S GD VÀ T PHÚ YÊN TR NG THPT CHUYÊN ––––––––––––––––– CHÍNH TH C THI THPT QU C GIA 2015 – 2016 L N Môn: TOÁN Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát đ Ngày thi 09/10/2015 Câu (1,0 m) Kh o sát s bi n thiên v đ th c a hàm s y   x  1  x2  x   Câu (1,0 m)Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a hàm s f  x  cos x  2sin x   ln  x  e  đ a [0;e] Câu (1,0 m) x  2x  x2 x a) Tính gi i h n lim b) Gi i ph ng trình 4x  3.2x x2  x3 Câu (1,0 m) Tính tích phân I    41 x2  x3  ln  e x x  x  1  dx Câu (1,0 m) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai m t ph ng có ph ng trình  P  : 2x  y  4z  20   Q  : x 13 y  z  40  Ch ng minh (P) c t (Q) theo giao n đ ng th ng d Vi t ph ng trình đ ng th ng d Câu (1,0 m)   ng trình sin x  cos  x    4  b) Trong m t ph ng t a đ Oxy góc ph n t th nh t ta l y m phân bi t; c th góc ph n t th hai, th ba, th t ta l n l t l y 3,4,5 m phân bi t (các m không n m tr c t a đ ) Trong 14 m ta l y m b t k Tính xác su t đ đo n th ng n i hai m c t hai tr c t a đ Câu (1,0 m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình ch nh t v i AB  a , AD  a C nh bên SA vuông góc v i đáy, c nh SC t o v i đáy góc 30o G i K hình chi u vuông góc c a A SD Tính th tích kh i chóp S.ABCD kho ng cách gi a hai đ ng th ng AK, SC Câu (1,0 m) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình vuông ABCD có đ nh C(2;–5) n i ti p đ ng tròn tâm I Trên cung nh BC c a đ ng tròn (I) l y m E, tia đ i c a tia EA l y m M cho EM = EC Tìm t a đ đ nh A, bi t đ nh B thu c đ ng th ng d: y – = m M(8;–3) a) Gi i ph Câu (1,0 m) Gi i h ph 4 x3  12 x2  15 x   y  1 y   ng trình  6  x   y  x  26  16 x  24 y  28 Câu 10 (1,0 m) Cho x, y, z s th c d  x, y   ng th a mãn u ki n  x  y  xy  z2   3xyz x2  y2  z  xy  3z  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P  z2 xyz2 >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! ÁP ÁN Câu Ta có y  x3  3x2  +TX : D = +S bi n thiên: –Chi u bi n thiên: y '  3x2  x ; y’ = x = ho c x = Các kho ng đ ng bi n: (–∞;0) (2;+∞); kho ng ngh ch bi n (0;2) –C c tr : Hàm s đ t c c đ i t i x = 0; yC = 2; đ t c c ti u t i x = 2; yCT = –2 –Gi i h n t i vô c c: lim y  ; lim y   x x +B ng bi n thiên x –∞ y’ y + –∞ + 0 – +∞ + +∞ –2 th Câu f  x  cos x  2sin x   ln  x  e   1  2sin x  2sin x   ln  x  e    ln  x  e  >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! Hàm s f(x) xác đ nh liên t c đo n [0;e] Ta có: f '  x  x  f '  x  x   0; e Ta có: f    3; f  e    ln Giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a f(x) đo n [0;e] l n l t + ln2 Câu a) V i m i x   , x  2 , ta có: f  x     x   1 x  2x  x   2x  1   1  1 x x 2x  1  x  2 2x    lim f  x   x2 V y lim x2  2      3 x  2x  3 x b) 4x  3.2x x2  x3  41 x2  x3 0 (1) K: x2  x   t a  2x ; b  x2  x3  a  0, b  1 Ph ng trình (1) tr