Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT NĂM 2015 - Tài liệu soạn theo nhu cầu bạn học sinh khối trường THPT (đặc biệt khối 12) - Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng Bộ GD&ĐT - Tài liệu tập thể tác giả biên soạn: Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên (Chủ biên) Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên) Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn) Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên - Tài liệu lưu hành nội - Nghiêm cấm chép hình thức - Nếu chưa đồng ý ban Biên soạn mà tự động post tài liệu coi vi phạm nội quy nhóm - Tài liệu bổ sung chỉnh lý lần thứ Tuy nhóm Biên soạn cố gắng tránh khỏi sai xót định Rất mong bạn phản hồi chỗ sai xót địa email: caotua5lg3@gmail.com ! Xin chân thành cám ơn!!! Chúc bạn học tập ôn thi thật tốt!!! Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014 Trưởng nhóm Biên soạn Cao Văn Tú Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Bài 1: Chứng minh với a, b, c dương: 1 1 1      (5) a  2b  c b  2c  a c  2a  b a  3b b  3c c  3a Giải 1 1  (  ) ta có: x y x y 1    a  3b b  2c  a (a  3b)  (b  2c  a) a  2b  c 1    b  3c c  2a  b (b  3c)  (c  2a  b) b  2c  a 1    c  3a a  2b  c (c  3a)  (a  2b  c) c  2a  b Cộng vế với vế bất đẳng thức rút gọn ta có bất đẳng thức (5) a  3b  b  2c  a  Đẳng thức xảy khi: b  3c  c  2a  b  a  b  c c  3a  a  2b  c  Vận dụng bất đẳng thức Bài 2: Cho ba số dương a, b, c, chứng minh: 1 1 1    (   ) ab bc ca a b c Đẳng thức xảy a = b = c (2) Giải 1 1  (  ) ta có điều phải chứng minh x y x y  Phát triển: Áp dụng (2) cho số a+b, b+c, c+a ta được: 1 1 1    (   ) a  2b  c b  2c  a c  2a  b a  b b  c c  a  Kết hợp (2) (3) ta có:  Áp dụng Bài 3: Với a, b, c số dương: 1 1 1    (   ) a  2b  c b  2c  a c  2a  b a b c Chủ biên: Cao Văn Tú (3) (4) Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Đẳng thức xảy a = b = c Giải 1 Với a, b, c số dương thỏa mãn    Chứng minh rằng: a b c 1 1 1    (   ) a  2b  c b  2c  a c  2a  b a b c 1 ►Thực chất từ (4) thêm giả thiết:    a b c Bài 4: Hãy xác định dạng tam giác ABC góc thỏa mãn đẳng thức sau: C    B C C A A B A B C  tan tan  tan tan  tan tan 4.tan tan tan 2 2 2 2 tan A tan B tan Giải A B C , y  tan , z  tan x, y, z dương xy + yz + zx=1 2 x y z    Hệ thức trở thành:  yz  zx  xy xyz Ta có: x y z     yz  zx  xy x y z     ( xy  yz )  ( zx  yz ) ( xy  zx)  ( yz  zx) ( xy  yz )  ( zx  xy ) Đặt x  tan 1 x x  1 y y  1 z z             xy  yz zx  yz   xy  zx yz  zx   xy  yz zx  xy  1 x z x y y  z   1  xy  yz  zx            xy  yz zx  yz xy  zx   x y z  xyz xyz Đẳng thức xảy khi: x = y = z hay ABC Bài 5: Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện: x  y  z  0, x 1  0, y 1  0, z   Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: Q x y z   x 1 y 1 z  Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Giải