 2700 : = 1350 (m) Vận tốc em là: 1350 : = 150 (m/phút) Vận tốc anh là: 2700 : = 300 (m/phút) Đáp số: Anh: 300 m/phút Em: 150 m/phút Bài 11 (Dạng 4): Lúc 6giờ sáng, chuyến tàu thuỷ chở khách xuôi dòng từ A đến B, nghỉ lại để trả đón khách lại ngược dòng A lúc 20 phút chiều ngày Hãy tính khoảng cách hai bến A B, biết thờ gian xuôi dòng nhanh thời gian ngược dòng 40 phút vận tốc dòng nước 50m/phút Dùng cho HSG Lớp 71 Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú Giải: Ta có: 20 phút chiều = 15 20 phút Thời gian tàu thuỷ xuôi dòng ngược dòng hết là: 15 20 phút – (2giờ + 6giờ) = 20 phút Thời gian tàu thủy xuôi dòng hết: (7 20 phút – 40 phút) : = 20 phút 10 3giờ 20 phút = 31 3 = 10 3 Thời gian tàu thuỷ ngược dòng hết: 20 phút – 20 phút = 10 Tỉ số thời gian xuôi dòng ngược dòng là: 10 3 : = 6 Vì quãng đường, vận tốc thờ gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nên tỉ số vận tốc xuôi dòng ngược dòng 5 Coi vận tốc xuôi dòng phần vận tốc ngược dòng phần, x Vdòng Ta có sơ đồ: 2xVdòng Vxuôi dòng : Vngược dòng: Vxuôi dòng Vngược dòng là: x 50 = 100 (m/phút) Vngược dòng là: x 100 = 500 (m/phút) = 30 (km/giờ) Khoảng cách hai bến A B là: 30 x = 120 (km) Đáp số: 120 km Bài 12 (Dạng 4):Một tàu thủy từ bến thượng nguồn đến bến hạ nguồn hết ngày đêm ngược từ bến hạ nguồn bến thượng nguồn ngày đêm Hỏi bè nứa trôi từ bến thượng nguồn bến hạ nguồn hết ngày đêm? Giải: Tính thời gian mà bè nứa trôi thời gian mà dòng nước chảy (Vì bè nứa trôi theo dòng nước) Ta có tỉ số thời gian tàu xuôi dòng thời gian tàu ngược dòng là:5 : Trên quãng đường, thời gian vận tốc hai đại lượng tỉ lệ nghịch Do đó, tỉ số vận tốc xuôi dòng vận tốc ngược dòng là: 7: Coi vận tốc xuôi dòng phần vận tốc ngược dòng phần Hiệu vận tốc xuôi dòng vận tốc ngược dòng hai lần vận tốc dòng nước Ta có sơ đồ: Dùng cho HSG Lớp 72 Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú 2xVdòng Vxuôi: Vngược : Nhìn vào sơ đồ ta thấy tỉ số vận tốc dòng nước so với vận tốc tàu xuôi dòng 1:7 Do đó, tỉ số bè nứa trôi so với thời gian tàu xuôi dòng lần Vậy thời gian bè nứa tự trôi theo dòng từ bến thượng nguồn đến bến hạ nguồn là: x = 35 (ngày đêm) Đáp số: 35 ngày đêm Bài 13 (Dạng 5): Một đoàn tàu chạy qua cột điện hết giây Cũng với vận tốc đoàn tàu chui qua đường hầm dài 260m hết phút Tính chiều dài vận tốc đoàn tàu Giải: Ta thấy: - Thời gian tàu chạy qua cột điện có nghĩa tàu chạy đoạn đường chiều dài đoàn tàu - Thời gian đoàn tàu chui qua đường hầm thời gian tàu vượt qua cột điện cộng thời gian qua chiều dài đường hầm - Tàu chui qua hết đường hầm có nghĩa đuôI tàu hết đường hầm Vậy thời gian tàu qua hết đường hầm là: phút – giây = 52 giây Vận tốc đoàn tàu là: 260 : 52 = (m/giây) = 18 (km/giờ) Chiều dài đoàn tàu là: x = 40 (m) Đáp số: 40m ; 18km/giờ Bài 14 (Dạng 5): Một ô tô gặp xe lửa chạy ngược chiều hai đoạn đường song song Một hành khách ôtô thấy từ lúc toa đầu lúc toa cuối xe lửa qua khỏi giây Tính vận tốc xe lửa (theo km/giờ), biết xe lửa dài 196m vận tốc ôtô 960m/phút Giải: Quãng đường xe lửa giây chiều dài xe lửa trừ quãng đường ôtô giây (Vì hai vật chuyển động ngược chiều) Ta có: 960m/phút = 16m/giây Quãng đường ôtô giây là: 16 x = 112 (m) Quãng đường xe lửa chạy giây là: 196-112=84 (m) Vận tốc xe lửa là: 87 : = 12 (m/giây) = 43,2 (km/giờ) Đáp số: 43,2 km/giờ Dùng cho HSG Lớp 73 Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú Giải: Thời gian chim bay qua bay lại thời gian hai đơn vị hành quân đến lúc gặp Thời gian là: 27 : (5 + 4) = (giờ) Quãng đường chim bay qua bay lại tất là: 24 x = 72 (km) Đáp số: 72km Bài 15:Lúc sáng người xe đạp từ A đến B với vận tốc 12km/giờ Sau giờ, người khác xe náy từ B đến A với vận tốc 35km/giờ Biết quãng đường từ A đến B dài 118km Hỏi đến hai người gặp nhau? Giải: Sau người xe đạp đoạn đường là: 12 x = 24 (km) Lúc hai người cách nhau: 118 – 24 = 94 (km) Sau hai người gần thêm là: 12 + 35 = 47 (km) Từ người thứ hai đến lúc gặp là: 94 : 47 = (giờ) Hai người gặp lúc: + + = 10 (giờ) Đáp số: 10 Bài 16: Một ôtô từ A đến B Một xe máy từ B đến A Tính quãng đường AB biết vận tốc ôtô xe máy 20km/giờ Nếu hai xe khởi hành lúc chúng gặp cách A kilômét? Giải: Tỉ số thời gian ôtô xe máy AB là: : = 3 Trên quãng đường AB, vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch Do đó, tỉ số vận tốc ôtô xe máy AB là3 2 : Ta có sơ đồ: Vận tốc ôtô: Vận tốc xe máy: 20km/giờ Vận tốc ôtô là: 20 : (3 – 2) x = 60 (km/giờ) Quãng đường AB dài là: 60 x = 120 (km) Vận tốc xe máy là: 60 -20 = 40 (km/giờ) Nếu khởi hành hai xe gặp sau thời gian là: 120 : (60 + 40) = 1,2 (giờ) Địa điểm gặp cách A là: 60 x 1,2 = 72 (km) Đáp số: Quãng đường AB dài: 60km Địa điểm gặp cách A: 72km Bài 17: An bình xe đạp lúc từ A đến B, An với vận tốc 12 km/giờ, Bình với vận tốc 10km/giờ Đi 1,5 giờ, để đợi Bình, An giảm vận tốc xuống 7km/giờ Tính quãng đường AB, biết lúc gặp lúc An Bình đến B? Giải: Sau 1,5 An đoạn đường là: 12 x 1,5 = 18(km) Dùng cho HSG Lớp 74 Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú Sau 1,5 Bình đoạn đường là: 1,5 x 10 = 15 (km) Sau 1,5 An Bình cách là: 18 – 15 = (km) Lúc An với vận tốc 7km/giờ Bình với vận tốc 10 km/giờ nên thời gian chuyển động để Bình đuổi kịp An là: : (10 -7) = (giờ) Vì Bình đuổi kịp An B nên quãng đường AB dài là: 18 + x = 25 (km) (Hoặc 15 + 10 x = 25 (km) Đáp số: 25km Bài 18: Trong suốt đua xe đạp, người thứ với vận tốc 20km/giờ suốt quãng đường Người thứ hai với vận tốc 16km/giờ nửa quãng đường đầu, nửa quãng đường sau với vận tốc 24km/giờ Người thứ ba nửa thời gian đầu với vận tốc 16km/giờ, nửa thời gian sau với vậ tốc 24km/giờ Hỏi ba người đến đích trước? Giải:Người thứ ba nửa thời gian đầu với vận tốc 16km/giờ nửa thời gia sau với vận tốc 24km/giờ Do người thứ ba đI với vận tốc trung bình quãng đường là: (16 + 24) : = 20 (km/giờ) Người thứ với vận tốc 20km/giờ suốt quãng đường AB nên người thứ người thứ ba đến đích lúc Ta phải tính vận tốc trung bình người thứ hai để so sánh Cách 1:Người thứ hai nửa quãng đường đầu với vận tốc 16km/giờ nửa quãng đường sau với vận tốc 24km/giờ Từ ta tính vận tốc trung bình quãng đường sau: Cứ 1km với vận tốc 16km/giờ hết thời gian là: : 16 = 0,0625 (giờ) Cứ 1km với vận tốc 24km/giờ hết thời gian là: : 24 = 0,0417 (giờ) Do 2km hết thời gian là: 0,0625 + 0,0417 = 0,1042 (giờ) Vậy người thứ hai với vận tốc trung bình quãng đường là: : 0,1042 = 19,2 (km/giờ) Vì 20km/giờ > 19,2 km/giờ nên người thứ người thứ ba đến đích trước người thứ hai Cách 2:Với vận tốc 16km/giờ người