Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN ********** Tên sáng kiến: SỬ DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC KÌ THI HỌC SINH GIỎI Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Chương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên - Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ - 2014 đến - 2015 Tác giả: Họ tên: Nguyễn Hoàng Cương Năm sinh: 1980 Nơi thường trú: 239 đường Hưng Yên, phường Quang Trung, TP Nam Định Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ Chức vụ công tác: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Địa liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Điện thoại: 0914521894 Đồng tác giả (nếu có): không Đơn vị áp dụng sáng kiến Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Địa chỉ: 76 đường Vị Xuyên, TP Nam Định Điện thoại: 0350640297 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN I ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Phép dời hình phép biến hình bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kì, phép vị tự đồng dạng phép biến hình bảo toàn tỉ số khoảng cách hai điểm Chúng biến đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường tròn Ngoài phép dời hình, phép vị tự đồng dạng, phép biến hình khác với tính chất thú vị Đó phép nghịch đảo Phép nghịch đảo biến đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường tròn, biến đường thẳng thành đường tròn, đường tròn thành đường thẳng Đặc biệt bảo toàn góc hai hình Trong kì thi học sinh giỏi tỉnh, nước, kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia, có nhiều toán hình học phẳng khó giải phương pháp thông thường Đặc biệt toán hình học phẳng xuất nhiều đường tròn, hình vẽ rối, nhiều học sinh vẽ hình Bên cạnh đó, nhiều toán yêu cầu chứng minh tính đồng quy, thẳng hàng vẽ hình Nếu học sinh biết áp dụng phép nghịch đảo để làm toán với ảnh chúng suy tính chất tạo ảnh giải toán gọn gàng Phép nghịch đảo có số ứng dụng quan trọng việc giải toán hình học phẳng II CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN A Các khái niệm: Định nghĩa: a) Cho trước điểm O số thực k  , với điểm M khác O ta dựng điểm M’ đường thẳng OM cho OM OM '  k (1) Khi ta nói M’ ảnh điểm M qua phép nghịch đảo tâm O phương tích k (hoặc hệ số k ) ● O M M’ Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Khi M  O M’ điểm vô cực kí hiệu  M điểm vô cực  M’ trùng với O Kí hiệu phép nghịch đảo tâm O, hệ số k biến điểm M thành điểm M’ là: f O, k  : M  M ' b) Cho hình H Tập hợp ảnh điểm thuộc H phép nghịch đảo f O, k  lập thành hình H’ gọi ảnh hình H (hình nghịch đảo H) kí hiệu: f O, k  : H  H’ Các khái niệm khác liên quan: a) Xét phép nghịch đảo f O, k  với k > Đường tròn tâm O, bán kính R  k gọi đường tròn nghịch đảo thực Nếu k < 0, đường tròn tâm O bán kính R  k gọi đường tròn nghịch đảo ảo Khi đó, điểm đường tròn nghịch đảo điểm bất động phép nghịch đảo b) Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt hai điểm A, B Gọi d1 d2 tiếp tuyến hai đường tròn A Góc tạo d1 d2 gọi góc tạo hai đường tròn (O1) (O2) Nếu góc vuông ta nói hai đường tròn (O1) (O2) trực giao (hoặc hai đường tròn vuông góc với nhau) điểm A Ta nhận thấy góc tạo hai tiếp tuyến hai đường tròn B góc A Góc tạo đường thẳng đường tròn góc tạo đường thẳng với tiếp tuyến đường tròn điểm chung chúng B Các tính chất: Cho phép nghịch đảo f O, k  với k  Tính chất 1: Phép nghịch đảo f O, k  phép biến đổi - Tính chất 2: Phép biến đổi f  f O, k   f O, k  phép đồng Tính chất 3: Nếu A’, B’ ảnh A, B qua phép A' B'  k OA.OB f O, k  AB Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Tính chất 4: Ảnh đường thẳng d qua tâm nghịch đảo đường thẳng d Tính chất 5: Ảnh đường thẳng d không qua tâm nghịch đảo O đường tròn qua tâm