Đặt a  x   0, b  y   0, c  z   a 1 b 1 c  1 4 Ta có: a  b  c  Q     3    a b c a b c Theo bất đẳng thức (1) ta có: 1 4 16 (  )     a b c ab c abc  Q  3  3 a  b   a  b  x  y  Đẳng thức xảy khi:    a  b  c a  b  c    c   z  1  Vậy: MaxQ  đạt  x  y    z  1 Bài 6: Chứng minh : 2x x6  y  2y 2z 1     y6  z z  x4 x4 y z Với x, y, z số dương Dấu xảy ? Giải x  1  1 x2 4x      x y x6 y x6  y x6  y Tương tự ta có: 1 4y 1 4z   ;   4 4 y z y z z x z x Cộng vế bất đẳng thức ta có bất đẳng thức cần chứng minh Dấu xảy x = y = z = Bài 7: Cho số thực dương a, b c thoả: ab  bc  ca  abc Chứng minh rằng: a4  b4 b4  c4 c4  a   1 ab a3  b3 bc b3  c3 ca c3  a3       Giải Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Ta có: ab  bc  ca  abc  Lưu hành nội bộ! 1 1 1    Đặt x  ; y  ; z   x+y+z=1 a b c a b c Khi ta có: 1  x y4    y3 x 6 x y      3 3 3 3   x y ab a  b x x y y x y x3  y3 x2  y 1    xy  x3 y3  2  y2 x 3 4 x y x y x2  y x  y       2 2 x  y x2  y x x2  y y x y  x  y x  y a  b4      Tương tự ta có: x4  y             b4  c yz c4  a4 zx  ;  3 3 2 bc b  c  ca  c  a  Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta có: a4  b4 b4  c4 c4  a    x  y  z  3 3 3 ab a  b bc b  c ca c  a       Suy điều phải chứng minh Bài 8: Với x, y, z, t số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x t t  y y  z z  x    t  y y  z z  x xt Giải Ta có: x t ty yz zx A(  1)  (  1)  (  1)  (  1)   ty yz zx xt   x y t  z y  x z t        ( x  y)    ( t  z )   y z xt4 t  y y z z  x xt t  y z  x     4 4( x  y  z  t )  ( x  y)  (t  z ) 4 40 x y z t x y z t z  y z t Vậy MinA = x = y = z = t  Bài 9: Cho x, y, z ba số dương chứng minh rằng: 1 1  (   )  6 x yz x y z Dấu xảy x  y  z Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta có: x  y + z  xyz ; 1 1 1   3  x y z x y z xyz 1 1 1 1  Từ đó: ( x  y  z )            x  y  z 9 x y z  x y z Đẳng thức xảy x  y  z Bài 10: Cho ba số a, b, c x, y, z ba số thực dương ta có: a b2 c  a  b  c       (Bất đẳng thức sơ-vac) x y z x yz a b c Dấu xảy   x y z Giải Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta có:   a 2  b 2  c 2   a b2 c           x  y  z       x   y   z    y z  x    x    y    z   2  a  b  c Từ suy điều phải chứng minh a b2 c    a  b  c với a, b, c số thực dương Bài 11: Chứng minh rằng: b c a Giải Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có: a b2 c  a  b  c      a  b  c Suy điều phải chứng minh b c a abc a b c   abc Dấu xảy b c a Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 6 a b c   b3  c3 c3  a3 a3  b3 Trong a, b, c số thực dương thỏa mãn: a  b  c  Bài 12: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B  Giải Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có: a3  b3  c3   a6 b6 c6 a  b3  c B 3  3  3   Mặt khác theo bất đẳng b  c c  a a  b  a  b3  c  2 thức Bunhiacovski ta có:   a  b  c   3 a  b2  