Giải gần đúng một số phương trình đại số và phương trình siêu việt

70 460 2
Giải gần đúng một số phương trình đại số và phương trình siêu việt

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HẰNG GIẢI GẦN ĐŨNG MÕT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐAI SỐ ■■ VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIẼT LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Chuyền ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÙNG HÀ NỘI, 2015 Luận văn thực hoàn thành trường ĐHSP Hà Nội 2, hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy hướng dẫn truyền thụ kinh nghiệm đồng thời người khơi nguồn cảm hứng cho tác giả học tập nghiên cứu khoa học Thầy động viên khích lệ tác giả vươn lên học tập vượt qua khó khăn chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành sâu sắc thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường ĐHSP Hà Nội 2, phòng Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, Trường THPT Cổ Loa tạo điều kiện giúp đỡ tác giả có thời gian học tập hoàn thành tốt luận văn Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Hằng Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học nghiên cứu đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả MỤC LỤC Nguyễn Thị Hằng Lí chon đè tài * Ngày ngành khoa học nói chung ngành toán học nói riêng phát triển đến mức độ cao Rất nhiều toán thực tế ( Thiên văn, đo đạc ruộng đất, yật lí, ) dẫn đến việc cần giải phương trình biến dạng / (x) = Nhìn chung phương trình dạng /(x) = thường khó giải phương pháp đại số, toán giải có công thức nghiệm phức tạp, cồng kềnh nên việc khảo sát tính chất nghiệm qua công thức nghiệm gặp nhiều khó khăn Bởi yậy việc tìm nghiệm gần đánh giá mức độ sai số nghiệm gần giải xấp xỉ phương trình ẩn dạng /(x) = cần thiết Các nhà Toán học nghiên cứu đưa số phương pháp giải gần phương trình ẩn dạng /(x) = Kết họp với hỗ trợ đắc lực máy tính điện tử đại nên việc tìm nghiệm gần phương trình phi tuyến ẩn dạng /(x) = trở nên đơn giản nhiều Tuy nhiên trước toán phi tuyến dạng /(x) = việc lựa chọn phương pháp tìm nghiệm gần để kết nghiệm tìm xác hơn, sai số nhỏ tính toán nhanh phương pháp giải xem tối ưu Không có phương pháp xem tối ưu tuyệt đối, phương pháp có nét đặc trưng riêng Việc dùng phương pháp để giải toán cho phù hợp tùy thuộc vào yếu tố khách quan toán mức độ yêu cầu công việc Với lí nêu mong muốn tìm hiểu sâu, trang bị cho thân kĩ đánh giá, lựa chọn phương pháp giải gần tối ưu cho số phương trình đại số phương trình siêu việt dạng / (x) = ( với /(x) hàm phi tuyến ) điều kiện thời gian, lực thân hạn chế nên chọn đề tài nghiên cứu để làm luận văn cao học là: " Giải gần số phương trình đại số phương trình siêu việt " Mục đích nghiền cứu Nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm gần phương trình đại số phương trình siêu việt dạng / (x) = Đưa ví dụ số minh họa cho kết lí thuyết Góp phần nâng cao lực nghiên cứu thân, phục vụ hiệu cho công tác nghiên cứu khoa học đào tạo sau đại học chuyên ngành toán giải tích trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Nhiệm vụ nghiền cứu Tìm tài liệu, đọc hiểu tài liệu Viết luận văn Đổi tượng nghiền cứu phạm vi nghiền cứu Đối tượng nghiên cứu là: Các phương pháp tìm nghiệm gần phương trình đại số phương trình siêu việt dạng / (x) = như: Phương pháp chia đôi, phương