nghịch đảo O Tính chất 6: Ảnh đường tròn (C) qua tâm nghịch đảo O đường thẳng d không qua tâm nghịch đảo O song song với tiếp tuyến đường tròn (C) O Tính chất 7: Ảnh đường tròn   không qua tâm nghịch đảo O đường tròn  ' Đường tròn  ' ảnh đường tròn   qua phép vị tự VO ,   với   k , p phương tích O đường tròn   p Tính chất 8: Góc tạo đường thẳng d đường tròn   qua tâm nghịch đảo O có số đo góc tạo ảnh chúng qua phép nghịch đảo Tính chất 9: Góc tạo hai đường tròn    ' qua tâm nghịch đảo O có số đo góc tạo ảnh chúng qua phép nghịch đảo 10 Tính chất 10: Nếu đường thẳng d đường tròn   không qua tâm nghịch đảo O, góc tạo d   có số đo góc tạo ảnh chúng qua phép nghịch đảo 11 Tính chất 11: Góc tạo hai đường tròn    ' không qua tâm nghịch đảo O có số đo góc tạo ảnh chúng qua phép nghịch đảo *) Từ tính chất 8, 9, 10, 11 ta có kết quả: - Hai đường tròn tiếp xúc tâm nghịch đảo biến thành hai đường thẳng song song - Hai đường thẳng song song biến thành đường thẳng đường tròn tiếp xúc hai đường tròn tiếp xúc - Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn biến thành đường thẳng đường tròn tiếp xúc hai đường tròn tiếp xúc - Hai đường tròn trực giao biến thành hai đường tròn trực giao hai đường thẳng vuông góc đường tròn   đường   Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương 12 Tính chất 12: Trong không gian có kết tương tự mặt phẳng - Hình nghịch đảo mặt phẳng (P) qua tâm nghịch đảo (P) Hình nghịch đảo mặt phẳng (P) không qua tâm nghịch đảo mặt cầu qua tâm nghịch đảo - Hình nghịch đảo mặt qua tâm nghịch đảo mặt phẳng - Hình nghịch đảo mặt cầu không qua tâm nghịch đảo mặt cầu, vị tự mặt cầu cho, tâm vị tự tâm nghịch đảo - Phép nghịch đảo bảo toàn góc mặt phẳng mặt cầu C Các toán áp dụng: I Dạng toán: Chứng minh tính chất hình học Bài 1: Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, điều kiện cần đủ là: AC.BD = AB.CD + AD.BC Phân tích: Qua phép nghịch đảo có tâm đường tròn (C) biến (C) thành đường thẳng Nhờ ý tưởng ta quy điều kiện điểm đường tròn điều kiện cho điểm thẳng hàng Từ ta có lời giải: D O C A B A' B' C' Xét phép nghịch đảo tâm D, phương tích k > Phép nghịch đảo biến đường tròn qua biến D thành đường thẳng không qua D Bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự đường tròn A’, B’, C’, D’ đường thẳng (ảnh đường tròn qua phép nghịch đảo) theo thứ tự  A’C’ = A’B’ + B’C’  k AC AB BC =k +k DA.DC DA.DB DB.DC  AC.BD = AB.CD + AD.BC (điều phải chứng minh) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Bài 2: Cho đa giác A1 A2 An nội tiếp đường tròn (C) M điểm cung A1 An (cung không chứa đỉnh đa giác) Gọi d1 , d , , d n khoảng cách từ M đến đường thẳng A1 A2 , A2 A3 , , An A1 Chứng minh rằng: an n1 với độ dài cạnh Ai Ai 1  d n i 1 d i A n 1  A1  Giải: M d1 An an A1 a1 O A2 A4 A3 d A'1 A'4 A'3 A'2 Phân tích: Từ công thức khoảng cách hai điểm qua phép nghịch đảo mà chuyển việc xét khoảng cách điểm nằm đường tròn việc khoảng cách điểm đường thẳng Từ ta có lời giải: Gọi R bán kính đường tròn (C) Xét phép nghịch đảo tâm M phương tích k Khi phép nghịch đảo f M , k  biến đường tròn (C) thành đường thẳng d không qua M Trên đường thẳng d ta gọi Ai'  f  Ai  ta có: A1' An'  A1' A2'  A2' A3'   An' 1 An' (*) Do ta có i  1, n Ai' Ai'1  k k S MA A sin Ai MAi 1 i i 1 S MA A d i i i 1 Thay vào (*) ta có: k k Ai Ai 1 Ai Ai 1 d i sin Ai MAi 1 k MAi MAi 1 MAi MAi 1 d i sin Ai MAi 1 sin Ai MAi 1 sin Ai MAi 1 k k di di Rdi n 1 an a a  n   i (đpcm) k Rd n Rdi d n i 1 d i Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Với điểm A1' ,A2' , ,An' mặt phẳng ta có bất đẳng thức ' A1' An'  A1' A2' +A2' A3' + +An-1 An' Vì ta có toán sau: Bài 3: Cho điểm: A, B, C, D nằm mặt phẳng hay không gian Chứng minh rằng: AD.BC + AB.CD  AC.BD