Đang tải... (xem toàn văn)
đây là tài liệu về sáng kiến kinh nghiệm môn hình học ở bậc thcs , có nhiều sáng tạo và vbnnmmvmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
một số phơng pháp sử dụng diện tích chứng minh hình học Phơng pháp Sử dụng diện tích để chứng minh quan hệ độ dài đoạn thẳng Ví dụ1 Cho hình bình hành ABCD Từ điểm B vẽ cát tuyến cắt cạnh CD điểm M Từ điểm D vẽ cát tuyến cắt cạnh BC điểm N cho BM=DN Gọi I giao điểm BM DN Chứng minh khoảng cách từ A đến BM khoảng cách từ A đến D N Nhận xét Đối với toán không dùng phơng pháp sử dụng diện tích khó mà giải đợc Nhng để phát toán phải dùng phơng pháp sử dụng diện tích để chứng minh đoạn thẳng lại khó Giáo viên phải gợi mở cho học sinh thấy giả thiết có BM=DN mà phải chứng minh khoảng cách từ A đến BM DN lại có hai tam giác BAM tam giác DAN đợc Vậy phải SVBAM = SVDAN Đó điều mà ngời muốn giải toán phải nghĩ tới lời giải ( theo hình 1) SVBAM = S ABCD (SVADM + SVBMC ) kẻ EF qua M EF vuông góc với BC 1 SVADM + SVBMC = ME.AD + MF BC 2 1 = AD.EF = S ABCD 2 B N I F C M Vậy S BAM 1 = S ABCD S ABCD = S ABCD 2 A Hình D E Tơng tự qua N kẻ PQ AB Ta chứng minh đợc diện tích tam giác AND nửa diện tích hình bình hành ABCD Vậy S BAM = S ADN = S ABCD Suy đờng cao hạ từ A tới BM, hạ từ A xuống DN ( hai đáy BM = DN theo giả thiết) Ví dụ Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, đờng thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AB, AC trung tuyến AM lần lợt D,E,F Chứng minh FD = FE Nhận xét Bài giải nhiều cách khác nhng xin phép trình bầy phơng pháp sử dụng diện tích để chứng minh Lời giải (theo hình 2) Hạ DK EH vuông góc với AM (K,H AM) Ta có SABM = SACM (1) (có chung đờng cao hai đáy BM = MC) SDBM = SECM (2) (Có đờng cao DI = EN hai đáy nhau) Từ (1) (2) suy SABM - SDBM = SACM - SECM hay SADM = SAEM Hình mà tam giác ADM tam giác AEM có chung đáy AM nên hai đờng cao thuộc đáy AM tức là: DK = EH Mặt khác tam giác DKF EHF có K= H = 900; DK = EH (chứng minh trên) KDF = HEF (so le DK // EH ) Do DKF = EHF (g.c.g) FD = FE Phơng pháp Sử dụng diện tích để chứng minh điểm thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC, Trung tuyến AM Một đờng thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lợt D E Chứng minh BE CD cắt AM Lời giải: (theo hình 3) Gọi giao điểm AM với DE F Theo ví dụ phơng pháp FD = FE Suy SBDFM = SBFD + SBFM = SCFE + SCFM = SCEFM (1) Gọi giao điểm BE CD I, nối IF, IM ta có : SDIF = SEIF ( Vì FD = FE ) hình Và SBIM = SCIM SBDI = SCEI ( Do SBDC = SCEB ) Suy SBDFIM = SCEFIM Hay đờng gấp khúc FIM chia đôi diện tích hình thang BDEC (2) Từ (1) (2) suy ra: SFIM = Suy F, I, M thẳng hàng suy I thuộc FM Lu ý Để chứng minh điểm thẳng hàng phơng pháp sử dụng diện tích ta phải chứng minh tam giác có đỉnh điểm có diện tích Phơng pháp Sử dụng diện tích hình học để chứng minh hai đờng thẳng song song ví dụ Cho hình bình hành ABCD Các điểm E,F,G,H thứ tự thuộc cạnh AB,BC,CD,DA cho EG không song song với AD Cho biết diện tích EFGH nửa diện tích hình bình hành Chứng minh FH//CD Nhận xét Đối với toán từ giả thiết diện tích EFGH nửa diện tích hình bình hành ngời giải toán nhận đợc sử dụng phơng pháp diện tích để chứng minh Nhng chng minh nh nào? vận dụng diện tích nh nào? để có đợc FH//CD vấn đề khó Lời giải: (theo hình 4) Kẻ EM // AD ( M CD ) Nối F với H; H với M; F với M Gọi khoảng cách hai đờng thẳng song song EM AD h : E F B C G M Hình h AH = h.HD A S AEH = S HDM H suy S AEH + S HDM = h.