Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV PHÂN TÍCH ỨNG XỬ TĨNH TẤM SANDWICH CÓ LÕI TỔ ONG STATIC ANALYSIS OF SANDWICH PLATES WITH HONEYCOMB CORES Nguyễn Trung Kiên Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TPHCM kiennt@hcmute.edu.vn TÓM TẮT Bài báo trình bày phương pháp phân tích ứng xử sandwich lõi tổ ong Các đặc tính tương đương lõi tổ ong tính toán dựa phương pháp đồng hóa vật liệu composite có tính tuần hoàn phần mềm Abaqus sử dụng để mô hình ô thể tích đơn vị đặc trưng lõi Lý thuyết mỏng sử dụng để phân tích đáp ứng sandwich lõi tổ ong Từ khóa: kết cấu lõi tổ ong, phân tích tĩnh, đồng hóa ABSTRACT This paper presents an approach for static analysis of sandwich plates with honeycomb cores The equivalent properties of honeycomb core is estimated by a homogenization method for periodic composite materials in which Abaqus software is used to model the localization elastic problem on a representative volume element of the core The classical plate theory is then used to investigate bending responses of honeycomb sandwich plates Keywords: Honeycomb structures, Static analysis, Homogenization GIỚI THIỆU Kết cấu sandwich loại kết cấu hỗn hợp bao gồm lớp lõi liên kết với hai lớp bề mặt nhằm tạo loại kết cấu có trọng lượng nhẹ, độ cứng lớn có nhiều tính vượt trội so với vật liệu kết cấu truyền thống khác Loại kết cấu nghiên cứu phát triển mạnh mẽ lĩnh vực hàng không, khí, xây dựng, Các lớp bề mặt lõi kết cấu sandwich nhôm, thép, bê tông, gỗ…., Lõi cấu tạo dạng rỗng với dạng hình học khác nhau, kết cấu dạng tổ ong thông thường sử dụng Kết cấu sandwich lõi tổ ong dạng kết cấu không đồng với lõi loại vật liệu trực hướng phân bố có tính tuần hoàn theo hai phương Việc nghiên cứu ứng xử loại kết cấu khó khăn việc xác định đặc tính tương đương lõi Do đó, vấn đề quan trọng đặt từ toán thiết kế phát triển phương pháp đánh giá đặc tính kết cấu tổ ong Một số nghiên cứu thực chủ đề nhằm xác định số đàn hồi tương đương ([1-10]) Lược qua tình hình nghiên cứu thấy hầu hết nghiên cứu phát triển mô hình với lời giải giải tích, nhiên cách tiếp cận đòi hỏi giả thiết thiết lập tương đối phức tạp Phương pháp mang lại phương thức đánh giá tường minh mô đun đàn hồi và, đó, dễ áp dụng thực tiễn Một số tác giả sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn [11-13] phân tích đặc tính đàn hồi kết cấu sandwich lõi tổ ong Hiện với phát triển công nghệ máy tính, việc sử dụng phương pháp số mang lại hiệu lớn, cần thiết phát triển mô hình số tính toán số đàn hồi tương đương lõi tổ ong phương pháp đồng hóa vật liệu composite phương pháp hữu hiệu ([14-17]) Mục tiêu báo đề xuất mô hình số cho phép tính toán số đàn hồi tương đương lõi tổ ong từ phân tích đáp ứng tĩnh sandwich lõi tổ ong Cơ sở lý thuyết dựa phương pháp đồng hóa vật liệu không đồng có tính 898 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV tuần hoàn theo hai phương mặt phẳng Các mô hình tính toán thiết lập ô thể tích đơn vị đặc trưng phân tích dựa phần mềm Abaqus Các kết số nhận so sánh với mô hình giải tích phát triển CƠ SỞ LÝ THUYẾT Xem xét sandwich lõi tổ ong Hình Tấm có chiều dày h với lõi tổ ong có chiều dày hc hình thành từ ô đơn vị hình lục giác phân bố có tính tuần hoàn theo phương mặt phẳng Tấm sandwich lõi dạng kết cấu tổ ong ứng xử kết cấu có tính tuần hoàn theo hướng x x nên tách ô thể tích đơn vị Y ( 2l1 × 2l2 × hc ) với biên hông ∂Y l , biên ∂Y± Ô đơn vị thể tích Y có biến dạng màng đồng E, trường biến dạng ứng suất ε(x) σ(x) bên Y Việc tính toán số đàn hồi tương đương lõi tổ ong đòi hỏi biết trường lời giải toán đàn hồi ô thể tích đơn vị Ứng xử kết cấu có tính chu kỳ miêu tả phương trình sau: σ (= x ) ∇ 0,= σ (x) C (x) ε (x)  per  ε ( x )= E + e u ( x )  per s per e u ( x ) = grad u ( x )  per u ( x ) # ∂Yl , σ ( x ) n -# ∂Yl  ( ( ) (1) ) # để đại lượng có tính tuần hoàn, u per ( x ) trường chuyển vị có tính tuần hoàn biên, e ( u per ( x ) ) biến dạng ứng với u per ( x ) a) Dạng hình học sandwich lõi tổ ong b) Lõi tổ ong 2l2 2t x2 x1 l 30° h 2l1 c) Hình học ô tổ ong d) Kích thước ô thể tích đơn vị đặc trưng Hình 1: Hình học ô thể tích đơn vị đặc trưng lõi tổ ong Do chiều cao lõi lớn nhiều so với kích thước ô tổ ong nên, để đơn giản tính toán, giả thiết ô thể tích đơn vị lõi tổ ong ứng xử toán biến dạng phẳng, khảo sát mặt phẳng ma trận độ cứng đàn hồi tương đương cần tìm có dạng sau: 899 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV C hom C11hom  = C12hom   C12hom C22hom 0    C66hom  (2) Một trường lời giải toán đàn hồi (1) nhận số độ cứng tương đương suy từ nguyên lý cân lượng biến dạng vi mô – vĩ mô sau: 1 = EChom E Min ε ( x ) C ( x ) ε ( x ) ε∈KA 2 = W (E) (3) Y ký hiệu KA dùng để trường động (trường biến dạng động trường biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích điều kiện biên chuyển vị cưỡng bức), toán tử dùng để trung bình thể tích đại lượng bên trong: f (x) y = SY ∫ f ( x )dx (4) Y SY diện tích mặt trung bình ô đơn vị Y Có thể thấy số C , C22hom , C12hom , C66hom rút việc chọn hợp lý trường biến dạng phẳng đồng lượng biến dạng trung bình ô Y , từ mô đun đàn hồi đồng hóa E1hom , E2hom ,ν 12hom , G12hom nhận Bốn trường hợp sau xem xét hom 11 1  TRƯỜNG HỢP 1: E =   dẫn đến: 0  C11hom = Min ε ( x ) C ( x ) ε ( x ) ε ∈ KA 2 (5) Y 0   dẫn đến:   TRƯỜNG HỢP 2: E =  C22hom = Min ε ( x ) C ( x ) ε ( x ) ε∈KA 2 (6) Y 1   dẫn đến: 0  TRƯỜNG HỢP 3: E =  hom C11 + C22hom + 2C12hom ) ( = Min ε ( x ) C ( x ) ε ( x ) ε∈KA (7) Y 0   dẫn đến: 1  TRƯỜNG HỢP 4: E =  2C66hom = Min ε∈KA ε (x) C (x) ε (x) 900 (8) Y Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN 3.1 Độ cứng đàn hồi đồng hóa lõi tổ ong Một số ví dụ số thực phần nhằm kiểm tra lại tính xác mô hình phát triển Để thực điều này, kết nhận từ mô hình so sánh với mô hình giải tích Gibson cộng [1] Masters Evans [2] Vật liệu hình thành kết cấu lõi giả thiết đẳng hướng, đàn hồi tuyến tính với thông số vật liệu sau ([2]): Es = 1, ν s = 0.3, l = h, t = 0.1, θ = 30o (Hình 2) Các mô hình mô dựa phần mềm Abaqus phần tử biến dạng phẳng CPE4R sử dụng Sự phân bố ứng suất dạng biến dạng trường hợp thể Hình Hình 2: Kích thước ô tổ ong Hình 3: Hình dạng biến dạng phân bố ứng suất Von-Mises cho trường hợp = E11 0,= E22 0,= E12 ( l / t = 10 ) Bảng 1: So sánh mô đun đàn hồi đồng hóa lõi tổ ong với l / t = 10 Mô hình E1 E2 G 12 ν 12 ν 21 Present 0.0189 0.0189 