PHƢƠNG PHÁP NHÂN LƢỢNG LIÊN HỢP LÂM VŨ CÔNG CHÍNH (GV, THPT Nguyễn Du, Tp.HCM) A A A B A B B B (với A 0,B 0,A B2 A B A A B 3 B (với A B2 0) 0) Tham khảo Chuyên đề “PHƢƠNG PHÁP NHÂN LƢỢNG LIÊN HỢP TRONG GIẢI TOÁN” TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG (xem trang 90, Tài liệu Tập huấn Nâng cao lực giảng dạy Toán Trung học Phổ thông) PHƢƠNG TRÌNH Nhân lƣơng liên hợp sau thêm bớt số Các bƣớc tiến hành thực : - Tiến hành nhẩm nghiệm phƣơng trình - Trừ vào biểu thức phƣơng trình cho giá trị mà nhận đƣợc thay nghiệm vào 11 x (1) VD1: Giải phƣơng trình : 5x 2x x 11 Điều kiện : Nhẩm đƣợc nghiệm x Ta tiến hành 5x 2(2 x) 11 x (1) 5x 10 x 2(2 x) 5x 11 x (x 2) 5x 11 x x 5x 11 x 5 1 Do 5x 4 11 x 3 19 Nên VT(*) (*) VN 12 Vậy phƣơng trình có nghiệm : x (*) Nhân lƣơng liên hợp sau thêm bớt biểu thức chứa x x x (2) VD2: Giải phƣơng trình : x(x 1)(x 3) Điều kiện : x Nhẩm đƣợc nghiệm : x x Ta tiến hành trục thức, nhƣng lần này, nhiệm vụ ta trục lần phải đƣợc nghiệm Ta phải trừ biểu thức x, x cho đại lƣợng cho trục ta nhóm đƣợc nhân tử x(x 3) x ta cần tìm đại lƣợng (ax b) Tại x nhận giá trị : (3a b) Tại x 0a b nhận giá trị : b Ta có : a Tức ta cần nhóm x x Tƣơng tự cho x Vậy ta tiến hành giải phƣơng trình (2) nhƣ sau x(x 1)(x 3) Phƣơng trình (2) x x x 3x x 3x x x x x 1 x(x 3) x x x x x 1 x x x x x x x Vậy phƣơng trình có hai nghiệm x x x x x(x 1)(x 3) Áp dụng (VN, VT > 0) x (Trích Đề thi tuyển sinh Học viện Bƣu Viễn thông, năm 2001 ) 4x x Điều kiện : 3x Thí dụ Giải phƣơng trình : Phƣơng trình : 4x 4x 3x 4x 3x x 4x 3x x x x 4x , x 4x 3x 3x 7x (4x 1)(3x 2) (4x 1)(3x 2) 26 x 4(12x 5x 2) 3x 2 25 26 7x 49x 364x 676 26 x x 344x 684 x (nhận) , x 342 (loại) Vậy tập nghiệm phƣơng trình S {2} Thí dụ Giải phƣơng trình : x3 18 Điều kiện : x 78 x 78 Phƣơng trình : x 18 x 27 x 78 x 78 x x 78 (x 3)(x 3x 9) x (nhaän) (1) (x2 3x 9)( x 78 9) (2) Ta có : x 3x 0, x  (vì Suy : x 3x 1, x  78 Mà : x 78 9, x (x 3x 9)( x 78 9) 9, x 23 ) 78 Vậy phƣơng trình (2) vô nghiệm Vậy tập nghiệm phƣơng trình S Thí dụ Giải phƣơng trình : x2 2x 3x 2x Lời giải Điều kiện : x x 3x x 0 x (loại) hay x 8x 8x Thử x vào phƣơng trình , thấy không thỏa Vậy x 3x 2x 3x Phƣơng trình : x 2x 2x 3x x 3x 3x 2x 8x 4x x 3x 2x Xét : x2 (1) x 3x 4x x (nhận) , x (loại) (2) (1) (2) 7x ( phƣơng trình vô nghiệm 7x 0, x x2 Vậy tập nghiệm phƣơng trình S )  Bạn đọc giải phƣơng trình cách sau : 2x 3x 2x 3x x2 x2 – x – x 2x 3 2x 3 Thí dụ Giải hệ phƣơng trình : Nhận xét : y x2 3y y x x 4y x y x2 y Phƣơng trình x 3y x2 1 4y y Do : y x Thế vào phƣơng trình Điều kiện : x Phƣơng trình (*) tƣơng đƣơng x x2 x2 3y y y x x y x2 x 1 (x 4) x2 1 hay y y , ta đƣợc x x2 y x x (*) x x (x 2) Mà : x 23 x 23 x x (x 4) x 1 (x 2) x 1 x 23 x 1 , với x x 1 1 (x 2) x 1 x 23 x Suy phƣơng trình (*) có nghiệm x Vậy nghiệm hệ phƣơng trình (x 2;y 3) Nên , với x x 3x 14x Thí dụ 5.Giải phƣơng trình : 3x ( Trích Đề thi tuyển sinh Đại học , Khối B , năm 2010 ) Lời giải x Điều kiện : x 3x 14x Phƣơng trình 3x 3x x 3x 14x 3(x 5) x (x 5)(3x 1) 3x x x x (3x 1) 3x (3x 1) , x Nhận xét : 3x x Vậy x nghiệm phƣơng trình Thí dụ 6.Giải hệ phƣơng trình : 2x y2 ;6 3xy 3x 2y 4x y x 2x y ( Trích Đề thi tuyển sinh Đại học , Khối B , năm 2013 ) Lời giải Điều kiện : 2x y x 4y (1) x 