thứ hai 1km hết số phút là: 60 : 16 = 3,75 (phút) Với vận tốc 24km/giờ người thứ hai 1km hết số phút là: 60 : 24 = 2,5 (phút) Người thứ hai 2km hết số phút là: 3,75 + 2,5 = 6,25 (phút) Vận tốc trung bình người thứ hai quãng đường là: : 6,25 = 0, 32 (km/phút) 0,32 km/phút = 19,2 km/giờ Vì 20km/giờ > 19,2 km/giờ nên người thứ người thứ ba đến đích trước người thứ hai Cách 3:Giả sử quãng đường đua dài 96km Mỗi nửa quãng đường 48km Dùng cho HSG Lớp 75 Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú Thời gian gười thứ hai nửa quãng đường đầu là: 48 : 16 = (giờ) Thời gian người thứ hai nửa quãng đường sau là: 48 : 24 = (giờ) Người thứ hai quãng đường với vận tốc trung bình là: 96 : (2 + ) = 19,2 (km/giờ) Vì 20km/giờ > 19,2 km/giờ nên người thứ người thứ ba đến đích trước người thứ hai MỘT SỐ BÀI THI HSG CÁC NĂM HỌC TRƯỚC Bài : Một ôtô dự định chạy từ tỉnh A đến tỉnh B lúc 16giờ Nhưng: Nếu chạy với vận tốc 60 km/giờ ôtô tới B lúc 15giờ Nếu chạy với vận tốc 40km/giờ ôtô tới B lúc 17giờ Hỏi ôtô phải chạy với vận tốc để tới B lúc 16giờ? Giải: Tỉ số hai vận tốc là: 60 : 40 = 3/2 Vì quãng đường vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian nên: “Nếu thời gian quãng đường AB với vận tốc 60km/giờ phần thời gian với vận tốc 40km/giờ phần thế” Một phần thời gian nhiều ứng với: 17 – 15 = (giờ) Vậy với vận tốc 60km/giờ ôtô từ A đến B mất: x = (giờ) Quãng đường AB dài là: x 60 = 240(km) Thời gian quy định để chạy từ A đến B là: + (16 – 15) = (giờ) Vận tốc phải tìm là: 240 : = 48 (km/giờ) Đáp số: 48km/giờ Bài 2:Một người từ A đến B với vận tốc 6km/giờ Sau lạo đo từ B A với vận tốc 4km/giờ Tính vận tốc trung bình người quãng đường về? Giải: Khi người 1km hết: 60 : = 10 (phút) Lúc người 1km hết: 60 : = 15 (phút) Người 2km (trong có 1km đường 1km đường về) hết: 10 + 15 = 25 (phút) Người quãng đường 1km hết: 25 : = 12,5 (phút) Vận tốc trung bình lẫn là: 60 : 12,5 = 4,8 (km/giờ) Đáp số: 4,8km/giờ Bài 3:Một chó đuổi thỏ cách xa 17 bước chó Con thỏ cách hang 80 bước thỏ Khi thỏ chạy bước chó chạy bước Một bước chó bước thỏ Hỏi chó có bắt thỏ không? Giải: 80 bước thỏ bằng: 80 : = 10 (bước chó) Chó cách hang thỏ: 10 + 17 = 27 (bước chó) Lúc chó chạy vừa tới hang thỏ thỏ chạy được: 27 x = 81 (bước) Tức thỏ chạy vào hang được: 81 – 80 = (bước) Dùng cho HSG Lớp 76 Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú Do đó, chó không bắt thỏ Trả lời: chó không bắt thỏ Bài 4:Một người xe đạp với vậntốc 12km/giờ ôtô đI với vận tốc 28km/giờ khởi hành lúc địa điểm A để đến địa điểm B Sau nửa xe máy với vận tốc 24km/giờ xuất phát từ A để đến B Hỏi đường AB vào lúc xe máy điểm khoảng cách xe đạp ôtô? Giải: Giả sử có xe X khác xuất phát từ A lúc có vận tốc trung bình cộng vận tốc xe đạp ôtô xe X điểm khoảng cách xe đạp ôtô Lúc xe máy đuổi kịp xe X lúc xe máy điểm xe đạp ôtô Vận tốc xe X là: (12 + 28) : = 20 (km/giờ) Sau nửa xe X được: 20 x 0,5 = 10 (km) Để đuổi kịp xe máy xe X phảI đI trong: 10 : (24 – 20) = 2,5 (giờ) Vậy xe máy điểm xe đạp ôtô lúc: + 0,5 + 2,5 = (giờ) Đáp số: 9giờ Bài 5:Anh Hùng xe đạp qua quãng đường gồm đoạn lên dốc đoạn xuống dốc Vận tốc lên dốc 6km/giờ, xuống dốc 15km/giờ Biết dốc xuống dài gấp đôi dốc lên thời gian tất 54 phút Tính độ dài quãng đường