TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN DƯONG THỊ THẢO NHÓM HỮU HẠN KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số DƯƠNG THỊ THẢO NHÓM HỮU HẠN Hà Nội - 2015 KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học Chuyên ngành: Đại số Ths Dương Thị Luyến TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Hà Nội - 2015 Em xin trân trọng bày tỏ biết ơn sâu sắc tới cô Dương Thị Luyến, cô tận tình hướng dẫn bảo giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Em trân trọng cảm ơn thầy cô tổ Đại số toàn thể bạn sinh viên khoa nhiệt tình góp ý cộng tác giúp đỡ em suốt thời gian học tập nghiên cứu để hoàn thành khóa luận Do trình độ chuyên môn hạn chế, thời gian nghiên cứu eo hẹp nên nội dung khóa luận nhiều thiếu sót Em kính mong nhận phê bình góp ý thầy cô toàn thể bạn để nội dung khóa luận trở nên hoàn thiện Em xin trân trọng cảm ơn Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Sinh viên Dương Thị Thảo Tôi xin cam đoan khóa luận công trình nghiên cứu riêng Trong nghiên cứu, kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Những kết nêu khóa luận chưa công bố công trình khác Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Sinh viên Dương Thị Thảo MỤC LỤC 1.1 1.1.1 Định lí Lagrange 10 1.1.2 1.1.3 1.1.4 Đại số ngành chiếm vị trí quan trọng khoa học toán học Nó góp phần thúc đẩy phát triển toán học đại Ngày nay, khoa học kĩ thuật ngày phát triển, toán học nói chung Đại số nói riêng có tiến vuợt bậc Những tu tuởng, phuơng pháp kết Đại số thâm nhập vào hầu hết lĩnh vực toán học, từ tôpô hình học tới giải tích xác suất luợng tử, nhu số lĩnh vục học, vật lí lí thuyết, hóa học luợng tử Có thể nói ngành toán học đại ngày trình phát triển cần tới cấu trúc đại số hiểu biết cấu trúc Trong đó, nhóm đối tuợng cổ điển toán học Nhóm hữu hạn nội dung quan trọng có nhiều ứng dụng vào thục tiễn 1.1.5 Với lòng yêu thích, niềm say mê muốn đuợc nghiên cứu, tìm hiểu Đại số nói chung cấu trúc nhóm nói riêng, em chọn đề tài “Nhóm hữu hạn” để nghiên cứu 1.1.6 Nội dung khóa luận gồm chuơng: 1.1.7 Chuơng : Kiến thức chuẩn bị 1.1.8 Ở chuơng trình bày kiến thức nhóm, tổng trực tiếp, tích trực tiếp hai hay nhiều nhóm 1.1.9 Chương 2: Nhóm hữu hạn 1.1.10 Đưa khái niệm nhóm hữu hạn, tính chất, định lí, hệ số nhóm hữu hạn thường gặp tập áp dụng 1.1.11 Mặc dù cố gắng nhiều song chưa có kinh nghiệm, thời gian lực hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót 1.1.12 Em mong nhận góp ý thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện 1.1.13 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm 1.1.1 Định nghĩa 1.1.14 Cho X tập họp khác rỗng, (.) phép toán hai X X nhóm điều kiện sau đuợc thỏa mãn: i) (;xy)z = *(yz) với x,y,z e X ii) Tồn phần tử e e Xcó tính chất: ex = xe = x,Vx G X iii) VisX có phần tử x'eX cho xx' = x'x = e 1.1.15 Vỉ dụ Tập họp số nguyên z với phép cộng thông thuờng nhóm cộng số nguyên 1.1.16 Cũng vậy, ta có nhóm cộng số hữu tỉ,nhóm cộng số thực, nhóm cộng số phức 1.1.17 Chú v: • Phần tử e đuợc gọi phần tử đơn vị