Khi xảy đẳng thức (Tính cặp cạnh đối tứ diện tạo thành cạnh tam giác) Lời giải: Xét phép nghịch đảo tâm D, phương tích k = a) Nếu điểm A, B, C, D đồng phẳng Với điểm A’, B’, C’ (ảnh A, B, C qua phép nghịch đảo ta có) Ta có: A’C’ A’B’ + B’C’  AC AB BC  + DA.DC DA.DB DB.DC  AC.BD  AB.CD + BC.AD (Đpcm) Dấu “=” xảy A’, B’, C’ thằng hàng B’ nằm hai điểm A’ C’  điểm A, B, C, D đường thẳngg theo thứ tự (cùng chiều ngược chiều kim đồng hồ) b) Nếu A, B, C, D không mặt phẳng Tồn mặt cầu (V) qua A, B, C, D Qua phép nghịch đảo mặt cầu (V) biến thành mặt phẳng (P) không qua D A’, B’, C’ nằm (P) Ta có: A’C’ A’B’ + B’C’  AC AB BC  + DA.DC DA.DB DB.DC  AC.BD  AB.CD + BC.AD (Đpcm) Dấu “=” xảy A’, B’, C’ đường thẳng theo thứ tự Điều không xảy A, B, C, D không đồng phẳng Bài 4: Trên mặt phẳng cho n + điểm A0, A1, …, An Chứng minh bất đẳng thức: A1 A2 A2 A3 An An-1 A1 An + + +  A0 A1 A0 A2 A0 A2 A0 A3 A0 An-1 A0 An A0 A1 A0 An Khi xảy dấu (Xét phép nghịch đảo tâm A0, phương tích k = 1) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Bài 5: Cho hai đường tròn (C1) có tâm O1 bán kính R1, đường tròn (C2) có tâm O2 bán kính R2 Điểm I không nằm hai đường tròn Gọi f phép nghịch đảo cực I phương tích k  , f C1 ; f C2  đường tròn ảnh C1 ; C2  Đặt: d  R12  R22 với d  O1O2 Chứng minh rằng:  C1 , C2   2R1 R2 Nếu I đồng thời nằm nằm hai đường tròn C1 ; C2   C1 , C2     f C1 , f C2  Nếu I nằm đường tròn nằm đường tròn  C1 , C2     f C1 , f C2  Giải: Gọi f C1   I1 , r1 ; f C2   I , r2  I1 I  r12  r22 Khi đó:   f C1 , f C2   2r1r2 Vì f C1   I1 , r1 ;  II1  k IO1 p1 k p1 f C2   I , r2  nên: I1  VI O1  I  VI II  k p2 O  k 2 IO2 (với p1  P I / C   IO1  R12 p2  P I / C   IO2  R22 ) p2 Khi ta có:  I1 I  I1 I  II  II1  2  k  k IO22 2  IO1  IO1 IO2    IO1  IO2  = k    p2 p1 p2 p2  p1   p1   p1  R12 p2  R22 IO12  IO22  O1O2     = k  2 p p p p 2   2  1 R12 R22 p1  p2  R12  R22  O1O2  R22 R12  R22  O1O2   R1  = k     = k      p1 p2 p1 p2  p1 p2 p1 p2   p1 p2  k p1 Vì I1  VI O1  I  VI nên ta có: r1  k p2 O  ; f C1   I1 , r1 ; f C2   I , r2  k k R1 r2  R2 p1 p2 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Do đó: 2  r12 r22 R12  R22  O1O2  2 2 O1O2  R1  R2   I1 I  r1  r2  k I1 I  k    k k p p p1 p2   2 I1 I  r12  r22 k O1O2  R12  R22    f C1 , f C2    r1r2 2r1r2 p1 p2 2   kk  r1 p1 r2 p2 O1O2  R12  R22  2  O1O2  R1  R2   =   2r1r2  p1 p2 p1 p2  2r1r2  R1 R2    p1 p2 O1O2  R12  R22 pp = =  C1 , C2  p1 p2 R1 R2 p1 p2 Do đó: Nếu I nằm đồng thời hai đường tròn C1 ; C2  p1 p2  nên  C1 , C2     f C1 , f C2  Nếu I nằm đường tròn nằm đường tròn p1 p2  nên  C1 , C2     f C1 , f C2  Bài 6: Gọi I, r tâm bán kính đường tròn nội tiếp Còn O, R tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: OI2 + R2 – 2Rr (Công thức Euler) Đây kết quen biết với học sinh, công thức có nhiều cách chứng minh Ở ta chứng minh cách sử dụng phép nghịch đảo, ý tưởng là: Ta biết cách tính bán kính đường tròn ảnh qua phép nghịch đảo Vậy cách khác, ta tính bán đường tròn ảnh (theo đại lượng khác) ta suy đẳng thức hình học Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Lời giải: A L A' M I C' B' B K C Gọi A’, B’, C’, giao IA, IB, IC với ML, MK, KL (K, M, L tiếp điểm đường tròn nội tiếp với cạnh BC; AB; AC tam giác; (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Xét phép nghịch đảo tâm I, phương tích r2 Vì r 2=IA'.IA=IB'.IB= IC'.IC Nên A’, B’, C’ ảnh A, B, C qua phép nghịch đảo Vậy qua phép nghịch đảo trên, đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC biến thành đường tròn (C’) ngoại tiếp tam giác A’B’C’ có bán kính R’ r Vì A’, B’, C’ trung điểm ML, MK, KL nên R'= Mặt khác, theo công thức bán kính đường tròn ảnh qua phép nghịch đảo: r R Ta có: R'= R -OI r r R  OI 2=R -2rR (Đpcm) Vậy: = 2 R -OI Trong số toán liên quan đến đường thẳng, đường tròn, đặc biệt đường thẳng, đường tròn tiếp xúc Phép nghịch đảo tỏ công cụ mạnh Bài 7: Cho tam giác ABC không cân Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB A’, B’, C’ Gọi M, N, E 10 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Chứng minh tương tự ta suy OO2 || O1M , tứ giác MO2OO1 hình bình hành có tâm N Gọi I , J hình chiếu vuông góc O1O2 xuống UV tứ giác O1O2 JI hình vuông I , J Mà N trung điểm O1O2 nên suy NI  NJ Hai tam giác EMO, FMO có NI , NJ tương ứng hai đường trung bình nên suy OE  OF (3) Mặt khác OU  OV (4) Nên từ (3) (4) suy EU  FV (đpcm) Bài 14: (Đề đề nghị thi Duyên hải đồng Bắc Bộ năm 2013) Cho tam giác ABC Đường tròn (I) tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với BC, CA, AB P, Q, R Một đường tròn qua B, C tiếp xúc với (I) X Một đường tròn qua C, A tiếp xúc với (I) Y Một đường tròn qua A, B tiếp xúc với (I) Z Chứng minh đường thẳng PX, QY, RZ đồng quy A X Q R I Y B Z P C Giải: 20 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Gọi f  I , R  phép nghịch đảo tâm I phương tích R Ta có N:X X PP Do f  I , R  biến đường tròn (IPX) thành đường thẳng PX Tương tự f  I , R  biến đường tròn (IQY) thành đường thẳng QY đường tròn (IRZ) thành đường thẳng RZ Mà đường tròn (IPX), (IQY), (IRZ) đồng quy tai I nên đường thẳng PX, QY, RZ đồng quy Bài 15: Cho tam giác ABC Các điểm P, Q, R thuộc miền tam giác ABC cho tứ giác ABPQ, BCQR, CARP tứ giác nội tiếp Biết tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC tâm đẳng phương đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABPQ, BCQR, CARP Chứng minh tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm đường thẳng Euler tam giác PQR A O3 O1 R Q I P B C 21 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Giải: Gọi O1 , O2 , O3 tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABPQ, BCQR, CARP Ta có AP, BQ, CR trục đẳng phương đường tròn  O1   O2  ,  O2   O3  ,  O3   O1  Vì I tâm đẳng phương đường tròn  O1  ,  O2  , O3  nên AP,BQ, CR đồng quy I Do AP,BQ, CR tương ứng đường phân giác · · góc BAC, ABC, · ACB Từ ta có:  PI , QR    PI , PQ    PQ, QR    PA, PQ    PQ, QB   QB, QR  mod   uuur uuur uuur uuur  uuur uuur    BA, BQ    AP, AB    CB, CR   BA, BC  AC, AB  CA, CB    mod    2 Suy PI  QR Chứng minh tương tự ta có QI  RP, RI  PQ Do I trực tâm tam giác PQR       Đặt k  IA.IP  IB.IQ  IC.IR Xét f  I , k  phép nghịch đảo tâm I , phương tích k ta có f  I , k  biến P, Q, R tương ứng thành A, B, C Do f  I , k  biến đường tròn  PQR  thành đường tròn  O  Suy tâm hai đường tròn  PQR  ,  O  ảnh qua phép vị tự tâm I nên chúng thẳng hàng hay đường thẳng IO qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR Vậy tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm đường thẳng Euler tam giác PQR Một số tập đề nghị: Bài 1: Cho hai đường tròn (C1), (C2) trực giao với cắt A, B Lấy điểm C, D hai đường tròn cho CD không qua A, B Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD BCD trực giao với Bài 2: Cho bốn đường tròn qua điểm P đường tròn chứa đường tròn Hai đường tròn tiếp xúc với đường thẳng (d1) P, hai đường tròn lại tiếp xúc với đường thẳng (d2) P Các giao điểm khác P đường tròn A, B, C, D Chứng minh điểm A, B, C, D thuộc đường tròn hai đường thẳng (d1) (d2) vuông góc với 22 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Bài 3: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Các nửa đường tròn đường kính AB, BC, CA nằm nửa mặt phẳng bờ AC Chứng minh đường tròn (O) có đường kính khoảng cách từ O đến BC với (O) đường tròn tiếp xúc với ba nửa đường tròn Bài 4: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm học 2004 - 2005) Cho đường tròn (O, R) Giả sử có đường