thành a  3ab  4b    a  b  a  4b    a  4b (do a  b  0) Do (1)  x  4.2 x2  x3  x  x2  x  x  x     2  x  x  x  12 3x  x  12   x  13 >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! (th a mãn) V y ph ng trình cho có nghi m nh t x =  13 Câu Ta có: I    x  ln x  x  1 I1   I2   dx  ln x  x 1 ln x  x  1 u  ln x; dv  3 dx ln x  dx   dx x  1  x  12  ln  ln  ln dx dx  x  1  du  dx 1 ; v x x 1  dx  ln x  ln 1   0    dx x  1 x  x  1 x x 1  1 I2  3  ln   ln x  ln x   13  ln    ln  ln     ln  3ln   ln 3ln  I  I1  I   Câu Vect pháp n c a (P) (Q) l n l t n1  2; 3;  n2  4; 13; 6  Gi s (P) song song ho c trùng (Q), t n t i s th c k cho:   4k  n1  k.n2  3  13k (vô lí) 4  6k  V y (P) c t (Q) theo m t giao n đ ng th ng d Ta có:  n1; n2    70; 28; 14  >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! Vì d giao n c a (P) (Q) nên nh n u   n1; n2    5; 2; 1 làm vect ch ph  14  M t khác m M(0;4;–2) đ ng th i thu c (P) (Q) nên M Ph ng trình (d): ng d x y4 z   1 Câu a)   sin x  cos  x    4        2sin x   cos  x     4    2      1  cos x  1  cos  x         1  cos x  1  sin x  2   cos x  cos 2 x   2sin x  sin 2 x    cos x  sin x  1    cos  x     4 2        x    k  x     k 2     v i   arccos     2  x      k  x      k 2   V y ph ng trình có nghi m x  b) G i A bi n c “     k  k  ng th ng n i hai m đ  c ch n c t hai tr c t a đ ” >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! +Tính s ph n t c a không gian m u: S cách ch n 14 m cho C142  91 +Tính s k t qu thu n l i cho A: đo n th ng n i hai m c t hai tr c t a đ chúng ph i n m qua g c t a đ O (m i m n m m t góc ph n t ) –TH1: Hai m n m hai góc ph n t đ i x ng hai góc ph n t (I) (III): S cách ch n m n m góc (I): có cách S cách ch n m n m góc (III): có cách Theo quy t c nhân, có 2.4 = (c p m) th a mãn TH –TH2: Hai m n m hai góc ph n t (II) (IV): S cách ch n m n m góc (II): có cách S cách ch n m n m góc (IV): có cách Theo quy t c nhân, có 3.5 = 15 (c p m) th a mãn TH Theo quy t c c ng, s k t qu có l i cho A + 15 = 23 Xác su t c n tính là: PA  23 91 Câu >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! +Tính th tích Vì SA vuông góc v i đáy nên góc gi a SC (ABCD) SCA 30 ABCD hình ch nh t, tam giác ABD vuông t i A nên: AC  BD  AB2  AD2  a Tam giác SAC vuông t i A: SA  AC.tan 30  a Th tích kh i chóp: VS ABCD   a3 1  SAS ABCD  a a a  3 +Tính kho ng cách: V AI SC t i I Vì SA CD, AD CD nên (SAD) Suy AK CD Mà AK Suy AK IK AK AK SC, AI CD SD nên AK (SCD) SC SC nên (AKI) SC SC IK đo n vuông góc chung c a AK SC IK d(AK,SC) = IK Tam giác SAD vuông t i A: 1 2a 2    AK  AK SA2 AD >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! Tam giác SAC vuông t i A: 1 3a 2    AI  AI SA2 AC Tam giác AIK vuông t i K: IK  AI  AK  V y d  AK , SC   a a Câu BE c t CM t i F AC đ ng kính c a (I) nên AEC  90  CEM  90 Suy tam giác ECM vuông cân t i E ECF  45 ABEC t giác n i ti p nên CEF  CAB  45 (∆ CAB vuông cân) Suy ∆ ECF vuông cân t i F EF đ ng cao c a tam giác cân ECM F trung m CM F  5; 4  ng th ng BF qua F , nh n vect Ph CM   3;1 làm vect pháp n ng trình BF : 3x  y  11  T a đ c a m B th a mãn h : >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! 