X • Phần tử x' thoả mãn (iii) đuợc gọi phần tử nghịch đảo X • Nhóm X đuợc gọi nhóm giao hoán (hay nhóm Aben) thoả mãn điều kiện sau : xy = yx;Vx, y e X • Một nhóm X đuợc gọi nhóm hữu hạn hay vô hạn tập X hữu hạn hay vô hạn phần tử 1.1.2 Tính chất 1.1.18 Cho X nhóm Ta có khắng định sau: a)Phần tử đơn vị e X đuợc xác định b)Mỗi phần tử X e X tồn phần tử nghịch đảo x' c) Trong nhóm có luật giản uớc có nghĩa là: 1.1.19 xy = zy=>x = z xy = xz=>y = z d) Trong nhóm phưong trình ax = b (tưong ứng ya = b ) có nghiệm x = a~1b( tưong ứng y = bã1) e) Với xvx2,x3, ,xneX ta có: 1.1.20 ( *2 V • Đặc biệt (x") =('x_1) = 1.1.21 =x 1.2 Nhóm 1.2.1 Định nghĩa nhóm điều kiện tương đương a) Định nghĩa 1.1.22 Cho X nhóm, A phận ổn định nhóm X Khi đó, A gọi nhóm X A với phép toán cảm sinh lập thành nhóm 1.1.23 Vỉ du Mỗi nhóm (G,.,e)có hai nhóm hiển nhiên G [e] Nhóm ỊeỊ gọi nhóm tầm thường b) Tính chất • Giao họ tùy ý nhóm X nhóm X • Hợp họ khác rỗng nhóm nói chung nhóm X c) Điểu kiện tương đương 1.1.24 Cho X nhóm, AcX Khi A nhóm X khỉ: (i) A phận ốn định nhóm X: Jt, y e A, Jty e A (ii) X e Athì e A(với x_1là phần tử nghịch đảo X X) d) Hệ 1.1.25 Cho X- nhóm, A ^ 0, A c: X Các điều kiện sau tuông đuơng: i A nhóm X ii Với x,y e Athì xy e A,*-1 e A iii Với X, ỵ e Athì xy~l e A 1.2.2 Nhóm chuẩn tắc a) Định nghĩa 1.1.26 Cho (X,.) nhóm, A nhóm X Khi A đuợc gọi nhóm chuẩn tắc X : 1.1.27 Với jceX,ae A:jc_1íwce A 1.1.28 Nhóm X đuợc gọi nhóm đơn nhóm chuẩn tắc khác ịe) X 1.1.29 Vỉ du l)Mỗi nhóm (G,.,e)có hai nhóm chuẩn tắc hiển nhiên G ịe) 1.1.30 2) Mọi nhóm nhóm Aben chuẩn tắc b) Điểu kiện tương đương 1.1.31 Cho A nhóm X Khi ta nói nhóm A nhóm chuẩn tắc nhóm X với X e X ta có JCA = AJC với xA = Ixa\a e Aj Ax = ịaxịa e AỊ 1.1.32 Chú ý : • Một nhóm X với phần tử đơn vị e có nhóm chuẩn tắc {eỊ X • Nếu X nhóm Aben nhóm X nhóm chuẩn tắc 1.1.310 Giải 1.1.311 a) Ta chứng minh KH = ( K U H ) 1.1.312 Thật vậy, ta có KH (do K,H ^ 0) 1.1.313 Lấy k^k^ thuộc KH với k^^GK’^h^GH Khi (K\)(KKỴ l = K ỉ hK% = k l k (k h l ỉq k )yìK1, \x i \ = m i ,i = l,k Giả sử nhóm Aben sinh tập họp có lực lượng 1.1.359 bé k phần tử sinh có cấp hữu hạn nhóm hữu hạn(*) Ta chứng minh giả thiết (*) cho trường họp nhóm Aben hữu hạn sinh có lực lượng k 1.1.360 Thật vậy, G = ({x1, ,x/t}) = ({x1, ,x/t_1}u{x/t}} suy G{{{x l , ,x k _ l })\J{x k }) = {H u H r ) vởi H ={{x l , ,x k _ l }} H' = {x k ).\ì G 1.1.361 nhóm Aben G = (H U H') nên G=H H ' Do IGI = \HH'\ = J—-—7 1.1.362 ' I I I I ịHnỉỉ’ị N 1.1.363 < 00 Theo giả thiết quy nạp \ H \ < 00 Mặt khác \H'\ = ịx kI = m k 1.1.364 H n H ' < H \H.H'\ ) Giả sử tồn m, n, m > n : x m = x n => x m ~ n = e, Đặt d = m-n , d > 1.1.16 Lấ 1.1.17 = > y y G (x) y = akịk 1.1.18 < 1.1.19 d - 1.1.20 => 1.1.21 y = x k = r ựỴ x dp+ = 1.1.23 Í-H 1.1.24 < = 1.1.29 00 >I(*}| 1.1.30 > {x) = 1.1.28 1.1.388 1.1.25 1.1.22 = 1.1.389 Do I x\ = 00 => Vm,n e N cho m^n x m ^ x n 1.1.390 (= 00 = |JC| 1.1.392 Từ suy \x\ < 00 =^> Vm,n e N cho m^n x m ^ x n 1.1.393 Bài 1.1.394 Chứng minh z X z nhóm xyclic m n nguyên tố 