Giải: Giả sử dốc lên dài 1km dốc xuống dài 2km Thế quãng đường dài: + = (km) Lên 1km dốc hết: 60 : = 10 (phút) Xuống 2km dốc hết: (2 x 60) : 15 = (phút) Cả lên 1km xuống 2km hết: 10 + = 18 (phút) 54phút so với 18 phút gấp: 54 : 18 = (lần) Quãng đường dài là: x = (km) Đáp số: 9km Bài 6: Một xe lửa vượt qua cầu dài 450m 45 giây, vượt qua trụ điện hết 15 giây Tính chiều dài xe lửa Giải: Xe lửa vượt qua trụ điện 15 giây, nghĩa qua quãng đường chiều dài 15 giây Xe lửa vượt qua cầu hết 45 giây, nghĩa qua quãng đường tổng chiều dài cầu hết 45 giây Vậy xe lửa hết chiều dài cầu trong: 45 – 15 = 30 (giây) Vận tốc xe lửa là: 450 : 30 = 15 (m/giây) Chiều dài xe lửa là: 15 x15 = 225 (m) Đáp số: 225 m Bài 7: Một canô chạy khúc sông từe bến A đến bến B Khi xuôi dòng Khi ngược dòng Biết rằng, nước chảy với vận tốc 5km/giờ Hãy tính khoảng cách AB Dùng cho HSG Lớp 77 Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú Giải: Vận tốc xuôi dòng lớn vận tốc ngược dòng là: + 5= 10 (km/giờ) Tỉ số thời gian xuôi dòng ngược dòng là:6 8 Vậy tỉ số vận tốc xuôi dòng ngược dòng là:8 6 Ta có sơ đồ: Vận tốc xuôi dòng: Vận tốc ngược dòng: 10km/giờ Vận tốc ngược dòng là: 10 : (8 – 6) x = 30 (km/giờ) Khoảng cách AB là: 30 x = 240 (km) Đáp số: 240 km Bài 8:Một xe gắn máy từ A đến B, dự định với vận tốc 30km/giờ Song thực tế xe gắn máy với vận tốc 25 km/giờ nên đến B muộn so với thời gian dự định Tính quãng đường từ A đến B Giải: Tỉ số vận tốc dự định vận tốc thực là: 30/25 = 6/5 Trên quãng đường, vận tốc thời gian hai đại lượng tỷ lệ nghịch Do đó, tỉ số thời gian dự định thời gian thực là: 6 Ta có sơ đồ: Thời gian thực đi: Thời gian dự định: 2giờ Thời gian dự định là: : (6 -5) x = 10 (giờ) Quãng đường từ A đến B là: 10 x 30 = 300 (km) Đáp số: 300 km Bài 9: Sau ngày đêm, mối gặm thủng lớp giấy dày 0,8mm Trên giá sách có tác phẩm văn học gồm tập, tập dày cm, bìa cứng dày 2mm.Hỏi sau thời gian mối đục xuyên từ trang đầu tập đến trang cuối tập hai? Giải: Đổi cm = 40 mm Khi đục xuyên từ trang đầu tập I đến trang cuối cỉa tập II, tức mối phải đục thủng hai tập tác phẩm với bìa cứng Con mối cần xuyên qua: 40 x + x = 86 (mm) Để xuyên qua 86 mm mối cần số thời gian là: 86 : 0,8 x = 107,5 (ngày đêm) Hay 107 ngày 12 Đáp số: 107 ngày 12 Bài 10: Toán vui:Một người tiến 10 bước lùi bước, lại tiến 10 bước lùi bước; xong lạitiến 10 bước lùi bước, lại tiến 10 bước lùi bước Và tiếp tục thực thảy 1999 bước Hỏi người cách xa điểm xuất phát mét? (Biết bước chân dài 0,7 m) Giải: Sau đợt gồm 20 bước: Mỗi lần tiến 10 bước lùi bước lại tiến 10 bước lùi bước, rời xa điểm xuất phát là: 10 – + 10 – = 17 (bước) Dùng cho HSG Lớp 78 Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú Ta có: 1999 : 20 = 99(dư 19) Như với 1999 bước thực 99 lần “tiến 10 bước lùi bước, sau tiến 10 bước lại lùi bước” 19 bước Với 19 bước rời xa điểm xuất phát thêm là: 10 – + = 17 (bước) Vậy với 1999 bước rời xa điểm xuất phát là: 99 x 17 + 17 = 1700 (bước) Khi cách điểm xuất phát là: 1700 x 0,7 = 1190 (m) Đáp số: 1190 m (Đáp án: 1190,7m tức 1701 bước)???? Bài 11:Một xe Honda từ A đến B với vận tốc 35 km/giờ Hỏi xe phải chạy từ A B với vận tốc vận tốc trung bình quãng đường 30km/giờ Giải: Để vận tốc trung bình quãng đường 30 km/giờ xe Honda