c   3    aa a  bb b  cc c   3 3 3 3  9 a  b  c  a  b  c   9 a  b  c   a  b  c   Vậy B  18 Bài 13: Cho số thực dương x, y, z, t thỏa mãn xyzt=1 Chứng minh : 1 1     x  yz  zt  ty  y  xz  zt  tx  z  yt  xt  xy  t  yz  zx  xy  Giải 1 1 Đặt x  ; y  ; z  ; t= , theo ta có abcd = a b c d 1 a2 ; tương tự ta có :   1  bcd x3  yz  zt  ty     a3  bc dc bd  b2 c2 d2  ;  ;  y  xz  zt  tx  a  c  d z  yt  xt  xy  a  b  d t  yz  zx  xy  a  b  c Cộng vế bất đẳng thức ta có: 1 1    3 x  yz  zt  ty  y  xz  zt  tx  z  yt  xt  xy  t  yz  zx  xy  a2 b2 c2 d2 a  b  c  d       b  c  d a  c  d a  b  d a  b  c 3 a  b  c  d  a  b  c  d 4 abcd   3 (Mở rộng tự nhiên bất đẳng thức (7) cho bốn số)  Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 a  b  c  d  Dấu xảy   a b c d     b  c  d a  c  d a  b  d a  b  c Bài 14: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B  a8  b2  c   Lưu hành nội bộ! b8  a2  c2   b c8  a2  Trong a, b, c số thực dương thỏa điều kiện ab  bc  ca  Giải Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có: B b a8 c b8   a  b4 2      a  c  b  a  b a  b  c   c   2a b  b c  a c  2 4 a  b  c     a  c   b c8 2 2 2 2  c2 4 2 2  a2  2 Xét biểu thức a 2b2  b2c2  a 2c Theo bất đẳng thức Bunhiacovski ta có : a2b2  b2c2  a 2c2  a  b4  c Do đó: B a  b4  c  2  a  b4  c    a  b4  c a  b  c   a   4 a  b  c  4 4 4  b4  c Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacovski   ab  bc  ca   a  b4  c 2 2 Bài 15: Cho x,y, z > thoả: x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: y3 x3 z3   2x  y  5z y  3z  5x 2z  3x  y Giải Các số x, y, z có vai trò bình đẳng Dự đoán dấu xảy chúng Giải: Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có : Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 3 4 x y z x y z4      x  y  5z y  3z  5x z  3x  y x2  3xy  5xz y  yz  yx z  3xz  yz    x2  y  z   2 x2  y  z   xy  yz  zx   x2  y  z     x2  y  z    2 x2  y  z  x2  y  z   x2  y  z   10 x2  y2  z2  30 Dấu xảy khi:  x2 y2 z2     x2  3xy  5xz y  yz  yx z  3xz  yz  x yz x  y  z  2 x  y  z    Bài 16: Cho a, b, c > thoả: a.b.c = Chứng minh rằng:  a3  b  c  2  3 3 b c  a  c a  b Giải Nhận xét: -Các số x, y, z có vai trò bình đẳng Dự đoán dấu xảy chúng 1 x y z - Để đơn giản biểu thức ta đặt a  ; b  ; c  1 Đặt a  ; b  ; c  Theo giả thiết ta có: xyz = x y z 2x2 ; tương tự ta có: Ta có   a b  c   1  y  z  x3  y z  2 2z 2 y2 ;     b3  a  c     x  z c3 b  a   1  y  x  y3  x z  z3  y x  Do Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có : 2 2 x2 y 2 z       a  b  c  b2  c  a  c  a  b  y  z x  z y  x 2 x  y  z  2 x  y  z    xyz  2 x  y  z  Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Dấu xảy x  y  z  Bài 17: Cho số thực dương x, y, z > thoả: x  y  z  Tìm GTNN biểu thức: y2 x2 z2   A= x  yz y  zx z  xy Giải Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :  x  y  z y2 x2 z2    Ta có x  yz y  zx z  xy x  y  z  yz  zx  xy yz  zx  xy  x  y  z  x  y  z y2 x y z x2 z2      Do 2 x  yz y  zx z  xy x  y  z  x  y  z   x  y  z   Dấu xảy  x  y  z  x  y  z 1  x y z     x  yz y  zx z  xy Bài 18: Với x, y, z số dương x y.z  x y z Chứng minh rằng:    x  yz y  zx z  xy (1) Giải Đặt a  x , b  y,c  z Bài toán trở thành: a, b, c số dương a.b.c  a2 b2 c2    (2) 2 2 a  bc b  ac c  ab Chứng minh rằng: Áp dụng bất đẳng thức ta có a2  b2  c2  a  b  c a  bc b  ac c  ab a  bc  b  ac  c  ab Bình phương hai vế bất đẳng thức: 2 Chủ biên: Cao Văn Tú 2 10 3 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!   a  b  c a  b  c VT (3)     2  a  bc  b2  ac  c  ab   a  bc  b  ac  c  ab    4 a  b  c a  b  c   2 3(a  b  c  ab  bc  ac)  a  b  c 2   ab  bc  ac    a  b  c     a  b  c   3 2 ( Vì ab  bc  ac  3  abc   ) Đặt t   a  b  c  t  ( a  b  c  3 abc  ) t2 3t  15 t  3 3.9  15 t 3     2  3(t  3) 12 12 t  12 12 t   VT (5')   VT (4')  2 Dấu xảy x = y = z =  điều phải chứng minh Ta có: Tổng quát: Ta có toán sau: với x1 , x2 , , xn  n  2 số dương x1.x2 xn  Chứng minh rằng: x1 x1  x2 x3 xn  x2 x2  x3 x4 xn   xn xn  x1.x2 xn1  n Bài 19: Chứng minh a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  ab  bc  ca 1    a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 16 Giải Từ abc  ab  bc  ca suy 1   1 a b c 1 x  ; y  ; z  x  y  z  Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : a b c 36 x  y  3z a  2b  3c       x y z x  y  3z a  2b  3c 36 đặt Tương tự ta có: y  z  3x z  2x  y  ;  ; b  2c  3a 36 c  2a  3b 36 Chủ biên: Cao Văn Tú 11 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Cộng ba bất đẳng thức ta có: 6 x  y  z 1      a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 36 16 Cách 1 1 1  1 3           a  2b  3c  a  c    b  c    b  c   a  c b  c b  c   a b c  Tương tự ta có: 2: 1 1 1  1 2           ; b  2c  3a  a  c    a  c   b  a   a  c a  c b  a   a b c  1 1 1  13 2           c  2a  3b  b  c    b  a   b  a   b  c a  b b  a   b c a  cộng vế với vế ta có: 1 1 6 6        a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 36  a b c  16 suy điều phải chứng minh dấu xảy a = b = c = x  y  z  Bài 20: Cho x, y, z  Chứng minh rằng: P  x y z     x2  y  z 10 Giải  x2  y2   z2   P  x 1   y 1   z 1       1 x   1 y   1 z   x3 y3 z3   1     2   1 x 1 y 1 z  x2  y  z    x4 y4 z4   1     1 3  x  x y  y z  z x  y  z  x3  y  z   Đặt t  x2  y  z từ điều kiện  t  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Côsi ta có: x3  y  z   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx   3xyz  t  x2  y  z  2  x  y  z  1   x  y  z     t  t  3   2 2 Chủ biên: Cao Văn Tú 12 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 P  1 2t  1 2t t t 3t   t  3 (  t )(57t  9) 9 P   3t  10t  10 10   3t  3t Lưu hành nội bộ! 3t  10t  9    3t  10t  10 10 Dấu xảy x = y = z =  đpcm