TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG TIỂU LUẬN PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU CAO HỌC NGÀNH: XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP KHÓA 2012 A CƠ SỞ LÝ THUYẾT I Tìm tải tới hạn đàn hồi phương pháp phương trình vi phân Cột hai đầu khớp a Giả thiết - Cột thẳng tuyệt đối - Lực tác dụng tâm - Bỏ qua biến dạng cắt - Mặt cắt ngang trước biến dạng phẳng sau biến dạng - Vật liệu tuân theo định luật Hooke - Chuyển vị nhỏ b Sử dụng phương trình vi phân bậc Hình 1.1 Cột hai đầu khớp Phương trình cân bằng: NHÓM 04 Trang TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG  M int  Py   EIy ''  Py   y ''  k y  Với: k  1.1 P EI Nghiệm tổng quát phương trình (1.1) là: y  A sin kx  B cos kx 1.2  Xác định hệ số A B: Các điều kiện biên:   y (0)     y ( L)  1.3a  1.3b  Từ điều kiện (1.3a) (1.3b), suy ra:  B0   A sin kL  1.4  Giả phương trình (1.4), nếu: - Với A  phương trình (1.4) có nghiệm tầm thường → y = (cấu hình không biến dạng, đường bản) - Với sin kL  phương trình (1.4) có nghiệm không tầm thường: kL  n , n = 1, 2, 3,… k n n 2 EI P L L2 Lực tới hạn ứng với giá trị nhỏ n (n = 1): Pcr   EI L2 → Lực Euler Cấu hình biến dạng: y  A sin x L Cột đầu ngàm, đầu tự a Sử dụng phương trình vi phân bậc NHÓM 04 Trang TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG Hình 2.1 Cột đầu ngàm, đầu tự Xét đoạn cột hình 2.1, ta có: Phương trình cân bằng: NHÓM 04 Trang TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG  dM     M b  Qdx  Pdy  M   M  dx dx        F  Q   Q  dQ dx      y dx    2.1  2.2  Từ phương trình (2.1), suy ra: dM dy P dx dx dQ d M d2y   P dx dx dx Q Từ phương trình (2.2), suy ra: dQ d M d2y   P 0 dx dx dx  2.3 Ta có: M   EI d2y dx  2.4  Thay giá trị (2.4) vào phương trình (2.3), ta được: d4y d2y  P 0 dx dx  y IV  k y ''  EI Với: k   2.5  P EI Nghiệm tổng quát phương trình (2.5) là: y  A sin kx  B cos kx  Cx  D  2.6 Xác định hệ số A, B, C D: Các điều kiện biên hai đầu: - Tại chân cột   y (0)   '   y (0)  -  2.7a   2.7b  Tại đầu cột NHÓM 04 Trang TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG  2.8a   y '' ( L)    dM d3y dy V    EI P  dx dx dx   2.8b  Từ điều kiện (2.7a) (2.7b), suy ra:  BD 0   Ak  C   2.9  Từ điều kiện (2.8a) (2.8b), suy ra:  A sin kL  B cos kL   C 0   2.10  Ta viết dạng ma trận từ biểu thức (2.9) (2.10) sau: 1   A  0        k 0  B   0  sin kL cos kL 0  D  0  2.11 Để hệ phương trình (2.11) có nghiệm không tầm thường thì: 1  det  k 0   sin kL cos kL   k cos kL   2.12  Với k  thì: cos kL  n n k  2L  kL  Với n = 1, 3, 5,… Lực tới hạn ứng với giá trị nhỏ n (n = 1): Pcr  k EI   EI L2 Trường hợp tổng quát tính toán Pcr cột chịu nén tâm với điều kiện biên khác là: Pcr  NHÓM 04  EI  KL  Trang TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG với K hệ số chiều dài tính toán phụ thuộc dạng liên kết, lấy theo bảng sau: Bảng hệ số chiều dài tính toán K Khung tầng, nhịp: Xét khung chịu tải hình sau NHÓM 04 Trang TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG Hình 3.1 Khung tầng, nhịp Xét cột, phương trình cân bằng:  M int  Pyc   EI c yc''  Pyc   yc''  kc2 yc  Với: kc2  3.1 P EI c Nghiệm tổng quát phương trình (3.1) là: NHÓM 04 Trang TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG yc  A sin kc xc  B cos kc xc 3.2  Xác định hệ số A B: Các điều kiện biên: 3.3a  3.3b    yc (0)     yc ( Lc )   Từ điều kiện (3.3a) (3.3b), suy ra:  B0     A  sin k L c c  3.4  Thay giá trị (3.4) vào biểu thức (3.2), ta độ võng ngang cột: yc   sin kc xc sin kc Lc 3.5  Mô men M B đầu cột: 3.6  M B  P Từ phương trình (3.6), ta có độ lệch ngang  :  MB P 3.7  Thay giá trị (3.7) vào phương trình (3.5), ta được: yc  MB sin kc xc P sin kc Lc 3.8  Ta có:  yc'  kc M B cos kc xc P sin kc Lc 3.9  Thay xc  Lc vào biểu thức (3.9), ta được:  yc'  Lc   kc M B P tan kc Lc 3.10  Xét dầm, phương trình cân bằng: NHÓM 04 Trang TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU  M int   M int  2M B xb  M B  Lb 2M B xb  M B Lb 2M B xb  M B Lb  EI b yb''   yb''  GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG M B  xb   1  EI b  Lb  3.11 Nghiệm tổng quát phương trình (3.11) là: yb  Cxb  D  M B  xb3 xb2     EI b  3Lb   3.12  Xác định hệ số C D: Các điều kiện biên:  yb (0)    Lb  yb ( )   3.13a  3.13b  Từ điều kiện (3.13a) (3.13b), suy ra:  D0   M B Lb C  EI b  3.14  Thay giá trị (3.14) vào biểu thức (3.12), ta độ võng ngang cột: M B Lb M B  xb3 xb2  yb  xb     EI b EI b  3Lb  3.15  M B Lb M B  xb2 y     xb  EI b EI b  Lb   3.16  Ta có: ' b Thay xb  vào biểu thức (3.16), ta được:  yb'    M B Lb EIb 3.17  Theo điều kiện liên tục nút B, ta có: NHÓM 04 Trang TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG yc'  Lc   yb'    kc M B M L = B b P tan kc Lc EI b  kc L    b MB   P tan kc Lc EI b  kc L   b 0 P tan kc Lc EI b  3.18   6kc Lc  kb2 Lb Lc tan kc Lc  Với: kb2  P EI b Trường hợp đặc biệt:  Lb  Lc  L   kb  kc  k 3.19  Thay giá trị (3.19) vào phương trình (3.18), ta được:  6kL   kL  tan kL   kL  1,35 k  1,35 L 3.20  Lực tới hạn đàn hồi Pcr : EI  1,35  Pcr  k EI    EI  1,82 L  L  II Tìm tải tới hạn đàn hồi phương pháp phần tử hữu hạn - Hệ phương trình cân có xét đến phi tuyến hình học: F   ke  k g      A         E F     L             NHÓM 04 12 I L2 6I L A 4I 0 A  symm 12 I  L 6I L 12 I L2      I  Fx  L   6I   L I  6I L 1              L 10 L2 15 1 0  symm L  10   L   10    u1    L2    v1      30   1      u2   L    v2    10       L2   15   Trang 10 TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG while(abs((N-N0)/N0)>eps) n=n+1; K=zeros(6,6); f=f0*alpha; Ke=cot2g(Ex,Ey,ep,N); K=assem(Edof,K,Ke); [a,r]=solveq(K,f,bc); Ed=extract(Edof,a); es=cot2gs(Ex,Ey,ep,Ed,N); N0=N; N=es(1,1); if(n>20) disp(['Alpha= ',num2str(alpha),': The solution doesn''t converge.']) break end end if(n>20) break end % - Check determinant for buckling Kred=red(K,bc(:,1)); if (det(Kred)eps) n=n+1; K=zeros(6,6); f=f0*alpha; Ke=cot2g(Ex,Ey,ep,N); K=assem(Edof,K,Ke); [a,r]=solveq(K,f,bc); Ed=extract(Edof,a); es=cot2gs(Ex,Ey,ep,Ed,N); N0=N; N=es(1,1); if(n>20) disp(['Alpha= ',num2str(alpha),': The solution doesn''t converge.']) break end end if(n>20) break end % - Check determinant for buckling Kred=red(K,bc(:,1)); if (det(Kred)eps) n=n+1; K=zeros(9,9); f=f0*alpha; Ke1=cot2g(Ex(1,:),Ey(1,:),ep,N(1)); Ke2=cot2g(Ex(2,:),Ey(2,:),ep,N(2)); K=assem(Edof(1,:),K,Ke1); K=assem(Edof(2,:),K,Ke2); [a,r]=solveq(K,f,bc); Ed=extract(Edof,a); es1=cot2gs(Ex(1,:),Ey(1,:),ep,Ed(1,:),N(1)); es2=cot2gs(Ex(2,:),Ey(2,:),ep,Ed(2,:),N(2)); N0=N; N=[es1(1,1),es2(1,1)]; if(n>20) disp(['Alpha= ',num2str(alpha),': The solution doesn''t converge.']) break end end if(n>20) break end % - Check determinant for buckling Kred=red(K,bc(:,1)); if (det(Kred)eps) n=n+1; K=zeros(6,6); f=f0*alpha; Ke=cot2g(Ex,Ey,ep,N); K=assem(Edof,K,Ke); [a,r]=solveq(K,f,bc); Ed=extract(Edof,a); es=cot2gs(Ex,Ey,ep,Ed,N); N0=N; N=es(1,1); if(n>20) disp(['Alpha= ',num2str(alpha),': The solution doesn''t converge.']) break end end if(n>20) break end % - Check determinant for buckling Kred=red(K,bc(:,1)); if (det(Kred)eps) n=n+1; K=zeros(12,12); f=f0*alpha; Ke1=cot2g(Ex(1,:),Ey(1,:),ep,N(1)); Ke2=cot2g(Ex(2,:),Ey(2,:),ep,N(2)); Ke3=cot2g(Ex(3,:),Ey(3,:),ep,N(3)); K=assem(Edof(1,:),K,Ke1); K=assem(Edof(2,:),K,Ke2); K=assem(Edof(3,:),K,Ke3); [a,r]=solveq(K,f,bc); Ed=extract(Edof,a); es1=cot2gs(Ex(1,:),Ey(1,:),ep,Ed(1,:),N(1)); es2=cot2gs(Ex(2,:),Ey(2,:),ep,Ed(2,:),N(2)); es3=cot2gs(Ex(3,:),Ey(3,:),ep,Ed(3,:),N(3)); N0=N; N=[es1(1,1),es2(1,1),es3(1,1)]; if(n>20) disp(['Alpha= ',num2str(alpha),': The solution doesn''t converge.']) break end end NHÓM 04 Trang 33 TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG if(n>20) break end % - Check determinant for buckling Kred=red(K,bc(:,1)); if (det(Kred)[...]... càng nhỏ), giá trị Pcr càng lớn NHÓM 04 Trang 22 TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG CHÚ Ý KHI MÔ HÌNH TRÊN PHẦN MỀM SAP2000: Để tránh sự chênh lệch lớn giữa kết quả SAP và kết quả giải tích, cần khai báo các hệ số hiệu chỉnh như sau: NHÓM 04 Trang 23 TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG D PHẦN PHỤ LỤC 1 Ví dụ 1: Cột hai đầu khớp % COT PHI TUYEN 2 DAU KHOP - 1 PHAN... cr NHÓM 04 Trang 13 TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG c Kết quả SAP2000 V14 NHÓM 04 Trang 14 TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG Bảng 2.2 : Giá trị Pcr theo SAP2000 Số phần tử 1 2 3 4 5 6 7 a 1,02503 1,01782 1,01739 1,01731 1,01729 1,01728 1,01727 P (kN) 102,503 101,782 101,739 101,731 101,729 101,728 101,727 cr d Biểu đồ so sánh kết quả và khảo sát sự hội tụ:...  