BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HẰNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÙNG HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường ĐHSP Hà Nội 2, hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy hướng dẫn truyền thụ kinh nghiệm đồng thời người khơi nguồn cảm hứng cho tác giả học tập nghiên cứu khoa học Thầy động viên khích lệ tác giả vươn lên học tập vượt qua khó khăn chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành sâu sắc thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường ĐHSP Hà Nội 2, phòng Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, Trường THPT Cổ Loa tạo điều kiện giúp đỡ tác giả có thời gian học tập hoàn thành tốt luận văn Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Hằng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học nghiên cứu đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Hằng MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nghiệm khoảng phân li nghiệm 1.1.1 Nghiệm phương trình ẩn 1.1.2 Ý nghĩa hình học nghiệm 1.1.3 Sự tồn nghiệm thực phương trình (1.1) 1.1.4 Khoảng phân li nghiệm 10 1.1.5 Phương pháp tìm khoảng phân li nghiệm phương trình (1.1) 11 1.2 Số xấp sỉ 11 1.3 Sai số 12 1.3.1 Khái niệm 12 1.3.2 Các loại sai số 12 CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT 14 2.1 Tổng quát hoá tìm nghiệm gần phương trình f ( x)  14 2.2 Phương pháp chia đôi 14 2.3 Phương pháp lặp đơn 16 2.4 Phương pháp dây cung 18 2.5 Phương pháp Newton 24 CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG 29 3.1 Tìm nghiệm gần phương trình f ( x)  với sai số cho trước 29 3.2 Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm gần phương trình 38 3.2.1 Áp dụng phương pháp lặp 38 3.2.2 Phương pháp ( dùng đạo hàm kết hợp với phép lặp - phương pháp Newton ) 62 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 -5MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Ngày ngành khoa học nói chung ngành toán học nói riêng phát triển đến mức độ cao Rất nhiều toán thực tế ( Thiên văn, đo đạc ruộng đất, vật lí, ) dẫn đến việc cần giải phương trình biến dạng f ( x)  Nhìn chung phương trình dạng f ( x)  thường khó giải phương pháp đại số, toán giải có công thức nghiệm phức tạp, cồng kềnh nên việc khảo sát tính chất nghiệm qua công thức nghiệm gặp nhiều khó khăn Bởi việc tìm nghiệm gần đánh giá mức độ sai số nghiệm gần giải xấp xỉ phương trình ẩn dạng f  x   cần thiết Các nhà Toán học nghiên cứu đưa số phương pháp giải gần phương trình ẩn dạng f  x   Kết hợp với hỗ trợ đắc lực máy tính điện tử đại nên việc tìm nghiệm gần phương trình phi tuyến ẩn dạng f  x   trở nên đơn giản nhiều Tuy nhiên trước toán phi tuyến dạng f  x   việc lựa chọn phương pháp tìm nghiệm gần để kết nghiệm tìm xác hơn, sai số nhỏ tính toán nhanh phương pháp giải xem tối ưu Không có phương pháp xem tối ưu tuyệt đối, phương pháp có nét đặc trưng riêng Việc dùng phương pháp để giải toán cho phù hợp tùy thuộc vào yếu tố khách quan toán mức độ yêu cầu công việc Với lí nêu mong muốn tìm hiểu sâu, trang bị cho thân kĩ đánh giá, lựa chọn phương pháp giải gần tối ưu cho số phương trình đại số phương trình siêu việt dạng f  x   ( với f  x  hàm phi