Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN Khái niệm tích phân • Cho hàm số f liên tục K a, b ∈ K Nếu F nguyên hàm f K thì: b F(b) – F(a) gọi tích phân f từ a đến b kí hiệu ∫ f ( x )dx : b ∫ f ( x )dx = F (b) − F (a) a a • Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ khác thay cho x, tức là: b ∫ a b b a a f ( x )dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u)du = = F (b) − F (a) • Ý nghóa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a; b] diện tích S hình b thang cong giới hạn đồ thò y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b là: S = ∫ f ( x )dx a Tính chất tích phân • ∫ f ( x )dx = • b b a a b a a b ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx • ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx (k: số) b b b • ∫ [ f ( x ) ± g( x )] dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx a • a a b c b a a c ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx b • Nếu f(x) ≥ [a; b] ∫ f ( x )dx ≥ a b • Nếu f(x) ≥ g(x) [a; b] ∫ a b f ( x )dx ≥ ∫ g( x )dx a Phương pháp tính tích phân b a) Phương pháp đổi biến số: ∫ a f [ u( x )] u '( x )dx = u( b ) ∫ f (u)du u( a ) đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục K, y = f(u) liên tục hàm hợp f[u(x)] xác đònh K, a, b ∈ K b) Phương pháp tích phân phần b Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K, a, b ∈ K thì: b b ∫ udv = uv − ∫ vdu a a a Chú ý: – Cần xem lại phương pháp tìm nguyên hàm – Trong phương pháp tích phân phần, ta cần chọn cho b – Khi tính ∫ b b a a ∫ vdu dễ tính ∫ udv f ( x)dx cần ý xem hàm số y = f(x) có liên tục [ a; b] khơng ? Nếu có áp a dụng phương pháp học để tính tích phân cho khơng kết luận tích phân khơng tồn Trang Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 VẤN ĐỀ Tính tích phân cách sử dụng bảng ngun hàm + Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm b ∫ f ( x )dx = F (b) − F(a) + Tìm nguyên hàm F(x) f(x), sử dụng trực tiếp đònh nghóa tích phân: a Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Biến đổi biểu thức để có ngun hàm – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân Bài Tính tích phân sau: 2 x −1 b) ∫ dx x  3 x +1  a) ∫  x + + e ÷dx x  1 e c) −1 ∫ (x e2 1  2 d) ∫  x + + + x ÷dx x x  1 x2 − 2x dx e) ∫ x3 e − 3e + 3ln + 3 e d) e + − + e b) ln − c) e) ln − f) e − 7e + ĐS: a) f) ∫ x2 −2 + 4) dx x + − 7x dx x Bài Tính tích phân sau: a) ∫ x + 1dx b) 1 d) ∫( )( d) ( 3−2 ) ) +3 x3 dx c) x + x − x + dx ĐS: a) ∫ e) ∫( x   x −  ∫1  3 x ÷ dx dx f) ∫ x+2 − x−2 x2 ) + x x + x dx b)  83   − 1÷ 8  c) 125 e) 71 3 + + 60 f) ( 7 +3 −8 ) Bài Tính tích phân sau: a) e2 x − ∫0 e x + dx b) e x −1 − e−3 x + dx d) ∫ ex ĐS: a) e − b) e) ∫ (e e −1 −x c) + 2) e x −1 f) dx Bài −9e3 + 4e + 4e + e) e2 ∫ ( 2015 x  ÷dx  + 1) e −3 x dx c) e − e − ln x − e4 d) e4 e− x x e − ∫1  x ex ∫0 2x dx x  2015   2015   −3 ÷  −3 ÷ e  +  e  + e3 x + C f)  2015 2015 ln −3 ln −3 e e Tính tích phân sau: Trang Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 π π π  a) ∫ sin  x + ÷dx 6  π d) ∫ tan b) xdx e) π b) − a) 3 π2 + 18 c) c) ∫ ( sin 3x + cos x ) dx ∫ ( cot π ĐS: a) Bài ∫ ( 2sin x + 3cos x + x ) dx π π π x + ) dx f) π dx ∫ + sin x 2+ d) 3 − − π e) π + −1 f) Tính tích phân sau: π − cos x ∫ + cos x dx b) π π ∫ sin ∫ ( tan x − cot x ) dx c) x cos xdx − π  π sin  − x ÷   dx d) ∫ e) cos xdx ∫0 π  π + x÷ − sin  4  1π 1 −π ĐS: a) b)  + ÷ c) 8 4 π f) π π tan x dx x ∫ cos d) − ln e) ( 3π + ) 32 f) Bài Tính tích phân sau: a) π  π 2 1 b) ∫  sin x − cos x − ÷dx x π π ∫ cos  x − ÷ dx d) π ∫ sin π e) x dx ∫ cos π π x dx dx g) ∫ x x + 2sin cos 2 ∫ cos xdx π ∫ f) − x dx h) ∫ x π − cos π c) π + cos i) π (tan x + cot x )2 dx π ∫ sin x.cos3 xdx VẤN ĐỀ Tính tích phân phương pháp đổi biến b Dạng 1: Giả sử cần tính tích phân: ∫ f ( x )dx a Nếu f ( x ) = f [ u( x )] u '( x ) : b u( b ) a u( a ) ∫ f ( x )dx = ∫ f (u)du b Dạng 2: Giả sử cần tính tích phân: ∫ f ( x )dx Nhưng tính theo dạng khơng được, lúc ta chuyển hàm a lượng giác Ta thường gặp dạng sau: Trang Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 a2 − x dx dx 2 a −x ∫ ∫ a + x dx ∫ 2 dx a +x ∫ 2 dx a +x Đặt x = a sin t đặt : x = a cos t ∫ x − a2 dx dx 2 x −a ∫ ∫ Đặt x = a tan t Đặt x = a sin t đặt : x = a cot t a cos t đặt x = ĐỔI BIẾN DẠNG Bài Tính tích phân sau ∫ x ( 1− x) a) 19 dx ∫ b) 0 ∫ d) ( 1+ x ) x5 dx c) ∫ + x2 dx xdx 2x +1 ĐS: a) 420 x3 e) ∫x 1 − x dx f) − x dx ln − c) b) − 16 ∫x d) e) f) Bài Tính tích phân sau 1 xdx a) ∫ x +1 b) ∫ x x + 9dx ln 2 ĐS: a) b) c) x2 3 f) x x2 + ∫ dx ∫ e) c) − x2 d) ∫ xdx −1 ∫ + x3 dx x5 + x3 + x2 e) ln 10 dx d) f) 15 − ln Bài Tính tích phân sau: a) e e x dx ∫0 e x − b) ∫ ln 2 x +1 dx d) ∫ x + x ln x ĐS: a) ln ( e + 1) + ln xdx x ∫ e) b) ( π ex dx ex + ) 2 −1 f) ecos x sin xdx ∫ e +1 2e c) ln e x − e− x ∫0 e x + e− x dx c) d) ln ( + ln ) e) ln − ln Bài Tính tích phân sau e a) ∫ 1 d) + ln x dx 2x ∫ xe x2 e b) ∫ dx + 3ln x ln xdx x e) ∫ e ln c) e x x ∫ dx f) Trang e x dx (e x + 1) ln x dx x ∫ f) e − Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 ĐS: a) 3−2 b) 116 135 c) − 2 d) ( e − 1) ( e) e − e ) f) Bài Tính tích phân sau : a) π sin x ∫ cos x + 4sin x d) ĐS: a) π b) dx e) cos x b) cos x sin x dx + sin x ∫ π tan x dx ∫ π ∫ −π − ln 2 c) ln c) d) sin xdx x + cos x ∫ 2sin π  sin  − x ÷ 4 dx π  sin  + x ÷ 4  π f) π ∫ cos 2015 x sin xdx e) f) Bài Tính tích phân sau a) x + 1dx ∫ b) e) ∫3 3x − x3 f) dx ∫ dx x+2 + x −2 1 ∫ + ex c) ∫ x −1 x + 2 dx d) e dx g) ∫ ln x ∫ x dx h) xdx 1− x dx e ln x 1 + ln x ∫ x ĐỔI BIẾN DẠNG Bài Tính tích phân sau a) dx ∫ b) − x2 0 c) −3 3 b) c) ∫x − x dx 1 dx e) ∫ 2 ( x + 1) ( x + ) dx d) ∫ x +3 π 4− x dx ĐS: a) ∫ x3 2π − d) f) ∫x π e) xdx + x2 + π π − f) Bài Tính tích phân sau a) ∫ − x2 −1 ∫ d) ĐS: a) b) dx c) b) π e) ∫ −1 c) π dx ∫ 1+ x 0 dx x + 2x + π ∫ − x dx dx x2 + 2x + π d) 12 f) ∫ e) x2 −1 dx x3 π +2 f) Bài Tính tích phân sau a) ∫ dx b) ( 1+ x ) ∫ x x − x dx e) 2 b) − π ∫ 0 ĐS: a) ∫x 2 d) c) π −2 dx c) x2 −1 ∫ dx x2 − x2 f) (1 + x ) d) 2 e) Trang ∫ f) dx x dx − x2 π dx Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 VẤN ĐỀ Tính tích phân phương pháp tích phân phần Với P(x) đa thức x, ta thường gặp dạng sau: b ∫ P( x ).e x b a a ∫ P( x ).cos xdx dx a Đặt u = Đặt dv = b b ∫ P( x ).sin xdx P(x) P(x) P(x) e x dx cos xdx sin xdx ∫ P( x ).ln xdx a lnx P(x) Bài Tính tích phân sau a) ∫ x.e dx x b) π ∫ x cos xdx e ∫ ln xdx c) e d) ∫x ln xdx e) π x ∫ cos 0 f) ∫ x( e 2x ĐS: a) dx ) + x + dx −1 π −8 b) x e4 − d) 32 c) e) π + ln f) − 28 Bài Tính tích phân sau ln a) ∫ xe dx x b) d) π ∫ ( x − 2) e 2x dx c) ∫ ( x + sin x ) cos xdx e) b) e x cos xdx f) 0 ĐS: a) ln − ∫ e2 − − 2e ∫ x sin xdx 2π π ∫ x ln xdx c) d) π − e) 4π f) e2 + Bài Tính tích phân sau e ln x b) ∫ x dx e a) ∫ ln xdx π d) ∫ x tan c) e e xdx e) π ĐS: a) − 2e e ∫ ( − ln x ) π2 c) +4 ∫ x cos xdx ∫ ln ( x + dx f) b) − π2 ) + x dx  3π  π π2 − π − − + ln ÷ d)   24  Bài Tính tích phân sau Trang e) f) Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 π ∫ e sin xdx a) x b) cos x c) sin xdx ∫ cos ( ln x ) dx e) eπ + ∫ cos ( ln x ) dx f) 1 c) e b) π ∫e 3x sin xdx e e ĐS: a) ∫e π d) π π + sin x ∫ + cos x e dx x π +1 10 d) − eπ + e) f) VẤN ĐỀ Tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối b Dạng 1: Giả sử cần tính tích phân I = ∫ f ( x) dx , ta thực bước sau: a + Bước Lập bảng xét dấu (BXD) hàm số f(x) đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: x f(x) b + Bước Tính I = ∫ x1 a + - x2 + b x1 x2 b a x1 x2 f ( x) dx = ∫ f ( x )dx − ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx a b ∫ Dạng 2: Giả sử cần tính tích phân I =  f ( x) ± g ( x)  dx , ta thực hiện: a b b b a a a Cách Tách I = ∫  f ( x) ± g ( x)  dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x ) dx sử dụng dạng Cách Bước Lập bảng xét dấu chung hàm số f(x) g(x) đoạn [a; b] Bước Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối f(x) g(x) b b a a Dạng 3: Để tính tích phân I = ∫ max { f ( x ), g ( x)} dx J = ∫ { f ( x), g ( x )} dx , ta thực bước sau: Bước Lập bảng xét dấu hàm số h( x) = f ( x ) − g ( x) đoạn [a; b] Bước + Nếu h( x) > max { f ( x), g ( x)} = f ( x) { f ( x ), g ( x)} = g ( x) + Nếu h( x) < max { f ( x), g ( x)} = g ( x) { f ( x ), g ( x)} = f ( x ) Bài Tính tích phân sau a) ∫ x − dx b) ∫ x − dx e) −3 ĐS: a) ∫x x + − x − ) dx ∫( −2 b) − x dx c) d) c) ∫x + x − dx x − dx d) 40 Bài Tính tích phân sau Trang f) ∫2 e) 44 f) + ln Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 ∫ a) x − dx b) ∫ x x − a dx (a tham số) e) b) ∫ x − x + 9dx f) ∫ x − x + xdx 16 −3 3 ∫ ( x − x − ) dx −1 ĐS: a) c) −1 1 d) ∫ − x dx d) − + c) a e) f) 18 16 − +2 5 Bài Tính tích phân sau 2π a) ∫ π − cos 2xdx b) π ∫ d) g) ∫ − sin 2xdx 2π − sin xdx e) ∫ tan x + cot x − 2dx + cos 2xdx ∫ cos x h) π − b) −2 ĐS: a) f) ∫ + cos 2xdx cos x − cos3 xdx π d) −4 c) sin x dx π − π π ∫ c) −π π ∫ π e) g) ln − ln h) f) 2 Bài Tính tích phân sau 2 a) ∫ max { x + 1, x − 2} dx ∫ π ∫ max ( x , x ) dx e) max ( sin x, cos x ) dx ∫ ∫ −2 ( ) ( ∫ ) b) max x , x − dx −2 ) 3π ∫ sin x − cos x dx Bài Tính tích phân sau f) a) x, x − dx ( c) 1, x dx d) x b) ∫ { , − x} dx ∫( c) ) x + x − + x − x − dx VẤN ĐỀ Tính tích phân hàm số hữu tỉ - Loại 1: Nếu bậc P(x) ≥ bậc Q(x) ta thực phép chia đa thức - Loại 2: Nếu bậc P(x) < bậc Q(x) Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử ta phân tích f(x) thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất đònh) Các dạng dùng phương pháp hệ số bất đònh thường gặp: Dạng 1: Mẫu số có nghiệm đơn: P( x ) P( x ) A B = = + Q( x ) ( x − a)( x − b) x − a x − b P( x ) P( x ) A B C = = + + Q( x ) ( x − a)( x − b)( x − c) x − a x − b ( x − c ) Dạng 2: Mẫu số có nghiệm đơn bậc vơ nghiệm: P( x ) P( x ) A Bx + C = = + , với ∆ = b2 − 4ac < 2 Q( x ) ( x − m)(ax + bx + c) x − m ax + bx + c Dạng 3: Mẫu số có nghiệm bội: Trang Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 P( x) P( x) A B = = + 2 Q( x) ( x − a ) ( x − a) x − a P ( x) P( x) A B C = = + + 3 Q( x) ( x − a ) ( x − a) ( x − a) x − a P( x ) P( x ) A B C D = = + + + Q( x ) ( x − a)2 ( x − b)2 x − a ( x − a)2 x − b ( x − b)2 P( x ) P( x ) A B C D E = = + + + + 2 Q( x ) ( x − a) ( x − b) x − a ( x − a) x − b ( x − b) ( x − b)3 - Loại 3: Một số ngun hàm ta dùng phương pháp đổi biến phần Bài Tính tích phân sau ∫ a) 1 d) x 3dx c) ∫ x + 2x + dx b) ∫ x − 5x + dx x + x3 x ∫ ( 1+ 2x) dx x dx ∫ ( 1− x) e) ) f) ln − ln ĐS: a) 2 c) − − 10 ln b) ln − ln dx ∫ x ( 1+ x) d) f) ln − 3ln + e) Bài Tính tích phân sau a) x2 ∫ x − x + 12dx d) ( x + 1) x5 + x3 c) dx b) − 3x + ∫ x − x − 5x + dx dx e) ∫ x ( x − 1) ĐS: a) + 25ln − 16 ln d) x ∫ dx b) ∫ 1 f) ∫ 3 ln + ln + 2 e) ln − ln c) − f) ( x + 11) dx x2 + 5x + 13 14 ln + ln + ln 3 15 ln 2 Bài Tính tích phân sau 1 dx a) ∫ x + 3x + d) ∫ ĐS: a) b) dx (x 2 dx ) + ( x + 2) c) π 9−2 ) ) e) b) ln x +1 ∫2 x ( x − 1) dx c) ln d) ∫x + 3x + ( ∫(x 4x − f) ∫x 2 + ln − 3ln e) dx + 3x + dx + 2x − f) Bài Tính tích phân sau a) x3 + x + ∫0 x + dx d) x2 ∫ ( 3x + 1) ĐS: a) 11 − ln b) x3 − x + x + ∫ x − 3x + dx −1 dx e) ∫ (x b) 32 ln + 19 ln − x4 − 1) c) 3x + 3x + ∫2 x3 − 3x + dx 2 − x 2008 dx f) ∫ 2008 x + x ( ) dx c) + ln Trang Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 d) ln − 96 e) f) Bài Tính tích phân sau d) π + 2) 2 b) 3 − π dx x3 + x + dx e) ∫ x + c) + π 16 d) − 2007 x3 + x + x + dx c) ∫ x2 + dx − 2008 ln ( + 28 ) + ln 2 x2 + 0 ĐS: a) ∫ b) ∫ ( x + ) ( x + 3) ( 3x dx a) ∫ x − 2x + ln − ln ( + 28 ) f) ∫x 12 e) x dx +1 π − f) π Bài Tính tích phân sau a) ∫1 x ( + x ) dx b) 1 − x4 dx d) ∫ + x2 ( x − 1)2 e) ∫ (2 x + 1) 3ln − ln ĐS: a) b) π c) ∫0 + x dx c) − x2 ∫1 + x dx ( x − 1) 99 dx f) ∫ ( x + 1) 6+  ln  ÷ 2 6− ÷  d) π + 101 e) − dx f) ( Bài Tính tích phân sau a) ∫x − x7 (1 − x ) dx b) d) ∫ dx x (1 + x ) 168 ĐS: a) b) e) ∫ x ( x + 1) dx ∫ c) dx c) ∫ dx x.( x f) x (1 + x ) 1 ln d) e) 10 + 1)2 x 2001 ∫ (1 + x )1002 117 − 41 π + 135 12 f) Bài Tính tích phân sau 2 x3 − dx a) ∫ 4x − x 1 x7 d) ∫ (1 + x ) ĐS: a) b) b) ∫ dx c) x dx x − 3x + e) + x2 ∫ 1+ x4 (x dx f) 1 d) 128 5x c) ∫ + 4)2 dx 2002.21001 dx − x2 ∫ + x dx  −1  ln  ÷ 2  + ÷  e) f) Bài Tính tích phân sau a) ∫ 1 − x2 x+x d) dx b) xdx ∫ x + x +1 ĐS: a) ln ∫ b) π e) x4 +1 x +1 1+ ∫ c) π ln(2 − 3) + 12 dx 3 c) ∫ x2 + x − x +1 d) dx π Trang 10 f) ∫ e) π x2 x4 −1 dx x1006 2014 + x1007 + 0x f) ) 2100 − 900 dx Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 + Biến đổi dạng : ∫ a sin dx dx =∫ 2 x + b sin x cos x + c cos x ( atan x + b tan x + c ) cot x dt dx = ( + tan x ) dx = ( + t ) dx ⇔ dx = cos x 1+ t2 dx dt =∫ + Khi ∫ 2 a sin x + b sin x cos x + c cos x at + bt + c + Đặt: t = tan x ⇒ dt = Dạng Tính tích phân lượng giác cách biến đổi lượng giác Bài Tính tích phân sau a) π π ∫ sin x cos xdx b) d) ∫ sin e) x cos xdx ĐS: a) − xdx c) 0 π ∫ sin π ∫ ( sin − b) π x + cos x ) dx f) c) d) π 32 e) π ∫ cos x ( sin π x + cos x ) dx cos3 x ∫0 cos x + dx f) 3π − Bài Tính tích phân sau π π + sin x + cos x dx a) ∫ sin x + cos x π b) ∫ cos 3xdx d) ∫ (sin x + cos4 x )(sin6 x + cos6 x )dx e) 0 π π ∫ cos x(sin x + cos4 x )dx f) ĐS: a) b) π c) π −1 d) cos x ∫ + cos x dx c) π π 33 π 128 ∫ cos x cos xdx e) f) π Bài Tính tích phân sau a) ĐS: a) π 2π 8cos x − sin x − ∫ sin x − cos x dx 3 −6 b) b) ∫ + sin xdx c) π 4sin3 x ∫ + cos x dx c) Dạng Tính tích phân lượng giác phương pháp đổi biến Bài Tính tích phân sau a) d) π ∫ tan xdx π sin x ∫ + 3cos x dx π π ∫ sin x cos3 xdx b) c) e) ∫ tan π ∫ sin xdx Trang 17 xdx xdx π 3 f) ∫ tan π Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 ĐS: a) ln 2 b) ln c) d) 15 e) − ln 2 f) π +2 Bài Tính tích phân sau π dx a) ∫ π sin x cos x b) d) π ∫ e) − cos3 x sin x cos xdx d) sin x ∫0 + cos2 x dx ∫ cos x b) 45 e) − ∫ sin π + cos x c) − f) c) tan x π π −1 ln − 2 π 3 π ĐS: a) π dx f) dx x.cos x π ∫ ( tan x + e sin x cos x ) dx 14 ln 3  −  + + + + ln  ÷ 27  3+2÷  ln + e − Bài Tính tích phân sau a) π ∫ sin π b) sin x cos x dx ∫0 + cos x x cos xdx d) π π ∫ sin x ln ( cos x ) dx e) 0 ĐS: a) ∫ ( tan x + 1) cos x b) − π − ln  π sin x ∫ ( + sin x ) sin xdx  2+  ÷ ÷   48 315 c) π dx c) f) ∫ sin − d) π ln − 2 e) dx x + cos x ln 2 f) 2π 27 Bài Tính tích phân sau π dx a) ∫ π sin x b) π cos x d) ∫0 − cos x dx ĐS: a) ln e) π dx ∫ − cos x π 3 c) dx ∫ + cos x π π c) sin x ∫ + sin x dx f) π 3 d) ( − sin x ) cos x ∫ ( + sin x ) ( − cos x ) dx 0 b) π 2π π − 3 e) π 2π − f) ln 2 Bài Tính tích phân sau a) π π ∫ sin x + cos x + dx b) − d) π sin x + cos x + ∫0 4sin x + 3cos x + dx ĐS: a) ln b) − ∫ π − ln 2 π sin x − cos x + dx sin x + cos x + π dx dx e) ∫ π  π sin x.cos  x + ÷ 4  π c) d) + ln + c) π π dx π  π sin x sin x +  ÷ 6  e) − ln f) ln 2 f) ∫ Dạng Tính tích phân lượng giác phương pháp phần Trang 18 ∫ 4sin x + 3cos x + dx Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 Kết hợp với đổi biến Bài Tính tích phân sau π π xdx b) ∫0 cos2 x ∫ ( x − 1) cos xdx a) π ∫x d) e) cos xdx π π ∫ ( x − 1) cos π π c) − ln π b) − ln ĐS: a) + π dx ∫ cos f) xdx xdx ∫ + cos x c) x 1π2 π  − ÷− e)  2  π2 −2 d) f) Bài Tính tích phân sau π ∫ x tan xdx a) b) π ∫ sin xdx c) b) ∫ x sin x cos xdx ∫ d) π 0 π π2 ĐS: a) − ln − 32 π π c) π ln ( sin x ) cos x 3ln π ln − − d) Bài Tính tích phân sau π π ∫ sin x.e a) x +1 b) dx sin xdx c) b) ∫ cos ( ln x ) dx d) 2π −e e ĐS: a) 0 π +1 ∫e 2x 5e − 12 π ∫ ln ( + tan x ) dx c) sin ( ln ) π ln d) BÀI TẬP TỔNG HỢP TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC Bài Tính tích phân sau a) π π cos xdx ∫ (sin x + 1) ∫ d) g) π ∫ ĐS: a) f) ( + sin x ) b) π e2 π e) ∫ −π π x cos x 24 c) tan xdx cos x dx + cos x ∫ ∫ b) cos5 xdx π π dx 15 g) h) ∫π − c) h) x sin x cos x dx f) x5 + dx + cos x i) d) π i) 2a π − 16  0  ∫  + cos x ÷.e π ∫ 13 π − 15 π  + sin x e) x dx sin x.cos x a sin x + b cos x 4π 2− − ln 2+ Bài Tính tích phân sau a) π ∫ (cos x − 1) cos2 x.dx b) π ∫ dx cos x Trang 19 c) π ∫ 2sin x − dx dx Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 d) ĐS: a) I= π ∫ 2+ π π dx π − 15 b) sin x.cos x dx + cos x e) sin x − cos x 28 15 f) ∫ c) d) π ∫ sin x tan xdx e) ln − 3 f) ln − Bài Tính tích phân sau π a) d) ∫ sin π x (2 − + cos x )dx b) π ∫ π π sin x dx cos x ∫ ĐS: a) π e) dx c) sin x.cos x ∫e sin2 x b) 3−4 c) ln − d) sin x ∫ ( + sin x ) π sin x.cos x dx 3−2 ln 2 dx f) 5−2 sin2 x + dx ∫ sin x × π π − π e) e −1 (π + 2) 16 f) Bài Tính tích phân sau a) π sin x ∫ sin x + cos6 x d) I = π ∫ sin x + ĐS: a) dx cos x ∫ e) dx b) b) π sin x ( sin x + π cos x ) π dx c) − sin x + cos2 xdx ∫ f) c) ∫ π − π ∫ 7π − −1 12 d) ln sin x − cos2 x cos2 x dx sin xdx (sin x + cos x )3 e) − f) Bài Tính tích phân sau a) π ∫ d) π ∫ ĐS: a)1 7sin x − cos x (sin x + cos x ) cos x sin x cos3 x + sin3 x b) b) dx π ∫ e) dx c) π 3sin x − cos x (sin x + cos x )  π c) dx  − tan (cos x ) dx  cos2 (sin x )  0 ∫ π d) e) π f) x sin x ∫ + cos x π ∫ cos x − sin x − sin x f) dx dx π 12 Bài Tính tích phân sau a) π ∫ d) π ∫ sin x cos x + sin x  π tan  x − ÷  dx cos x dx b) 2π π ∫ π e) ∫ π x + ( x + sin x )sin x sin3 x + sin2 x cot x dx  π sin x.sin  x + ÷  4 Trang 20 dx c) π ∫ π f) ∫ π sin x cos2 x + 4sin2 x sin x.cos4 x dx dx Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 ĐS: a)  15 +  ln  ÷  + ÷  d) π b) 1− +4−2 c)   2 − ln ÷   f) 3−4 3 e) Bài Tính tích phân sau a) ∫ π d) π π ∫ sin x 5sin x.cos x + cos x sin x − cos x + sin x π b) dx cos4 x (tan x − tan x + 5) π dx sin xdx ∫ − π 2 c) 6 e) ∫ − cos x sin x.cos xdx f) 1 ln − ln 2 d) ln 2 b) + ln ĐS: a) e) sin x ∫ sin 3x dx π π ∫ 3π − c) 12 91 f) tan xdx cos x + cos2 x ln(2 − 3) 3− Bài Tính tích phân sau a) d) π cos x ∫ (cos x − sin x + 3) π ∫ ĐS: a) − b) dx b) − ∫ π tan( x − ) dx cos x 32 π e) π sin x cos2 x tan x + c) dx tan x ∫ cos x dx f) d) ∫ 1− e) − sin x + cos x π ∫ 0 c) − ln π 1 − ln dx cos x + cos x f) dx π Bài Tính tích phân sau π a) ∫4 π d) sin x.cos x π π 3sin x + cos x ∫0 3sin x + cos x dx ( d) cos3 x + cos x + sin x x ( )dx b) ∫ + cos x ) ĐS: a) − π + ln π π dx e) ∫ π b) e) π2 −2 3− tan x cos x + cos2 x c) dx c) π f)  15 +  ln  ÷  + ÷  f) VẤN ĐỀ Tính tích phân hàm số mũ logarit Dạng Trang 21 ∫ sin x π ∫ π cos x + cos x dx  π sin  x + ÷ 4  dx 2sin x cos x − Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 Tính tích phân hàm số mũ logarit phương pháp đổi biến Bài Tính tích phân sau ln a) dx x e +5 ∫ dx d) ∫ − e− x 1 12 ln b) ex dx c) ∫ x e + e− x dx e) ∫ − x e +1 e −2 x dx f) ∫ − x e +1 ĐS: a) dx b) ∫ x e +4  + e2  ÷  1+ e  5e ln c) ln ( + e ) − ln e+4 e +1   e +1 + ln ÷   e f) −  e) e − d) ln  Bài Tính tích phân sau ln a) ∫ ln3 d) ln8 − ex dx + ex ex + ∫ dx c) e +1 ln x dx e) ∫ x ( ln x + 1) x ln dx ĐS: a) − 3ln b) 10 c) 374.83 − 32.33 15 d) ln ∫e e x + 1dx 2x ln e ∫ b) ln ex e f) + ln x dx x ∫ ( −1 ) e) +1 ln 2 f) −2 Bài Tính tích phân sau a) e2 x ∫ 1+ e x 1 dx b) x + e− x x ln(1 + x ) + 2011x e) ∫  x2 +1  dx ln (ex + e)   e +1 ĐS: a) e − e + 2e − − ln  ÷ 3   d) d) ∫ ( x + x )e x e dx c) ∫ x (e x + ln x ) dx f) ( ) b) e − ln e + e) ln e xe x + 1 ln + 1005ln ( + ln ) ∫ 2x ln 2 e3 x + e x − e3 x + e x − e x + ∫ c) −2 + ee + e +9 dx f) ln dx ( Bài Tính tích phân sau 3ln dx ∫ a) ( ex + 2) ln d) ∫e ln ĐS: a) ln 2 ∫ −1 + e − x 3 1  ln − ÷ 4 6 x e − dx e) ∫ d) ln − e) ( e2 x − 24e x ) dx 3ln e x e x + + 5e x − e x + − 15 ∫ ln e3 x − e x e x 4e x − + b) − ln − ln15 c) ln3 e x dx x b) dx π f) 16 ∫ ln 3e x − 4dx c) − ln − ln − ln f) 4( − 1) − π Bài Tính tích phân sau ln3 a) ex ∫ (e x + 1)3 d) ∫ dx x − 2− x x +4 −x −2 ln ∫ b) ln e2 x ex −1 dx dx x dx e) ∫ x + 3.6 x + 2.4 x Trang 22 ln ∫ c) e x − 1dx e   + x ln x ÷dx   x + ln x f) ∫  )   ln  e + − ÷ 10 +     ln x Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 d) 20 ln15 − ln14 e) ln − ln 2 −1 ĐS: a) b) ln − ln ln c) −π f) − 2 + 2e 3 Bài Tính tích phân sau e2 e ln x + ln x a) ∫ dx x log32 e d) ∫ x x + 3ln x 3 4 ĐS: a) − d) ( b) ∫ e dx x ln x.ln ex ln6 c) dx ) 27 ln ∫ dx x −x e + e − ln e3 e x + ( x − 2) ln x dx e) ∫ x (1 + ln x ) e2 x f) x ln2 x − x ln x + dx ∫2 x (1 − ln x ) e b) ln − ln c) + ln − ln e) e − + ln f) −3ln − 4e3 + 2e2 Bài Tính tích phân sau e2 a) ln x − ln x + ∫ x2 d) e ∫ ĐS: a) − ln x x + ln x 2(e − 1) dx ln( x − + 1) dx b) ∫ x −1 x −1 + e e) ln x + ln x dx ∫ x dx b) ln − ln 2 e −5 d) e) e3 c) 3 4   −  c) ∫ ln x dx x + ln x e f) xe x + ∫1 x(e x + ln x) dx 15 − ln f) ln ee + e Dạng Tính tích phân hàm số mũ logarit phương pháp phần Kết hợp phương pháp đổi biến Bài Tính tích phân sau a) ∫ x.e 2x dx b) e d) 1 ĐS: a) e − e + 4 dx c) + ln x dx x ∫ ∫ x.e −x e) π ∫e x f) sin xdx e−2 b) e c) ln − ∫ x ln ( + x ) dx π ∫( e x d) + cos x ) cos xdx π π f) e − + π e) e + e 2 Bài Tính tích phân sau e2  ln x  + ln x ÷dx b) ∫    x ln x + c) π ln x d) ∫ dx x ln(sin x) dx e) ∫ π cos x ĐS: a) ln − e3 e ln x + ln(ln x) dx a) ∫ x e b) − +e c) 3ln − ln − Trang 23 ln(ln x ) dx x e ∫ f) ln( x + 1) dx x +1 ∫ Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 d) ln − 2 ln ln π − − e) f) 2 ( ln − ) Bài Tính tích phân sau a) π ∫e s inx b) sin xdx ∫ x ln( x + x + 1)dx 0 e dx c) 20 ln − ln − b) d) ee +1 x +1 ln( x + 1) dx f) ∫ x3  ln x  + ln x ÷dx e) ∫    x + ln x 3π ln − 12 2 e) e − − 3 ĐS: a) ln x e x + x ln x + x e dx d) ∫ x ∫ c) f) ln − ln Bài Tính tích phân sau a) ∫ ln( x + 1) x2 e) ln x ∫ dx b) e ( x + 1) dx f) ∫ c) ln π d) ln + +  1 ∫ x ln  x + x ÷dx   ln 1 + + ln 2 3 e) − ln + ln d) ∫ ex x e +e −x dx x + − x)dx ln3 ex (e x + 1) e x − ∫ c) e3 e) x + − x)dx 10 ln + e +1 e f) e –2 + ln e e +1 ∫ ln( ∫ ln( c) 3ln − b) h) Bài Tính tích phân sau x + 1x a) ∫ ( x + − x )e dx 1 x + 1x ( x + − )e dx g) ∫ x b) d) ∫ x ln(1 + x )dx ln x + e x (e x + ln x) dx + ex ĐS: a) 3ln −  1+ x  ∫ x ln  − x ÷dx   ln(ln x ) ∫2 x dx e f) ∫ ln x x2 dx dx Bài Tính tích phân sau ln ∫ e − 1dx ln ln2 x a) x b) ∫ d) ln ∫ x(e 2x + x + 1)dx e c) −1 x ln x + dx ln e) ∫ + ln x ln x dx x ∫ ln e2 x dx ex + f) ∫ e x dx (e x + 1)3 Bài Tính tích phân sau a) π x ∫ (e + cos x) cos xdx e b) ∫ e π  ln x  + ln x  dx d) ∫    x ln x + e) ∫ π + ln x dx x ln(sin x ) cos x dx VẤN ĐỀ Trang 24 e2 c) ∫ e f) ∫ ln x + ln(ln x ) dx x ln( x + 1) x +1 dx Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 Một số tích phân hàm số đặc biệt Dạng Tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ đoạn [-a; a] a Bài tốn 1: Nếu f (x) hàm lẻ liên tục đoạn [ − a, a ] : I = ∫ f ( x ) dx = −a Chứng minh a I= a −a ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx (1) −a + Xét ∫ f ( x ) dx Đặt: t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt −a a a  x = −a → t = a ⇒ f x dx = f − t dt = − f ( t ) dt Đổi cận :  ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ x = → t =  −a 0 + Thế vào (1) ta : I = (đpcm) Bài tốn 2: Nếu f (x) hàm chẵn liên tục đoạn [ − a, a ] I = a a −a ∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x )dx Chứng minh a I= ∫ f ( x)dx = −a a ∫ −a f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx (1) 0 + Xét ∫ f ( x ) dx Đặt: t = − x ⇒ dt = − dx ⇒ dx = − dt −a  x = −a → t = a Đổi cận :  x = → t = 0 ⇒ ∫ −a a a 0 f ( x ) dx = ∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( t ) dt a + Thế vào (1) ta : I = f ( x ) dx (đpcm) ∫ Bài tốn: Cho α > f ( x ) hàm chẵn , liên tục xác định R f ( x) dx = ∫ f ( x )dx Chứng minh : ∫ x a +1 −α α α Bài giải I= α ∫ f (x) −α α f (x) f (x) dx = ∫ dx + ∫ dx x x a +1 −α a + a +1 x + Xét ( 1) f ( x) dx Đặt t = − x ⇒ dt = − dx ⇒ dx = −dt x +1 ∫α a −  x = −α → t = α x = → t = Đổi cận :  f ( x) f (− t) at f ( t ) dx = dt = ∫ a x + ∫0 a −t + ∫0 at + −α α + Vậy : α f ( x) a x f ( x) f ( x) dx = dx + ∫ x dx = ∫ f ( x ) dx (đpcm) Thế vào (1) ta : ∫ x x ∫ a + a + a + −α −α 0 α α α Trang 25 Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 Tóm lại: + Nếu f (x) hàm lẻ liên tục đoạn [ − a, a ] : I = a ∫ f ( x ) dx = −a + Nếu f (x) hàm chẵn liên tục đoạn [ − a, a ] thì: I = a a −a α ∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x )dx α f ( x) dx = ∫ f ( x ) dx + Nếu f (x) hàm chẵn liên tục xác định R thì: I = ∫ x a +1 −α Chú ý: Các tính chất khơng có sách giáo khoa nên phải chứng minh vận dụng giải tốn Bài Tính tích phân sau π a) ∫ π π − d) ∫ − π π ĐS: a) sin x dx + cos x b) c) π 2 x − d) π + e) π x 2017 + x dx f) ∫ x − x2 + −1 x + sin x dx e) ∫ x + −1 ln x + cos x dx x ∫ − sin c) 2014 x 2015 − 2012 x 2013 + dx cos x b) xdx ∫ − sin − π π f) π 3 Bài Tính tích phân sau π a) ∫ π − sin x + x2 + x dx b) 1− x  d) ∫ cos x.ln  ÷dx 1+ x   − e) ∫ 5x − 3x + 1 − x2 − 2 π− + x dx −1 ĐS: a) ) ∫ ln ( x + b) c) π c) ∫ cos x.ln ( x + − ) + x dx π π dx d) sin 2014 x + dx f) ∫ x π − + cos 2 e) f) Bài Tính tích phân sau 1 d) ∫ −1 x2 + dx b) ∫ + 2x −1 1− x dx + 2x π b) h) c) π d) π ∫ π − π f) π − x dx + 1) ( x + 1) π f) x sin x ∫π + 2014 x dx − π sin x sin x cos x dx + ex e) ∫(4 −1 dx e) ∫ x −1 ( e + 1) ( x + 1) sin x dx g) ∫ x +1 −π c) π ĐS: a) 1 x4 dx a) ∫ x +1 −1 i) ∫ − g) π π sin x + cos x dx 6x + h) 146 369 Bài Cho hàm số f(x) liên tục R f ( x ) + f (− x ) = cos4 x với x ∈ R Tính: I = Trang 26 i) π ∫ −π 5π − 32 f ( x )dx Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 Bài Cho hàm số f(x) liên tục R f ( x ) + f (− x ) = + cos2 x , với x ∈ R Tính: I = 3π ∫ f ( x )dx −3π Dạng Bài tốn 1: Cho hàm số f ( x ) liên tục [ 0, π ] Chứng minh : π ∫ x f ( sin x ) dx = ππ f ( sin x ) dx ∫0 Bài giải π + Xét ∫ x f ( sin x ) dx Đặt t = π − x ⇒ dt = − dx ⇒ dx = − dt x = → t = π Đổi cận :  x = π → t = π Vậy : π π π π 0 ∫ x f ( sin x ) dx = ∫ ( π − t ) f [ sin ( π − t ) ] dt = ∫ ( π − t ) f ( sin t ) dt = π ∫ f ( sin t ) dt − ∫ t f ( sin t ) dt 0 π π π 0 ⇒ ∫ x f ( sin x ) dx = π ∫ f ( sin x ) dx ⇒ π π ∫ x f ( sin x ) dx = ∫ f ( sin x ) dx Từ tốn , ta mở rộng tốn sau: Nếu hàm số f ( x ) liên tục [ a, b] f ( a + b − x ) = f ( x ) b Thì ta ln có : ∫ x f ( x ) dx = a π a+b f ( x ) dx ∫0  π Do ta cần nhớ: + Nếu f(x) liên tục  0;   2 π ∫ f (sin x )dx = π ∫ f (cos x )dx Để chứng minh tính chất ta đặt: t = π −x π ππ + Nếu f ( x ) liên tục [ 0, π ] ∫ x f ( sin x ) dx = ∫ f ( sin x ) dx 20 Bài tốn 2: Cho hàm số f ( x ) liên tục,xác định , tuần hồn R có chu kì T a +T T a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx Chứng minh : Bài giải a +T ∫ a Vậy ta cần chứng minh T a +T a T f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + a a +T T ∫ T a +T a T f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx a + Xét ∫ f ( x ) dx Đặt t = x +T ⇒ dt = dx x = → t = T x = a → t = a + T Đổi cận :  Trang 27 ∫ f ( x ) dx Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 a +T Vậy : ∫ f ( t − T ) dt = T a +T ∫ a +T f ( t )dt Hay : ∫ a T T f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx (đpcm) Từ tốn , ta có hệ sau : Nếu hàm số f ( x ) liên tục,xác định , tuần hồn R có chu kì T , T T ta ln có: ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − T Chú ý: + Nếu f(x) liên tục f (a + b − x ) = f ( x ) f (a + b − x ) = − f ( x ) đặt: t = a + b – x Đặc biệt: a + b = π đặt t = π – x a + b = 2π đặt t = 2π – x + Các tính chất khơng có sách giáo khoa nên phải chứng minh vận dụng giải tốn Bài Tính tích phân sau: π π x + cos x dx b) ∫ − sin x x.sin x dx a) ∫ − cos x d) π ∫ ln ( + tan x ) dx e) π ln b) c) ∫ x.cos π xdx f) d) π ln  + sin x  ∫ ln  + cos x ÷ dx 2π ĐS: a) c) π ∫ x.sin xdx e) f) π Bài Tính tích phân sau: π a) d) π xdx ∫0 + sin x b) π π x.sin x ∫0 + cos x dx c) ĐS: a) π b) c) d) ln e) f) x dx π x.sin x dx e) ∫ + cos x 0 π ∫ sin x.ln(1 + tan x)dx x.sin x ∫ + cos f) ∫ x.s inx.cos xdx π Bài Tính tích phân sau: a) π n cos x * ∫0 cosn x + sin n x dx ( n ∈ N ) b) π π cos x ∫0 sin x + cos4 x dx c) π sin 2014 x d) ∫0 sin 2014 x + cos 2014 x dx π π π ĐS: a) b) c) 4 sin 2015 x e) ∫0 sin 2015 x + cos2015 x dx π π d) e) 4 f) π sin x ∫0 cos7 x + sin x dx π ∫ sin x dx sin x + cos x π f) Bài Tính tích phân sau π x.sin x dx a) ∫ + cos x x + sin x dx b) ∫ + x2 −1 π π x.sin x dx d) I = ∫ + cos x e) ∫ − π x sin x dx + 2x Dạng Trang 28 c) ∫ sin −1 ∫ ln ( sin x + 2π f) ) ( x.cos x ln x + x + dx ) + sin x dx Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác đònh nguyên hàm hàm số f(x) ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm hàm số f(x) ± g(x) dễ xác đònh so với f(x) Từ suy nguyên hàm f(x) Ta thực bước sau: + Bước 1: Tìm hàm g(x)  F ( x ) + G( x ) = A( x ) + C1  F ( x ) − G( x ) = B( x ) + C2 + Bước 2: Xác đònh nguyên hàm hàm số f(x) ± g(x), tức là:  Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F ( x ) = (*) [ A( x ) + B( x )] + C nguyên hàm f(x) Bài Tính tích phân sau: a) π sin x ∫ sin x − cos x dx b) b) π c) c) 1− ln + 16 ∫ 2sin ex dx e) ∫ x e − e− x −1 d) π 2 x.sin xdx sin x d) ∫0 sin x + cos x dx π sin x ∫ sin x + cos x dx π ĐS: a) π f) e) ∫ −1 e e− x x + e− x dx f) ƠN TẬP TÍCH PHÂN Bài Tính tích phân sau: a) ∫x 3 − x dx 2 x7 dx b) ∫ x − 2x4 + c) ∫x − x + dx dx  x −1  e) dx  ÷ ∫ ∫ x+2 x + 2x + −1 −1  1 1 + ÷ c) ĐS: a) b)  ln 80 − ln15 − 4 80 15  d) f) d) x3 + x + x + dx ∫0 x2 + 39 − ln 4 e) π 18 f) 16 π + Bài Tính tích phân sau: a) ∫ ( x + − x − ) dx −1 d) xdx ∫ ( x + 1) e) ĐS: a) 15 x3 dx c) ∫ x +1 dx b) ∫ 2 x + 5x + xdx ∫ ( x + 1) f) b) ln 2 c) − ln d) e) ln − f) ln 2 Bài Tính tích phân sau: x dx a) ∫ x + x − 1 d) ∫ x + 2x b) x2 + ∫ x + x dx c) e) ∫ −1 ∫x − xdx dx 2dx x+5 +4 Trang 29 f) ∫ x4 x5 + dx xdx ∫ 1+ x Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 ĐS: a) b) 58 15 c) − 112 15 d) 59 e) + ln f) ( ) 33 − Bài Tính tích phân sau: a) ∫x b) d) ĐS: a) ∫ + x x dx c) 105 e) 58 15 c) − x dx x + 3dx ∫x + xdx f) −1 b) ∫x 0 xdx 2+ x + 2− x ∫ − x dx ∫x π d) 22 − e) − 15 f) 56 − 12 15 Bài Tính tích phân sau: 7/3 x−3 dx a) ∫ −1 x + + x + d) x +x b) ∫ ∫ ( x + 1) c) e) dx x −1 ∫ x−2 dx 10 x +1 dx 3x + ∫ x3 + 1x3 dx f) ∫x − x dx 0 Bài Tính tích phân sau e x ( 3x − ) + x − a) ∫ e x ( x − 1) + x −  − x2 x  x e − ∫  x3  2e5 + ĐS: a) + ln e +1 d) dx b) ∫  ÷dx ÷  π d) e2 + − π x2 ( x sin x + cos x )2 e) ∫ x 4− x ( e2 x 1 c) ∫  x e dx 0 ) a) ∫ x e x +1 −π 4+π c) e) e2 61 +3 − 12 f) 1+ x b) ( x + 1) ln x + x + dx d) ∫ + x ln x d) e3 − e+2 + ln x2 + e e) ∫ ln3 x x + ln x b) 1 + ln − ln 2 e) 15 − ln x2 + ∫ ( x + 1)2 e x  ÷ ÷dx 1+ x  x dx c) ∫ ( ) ln x + x + − x x +9 dx f) π x sin x dx x ∫ cos ln − ln − 44 π 2+ − ln f) 2− c) Bài Tính tích phân sau ln(5 − x) + x − x dx a) ∫ x2 d) 1+ x ln xdx x3 ∫ b) ∫  x (2 − x ) + ln(4 + x ) dx ln x dx x +1 c) ∫ e e) π 2 x + x ln x + x e dx x ∫ dx e+π −3 x ln( x + 1) + x e ĐS: a) e2 ∫ f) + b) dx − x − x dx Bài Tính tích phân sau x3 Trang 30 f) ∫ π x cos x sin3 x dx dx Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 164 ln + 15 63 d) − ln + + ln 64 ĐS: a) b) 3π − + ln 2 c) 20 ln − ln − e) ee+1 f) Bài Tính tích phân sau a) π x sin x ∫ cos x d) 2π π ∫ π 2 b) ( x + sin x) dx ∫0 + sin x dx x + ( x + sin x )sin x (1 + sin x )sin x π − π + 3−2 d) ĐS: a) dx b) e) π ∫ c) ( x (cos3 x + cos x + sin x ) + cos2 x ∫ x + sin x dx + cos x f) ∫ dx x + 1sin x + 1.dx π + e) π π c) − 1) + ( − ln 2) π2 −2 f) Bài 10 Tính tích phân sau π π b) a) + sin x e x dx ∫ + cos x π d) ∫ e) 2− x + π − π ĐS: a) e b) x e (1 + sin x ) dx − ∫ cos(ln x )dx f) −π −e 2 + c) sin x + cos6 x ∫ c) eπ sin xdx ∫ cos x π 6x + π π ∫e sin x dx sin x.cos3 xdx 5π 32 d) 4π − 64 e) − (eπ + 1) Bài 11 Tính tích phân sau a) d) π b) ∫ ln(1 + tan x )dx π 0 π ∫ ln(1 + x ) + x2 ĐS: a) b) x sin x dx e) ∫ x π + 2014 dx − c) d) e) π − c) ∫ sin x ln(1 + sin x )dx f)0 Trang 31 π ∫ π f) x.sin x ∫ + cos tan x.ln(cos x ) dx cos x x dx f) e [...]... – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 2014 dx ∫ d) x + 2014 2 2 f) dx ∫ (1 − x 2 )3 0 x 2 dx ∫ 1 − x2 0 ĐS: a) e) 2 0 2 2 π 16 b) ln 2 c) π 3 1 + − 12 8 8 d) e) f) Bài 8 Tính các tích phân sau 1 2 2 a) ∫ x x + 1dx 2 b) 0 0 2 d) ∫ x+ 6 x ∫1+ x −1 1 dx e) 1 x3 x +1 2 dx c) 0 2 dx ∫ 2 2x + 1+ ∫ f) 4x + 1 dx x +1 + x x4 ∫ x5 +1 0 dx Bài 9 Tính các tích phân. .. A+ Phương pháp: Phân tích c sin x + d cos x c sin x + d cos x Sau đó dùng đồng nhất thức tìm A, B Dạng 11: a.sin x + b.cos x + m ∫ c.sin x + d cos x + n dx Phương pháp: Phân tích a sin x + b cos x + m B (c cos x − d sin x) C = A+ + c sin x + d cos x + n c sin x + d cos x + n c sin x + d cos x + n Sau đó dùng đồng nhất thức tìm A, B, C Trang 15 Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG... các tích phân sau a) π 2 3 ∫ (cos 0 x − 1) cos2 x.dx b) π 4 ∫ 0 dx 6 cos x Trang 19 c) π 6 1 ∫ 2sin x − 0 3 dx dx Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 d) ĐS: a) I= π ∫ 2+ π 3 π 2 dx 8 π − 15 4 b) sin 2 x.cos x dx 1 + cos x 0 e) 3 sin x − cos x 28 15 f) ∫ c) d) π 3 ∫ sin 2 x tan xdx 0 1 e) 2 ln 2 − 1 4 3 3 8 f) ln 2 − Bài 3 Tính các tích phân. .. logarit Dạng 1 Trang 21 ∫ sin x π 2 ∫ π 4 cos x 3 + cos 2 x dx  π sin  x + ÷ 4  dx 2sin x cos x − 3 Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 Tính tích phân các hàm số mũ và logarit bằng phương pháp đổi biến Bài 1 Tính các tích phân sau ln 2 a) 1 dx x e +5 ∫ 0 1 dx d) ∫ 1 − e− x 1 1 12 ln 5 7 b) ex dx c) ∫ x e + 1 0 e− x dx e) ∫ − x e +1 0 e... e) ∫ π 6 1 + ln 2 x dx x ln(sin x ) 2 cos x dx VẤN ĐỀ 9 Trang 24 e2 c) ∫ e 1 f) ∫ 0 ln x + ln(ln x ) dx x ln( x + 1) x +1 dx Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 Một số tích phân các hàm số đặc biệt Dạng 1 Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ trên đoạn [-a; a] a Bài tốn 1: Nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn [ − a, a ] thì : I = ∫ f ( x )... 2 sin x dx 1 + 2x Dạng 3 Trang 28 1 c) ∫ sin 2 −1 ∫ ln ( sin x + 2π f) 0 ) ( x.cos x ln x + x 2 + 1 dx ) 1 + sin 2 x dx Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác đònh nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm... 8 Tính các tích phân sau 2 4 ln(5 − x) + x 3 5 − x dx a) ∫ x2 1 2 d) 1+ x ln xdx x3 1 ∫ b) 2 ∫  x (2 − x ) + ln(4 + x ) dx 8 ln x dx 3 x +1 c) ∫ 0 e 2 e) π 2 2 x + x ln x + 1 x e dx x 1 ∫ dx 1 e+π −3 3 x ln( x 2 + 1) + x 3 0 e ĐS: a) e2 ∫ f) + 4 0 b) dx 1 4 − x 2 − x 2 dx Bài 7 Tính các tích phân sau 3 2 x3 Trang 30 f) ∫ π 4 x cos x sin3 x dx dx Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG...Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 Vấn đề 6 Tính tích phân các hàm số vơ tỉ  ( ) + Dạng 1: f x = R  x , m ax + b  ÷ cx + d  1    + Dạng 2: f ( x ) = R  ÷ ÷  ( x + a)( x + b)  ( ( ) + Dạng 3: f... các tích phân sau a) ĐS: a) π 6 2π 2 8cos x − sin 2 x − 3 ∫ sin x − cos x dx 0 3 3 −6 2 b) 4 2 b) ∫ 1 + sin xdx c) 0 π 2 4sin3 x ∫ 1 + cos x dx 0 c) 2 Dạng 2 Tính tích phân lượng giác bằng phương pháp đổi biến Bài 1 Tính các tích phân sau a) d) π 4 ∫ tan xdx π 2 sin x 0 ∫ 1 + 3cos x dx π 2 π 4 ∫ sin 0 2 x cos3 xdx b) c) 0 e) ∫ tan π 2 ∫ sin xdx 0 Trang 17 xdx 4 xdx 0 π 3 3 3 f) ∫ tan π 4 Ngun hàm – Tích. .. – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 Kết hợp với đổi biến Bài 1 Tính các tích phân sau π 3 π 2 xdx b) ∫0 cos2 x ∫ ( 2 x − 1) cos xdx a) 0 π 2 ∫x d) 2 e) cos xdx 0 π 4 π 2 ∫ ( 2 x − 1) cos 2 0 π 4 0 π 1 c) − ln 2 8 4 π 3 b) − ln 2 3 ĐS: a) 1 + π dx ∫ cos f) xdx xdx ∫ 1 + cos 2 x c) 4 0 x 1π2 π  − ÷− 1 e)  2 4 2  π2 −2 d) 4 f) 4 3 Bài 2 Tính các tích