tròn thay đổi nằm bên (O;R) (I1), (I2), (I3), (I4) , (I5) , (I6) thoả mãn tính chất : chúng tiếp xúc với (O, R) A1, A2, A3, A4, A5, A6 ; đồng thời đường tròn (I1) tiếp xúc với đường tròn (I2), đường tròn (I2) tiếp xúc với đường tròn (I3), đường tròn (I3) tiếp xúc với đường tròn (I4), đường tròn (I4) tiếp xúc với đường tròn (I5), đường tròn (I5) tiếp xúc với đường tròn (I6), đường tròn (I6) tiếp xúc với đường tròn (I1) Chứng minh rằng: A1A2.A3A4.A5A6 = A2A3.A4A5.A6A1 Cho đường tròn (I , r) nằm bên (O; R) Gọi d = OI; chứng minh rằng: Tồn đường tròn (I1), (I2), (I3), (I4) , (I5) , (I6) thoả mãn tính chất nêu đề đồng thời đường tròn lại tiếp xúc với đường tròn (I , r) R  r  d2  Rr Bài 5: (Đề thi VMO - 2003) Cho hai đường tròn cố định (k1), (k2) tiếp xúc P có tâm tương ứng K1, K2 bán kính R1, R2 (R1 < R2) Cho điểm K di động (k2) cho điểm K, K1, K2 không thẳng hàng Từ K kẻ tiếp tuyến KB, KC tới (k1) (với B, C tiếp điểm) Các đường thẳng PB, PC cắt đường tròn (k2) D, E tương ứng F giao điểm DE với tiếp tuyến đường tròn (k2) K Chứng minh F di động đường thẳng cố định Bài 6: (IMO Shortlist 2003) 23 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Cho  C1  ,  C2  ,  C3  ,  C4  bốn đường tròn phân biệt thỏa mãn  C1  ,  C3  tiếp xúc P ,  C2  ,  C4  tiếp xúc P Giả sử cặp đường tròn  C1   C2  ,  C2   C3  ,  C3   C4  ,  C4   C1  tương ứng AB.BC PB cắt điểm A, B, C, D khác P Chứng minh  AD.DC PD Bài 7: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Các nửa đường tròn  C1  ,C2  có đường kính AB, BC thuộc nửa mặt phẳng bở đường thẳng AB Một đường tròn  C  tiếp xúc với  C1  tiếp xúc với  C2  T khác C tiếp xúc với đường thẳng qua C vuông góc với AB Chứng minh AT tiếp tuyến đường tròn  C2  II Dạng toán: Tìm tập hợp điểm, chứng minh điểm thuộc đường cố định Bài 1: Cho đường tròn (C) tâm I, bán kính R điểm O cố định cho OI = 2R Gọi (C1), (C2) hai đường tròn thay đổi qua O, tiếp xúc với đường tròn (C) trực giao với Gọi M giao điểm thứ hai (C1) (C2) Tìm quỹ tích điểm M Giải: 24 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương c1 P' P O I J M Q M' c2 Q' Phần thuận: Xét phép nghịch đảo f O, k  với k  P O / C   3R Khi đó: f  O,k  :  C  C  ; C1   d1 ; C2   d2 Vì C ; C  trực giao với tiếp xúc với C  nên ta có d  d tiếp xúc với C  P' ; Q' thỏa mãn: OP.OP'  OQ.OQ'  3R với P, Q tiếp điểm C ; C  với C  Gọi M’ giao điểm hai đường thẳng d , d M '  f M  M giao điểm hai đường tròn C ; C  2 2 1 2 Mặt khác tứ giác IP’M’Q’ hình vuông cạnh R    '  I , R   f     IM '  R  M ' I , R Gọi  ' đường tròn I , R  M   với  Vì M '  f M   OM OM '  3R  M  f M '   Ta có: P O /  '   OI  R  R  ON OM ' với N    3 3  OM OM '  ON OM '  OM  ON  M  VO  N   M     VO2  ' 2 3R Gọi  J , r  tâm đường tròn    OJ  OI r  hay J giao 2 điểm đường tròn C  đường thẳng OI Phần đảo: 25 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Lấy điểm M đường tròn   =  J , r  Gọi M '  f M  Qua M’ kẻ tiếp tuyến M’P’, M’Q’ với đường tròn C  Khi f O, k  : C   C  ; M ' P'  C1  ; M ' Q'  C2  Ta phải chứng minh hai đường tròn C1 ; C2  qua M, tiếp xúc với C  trực giao với Thật vậy: f O, k  : C   C  ; M ' P'  C1  ; M ' Q'  C2  M '  f M  nên hai đường tròn C1 ; C2  qua M, tiếp xúc với C  k p O Ta có: M '  f M  nên M ' thuộc đường tròn C0   V    3R  R   Với p  P O /    OJ   2    OJ '  k  3R ,  J ' , r ' đường tròn C0   k k OJ  OJ r '  r  R  J '  I  C0   I , R p p   IM '  R nên tứ giác IP’M’Q’ hình vuông cạnh R  M ' P'  M ' Q' Do hai đường tròn C1 ; C2  trực giao với  3R   với J giao điểm Kết luận: Vậy quỹ tích điểm M đường tròn  J ,   đường tròn C  đường thẳng OI Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R Gọi d1 tiếp tuyến (O) B Gọi (C) đường tròn thay đổi tiếp xúc với (O) d1 hai điểm phân biệt Gọi (C1), (C2) hai đường tròn (C) Biết (C1) (C2) tiếp xúc với M Tìm quỹ tích điểm M 26 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Giải: *) Phần thuận: Gọi f B, k  phép nghịch đảo cực B, c1 (D) d1 phương tích k  4R Do B  d1 B O  nên: (d) M c f B, k  biến: A J d1  d1 B H I O c'1 O  d  với d  AB H  f  A  C1    C '1  ;  C2    C '2  M' c' Do C ; C  tiếp xúc với (O ) d  C ' , C '  tiếp xúc với d , d  (1) Mặt khác C ; C  tiếp xúc M  C ' , C '  tiếp xúc M’ (2)  M '  f M  Từ (1) (2) suy M ' thuộc đường thẳng D  vuông góc với AB trung điểm 1 2 1 1 2 I BH Do M '  f M   M thuộc đường tròn C  qua B ảnh đường thẳng D  qua phép f B, k  trừ điểm B Gọi J  f I  C  đường tròn đường kính BJ *) Phần đảo: Lấy điểm M đường tròn d   f O  C  Gọi M '  f M  , Vẽ hai đường tròn C '1  , C '2  tiếp xúc với d1 , d  tiếp xúc với Gọi C   f C '  ; C   f C '  Ta phải chứng minh hai đường tròn C ; C  tiếp 1 2 xúc với (O) , d1 tiếp xúc với M (Điều dễ dàng chứng minh được) *) Kết luận: Vậy quỹ tích điểm M đường tròn C  đường kính BJ trừ điểm B Bài 3: Cho đường tròn  C  tâm O , bán kính R Điểm I nằm bên đường tròn  C  Một góc vuông thây đổi đỉnh I cắt đường tròn A, B Hai đường tròn  C1  ,  C2  qua I , tiếp xúc với đường tròn  C  theo thứ tự A, B Chứng minh giao điểm thứ hai M hai đường tròn  C1  ,  C2  thuộc đường cố định 27 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Giải: Ta xét bổ đề sau: *) Bổ đề 1: Cho đường tròn  C  tâm I , bán kính R Điểm P nằm bên đường tròn  C  Một góc vuông thây đổi đỉnh P cắt đường tròn M , N Khi trung điểm Q MN nằm đường tròn cố định Thật vậy, ta có M QI  QP  QI  QM  IM  R Gọi O trung điểm IP O điểm cố định Q I QI  QP IP R IP    Do OQ  4 O P R  IP   Suy OQ  R  IP 2 Vậy Q thuộc đường tròn tâm O , bán kính OQ  R  IP cố định N  *) Bổ đề 2: Cho đường tròn Cho đường tròn  C  tâm O , bán kính R Điểm I nằm bên đường tròn  C  Một góc vuông thây đổi đỉnh I cắt đường tròn A, B Khi giao điểm M hai tiếp tuyến với đường tròn  C  A, B thuộc đường tròn cố định Thật vậy, gọi N trung điểm AB O, M , N thẳng hàng A Theo bổ đề N thuộc đường tròn  C1  I O N M B tâm T, bán kính R  OI (với T trung điểm OI r Mặt khác OM ON  OA2  R nên tồn phép nghịch đảo f  O, R  biến N thành M Do M thuộc đường tròn  C1'  ảnh  C1  qua phép f  O, R  28 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương *) Trở lại toán: d1 B' M' j A I d2 A' C1 O M C2 B Gọi A', B' giao điểm thứ hai IA, IB với đường tròn  C  , d1 , d tiếp tuyến với đường tròn  C  A, B ; M' giao điểm d1 , d Đặt k  IA.IA'  IB.IB' Xét f  I , k  phép nghịch đảo tâm I , phương tích k Ta có f  I , k  biến A', B' tương ứng thành A, B f  I , k  biến đường thẳng d1 , d tương ứng thành đường tròn  C1  ,  C2  Suy f  I , k  biến M' thành M Theo bổ đề 2, M' thuộc đường tròn  C3 '  ảnh  C0  qua phép f  O, R  với  C0  đường tròn tâm J , bán kính r  R  OI (với J trung điểm đoạn OI ) Do M thuộc đường tròn  C3  ảnh  C3 '  qua phép f  I , k  Vậy giao điểm thứ hai M hai đường tròn  C1  ,  C2  thuộc đường cố định 29 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Bài 4: (Tập chí Toán học Tuổi trẻ) Cho hai đường tròn  K  ,  O  đường tròn K  nằm bên đường tròn  O  Hai đường tròn  O1  ,  O2  thay đổi cho chúng tiếp xúc M , tiếp xúc với đường tròn  O  đồng thời tiếp xúc với đường tròn  K  Chứng minh điểm M thuộc đường tròn cố định O1 O M K O2 Hình S O A B E I1 M* I2 O*2 O*1 C H D K* Hình Giải: 30 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Lấy điểm I thuộc đường tròn  K  Xét f  I , k  phép nghịch đảo tâm I , phương tích k  PI / O Ta có f  I , k  :  O    O  ;  O1    O1*  ;  O2    O2*  f  I , k  biến đường tròn K thành đường thẳng  K *  Suy f  I , k  biến điểm M thành điểm M * Khi  O  ,  K *  điểm chung;  O  ,  O  