phải 1km đường 1km đường với thời gian là:1/30 + 1/30 = 1/15(giờ) Mà 1km đường đi, xe hết: 1/35 (giờ) Vậy thời gian 1km đường phải hết: 1/15 – 1/35 = 4/105 (giờ) Vận tốc lúc phải là: : 4/105 = 26,25 (km/giờ) Đáp số: 26,25 km/giờ Bài 12: Quãng đường từ TP Hồ Chí Minh đến Biên Hoà dài 30km Người thứ khởi hành từ TP HCM lúc với vận tốc 10 km/giờ Hỏi người thứ hai phải khởi hành từ TP HCM lúc để đến Biên Hoà sau người 1/4 giờ, biết vận tốc người thứ hai 15 km/giờ Giải: Thời gian người thứ từ TP HCM đến Biên Hòa là: 30 : 10 = (giờ) Người thứ đến Biên Hoà lúc: + = 11 (giờ) Người thứ hai đến Biên Hoà lúc: 11 + 1/4 = 11,25 (giờ) Thời gian người thứ hai từ TP HCM đến Biên Hoà là: 30 : 15 = (giờ) Vậy người thứ hai phải khởi hành lúc: 11,25 – = 9,25 (giờ) Hay 15 phút Đáp số: 15 phút Bài 13:Anh từ nhà đến trường hết 30 phút Em từ nhà đến trường hết 40 phút Hỏi em học trước anh phút anh có đuổi kịp anh không? Nếu đuổi kịp chỗ từ nhà đến trường? Giải: Thời gian anh từ nhà đến trường em từ nhà đến trường là: 40 – 30 = 10 (phút) Giả sử em trước anh 10 phút anh em đến trường thời điểm Nhưng em trước anh phút mà 10 : = (lần) nên anh đuổi kịp em đường từ nhà đến trường Đáp số: anh đuổi kịp em quãng đường từ nhà đến trường Bài 14:Ba xe: ôtô, xe máy, xe đạp từ A đến B Để đến B lúc, xe đạp trước xe máy 20 phút, ôtô sau xe máy 10 phút Biết vận tốc ôtô 36km/giờ, xe đạp 12km/giờ, tính: a Quãng đường AB b Vận tốc xe máy Giải: a) Ôtô sau xe đạp là: 10 + 20 = 30 (phút) 30 phút = 0,5 Dùng cho HSG Lớp 79 Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú Khi ôtô xuất phát xe đạp cách A là: 0,5 x 12 = (km) Mỗi ôtô nhanh xe đạp là: 36 – 12 = 24 (km) Để ôtô đuổi kịp xe đạp cần số thời gian (thời gian ôtô đi) là: : 24 = 0,25 (giờ) Quãng đường AB dài là: 0,25 x 36 = (km) b) Thời gian xe máy là: 0,25 + 10 phút = 25 (phút) = 1212 Vận tốc xe máy là: : x 12= 21,6 (km/giờ) Đáp số: a) 9km b) 21,6 km/giờ Bài 15: Hai địa điểm A B cách 88km Cùng lúc có xe đạp xe gắn máy xuất phát từ A để đến B có xe đạp xuất phát từ B để đến A Vận tốc xe đạp từ A là: 12 km/giờ Vận tốc xe đạp từ B 16km/giờ Vận tốc xe gắn máy 20 km/giờ Hỏi xe gắn máy điểm khoảng cách hai xe đạp lúc giờ? Bài làm 12km/giờ 16km/giờ D C E B A 20km/giờ Giả sử xe gắn máy từ A tới C hai xe đạp Lúc đó, xe đạp từ A tới D, xe đạp từ B tới E Ta có: AC trung bình cộng AD AE Hay 2AC = AD +AE Gọi thời gian xe máy đến điểm hai xe đạp t (giờ), ta có: x 20 x t = 12 x t + 88 -16 x t Hay 40 x t = 88 - x t 44 x t = 88 suy t = 88 : 44 = (giờ) Vậy xe gắn máy điểm khoảng cách hai xe đạp lúc: + = (giờ) Đáp số: Bài 16: Tuấn cha nghỉ ngơi bãi biển Trời xế chiều, hai cha định nhà Tuấn trước cha 10 phút với vận tốc 3km/giờ Cha sau với vận tốc 5km/giờ Thấy vậy, chó Mực nằm cạnh cha liền lao lên đuổi theo Tuấn với vận tốc 12km/giờ Khi đuổi kịp Tuấn, chó Mực liền quay chạy phía cha, đến gặp cha, lại quay đầu chạy đuổi theo Tuấn.Cứ chạy qua chạy lại hai cha gặp cửa nhà Tính quãng đường chó Mực chạy? Giải: Thời gian Mực chạy qua chạy lại thời gian Bố đuổi kịp Tuấn cửa nhà Cách 1: Tỉ lệ vận tốc Tuấn cha là: : Do quãng đường hai cha không đổi nên thời gian hai cha tỉ lệ nghịch với vận tốc hai cha Vậy tỉ số thời gian Tuấn cha là: : Do đó, coi thời gian Tuấn phần