( AH + HD) = h AD Mà AD=EM (vì AEMD hình bình hành có EM//AD; AE//MD) Vậy S AEH + S HDM h.EM (1) Lại có S EHM = h.EM S EHM = S AEH + S HDM Tơng tự ta có S MFE = S EBF + S FMC (2) D Từ biểu thức (1) (2) suy S HEFM = S EHM + S FME = S AEH + S HDM + S EBF + S FMC = Vậy S HEFM = S ABCD S ABCD 2 Mà S EFGH = S ABCD (theo giả thiết) SEFMH = S EFGH S FGH =S FMH (Vì có phần chung tam giác EFH ) khoảng cách từ G M đến HF HF // CD Ví dụ Cho tam giác ABC , đờng thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC lần lợt D E Qua D ,E lần lợt kẻ đờng thẳng song song với AC , AB cắt BE, DC lần lợt M N Chứng minh MN // BC Lời giải (theo hình 5) gọi I giao điểm BE CD EN // AB nên S BEN = SDEN(1), (Vì chung đáy EN có đờng cao thuộc EN nhau) mà SBIN = SBEN - SIEN (2) SDIE = SDEN - SIEN (3) Từ (1),(2)Và(3) SBIN = SDIE (4) Ttơng tự SCIM = SDIE (5) Từ (4) (5) SBIN = SCIM mặt khác SBMN = SBIN - SMIN Hình SCMN = SCIM - SMIN SBMN = SCMN hai đờng cao BH CK tơng ứng thuộc MN Nên BHKC hình chữ nhật MN // BC Ví dụ Cho tam giác ABC có AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm Gọi I giao điểm phân giác; G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh IG//BC Lời giải (theo hình6) Ta có SGBM = 1/3 SABM (Vì tam giác có chung đờng cao thuộc AM đáy GM =1/3 AM) Tơng tự SGCM =1/3 SACM nên SGBM + SGCM = 1/3(SABM+ SACM) = 1/3 SABC tức SGBC =1/3SABC (*) Kẻ ID vuông góc với AB, IK Vuông góc với BC; IE vuông góc với AC ID = IK = IE đặt chúng r ta có :SIBC = 1/2 BC.IK = 1/2.5.r = 2,5r (1) mà SABC = SIBC + SICA + SIAB = 1/2BC.IK + 1/2CA.IE + 1/2AB.ID =2,5.r + 1/2.6.r +1/2.4.r = 2,5r + 3r + 2r = 7,5r (2) Từ (1) (2) suy SIBC = 1/3SABC (**) Từ (*) (**) suy SIBC = SGBC kẻ GH vuông góc với BC IK GH lần lợt đờng cao tam giác IBC tam giác GBC nên IK = GH suy tứ IGHK hình chữ nhật (vì có IK song GH; góc K 1V) Hình Suy IG//KH mà K, H thuộc BC suy IG//BC phơng pháp dùng diện tích hình học để chứng minh ba đờng thẳng đồng quy Ví dụ Chứng minh tam giác ba đờng trung tuyến đồng quy điểm đồng quy chia trung tuyến theo tỉ số 2/3 kể từ đỉnh Lời giải (theo hình 7) Gọi G giao điểm trung tuyến BE CF, Nối AG cắt BC M Để chứng minh cho G giao điểm trung tuyến , ta chứng minh cho AM trung tuyến tam giác ABC tức chứng minh MB = MC ta có SABE = SACF =1/2SABC Hình suy SBGF = SCGE suy SAGF = SBGF = SCGE = SAGE suy SABG = SACG (1) hạ đờng vuông góc BH, CK với AM ta có BH = CK (do 1) suy SBGM = SCGM suy BM = CM nên AM trung tuyến tam giác ABC Mặt khác SABG = 2SAGE suy BG = 2GE hay BG/BE = 2/3 tơng tự ta có AG/AM = CG/CF = 2/3 Phơng pháp Dùng phơng pháp diện tích hình học để chứng minh số hệ thức Ví dụ Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm M miền tam giác đến cạnh không phụ thuộc vị trí điểm Nhận xét Nếu toán không sử dụng diện tích để chứng minh khó mà giải đợc Khi sử dụng diện tích tam giác toán trở nên đơn giản Lời giải (theo hình 8) A Gọi độ dài cạnh tam giác a , đờng cao h Thì Sabc = S AMB +S BMC + SCMA D 1 MD AB + ME.BC + MF AC 2 = a.( MD + ME + MF ) B Vậy Sabc= a.