tiếp xúc M * * * , tiếp xúc với  K *  C, D tương ứng tiếp xúc với  O  A, B tương ứng Gọi I1 , I tương ứng tâm  O1*  ,  O2*  , R1 , R2 , R bán kính đường tròn  O1*  ,  O2*  ,  O  ; H hình chiếu O đường thẳng  K *  ; S , E giao điểm OH đường tròn  O  (với E nằm S , H ) Vì  O1*  ,  O2*  tiếp xúc với  O  A, B tương ứng nên ta có: V R1   A,   R  uuur Mà véc tơ OS V R1   A,   R  :  O    O1*  ; V R2   B,   R  :  O    O2*  ngược hướng với véc tơ : S  C; V R2   B,   R  uuur uuur I1C , I D nên suy : S  D hay A thuộc đoạn SC , B thuộc đoạn SD Mặt khác tứ giác AEHC, BEHD tứ giác nội tiếp nên PS / O*  SA.SC  SE.SH  SB.SD  PS / O*     Mà PM * / O*  PM * / O*  nên suy SM * trục đẳng phương hai đường tròn      O  ,  O  Do SM tiếp xúc với  O  ,  O    SM   SA.SC  SE.SH không đổi  M thuộc đường tròn  C  tâm S * * * * * * * bán kính r  SE.SH Do I thuộc đường tròn  K   K  nằm bên  O  nên I bên đường tròn  O  Do I   C0  Suy điểm M thuộc đường tròn  C  ảnh đường tròn  C0  qua phép nghịch đảo f  I , k  Vậy điểm M thuộc đường tròn cố định 31 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Một số tập đề nghị: Bài 1: Cho đường tròn (O, R) điểm A cố định khác O, A không thuộc đường tròn (O) Xét đường tròn tâm O’ qua A trực giao với đường tròn (O) Tìm quỹ tích tâm O’ Gọi H giao điểm OO’ với dây cung chung hai đường tròn Tìm quỹ tích điểm H Bài 2: Cho đường tròn (O, R) hai đường thẳng , ' song song với nhau, điểm chung với đường tròn ' đường tròn (O) nằm hai phía đường thẳng  Dựng hai tiếp tuyến x, y đường tròn (O) song song với cắt , ' A, B, C, D Gọi I giao điểm hai đường chéo tứ giác ABCD Từ I kẻ tiếp tuyến IP, IQ với (O) (P, Q tiếp điểm) Gọi K giao điểm PQ OI Tìm tập hợp điểm K tiếp tuyến x, y thay đổi hướng Bài 3: Cho đường tròn (O, R) dây AB cố định Với điểm M đường tròn (O), dựng đường tròn (O1) qua M tiếp xúc với AB A, đường tròn (O2) qua M tiếp xúc với AB B Gọi M’ giao điểm thứ hai hai đường tròn (O1) (O2) Tìm quỹ tích điểm M’ M di động đường tròn (O) Tài liệu tham khảo: Các phép biến hình mặt phẳng - Nguyễn Mộng Hy Các phép biến hình mặt phẳng - Đỗ Thanh Sơn Các toán hình học phẳng - Tập - V.V Praxolov INVERSION IN GEOMETRY - ARTHUR BARAGAR Diễn đàn toán học Mathscope Đề thi học sinh giỏi tỉnh nước Tạp chí Toán học tuổi trẻ IMO Shortlist năm Các tài liệu Internet 32 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI: Qua số tập trên, thấy ứng dụng phép nghịch đảo kì thi học sinh giỏi Ngoài tập chứng minh tính chất hình học, phép nghịch đảo ứng dụng toán quỹ tích, chứng minh điểm thuộc đường cố định Trong khuôn khổ viết này, điều kiện thời gian có hạn, nghiên cứu số ứng dụng toán chứng minh tính chất hình học nghiên cứu tiếp ứng dụng toán quỹ tích Những ứng dụng áp dụng để giảng dạy em học sinh lớp 10, 11 chuyên Toán em học sinh đội tuyển HSG Quốc gia em học sinh nhiệt tình đón nhận đồng thời đạt số kết định Tuy nhiên, kinh nghiệm chưa nhiều thời gian hạn chế nên viết nhiều thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo bạn đồng nghiệp để viết hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Đánh giá, xếp loại quan, đơn vị Tác giả sáng kiến Nguyễn Hoàng Cương CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (xác nhận, đánh giá, xếp loại) 33 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO (xác nhận, đánh giá, xếp loại) 34 [...]