Bài 21: Cho x, y, z số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện: xyz = Tìm x2  y  z  y2  z  x  z2  x  y  GTNN biểu thức: P =   y y  2z z z z  2x x x x  y y Giải x2  y  z  y2  z  x  z2  x  y  z 2 xy y 2 xz P      y y  z z z z  x x x x  y y y y  2z z z z  2x x x x  y y  x 2 yz 2y y 2x x 2z z   y y  2z z z z  2x x x x  y y Đặt a  x x ; b  y y ; c  z z ; Ta có 2a  b  c 2a 2b 2c 2a 2b2 2c P       b  2c c  2a a  2b a  b  2c  b  c  2a  c  a  2b   ab  bc  ca     a  b2  c  2ab  2bc  2ca   ab  bc  ca   a  b2  c   ab  bc  ca     a  b2  c   ab  bc  ca    2ab  2bc  2ca   ab  bc  ca  Mặt khác ta có a2  b2  c2  ab  bc  ca Nên ta có: P  dấu xảy a  b  c Hay x x  y y  z z  x=y=z=1 Bài 22: Cho a, b, c lµ c¸c sè d-¬ng Chøng minh r»ng: a b c    bc ca ab Chủ biên: Cao Văn Tú 13 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Giải Ta cã: 1 9     b  c c  a a  b b  c  c  a  a  b 2(a  b  c) 1  (a  b  c)(   ) bc ca ab abc abc abc a b c         bc ca ab bc ca ab (§pcm) Bài 23: Cho a,b,c>0 a  b  c  Tìm giá trị nhỏ S  a2  1  b2   c  2 b c a Giải S  a2  1  b2   c  2 b c a (12  42 )(a  1 1 )  (1.a  )2 a   (a  ) b b b b 17 Tương tự b2  1 1  (b  ); c   (c  ) c c a a 17 17 Do đó: 4 36 (a  b  c    )  (a  b  c  ) a b c a bc 17 17 S   17  135 (a  b  c  4(a  b  c) )  4(a  b  c)   17   Bài 24: Cho x,y,z ba số thực dương x  y  z  Chứng minh x2  1  y   z   82 y z x Giải Chủ biên: Cao Văn Tú 14 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 1 1 (1.x  )2  (12  92 )( x  )  x   (x  ) y y y y 82 1 1  ( y  ); z   (z  ) z z x x 82 82 9 81 S (x  y  z    )  (x  y  z  ) x y z x yz 82 82 TT : y    80  ( x  y  z  )   82  x  y  z x  y  z  82   a 2b c Bài 25: Cho a,b,c>0 a  2b  3c  20 Tìm giá trị nhỏ S  a  b  c   Giải Dự đoán a=2,b=3,c=4 12 18 16 12   18   16      a  2b  3c   3a     2b     c    a b c a  b  c  20  3.2.2  2.2.3  2.4  52  S  13 4S  4a  4b  4c  1    Tìm giá trị lớn x y z 1 P   2x  y  z x  y  z x  y  2z Bài 26: Cho x,y,z> Giải Ta có 1 1 1 1 4 16 1 1 1   ;                x y x y y z yz x y y z x  y y  z x  2y  z x  y  z 16  x y z  TT : 1 2 1 1 1 2     ;      x  y  z 16  x y z  x  y  z 16  x y z   4 4 S      1 16  x y z  Bài 26: Cho x,y,z>0 x+y+z =6 Chứng minh 8x  8y  8z  4x1  4y1  4z1 Giải Chủ biên: Cao Văn Tú 15 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Dự đoán x=y=z = 8x.8x  64x  4x nên : Lưu hành nội bộ! 8x  8x  82  3 8x.8x.82  12.4x ; y  y  82  3 y.8 y.82  12.4 y ; 8z  8z  82  3 8z.8z.82  12.4z 8x  y  8z  3 8x.8 y.8z  3 82.82.82  192 Cộng kết => đpcm Bài 27: Cho x,y,z>0 xyz = Hãy chứng minh rằng:  x3  y  y3  z  z  x3   3 xy yz zx Giải x3  y  xy  x  y    x3  y  xyz  xy  x  y   xy  x  y  z   3xy xyz  3xy  x3  y 3xy yz  y3  z   ;   xy xy xy yz yz  1  S  3     3  xy yz zx   x2 y z  z  x3 3zx ;   yz zx zx zx 3 Bài 28: Cho x, y hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P   x  y 1  xy  1  x 2 1  y 2 Giải  x  y   xy   x  y 1  xy   x  y 1  xy       1  P  P   2 2 1  x  1  y  1  x  1  y   x  y   xy 2 4 Khi cho x=0 y= P = -1/4 Khi cho x=1 y = P = 1/4 KL: Khi dấu = xảy a b3 c    ab  bc  ca Bài 29: Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng: b c a Giải Chủ biên: Cao Văn Tú 16 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Cách 1: Lưu hành nội bộ! a b c a b c (a  b  c )  ab  bc  ac          ab  bc  ac b c a ab bc ca ab  bc  ac ab  bc  ac 3 4 2 2 3 a3 b c Cách 2:  ab  2a ;  bc  2b ;  ca  2a b c a a b3 c    2(a  b2  c )  ab  bc  ac  ab  bc  ac b c a Bài 30: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18 Chứng minh y  3z  3z  x  x  y  51    1 x 1 y  3z Giải y  3z  3z  x  x  y    1 x 1 y  3z y  3z  3z  x  x  2y   1 1 1 1 x 1 y  3z  1    x  y  3z      3    24 x  y  3z    x  y  3z  51  24   21 Bài 31: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: ( x  y  1)2 xy  y  x A  (Với x; y số thực dương) xy  y  x ( x  y  1)2 Giải Đặt ( x  y  1)  a; a   A  a  Có xy  y  x a Aa 8a a a 10 10   (  )       A  a 9 a 9 a 3 3 Bài 32: Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức ab  bc  ca P  a  b2  c  a b  b 2c  c a Chủ biên: Cao Văn Tú 17 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! Giải 2 2 2 3(a + b + c ) = (a + b + c)(a + b + c ) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Mà a3 + ab2  2a2b ;b3 + bc2  2b2c;c3 + ca2  2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b + b2c + c2a) > ab  bc  ca  (a  b  c ) 2 2 2 Suy P  a  b  c  Pa b c  a  b2  c 2(a2  b2  c2 ) t = a2 + b2 + c2, với t  9t t t      3    P  Suy P  t  2t 2t 2 2 a=b=c=1 Bài 33: Cho số dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a2  1 97  b2   c   b c a Giải   81    9  1.a  b   1  16  a  b2   a  b2   a  4b  ; 97         9   b2   b   ; c2   c    c 4c  a 97  97  4a  cộng vế lại Bài 34: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ 3  ( abc )1  a b c biểu thức P Giải 2  a  ( b  c )(  a  b  c ) ( a  b  c )  b  ( c  ab )(   c  a ) ( b c  a ) Có a (1) , b (2) 2 c  ca  (  bc )(   a  b ) ( c  a  b ) (3) Dấu ‘=’ xảy abc Do a,b,c độ dài cạnh tam giác nên vế (1), (2), (3) dương Nhân vế b c  ( a  b  c ) ( b c  a ) ( c a  b ) với vế (1), (2), (3) ta có : a (*) a b c  (  a ) (  b ) (  c ) Từ abc2 nên (*)  2   ( a  b  ca )  ( b  b c  c a )  90 a b c    a b c  ( a b  b c  c a )   a b c  ( a b  b c  c a )   (*) 3 3  b  c  () a  b  c  () a  b  c ( a b  b c  c a )  a b c   ( a b  b c  c a )  a b c Ta có a Chủ biên: Cao Văn Tú 18 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 3 ( a  b  c )  a b c  a b c  ( a b  b c  c a )   a b c  ( a b  b c  c a )    Từ (**) 3 ( a  b  c )  a b c  (  )   Áp dụng (*) vào (**) cho ta Dấu “=” xảy abc3 Từ giá trị nhỏ P đạt abc3 Bài 35: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh  a3  b3  c3  3abc  