thời gian cha phần thời gian Tuấn nhiều cha 10phút Ta có sơ đồ: Cha: Tuấn: Dùng cho HSG Lớp 80 Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú Nhìn vào sơ đồ ta thấy Thời gian bố là: 10 : (5 – 3) x = 15 (phút) Đổi 15 phút = 0,25 Quãng đường Mực chạy là: 0,25 x 12 = (km) Đáp số: 3km Cách 2: Tuấn trước cha quãng đường là: 10 : 60 x = 0,5 (km) Mỗi cha đuổi kịp Tuấn thêm: – = (km) Thời gian cha đuổi kịp Tuấn là: 0,5 : = 0,25 (giờ) Quãng đường chó Mực chạy là: 12 x 0,25 = (km) Đáp số: 3km Bài 17: (Từ tỉ số thời gian suy tỉ số vận tốc) Hằng ngày Hoàng từ nhà đến trường xe đạp 20 phút Sáng nay, Hoàng xuất phát chậm phút so với ngày Để đến lớp Hoàng tính phút phải nhanh 50m so với ngày Tính quãng đường từ nhà đến lớp Giải: Thời gian sáng Hoàng là: 20 – = 16 (phút) Tỉ số thời gian ngày thời gian sáng là: 20 : 16 = 5/4 Trên quãng đường, vận tốc thời gian tỉ lệ nghịch với nên tỉ số vận tốc ngày vận tốc sáng là: 4/5 Ta có sơ đồ: Vận tốc ngày: Vận tốc sáng : Vận tốc ngày Hoàng tới trường là: 50 : (5 – 4) x = 200 (m/phút) Quãng đường từ nhà Hoàng tới trường là: 200 x 20 = 4.000 (m) 4.000 m = km Đáp số: 4km Bài 18: (Tính vận tốc trung bình): Một người từ A đến B lại quay trở A Lúc với vận tốc 6km/giờ lúc ngược gió nên với vận tốc 4km/giờ Tính vận tốc trung bình lẫn người Giải: 1km đường lúc hết là: : = 1/6 (giờ) 1km lúc hết : : = / (giờ) Người 2km (1km lúc 1km lúc về) hết là: 1/4 + 1/6 = 5/12 (giờ) Trung bình 1km người hết là: 5/12 : = 5/24 (giờ) Vận tốc trung bình lẫn là: : 5/24 = 4,8 (km/giờ) Đáp số: 4,8 km/giờ Bài 19: Một ôtô từ A đến B Nửa quãng đường đầu, ôtô với vận tốc 40km/giờ Nửa quãng đường sau ôtô phải với vận tốc để quãng đường vận tốc trung bình 48km/giờ Giải: Nếu với vận tốc 48km/giờ 1km hết: 60 : 48 = 1,25 (phút) Vậy 2km hết: 1,25 x = 2,5 (phút) 1km nửa đầu hết: 60 : 40 = 1,5 (phút) Vậy 1km nửa sau phải với thời gian là: 2,5 – 1,5 = (phút) phút 1km được: x 60 = 60 (km) Vậy nửa quãng đường sau ôtô phải với vận tốc 60 km/giờ Đáp số: 60 km/giờ Bài 20: (Vật chuyển động lên dốc, xuống dốc) Dùng cho HSG Lớp 81 Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú Một người từ A đến B lại trở A 40 phút Đường từ A đến B lúc đầu xuống dốc, tiếp đường lại lên dốc Khi xuống dốc người với vận tốc 5km/giờ, đường với vận tốc 4km/giờ lên dốc với vận tốc 3km/giờ Hỏi quãng đường dài biết quãng đường AB dài 9km? Giải: = 60 phút Cứ 1km đường xuống dốc hết: 60 : = 12 (phút) Cứ 1km đường lên dốc hết: 60 : = 20 (phút) Cứ 1km đường hết: 60 : = 15 (phút) 1km đường dốc lẫn hết: 12 + 20 = 32 (phút) 1km đường lẫn hết: 15 + 15 = 30 (phút) Nếu 9km đường dốc hết: 32 x = 288 (phút) Thời gian thực 4giờ 40 phút = 280 phút Thời gian chênh lệch là: 288 – 280 = (phút) Thời gian 1km đường dốc 1km đường là: 30 – 32 = (phút) Đoạn đường dài là: : = (km) Đáp số: 4km Bài 21: (Hai vật xuất phát lúc cách quãng đường S) Lúc 12 trưa, ôtô xuất phát từ điểm A với vận tốc 60km/giờ dự định đến B lúc 30 phút chiều Cùng lúc điểm C đường từ A đến B cách A 40km, người xe máy với vận tốc 45km/giờ B Hỏi lúc ôtô đuổi kịp người xe máy điểm gặp cách A bao nhiêu? Bài làm A 40km C B 60km/giờ 4okm/giờ Mỗi ôtô gần xe máy thêm là: 60 – 45 = 15 (km) Thời gian để ôtô đuổi kịp xe máy là: 40 : 15 = 22 3 (giờ) = 40 