tuyến ) điều kiện thời gian, lực thân hạn chế nên chọn đề tài nghiên cứu để làm luận văn cao học là: " Giải gần số phương trình đại số phương trình siêu việt " -62 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm gần phương trình đại số phương trình siêu việt dạng f  x   Đưa ví dụ số minh họa cho kết lí thuyết Góp phần nâng cao lực nghiên cứu thân, phục vụ hiệu cho công tác nghiên cứu khoa học đào tạo sau đại học chuyên ngành toán giải tích trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm tài liệu, đọc hiểu tài liệu Viết luận văn Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là: Các phương pháp tìm nghiệm gần phương trình đại số phương trình siêu việt dạng f  x   như: Phương pháp chia đôi, phương pháp lặp đơn, phương pháp Newtơn, phương pháp dây cung Các toán phương trình đại số phương trình siêu việt dạng f  x  Phạm vi nghiên cứu: Các phương pháp tìm nghiệm gần phương trình đại số phương trình siêu việt dạng f  x   Phương pháp nghiên cứu Trang bị cho thân kiến thức toán học cao cấp, giải tích số, sử dụng thành thạo máy tính bỏ túi Sưu tầm giải gần số toán đại số siêu việt Đóng góp luận văn Xây dựng luận văn thành tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên học viên cao học số phương pháp giải gần phương trình đại số phương trình siêu việt -7CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nghiệm khoảng phân li nghiệm 1.1.1 Nghiệm phương trình ẩn Xét phương trình ẩn: f ( x)  (1.1) đó: f hàm số cho trước đối số x Giá trị x0 gọi nghiệm phương trình (1.1) f ( x0 )  Nghiệm phương trình (1.1) số thực số phức, ta khảo sát nghiệm thực 1.1.2 Ý nghĩa hình học nghiệm Các nghiệm phương trình (1.1) hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  f  x  với trục hoành Có thể biến đổi phương trình (1.1) dạng g  x   h  x  , nghiệm phương trình (1.1) hoành độ giao điểm hai đồ thị  C1  : y  g ( x)  C2  : y  h( x ) -8- 1.1.3 Sự tồn nghiệm thực phương trình (1.1) Trước tìm cách tính gần nghiệm thực phương trình (1.1) ta phải kiểm tra xem nghiệm thực có tồn hay không Khi ta sử dụng đồ thị sử dụng định lí sau Định lí 1.1.3.1 ( Bolzano - Cauchy ) Nếu hàm số f  x  liên tục đoạn  a, b  thỏa mãn điều kiện f  a  f  b   phương trình f ( x )  có nghiệm khoảng  a, b  Chứng minh: Không tính tổng quát giả sử f (a )  0, f (b)  0, ta chia đôi đoạn  a, b  điểm chia ab -9ab TH1: f    ta có định lí chứng minh   ab ab TH2: f  , ta xét đoạn  a1 , b1    Đặt c    Với a1  a, b1  Với a1  ab ab f  0   ab ab , b1  b f      Ta lại chia đôi đoạn  a1 , b1  điểm chia a1  b1 Có thể xảy hai khả a b  KN1: f    ta có định lí chứng minh   KN2: Ta lại thu đoạn  a2 , b2  hai nửa đoạn  a1 , b1  cho f  a2  f  b2   Ta tiếp tục lặp đoạn a b  Khi sau số hữu hạn bước ta gặp trường hợp f  i i     Và định lí chứng minh Hoặc dãy vô hạn đoạn chứa Khi đoạn thứ n,  an , bn , (n  1,2,3 ) ta bn  an  có f  an   0, f  bn   độ dài đoạn ba 2n Dãy đoạn ta lập thỏa mãn điều kiện bổ đề dãy đoạn ba lồng nhau, theo lim  bn  an   lim  n   n n    Vì hai dãy an  , bn  dần tới giới hạn chung lim an  lim bn  c n n  Mà rõ ràng c   a, b  Ta chứng minh điểm c thỏa mãn yêu cầu định lí - 10 Thật tính liên tục hàm số x  c , ta có f (c)  lim f (an )  