BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRỊNH THỊ HỒNG NHUNG SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thành Anh HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Thành Anh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thành Anh, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Tác giả Trịnh Thị Hồng Nhung LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Thành Anh, luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Sự tồn tính ổn định nghiệm bất đẳng thức vi biến phân không gian hữu hạn chiều” tự làm Các kết tài liệu trích dẫn rõ nguồn gốc Trong trình nghiên cứu thực luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Tác giả Trịnh Thị Hồng Nhung Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích đa trị 1.1.1 Tính nửa liên tục (trên, ) ánh xạ đa trị 1.1.2 Hàm đa trị đo tích phân ánh xạ đa trị 12 1.1.3 Bậc tôpô cho hàm đa trị 16 1.2 Bất đẳng thức biến phân 20 1.3 Một số bất đẳng thức 22 1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 22 1.3.2 Bất đẳng thức Holder 22 1.3.3 Bất đẳng thức Minkowshi 22 1.3.4 Bất đẳng thức Ky Fan 22 1.3.5 Bất đẳng thức Gronwall 23 Sự tồn tính ổn định nghiệm bất đẳng thức vi biến phân không gian hữu hạn chiều 24 2.1 Phát biểu toán 24 2.2 Sự tồn nghiệm toán 28 2.3 Sự ổn định nghiệm 35 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Mở đầu Lí chọn đề tài Bất đẳng thức vi biến phân mô hình tổng quát nhiều toán lĩnh vực tài chính, kinh tế, giao thông, tối ưu hoá khoa học kĩ thuật Đến bất đẳng thức vi biến phân nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu nhận nhiều kết phong phú, bao gồm kết tồn nghiệm, tính nghiệm, cấu trúc dáng điệu tập nghiệm vấn đề giải số Gần bất đẳng vi biến phân vectơ nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu tìm nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Nó xét mở rộng bất đẳng vi biến phân Trong luận văn muốn giới thiệu nghiên cứu lớp bất đẳng vi biến phân vectơ không gian Euclid hữu hạn chiều Bởi hướng dẫn TS Nguyễn Thành Anh chọn đề tài “ Sự tồn tính ổn định nghiệm bất đẳng vi biến phân không gian hữu hạn chiều” Luận văn hoàn thành dựa kết công bố công trình “ Differential Vector Variational Inequalities in Finite-Dimensional Spaces”, J Optim Theory Appl (2013) 158:109–129, tác giả Xing Wang Nan-Jing Huang Chúng dự nhận tồn nghiệm yếu Carathéodory bất đẳng thức vi biến phân vectơ không gian hữu hạn chiều Euclid Ngoài ra, nghiên cứu tính đóng, nửa liên tục nửa liên tục ánh xạ nghiệm yếu Carathéodory bất đẳng thức vi biến phân vectơ không gian hữu hạn chiều Euclid ánh xạ tập ràng buộc bị nhiễu loạn tham số Mục đích nghiên cứu Nhận kết tính giải tính ổn định bất đẳng thức vi biến phân vectơ không gian hữu hạn chiều Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu: • Sự tồn nghiệm yếu Carathéodory • Tính ổn định nghiệm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bất đẳng thức vi biến phân vectơ phạm vi không gian hữu hạn chiều Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp: hệ thống lại kiến thức có liên quan, phân tích, tổng hợp định nghĩa, tính chất giải tích đa trị, bất đẳng thức biến phân số bất đẳng thức Dự kiến đóng góp Luận văn trình bày cách tổng quan bất đẳng thức vi biến phân không gian hữu hạn chiều Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Giải tích đa trị Tính nửa liên tục (trên, ) ánh xạ đa trị Cho X , Y tập P (Y ) tập tất tập khác rỗng nằm Y BX (0, r) hình cầu tâm bán kính r X , ∂BX (0, r) mặt cầu Định nghĩa 1.1.1 Ánh xạ đa trị F : X → Y tương ứng mà x ∈ X cho ta tập khác rỗng F(x) ⊆ Y , F(x) gọi giá trị x Vì ánh xạ đa trị F viết sau F : X → P (Y ) Nếu A ⊆ X F(x) F(A) = x∈A gọi ảnh A qua F Tập ΓF ⊆ X × Y định nghĩa ΓF = {(x, y) : (x, y) ∈ X × Y, x ∈ X, y ∈ F(x)} đồ thị ánh xạ đa trị F Cho V ⊆ Y , F+−1 (V ) định nghĩa F+−1 (V ) = {x ∈ X : F(x) ⊂ V } F−−1 (V ) định nghĩa F−−1 (V ) = {x ∈ X : F(x) ∩ V = ∅} Cho X , Y không gian tôpô Định nghĩa 1.1.2 Một ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) nửa liên tục điểm x ∈ X với tập mở V ⊂ Y cho F(x) ⊂ V tồn lân cận U (x) x cho F(U (x)) ⊂ V Một ánh xạ đa trị F gọi nửa liên tục nửa liên tục điểm x ∈ X Định lý 1.1.1 Các điều kiện sau tương đương : (i) ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) nửa liên tục trên; (ii) tập F+−1 (V ) mở với tập mở V ⊂ Y ; (iii) tập F−−1 (Q) đóng với tập đóng Q ⊂ Y Định nghĩa 1.1.3 Ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) gọi nửa liên tục điểm x ∈ X với tập mở V ⊆ Y cho F(x)∩V = ∅ tồn lân cận U (x) x cho F(x )∩V = ∅ với x ∈ V (x) Một ánh xạ đa trị F gọi nửa liên tục nửa liên tục điểm x ∈ X Định lý 1.1.2 Các điều kiện sau tương đương : (i) ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) nửa liên tục dưới; (ii) tập F−−1 (V ) mở với tập mở V ⊂ Y ; (iii) tập F+−1 (Q) đóng với tập đóng Q ⊂ Y Định nghĩa 1.1.4 Một ánh xạ đa trị F vừa nửa liên tục vừa nửa liên tục gọi liên tục Định nghĩa 1.1.5 (i) Một ánh xạ đa trị F : Rn → Rn gọi đơn điệu tập lồi K ⊂ Rn với cặp điểm x, y ∈ K với x∗ ∈ F(x), y ∗ ∈ F(y), x∗ − y ∗ , x − y ≥ (ii) Một ánh xạ đa trị F : Rn → Rn gọi giả đơn điệu tập lồi K ⊂ Rn với cặp điểm x, y ∈ K với x∗ ∈ F(x), y ∗ ∈ F(y), x∗ , y − x ≥ hay y ∗ , y − x ≥ (iii) Một ánh xạ F := (F1 , F2 , , Fp ) gọi giả đơn điệu tập lồi K ⊂ Rn với ξ = {ξ1 , ξ2 , , ξp } ∈ Rp+ \{0} x, y ∈ K với x∗i ∈ Fi (x), yi∗ ∈ Fi (y) (i = 1, 2, , p), p p ξi x∗i , y −x ξi yi∗ , y − x ≥ =⇒ i=1 ≥0 i=1 (iv) Một ánh xạ F := (F1 , F2 , , Fp ) gọi đơn điệu tập lồi K ⊂ Rn với ξ = {ξ1 , ξ2 , , ξp } ∈ Rp+ \{0} x, y ∈ K với x∗i ∈ Fi (x), yi∗ ∈ Fi (y) (i = 1, 2, , p), p p ξi yi∗ i=1 ξi x∗i , y − x − ≥ i=1 Định nghĩa 1.1.6 Cho X không gian tôpô, L tập khác rỗng, đóng, lồi X cho barr(L) = {x∗ ∈ X ∗ : sup x∗ , x < ∞} x∈L kí hiệu hình nón bị chặn L Nón lõm L nón đóng lồi định nghĩa bởi: L∞ := {d ∈ X : ∃tn → 0, ∃xn ∈ L, tn xn Ở d} viết tắt hội tụ yếu Nó biết rằng, x ∈ L, Định lý 2.2.1 Cho (f, B, G) thỏa mãn điều kiện (a) (b), F := (F1 , , Fp ) giả đơn điệu K , Fi : Rn → Rn (i = 1, 2, , p) ánh xạ đa trị nửa liên tục với giá trị khác rỗng compact Cho K tập khác rỗng, bị chặn, đóng lồi Rn Khi toán ban đầu DVVI (2.1) có nghiệm yếu Carathéodory Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.3 SOL(K, q + F) tập khác rỗng Dựa vào Bổ đề 2.2.1 kết luận tồn ξ ∈ S+ cho SOL(K, q +F)ξ tập khác rỗng Do K bị chặn nên ta có SOL(K, q + F)ξ bị chặn Hơn nữa, theo Bổ đề 2.2.4 ta có SOL(K, q + F)ξ tập đóng lồi với q ∈ G(Ω) Vì vậy, chứng minh cách đơn giản Bổ đề 2.1.3 F hàm tuyến tính tăng nửa liên tục trên Ω Bây giờ, từ Bổ đề 2.1.2 2.1.4 ta có SOL(DVI)ξ tập khác rỗng SOL(DVVI) tập khác rỗng theo quan hệ: SOL(DVI)ξ ⊂ SOL(DVVI) Định lí chứng minh 2.3 Sự ổn định nghiệm Trong phần này, thiết lập tính nửa liên tục nửa liên tục tập nghiệm bất đẳng thức vi biến phân vectơ ánh xạ tập ràng buộc bị nhiễu hai tham số khác Cũng phần tính compact tính compact định nghĩa không gian chuẩn với chuẩn x := supt∈[0,T ] x(t) Định lý 2.3.1 Cho (f, B, G) thỏa mãn điều kiện (a) Giả sử giả thiết sau thỏa mãn: (i) Fi : Rn × Z2 → Rn (i = 1, 2, , p) ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, đóng, lồi, tập Fi (L2 [0, T ] × Z2 ) 35 compact; (ii) L : Z1 → Rn ánh xạ đa trị liên tục với giá trị bị chặn, đóng lồi; (iii) F(., v) giả đơn điệu Rn với v ∈ Z2 ; (iv) SOL(DVVI(u, v)) = ξ∈S+ SOL(DVI(u, v))ξ với (u, v) ∈ Z1 × Z2 SOL(L(u0 ), q + F(., v0 )) tập khác rỗng với q ∈ G(Ω) Khi SOL(DVVI(., )) tập đóng (u0 , v0 ) ∈ Z1 × Z2 Chứng minh Từ giả thiết (ii), (iv) Bổ đề 2.2.1, tồn ξ ∈ S+ cho SOL(L(u0 ), q + F(., v0 ))ξ tập khác rỗng bị chặn Bổ đề 2.1.5 có nghĩa tồn lân cận U × V (u0 , v0 ) cho, với (u, v) ∈ U × V , SOL(L(u), q + F(., v))ξ tập khác rỗng bị chặn Tính đóng tính lồi tập SOL(L(u), q + F(., v))ξ suy từ Bổ đề 2.2.4 Theo Định lí 2.2.1 ta có SOL(DVI(u, v ))ξ tập khác rỗng nên kết luận dược SOL(DVVI(u, v )) tập khác rỗng Cho dãy {(un , )} ⊂ U × V với (un , ) → (u0 , v0 ), lấy (xn , ωn ) ∈ SOL(DVVI(un , )) Khi hệ thức sau thỏa mãn: (i) tồn ξn = (ξn1 , ξn2 , , ξnp ) ∈ S+ ωn∗ i ∈ Fi (ωn , ) cho, với t ∈ [0, T ] ω ˜ n ∈ L(un ), p ξni G (t, xn (t)) + ωn∗ i (t), ω ˜ n − ωn (t) ≥ (2.9) i=1 (ii) với ≤ s ≤ t ≤ T , t xn (t) − xn (s) = [f (τ, xn (τ )) + B (τ, xn (τ )) ωn (τ )] dτ ; s 36 (2.10) (iii) điều kiện ban đầu xn (0) = x0 (2.11) Giả sử (xn , ωn ) → (x0 , ω0 ) Chúng ta cần chứng minh (x0 , ω0 ) ∈ SOL(DVVI(u0 , v0 )) Do Fi (L2 [0, T ] × Z2 ), i = 1, 2, , p, compact (ωn∗ , ωn∗ , , ωn∗ p ) ⊂ F1 (L2 [0, T ] × Z2 ) × × Fp (L2 [0, T ] × Z2 ) tồn dãy (ωn∗ , ωn∗ , , ωn∗ p ) , kí hiệu lại (ωn∗ , ωn∗ , , ωn∗ p ) , cho (ωn∗ , ωn∗ , , ωn∗ p ) → (ω1∗ , ω2∗ , , ωp∗ ) Hay (ωn , ) → (ω0 , v0 ), từ giả thiết Fi nửa liên tục nên ta có ω1∗ (t), , ωp∗ (t) ∈ F1 (ω0 (t), v0 ) × × Fp (ω0 (t), v0 ) Tính nửa liên tục L có nghĩa là, với ω ˜ ∈ L(u0 ), tồn dãy {˜ ωn } với ω ˜ n ∈ L(un ) cho ω ˜n → ω ˜ Nói cách khác, ξn = (ξn1 , ξn2 , , ξnp ) ∈ S+ S+ compact nên tồn dãy {ξn }, kí hiệu lại {ξn }, cho ξn → ξ = (ξ1 , ξ2 , , ξp ) ∈ S+ Từ (2.9), (2.10), (2.11) ta có (i) tồn ξ ∈ S+ ωi∗ ∈ Fi (ω0 , v0 ) (i = 