4y (2) Phƣơng trình (1) 2x 3(y 1)x y 2y (*) Xét phƣơng trình bậc hai theo x , ta có: 9(y 1)2 8(y 2y 1) y 2y (y 1)2 0, y  Vậy phƣơng trình (*) có nghiệm x x y Do : y 2x y x y TH1 : Với y 2x Thế vào (2) ta đƣợc : 3x 3x 3x x 4x 1 4x 4x 1 4x 1 4x 9x 9x 9x 9x 9x 0 x hay (Vô nghiệm) 4x 1 9x Khi ta có đƣợc nghiệm (x; y) (0;1) TH2 : Với y x Thế vào (2) ta đƣợc : 3x2 x 3 x2 x 3x x 5x 3x x2 x 3(x2 x) (x x) x 5x x2 x 3x x 1 5x x 0 3x x 5x x 1 x x hay (Vô nghiệm) 3x x 5x x x x Khi ta có đƣợc nghiệm (x; y) (0;1) (1;2) So điều kiện , ta đƣợc nghiệm (x; y) hệ phƣơng trình (0;1) (1;2)  Nhiều thí sinh giải phƣơng trình 3x2 x 3x2 x 3x2 x x(3x 1) x 3x 3x 1 3x 3x 1 3x 5x nhƣ sau: 5x 5x 5x 5x 3x 3x 1 Đặt : f(x) 3x g(x) 5x (*) , xét khoảng D 3x 1 5x Vì hàm số f(x) đồng biến D hàm số g(x) nghịch biến D Nên phƣơng trình (*) có nghiệm x 1 ; Lời bình : Việc nhân lượng liên hợp không giúp ta làm dấu phương trình, giúp ta có nhân tử (x x ) , (trong x nghiệm phương trình) Tuy nhiên, sau ta phải giải phương trình “con” không đơn giản Thông thường ta chứng minh phương trình “con” vô nghiệm Khi thực nhân lượng liên hợp , bạn đọc cần ý đến điều kiện lượng liên hợp Một lưu ý nữa, phương trình ban đầu có nghiệm, ta thêm bớt biểu thức chứa cho số, Thí dụ 1, Thí dụ Nhưng phương trình ban đầu có nhiều nghiệm, ta thêm bớt biểu thức chứa cho biểu thức chứa x, Thí dụ 3, Thí dụ Bài tập tự luyện x x Giải phƣơng trình : 2x 11 Đáp số : S 3; 2x x Giải phƣơng trình : 2x x Đáp số : S 0; x Giải phƣơng trình : x x x Đáp số : S 0;1 Giải phƣơng trình : Đáp số : S x x2 x x x2 Nhân lƣơng liên hợp sau thêm bớt biểu thức chứa x, để đƣợc nhân tử (x x )2 2x Thí dụ 7: Tính giới hạn sau : lim x 2x Ta có : lim 3 x 3x 3x x 2x (x 1) (x 1) 3x lim x x2 1 2x (x 1)2 (x 1)3 (1 3x) lim x x 2x (x 1) (x 1)2 (x 1) 3x ( 3x)2 x x2 x2 lim x lim x x3 3x (x 1) 3x ( 3x)2 2x (x 1) (x 1)2 1 2x (x 1) (x 1) x (x 1) 3x ( 3x)2 1 2 Lời bình : Ta dùng công thức khai triển Taylor làm sở cho việc thêm (bớt) lượng liên hiệp cho biểu thức chứa x, để sau trình biến đổi, ta nhân tử chung ( x x0 )2 , (trong x0 nghiệm phương trình) Định lý : « Cho n số nguyên dƣơng f hàm khả vi liên tục đến cấp n khoảng đóng a, x khả vi đến cấp n khoảng mở (a, x) f ( x) n f ( n ) ( x0 ) ( x ( x0 )) n n! Rn ( x) , với f (0) ( x0 ) Rn ( x) đƣợc gọi phần dƣ bậc n Tức là, f ( x) Đặt f ( x ) Gọi g ( x) f ( x0 ) ( x ( x0 )) 1! f ( x0 ) 2x f (0) ( x 0) x 1! Khi : f ( x) g ( x) f (0) ( x 0) 2! f (0) 2! Nhƣ tính toán trên, ta thấy : Ta đƣợc : f ( x) g ( x) ( x 0) 2x (x 1) Rn ( x) » 1 x , suy f ( x) f (0) f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x ( x0 )) ( x ( x0 )) n 2! n! x2 2x (x 1) f (3) (0) ( x 0)3 3! f (3) (0) ( x 0) 3! (x 1) 3x f ( n ) (0) ( x 0) n n! f ( n ) (0) ( x 0) n n! (x 1)2 x2 (x 3) (x 1) 3x ( 3x)2 f ( x0 ) , Thí dụ Giải phƣơng trình : 2x3 x x2 3x Phƣơng trình tƣơng đƣơng : x3 x x 3x Lời giải x3 Xét phƣơng trình : x2 x 2 x 3 3 x x 4 x (vô lý) x 1 x 2 x 3x Phƣơng trình (1) (1) 0 x3 x x x x 3x 2 x 3x 3 ( x 1)2 ( x 1)2 4 x 3x x 3x x 2 x Phƣơng trình (2) x 3x x 3x 3 x 2 x 3x (2) x 3x x x x x2 3x x2 x2 x x x 4 x3 3x x2 3x( x2 3x 3) x3 x 3x Do : x 3x x 3x 3x 2 x3 x x x 3x 3 3x x 2 x 2 x ( x 1)(4 x3 3) x hay x 3 Vậy nghiệm phƣơng trình ban đầu x hay x 3 x 2