n  Và f (c)  lim f (bn )  n  Vậy f (c)  Ta có định lí chứng minh 1.1.4 Khoảng phân li nghiệm Định nghĩa Đoạn  a, b  ( khoảng  a, b  ) gọi khoảng phân li nghiệm phương trình f ( x)  chứa nghiệm phương trình Định lí 1.1.4.1 Nếu hàm số y  f  x  liên tục, đơn điệu  a, b f  a  f  b    a, b  khoảng phân li nghiệm phương trình f ( x)  Chứng minh: Theo định lí ( Bolzano - Cauchy ) ta có phương trình f ( x)  nghiệm  a, b  Giả sử c1 , c2 hai nghiệm phân biệt phương trình f ( x)  Ta có f (c1 )  f (c )  Vì hàm số y  f  x  liên tục, đơn điệu  a, b  nên c1  c2 ( trái giả thiết ) Do phương trình f ( x)  có nghiệm  a, b  Vì theo định nghĩa  a, b  khoảng phân li nghiệm phương trình f ( x)  Nếu f  x  có đạo hàm thị điều kiện đơn điệu thay điều kiện không đổi dấu đạo hàm ta có định lí sau Định lí 1.1.4.2 Nếu hàm số y  f  x  liên tục, đạo hàm f '  x  không đổi dấu  a, b  f  a  f  b    a, b khoảng phân li nghiệm phương trình f ( x)  (1) Chứng minh: - 52 - Thay x  vào phương trình   ta phương trình: 729  y  y  y   ''  Ta có: 729  y  y  y  y  729  y  y  y  729  y  y Để tìm nghiệm y phương trình 729  y  y  y   '' , máy tính Casio – 570ES plus, quy trình bấm phím sau: Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho y (chẳng hạn y  ) (Bấm  ) Bước 2: ghi vào hình biểu thức:  729  9Ans  Ans  Bước 3: Bấm liên tiếp dấu    hai kết liên tiếp gần “giống nhau” dừng lại Kết nghiệm phương trình 729  y  y  y   ''  y2  y22  - Thay x  10 vào phương trình   ta phương trình: 1000  10 y  y  y   ''' Ta có: 1000  10 y  y  y  y  1000  10 y  y  y  1000  10 y  y Để tìm nghiệm y phương trình 1000  10 y  y  y   '''  , máy tính Casio – 570ES plus, quy trình bấm phím sau: Bước 2: Nhập giá trị ban đầu cho y (chẳng hạn y  ) (Bấm  ) Bước 3: ghi vào hình biểu thức: 1000  10Ans  Ans   Bước 4: Bấm liên tiếp dấu    hai kết liên tiếp gần “giống nhau” dừng lại Kết nghiệm gần phương trình 1000  10 y  y  y   ''' y3  3,16227766 - 53 Vì nghiệm lẻ nên ta dùng lệnh SHIFT + STO + B để lưu nghiệm y3 vào biến nhớ B sau: (Bấm phím SHIFT RCL ,,, ) Tiếp tục dùng máy tính để tính y32 (Bấm phím ALPHA ,,, x ) ta y32  B  10 - Thay x  11 vào phương trình   ta phương trình 1331  11 y  y  y   ''''  Ta có: 1331  11 y  y  y   ''''   y  1331  11y  y  y  1331  11y  y Để tìm nghiệm y phương trình 1331  11 y  y  y   ''''  , máy tính Casio – 570ES plus, quy trình bấm phím sau: Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho y (chẳng hạn y  ) (Bấm  ) Bước 2: ghi vào hình biểu thức: 1331  11Ans  Ans   Bước 3: Bấm liên tiếp dấu    hai kết liên tiếp gần “giống nhau” dừng lại Kết nghiệm gần phương trình 1331  11 y  y  y   ''''  y4  3,31662479 Vì nghiệm lẻ nên ta dùng lệnh SHIFT + STO + C để lưu nghiệm y4 vào biến nhớ C sau: (Bấm phím SHIFT RCL hyp) Tiếp tục dùng máy tính để tính y42 (Bấm phím ALPHA hyp x ) ta y42  C  11 Lập bảng để quan sát mối quan hệ x y thỏa mãn phương trình   ta có bảng sau: x 10 11 y 2,828427125 3,16227766 3,31662479 y2 10 11  Quy luật: x  y - 54 Từ ta thấy phương trình   có nhân tử  x  y  Suy cách giải phương trình   sau: x3  xy  y  y    y  x  y   x3   y    y  x  y    x  y  x  xy  y     x  y  x  xy  y  y    x  y2   2  x  xy  y  y   x  y2   x  y   Với x  y  thay