1, 2, , p) cho, với t ∈ [0, T ] ω ˜ ∈ L(u0 ), p ξi G (t, x0 (t)) + ωi∗ (t), ω ˜ n − ω0 (t) ≥ 0; (2.12) i=1 (ii) với ≤ s ≤ t ≤ T , t x0 (t) − x0 (s) = [f (τ, x0 (τ )) + B (τ, x0 (τ )) ω0 (τ )] dτ ; s 37 (2.13) (iii) điều kiện ban đầu x0 (0) = x0 (2.14) Do đó, (x0 , ω0 ) ∈ SOL(DVI(u0 , v0 ))ξ Với quan hệ SOL(DVI(u0 , v0 ))ξ ⊂ SOL(DVVI(u0 , v0 )), kết luận (x0 , ω0 ) ∈ SOL(DVVI(u0 , v0 )), điều có nghĩa SOL(DVVI(., )) tập đóng (u0 , v0 ) ∈ (Z1 × Z2 ) Định lí chứng minh Tiếp theo thiết lập tính nửa liên tục tập SOL(DVVI(., )) Định lí 2.3.2 sau Định lý 2.3.2 Cho (f, B, G) thỏa mãn điều kiện (a), (b)và (c) Giả sử giả thiết sau thoả mãn: (i) Fi : Rn × Z2 → Rn (i = 1, 2, , p) ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, đóng, lồi, tập Fi (L2 [0, T ] × Z2 ) compact; (ii) L : Z1 → Rn ánh xạ đa trị liên tục với giá trị bị chặn, đóng lồi; (iii) F(., v) giả đơn điệu Rn với v ∈ Z2 ; (iv) SOL(DVVI(u, v)) = ξ∈S+ SOL(DVI(u, v))ξ với (u, v) ∈ Z1 × Z2 SOL(L(u0 ), q + F(., v0 )) tập khác rỗng với q ∈ G(Ω); (v) SOL(L(.), (q + F(.))) tập compact (u0 , v0 ) Khi SOL(DVVI(., )) tập nửa liên tục (u0 , v0 ) ∈ Z1 × Z2 38 Chứng minh Giả sử SOL(DVVI(., )) tính chất nửa liên tục (u0 , v0 ) Khi tồn tập mở O với SOL(DVVI(u0 , v0 )) ⊂ O, dãy {(un , )} ⊂ Z1 × Z2 với (un , ) → (u0 , v0 ) (xn , ωn ) ∈ SOL(DVVI(un , )) cho (xn , ωn ) ∈ / O Nói cách khác, t xn (t) − xn (s) = [f (τ, xn (τ )) + B (τ, xn (τ )) ωn (τ )] dτ (2.15) s Do f B bị chặn Ω ωn (t) bị chặn với t ∈ [0, T ], từ (2.15) ta có {xn } họ hàm số liên tục đồng bậc bị chặn (với x = supt∈[0,T ] x(t) ) Theo định lí Arzelá–Ascoli, tồn dãy {xn }, kí hiệu lại {xn }, cho {xn } hội tụ cận chuẩn tắc đến hàm x0 [0, T ] Do SOL(L(.), (q + F(.))) tập compact (u0 , v0 ), tồn dãy {ωn }, kí hiệu lại {ωn }, cho ωn → ω0 Theo Định lí 2.3.1, SOL(DVVI(., )) tập đóng (u0 , v0 ) nên (x0 , ω0 ) ∈ SOL(DVVI(u0 , v0 )) ⊂ O Tuy nhiên, (xn , ωn ) ∈ / O có nghĩa (x0 , ω0 ) ∈ / O, điều mâu thuẫn Vì vậy, SOL(DVVI(., )) nửa liên tục (u0 , v0 ) ∈ Z1 × Z2 Định lí chứng minh Bây ta thiết lập tính nửa liên tục SOL(DVVI(., )) Định lý 2.3.3 Cho (f, B, G) thỏa mãn điều kiện (a), (b) (c) Giả sử giả thiết sau thỏa mãn: (i) Fi : Rn × Z2 → Rn (i = 1, 2, , p) ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, đóng, lồi, tập Fi (L2 [0, T ] × Z2 ) compact Với v ∈ Z2 , F(., v) đơn điệu ngặt Rn ; 39 (ii) L : Z1 → Rn ánh xạ đa trị liên tục với giá trị bị chặn, đóng lồi; (iii) G vi phân Fréchet Ω, Jx G(t, x) = B(t, x)T , Jx G(t, x) kí hiệu ma trận Jacobian G(t, x); (iv) SOL(DVVI(u, v)) = ξ∈S+ SOL(DVI(u, v))ξ với (u, v) ∈ Z1 × Z2 SOL(L(u0 ), q + F(., v0 )) tập khác rỗng với q ∈ G(Ω); (v) SOL(L(.), (q + F(.))) tập compact (u0 , v0 ) Khi SOL(DVVI(., )) tập nửa liên tục (u0 , v0 ) ∈ Z1 × Z2 Chứng minh Với (u, v) ∈ Z1 × Z2 với ξ ∈ S+ , trước tiên chứng minh SOL(DVI(u, v ))ξ SOL(DVI(u, v ))ξ tập khác rỗng Giả sử (˜ x, ω ˜ ), (x, ω) ∈ SOL(DVI(u, v ))ξ Bây chứng minh (˜ x, ω ˜ ) = (x, ω).Thực tế, tồn tập E1 ⊂ [0, T ] với m(E1 ) = (trong m(E1 ) kí hiệu độ đo Lebesgue E1 ) cho, với t ∈ [0, T ]\E1 , x˜˙ (t) = f (t, x˜(t)) + B(t, x˜(t))˜ ω (t) (2.16) tập E2 ⊂ [0, T ] với m(E2 ) = cho, với t ∈ [0, T ]\E2 , x(t) ˙ = f (t, x(t)) + B(t, x(t))ω(t) Nếu Ei ⊂ [0, T ] với m(Ei ) = 0, i = 1, 2, , n, m( (2.17) n i=1 Ei ) = Lấy E3 = E1 ∪ E2 Theo ta có m(E3 ) = (2.16), (2.17) thỏa mãn với t ∈ [0, T ]\E3 Từ (2.16), (2.17) nhận được, với t ∈ [0, T ]\E3 , 40 x˜(t) − x(t), x˜˙ (t) − x(t) ˙ = x˜(t) − x(t), f (t, x˜(t)) − f (t, x(t)) + +B (t, x˜(t)) ω ˜ (t) − B (t, x(t)) ω(t) (2.18) Tính liên tục Lipschitz hàm f có nghĩa x˜(t) − x(t), f (t, x˜(t)) − f (t, x(t)) ≤ Lf x˜(t) − x(t) (2.19) Từ ω ˜ (t) ∈ SOL(L(u), G (t, x˜(t)) + F(., v))ξ , ω(t) ∈ SOL(L(u), G (t, x(t)) + F(., v))ξ , ω ˜ (t) ∈ L(u) với ω(t) ∈ L(u), ta có p ξi G (t, x˜(t)) + Fi (˜ ω (t), v) , ω(t) − ω ˜ (t) ≥ i=1 p ξi G (t, x(t)) + Fi (ω(t), v) , ω ˜ (t) − ω(t) ≥ i=1 Thêm vào p ξi G (t, x˜(t)) − G (t, x(t)) + Fi (˜ ω (t), v) − Fi (ω(t), v), ω ˜ (t) − ω(t) ≤ i=1 (2.20) Do F(., v) đơn điệu ngặt Rn với v ∈ Z2 , ta p ξi Fi (˜ ω (t), v) − Fi (ω(t), v), ω ˜ (t) − ω(t) ≥ (2.21) i=1 Từ (2.20) (2.21) ta có p ξi G(t, x˜(t)) − G (t, x(t)) , ω ˜ (t) − ω(t) ≤ i=1 41 (2.22) Theo giả thiết ξ ∈ S+ (2.22) ta có G (t, x˜(t)) − G(t, x(t)), ω ˜ (t) − ω(t) ≤ (2.23) Ngoài ra, G (t, x˜(t)) − G (t, x(t)) = Jx G (t, x˜(t)) (˜ x(t) − x(t)) + h, h ≤ M x ˜−x (2.24) M > Do L(u) bị chặn, tồn số L > cho ω ˜ ≤ L ω ≤ L Từ (2.24) ta viết lại (2.23) sau Jx G (t, x˜(t)) (˜ x(t) − x(t)) + h, ω ˜ (t) − ω(t) ≤ (2.25) Do đó, giả thiết (iii) (2.25) kéo theo B(t, x˜)T (˜ x(t) − x(t)) , ω ˜ (t) − ω(t) ≤ 2L M x˜ − x , (˜ x(t) − x(t)) , B(t, x˜) (˜ ω (t) − ω(t)) ≤ 2L M x˜ − x (2.26) Bây ta viết lại (2.26) sau (˜ x(t) − x(t)), B(t, x˜(t))˜ ω (t) − B(t, x(t))ω(t) + B(t, x(t))ω(t) −B(t, x˜(t))ω(t) ≤ 2L M x˜ − x Vì vậy, x˜(t) − x(t), B(t, x˜(t))˜ ω (t) − B(t, x(t))ω(t) ≤ 2L M x˜ − x + L B(t, x(t)) − B(t, x˜(t)) x˜ − x (2.27) Từ (2.27) giả thiết (A) ta có (˜ x(t) − x(t)) , B(t, x˜(t))˜ ω (t) − B(t, x(t))ω(t) ≤ (2L M + L LB ) x˜ − x 42 (2.28) Lấy ϕ(t) := Lf + 2L M + L LB Khi dễ thấy ϕ(t) hàm liên tục ϕ(t) ≥ Từ (2.18), (2.19), (2.28) ta kết luận rằng, với t ∈ [0, T ]\E3 , x˜(t) − x(t), x˜˙ (t) − x(t) ˙ ≤ ϕ(t) x˜(t) − x(t) (2.29) Do x ˜(t) − x(t) liên tục tuyệt đối, x˜(t) − x(t) lấy vi phân với t ∈ [0, T ], nên tồn tập E4 ⊂ [0, T ] với m(E4 ) = cho, với t ∈ [0, T ]\E4 , x˜(t) − x(t) lấy vi phân Với t ∈ [0, T ]\E4 , ta có x˜(t) − x(t), x˜˙ (t) − x(t) ˙ = x˜(t) − x(t), lim t ↓t (˜ x(t ) − x(t )) − (˜ x(t) − x(t)) t −t x˜(t) − x(t), (˜ x(t ) − x(t )) − (˜ x(t) − x(t)) t ↓t t − t = lim x˜(t) − x(t), x˜(t ) − x(t ) − x˜(t) − x(t) t ↓t t − t ≤ lim x˜(t) − x(t) ||˜ x(t ) − x(t )|| − x˜(t) − x(t) t ↓t t − t x˜(t ) − x(t ) − x˜(t) − x(t) = x˜(t) − x(t) lim t −t t ↓t d x˜(t) − x(t) = x˜(t) − x(t) dt = lim Nói cách khác, 43 (2.30) x˜(t) − x(t), x˜˙ (t) − x(t) ˙ = x˜(t) − x(t), lim t ↑t (˜ x(t ) − x(t )) − (˜ x(t) − x(t)) t −t x˜(t) − x(t), (˜ x(t ) − x(t )) − (˜ x(t) − x(t)) t ↑t t − t = lim x˜(t) − x(t), x˜(t ) − x(t ) − x˜(t) − x(t) t ↑t t − t ≥ lim ||˜ x(t) − x(t)|| x˜(t ) − x(t ) − x˜(t) − x(t) t ↑t t − t x˜(t ) − x(t ) − x˜(t) − x(t) = x˜(t) − x(t) lim t −t t ↑t d x˜(t) − x(t) = x˜(t) − x(t) dt = lim (2.31) Từ (2.30) (2.31), với t ∈ [0, T ]\E4 , ta có x˜(t) − x(t), x˜˙ (t) − x(t) ˙ = x˜(t) − x(t) d x˜(t) − x(t) dt (2.32) Lấy E := E3 ∪ E4 Theo giả thiết ta có m(E) = Do đó, áp dụng (2.29) (2.32) để kết luận rằng, với t ∈ [0, T ]\E , x˜(t) − x(t) d x˜(t) − x(t) ≤ ϕ(t) x˜(t) − x(t) dt Lấy T := {t ∈ [0, T ]\E : x ˜(t) − x(t) = 0} Nếu t ∈ ([0, T ]\E) \T , x ˜(t) − x(t) > 0, d x˜(t) − x(t) ≤ ϕ(t) x˜(t) − x(t) dt Nếu t ∈ T , x ˜(t) − x(t) ≥ x˜(t) − x(t) lấy vi phân t ∈ T , kết luận d dt x˜(t) − x(t) = Vì vậy, với t ∈ [0, T ]\E , d x˜(t) − x(t) ≤ ϕ(t) x˜(t) − x(t) dt 44 Với t ∈ [0, T ], t ϕ(τ ) x˜(τ ) − x(τ ) dτ ϕ(τ ) x˜(τ ) − x(τ ) dτ + = ϕ(τ ) x˜(τ ) − x(τ ) dτ [0,t]\[0,t]∩E [0,t]∩E ϕ(τ ) x˜(τ ) − x(τ ) dτ = [0,t]\[0,t]∩E t d x˜(τ ) − x(τ ) dτ = dτ [0,t]\[0,t]∩E d x˜(τ ) − x(τ ) dτ dτ Do [0, t]\[0, t] ∩ E ⊂ [0, T ]\E , theo ta có, với t ∈ [0, T ], t d x˜(τ ) − x(τ ) dτ ≤ dτ t ϕ(τ ) x˜(τ ) − x(τ ) dτ Hơn nữa, t x˜(t) − x(t) = x˜(0) − x(0) + t = d x˜(τ ) − x(τ ) dτ dτ d x˜(τ ) − x(τ ) dτ dτ Khi đó, với t ∈ [0, T ], t x˜(τ ) − x(τ ) ≤ ϕ(τ ) x˜(τ ) − x(τ ) dτ Theo Bổ đề 2.1.1, với t ∈ [0, T ], x˜(t) − x(t) = 0, x ˜(t) = x(t) Bây ta chứng minh ω ˜ (t) = ω(t) Với t ∈ [0, T ], ta có p ξi G (t, x(t)) + Fi (˜ ω (t), v) , ω(t) − ω ˜ (t) ≥ i=1 45 p ξi G (t, x(t)) + Fi (ω(t), v) , ω ˜ (t) − ω(t) ≥ i=1 Thêm vào p ξi Fi (˜ ω (t), v) − Fi (ω(t), v) , ω ˜ (t) − ω(t) ≤ (2.33) i=1 Tuy nhiên, ω ˜ (t) = ω(t), tính đơn điệu ngặt F(., v) có nghĩa p ξi Fi (˜ ω (t), v) − Fi (ω(t), v) , ω ˜ (t) − ω(t) > 0, (2.34) i=1 điều mâu thuẫn Vì vậy, ω ˜ (t) = ω(t), nên (x, ω) = (˜ x, ω ˜ ) Từ giả thiết (ii), (iv) Bổ đề 2.2.1 tồn ξ ∈ S+ cho SOL(L(u0 ), q+ F(., v0 ))ξ tập khác rỗng bị chặn Bây Bổ đề 2.1.5 có nghĩa tồn lân cận U × V (u0 , v0 ) cho, với (u, v) ∈ U × V , SOL(L(u), q + F(., v))ξ tập khác rỗng bị chặn Tính đóng lồi tập SOL(L(u), q + F(., v))ξ suy từ Bổ đề 2.2.4 Theo Định lí 2.2.1 ta có SOL(DVI)(u, v )ξ tập khác rỗng Lấy (x0 , ω0 ) ∈ SOL(DVVI(u0 , v0 )) Do SOL(DVVI(u, v)) = SOL(DVI(u, v))ξ , ξ∈S+ tồn ξ ∈ S+ cho (x0 , ω0 ) ∈ SOL(DVI(u0 , v0 ))ξ Với dãy {(un , )} ⊂ U × V với (un , ) → (u0 , v0 ), lấy (xn , ωn ) ∈ SOL(DVI(un , ))ξ Bây ta chứng minh (xn , ωn ) → (x0 , ω0 ) Do với ≤ s ≤ t ≤ T, t xn (t) − xn (s) = [f (τ, xn (τ )) + B(τ, xn (τ ))ωn (τ )] dτ, s 46 (2.35) f , B bị chặn Ω, ω(t) bị chặn [0, T ], từ (2.35) ta có {xn } liên tục đồng bậc bị chặn với ý x := supt∈[0,T ] x(t) Theo định lí Arzelá–Ascoli, tồn dãy {xn }, kí hiệu lại {xn }, cho {xn } hội tụ đến x ˜0 Do SOL(L(.), (q + F(.))) tập compact (u0 , v0 ), biết tồn dãy {ωn }, kí hiệu lại {ωn }, cho ωn → ω ˜ Theo Định lí 2.3.1 ta có SOL(DVI(., ))ξ tập đóng (u0 , v0 ), nên (˜ x0 , ω ˜ ) ∈ SOL(DVI(u0 , v0 ))ξ Do SOL(DVI(u, v ))ξ với (u, v) ∈ U × V , theo ta có (˜ x0 , ω ˜ ) = (x0 , ω0 ) Ta biết tồn dãy {(xn , ωn )} với (xn , ωn ) ∈ SOL(DVVI(un , )) cho (xn , ωn ) → (x0 , ω0 ), nên SOL(DVVI(., )) nửa liên tục (u0 , v0 ) ∈ Z1 × Z2 Định lí chứng minh 47 Kết luận Nội dung luận văn nghiên cứu tồn tính ổn định nghiệm bất đẳng thức vi biến phân phạm vi không gian hữu hạn chiều Luận văn trình bày số kết đáng ý sau: Trình bày cách tổng quát kiến thức giải tích đa trị, bất đẳng thức biến phân số bất đẳng thức liên quan Chỉ tồn nghiệm toán bất đẳng thức vi biến phân không gian hữu hạn chiều Xây dựng tính đóng, nửa liên tục trên, nửa liên tục ánh xạ nghiệm yếu Carathéodory bất đẳng thức vi biên phân không gian hữu hạn chiều Do điều kiện thời gian trình độ nghiên cứu hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong quy thầy cô bạn bè đóng góp ý kiến bổ sung để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 48 Tài liệu tham khảo [1] A Cellina, J P.Aubin (1984), Differential Inclusions Springer, New York [2] D E Stewart (2008), “Uniqueness for index-one differential variational inequalities” Nonlinear Anal Hybrid Syst.2, 812–818 [3] D.E.Stewart, J.S.Pang (2008), Differential variational inequalities Math Program., Ser A113, 345–424 [4] D.O’Regan, N.J.Huang, X.S.Li (2010), “Differential mixed variational inequalities in finite dimensional spaces” Nonlinear Anal.72, 3875–3886 [5] David, Kinderlehrer (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York [6] J H Fan, R Y Zhong (2008), Stability analysits for variational inequality in reflexive Banach spaces Nonlinear Anal.69, 2566-2574 [7] J.S.Pang, J.Shen (2007), “Strongly regular differential variational systems” IEEE Trans Autom Control52, 242–255 [8] J.S.Pang, L.S.Han (2010), “Non-zenoness of a class of differential quasi-variational inequalitie” Math Program., Ser A121, 171–199 [9] K Fan (1961),A generalization of Tychonoff ’s fixed point theorem Math Ann.142, 305-310 49 [...]... K, ϕ(x, y) ≤ 0 1.3.5 Bất đẳng thức Gronwall Cho hàm số liên tục không âm u : [a, b] → R thỏa mãn t u(t) ≤ C + Ku(ξ)dξ, ∀t ∈ [a, b], 0 trong đó C, K ≥ 0 Khi đó ta có u(t) ≤ CeK(t−a) , 23 ∀t ∈ [a, b] Chương 2 Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối với bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều 2.1 Phát biểu bài toán Cho K là một tập con khác rỗng, đóng và lồi của Rn , Fi : Rn → Rn... biết bất đẳng thức biến phân vectơ có liên quan chặt chẽ đến bất đẳng thức vô hướng biến phân VI( K, F)ξ , vi c giải bài toán cũng chính là tìm ω ∈ K và ωi∗ ∈ Fi (ω)(i = 1, 2, , p) sao cho với mọi ω ∈ K, p ξ ωi∗ , ω − ω ≥ 0, i=1 trong đó ξ ∈ S+ với S+ := {x ∈ Rp+ : x = 1} Chúng ta kí hiệu tập nghiệm của VI( K, F)ξ bởi SOL(K, F)ξ Hơn nữa, DVVI (2.1) có liên quan chặt chẽ đến bất đẳng thức vi biến phân. .. hạn A của K , trong đó convA là kí hiệu bao lồi của A; (ii) G(x) là tập đóng trong E với mọi x ∈ K ; (iii) G(x0 ) là tập compact trong E với mỗi x0 ∈ K Khi đó 2.2 x∈K G(x) = ∅ Sự tồn tại nghiệm của bài toán Trong phần này chúng ta sẽ trình bày một kết quả về sự tồn tại của một nghiệm yếu Carathéodory