pháp lặp đơn, phương pháp Newtơn, phương pháp dây cung Các toán phương trình đại số phương trình siêu việt dạng /(x) = Phạm vi nghiên cứu: Các phương pháp tìm nghiệm gần phương trình đại số phương trình siêu việt dạng /(x) = Phương pháp nghiên cứu Trang bị cho thân kiến thức toán học cao cấp, giải tích số, sử dụng thành thạo máy tính bỏ túi Sưu tầm giải gần số toán đại số siêu việt Đóng góp luận văn Xây dựng luận vãn thành tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên học viên cao học số phương pháp giải gần phương trình đại số phương trình siêu việt CHƯƠNGI: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nghiệm khoảng phân lỉ nghiệm 1.1.1 Nghiệm phương trình ỉn Xét phương trình ẩn: f(x) = Q (1.1) ừong đó: / hàm số cho trước đối số X Giá trị x0 gọi nghiệm phương trình (1.1) f(x0) = Nghiệm phương trình (1.1) số thực số phức, ta khảo sát nghiệm thực 1.1.2 Ỷ nghĩa hình học nghiệm Các nghiệm phương trình (1.1) hoành độ giao điểm đồ thị hàm số ỵ = / (x) với trục hoành Có thể biến đổi phương trình (1.1) dạng g (x) = h (x), nghiệm phương trình (1.1) hoành độ giao điểm hai đồ thị (ct): y = g(x) (c )-.y = h(x) 1.1.3 Sự tồn tạỉ nghiệm thực phương trình (1.1) Trước tìm cách tính gần đứng nghiệm thực phương trình (1.1) ta phải kiểm tra xem nghiệm thực có tồn hay không Khi ta sủ dụng đầ thị sử dụng định lí sau Định lí I.I.3.I (Bolzano - Cauchy ) Nếu hàm số f (x) liên tục đoạn [ứ,ố] thỏa mãn điều kiện f ( a ) f ( b ) < phương trình f i x ) = có ỉt nghiệm khoảng ( a , b ) Chứng minh: Không tính tổng quát giả sử f(a) < 0, f{b) > 0, ta chia đôi đoạn [a,b] điểm chia a + ^ >ta xét đoan [« ,h ] ) = —-—, đóchứng Với «! =_a +±^,0 , ốj_Đăt 0= ata+ ốccó b định A / alí+được b +ố ' > ! ] cho f{a2)f(b2)< Ta tiếp tục lặp đoạn Khi hoăc sau môt số hữu han bước ta găp trường hơp / a‘ — V2 = ) Và định lí chứng minh Hoặc dãy vô hạn đoạn chứa Khi đoạn thứ n, [a ,b ],(« = 1,2,3 )ta có /(a ) 0 độ dài đoạn b-a Dãy đoạn ta lập thỏa mãn điều kiện bổ đề dãy đoạn (b-a'\ lồng nhau, theo lim (b -a ) = lim -—— = H—» + 0O n —ỳ + CO 2” J Vì hai dãy {a }, [b } dần tới giới hạn chung lim a = lim b =c ^ 2” ^* n —ỳ +CO fỉ —ỳ +CO Mà rõ ràng ce[fl,è] Ta chứng minh điểm c thỏa mãn yêu cầu định lí -9 Thật yậy tính liên tục hàm số X = c, ta có /(c) = lim f(an) < «->+00 Và /(c) = lim f(bn) > «->+00 Vậy /(c) = Ta có định lí chứng minh 1.1.4 Khoảng phân li nghiệm Định nghĩa Đoạn \a,b\ ( khoảng (fl,ố) ) gọi khoảng phân li nghiệm phương trình /(x) = chứa nghiệm phương trình đỏ Đinh lí 1.1.4.1 * Nếu hàm sổ y = / (x) liên tục, đơn điệu [a,b] /(a)/(ố) < [a,ố] khoảng phân li nghiệm phương trình /(x) = Chứng minh: Theo định lí ( Bolzano - Cauchy ) ta có phương trình /(x) = nghiệm [a,b] Giả sử Cj, c2 hai nghiệm phân biệt phương trình f(x) = Ta có /(C;) = / (c2) = Vì hàm số y = f(x) liên tục, đơn điệu [a,b] nên Cj = c2 (trái giả thiết) Do phương trình /(x) = có nghiệm [a,b] Vì theo định nghĩa \a,b\ khoảng phân li nghiệm phương trình /(x) = Neu / (x) có đạo hàm thị điều kiện đơn điệu thay điều kiện không đổi dấu đạo hàm ta có định lí sau Định lí 1.1.4.2 Nếu hàm sổ y = f (x) liên tục, đạo hàm /'(x) không đổi dấu [a,b] f(a)f(b) ) X + H- -1 — - = ( v ô nghiêm, 2V10-X2 - x + x > ) Với x = = > y = - = Vậy hệ phương trình (3.2.2.2) có tập nghiệm là: s = {(3;3)| 3.2.2 Phương pháp (dùng đạo hàm kết hợp vói