vào phương trình  x   y  10 ta được:   10 ( vô lí )   x, y    0;0  không nghiệm hệ phương trình (3.2.1.9)  Với x  y thay vào phương trình  x   y  10 ta được: - 55  x   x  10   x  x  34  16 x 34  16 x   2 36  21  x  x    34  16 x  17  0  x   944 x  544 x  400   17   x      x   25  x2     59  x2  x 1   x  1 ( lo a i ) x  y  Với x   y   y  1 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy hệ phương trình (3.2.1.9) có tập nghiệm là: S  1;1 , 1; 1 Bài 10: ( Đề thi đại học khối A năm học 2013 - 2014 )  x 12  y  y (12  x )  12 Giải hệ phương trình   x  x   y  (3.2.1.10) Lời giải: 0  y  12 ĐKXĐ:  2  x  Xét phương trình x 12  y  y (12  x )  12  i  Để biến đổi phương trình  i  thành phương trình tương đương với có dạng phương trình tích, ta sử dụng máy tính bỏ túi để tìm mối quan hệ x y phương trình  i  sau: - 56 - Thay y  vào phương trình  i  ta phương trình x 10  2(12  x )  12  i ' Ta có: x 10  2(12  x )  12  x 10  12  12  x 2 x 12  12  x  10 Để tìm nghiệm x phương trình  i ' , máy tính Casio – 570ES plus, quy trình bấm phím sau: Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho x (chẳng hạn x  ) (Bấm  ) Bước 2: ghi vào hình biểu thức: 12  12  Ans  10   Bước 3: Bấm liên tiếp dấu    hai kết liên tiếp gần “giống nhau” dừng lại Kết nghiệm gần phương trình x 10  2(12  x )  12  i ' x1  3,156 Vì nghiệm lẻ nên ta dùng lệnh SHIFT + STO + A để lưu nghiệm x1 vào biến nhớ A sau: (Bấm phím SHIFT RCL (-)) Tiếp tục dùng máy tính để tính x12 (Bấm phím ALPHA (-) x ) ta x12  A2  10 - Thay y  vào phương trình  i  ta phương trình: x  3(12  x )  12  i ''  Ta có: 3x  3(12  x )  12  x  12  12  x 2  x 12  312  x  Để tìm nghiệm x phương trình  i '' , máy tính Casio – 570ES plus, quy trình bấm phím sau: Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho x (chẳng hạn x  2,5 ) - 57 (Bấm 2,5  ) Bước 2: ghi vào hình biểu thức: 12  12  Ans    Bước 3: Bấm liên tiếp dấu    hai kết liên tiếp gần “giống nhau” dừng lại Kết nghiệm phương trình x  3(12  x )  12  i ''  x2  x22  - Thay y  vào phương trình  i  ta phương trình: x  4(12  x )  12  i ''' Ta có: x  4(12  x )  12  x  12  12  x 2 x 12  12  x  Để tìm nghiệm x phương trình  i ''' , máy tính Casio – 570ES plus, quy trình bấm phím sau: Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho x (chẳng hạn x  2,5 ) (Bấm  ) Bước 2: ghi vào hình biểu thức:  12  12  Ans   Bước 3: Bấm liên tiếp dấu    hai kết liên tiếp gần “giống nhau” dừng lại Kết ngiệm gần phương trình x  4(12  x )  12  i '''  x3  2,811 Vì nghiệm lẻ nên ta dùng lệnh SHIFT + STO + B để lưu nghiệm x3 vào biến nhớ B sau: (Bấm phím SHIFT RCL ,,, ) Tiếp tục dùng máy tính để tính x32 (Bấm phím ALPHA ,,, x ) ta x32  B  - 58 - Thay y  vào phương trình  i  ta phương trình x  5(12  x )  12  i '''' Ta có: x  5(12  x )  12  x  12  12  x 2 x 12  12  x  Để tìm nghiệm x phương trình  i '''' , máy tính Casio – 570ES plus, quy trình bấm phím sau Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho x (chẳng hạn x  2,5 ) (Bấm 2,5  ) Bước 2: ghi vào hình biểu thức: 12  12  Ans    Bước 3: Bấm liên tiếp dấu    hai kết liên tiếp gần “giống nhau” dừng lại Kết nghiệm gần phương trình x  5(12  x )  12  i '''' x4  2,61 Vì nghiệm lẻ nên ta dùng lệnh