3x  y  11   B  3;   y  Ta có: CB  1;7  Do đ ng th ng BC qua B nh n vect n   7; 1 làm vect pháp n Ph ng trình BC : x  y  19  AB qua B nh n CB  1;7  làm vect pháp n Ph ng trình AB : x  y  17  G i A17  7a ; a   AB Ta có: AB  BC  14  7a    a   2  50 a   a  4a     a  A M n m khác phía so v i BC nên  xA  yA  19 xM  yM  19  a   A10;1   xA  yA  19 xM  yM  19   (lo i) a   A 4;3   xA  yA  19 xM  yM  19   (th a mãn) V y A(–4;3) Câu 4 x3  12 x2  15 x   y  1 y   (1)  6  x   y  x  26  16 x  24 y  28 (2) K: y  (1)  x3  24 x2  30 x   y   y   14   x    3  x    14        y   3 y   14  3  Xét hàm f  t    t  3 t  14 Ta có: f '  t   3t   t >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! Suy f(t) đ ng bi n  3  f  x    Thay vào ph f  x   y 1  2x   y 1   y  x2  x     ng trình (2) ta đ c:  x    x2  x    x  26  16 x  12  x2  x    28  12 x3  48 x2  62 x   12 x2  10 x    x  1 x     x2  10 x      12 x2  10 x  (*) V i x ≥ ta có:  x  1 x    0;6 x2  10 x   Áp d ng b t đ ng th c Cô–si cho ba s không âm, ta có:  6x  10 x      3  x2  10 x   8.8  12 x2  10 x    x  1 x     x2  10 x      12 x2  10 x  x   D u b ng x y   x  1 x     x   6 x  10 x   Suy (*)  x   y  (th a mãn)  5 H có nghi m nh t  2;   2 Câu 10 x2  y2  z  xy  3z P  z2 xyz2  x  y  xy  z2   3xyz (*) T (*) suy >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! 10 xy  z2  0;3xyz   x  y   xy  z2   xy  xy  z2    3z xy  xy  z2  xy  z   xy  z   xy  z  z2  xy K t h p v i (*) ta có: 3xy 3xy x y   4 xy z xy  z xy  x2  y2 z4  z2 xy  x2 y2  3z4  P xyz2 z2 xy z2 x2  y2  2  z2 z xy   x  y z2 xy  z2 1 xy  T (*) suy Xét hàm s f '  t   2t  xy  z2 3z  xy x y t t x y , t  P  t   z t f  t   t   [4;+∞) t 2t    t   4;   t2 t2 Suy f(t) đ ng bi n liên t c [4;+∞) Suy f  t   f    P 71 t   4;   71 D u b ng x y x = y = 2z, ch ng h n x = y = 2, z = V y giá tr nh nh t c a P 71 >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! 11 [...]... 2 z2 xy  z2 1 xy  T (*) suy ra Xét hàm s f '  t   2t  xy  z2 3z  xy x y t t x y 3 , t  4 thì P  t 2   1 z t 3 f  t   t 2   1 trên [4;+∞) t 3 2t 3  3   0 t   4;   t2 t2 Suy ra f(t) đ ng bi n và liên t c trên [4;+∞) Suy ra f  t   f  4   P 71 t   4;   4 71 4 D u b ng x y ra khi x = y = 2z, ch ng h n x = y = 2, z = 1 V y giá tr nh nh t c a P là 71 4 >> Truy... 4   P 71 t   4;   4 71 4 D u b ng x y ra khi x = y = 2z, ch ng h n x = y = 2, z = 1 V y giá tr nh nh t c a P là 71 4 >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! 11