Giải *P  a3  b3  c3  3abc Ta có a3  b3  c3  3abc  (a  b  c)(a  b2  c  ab  bc  ac)  a3  b3  c3  3abc  (a  b2  c  ab  bc  ac) (1) có abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c)  2 1  4(ab  bc  ca)  8abc  6abc    ab  bc  ca  (2) 3 (1)and(2)  a3  b3  c3  3abc  a  b2  c    ab  bc  ca  3 mà ab  bc  ca    a  b2  c 2 P1 a   b2  c  1  1  1 1 1  2 a   b   c    a  b  c   P          6  *P  a3  b3  c3  3abc abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c)  1  4(ab  bc  ca)  8abc   ab  bc  ca)  2abc  (3) P  a3  b3  c3  3abc  (a  b  c)(a  b2  c  ab  bc  ac)  6abc  a  b2  c2  ab  bc  ac  6abc   a  b  c    ab  bc  ca   6abc 1    ab  bc  ca  2abc     4 Chủ biên: Cao Văn Tú 19 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 tập Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Bài 36: Lưu hành nội bộ! Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng: x  y  z  xy  yz  zx  xyz  Giải Chứng minh xyz    x  y  z  x  y  z  x  y  z   (6  x)(6  y)(6  z)  216  72( x  y  z)  24( xy  yz  zx)  8xyz  xyz  24  ( xy  yz  zx) (1) mà  x  y  z    x  y  z  2xy  yz  2xz   x  y  z  xy  yz  xz  36  3xy  yz  3xz (2) Nên xyz  x  y  z  xy  yz  xz  24  ( xy  yz  zx)+ 36  3xy  yz  3xz  xyz  x  y  z  xy  yz  xz  12  ( xy  yz  zx) mà  x  y  z   3( xy  yz  zx)  x  y  z 36  xyz  x  y  z  xy  yz  xz  12   12   3 2 2 Bài 37: Cho a  1342; b  1342 Chứng minh a2  b2  ab  2013 a  b  Dấu đẳng thức xảy nào? Giải Ta sử dụng ba kết sau:  a 13422  b 13422  0;  a 1342b 1342  0; a 1342  b 1342  Thật vậy: (1)  a 13422  b 13422   a2  b2  2.1342  a  b   2.13422  (2)  a 1342b 1342   ab 1342a 1342b 13422   a  b2  2.1342  a  b   2.13422  ab  1342a 1342b  13422   a  b2  ab  3.1342  a  b   3.13422  2.2013  a  b   3.13422  2013  a  b   2013  a  b   2.2013.1342  2013  a  b   2013  a  b 1342 1342   2013  a  b  Bài 38: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A   x 1   x  3   x 1  x  3 4 Chủ biên: Cao Văn Tú 2 20 Email: caotua5lg3@gmail.com [...]... ; Ta có 2 a  b  c 2a 2b 2c 2a 2 2b2 2c 2 P       b  2c c  2a a  2b a  b  2c  b  c  2a  c  a  2b  3  ab  bc  ca  2   2  a 2  b2  c 2  2ab  2bc  2ca  3  ab  bc  ca  2  a 2  b2  c 2  3  ab  bc  ca    2  a 2  b2  c 2  3  ab  bc  ca   2  2ab  2bc  2ca  3  ab  bc  ca  4 3 Mặt khác ta có a2  b2  c2  ab  bc  ca Nên ta có: P  2 dấu bằng... (a 2  b 2  c 2 ) 2 2 2 2 2 2 Suy ra P  a  b  c  2 Pa b c  a  b2  c 2 2(a2  b2  c2 ) t = a2 + b2 + c2, với t  3 9t t 9 t 1 3 1      3   4  P  4 Suy ra P  t  2t 2 2t 2 2 2 2 a=b=c=1 Bài 33: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  2 Chứng minh rằng: a2  1 1 1 97  b2  2  c 2  2  2 b c a 2 Giải 2 9 1   2 81  2 1  1 4  9  2 1.a  4 b   1  16  a  b2... 12   12   8 3 3 9 2 2 2 2 Bài 37: Cho a  13 42; b  13 42 Chứng minh rằng a2  b2  ab  20 13 a  b  Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Giải Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:  a 13 42 2  b 13 42 2  0;  a 13 42 b 13 42  0; a 13 42  b 13 42  0 Thật vậy: (1)  a 13 42 2  b 13 42 2  0  a2  b2  2. 