SHIFT + STO + C để lưu nghiệm x4 vào biến nhớ C sau: (Bấm phím SHIFT RCL hyp ) Tiếp tục dùng máy tính để tính x42 (Bấm phím ALPHA hyp x ) ta x42  C  - Thay y  vào phương trình  i  ta phương trình: x  6(12  x )  12  i '''''  Ta có: x  6(12  x )  12  x  12  12  x 2 x 12  12  x  Để tìm nghiệm x phương trình  i ''''' , máy tính Casio – 570ES plus, quy trình bấm phím sau: Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho x (chẳng hạn x  ) - 59 (Bấm  ) Bước 2: ghi vào hình biểu thức: 12  12  Ans    Bước 3: Bấm liên tiếp dấu    hai kết liên tiếp gần “giống nhau” dừng lại Kết nghiệm gần phương trình x  6(12  x )  12  i ''''' x5  2, Vì nghiệm lẻ nên ta dùng lệnh SHIFT + STO + D để lưu nghiệm x5 vào biến nhớ D sau: (Bấm phím SHIFT RCL sin) Tiếp tục dùng máy tính để tính x52 (Bấm phím ALPHA sin x ) ta x52  D  Lập bảng để quan sát mối quan hệ x y thỏa mãn phương trình  i  ta có bảng sau: y x 3,156 2,811 2,61 2,4 x2  10 8 7 6  x  12  y  Quy luật: y  x  12  x  12  y    x   12  y      Phương trình  i  có nhân tử chung x  12  y x  12  y Ta biến đổi phương trình  i  sau: - 60 x 12  y  y (12  x )  12  i   x 12  y  y (12  x )  24  24  x 12  y  y (12  x )        12  y  x 12  y  x  12  x  y (12  x )  y    12  y  x  12  x  y  0  12  y  x    12  x  y  x   () y  12  x  Xét phương trình: x3  x   y   ii  Từ   , thay y  12  x vào phương trình  ii  ta phương trình x  x   10  x  iii  Để giải phương trình  iii  ta tiếp tục sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm nghiệm gần phương trình  iii  từ có định hướng biến đổi phương trình  iii  dạng phương trình tích  Sử dụng phần mểm maple để vẽ đồ thị hàm số f ( x)  x3  x   10  x ta tìm khoảng phân li nghiệm phương trình f ( x)  là:  3; 2  ,  2;0  ,  2;4   Xét phương trình f ( x)  với x   2;0  , ta biến đổi phương trình  iii  : x  x   10  x  x  x   10  x x x3   10  x Để tìm nghiệm x phương trình  iii  , máy tính Casio – 570ES plus, quy trình bấm phím sau: - 61 Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho x (chẳng hạn x  ) (Bấm  ) Bước 2: ghi vào hình biểu thức: Ans   10  Ans   Bước 3: Bấm liên tiếp dấu    hai kết liên tiếp gần “giống nhau” dừng lại Kết nghiệm phương trình  iii  khoảng  2;0  x  1  Xét phương trình f ( x)  với x   2;4  ta biến đổi phương trình: x  x   10  x (iii )  x3  x   10  x  x  x   10  x Để tìm nghiệm x phương trình  iii  , máy tính Casio – 570ES plus, quy trình bấm phím sau: Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho x (chẳng hạn x  ) (Bấm  ) Bước 2: ghi vào hình biểu thức:  Ans   10  Ans  Bước 3: Bấm liên tiếp dấu    hai kết liên tiếp gần “giống nhau” dừng lại Kết nghiệm phương trình  iii  khoảng  2;4  x  Nhận xét: Ta tìm hai nghiệm phương trình  iii  x  1 x  , ta biến đổi phương trình  iii  cho xuất nhân tử chung  x  x  3 Ta có: - 62 x3  x   10  x  iii    x  x  3  x    x   10  x   x  x  3  x    10  x  x    x  x  3  x     10  x 10  x    x   10  x  x   x   0, x  0;2   x  x  3  x    2  5  x  x  3 10  x  x      x  x  3  x   0 10  x  x     x2  x     x2 0  10  x  x    x    x  1 ( lo x  )     ( voˆ nghi eˆ m, x  ) x    10  x  x   Với x   y  12  32  Vậy hệ phương trình (3.2.2.2) có tập nghiệm là: S   3;3 3.2.2 Phương pháp (dùng đạo hàm kết hợp với phép lặp - phương pháp Newton) Nhận xét Với phương trình f ( x)  ta biến đổi tương đương để có g ( x)  x  Chọn giá trị x1 tính: g ( x1 )  x1  f ( x1 ) f '( x1 ) f ( x) f '( x) - 63 x2  g ( x1 ) x3  g ( x2 ) xn  g ( xn 1 ) Nếu dãy số  xn  hội tụ sau số hữu hạn bước ta tìm giá trị gần ngiệm phương trình f ( x)  ta dừng lại x với độ xác tùy ý Bài 1: Tìm nghiệm gần phương trình x  19 x  52  (3.2.2.1) với độ xác cao tốt Lời giải: Đặt f ( x)  x  19 x  52 f ( x) x  19 x  52  g ( x)  x  Đặt g ( x)  x  d f '( x ) ( x  19 x  52) dx Trên máy tính Casio – 570ES plus, quy trình bấm phím sau: Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho x (chẳng hạn x  ) (Bấm  ) Bước 2: Ghi vào hình biểu thức: Ans  (Bấm Ans  Ans  19 Ans  52 d ( x  19 x  52) |x Ans dx Ans  Ans  d dx x  )  x  |x  Ans   Bước 3: Bấm liên tiếp dấu    hai kết liên tiếp gần “giống nhau” dừng lại Kết nghiệm phương trình (3.2.2.1) x  Bài 2: Tìm nghiệm gần phương trình 3x  x  5x  11x  với độ xác cao tốt (3.2.2.2) - 64 Lời giải: Đặt f ( x)  3x  x  5x  11x Đặt g ( x)  x  f ( x) 3x  x  5x  11x  g ( x)  x  d x f '( x ) x x x (3    11 ) dx Trên máy tính Casio – 570ES plus, quy trình bấm phím sau: Bước 1: Nhập giá trị ban đầu cho x (chẳng hạn x  ) (Bấm  ) Ans  Ans  Ans  11Ans Bước 2: Ghi vào hình biểu thức: Ans  d x (3  x  5x  11x ) |x  Ans dx (Bấm Ans  Ans d  3 dx   x Ans  x Ans   x  11 Ans ) x  11  |x  Ans    Bước 3: Bấm liên tiếp dấu    hai kết liên tiếp gần “giống nhau” dừng lại Kết nghiệm gần phương trình (3.2.2.2) x  1,088 - 65 KẾT LUẬN Luận văn giải vấn đề sau đây: Trình bày cách có hệ thống phương pháp tìm nghiệm gần phương trình đại số phương trình siêu việt dạng f ( x)  Trình bày số toán thể ứng dụng tìm nghiệm gần phương trình f ( x)  với sai số cho trước Trình bày số toán sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm gần phương trình f ( x)  - 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, NXB KHKT [3] Phan Văn Hạp tác giả khác (1970), Cơ Sở Phương Pháp Tính, NXB ĐH - THCN, Hà Nội [4] Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Hùng (2012), Giải tích số, NXB Đại học Cần Thơ [5] Lê Đình Thịnh (1995), Phương Pháp Tính, NXB KHKT, Hà Nội B Tài liệu Tiếng Anh [1] CHAPRAS.C (1998), Numerical Methods for Engineers, McGraw Hill [2] GURMUND & all (2003), Numerical Methods, Dover Publications [...]... tính toán càng nhiều thì sai số tích lũy càng lớn - 14 CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH SIÊU VIỆT 2.1 Tổng quát hóa tìm nghiệm gần đúng của phương trình f ( x)  0 Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình đại số và phương trình siêu việt ta tiến hành qua hai bước: - Tách nghiệm: Xét tính chất nghiệm của phương trình (1.1), phương trình (1.1) có nghiệm hay... Sai số giả thiết: Xuất hiện do việc giả thiết bài toán đạt được một số điều kiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán - Sai số do số liệu ban đầu: Xuất hiện do việc đo đạc và cung cấp giá trị đầu vào không chính xác - 13 - Sai số phương pháp: Xuất hiện do việc giải bài toán bằng phương pháp gần đúng - Sai số tính toán: Xuất hiện do quá trình làm tròn số trong quá trình tính toán, quá trình. .. y  h  x  và y  g  x  