0.8632 0.8632 0.0051 Gibson cộng [1] 0.0185 0.0185 1 0.0046 Master Evans [2] 0.0165 0.0165 0.8571 0.8571 0.0044 901 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Các kết nhận từ mô hình (Present) tổng hợp Bảng cho số E1 , E2 ,ν 12 ,ν 21 , G12 so sánh với kết nghiên cứu Gibson cộng [1] Masters Evans [2] Cũng cần ý mô hình [1] có khó khăn tính toán số độ cứng Cij ν 12 = 1/ ν 21 , đánh giá [2] không gặp vấn đề Bảng cho thấy mô đun Young mô hình tương đồng với nhau, hệ số Poisson nhận từ mô hình phù hợp với nghiên cứu [2], có khác biệt so với mô hình [1] Mặt khác không tương thích mô hình mô đun trượt G12 tìm thấy Để đánh giá hiệu ứng tỉ số chiều dài cạnh chiều dày ô tổ ong đến mô đun đàn hồi lõi, Hình 4, biểu diễn biến thiên mô đun Young E1 , hệ số Poisson ν 12 mô đun trượt G12 theo tỉ số l / t Kết so sánh với kết nhận từ lời giải [1] [2] Các biểu đồ cho thấy rằng, lời giải từ mô hình đề xuất tương đồng với mô hình [2] cho tất mô đun đàn hồi Đường cong cao ứng với lời giải [1], đường cong thấp lời giải [2] Hình cho thấy mô đun Young E1 mô đun trượt G12 giảm tỉ số l / t tăng, bên cạnh Hình cho thấy diễn biến ngược lại hệ số Poisson ν 12 tăng với gia tăng l / t Các quy luật biến thiên hợp lý mật độ thể tích vật liệu lõi giảm l / t tăng 0.35 Gibson et al [1] Masters and Evans [2] Present 0.3 0.25 Ehom 0.2 0.15 0.1 0.05 10 12 l/t 14 16 18 20 Hình 4: Sự biến thiên mô đun đàn hồi đồng hóa E1hom theo l / t 1.1 0.9 0.8 12 vhom Gibson et al [1] Masters and Evans [2] Present 0.7 0.6 0.5 0.4 10 12 l/t 14 16 18 20 Hình 5: Sự biến thiên hệ số Poisson ν 12hom theo l / t 902 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV 0.08 Gibson et al [1] Masters and Evans [2] Present 0.07 0.06 Ghom 12 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 10 12 l/t 14 16 18 20 Hình 6: Sự biến thiên mô đun trượt G12hom theo l / t 3.2 Phân tích độ võng sandwich lõi tổ ong xét sandwich lõi tổ ong tựa đơn chịu tải trọng hình sin πx πy đặc tính tương đương lõi tính toán từ mô hình số q ( x, y ) = q0 sin sin a b đề xuất từ mô hình Masters Evans [2] Các đặc tính hình học vật liệu lõi ví dụ trước Giả thiết hai lớp bề mặt làm loại vật liệu đẳng hướng với a b 100u3  ,  h3 E2 2 2 Lý = = E 1GPa , ν 0.3 Sử dụng tham số không thứ nguyên sau u3 = q0 a thuyết mỏng Love-Kirchhoff sử dụng để tính toán đáp ứng Xem 2.92 Masters and Evans (1996) Present Nondimensional deflection 2.915 2.91 2.905 2.9 2.895 2.89 2.885 2.88 10 12 l/t 14 Hình 7: Hiệu ứng tỉ số chiều dài chiều dày cạnh 16 18 20 l đến chuyển vị ngang lớn u3 t vuông sandwich lõi tổ ong tác dụng tải trọng hình sin Hình biểu diễn thay đổi chuyển vị ngang tâm không thứ nguyên theo tỉ số l/t Có thể thấy l/t tăng độ võng tăng giá trị tính toán từ mô hình Master Evans [2] lớn giá trị nhận từ phương pháp đề xuất KẾT LUẬN Bài báo đề xuất phương pháp phân tích ứng xử sandwich lõi tổ ong đặc tính đàn hồi lõi tổ ong tính toán dựa phương pháp đồng hóa vật liệu hỗn hợp có tính tuần hoàn Lý thuyết mỏng Love-Kirchhoff sử dụng để phân tích 903 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV đáp ứng tĩnh Phần mềm Abaqus sử dụng nhằm mô toán đồng hóa thiết lập ô thể tích đơn vị đặc trưng Các