... số bài tập trên, chúng ta có thể thấy được những ứng dụng của phép nghịch đảo trong các kì thi học sinh giỏi Ngoài những bài tập chứng minh các tính chất hình học, phép nghịch đảo còn được ứng dụng trong các bài toán quỹ tích, chứng minh điểm thuộc một đường cố định Trong khuôn khổ bài viết này, do điều kiện thời gian có hạn, tôi mới chỉ nghiên cứu được một số ứng dụng trong các bài toán chứng minh các. .. các điểm M’ khi M di động trên đường tròn (O) Tài liệu tham khảo: 1 Các phép biến hình trong mặt phẳng - Nguyễn Mộng Hy 2 Các phép biến hình trong mặt phẳng - Đỗ Thanh Sơn 3 Các bài toán về hình học phẳng - Tập 2 - V.V Praxolov 4 INVERSION IN GEOMETRY - ARTHUR BARAGAR 5 Diễn đàn toán học Mathscope 6 Đề thi học sinh giỏi các tỉnh và các nước 7 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ 8 IMO Shortlist các năm 9 Các. .. tính chất hình học và đang nghiên cứu tiếp ứng dụng trong các bài toán quỹ tích Những ứng dụng này tôi đã áp dụng để giảng dạy các em học sinh các lớp 10, 11 chuyên Toán và các em học sinh trong đội tuyển HSG Quốc gia và đã được các em học sinh nhiệt tình đón nhận đồng thời cũng đạt được một số kết quả nhất định Tuy nhiên, do kinh nghiệm chưa nhiều và thời gian hạn chế nên bài viết còn rất nhiều thi u... minh rằng đường tròn (O) có đường kính bằng khoảng cách từ O đến BC với (O) là đường tròn tiếp xúc với cả ba nửa đường tròn trên Bài 4: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm học 2004 - 2005) Cho đường tròn (O, R) Giả sử có 6 đường tròn thay đổi nằm bên trong (O;R) là (I1), (I2), (I3), (I4) , (I5) , (I6) thoả mãn tính chất : chúng lần lượt tiếp xúc trong với (O, R) tại A1, A2, A3, A4, A5, A6 ; đồng... tiếp tam giác MNP Ta biết rằng   đi qua 9 điểm: M , N , P, A1, B1, C1 và trung điểm các đoạn AH , BH , CH Giả sử M ', N ', P ' là điểm đối xứng với M , N , P qua O Xét phép nghịch đảo cực H phương tích k  HM HA '  HN HB '  HP.HC ' Phép nghịch đảo này biến các đường thẳng A1 A ', B1B ', C1C ' tương ứng thành các đường tròn  HMM ' ,  HNN ' ,  HPP ' , biến đường tròn   thành chính nó và...  K  và  K  nằm bên trong  O  nên I bên trong đường tròn  O  Do đó I   C0  Suy ra điểm M thuộc đường tròn  C  là ảnh của đường tròn  C0  qua phép nghịch đảo f  I , k  Vậy điểm M thuộc đường tròn cố định 31 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Một số bài tập đề nghị: Bài 1: Cho đường tròn (O, R) và điểm A cố định khác O, A không thuộc đường tròn (O) Xét các đường tròn tâm O’ đi... bán kính đường tròn đường kính IP) Xét phép nghịch đảo cực I, phương trình R2 : f I , R 2  ta có: f I , R 2  biến các điểm M’, N’, E’ thành các điểm tương ứng là M, N, E f I , R 2  biến đường tròn (C) đường kính IP thành đường thẳng d không qua I Do các điểm M’, N’, E’ thuộc đường tròn (C) nên các điểm M, N, E thuộc đường thẳng d hay M, N, E thẳng hàng Bài 8: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp... MA2  MD 2  MX MO  ME.MN  MB.MC  MF MY nên phép nghịch đảo f cực M , phương tích k  MA2 biến các điểm F , C , D, E tương ứng thành các điểm Y , B, D, N Mà 4 điểm Y , B, D, N cùng thuộc đường tròn đường kính BN nên 4 điểm F , C , D, E cùng thuộc một đường tròn (2) Từ (1) và (2) suy ra K là tâm đường tròn đi qua 4 điểm F , C , D, E Bài 12: (Đề đề nghị thi Duyên hải đồng bằng Bắc Bộ năm 2013) Cho... thời cùng tiếp xúc ngoài với đường tròn  K  Chứng minh rằng điểm M luôn thuộc một đường tròn cố định O1 O M K O2 Hình 1 S O A B E I1 M* I2 O*2 O*1 C H D K* Hình 2 Giải: 30 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Lấy điểm I bất kì thuộc đường tròn  K  Xét f  I , k  là phép nghịch đảo tâm I , phương tích k  PI / O Ta có f  I , k  :  O    O  ;  O1    O1*  ;  O2    O2*  f ... rằng: 1 Các điểm C1 , C2 , D1 , D2 hoặc cùng thuộc một đường tròn hoặc cùng thuộc một đường thẳng 13 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương 2 Các điểm B1 , B2 , D1 , D2 cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi AC1 , AC2 lần lượt là đường kính của đường tròn  C1  ,  C2  tương ứng Giải: (c) k'1 k'2 (x') l (k) k2 B'1 D2 B'2 C'1 C2 D1 k1 A C1 B1 C'2 B2 D'2 (k') (x) D'1 Hình 1 1 Xét phép f là phép nghịch