phút Hai xe gặp lúc: 12 + 40 phút = 14 40 phút Địa điểm gặp cách A là: 60 x 22 3 = 160 (km) Đáp số: 14giờ 40phút 160 km Bài 22: (Cùng xuất phát điểm cách thời gian T) Nhân dịp nghỉ hè, lớp 5A tổ chức cắm trại địa điểm cách trường 8km Các bạn chia thành hai tốp: tốp khởi hành lúc 6giờ sáng với vận tốc 4km/giờ Tốp xe đạp với vận tốc 10km/giờ Hỏi tốp xe đạp phải khởi hành lúc để tới nơi lúc với tốp bộ? Giải: Thời gian tốp đi hết quãng đường là: : = (giờ) Tốp đến nơi lúc: + = (giờ) Tốp xe đạp thời gian là: :10 = 0,8 (giờ) = 48 phút Tốp xe đạp phải khởi hành lúc: – 48 phút = 12 phút ĐS: Bài 23: (Từ chuyển động chiều đưa chuyển động chiều) Dùng cho HSG Lớp 82 Giáo án dạy hè lớp lên Nguyễn Tú Một người xe đạp với vận tốc 12km/giờ ôtô với vận tốc 28km/giờ khởi hành lúc 6giờ sáng từ A để đến B Sau nửa giờ, xe máy với vận tốc 24km/giờ xuất phát từ A đến B Hỏi đường AB lúc xe máy điểm khoảng cách xe đạp ôtô? Giải: Giả sử có xe khác X xuất phát từ A vào lúc 6giờ khoảng cách xe đạp ôtô vận tốc xe X phải vận tốc trung bình xe đạp ôtô Vận tốc xe X là: (12 + 28) : = 20 (km/giờ) Sau nửa xe X được: 20 x 0,5 = 10 (km) Như để đuổi kịp xe X, xe máy phải thời gian là: 10 : (24 – 20) = 2,5 (giờ) Lúc xe máy gặp xe X lúc xe máy xe đạp ôtô, lúc là: + 0,5 + 2,5 = (giờ) Đáp số: Bài 24: An Bình từ A đến B bắt đầu lúc Trong nửa thời gian đầu mình, An với vận tốc 5km/giờ, nửa thời gian sau An với vận tốc 4km/giờ Trong nửa quãng đường Bình với vận tốc 4km/giờ nửa quãng đường sau Bình với vận tốc 5km/giờ Hỏi đến B trước? BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1:Quãng đường từ nhà lên huyện dài 30km, người xe đạp với vận tốc 12km/giờ từ nhà lên huyện Sau 1giờ 30 phút người xe máy đuổi theo với vận tốc 36km/giờ Hỏi người xe máy đuổi kịp người xe đạp hai người cách huyện km? Bài 2:Một ca nô xuôi dòng đoạn sông hết 2giờ 30phút ngược dòng hết 3giờ 30phút Hãy tính chiều dài đoạn sông đó, biết vận tốc dòng nước 3km/giờ Bài 3:Hai bến sông A B cách 210km Cùng lúc có ca nô khởi hành từ A, ca nô khởi hành từ B ngược chiều Sau hai ca nô gặp Biết nước đứng vận tốc hai ca nô hành trình vậntốc dòng nước 3km/giờ Tính vận tốc ca nô Bài 4:Một xe lửa dài 120m chạy qua đường hầm với vận tốc 48km/giờ Từ lúc đầu tàu chui vào đường hầm lúc toa cuối khỏi đường hầm 8phút 12giây Hỏi đường hầm dài bao nhiêu? Bài 5:Trên đoạn đường quốc lộ chạy song song với đường tàu, hành khách ngồi ôtô thấy đầu tàuđang chạy ngược chiều cách ôtô 300m sau 12giây đoàn tàu vượt qua Hãy tính chiều dài đoàn tàu, biết vận tốc ôtô 42km/giờ vận tốc đoàn tàu 60km/giờ Dùng cho HSG Lớp 83 Giáo án dạy hè lớp lên Dùng cho HSG Lớp Nguyễn Tú 84 [...]... 0 ,5  6, 6 : 0,1 25  5 Bài 6: Tính nhanh: 989898 31313131  454 5 45 151 5 151 5 Bài 7: Tính nhanh: 10101x  5 5 5 5       10101 20202 30303 40404  Bài 8: Tính nhanh: 0,8  0,4 1, 25  25  0,7 25  0,2 75 1, 25  4  8  25 9 ,6  0,2  15, 4  2  15, 4 : 0, 25 b) 30,8 : 0 ,5  7,7 : 0,1 25  5  6 25, 4  0 ,5  40  5  0,2  20  0, 25 c) 1  2  8   129  1 56 a) 0 ,5  40  0 ,5  20  8  0,1 0, 25 10.. .Giáo án dạy hè lớp 5 lên 6 Nguyễn Tú 3 2 4 3 5 4 6 5        = 2 x 3 2 x3 3x4 3x4 4 x5 4 x5 5 x6 5 x6 1 1 1 1 1 1 1 1 =        2 3 3 4 4 5 5 6 1 1 3 1 2 1 =      2 6 6 6 6 3 Ví dụ: B= B= B= = = 3 3 3 3    