đối với bài toán DVVI(2.1) Bổ đề 2.2.1 Ta có đẳng thức: SOL(K, q + F) = SOL(K, q + F)ξ , ξ∈S+ trong. .. ∩ E1 và degE1 là bậc đánh giá trong không gian E1 (4) Nguyên lý điểm bất động Cho F ∈ CJ∂U (U , E) và deg(i − F, U ) = 0 Khi đó ∅ = F ixF ⊂ U 1.2 Bất đẳng thức biến phân Cho K là một tập lồi đóng trong Rn và F : K → Rn là liên tục Xét bài toán 20 Tìm u ∈ K thỏa mãn bất đẳng thức biến phân sau v − u, F (u) ≥ 0, Ở đây ∀v ∈ K (1.2.1) n vi wi với v, w ∈ Rn v, w = i=1 Ta có một số kết quả sau đây Định. .. Với x, y là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì | x, y |2 ≤ x, x y, y Trong trường hợp không gian Euclide n chiều Rn , bất đẳng thức trên trở thành 2 n n ≤ x i yi i=1 1.3.2 n x2i yi2 i=1 i=1 Bất đẳng thức Holder Với mọi x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn ta có n 1 p n i=1 trong đó 1 < q, p < +∞, 1.3.3 |yi |q |xi |p xi yi ≤ 1 q n i=1 i=1 1 1 + = 1 p q Bất đẳng thức. .. xác định trên [0, T ] được gọi là một nghiệm yếu Carathéodory của DVVI (2.1) khi và chỉ khi x là một hàm liên tục tuyệt đối trên [0, T ] và thoả mãn phương trình vi phân đối với mọi t ∈ [0, T ], ω ∈ L2 [0, T ] và ω(t) ∈ SOL(K, G(t, x(t)) + F) với mọi t ∈ [0, T ] Tập nghiệm yếu Carathéodory của bài toán ban đầu DVVI (2.1) được kí hiệu bởi SOL(DVVI) và tập tất cả ω được kí hiệu bởi 24 SOL(K, (q + F)) với. .. là một nghiệm của (1.2.1) đối với miền KR , ở đây |u| < R Giả sử rằng uR ∈ KR thỏa mãn (1.2.2) Khi đó uR cũng là một nghiệm của bài toán (1.2.1) Thật vậy, |uR | < R, cho v ∈ K , w = uR + (v − uR ) ∈ KR với ≥ 0 đủ nhỏ Suy ra uR ∈ KR ⊂ K : 0 ≤ F (uR ), w − uR = F (uR ), v − uR tức là uR là nghiệm của bài toán (1.2.1) Định lí được chứng minh 21 với v ∈ K, 1.3 1.3.1 Một số bất đẳng thức Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz... Cho K ⊂ Rn là compact và lồi, F : K → Rn là liên tục Khi đó tồn tại u ∈ K sao cho F (u), v − u ≥ 0, ∀v ∈ K Định lý 1.2.2 [5] Cho K ⊂ Rn là đóng và lồi, F : K → Rn là liên tục Điều kiện cần và đủ để tồn tại một nghiệm cho bài toán (1.2.1) là tồn tại R > 0 sao cho một nghiệm uR ∈ KR của (1.2.1) thỏa mãn |uR | < R, (1.2.2) với KR = B(0, R) ∩ K Chứng minh Dễ thấy rằng nếu tồn tại một nghiệm cho bài toán... của một hàm đa trị F : I → K(E) với điều kiện f là đo được và f (t) ∈ F (t) đối với µ − hầu khắp t ∈ I Tập tất cả các lựa chọn đo được của F kí hiệu là S(F ) Định nghĩa 1.1.13 Một họ đếm được {fn }∞ n=1 ⊂ S(F ) được gọi là biểu diễn Castaing của F nếu ∞ f (t) = F (t) n=1 đối với µ − hầu khắp t ∈ I 12 Hàm đa trị F : I → K(E) là một hàm đa trị bậc thang nếu tồn tại một phân hoạch của I trong một họ hữu. .. (t) ∈ F (t) đối với µ − với mỗi t ∈ I} Nếu S 1 (F ) = ∅, thì hàm đa trị F được gọi là khả tích và tích phân của nó được định nghĩa như sau f (s) ds : f ∈ S 1 (F ) F (s) ds = τ τ với tập con đo được bất kì τ ⊂ I Dễ thấy, nếu một hàm đa trị F : I → K(E) là đo được mạnh và bị chặn khả tích, tức là tồn tại một hàm khả tổng ν ∈ L1+ (I) sao cho F (t) := max{ y : y ∈ F (t)} ≤ ν(t) đối với µ − với mỗi t ∈