Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán CÁC DẠNG TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Bài 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (2;1;0) đường x  y 1 z 1   thẳng  : Lập phương trình mặt phẳng ( P) qua M chứa 1  Giải: Đường thẳng  có vtcp u  (1; 1;2) A(2;1;1)   MA  (4;0;1) Vì mặt phẳng ( P) qua M chứa  nên n p  u , MA  (1;7;4) Do phương trình ( P) : 1( x  2)  7( y  1)  z   x  y  z   Bài 12 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4; 2;11), B( 2; 10;3) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB Giải: Mặt phẳng trung trực đoạn AB qua trung điểm I (1; 6;7) AB nhận AB  (6; 8; 8) làm vtpt Suy phương trình mặt phẳng (Q) : 6( x  1)  8( y  6)  8( z  7)   3x  y  z   Bài 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho đường thẳng x  y  z 1 điểm M (2; 1;3) Viết phương trình mặt phẳng ( P) d:   3 qua điểm K (1;0;0) , song song với đường thẳng d đồng thời cách điểm M khoảng Giải: d có vtcp u  (2; 3;1) qua H (2;4; 1) ( P) có vtpt n( A; B; C ), ( A2  B  C  0)   A  3B  C  C  2 A  3B u.n  d / /( P)      H (2;4; 1)  ( P) 3 A  B  C  C  A  B (*)   qua K (1;0;0) Vì ( P) :   vtpt n  ( A; B; 2 A  3B) nên phương trình ( P) : Ax  By  (3B  A) z  A  5 A  8B d ( M ,( P))    2 A  B  (3B  A) Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán  (5 A  8B)2  3(5 A2  12 AB  10 B )  A2  22 AB  17 B  A  B  5 A  17 B Với A  B  C  B không thỏa mãn (*) Với A  17B  chọn A  17 ta có B   C  19 thỏa mãn (*) Suy phương trình mặt phẳng ( P) :17 x  y  19 z  17  Bài 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng x 1 y 1 z    (Q) chứa đường thẳng d: tạo với mặt phẳng (P): 1 x  y  z   góc nhỏ Giải: d có vtcp u  (2;1;1) , (P) có vtpt m  (1;2; 1) , (Q) có vtpt n  (a; b; c);(a  b2  c  0) Do (Q) chứa d  n  u  n.u   2a  b  c   c  2a  b  n  (a; b; 2a  b) Gọi  góc hợp (P) (Q) a  2b  2a  b 3a  3b  cos   cos(n; m)   5a  4ab  2b2 a  b   2a  b   3ab 3a  2(a  b)2  3ab 2(a  b)2   cos300    300 Vậy   300 Dấu xảy a  lúc ta chọn b  1; c  1  n  (0;1; 1)  Qua A(-1;-1;3)  d Mặt phẳng (Q):  nên phương trình (Q) : y  z   vtpt n  (0;1;-1)   Bài 15 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(1;0;1), B(2;1;2) mặt phẳng (Q) : x  y  3z   Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B vuông góc với (Q) Giải: Ta có AB  (1;1;1), nQ  (1;2;3),  AB, nQ   (1; 2;1) Vì  AB, nQ   mặt phẳng (P) vuông góc với (Q) nên (P) nhận  AB, nQ  làm vtpt Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Vậy (P) có phương trình là: x  y  z   Bài 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : x 1 y z   điểm A(1; 1;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) , biết (P) 2 vuông góc với đường thẳng  cách điểm A khoảng Giải: Đường thẳng  có vtcp u (1; 2;2) Do mặt phẳng (P) vuông góc với  nên (P) có phương trình là: x  y  2z  d  Lại có d ( A;( P))   7d d  3 7d 9   d  16 Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: x  y  z   x  y  z  16  Bài 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ( P) : x  y  z   Mặt cầu ( S ) : x2  y  z  x  y  z   hai điểm A(1; 1; 2) , B(4;0; 1) Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với AB, vuông góc với mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính Giải: Mặt cầu ( S ) có tâm I (2; 1; 1) , bán kính R  Mặt phẳng (P) có vtpt n1(1; 1;1), AB(3;1;1)   AB, n1   (2; 2; 4) Do mặt phẳng ( ) / / AB    ( P)  ( ) có vtpt n(1; 1; 2) Suy phương trình mặt phẳng   có dạng: x  y  z  m  Do   cắt mặt cầu ( S ) theo đường tròn có bán kính d ( I ,( ))   nên ta có: m   6  m  11 5m Vậy có hai mặt phẳng   thỏa mãn x  y  z   x  y  z  11  Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Bài 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x  