( MD + ME + MF ) hình Mà = a.h MD+ME+MF = h không đổi = F E C Ví dụ Bên tam giác ABC lấy điểm O tuỳ ý, tia AO, BO, CO cắt BC, CA, AB D, E, F Chứng minh OA OB OC + + =2 AD BE CF Lời giải (theo hình 9) Vẽ OK BC ; AH BC Suy OK // AH DKO DHA OK BC S BOC OK = = mà S ABC AH AH BC OD OK S BOC = = Nên AD AH S ABC OE S COA OF S AOB = = Tơng tự : ; BE S ABC CF S ABC OD OE OF Do đó: + + =1 AD BE CF AD OA BE OB CF OC suy + + =1 AD BE CF OA OB OC Suy ra: 1+1 +1 =1 AD BE CF OA OB OC Suy ra: + + =2 AD BE CF OD OK = AD AH Hình hình Ví dụ Cho hình bình hành ABCD Các điểm M, N, theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC cho AM = CN Gọi K giao điểm AN CM Kẻ DH vuông góc với KA; DI vuông góc với KC Chứng minh : DH AN = DI CM Lời giải (theo hình 10) Vì DH KA ; DI KC nên ta có : DH AN = S ADN (1) DI CM = 2S CDM (2) Mà S ADN = S ABCD hình 10 (Vì tam giác AND hình bình hành ABCD có chung đáy AD đờng cao t1 ơng ứng nhau) Tơng tự S CDM = S ABCD Nên S ADN = S CDM (3) Từ (1), (1) (3) suy : DH AN = DI CM ví dụ Cho tam giác ABC, O điểm nằm tam giác, tia AO,BO,CO cắt cạnh BC,CA,AB lần lợt điểm P,Q,R Chứng minh rằng: OA OB OC + + OP OQ OR Lời giải Gọi S,S1,S2,S3 lần lợt diện tích tam giác ABC, BOC,COA,AOB Đặt S1=x2, S2=y2,S3=z2(x,y,z lớn 0) Ta đợc S=x2+y2+z2 suy : AP S x + y + z OA y2 + z2 = = + = + OP S1 x2 OP x2 OA = OP y +z x2 Q R B P hình 11 C Tơng tự ta có: OP = OQ z + x2 OC va = y OR x2 + y z2 2 2 2 Do T = OA + OB + OC = y + z + z + x + x + y OP Lại có OQ OR x y z y2 + z2 y + z x 2x Tơng tự ta đợc: T y z x z x y + + + + + ữ 2x x y y z z Phơng pháp Sử dụng diện tích để chứng minh số toán cực trị hình học Các toán cực trị hình học thờng đợc trình bày theo hai cách: Cách 1: Chỉ hình chứng minh hình có đại lợng cần tìm cực trị lớn nhỏ yếu tố hình khác Cách 2: Thay điều kiện đại lợng cực trị điều kiện tơng đơng, cuối dẫn đến điều kiện xác định đợc vị trí đại lợng hình học để đạt cực trị ví dụ cho hình vuông ABCD có cạnh a, lấy điểm M tùy ý đờng chéo AC, kê ME AB, MF BC Xác định vị trí M đờng chéo AC để diện tích tam giác DEF nhỏ Tìm giá trị đó? Lởi giải: (theo hình 12) SVDEM = SVAME (Chung đáy EM , đờng cao nhau) SVDMF = SVCMF (Chung đáy FM, đờng cao nhau) SVDEF = SVDEM + SVDMF + SVEMF = SVABC SVBEF = (a BE.BF ) Vậy SVDEF nhỏ BE.BF lớn hình 12 Do BE+BF = a (vì EM = AE = BF tam giác AEM vuông cân) a BE.BF lớn BE = BF = ( hai số dơng có tổng không đổi tích lớn số nhau) Khi M trung điểm AC Và SVDEF = (a a ) = a 2 Ví dụ a, Trong hình chữ nhật có chu vi Hình có diện tích lớn nhất? b, Trong hình chữ nhật có diện tích, hình có chu vi nhỏ ? Lời giải Gọi kích thớc hình chữ nhật a, b ( a, b > ) Ta có : ( a - b )2 a2+ b2 2ab ( a + b )2 4ab a, Vì chu vi hình chữ nhật không đổi nên a + b số Do ab lớn a = b Vậy hình vuông có diện tích lớn b, Vì diện tích hình chữ nhật không đổi nên ab số Do a + b nhỏ a = b Vậy hình vuông có chu vi nhỏ Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC M điểm thay đổi cạnh BC Hãy xác định vị trí điểm M cho tổng khoảng cách từ B C đến đờng thẳng AM là: a, Nhỏ b, Lớn Lời giải (theo hình 13) Kẻ AH BC ; BE AM ; CF AM Ta có: SABC = SAMB + S AMC = AM ( BE + CF ) hình 13 Hay AM ( BE + CF ) = SABC không đổi nên : a, BE + CF nhỏ AM lớn nên có khả xảy : - Nếu AB AC AM lớn AB M B tổng BE + CF độ dài đờng cao hạ từ đỉnh C xuống cạnh AB - Nếu AC AB AM lớn AC M C , tổng độ dài BE + CF độ dài đờng cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC b, BE + CF lớn AM nhỏ Vì AM AH nên AM Min AM = AH M H Khi E F trùng với H Nên tổng BE + CF nhận giá trị lớn BC