phép lặp - phương pháp Newton) Nhận xét Với phương trình /(x) = ta biên đôi tương đương đê có g(x) = X Chọn giá trị Xj /'(*) tính: g(*i) = *i *2 =£(*)■ x3 =g(x2) =g(0Nếu dãy số {x } hội tụ sau số hữu hạn bước ta tìm giá trị gần ngiệm phương trình /(x) = ta dừng lại X với độ xác tùy ý Bài 1: Tìm nghiệm gần phương trình X -19x2 -52 = (3.2.2.1) với độ xác cao tốt -68 - Lòi giải: Đặt /(x) = x - x - Đặt g(x) = x - ^ ^ - o g ( x ) = x /(*) X7 -19x2 -52 d_ (x7 -19x2 -52) dx Trên máy tính Casio - 570ES plus, quy trình bấm phím sau: Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho X (chẳng hạn X = ) (Bấm 00) Bước 2: Ghi vào hình biểu thức: Ans Ans -19Ans - 52 dx (x7 -19x2 -52)1^ Ân s Ans - [TỊ [*? Ans -[5] [2] (Bấm Ans (s7 - 5] m S2 - s m) L dx Bước 3: Bấm liên tiếp dấu ([=1=1 [=] ) hai kết liên tiếp gần “giống nhau” dừng lại Ket nghiệm phương trình (3.2.2.1) X = Bài 2: Tìm nghiệm gần phương trình ¥ + X + X - 1T = với độ xác cao tốt (3.2.2.2) -69 Lời giải: Đặt f(x) = x +4 X + X -\Y X +4 X +5 X \YX d - (3 +4 X +5 X dx -\\ x ) Đặt g(x) = x - ^ ^ - o g ( x ) = x /(*) Trên máy tính Casio - 570ES plus, quy trình bấm phím sau: Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho X (chẳng hạn X = 2) Bước 2: Ghi vào hình biểu thức: Ans - (Bấm d d x m 0) (iH+ia+0E- 1 1 ' (Bấm Ans >^Ans ^Ans ^A ns X X X —(3 +4 +5 - n x ) I dx x= Ans An s\ I;C =Ì4 MS )• Bước 3: Bấm liên tiếp dấu Ị0H -H-") hai kết liên tiếp gần “giống nhau” dừng lại Kết nghiệm gần phương trình (3.2.2.2) X «1,088 -70 - LUẬN KẾT Luận văn giải vấn đề sau đây: Trình bày cách có hệ thống phương pháp tìm nghiệm gần phương trình đại số phương trình siêu việt dạng /(x) = Trình bày số toán thể ứng dụng tìm nghiệm gần phương trình /(x) = với sai số cho trước Trình bày số toán sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm gần phương trình /(x) = [...]... nhiều thì sai số tích lũy càng lớn CHƯƠNGII: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT 2.1 Tổng quát hóa tìm nghiệm gần đúng của phương trình /(x) = 0 Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số và phương trình siêu việt ta tiến hành qua hai bước: - Tách nghiệm: Xét tính chất nghiệm của phương trình (1.1), phương trình (1.1) có nghiệm hay không, có bao nhiêu nghiệm,... được một số điều kiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán 12- Sai số do số liệu ban đầu: Xuất hiện do việc đo đạc và cung cấp giá trị đầu vào không chính xác Sai số phương pháp: Xuất hiện do việc giải bài toán bằng phương pháp gần đúng Sai số tính toán: Xuất hiện do quá trình làm tròn số trong quá trình tính toán, quá trình tính toán càng nhiều thì sai số tích lũy càng lớn CHƯƠNGII: MỘT SỐ... sử X là số gần đúng của X* (x*là số đúng) , khi đó À x-x gọi là giá sai số để từ đó chọn ra phương pháp tối ưu nhất Sai số tuyệt đối: Giả sử 3Ax >0 đủ bé sao cho x-x < Ax khi đó Ax gọi là sai số tuyệt đối của X sai số thực sự của X Vì không xác định được À nên ta xét đến hai loại số sau: - Sai số tương đối: Sx = — X 1.3.2 Các loại sai số: Dựa vào nguyên nhân sai số, ta có các loại sau: - Sai số giả... về nghiệm của phương trình khi n -» 00 e) Sơ đồ tóm tắt phương pháp chia đôi - Cho phương trình /(x) = 0 - Ấn định sai số E cho phép - Xác định khoảng phân li nghiệm [ a , b ] - Giải thuật của phương pháp chia đôi í) Ưu nhược điểm của phương pháp - Ưu điểm: Đơn giải, dễ lập trình - Nhược điểm: Hội tụ về nghiệm chậm 2.3 Phương pháp lặp đơn a) Nội dung của phương pháp Biến đổi phương trình /(x) = 0... Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 5x3 - 20x + 3 = 0 (3.1.3) trên [0;l] với sai số không vượt quá 0,01 bằng phương pháp lặp Lòi giải: Đặt /(x) = 5x3-20x + 3 Vậy X « 0,777508 là nghiệm gần đúng cần tìm của phương trình (3.1.2) với sai số không vượt quá 0,02 Bài 3: =>/'(x) = 15x2-20 /(0)./(l) < 0, V* e [0;l] Nên (0;1) là khoảng phân li nghiệm của phương trình Nhận... đó là gần như nằm ngang + Việc kiểm tra điều kiện để áp dụng phương pháp Newton phức tạp hơn, nếu chọn điểm xuất phát không thích họp thì không đạt được kết quả như mong muốn CHƯƠNGIII: ỨNG DỤNG 3.1 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình /(x) = 0 với sai sổ cho trước Bài 1: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình X +4x2 -1 = 0 3 trên (0;l) với sai số không vượt quá 0,1 bằng phương pháp chia đôi Lời giải: ... Nội dung phương pháp Ý tưởng chủ đạo của phương pháp Newton là thay phương trình f (x) = 0 (1) phi tuyến đối với X bằng phương trình gần đúng, tuyến tính đối với X, cụ thể Thay đường cong /(x) trên [a,b] bởi tiếp tuyến [T) với đường cong tại điểm A hoặc B Hoành độ giao điểm Xị của (r)với trục hoành xem như nghiệm gần đúng của phương trình /(x) = 0 (1) Đe xây dựng công thức tính nghiệm của phương pháp... nghiệm của phương trình (3.1.1) Kết quả thực hiện của 4 lần lặp ( với phương pháp chia đôi) X, = ^ = 2L(Ố a ) 1 0,5 0,5 0,5 -0,1250 0,25 0,25 0,7344 0,5 0,375 0,125 0,5 0,4375 0,0625 0,2826 0,0580 Lần lặp a b 0 0 1 0 0,25 2 3 0,375 a + b Đánh giá sai số '2 Do AX = 0,0625 < £ = 0,1 nên X = x3 « 0,4375 là nghiệm gần đúng cần tìm của 3 phương trình (3.1.1) Bài 2: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 5x3... nghiệm gần đúng xữ = - + Nếu / (*0) = 0 => xồ là nghiệm đúng => Dừng + Nếu f(x0) * 0 và sai số Ax0 < £ thì xữ là nghiệm gần đúng cần tìm với sai số Axồ => Dừng + Nếu /(x0) ^ 0 và sai số Áxữ > thi xét dấu /(«)./(x0): Nếu /(a).f (x0) < 0 thì khoảng phân li nghiệm mới là [a,xữ] Nếu /(a).f (x0) > 0 thì khoảng phân li nghiệm mới là [x0,ố] - Lặp lại phương pháp chia đôi với khoảng phân li nghiệm mới - Quá trình. .. hàm /(x) liên tục và khả vi trên [a,b], ngoài ra 3mx :0 < mx < /'(x),Vx e \a,b\ mx =Min/'(x) và X e[a,ồl là xấp xỉ của nghiệm a, khi đó ta có đánh giá: X -a\< -— 2.2 |/(x )| ml Phương pháp chia đôi a) Bài toán Giả sử [a,ồ]là khoảng phân li nghiệm của phương trình /(x) = 0(l) Tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình (l) trên [a,ồ] với sai số không vượt quá £ cho trước b) Nội dung của phương pháp: - Chọn

Ngày đăng: 21/06/2016, 07:25

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • -1±VJ

  • -1-VJ

  • ụĩ

    • (s7 - 5] m S2 - s m) L.

      • I/OOI

      • ^=lZMhoặcAx>=^ik_^ 1.

        • ừ=0 "+l " /'¿V

        • /(*„-,)-/(<>,5)

          • Đặt /(x) = X3 + 3x2 - 3.

        • (Bấm [0] 0).

          • (Bấm [0] 0).

          • fl 2^1

            • 3 J'

        • o V

          • (Bấm [0] 0).

          • (Bấm m 0).

          • (Bấm m 0).

          • (Bấm m 0).

            • Jx > 0

            • (Bấm [0] 0).

            • Q , , ,, , Ansĩ - l-2yj0-Ans2

          • (Bấm m 0).

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan