CƠ HỌC LÝ THUYẾT (Tóm tắt lý thuyết & Bài tập mẫu) Trònh Anh Ngọc 15/10/2009 Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ i Lời khuyên We are what we repeatedly Excellence, then, is not an act, but a habit Aristotle Không hy vọng học bơi mà không bò ướt Cũng hy vọng học bơi mà nhờ đọc sách hay nhìn người khác bơi Bơi lội học mà thực hành Chỉ có cách học tự "ném" xuống nước tập luyện hàng tuần, chí hàng tháng, tập luyện trở thành phản xạ nhẹ nhàng Tương tự vậy, học học cách thụ động Không giải nhiều toán có tính thách thức, người sinh viên cách khác để kiểm tra lực hiểu biết môn học Đây nơi sinh viên gặt hái tự tin, cảm giác thỏa mãn lôi nảy sinh nhờ hiểu biết xác thực nguyên lý ẩn tàng Khả giải toán chứng minh tốt nắm vững môn học Như bơi lội, bạn giải nhiều toán, bạn sắc xảo, nắm bắt nhanh kỹ giải toán Để thu lợi đầy đủ từ thí dụ tập giải tài liệu (cũng sách tập mà bạn có), tránh tham khảo lời giải sớm Nếu bạn giải toán sau nổ lực ban đầu, thử cố gắng lần nữa! Nếu bạn tìm đọc lời giải sau nhiều lần nổ lực, giữ lại trí bạn thời gian dài Còn bạn tìm lời giải riêng cho toán, nên so sánh với lời giải sách Bạn tìm thấy lời giải gọn hơn, cách tiếp cận thông minh Tài liệu ôn tập thay cho sách lý thuyết sách tập học Nó có tác dụng giúp bạn ôn tập có chủ điểm số vấn đề quan trọng chương trình môn học lý thuyết Một điều quan trọng: sách tập nói chung thường chứa đựng nhiều, nhiều thí dụ tập, bạn tuyệt đối nên tránh cố gắng nhớ nhiều kỹ thuật lời giải nó; thay thế, bạn nên tập trung vào hiểu biết khái niệm tảng mà hàm chứa Hãy bắt đầu HỌC TẬP Chúc bạn thành công Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ Mục lục ĐỘNG HỌC Phương pháp mô tả chuyển động 1.1 Hệ tọa độ 1.2 Luật chuyển động - Vận tốc - Gia 1.3 Vài chuyển động quan trọng Chuyển động cố thể 2.1 Trường vận tốc cố thể 2.2 Hợp chuyển động 1 5 ĐỘNG LỰC HỌC Các đònh luật Newton 1.1 Lực 1.2 Hai toán động lực học 1.3 Các đònh lý tổng quát động lực học 8 10 CƠ HỌC GIẢI TÍCH Các khái niệm Phương trình Lagrange 2.1 Phương trình tổng quát động lực học 2.2 Phương trình Lagrange loại hai 2.3 Trường hợp hệ bảo toàn 2.4 Thủ tục thiết lập phương trình Lagrange 15 15 16 16 16 17 18 BÀI TẬP tốc loại hai 19 ii Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ MỤC LỤC iii LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP 33 A Đề thi mẫu 52 B Đề thi môn Cơ học lý thuyết Tài liệu tham khảo 60 67 Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ Chương ĐỘNG HỌC Để hiều biết cách giải toán học sinh viên thiết phải nắm vững lý thuyết học Phần lý thuyết tóm lược điểm chính, sinh viên nên học lại phần lý thuyết tương ứng sách lý thuyết Phương pháp mô tả chuyển động Kiến thức cần biết: (1) đại số vectơ (2) giải tích vectơ (xem Ch 0, [1]) Làm tập từ đến 1.1 Hệ tọa độ Hình 1: Vectơ sở đòa phương Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ CHƯƠNG ĐỘNG HỌC + Hệ tọa độ Descartes: M(x, y, z) ⇔ r = xi + yj + zk ⇒ dr = (dx)i + (dy)j + (dz)k (1.1) (1.2) + Hệ tọa độ trụ: M(r, ϕ, z) ⇔ r = rer + zez ⇒ dr = (dr)er + (rdϕ)eϕ + (dz)ez (1.3) (1.4) er , eϕ , ez vectơ sở đòa phương tọa độ trụ M + Hệ tọa độ cầu: M(r, ϕ, θ) ⇔ r = rer ⇒ dr = (dr)er + (rdϕ)eϕ + (rdθ)eθ (1.5) (1.6) er , eϕ , eθ vectơ sở đòa phương tọa độ cầu M Hệ tọa độ Quan hệ với tọa độ Descartes Trụ x = r cos ϕ (r, ϕ, z) y = r sin ϕ z=z Cầu x = r sin θ cos ϕ (r, ϕ, θ) y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ Vectơ sở đòa phương er = cos ϕi + sin ϕj eϕ = − sin ϕi + cos ϕj ez = k er = sin θ(cos ϕi + sin ϕj) + cos θk eϕ = sin θ(− sin ϕi + cos ϕj) eθ = cos θ(cos ϕi + sin ϕj) − sin θk Hình 2: Vectơ sở đòa phương tọa độ tự nhiên Trên đường cong C, chọn điểm M0 chiều dương C Hoành độ cong điểm M C số đại số s có trò tuyệt đối chiều dài cung M0 M lấy dấu cộng chiều từ M0 đến M chiều dương, dấu trừ ngược lại Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ CHƯƠNG ĐỘNG HỌC Hình thể vectơ sở đòa phương hệ tọa độ tự nhiên (hoành độ cong s) đường cong có phương trình tham số r = r(s) Vectơ tiếp tuyến đơn vò t: t= dr ds (1.7) Vectơ pháp tuyến đơn vò n xác đònh cho dt = kn = n, ds ρ (1.8) k = 1/ρ độ cong, ρ bán kính cong (của đường cong) M Chú ý, vectơ pháp tuyến đơn vò n hướng bề lõm đường cong C Vectơ lưỡng pháp tuyến đơn vò: b = t × n (1.9) M(s) ⇔ r = r(s) (1.10) + Tọa độ tự nhiên: ⇒ dr = (ds) 1.2 dr = (ds)t ds (1.11) Luật chuyển động - Vận tốc - Gia tốc Phương pháp Vectơ Descartes {i, j, k} Trụ {er , eϕ , k} Cực {er , eϕ} Tự nhiên {t, n, b} Luật chuyển động  r = f(t)  x = f(t) y = g(t)   z = h(t)  r = f(t) ϕ = g(t)  z = h(t) r = f(t) ϕ = g(t) s = f(t) Vận tốc r˙ Gia tốc ¨r (x, ˙ y, ˙ z) ˙ (¨ x, y¨, z¨) (r, ˙ rϕ, ˙ z) ˙ (¨ r − rϕ˙ , 2r˙ϕ˙ + rϕ, ¨ z¨) (r, ˙ rϕ) ˙ (¨ r − rϕ˙ , 2r˙ ϕ˙ + rϕ) ¨ (v, 0), v = s˙ v, ˙ v2 ρ Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ CHƯƠNG ĐỘNG HỌC Tốc độ v = |v| Trong tọa độ tự nhiên, tốc độ v = s, ˙ gia tốc tiếp wt = v, ˙ gia tốc pháp wn = v /ρ Công thức tính bán kính cong (ký hiệu w = |w|): ρ= v2 w2 − wt2 (1.12) Tích vô hướng v · w vận tốc gia tốc thể nhanh chậm chuyển động   > nhanh dần v · w = v v˙ < chậm dần  = 1.3 (1.13) Vài chuyển động quan trọng Chuyển động tròn Điểm chuyển động tròn Oxy quanh O Ký hiệu: r - vectơ đònh vò điểm, ϕ - góc quay, ω = ϕ˙ - vận tốc góc, ω = ωk - vectơ vận tốc góc Vận tốc điểm v = ω × r (1.14) w = × r −ω r, (1.15) Gia tốc điểm wt wn = dω/dt ( = dω/dt) vectơ gia tốc góc Nếu chuyển động v = ωR (ω = const) gia tốc hướng tâm w = ω R (R - bán kính quỹ đạo) Chuyển động có gia tốc xuyên tâm gia tốc xuyên tâm ⇔ r × v = c (const)⇒ Quỹ đạo phẳng ⇔ vận tốc diện tích dσ = 12 r × v = 12 c (const) dt Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ CHƯƠNG ĐỘNG HỌC Công thức Binet: mc2 d2 r2 dϕ2 r + = −F r (1.16) ◦ Phân loại toán động học điểm Bài toán thứ nhất: Tìm phương trình chuyển động (luật chuyển động), phương trình quỹ đạo, vận tốc, gia tốc, gia tốc tiếp, gia tốc pháp, bán kính cong quỹ đạo Bài toán thứ hai: Khảo sát chuyển động nhanh dần đều, chậm dần Chuyển động cố thể Cố thể hệ mà khoảng cách điểm không thay đổi trình chuyển động Vò trí cố thể xác đònh ba điểm không thẳng hàng 2.1 Trường vận tốc cố thể Đònh lý Trường vận tốc cố thể (S) trường đẳng chiếu ✲ ✲ v(M)· MN= v(N)· MN ∀M, N ∈ (S) (1.17) Chuyển động tònh tiến Cố thể (S) chuyển động tònh tiến vectơ nối hai điểm luôn phương với Trường vận tốc, gia tốc chuyển động tònh tiến trường Chuyển động (S) dẫn chuyển động điểm thuộc (S) Chuyển động quay quanh trục cố đònh Cố thể (S) chuyển động quay quanh trục cố đònh có hai điểm cố đònh Trục quay đường thẳng qua hai điểm cố đònh Các điểm nằm trục quay chuyển động tròn với tâm nằm trục quay Gọi k vectơ đơn vò trục quay (Oz), ϕ góc quay Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ CHƯƠNG ĐỘNG HỌC Phương trình chuyển động: ϕ = ϕ(t) Trường vận tốc: v(M) = ω × r, (1.18) w(M) = × r + ω × (ω × r), (1.19) ω = ϕk ˙ vectơ vận tốc góc Trường gia tốc: = ϕk ¨ vectơ gia tốc góc Gia tốc tiếp w t = wn = ω × (ω × r) × r, gia tốc pháp Chuyển động tổng quát Chuyển dòch cố thể từ vò trí sang vò trí khác, khoảng thời gian vô béù (chuyển động tức thời), thực nhờ chuyển động tònh tiến, tương ứng với chuyển dòch điểm, chuyển động quay quanh trục qua điểm Trường vận tốc cố thể chuyển động tổng quát (công thức Euler): ✲ v(M) = v(C) + ω(t)× CM (1.20) Chuyển động song phẳng Cố thể (S) chuyển động song phẳng có ba điểm không thẳng hàng luôn chuyển động mặt phẳng (π) cố đònh Khi khảo sát chuyển động song phẳng ta cần xét chuyển động tiết diện (phần giao cố thể với (π)) Chuyển động tức thời cố thể gồm: chuyển động chuyển động quay quanh trục vuông góc với (π), chuyển động tònh tiến xác đònh chuyển động giao điểm trục quay tức thời với mặt phẳng (π) gọi tâm vận tốc tức thời ◦ Phân loại toán động học cố thể Bài toán thứ nhất: Khảo sát chuyển động quay cố thể quanh trục cố đònh Vấn đề: tìm ϕ, ω, cố thể; vận tốc, gia tốc điểm cố thể Bài toán thứ hai: Bài toán chuyền động Bài toán thứ ba: Kết hợp với chuyển động quay với chuyển động tònh tiến 2.2 Hợp chuyển động • Hệ quy chiếu cố đònh (T ) = Oxyz, chuyển động M (T ) gọi chuyển động tuyệt đối va , wa - vận tốc, gia tốc M (T ), Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 53 Hình 2: Câu vuông góc với đóa Nếu không thêm khối lượng m trục phải dời song song đến điểm đóa để mômen quán tính trường hợp trước? Câu (2.5đ) Một đóa tròn khối lượng M bán kính a quay không ma Hình 3: Câu sát quanh trục nằm ngang qua tâm Một bọ khối lượng m chạy với vận tốc không đổi u quanh mép đóa Ban đầu đóa giữ trạng thái nghỉ thả bọ vò trí thấp Tính mômen động lượng hệ (gồm đóa bọ) trục quay Viết phương trình biến thiên động lượng hệ Chứng tỏ ϕ˙ = 4mg u2 (cos ϕ − 1) + a(M + 2m) a ϕ góc xác đònh vò trí bọ so với phương thẳng đứng hướng xuống Câu (2.5đ) Một ống trụ bán kính a, lượng P1 có xung quanh sợi dây Dây vắt qua ròng rọc cố đònh O nối với vật nặng A trọng lượng P2 Vật A trượt mặt phẳng ngang có hệ số ma sát f Bỏ qua ma sát ổ trục O Viết phương trình Lagrange loại hai cho hệ Tìm gia tốc A tâm C ống trụ Chú thích Đề thi gồm câu cấu trúc sau: Câu - Động học điểm; kiểm tra kiến thức kỹ tính toán Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 54 Hình 4: Câu khái niệm động học bản: phương trình (luật) chuyển động, quỹ đạo, vận tốc, gia tốc, gia tốc tiếp, gia tốc pháp, bán kính cong Câu - Động lực học điểm; kiểm tra khả thiết lập phương trình vi phân chuyển động kỹ giải phương trình vi phân Câu - Kiểm tra kiến thức khối tâm, mômen quán tính Câu - Kiểm tra kỹ vận dụng ba đònh luật tổng quát (động lượng, mômen động lượng động năng) Câu - Cơ học giải tích; kiểm tra kỹ phân tích liên kết, thiết lập phương trình Lagrange loại hai Đáp án Câu Vận tốc ong thời điểm t: vr = 2b (τ − t), τ2 vϕ = bt (2τ − t) τ3 Tốc độ ong thời điểm t: v = v b τ2 4(τ − t)2 + (2τ t − t2 )2, τ2 b2 = f(t) τ Ở ta đặt f(t) = 4(τ − t) + τ12 (2τ t − t2)2 Để tìm tốc độ nhỏ Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 55 ong ta khảo sát hàm f(t) f (t) = −8(τ − t) + = − (2τ t − t2 )(2τ − 2t) τ (τ − t)(t2 − 2τ t + 2τ ) τ Xét dấu f (t) khoảng [0, 2τ ] thấy f(t) nhỏ (và vận tốc nhỏ nhất) t = τ Vận tốc nhỏ b/τ Gia tốc ong thời điểm t: wr = − 2b bt − (2τ − t), τ τ wϕ = 4b (τ − t) τ3 Lúc t = τ , wr = − 3b , τ2 wϕ = ⇒ w = 3b τ2 Câu Chọn hệ tọa độ hình vẽ Lực tác dụng: lực hấp dẫn có độ lớn F = GMm/x2 hướng O Phương trình vi phân chuyển động m¨ x=− GMm GM ⇒ x¨ = − x x ˙ Nhân vào hai vế phương trình với vdt = dx, ta Ký hiệu v = x˙ ⇒ x¨ = v GMdx d(v ) = − x2 Tích phân hai vế từ thời điểm đầu đến thời điểm t: v(t)2 − v(0)2 = 2GM 1 − x(t) x(0) Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 56 Dùng điều kiện đầu, v(0)2 = 2MG/a, x(0) = a, ta suy v(t) = 2GM x(t) Nhân vào hai vế với dt, ta dx = √ 2GM dt ⇒ x1/2dx = 2GM dt x Tích phân hai vế, ta x(t)3/2 − x(0)3/2 = 3√ 2GM t ⇒ x(t) = a3/2 + 3√ 2GM t 2/3 Đây khoảng cách từ O đến P thời điểm t Cho t → ∞, x(t) → ∞, nghóa P chuyển động vô Câu Mômen quán tính hệ có tính chất cộng tính Gọi ∆ trục qua tâm (khối tâm đóa), ta có a J = Ma2 + m 2 = a2(2M + m) Gọi ∆ trục cần tìm d khoảng cách hai trục Theo đònh lý Huygens, J∆ = J∆ + Md2 = Ma2 + Md2 Để mômen quán tính trường hợp trước, ta phải có a2 (2M + m) a Ma2 + Md2 = ⇒d= m M Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 57 Vậy trục ∆ phải chọn qua điểm cách tâm đóa khoảng cách d xác đònh Câu Gọi θ góc quay đóa (chiều chọn hình vẽ) Đóa thực chuyển động quay nên mômen động lượng trục quay ˙ Lđ = J θ˙ = Ma2θ Chuyển động bọ gồm: chuyển động tương đối - chuyển động tròn với vận tốc dài không đổi u; chuyển động theo chuyển động quay quanh trục với đóa Vận tốc tuyệt đối bọ: ˙ −u + aθ (chú ý kỹ cách chọn chiều quay dương) Mômen động lượng bọ: ˙ Lb = −ma(u − aθ) Mômen động lượng hệ trục quay: ˙ L = Lđ + Lb = Ma2 θ˙ − ma(u − aθ) Lực tác dụng lên hệ: trọng lực đóa bọ Lực tác dụng lên đóa quy lực đặt điểm mà trục quay qua nên mômen lực không Mômen lực tác dụng lên hệ mômen lực tác dụng lên bọ: MO = mga sin ϕ (chú ý kỹ cách chọn chiều quay dương) Ở ϕ góc xác đònh vò trí bọ phương thẳng đứng hướng xuống Áp dụng đònh lý biến thiên mômen động lượng hệ, d ˙ Ma2 θ˙ − ma(u − aθ) dt = mga sin ϕ (M + 2m)a2θ¨ = mga sin ϕ Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 58 Để ý góc chuyển động bọ thời điểm t so với vò trí ban đầu θ + ϕ Con bọ chuyển động nên a(θ + ϕ) = ut, suy θ˙ = (u/a) − ϕ, ˙ ¨ ϕ¨ = −θ Thay vào phương trình biến thiên mômen động lượng ta sau số biến đổi: ϕ¨ = − 2mg sin ϕ a(M + 2m) Nhân hai vế với ϕdt ˙ = dϕ, ta được: 2mg d(ϕ) ˙ 2=− sin ϕdϕ a(M + 2m) Tích phân hai vế từ thời điểm đầu đến thời điểm t: 2mg [ϕ(t) ˙ − ϕ(0) ˙ 2] = [cos(ϕ(t)) − cos(ϕ(0))] a(M + 2m) Dùng điều kiện đầu, ϕ(0) = 0, ϕ(0) ˙ = u/a, ta suy ra: ϕ˙ = 4mg u2 (cos ϕ − 1) + a(M + 2m) a Câu Hệ: ống trụ tâm C vật A Vật A thực chuyển động tònh tiến theo phương ngang Hình trụ thực chuyển động song phẳng, bao gồm: tònh tiến theo phương thẳng đứng (cùng với A) quay (tức thời) quanh B Hệ có bậc tự Tọa độ suy rộng: x - vò trí A theo phương ngang, ϕ góc quay ống trụ Các lực chủ động: trọng lực P1 , lực ma sát F ms = fP2 , trọng lực P2 Động A: TA = P2 x˙ 2g Để tính động ống trụ, dùng công thức tính động theo khối tâm C, trước hết ta tính vận tốc C công thức Euler (điểm cực B - tâm Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 59 quay tức thời) vC = x˙ +aϕ˙ ⇒ wC = x¨ + aϕ ¨ vB Động ống trụ (J = Ma2 ) TC = P1 P1 P1 ˙ + J ϕ˙ = (x˙ + aϕ) (x˙ + 2ax˙ ϕ˙ + a2 ϕ˙ 2) + a2 ϕ˙ 2g 2g 2g Động hệ: T = TA + TC = P1 + P2 P1 a P1 a2 x˙ + x˙ ϕ˙ + ϕ˙ 2g g g Công lực chủ động (giúp tìm lực suy rộng): −f P2 δx + P1 δx + P1 aδϕ ⇒ Qx = −fP2 + P1 , Qϕ = P1 a Tính đạo hàm thay vào phương trình Lagrange, ta được: P1 + P2 P1 a x¨ + ϕ¨ = −fP2 + P1 , g g P1 a 2P1 a2 x¨ + ϕ¨ = P1 a g g Giải ta x¨ = g(P1 − 2f P2 ) P1 + 2P2 ϕ¨ = gP2 (1 + 2f) g(P1 + P2 ) ⇒ wC = a(P1 + 2P2 ) P1 + 2P2 (gia tốc A), (gia tốc C) Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ Phụ lục B Đề thi môn Cơ học lý thuyết Thời gian: 120 phút Ngày thi: 4/6/2009 (Sinh viên phép tham khảo tài liệu đònh) Câu (2đ) Điểm chuyển động đường cycloid, x = a(θ − sin θ), y = a(1 − cos θ), theo luật θ = bt/a, a b số dương Ở thời điểm bất kỳ, xác đònh vận tốc, gia tốc điểm bán cong quỹ đạo vò trí điểm Câu (2.5đ) Một vật khối lượng m trượt không ma sát mặt phẳng nghiêng góc α (0 < α < π/2) so với phương ngang Cho biết vật chòu sức cản không khí có độ lớn tỉ lệ với bình phương vận tốc, kv Ban đầu vật đỉnh dốc O buông không vận tốc đầu Viết phương trình vi phân chuyển động vật Chứng minh vận tốc vật biến thiên theo quy luật v= mg sin α (1 − e−2kx/m ), k x khoảng cách từ vật đến đỉnh dốc Tìm vận tốc giới hạn vật Câu (1đ) Một lắc đồng hồ gồm: đồng chất chiều dài 2a, khối lượng m đóa tròn đồng chất bán kính a/2, khối lượng M gắn với hình Tính mômen quán tính lắc trục qua O (điểm thanh), cho biết OC = 3a/4 60 Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ PHỤ LỤC B ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 61 Hình 1: a) Câu 3; b) Câu Câu (2đ) Một vật khối lượng 4m trạng thái nghỉ (đứng yên) bò nổ tung thành ba mảnh có khối lượng 2m, m m Sau nổ tung, hai mảnh khối lượng m quan sát thấy chuyển động với tốc độ u theo hai hướng hợp với góc 120o Tìm vận tốc mảnh có khối lượng 2m Tính động toàn phần hệ (gồm ba mảnh) Vò trí ban đầu vật điểm hệ? Câu (2.5đ) Con lăn A lăn không trượt mặt phẳng nghiêng góc α so với phương ngang, làm vật C trọng lượng P nâng lên nhờ sợi dây vắt qua ròng rọc B Con lăn A ròng rọc B hai đóa tròn đồng chất có trọng lượng Q bán kính R Bỏ qua ma sát lăn ma sát trục ròng rọc Viết phương trình Lagrange loại hai cho hệ Chứng minh gia tốc C wC = (Q sin α − P )g 2Q + P Hãy điều kiện kiện đầu (không cho cách tường minh) Đáp án Câu Vận tốc: x˙ = b(1 − cos θ), y˙ = b sin θ ⇒ v = b 2(1 − cos θ) Gia tốc: x¨ = b2 sin θ, a y¨ = b2 b2 cos θ ⇒ w = a a Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ PHỤ LỤC B ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 62 Tính bán kính cong Gia tốc tiếp: wt = v˙ = b2 a sin θ 2(1 − cos θ) Gia tốc pháp: wn = w2 − wt2 = b2 a − cos θ Suy v2 ρ= = 2a wn 2(1 − cos θ) Câu Hình 1: Câu Hệ quy chiếu chọn hình vẽ, trục Ox hướng song song với mặt nghiêng Lực tác dụng lên vật: trọng lực P, phản lực N lực cản không khí Fc Chiếu phương trình vi phân chuyển động (đònh luật thứ hai Newton) lên trục x, ta được: m¨ x = mg sin α − k x˙ Nhân vào hai vế với xdt ˙ = dx, ta được: m d(v 2) = (mg sin α − kv 2)dx, v = x ˙ Tách biến, md(v 2) = dx, 2(mg sin α − kv 2) Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ PHỤ LỤC B ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 63 tích phân hai vế (chú ý, biến lấy tích phân bên vế trái v 2), ta được: m − ln |mg sin α − kv 2| 2k v2 v2 (0) = x − x(0) Dùng điều kiện đầu, v(0) = 0, x(0) = 0, mg sin α − kv mg sin α ln =− 2kx , m suy v= mg sin α (1 − e−2kx/m ) k Qua giới hạn, t → ∞, ta thu (do x → ∞): vgh = lim x→∞ mg sin α (1 − e−2kx/m ) = k mg sin α k Câu Mômen quán tính trục qua O: 4ma2 Jt = m(2a)2 = 3 Mômen quán tính đóa trục qua O (dùng công thức Huygens): a Jđ = M 2 +M 3a = 11Ma2 16 Vậy, mômen quán tính lắc trục qua O: J = Jt + Jđ = 4m 11M + 16 a2 Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ PHỤ LỤC B ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 64 Hình 2: Câu Câu Hệ gồm ba vật có khối lượng m, m, 2m (ban đầu chúng kết dính với nhau) Theo giả thiết ban đầu chúng đứng yên, điều có nghóa lực tác dụng lên chúng không! Ta áp dụng đònh lý bảo toàn động lượng Gọi v độ lớn vận tốc vật 2m Do động lượng ban đầu hệ không nên động lượng hệ lúc sau Do vận tốc vật 2m có phương chiều hình vẽ, độ lớn tính nhờ bảo toàn động lượng mu cos 60o + mu cos 60o − 2mv = ⇒ v = u Động hệ: T = mu2 mu2 2m u + + 2 2 = 5mu2 Vò trí ban đầu vật (O) khối tâm hệ Câu Cơ hệ gồm: lăn A, ròng rọc B, vật C Lực chủ động tác dụng lên hệ: trọng lực Q, phản lực NA , trọng lực Q, phản lực NB , trọng lực P (xem hình vẽ) Liên kết: Con lăn A chuyển động song phẳng Chuyển dòch tònh tiến s quay quanh tâm góc ϕ Do lăn trượt nên δs = Rδϕ (s˙ = Rϕ) ˙ Ròng rọc B thực chuyển động quay góc ϕ (chọn gốc thích hợp) Vật C dòch chuyển tònh tiến x Do dây không giãn δx = δs (x˙ = s) ˙ Như vậy, hệ có bậc tự do, chọn tọa độ suy rộng x (tọa độ vật C) Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ PHỤ LỤC B ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 65 Hình 3: Câu Động lăn A: TA = Q QR2 3Q s˙ + ϕ˙ = x˙ 2g 4g 4g Động ròng rọc B: TB = QR2 Q ϕ˙ = x˙ 4g 4g Động vật C: TC = P x˙ 2g Động hệ: T = TA + TB + TC = P + 2Q x˙ 2g Công toàn phần lực chủ động tác dụng lên hệ: δW = Q sin αδs − P δx = (Q sin α − P )δx Do đó, lực suy rộng Qx = Q sin α − P Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ PHỤ LỤC B ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 66 Tính đạo hàm thay vào phương trình Lagrange, ta được: P + 2Q (Q sin α − P )g x¨ = Q sin α − P ⇒ wC = x¨ = g P + 2Q Điều kiện: để vật C lên ta phải có điều kiện Q sin α ≥ P Lời bàn Câu Câu thường làm cho bạn lúng túng lực tác dụng lên hệ Tuy nhiên, để ý đến cụm từ "ở trạng thái nghỉ (đứng yên)" ta xem, theo đònh luật thứ Newton, hệ không chòu tác dụng lực cả, hay nói khác đi, lực tác dụng lên hệ cân Câu Một số bạn cho hệ có bậc tự do! Thật với điều kiện "lăn Hình 4: Tính động chuyển động song phẳng không trượt" lăn có bậc tự Một số bạn áp dụng máy móc cách tính động lăn giống cách tính động ống trụ (câu đề thi mẫu) Như hình 4a), ống trụ thực chuyển động song phẳng phân tích cách chọn B làm điểm cực, gồm: chuyển động tònh tiến điểm B chuyển động quay quanh trục qua B ống trụ Còn này, hình 4b), chuyển động lăn gồm: chuyển động tònh tiến điểm A chuyển động quay quanh A lăn Các bạn nên đọc lại lời giải hai trường hợp để so sánh Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ Tài liệu tham khảo [1] Đặng Đình Áng, Trònh Anh Ngọc, Ngô Thành Phong, Nhập môn Cơ học, NXB Đại học Quốc gia TP HCM 2003 [2] Nguyễn Trọng Chuyền, Phan Văn Cúc, Bài tập học lý thuyết, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà nội, 1991 [3] R Douglas Gregory, Classical Mechanics - An Undergraduate Text, Cambridge University Press, 2006 [4] R Douglas Gregory, Classical Mechanics - Solution Manual, Cambridge University Press, 2006 [5] X.M Targ, Giáo trình giản yếu học lý thuyết, NXB Đại học & Trung học Chuyên nghiệp Hà nội, Mir Matxcơva 1979 67 Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ [...]... góc ω1 = 10πs−1 , tay quay O2 B = 30 cm quay quanh O2 và thanh AB chuyển động song phẳng Cho O1 O2 = 50 cm Xác đònh vận tốc góc thanh AB, vận tốc điểm B và vận tốc góc tay quay O 2 B khi α = β = 60o Tài liệu này được lưu trữ tại http://tailieuxd.com/ Bài tập 24 Hình 7: Bài tập 23 Hình 8: Bài tập 24 Động lực học Bài tập về bài toán thuận 25 (Bài tập 1.5, [1]) Một cầu vòm có bán kính cong tại đỉnh A bằng... đều trên vành Xác đònh gia tốc vật A Hình 15: Bài tập 40 41 Cho tay quay OA chiều dài r trong cơ cấu thanh truyền quay với vận tốc góc ω0 Thanh truyền OB cũng có chiều dài r Tay quay và thanh truyền là đồng chất và có khối lượng riêng là ρ (trên đơn vò dài) Tính động năng của cơ hệ Hình 16: Bài tập 41 Tài liệu này được lưu trữ tại http://tailieuxd.com/ Bài tập 29 42 Một dây không giãn, không trọng lượng... tại http://tailieuxd.com/ Bài tập 27 Hình 11: Bài tập 36 Hình 12: Bài tập 37 38 Một tấm tròn đồng chất nặng Q bán kính r có thể quay không ma sát quanh trục thẳng đứng Oz trực giao với mặt phẳng đóa Một người trọng lượng P đi theo mép tấm tròn với vận tốc tương đối u không đổi Ban đầu hệ đứng yên, hỏi tấm tròn quay quanh trục với vận tốc góc ω bằng bao nhiêu? Hình 13: Bài tập 38 39 Trục hình trụ trọng... loại bài toán áp dụng các đònh lý tổng quát Bài toán thứ nhất: Dùng đònh lý bảo toàn động lượng và đònh lý bảo toàn mômen động lượng để tìm chuyển dòch của một vài bộ phân trong toàn hệ Bài toán thứ hai: Dùng đònh lý động lượng để xác đònh phản lực tại các liên kết Bài toán thứ ba: Dùng đònh lý mômen động lượng và đònh lý động năng để xác đònh các đặc trưng động học của chuyển động Tài liệu này được lưu... h Xác đònh gia tốc tâm C và sức căng dây Hình 17: Bài tập 42 43 Một hình trụ trọng lượng P1 có cuộn xung quanh bằng một sợi dây Dây vắt qua ròng rọc cố đònh O rồi nối với vật A nặng P 2 Vật A trượt trên mặt phẳng nằm ngang có hệ số ma sát f Bỏ qua ma sát ở ổ trục O, tìm gia tốc của vật A và của tâm C hình trụ Hình 18: Bài tập 43 Cơ học giải tích Bài tập về phương trình Lagrange 44 Một hạt khối lượng... cân bằng là l Bỏ qua khối lượng của dây Hình 26: Bài tập 51 52 Các đầu mút của thanh đồng chất AB, có khối lượng m, dài 2a trượt không ma sát theo các thanh nằm ngang và thẳng đứng của một khung quay quanh thanh thẳng đứng (xem hình 27) Viết phương trình Lagrange loại hai cho chuyển động của thanh khi khung quay với vận tốc góc không đổi ω Hình 27: Bài tập 52 Tài liệu này được lưu trữ tại http://tailieuxd.com/... thích Bài toán chuyền động gồm các bánh xe quay quanh các trục và có liên hệ với nhau (ăn khớp bằng răng, tiếp xúc không trượt, nối với nhau bằng các đai chuyền) Tỉ số chuyền động giữa chúng K12 = ω1 R2 z2 = = , ω2 R1 z1 (3.9) Tài liệu này được lưu trữ tại http://tailieuxd.com/ Bài tập 23 trong đó ωi , Ri và zi lần lượt là vận tốc góc, bán kính và số răng của bánh xe thứ i Hình 5: Bài tập 20 Bài tập. .. Lấy tọa độ cực r, θ làm tọa độ suy rộng, viết phương trình Lagrange loại hai cho chuyển động của hạt Tìm một tích phân đầu và giải thích ý nghóa cơ học của nó Tài liệu này được lưu trữ tại http://tailieuxd.com/ Bài tập 30 Hình 19: Bài tập 44 Hình 20: Bài tập 45 45 Một hạt P khối lượng m trượt trên mặt trong trơn của hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh bằng 2α Trục đối xứng của hình nón thẳng đứng qua... 1.2 Hai bài toán cơ bản của động lực học Các bước cần thực hiện khi phân tích một bài toán cơ học: + Chọn hệ quy chiếu và hệ tọa độ gắn với hệ quy chiếu ấy + Chọn đối tượng khảo sát (một hay nhiều vật) + Phân tích các lực tác dụng lên đối tượng khảo sát (vẽ sơ đồ lực) + Áp dụng các đònh luật Newton thiết lập phương trình hay hệ phương trình xác đònh các đại lượng cần tìm Các bài toán động lực học thuộc... căng trong dây nối bất thình lình tăng tới 4T0 , thì gia tốc tức thời của hai khối và sức căng tức thời trong dây nối bằng bao nhiêu? Bài tập về phương trình vi phân chuyển động (bài toán ngược) Tài liệu này được lưu trữ tại http://tailieuxd.com/ Bài tập 25 Hình 9: Bài tập 27 28 (Mục 1.3.2 Chuyển động thẳng, [1]) Xác đònh chuyển động thẳng của chất điểm dưới tác dụng của lực: a) Phụ thuộc thời gian F