kết số so sánh với nghiên cứu trước cho thấy phương pháp đề xuất đáng tin cậy, đơn giản có tính ứng dụng cao phân tích ứng xử sandwich lõi tổ ong TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Gibson, L J., Ashby, M F., Schajer G S., Robertson C I., The Mechanics of TwoDimensional Cellular Materials, Proceedings of the Royal Society, A 382 (1982) [2] Masters, I G., Evans, K E., Models for the Elastic Deformation of Honeycomb, Composite Structures, 35 (1996), 403-422 [3] Abd-el-Sayed, F., Burgess, I.W., Jones, R., A Theoretical Approach to the Deformation of Honeycomb-Based Composite Materials, Composite, 209-214 (1979) [4] Becker, W., Closed Form Analysis of the Thickness Effect of Regular Honeycomb Core Material, Composite Structures, 48 (2000), 67-70 [5] Liu, Q., Zhao, Y., Effect of Soft Honeycomb Core on Flexural Vibration of Sandwich Panel using Low Order and High Order Shear Deformation Models, Journal of Sandwich Structures and Materials, (2007), 95-108 [6] ShiM G., TongM P., Equivalent Transverse Shear Stiffness of Honeycomb Cores, International Journal of Solids and Structures, 32 (1995), 1383-1393 [7] Grediac, M., A Finite Element Study of the Transverse Shear in Honeycomb Cores, International Journal of Solids and Structures, 30 (1993), 1777-1788 [8] Zhang, J., Ashby, M F., The Out-of-Plane Properties of Honeycomb Core Material, Composite Structures, 48 (2000), 475-489 [9] Nast, E., On Honeycomb-Type Core Moduli, AIAA/ASME/AHS Adaptive Structures Forum, Apr 7-10, Collection of Technical Papers, Pt (A97-24112 05-39) (1997) [10] Burlayenko, V.N., Sadowski, T., Effective elastic properties of foam-filled honeycomb cores of sandwich panels, Composites Structures, 92 (2010), 2890-2900 [11] Li, Y.M., Hoang, M.P., Abbes, B., Abbes, F., Guo, Y.Q., Analytical homogenization for stretch and bending of honeycomb sandwich plates with skin and height effects, Composites Structures, 120 (2015), 406-416 [12] Catapano, A., Montemurro, M., A multi-scale approach for the optimum design of sandwich plates with honeycomb core Part I: homogenisation of core properties, Composites Structures, 118 (2014), 664-676 [13] Catapano, A., Montemurro, M., A multi-scale approach for the optimum design of sandwich plates with honeycomb core Part II: the optimisation strategy, Composites Structures, 118 (2014), 667-690 [14] Michel J C., Moulinec H., Suquet P., Effective properties of composite materials with periodic microstructure: a computational approach, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 172 (1999), 109-143 [15] Moulinec H., Suquet P., A fast numerical method for computing the linear and nonlinear properties of composites, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, 318 (1994), 1417–1423 [16] Nguyen T K., Sab K., Bonnet G., Green’s operator for a periodic medium with tractionfree boundary conditions and computations of the effective properties of thin plates, International Journal of Solids and Structures, 45 (2008), 6518–6534 [17] Nguyen T K., Sab K., Bonnet G., Bounds for the effective properties of heterogeneous plates, European Journal of Mechanics A/Solids, 28 (2009), 1051–1063 904