suy ra khoảng phân li nghiệm 1.2 Số xấp sỉ Khi tìm nghiệm của phương trình đại số và phương trình siêu việt dạng f ( x)  0 (1.1), ta thường thiết lập cả một dãy x0 , x1 , , xn , sao cho xn   khi n   , trong đó  là nghiệm đúng của phương trình (1.1) Do giả thiết liên tục của hàm f  x  ta có: lim f  xn   f    0 n Điều này có nghĩa là khi xn khá gần  thì f... sai số để từ đó chọn ra phương pháp tối ưu nhất 1.3.1 Khái niệm Giả sử x là số gần đúng của x ( x là số đúng) , khi đó   x  x gọi là sai số thực sự của x Vì không xác định được  nên ta xét đến hai loại số sau: - Sai số tuyệt đối: Giả sử x  0 đủ bé sao cho x  x  x khi đó x gọi là sai số tuyệt đối của x - Sai số tương đối:  x  x x 1.3.2 Các loại sai số: Dựa vào nguyên nhân sai số, ... về nghiệm của phương trình khi n   e) Sơ đồ tóm tắt phương pháp chia đôi - Cho phương trình f  x   0 - Ấn định sai số  cho phép - Xác định khoảng phân li nghiệm  a, b  - Giải thuật của phương pháp chia đôi f) Ưu nhược điểm của phương pháp - Ưu điểm: Đơn giải, dễ lập trình - Nhược điểm: Hội tụ về nghiệm chậm 2.3 Phương pháp lặp đơn a) Nội dung của phương pháp Biến đổi phương trình f ( x) ... nghiệm gần đúng cần tìm của phương trình  3.1.2  với sai số không vượt quá 0,02 Bài 3: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 5 x3  20 x  3  0 (3.1.3) trên  0;1 với sai số không vượt quá 0,01 bằng phương pháp lặp Lời giải: Đặt f ( x)  5 x 3  20 x  3  f '( x)  15 x 2  20  0, x   0;1 Mà f (0)  3, f (1)  12  f (0) f (1)  0, x   0;1 Nên (0;1) là khoảng phân li nghiệm của phương trình. .. giá sai số: xn  xn    0,75 xn  xn 1 1  0,75 Bảng các nghiệm gần đúng của phương trình (3.1.3) tìm được sau 2 lần lặp với x0  0 : n xn xn1    xn  Sai số xn1 0 0 0,15 0, 45 1 0,15 0,15086 0,00258 Vậy x  0,15086 là nghiệm gần đúng cần tìm của phương trình (3.1.3) trên 0;1 với sai số không vượt quá 0,01 Bài 4: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 x  4 x  0 (3.1.4) bằng phương. .. khi đó là gần như nằm ngang + Việc kiểm tra điều kiện để áp dụng phương pháp Newton phức tạp hơn, nếu chọn điểm xuất phát không thích hợp thì không đạt được kết quả như mong muốn - 29 CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG 3.1 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f ( x)  0 với sai số cho trước Bài 1: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x3  4 x 2  1  0 (3.1.1) trên  0;1 với sai số không vượt quá 0,1 bằng phương. .. b  với sai số không vượt quá  cho trước b) Nội dung phương pháp Ý tưởng chủ đạo của phương pháp Newton là thay phương trình f ( x)  0 (1) phi tuyến đối với x bằng phương trình gần đúng, tuyến tính đối với x, cụ thể Thay đường cong f  x  trên  a, b  bởi tiếp tuyến T  với đường cong tại điểm A hoặc B Hoành độ giao điểm x1 của T  với trục hoành xem như nghiệm gần đúng của phương trình f ( x)... nghiệm của phương pháp Newton : Giả sử  là nghiệm đúng của phương trình f ( x)  0 trên  a, b  Dãy các nghiệm gần đúng tìm được là: - Dãy giảm và bị chặn dưới bởi  (trường hợp 1) a    xn  xn 1   x0  b - Dãy tăng và bị chặn trên bởi  (trường hợp 2) a  x0  x1   xn    b Nên lim xn   n e) Đánh giá sai số của phương pháp Newton Giả sử  là nghiệm đúng của phương trình f ( x)