y  z   điểm A(3; 2; 2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, vuông góc với mặt phẳng (P) cắt trục Oy, Oz M, N cho OM = ON (M, N không trùng với O) Giải: Gọi M (0; a;0), N (0;0; b) ab  Ta có: AM  (3;2  a;2), AN (3;2; b  2) Gọi vtpt (Q) nQ Theo giả thiết suy nQ   AM , AN   (2a  2b  ab; 3a; 3b) Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (P) là: nP  (1; 1; 1) Mặt khác ( P)  (Q)  nP  nQ  nP nQ   ab  a  b  a  b Và OM  ON  a  b    a  b (1) (2) Từ (1) (2) ta được: a  TH1: a  b   a  Với a  M  O nên loại Với a   nQ  (12;6;6) , phương trình mặt phẳng (Q) là: x  y  z   TH2: a  b  a  (loại) Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: x  y  z   Bài 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 1; 3), B(3;0; 3) mặt cầu (S) có phương trình: x2  y  z  x  y  z   Viết phương trình (P) qua điểm A, B mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính Giải: Mặt cầu (S) có tâm I (1; 1; 1) , bán kính R = Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Giả sử (P) có vtpt n(a; b; c), (a  b2  c  0) Mặt phẳng (P) qua A nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: a( x  0)  b( y  1)  c( z  3)   ax  by  cz  b  3c  B  ( P)  3a  3c  b  3c   b  3a d ( I ,( P ))  32    5 a  b  c  b  3c a b c 2 2 2 2   a  2c  a  b  c   a  2c  10a  c a   39a  4ac    4c a  39  Với a = b = 0, chọn c=1 Ta có phương trình ( P) : z   Với a  4c , chọn c  39 a  4, b  12 39 Ta phương trình mặt phẳng (P) là: x  12 y  39 z  129  Bài 20 Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 1;0), B(2;1;2) mặt phẳng ( P) : x  y  z   Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với mặt phẳng (P) cho khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (Q) lớn Giải: Phương trình mặt phẳng (Q) qua A có dạng: a( x  1)  b( y  1)  cz  (a  b  c  0) Mặt phẳng (P) (Q) có vtpt nP  (1; 1;2), nQ  (a; b; c) Vì (Q)  ( P) nên nQ nP   a  b  2c   a  b  2c Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: (b  2c)( x  1)  b( y  1)  cz  Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Ta có d ( B;(Q))  3b (b  2c)2  b2  c Nếu b = d ( B;(Q))  Nếu b  d ( B;(Q))  (1  2t )2   t Dấu xảy t   30 c  , (t  ) b 5(t  )2  5 c  Chọn c = b = a = b Vậy (Q) có phương trình là: ( x  1)  5( y  1)  z   x  y  z   Bài 21 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d qua điểm M (0; 1;1) có véc tơ phương u  (1;2;0) điểm A(1;2;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) Giải: Đường thẳng d qua điểm M (0; 1;1) có vtcp u (1;2;0) Gọi n(a; b; c) (a  b2  c2  0) vtpt (P) Do (P) chứa d nên: u.n   a  2b   a  2b Phương trình mp (P) có dạng: a( x  0)  b( y  1)  c( z  1)   ax  by  cz  b  c  Ta lại có: d ( A,( P))   Mà a  2b  5b  2c 5b2  c a  3b  2c a b c 2    5b  2c  5b  c a   4b2  4bc  c2   (2b  c)2   c  2b Chọn b  1   c  2 Ta phương trình mặt phẳng (P) là: x  y  z   Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Bài 22 Trong không gian Oxyz cho phương trình mặt phẳng ( P) : x  y  z  Lập phương trình mặt phẳng (Q) qua gốc tọa độ, vuông góc với (P) cách điểm M (1;2; 1) khoảng Giải: (Q) qua gốc tọa độ nên (Q) có phương trình dạng: Ax  By  Cz  ( A2  B2  C  0) A  B  C  ( P )  ( Q )    Từ giả thiết ta có:    A  2B  C   d ( M ,(Q))   2  A  B C  A  B  C  B  2C   (1)  2  B  2C  BC (1)  B  3B  8C  Nếu B  A  C Chọn C  1  A  Ta phương trình mặt phẳng (Q) là: x – z  Nếu 3B  8C  ta chọn C  3; B  8; A  Ta phương trình mặt phẳng (Q) là: 5x  y  3z  Vậy có hai mặt phẳng (Q) thỏa mãn toán có phuơng trình là: x – z  ; x  y  3z  Để theo dõi tài liệu khác, truy cập fanpage : Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Để học online, truy cập kênh Youtube: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán