B INH TH THO GIÁO D C VÀ ÀO T O TR NG I H C TH NG LONG - inh Th Tho CHUYÊN NGÀNH TOÁN V BÀI TOÁN CÂN B NG GI N I U M NH VÀ ÁP D NG VÀO M T MƠ HÌNH KINH T THN TR NG I N NG D NG LU N V N TH C S TOÁN H C KHOÁ Hà N i – N m 2015 B TR GIÁO D C VÀ ÀO T O NG I H C TH NG LONG - inh Th Tho V BÀI TOÁN CÂN B NG GI N I U M NH VÀ ÁP D NG VÀO M T MƠ HÌNH KINH T THN TR NG I N LU N V N TH C S TOÁN H C CHUYÊN NGÀNH : TOÁN NG D NG MÃ S : 60 46 01 12 NG IH NG D N KHOA H C : GS.TSKH Lê D ng M u Hà N i - N m 2015 Thang Long University Libraty Lời cam đoan Bản luận văn hướng dẫn GS TSKH Lê Dũng Mưu Bản luận văn tổng hợp lại từ tài liệu trích dẫn dựa mục tiêu đề tài Bản luận văn chép lại hoàn toàn từ tài liệu có Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới GS TSKH Lê Dũng Mưu, người thầy tận tình hướng dẫn đóng góp cho tơi nhiều ý kiến nội dung luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình tơi học tập trường Đại học Thăng Long Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới người thân yêu gia đình, bạn bè, ln cổ vũ, động viên, giúp đỡ tơi để tơi hồn thành luận văn Bước đầu nghiên cứu khoa học nên luận văn thạc sĩ tơi chắn cịn nhiều thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2015 Học viên Đinh Thế Tho Thang Long University Libraty Danh mục kí hiệu viết tắt H : Không gian Hilbert thực; | : Tích vơ hướng; : Chuẩn khơng gian Hilbert; NC : Nón chuẩn tắc C ; PC : Phép chiếu lên tập C ; dC : Hàm khoảng cách tập C ; ∇f (x) : Đạo hàm hàm f x; arg f : Tập cực tiểu hàm f Danh mục hình bảng Hình 2.1: Lợi nhuận tốt nhà máy thủy điện nhà máy nhiệt điện ( Trang 25) Hình 2.2: Lợi nhuận tốt nhà máy nhiệt điện nhà máy thủy điện ( Trang 25) Hình 2.3: Lợi nhuận tốt hai nhà máy ( Trang 26) Bảng 2.1: Kết tính tốn Ví dụ theo Thuật tốn ( Trang 29) Thang Long University Libraty Mục lục Lời mở đầu Chương 1.BÀI TOÁN CÂN BẰNG 1.1.Một số khái niệm kết 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Hàm lồi 1.1.3 Toán tử chiếu lên tập lồi đóng 1.2.Bài toán cân trường hợp riêng 1.2.1 Bài toán tối ưu 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.2.3 Bài toán điểm bất động 1.2.4 Bài tốn cân Nash trị chơi không hợp tác 10 1.3.Sự tồn nghiệm toán cân 11 Chương 2.HAI THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ ÁP DỤNG 16 2.1.Thuật toán hội tụ 16 2.1.1 Thuật toán 19 2.1.2 Thuật toán 20 2.1.3 Sự hội tụ thuật toán 21 2.2.Áp dụng vào mơ hình cân thị trường điện 23 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 i Lời mở đầu Bài toán cân có nhiều ứng dụng khoa học, kĩ thuật đời sống Có nhiều tốn liên quan đến toán cân như: toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán cân Nash trị chơi khơng hợp tác, Do việc trình bày đưa thuật toán giải toán cân cần thiết Luận văn nhằm giới thiệu toán cân giả đơn điệu mạnh hai thuật toán giải tốn cân giả đơn điệu mạnh qua áp dụng vào mơ hình kinh tế thị trường điện Luận văn chia làm hai chương • Chương luận văn trình bày tóm tắt số kết biết giải tích lồi liên quan đến luận văn Giới thiệu toán cân trường hợp riêng • Chương luận văn trình bày hai thuật toán để giải toán cân giả đơn điệu mạnh, xét hội tụ hai thuật tốn cuối chương áp dụng vào mơ hình kinh tế thị trường điện Cuối trình bày ví dụ cụ thể để minh họa thuật tốn Thang Long University Libraty Chương BÀI TOÁN CÂN BẰNG Trong chương ta nhắc lại khái niệm bản, tính chất đặc trưng tập lồi hàm lồi khơng gian Hilbert−H thực qua giới thiệu toán cân trường hợp riêng số điều kiện tồn nghiệm toán cân Nội dung chương lấy từ [1], [2], [3], [4] 1.1 1.1.1 Một số khái niệm kết Tập lồi Định nghĩa 1.1.1 Một tập C ⊆ H gọi lồi ∀x, y ∈ C, ≤ λ ≤ ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C Định lý 1.1.1 Tập lồi đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với số thực Tức C D hai tập lồi H tập sau tập lồi (i) C ∩ D = {x : x ∈ C, x ∈ D} (ii) αC + βD = {x = α.c + β.d : c ∈ C, d ∈ D} Định nghĩa 1.1.2 Tập C ⊆ H gọi nón ∀x ∈ C, ∀λ > ⇒ λx ∈ C Định nghĩa 1.1.3 Tập C ⊆ H gọi nón lồi C vừa nón vừa tập lồi, tức λ1 x + λ2 y ∈ C, ∀x, y ∈ C, ∀λ1 > 0, ∀λ2 > Định nghĩa 1.1.4 Cho C ⊆ H tập lồi x ∈ C , tập NC (x) = {w ∈ H, w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C} gọi nón pháp tuyến ngồi C tập −NC (x) gọi nón pháp tuyến C x 1.1.2 Hàm lồi Định nghĩa 1.1.5 Hàm f : C → R ∪ {+∞} gọi (i) Lồi C f [λx + (1 − λ) y] ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀x, y ∈ C, < λ < 1; (ii) Lồi chặt C f [λx + (1 − λ) y] < λf (x)+(1 − λ) f (y) , ∀x, y ∈ C, x = y, < λ < 1; (iii) Lồi mạnh C với hệ số γ > f [λx + (1 − λ) y] < λf (x) + (1 − λ) f (y) − γλ (1 − λ) x − y , ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ; (iv) Tựa lồi C ∀α ∈ R tập mức Lα (f ) = {x ∈ C, f (x) ≤ α} Định lý 1.1.2 Cho f hàm lồi tập lồi C g hàm lồi tập lồi D Khi hàm số sau hàm lồi tập lồi C ∩ D (i) αf + βg, ∀α, β ≥ 0; (ii) max {f, g} (x) = max {f (x) , g (x)} Định lý 1.1.3 Cho f : C → R ∪ {+∞} hàm lồi, khả vi tập lồi C Khi với x, y thuộc C ta có: f (x) − f (y) ≤ ∇f (x) , y − x ; Nếu f lồi chặt, khả vi tập lồi C , với x, y thuộc C ta có: f (x) − f (y) < ∇f (x) , y − x ; Nếu f lồi mạnh với hệ số α > , khả vi tập lồi C , với x, y thuộc C ta có: f (x) − f (y) ≤ ∇f (x) , y − x − α x − y Thang Long University Libraty Vậy x∗ nghiệm toán (1.2.1) Bây ta chứng tỏ (i) tương đương với (iii) Thật x∗ cực tiểu f (x∗ , ) C f (x∗ , y) ≥ f (x∗ , x∗) = 0, ∀y ∈ C Mệnh đề 2.1.2 Giả sử f giả đơn điệu mạnh C với hệ số λ thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz, theo nghĩa sau: ∃L1 > 0, L2 > : ∀x, y, z ∈ C, ta có f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − L1 x − y 2 − L2 y − z Khi với x0 ∈ C , dãy xk xác định theo công thức xk+1 = s xk = arg ρf xk , y + y∈C Có tính chất y − xk 2 (2.1.1) 2 xk+1 − x∗ ≤ α xk − x∗ , ∀k ≥ Nếu < ρ ≤ , x∗ nghiệm toán 2L2 (1.2.1) α = − 2ρ (λ − L1 ) Chứng minh: Đặt fk (x) = ρf xk , x + x − xk 2 , ∀k ≥ Do f xk , lồi, nên hàm fk lồi mạnh C với hệ số Vậy fk xk+1 + < wk , x − xk+1 > + x − xk+1 2 ≤ fk (x) , ∀x ∈ C (2.1.2) Trong wk ∈ ∂fk xk+1 Do xk+1 nghiệm toán (2.1.1) , nên wk , x − xk+1 ≥ 0, ∀x ∈ C Từ (2.1.2) ta có fk xk+1 + x − xk+1 2 ≤ fk (x) , ∀x ∈ C (2.1.3) Thay x = x∗ (2.1.3) theo định nghĩa fk ta xk+1 − x ≤ 2ρ f xk , x∗ − f xk , xk+1 18 + xk − x∗ 2 − xk+1 − xk (2.1.4) Do f giả đơn điệu mạnh với hệ số λ nên f xk , x∗ ≤ −f x∗ , xk − λ xk − x∗ Thay vào (2.1.4) ta có xk+1 − x∗ 2 ≤ (1 − 2ρλ) xk − x∗ + +2ρ −f x∗, xk − f xk , xk+1 − xk+1 − xk Áp dụng tính Lipschitz với x = x∗ , y = xk , z = xk+1 ta −f xk , xk+1 − f x∗, xk ≤ −f x∗, xk+1 + L1 x∗ − xk + L2 xk − xk+1 2 ≤ L1 x∗ − xk + L2 xk − xk+1 Thay vào ta xk+1 − x∗ ≤ [1 − 2ρ (λ − L1 )] xk − x∗ Theo giả thiết < ρ ≤ − (1 − 2ρL2 ) xk+1 − xk nên ta có 2L2 xk+1 − x∗ 2 ≤ [1 − 2ρ (λ − L1 )] xk − x∗ Vậy mệnh đề chứng minh Hệ 2.1.1 Nếu L1 < λ < ρ ≤ 2L2 xk+1 − x∗ ≤ r xk − x∗ , ∀k ≥ Trong < r = − 2ρ (λ − L1 ) < Nhận xét: Do λ ≤ L1 + L2 < ρ ≤ , nên ta có 2ρ (λ − L1 ) < 2L2 Nếu xk = xk+1, xk nghiệm, 2L2 ta gọi điểm x ∈ C nghiệm τ − xấp xỉ toán (1.2.1) x − x∗ ≤ τ , xk nghiệm xác tốn (1.2.1) Dựa vào mệnh đề hệ ta có thuật toán sau để giải toán cân giả đơn điệu mạnh Vậy r đạt giá trị nhỏ ρ = 2.1.1 Thuật toán Bước khởi tạo: Chọn sai số τ ≥ < ρ ≤ Bước lặp thứ k: k = (0, 1, 2, ) , lấy x0 ∈ C 2L2 19 Thang Long University Libraty Tính xk+1 cách giải tốn quy hoạch lồi mạnh xk+1 = arg ρf xk , y + y∈C τ (1 − r) , với r = − 2ρ (λ − L1 ), dừng: r nghiệm τ − xấp xỉ toán (1.2.1) (a) Nếu xk+1 − xk xk+1 y − xk ≤ (b) Trái lại chuyển sang bước lặp thứ k với k thay k + Chú ý: Do xk+1 − x∗ ≤ r xk − x∗ với r < 1, ta có xk+1 − x∗ ≤ Do x k+1 −x ∗ ≤ r 1−r xk+1 − xk , rk+1 1−r x0 − x1 , ∀k ≥ ∀k ≥ Có xk+1 → x∗ k → ∞ Vậy, x k+1 −x ∗ xk+1 − x∗ ≤ τ τ (1 − r) rk+1 ≤ x0 − x1 r 1−r ≤ τ Trong trường hợp ta nghiệm τ − xấp xỉ toán Dưới ta trình bày phương pháp dựa vào toán tử chiếu để giải toán cân giả đơn điệu mạnh không cần điều kiện Lipschitz 2.1.2 Thuật toán Bước khởi tạo: Chọn dãy số {ak } ⊂ (0, 1) cho , lấy x0 ∈ C k+1 k=0 Bước 1: Chọn wk cho ∞ ∞; ∞ ak = k=0 a2k < ∞, ak = ρf xk , y + wk , y − xk ≥ 0,∀y ∈ C, ρ > tham số hiệu chỉnh (a) Nếu wk = 0, ρk ≤ τ dừng thuật tốn: xk τ − nghiệm toán 20 (b) wk = 0, chuyển qua bước Bước 2: Đặt z k+1 = xk + ak wk xk+1 = PC z k+1 , PC tốn tử chiếu lên C Nếu xk+1 = xk dừng thuật toán: xk nghiệm toán (1.2.1) Trái lại, quay lại bước với k = k + Chú ý: Bài tốn tốn phải giải thuật tốn tốn tìm wk bước Để tìm wk ta giải sau: (i) Giả sử toán quy hoạch lồi: f xk , y có nghiệm cách y∈C đặt mk = − f xk , y < +∞ y∈C Chọn wk cho wk , y − xk ≥ ρmk ,∀y ∈ C Khi wk điểm cần tìm bước thuật tốn (ii) Do f (x, ) lồi, khả vi phân C , nên với y thuộc C , g k ∈ ∂2 f xk , xk , ta có f xk , y − f xk , xk ≥ g k , y − xk Vì f xk , xk = nên ta thấy wk = −ρ−1 g k thỏa mãn bất đẳng thức ρf xk , y + wk , y − xk ≥ 0, ∀y ∈ C Do wk điểm cần tìm 2.1.3 Sự hội tụ thuật toán Để chứng minh hội tụ thuật toán, ta cần đến bổ đề sau: Bổ đề 2.1.1 Giả sử {ak }∞ dãy vô hạn không âm thỏa mãn ∞ ak+1 ≤ ak + σk , ∀k với σk < ∞ Khi dãy {ak } hội tụ k=0 Định lý 2.1.1 Giả sử f giả đơn điệu mạnh C với hệ số λ xk dãy tạo Thuật tốn Khi ta có xk+1 − x∗ ≤ (1 − 2ρλak ) xk − x∗ + a2k wk , ∀k ≥ 0, 21 Thang Long University Libraty x∗ nghiệm toán (1.2.1) Hơn nữa, dãy wk bị chặn x∗ hội tụ đến nghiệm x∗ toán 0 số Do ∞ ∞ a2k < +∞ ak = +∞; k=0 k=0 22 (2.1.10) Nên từ (2.1.10) theo Bổ đề 2.1.1 ta có xk+1 − x∗ hội tụ k → +∞ Vậy xk+1 bị chặn, tồn dãy xkj hội tụ đến x với x nghiệm toán cân Tương tự ta chứng minh xkj − x hội tụ, xkj → x nên xkj − x → xk+1 − x∗ → k → +∞ Vậy định lí chứng minh 2.2 Áp dụng vào mơ hình cân thị trường điện Giả sử có nc công ty sản xuất điện, công ty thứ i (i = 1, 2, , nc) sở hữu Ii nhà máy phát điện Gọi x véc tơ có thành phần xi (i = 1, 2, , ng ) với ng tổng số tất nhà máy phát điện xi lượng điện sản xuất nhà máy phát điện thứ i Giả sử giá điện p hàm affine σ với σ = ng xi tổng điện sản i=1 xuất tất nhà máy phát điện, cụ thể là: ng p (x) = a0 − xi = p (σ) i=1 Ở a0 > số(rất lớn) Khi lợi nhuận công ty thứ i cho xj − cj (xj ) fi (x) = p (σ) j∈Ii j∈Ii Với cj (xj ) chi phí nhà máy thứ j sản xuất lượng điện mức xj Ta giả sử hàm chi phí cj (xj ) cho cj (xj ) = max c0j (xj ) , c1j (xj ) Với c0j (xj ) βj0 αj0 −1/β β +1 /β 1 γj j (xj )( j ) j , = xj + βj xj + γj , cj (xj ) = αj xj + βj + đó: αjk , βjk , γjk tham số cho trước Gọi xmin xmax tương ứng lượng điện nhỏ lớn có j j thể sản xuất nhà máy phát điện thứ j Khi tập chiến lược mơ hình xác định sau , ∀j = 1, 2, , ng ≤ xj ≤ xmax C = x = (x1, , xng )T : xmin j j 23 Thang Long University Libraty Ta định nghĩa ma trận A, B sau: nc − qi qi A=2 T , i=1 nc qi qi B=2 T , i=1 qi = q1i , , qni g a = −a0 nc q , c (x) = i i=1 T ng j ∈ Ii trường hợp khác với qji = cj (xj ) Khi mơ hình tốn j=1 đưa tốn cân sau:   x ∈ C cho  f (x, y) = A + B x + By + a 2 T (y − x) + c (y) − c (x) ≥ 0, ∀y ∈ C Lưu ý f (x, y) + f (y, x) = −(y − x)T (A + B) (y − x)T Vậy, A + B không xác định dương, f khơng đơn điệu C Tuy nhiên thay f f định nghĩa sau f (x, y) = f (x, y) − (y − x)T B (y − x) , f giả đơn điệu mạnh C Thực ta có f (x, y) + f (y, x) = −(y − x)T (A + 2B) (y − x) Vậy, f (x, y) ≥ f (y, x) ≤ −(y − x)T (A + 2B) (y − x) ≤ −λ y − x , với mọiλ > Bổ đề sau hệ trực tiếp nguyên tắc Bổ đề 2.2.1 Bài tốn cân Tìm x∗ ∈ C : f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C tương đương với tốn cân Tìm x∗ ∈ C : T f (x∗ , y) + (y − x∗ ) B (y − x∗ ) ≥ 0, Nghĩa chúng có họ nghiệm trùng 24 ∀y ∈ C (2.2.11) Từ bổ đề ta áp dụng thuật toán để giải toán cân (2.2.11) Ta minh họa thuật toán cho vấn đề ví dụ sau Ví dụ 1: Nhà máy thủy điện nhiệt điện có hàm chi phí c (y1 ) = 10y1 , c (y2 ) = 30y2 Giá bán điện p = 120 − Q, Q tổng sản lượng điện hai nhà máy Hãy tìm điểm cân Nash mơ hình Giải: Ta có lợi nhuận nhà máy là: Nhà máy thủy điện π1 = y1 (120 − y1 − y2 ) − 10y1 Nhà máy nhiệt điện π2 = y2 (120 − y1 − y2 ) − 30y2 Nhận thấy hàm lợi nhuận hàm hai biến y1 , y2 Do ta lấy đạo hàm hàm lợi nhuận theo biến cho không