2 x 5 5 x 8 8 x 11 11 x 14 5  2 8  5 11  8 14 11    2 x 5 5 x 8 8 x 11 11 x 14 5 2 8 5 11 8 14 11        2 x5 2 x5 5 x 8 5 x 8 8 x 11 8 x 11... d) 53 92  60 01  69 a) Bài 2: Tính nhanh: 1988  19 96  1997  19 85 1997  19 96  19 95  19 96 399  45  55  399 c) 19 95  19 96  1991  19 95 1978  1979  1980  21  19 85 e) 1980  1979  1978 1979 a) Dùng cho HSG Lớp 5 b) 1994  1993  1992  1993 1992  1993  1994  7  19 96 20 06  (0,4  3: 7 ,5) d) 20 05  20 06 2,43 12300  24 ,3 1230 g) 45  20 ,1  55  28,9  4 ,5  3,3  55  5, 37 b) 14 Giáo. .. Giáo án dạy hè lớp 5 lên 6 19 96  1997  1998  3 h) 1997  1999 1997  1997 2003  14  1988  2001  2002 i) 2002  2002  50 3  50 4  2002 Nguyễn Tú Bài 3: Tính nhanh: 54 6, 82  432, 65  453 ,18  352 , 35 2 15  48  2 15  46  155  60 2004  37  2004  2  2004  59  2004 b) 334  321  201  334  334  102  18  334 16, 2  3,7  5, 7  16, 2  7,8  4,8  4 ,6  7,8 c) 11,2  12,3  13,4  12 ,6 ... 13,4  12 ,6  11 ,5  10,4 a) Bài 4: Tính nhanh: 19 95 19 961 9 96 193119311931   19 96 19311931 19 951 9 951 9 95 1313 1 65 1 65 424242 b)   2121 143143 151 5 15 a) 2 2 2 1 1 1     7 17 127 4 24 124 c)  3 3 3 3 3 3     4 24 124 7 17 127 1414  151 5  161 6  1717  1818  1919 d) 2020  2121  2222  2323  2424  252 5 Bài 5: Tính nhanh a) 12 ,48 : 0 ,5  6, 25  4  2 2  3,12 1, 25 : 0, 25 10 b) 19 ,8 :... 23 53 5 353 242424    53 48 373737 232323 24  10101 37 23 53 10101    53 48 37  10101 23  10101 37 23 53 24    53 48 37 23  37 53   23 24        53 37   48 23  24 24 1 1   48 48 2  Bài tập Bài 1: Tính nhanh: 1997  19 96  1 19 95  1997  19 96 1997  19 96  9 95 c) 19 95  1997  1002 19 95  1997  1 e) 19 96  19 95  1994 254  399  1 45 254  399  253 53 92  60 01  59 31... 1994 9 95 =  1990 997 997 9 95 = =1  9 95 997 Bài tập Bài 1: Tính nhanh: 328 468 4 35 432 164     4 35 432 164 984 468 2000 2002 2001 2003 20 06 b)     2001 2003 2002 2004 2000 a) Bài 2: Tính nhanh: 1313 1 65 1 65 424242   2121 143143 151 5 15 19 95 19 961 9 96 199319931993 b)   19 95 19931993 19 951 9 951 9 95 a) Bài 3: Tính nhanh: 1 1 1 1 a) 1    1    1    1    2  3  4  5 3... cánh thì vừa hết nhiên liệu? Hd: Vđi =330 km A B ? km Theo bài ra ta có: Dùng cho HSG Lớp 5 ve=330 km tđi + tve = 6V(giờ) vdi 300 t v 12 6 =  di = ve = = v ve 360 t ve vdi 10 5 30 Giáo án dạy hè lớp 5 lên 6 Nguyễn Tú 5 Đến đây ta đã đưa về dạng toán tìm 2 số biết tổng bằng 6 và tỷ số bằng Do đó ta suy 6 ra thời gian lúc đi là: 6 : (6 + 5) × 6 = 36 (giờ) Quãng đường mà máy bay đi được là: 300 × 36. .. số liền sau Ví dụ: Tính: 4 4 4 4 4     1 x 3 x 5 3 x 5 x 7 5 x 7 x 9 7 x 9 x 11 9 x 11 x 13 5 1 73 9 5 11  7 13  9     = 1 x 3 x 5 3 x 5 x 7 5 x 7 x 9 7 x 9 x 11 9 x 11 x 13 A= 5 1 73 9 5 11  7 13  9     1 x 3 x 5 3 x 5 x 7 5 x 7 x 9 7 x 9 x 11 9 x 11 x 13 5 1 7 3 9 5       1x 3 x 5 1x 3 x 5 3 x 5 x 7 3 x 5 x 7 5 x 7 x 9 5 x 7 x 9 = 11 7 13 9    7 x 9 x 11 7 x 9 x 11 9... cho HSG Lớp 5 13 Giáo án dạy hè lớp 5 lên 6 Nguyễn Tú 2003  (1999  999)  2003  1 999  1004 2003  1000  2003  999  (999  1004)  2003  1000 2003  999  2003 2003  1000 2003  1000 1 19 96  19 95  9 96 Ví dụ 2: 1000  19 96  1994 19 96  1994  1  9 96  1000  19 96  1994 19 96  1994  (19 96  9 96 )  1000  19 96  1994 19 96  1994  1000  = 1(vì tử số bằng mẫu số) 1000  19 96  1994