1487, 65  kN  L2 42 b Kết quả CALFEM NHÓM 04 Trang 20 TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG Bảng 5.1 : Giá trị Pcr theo CALFEM Số phần tử 3 6 9 a 2,966 2,959 2,958 P (kN) 1483 1479,5 1479 cr c Kết quả SAP2000 V14 Bảng 5.2 : Giá trị Pcr theo SAP2000 Số phần tử 3 6 9 a 2,97637 2,96758 2,96695 P (kN) 1488,185 1483,79 1483,475 cr d Biểu đồ so sánh kết quả và khảo sát sự hội tụ: (hình... ngàm – một đầu tự do (ví dụ 2) e Bảng so sánh với kết quả P PHÁP P (kN) cr NHÓM 04 (1) (2) (3) So sánh (%) GIẢI TÍCH SAP2000 CALFEM (1) & (2) (1) & (3) (2) & (3) 101,3 101,727 101,14 0,42 0.16 0,58 Trang 15 TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG 3 Ví dụ 3 : Cột một đầu ngàm – một đầu ngàm trượt (hình 3.1) a Kết quả giải tích Các thông số đầu vào:  A  4.103 m2 ; I  3,301.106 m4 ; E ... 199.106  3,301.106  0,5  4  2  1620,84  kN  Hình 3.1 b Kết quả CALFEM Bảng 3.1 : Giá trị Pcr theo CALFEM Số phần tử 2 3 4 5 6 7  16,43 16,57 16,34 16,27 16,24 16,23 P (kN) 1643 1657 1634 1627 1624 1623 cr c Kết quả SAP2000 V14 NHÓM 04 Trang 16 TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG Bảng 3.2 : Giá trị Pcr theo SAP2000 Số phần tử 2 3 4 5 6 7  16,502 16,6437 16,4093  16,3216... sánh kết quả và khảo sát sự hội tụ: (hình 3.2) e Bảng so sánh với kết quả P PHÁP P (kN) cr (1) (2) (3) So sánh (%) GIẢI TÍCH SAP2000 CALFEM (1) & (2) (1) & (3) (2) & (3) 1620,84 1630,09 1623 0,57 0,13 0.43 Hình 3.2: Giá trị Pcr cột một đầu ngàm – một đầu ngàm trượt (ví dụ 3) NHÓM 04 Trang 17 TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG 4 Ví dụ 4: Cột một đầu ngàm – một đầu khớp (hình 4.1) a Kết. .. sánh kết quả và khảo sát sự hội tụ: (hình 1.2) e Bảng so sánh với kết quả (1) (2) (3) So sánh (%) GIẢI TÍCH SAP2000 CALFEM (1) & (2) (1) & (3) (2) & (3) 405,21 406,158 405,3 0,23 0,022 0,21 P PHÁP P (kN) cr NHÓM 04 Trang 12 TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG Hình 1.2: Giá trị Pcr cột hai đầu khớp (ví dụ 1) 2 Ví dụ 2: Cột một đầu ngàm, một đầu tự do chịu nén đúng tâm ( hình 2.1) a Kết. .. 199.106  3,301.106 42  405, 21 kN  Hình 1.1 b Kết quả CALFEM Bảng 1.1 : Giá trị Pcr theo CALFEM Số phần tử 1 2 3 4 5 6 7 a 4,927 4,083 4,059 4,055 4,053 4,053 4,053 P (kN) 492,7 408,3 405,9 405,5 405,3 405,3 405,3 cr NHÓM 04 Trang 11 TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG c Kết quả SAP2000 V14 Bảng 1.2 : Giá trị Pcr theo SAP2000 Số phần tử 1 2 3 4 5 6 7  4,9506 4,09354 4,06848 4,06377... quả và khảo sát sự hội tụ: (hình 4.2) e Bảng so sánh với kết quả P PHÁP P (kN) cr NHÓM 04 (1) (2) (3) So sánh (%) GIẢI TÍCH SAP2000 CALFEM (1) & (2) (1) & (3) (2) & (3) 1487,65 1483,475 1479 0,28 0,58 0,3 Trang 21 TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG Hình 5.2: Giá trị Pcr khung một tầng – một nhịp (ví dụ 5) C KẾT LUẬN - Bảng kết quả so sánh: Giá trị P (kN) cr Phương pháp tính Cột Khung... e Bảng so sánh với kết quả P PHÁP P (kN) cr NHÓM 04 (1) (2) (3) So sánh (%) GIẢI TÍCH SAP2000 CALFEM (1) & (2) (1) & (3) (2) & (3) 826,96 833,16 829,2 0,75 0,27 0,48 Trang 19 TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU GVHD: TS NGÔ HỮU CƯỜNG 5 Ví dụ 5: Khung một tầng, một nhịp (hình 5.1) a Kết quả giải tích Hình 5.1 Các thông số đầu vào: 3 2 5 4 6 2   Ac  Ab  4.10 m ; I c  I b  6,572.10 m ; E  199.10 kN