ta π1 ′ = 120 − 2y1 − y2 − 10 = Hay 2y1 = 110 − y2 Suy y1 = Tương tự 110 − y2 π2 ′ = 120 − 2y2 − y1 − 30 = Hay 2y2 = 90 − y1 Suy y2 = 90 − y1 Ta đặt 110 − y2 ; 90 − y1 y2 = f2 (y1 ) = Lần lượt hàm sản lượng nhà máy Khi ta có biểu đồ sau y1 = f1 (y2 ) = 25 Thang Long University Libraty y2 110 y1 = f1 (y2 ) O y1 55 Hình 2.1: Sản lượng tốt nhà máy thủy điện nhà máy nhiệt điện y2 45 y2 = f2 (y1 ) O 90 y1 Hình 2.2: Sản lượng tốt nhà máy nhiệt điện nhà máy thủy điện 26 y2 110 y1 = f1 (y2 ) 45 y2 = f2 (y1 ) O 55 90 y1 Hình 2.3: Sản lượng tốt hai nhà máy Bây ta cần phải tìm điểm (y1 , y2 ) thuộc hai hàm số 110 − y2 90 − y1 Ta có y1 = y2 = 2 90 − y1 110 − 220 − 90 + y1 ⇔ 2y1 = Suy y1 = 2 130 90 − 130 = 70 Vậy y1 = ⇒ y2 = 3 Khi ta tìm điểm cân Nash sản 130 lượng nhà máy thủy điện y1 = nhà máy nhiệt điện 70 Và Lợi nhuận nhà máy y2 = π1 = 130 130 70 120 − − 3 − 10 70 130 70 120 − − 3 − 30 π2 = 130 16900 = ; 70 4900 = Ví dụ 2: Nhà máy điện A B có hàm chi phí c (x1 ) = lnx1, c (x2 ) = lnx2 Giá bán điện p = 10 − Q , Q tổng sản lượng điện hai nhà máy Dùng thuật toán để tìm điểm cân Nash mơ hình 27 Thang Long University Libraty Giải: Ta có lợi nhuận nhà máy là: Nhà máy điện A f1 (x1, x2 ) = x1 10 − (x1 + x2) − lnx1 (2.2.12) (x1 + x2) − lnx2 (2.2.13) Nhà máy điện B f2 (x1, x2 ) = x2 10 − Tập C1 = [5, 100] tức ≤ x1 ≤ 100 Tập C2 = [10, 100] tức 10 ≤ x2 ≤ 100 Lấy hàm: f (x, y) = f (x1 , x2 , y1 , y2 ) f (x1 , x2; y1 , y2 ) = f1 (y1 , x2) − f1 (x1 , x2) + f2 (x1, y2 ) − f2 (x1, x2 ) Ở f1 cho (2.2.12) f2 cho (2.2.13), C = C1 × C2 Áp dụng thuật tốn 2: Ta có: 1 (y1 + x2) − lny1 − x1 10 − (x1 + x2 ) + lnx1+ 2 1 10 − (x1 + y2 ) − lny2 − x2 10 − (x1 + x2 ) + lnx2 2 f (x, y) = y1 10 − +y2 1 f (x, y) = − y12 + 10 − x2 y1 − lny1 − y22 + 10 − 2 2 + x1 − 10x1 + x1 x2 + lnx1 + x2 − 10x2 + lnx2 2 1 q12 q1 = = q = Ta có q = 1 q2 q2 1 − − q2 = = − − q1 = 1 1 A=2 = + 1 2 B=2 = + 1 x1 y1 ,x = Lại có y = x2 y2 28 x1 y2 − lny2 + = Suy y − x = y1 y2 − Nên (y − x)T B (y − x) = x1 x2 y1 − x1 y2 − x2 = y1 − x1 y2 − x2 0 y1 − x1 y2 − x2 = 2(y1 − x1 )2 + 2(y2 − x2)2 Đặt f (x, y) = f (x, y) − (y − x)T B (y − x) Từ ta có: 1 1 f (x, y) = − y12 + 10 − x2 y1 − lny1 − y22 + 10 − x1 y2 − lny2 + 2 2 1 + x21 − 10x1 + x1 x2 + lnx1 + x22 − 10x2 + lnx2 − (y1 − x1)2 − (y2 − x2 )2 2 (k = 0, 1, ), x0 = x01, x02 = (10, 20) Bước khởi tạo: Chọn ak = k+1 ρ=1 Ta có: f x0 , y + w , y − x0 ≥ ⇔ w0 ∈ ∂f x0, x0 = ∇2 f x0 , x0 Cụ thể: f x0 , y1 , y2 = f (10, 20, y1 , y2 ) = 1 1 = − y12 + 10 − 20 y1 − lny1 − y22 + 10 − 10 y2 − lny2 + 2 2 2 2 + 10 − 10.10 + 10.20 + ln10 + 20 − 10.20 + ln20 − (y1 − 10) − (y2 − 20) 2 3 = − y12 + 20y1 − lny1 − y22 + 45y2 − lny2 − 350 + ln200 2 Ta có:   −3y1 + 20 −  y1  ∇2 f x , y1 , y2 =   −3y2 + 45 − y2 Do đó: w0 =  ∂f   = −10, x0, x0 = −3.10 + 20 −    ∂y1 10    ∂f   = −15, 05 x0, x0 = −3.20 + 45 − ∂y2 20 29 Thang Long University Libraty Nhận thấy w0 = ta chuyển qua bước Các bước lặp, thực theo công thức sau: , wk = ∇2 f x0 , xk , z k+1 = xk + ak wk , xk+1 = PC z k+1 ak = k+1 Trong đó:  k+1  z , z k+1 ∈ C xk+1 =  (5, ) ; (., 10) ; (5, 10) , z k+1 ∈ /C k ak xk wk z k+1 xk+1 T T T T (10, 20) (−10, 1; −15, 05) (−0, 1; 4, 95) (5, 10) T T T T (5, 10) (4, 8; 14, 9) (7, 4; 17, 45) (7, 4; 17, 45) 2 (7, 4; 17, 45)T (−2, 33; −7, 40)T (6, 62; 14, 98)T (6, 62; 14, 98)T T T T T (6, 62; 14, 98) (−0, 02; −0, 01) (6, 61; 14, 97) (6, 61; 14, 97) Bảng 2.1: Kết tính tốn Ví dụ theo Thuật tốn Bảng minh họa đến bước lặp Thực bước lặp xk+1 = xk kết luận xk nghiệm 30 Kết luận Bản luận văn trình bày vấn đề sau Các kiến thức tập lồi, hàm lồi, toán tử chiếu Các kiến thức kết toán cân tồn nghiệm, trường hợp riêng quan trọng toán cân Đặc biệt tồn nghiệm toán cân giả đơn điệu mạnh Trình bày hai thuật tốn giải tốn cân giả đơn điệu mạnh, trường hợp đòi hỏi có tính chất kiểu Lipschitz (Thuật tốn 1) trường hợp khơng địi hỏi tính Lipschitz (Thuật tốn 2) Áp dụng vào mơ hình cân kinh tế điện cách chuyển mơ hình tốn cân giả đơn điệu mạnh Cuối ví dụ minh họa 31 Thang Long University Libraty Tài liệu tham khảo [Tài liệu tiếng Việt] [1] Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học kĩ thuật, Hà Nội [2] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, NXB Khoa học kĩ thuật, Hà Nội [3] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (Sẽ ra), Nhập môn Giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội [4] Trần Vũ Thiệu - Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội [5] Lê Dũng Mưu (Sẽ ra), Equilibrium Problems: Methods and Applications, NXB Viện HLKHCN Việt Nam [Tài liệu tiếng Anh] [6] I Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer [7] Le D Muu and N V Quy (Sẽ ra), Existence Solution and Algorithms for Strongly Pseudomonotone Equilibrium Problems, Vietnam Journal of Mathematics 32