13 42  a  b   2. 13 422  0 (2)  a 13 42 b 13 42  0  ab 1342a 1342b 13 422  0  a 2. .. bc  ca P  a 2  b2  c 2  2 a b  b 2c  c 2 a Chủ biên: Cao Văn Tú 17 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 20 15 Lưu hành nội bộ! Giải 2 2 2 2 2 2 3(a + b + c ) = (a + b + c)(a + b + c ) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Mà a3 + ab2  2a2b ;b3 + bc2  2b2c;c3 + ca2  2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b + b2c + c2a) > 0 ab  bc... 2  b2  2. 13 42  a  b   2. 13 422  ab  1342a 1342b  13 422  0  a 2  b2  ab  3.13 42  a  b   3.13 422  2. 2013  a  b   3.13 422  20 13  a  b   20 13  a  b   2. 2013.13 42  20 13  a  b   20 13  a  b 13 42 13 42   20 13  a  b  Bài 38: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A   x 1   x  3  6  x 1  x  3 4 4 Chủ biên: Cao Văn Tú 2 2 20 Email: caotua5lg3@gmail.com ... đpcm 3 Bài 21 : Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện: xyz = 1 Tìm x2  y  z  y2  z  x  z2  x  y  GTNN của biểu thức: P =   y y  2z z z z  2x x x x  2 y y Giải x2  y  z  y2  z  x  z2  x  y  z 2 2 xy y 2 2 xz P      y y  2 z z z z  2 x x x x  2 y y y y  2z z z z  2x x x x  2 y y  x 2 2 yz 2y y 2x x 2z z   y y  2z z z z  2x x x x  2 y y Đặt...  z   (6  2 x)(6  2 y)(6  2 z)  21 6  72( x  y  z)  24 ( xy  yz  zx)  8xyz 8  xyz  24  ( xy  yz  zx) (1) 3 mà  x  y  z   9  x 2  y 2  z 2  2xy  2 yz  2xz  9 2  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  36  3xy  3 yz  3xz (2) 8 Nên xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  24  ( xy  yz  zx)+ 36  3xy  3 yz  3xz 3 1 2  xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  12  ( xy  yz...  2 17   Bài 24 : Cho x,y,z là ba số thực dương và x  y  z  1 Chứng minh rằng x2  1 1 1  y 2  2  z 2  2  82 2 y z x Giải Chủ biên: Cao Văn Tú 14 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 20 15 Lưu hành nội bộ! 1 1 1 1 9 (1.x  9 )2  ( 12  92 )( x 2  2 )  x 2  2  (x  ) y y y y 82 1 1 9 1 1 9  ( y  ); z 2  2  (z  ) 2 z z x x 82 82. .. abc 9 a b c 3         bc ca ab 2 bc ca ab 2 (§pcm) 3 Bài 23 : Cho a,b,c>0 và a  b  c  Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 S  a2  1 1 1  b2  2  c 2  2 2 b c a Giải S  a2  1 1 1  b2  2  c 2  2 2 b c a ( 12  42 )(a 2  1 1 1 1 4 )  (1.a  4 )2 a 2  2  (a  ) 2 b b b b 17 Tương tự b2  1 1 4 1 1 4  (b  ); c 2  2  (c  ) 2 c c a a 17 17 Do đó: 1 4 4 4 1 36 (a  b  c    ) ...  x2  y 2  z 2  3 1 2 2 2  x  y  z  1   x  y  z   3   t  t  2 3 3   2 2 3 2 2 2 Chủ biên: Cao Văn Tú 12 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 20 15 P  1 2t 2  1 2t 2 t t 3t  1  t 2  3 3 1 (  t )(57t  9) 9 9 P 3 2   3t  10t  3 10 10  1  3t  3t Lưu hành nội bộ! 3t  10t  3 9 9    2 3t  10t  3 10 10 2 Dấu