1.1.395 Giải 1.1.396 Giả sử m n hai số nguyên tố 1.1.397 Khi (l,l) e Zm X Zn có cấp m.n Thật vậy, 1.1.398 mnịl,ìj = ịmnl,mnìj 1.1.399 =(õ,õ) Giả sử Æ(I5I) = (0,0) (fc.l,fc.l) = (o,o) hay 1.1.400 kl = (l < + wZ) = mZ fc.l = (l + nZ) = ĨỈL 1.1.401 Suy k chia hết cho m k chia hết cho n Vì (m,n) = nên k chia hết cho mn Vậy Zm X Zn nhóm xyclic sinh (ĩ,ĩ) 1.1.402 Đảo lại, giả sử Zm X Zn nhóm xyclic 1.1.403 Khi tồn a,b thuộc Zm X Zn có cấp mn Mặt khác [m,n] bội chung nhỏ m n [m,n]ịã,b^ = ịịm,n]ã,[m,n]b^ = (Õ,Õ) 1.1.404 Từ suy [m,n ] chia hết cho mn 1.1.405 Vậy m,n nguyên tố 1.1.406 Bài 10 1.1.407 Chứng minh nhóm cấp 15 nhóm xyclic 1.1.408 Giải 1.1.409 Giả sử |x| = 15 = 3.5 nên X tồn 3- nhóm Sylow 5- nhóm Sylow 1.1.410 r = l(mod3) _ vJ => r = Do tồn 3- r/5 Trong X tồn 3- nhóm Sylow Gọi r số 3- nhóm Sylow ta có 1.1.411 nhóm Sylow H, |//| = Suy H < X 1.1.412 Tuơng tự X tồn 5- nhóm Sylow X Nếu s 1.1.413 , fs = l(mod5) 1.1.414 sô 5- nhóm Sylow s =1 Do X sỉ 1.1.415 đó, tồn 5- nhóm Sylow K, |x| = Suy 1.1.416 K < x 1.1.417 Ta thấy H n K = { e } (1) 1.1.418 Vì \H n K\ > =>\H n K\ = ( điều xảy H n K < H , H n K < K v ầ |tfnx| = |//| nên H n K = H suy H d Xmà \H\ không uớc |x| 1.1.419 1.1.420 Tacó \HK\= =15 = 1X1 1 |//nx| 1 1.1.421 Mặt khác, HK cX nên HK = X (2) 1.1.422 Vì H,K nhóm xyclic ( H,K có cấp nguyê tố ) (|//|,|x|) = nên HK=X nhóm xyclic 1.1.423 Bài 77 1.1.424 Giả sử X nhóm, a b hai phần tử nhóm X Chứng minh cấp ab cấp ba 1.1.425 Giả sử ab = ba cấp a,b lần luợt r,s Khi đó, (r, s) cấp ab rs a) Giả sử ab cấp k Khi đó, (abf = e abab ab = e 1.1.426 1.1.427 k a{bàf a~l = e (bàf = e 1.1.428 1.1.429 1.1.430 \t\r 1.1.431 Từ (3) (4) ta có T! ^ > t \ r 1.1.432 [t\s 1.1.433 Vậy rs cấp phần tử ab 1.1.434 Bài 12 1.1.435 Chứng minh nhóm cộng số nguyên z phận A z nhóm z A có dạng A mZ ,me z 1.1.436 Giả sử A = mZ ( với m số nguyên) A^ ^ m, Oe A Lấy mkivà mk2 hai phần tử A, 1.1.437 mk^ -mk = mịk^ -Ì2)EA 1.1.438 Vậy A nhóm z 1.1.439 Đảo lại, giả sử A nhóm củaZ 1.1.440 Nếu A = {0} ta có A= 0Z với m = 1.1.441 Giả sử {0}, ta có OEA số nguyên khác 1.1.442 Gọi m số nguyên khác thuộc A cho \m\ < |fl|( với a ^ 0,a e A ) Do A = mZ Thật rõ ràng mZ cz Avì m e A Nguợc lại giả sử a e A số nguyên, ta có a = mq + r (1) với r = |r|ị k Suy k chia hết cho m k chia hết cho n,vì m n nguyên tố nên k chia hết cho mn Do cấp (x,y) = mn cấp Xx Y 1.1.452 Vậy Xx Y nhóm xyclic sinh ( X , y ) 1.1.453 Đảo lại , giả sử XxY nhóm xyclic sinh phần tử (x*, y ) Gọi M bội chung nhỏ m n ta có 1.1.32 1.1.454 1.1.455 điều chứng tỏ M chia hết cho cấp (*\y) hay M chia hết cho mn.Vậy m n nguyên tố 1.1.456 KẾT LUẬN 1.1.457 Khóa luận “Nhóm hữu hạn”đã trình bày số cấu trúc nhóm hữu hạn Tuy nhiên , lực thời gian hạn chế nên số vấn đề đại số nhu phân tích nhóm chua đuợc đề cập đến Hy vọng đề tài đuợc bạn sinh viên tiếp tục quan tâm nghiên cứu sau 1.1.458 Do lần em làm quen với nghiên cứu khoa học nên trình hoàn thành khóa luận tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy cô bạn đóng góp ý kiến để khóa luận em đuợc hoàn chỉnh