Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Trần Hồng Hợi - THCS Lê Đình Chinh DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC Phần 1: Kiến thức cần nhớ Điều kiện để thức có nghĩa A Có nghĩa A ≥ Các công thức biến đổi thức a b A = B d A2 B = A B A B A B = A2 B A = B B C C ( A m B) = A − B2 A±B m C C( A m B ) = A − B2 A± B )= 2− a ⎡2 − a ≥ ⎡ a ≤1 ⎡a ≤ M ≥1⇔ 2− a ≥1⇔ ⎢ ⇔⎢ ⇔⎢ ⎣a ≥ ⎣ a − ≥1 ⎣ a ≥3 ⎡0 ≤ a ≤ Vậy M ≥ ⇔ ⎢ ⎣ a≥9 ( AB ≥ 0; B ≠ 0) k ( ( a + 3) − a b) Để ( A < 0; B ≥ 0) A A B = B B a +3 = a +3 Vậy với a ≥ M = - a ( B ≥ 0) i 3+ a −a− a +6 M= ( A ≥ 0; B ≥ 0) AB − a −a+6 a) Rút gọn M b) Tìm a để M ≥ c) Tìm giá trị lớn M Giải a) ĐK: a ≥ ( A ≥ 0; B > 0) A B = − A2 B f Ví dụ 1: Cho M = ⎧ A, A ≥ A2 = A = ⎨ ⎩− A, A < AB = A B ( A ≥ 0; B ≥ 0) c e Phần 2: Một số ví dụ tập: c) M = - a ≤ Vậy Max M = ⇔ a = Ví dụ 2: Cho biểu thức ( B > 0) ⎛ a − 25a ⎞ ⎛ 25 − a a −5 a + 2⎞ ⎟ − 1⎟⎟ : ⎜⎜ − − M = ⎜⎜ a + ⎟⎠ ⎝ a − 25 ⎠ ⎝ a + a − 10 − a a) Rút gọn M b) Tìm giá trị a để M < c) Tìm giá trị lớn M Giải a) ĐK: a ≥ 0; a ≠ 4; a ≠ 25 ( A ≥ 0; A ≠ B ) ( A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B ) DETOAN.NET ⎡ M= ⎢ ⎣ ( a ( a −5 )( ) ⎤ ⎡ − 1⎥ : ⎢ a +5 ⎦ ⎣ a −5 ) ( 25 − a a +5 )( a −2 ) + a −5 a −2 − a + 2⎤ ⎥ a + 5⎦ http://violet.vn/honghoi Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 M= M= −5 a +5 ⎡ 25 − a + a − 25 − a + ⎤ ⎥ a +5 a −2 ⎣ ⎦ a +5 a −2 ⎞ ⎟= ⎟ 4−a a +2 ⎠ :⎢ ⎛ ⎜⎜ a +5 ⎝ −5 ( Trần Hồng Hợi - THCS Lê Đình Chinh ( )( )( ) ) Vậy với a ≥ 0; a ≠ 4; a ≠ 25 M = b)Để M < ⇔ a +2 5 5− a −2 3⇔ a >9 Vậy với a > 9; a ≠ 25 Thì M < c)Để M đạt giá trị lớn ⇔ a +2 lớn ⇔ a + nhỏ ⇔ a =0 Vậy với a = M đạt giá trị lớn Bài 3: Rút gọn biểu thức P= x +1 x −1 − − ( x ≥ 0; x ≠ 0) x −2 x +2 x −1 Bài 4: Cho biểu thức 15 x − 11 x − 2 x + P= + − x +3 x + x − 1- x a) Rút gọn P b)Tìm giá trị x cho P = 2 c) Chứng minh P ≤ Bài 5: Cho biểu thức 3a + 9a − a +1 a −2 − + P= a+ a −2 a + 1− a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nguyên Bài 6: Cho biểu thức M= x +1− x x + x + x −1 x +1 a) Tìm x để biểu thức M có nghĩa Rút gọn M c) Với giá trị x M < Bài 7: Cho biểu thức ⎛ a ⎞⎟ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − : + P = ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎟ a − a − a − a a + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a) Rút gọn P b) Tính giá trị P a = + 2 c) T ìm giá trị a cho P < Bài 8: Cho biểu thức ⎛ x 8x ⎞⎟ ⎛⎜ x − ⎞⎟ + : − P = ⎜⎜ ⎟ ⎜ x ⎟⎠ ⎝2+ x 4−x⎠ ⎝ x −2 x a) Rút gọn P b) Tính x để P = -1 c)T ìm m để với giá trị x >9 ta có m( x - 3)P > x + DETOAN.NET http://violet.vn/honghoi Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Trần Hồng Hợi - THCS Lê Đình Chinh Bài 9: Cho biểu thức ⎛ y + xy ⎞⎟ ⎛⎜ x y x + y ⎞⎟ P= ⎜ x+ + − : ⎜ xy + x xy ⎟⎠ x + y ⎟⎠ ⎜⎝ xy + y ⎝ a) Tìm x, y để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Tìm giá trị P với x = 3, y = - Bài 10: Cho biểu thức : Bài 13: Chứng minh giá trị biểu thức 2x x +1 x + 10 P= + + x+3 x +2 x+4 x +3 x+5 x +6 Không phụ thuộc vào biến số x Bài 14: Cho biểu thức ⎛ x x +1 x −1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎟:⎜ x + ⎟ với x>0 vàx≠1 A = ⎜⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ − x x − x − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a) Rút gọn A b) Tìm giá trị x để A = a) Rút gọn A b) Tìm x có giá trị nguyên để A nhận giá trị nguyên Bài 11: Cho biểu thức P= x+2 x +1 x +1 + x −1 x x −1 x + x + 1 với x ≥ v ⎡ a+ b a − b ⎤ ⎡ a + b + 2ab ⎤ + ⎥ : ⎢1 + − ab ⎥⎦ − ab + ab ⎣ ⎦ ⎣ M= ⎢ a) Rút gọn M b) Tính giá trị M với a = a) Rút gọn P b) Chứng minh: P < Bài 15: Cho biểu thức x ≠ Bài 12: Cho biểu thức ⎛ x −2 x + ⎞⎟ ⎛ − x ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ P= ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ x − x + x + ⎝ ⎠ a) Rút gọn P b) Chứng minh < x < P > DETOAN.NET c) Tìm GTLN P 2− c) Tìm giá trị lớn M Bài 16: Cho biểu thức P= x − x+ x 2x + x 2(x − 1) − + x +1 x x −1 a) Rút gọn P b) Tìm GTNN P c) Tìm x để biểu thức Q = nguyên x nhận giá trị số P http://violet.vn/honghoi Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Trần Hồng Hợi - THCS Lê Đình Chinh Bài 17: Cho biểu thức ⎛ 2x x + x − x x + x ⎞ x −1 x ⎟⋅ − + P = ⎜⎜ ⎟ x − ⎠ 2x + x − x − x x −1 ⎝ a) Tìm x để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Với giá trị x biểu thức P đạt GTNN tìm GTNN Bài 18: Rút gọn biểu thức 3+ 3− P= − 10 + + 10 + − Bài 19: Rút gọn biểu thức a) A = 4+ − 4− b) B = + 10 + + − 10 + c) C = + 15 + − 15 − − Bài 20: Tính giá trị biểu thức x + 24 + x − + x + − x − 1 Với ≤ x ≤ Bài21:Chobiểuthức P= P= ⎛ x −1 ⎜ ⎜ x+3 x −4 − ⎝ x +1⎞ x + x +1 ⎟: +1 x −1 x − ⎟⎠ a) Rút gọn P b) Tìm giá trị lớn P DETOAN.NET Bài 22: Cho biểu thức A=( x −1 + x +1 )2 x2 −1 − 1− x2 a) Tìm điều kiện x để A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Giải phương trình theo x A = -2 Bài 23: Cho biểu thức A=( x+x x x −1 − ⎛ x +2 ⎞ ⎟ ) : ⎜⎜ x − ⎝ x + x + ⎟⎠ a) Rút gọn A b) Tính giá trị A x = + Bài 24: Cho biểu thức A= x +1 : x x +x+ x x − x a) Rút gọn biểu thức A b) Coi A hàm số biến x, vẽ đồ thị hàm số A Bài 25: Cho biểu thức ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ A= ⎜ + − ⎟:⎜ ⎟+ ⎝ 1- x + x ⎠ ⎝ − x + x ⎠ − x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x = + c) Với giá trị x A đạt giá trị nhỏ http://violet.vn/honghoi Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Trần Hồng Hợi - THCS Lê Đình Chinh Bài 26: Cho biểu thức ⎛ a a −1 a a +1 ⎞ a + − ⎟: a + a ⎟⎠ a − ⎝ a− a M = ⎜⎜ a) Với giá trị a M xác định b) Rút gọn M c) Với giá trị nguyên a M có giá trị nguyên Bài 27: Cho biểu thức P= Cho biểu thức − + P= x +1 x x +1 x − x +1 a) Rút gọn P b) Chứng minh: ≤ P ≤ Bài 32: Cho biểu thức a −9 a + a +1 − − P= a −5 a +6 a − 3− a a) Rút gọn P b) a = ? P < c) Với giá trị nguyên a P nguyên Bài 31: 1+ 1− a 1− 1+ a + + 1− a + 1− a 1+ a − 1+ a 1+ a a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh biểu thức P dương với a Bài 28:Cho biểu thức ⎛ a +1 ⎞⎛ a −1 ⎞ A = ⎜⎜ − + a ⎟⎟⎜ a − ⎟ a −1 a +1 a⎠ ⎝ Phần 3: Hướng dẫn – Lời giải – Đáp số a) Rút gọn A Bài 3: Rút gọn biểu thức P= x+ x −1 ⎝ ⎠ b) Tính A với a=(4 + 15 )( 10 - ) − 15 Bài 29: Cho biểu thức P= a +3 a −1 a − − + 4−a a −2 a +2 (a > ; a x −2 ( P= ≠ 4) a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P A = Bài 30: Cho biểu thức P= a) Rút gọn P b) So sánh P với DETOAN.NET x +2 ) ( x +1 − − ( x ≥ 0; x ≠ 0) x −1 ) ( ) x −1 − x +1 2( x − 1) ( ) x + x +1− x + x −1− x − 2 x −1 = 2( x − 1) 2( x − 1) P= ( với x ≥ 0; x ≠ ) x −1 P= 1+ 1− x 1− 1+ x + + 1− x + 1− x 1+ x + 1+ x 1+ x − http://violet.vn/honghoi Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Trần Hồng Hợi - THCS Lê Đình Chinh Bài 4: Cho biểu thức 15 x − 11 x − 2 x + P= + − x +3 x + x − 1- x Vì x ≥⇒ x + ≥ ⇒ −5 + a) Đk : x ≥ 0; x ≠ Bài 5: Cho biểu thức 3a + 9a − a +1 a −2 − + P= a+ a −2 a + 1− a -Ga) Đk : a ≥ 0; a ≠ ( )( ) ( )( ) Vậy P ≤ )( ) P= 15 x − 11 − x − x + − x + x −1 x + P= 15 x − 11 − x − x + x + − x + x − x + x −1 x + ( x −1 ( )( ) − x + x − ( x − 1)(2 − x ) 2−5 x = P= = ( x − 1)( x + 3) ( x − 1)( x + 3) x +3 Vậy P = 2−5 x x +3 Với x ≥ 0; x ≠ b) 2−5 x ⇔ = ⇔ − 10 x = x +3 ⇔ 11 x = ⇔ x = 121 c) Chứng minh P ≤ 2 2−5 x Để P ≤ ⇔ ≤ 3 x +3 2−5 x − x − 15 + 17 = = −5 + x +3 x +3 (đpcm) 3a + a − − ( ( ( ( ) ( a−3 a +2 = a −1 a + )( )( 17 x +3 P= x +3 a −2 =1a +2 ) ( ) a +1 a −1 − a + a −1 )( )( )( a −1 a −1 Vậy với a ≥ 0; a ≠ P = Với x ≥ 0; x ≠ Để P = P= P= b)Tìm giá trị x cho P = Ta có : 17 17 ≤ −5 + = 3 x +3 a −2 ) ) a −2 = a +2 )( a −2 a +2 a −2 a +2 a +2 ∈ Z ⇒ 4M a + a +2 a +2 = ⇒ a = a + = -4 (loại) a +2 = ⇒ a =0 a + = -2 (loại) a + = -1 (loại) a + = ⇒ a = −1 (loại) Để P ∈ Z ⇒ ⇒ DETOAN.NET ) a +1 http://violet.vn/honghoi Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Trần Hồng Hợi - THCS Lê Đình Chinh Vậy Với a = a = P ∈ Z Bài 6: Cho biểu thức M= x +1− x x + x + x −1 x +1 a) Tìm x để biểu thức M có nghĩa; b) Rút gọn M -Ga) Với x ≥ 0; x ≠ M có nghĩa ( a −1 ⎝ a a −1 ( ) a +1 a −1 = : a a −1 a a −1 + 2 − 2(1 + ) = = =2 a +1 +1 Vậy với a = + 2 P = a −1 c) Để P < ⇔ p ⇒ a −1 < ⇒ a < a P= c) Với giá trị x M < ) x x +1 ( x − 1) + = x −1 x −1 x +1 Vậy với x ≥ 0; x ≠ M = x − b) M = ⎞ ⎛ a −1+ ⎞ ⎟ ⎟:⎜ ⎟ ⎜ a −1 ⎟ = ⎠ ⎝ ⎠ a −1 Vậy với a > 0; a ≠ P = a b)Khi a = + 2 ⇒ a = + ⎛ P = ⎜⎜ c)Với x ≥ 0; x ≠ để M < ⇔ x − < ⇔ x 0; a ≠ Vậy với < a < P< CHUYÊN ĐỀ II: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ I Hàm số bậc : Dạng tổng quát: y = ax + b (a ≠ ) Tính chất : + Đồng biến a > + Nghịch biến a < Đồ thị : Là đường thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b, cắt trục hoành điểm có hoàng độ -b⁄a Sự tương giao hai đồ thị hàm số bậc nhất: Cho hai hàm số : y = ax + b (d) y = a’x + b’ (d’) + Nếu a ≠ a’ Ö (d) cắt (d’) + Nếu a = a’; b ≠ b’ Ö (d) // (d’) + Nếu a = a’; b = b’ Ö(d) ≡ (d’) + Nếu a.a’ = -1 Ö (d) ⊥ (d’) http://violet.vn/honghoi Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 II Hàm số y = ax (a≠0) Tính chất : + Với a > : - Hàm số đồng biến x > - Hàm số nghịch biến x < + Với a < : - Hàm số đồng biến x < - Hàm số nghịch biến x > Đồ thị : Là đường cong (Parabol) nhận trục tung trục đối xứng, tiếp xúc với trục hoành gốc toạ độ + Nằm phía trục hoành a > + Nằm phía trục hoành a < Trần Hồng Hợi - THCS Lê Đình Chinh Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng qua M (2;-3) song song với đường thẳng y = 4x -GiảiGiả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng y = ax + b , song song với đường thẳng y = 4x Ö a = Đi qua M( 2;-3) nên ta có : -3 = 4.2 + b Ö b = -11 Vậy phương trình đường thẳng cần lập y = 4x – 11 2.Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm A(x1;y1)và B (x2 ; y2 ): ¾ Cách giải: + Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b + Thay toạ độ điểm A B vào phương trình đường Sự tương giao đồ thị hàm số bậc y = ax + b (d) với đồ thị hàm số y = a’x2 (P): ⎧ y1 = ax1 + b thẳng : ⎨ +Nếu (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Ù a’x = ax+b ⎩ y2 = ax2 + b có hai nghiệm phân biệt + Giải hệ phương trình tìm a b + Nếu (d) Tiếp xúc (P) Ù a’x2 = ax + b có nghiệm kép Ö Phương trình đường thẳng cần lập + Nếu (d) (P) điểm chung Ù a’x2 = ax+b Ví dụ : Lập phương trình đường thảng qua A (2; 1) vô nghiệm B(-3; - 4) III Các toán lập phương trình đường thẳng: - Giải1.Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng có hệ số Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: góc k cho trước qua điểm M (x0; y0): y = ax + b ¾ Cách giải: Đi qua A (2; 1) nên : = a.2 + b (1) - Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b Đi qua B (-3; -4) nên : -4 = a.(-3) + b (2) - Thay a = k toạ độ điểm M (x0; y0) vào phương Ö – 2a = 3a – trình đường thẳng để tìm b Ö 5a = Ö a = DETOAN.NET Ö Phương trình đường thẳng cần lập Thay a = vào (1) Ö b = -1 Vậy phương trình đường thẳng cần lập y = x -1 http://violet.vn/honghoi Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 3.Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k tiếp xúc với đường cong y = a’x2 (P) ¾ Cách giải : + Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d) + Theo a = k + Vì (d) tiếp xúc với (P) nên phương trình: a’x2 = kx + b có nghiệm kép Ù Δ = (*) Giải (*) tìm b Thay vào (d) ta phương trình đường thẳng cần lập Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x + tiếp xúc với parabol y = -x2 - Giải – Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y = ax + b song song với đường thẳng y = 2x + Ö a = Tiếp xúc với parabol y = -x2 nên phương trình : -x2 = 2x + b có nghiệm kép Ù x2 + 2x +b = có nghiệm kép Ù Δ’ = – b ; Δ = Ù – b = Ö b = Vậy phương trình đường thẳng cần lập y = 2x + 4.Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng qua điểm M(x0; y0) tiếp xúc với đường cong y = a’x2 (P) ¾ Cách giải: + Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d) + Đi qua M (x0; y0) nên Ö y0 = a.x0 + b (1) + Tiếp xúc với y = a’x nên phương trình : a’x2 = ax + b có nghiệm kép Ù Δ = (2) Giải hệ hai phương trình (1) (2) tìm a, b DETOAN.NET Ö phương trình đường thẳng cần lập Trần Hồng Hợi - THCS Lê Đình Chinh Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng qua M(-1; 2) tiếp xúc với parabol y = 2x2 -Giải Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y = ax + b Đi qua M (-1; 2) nên ta có: = -a + b (1) Tiếp xúc với đường cong y = 2x2 nên phương trình : 2x2 = ax + b có nghiệm kép Ù 2x2 – ax – b = có nghiệm kép Ö Δ = a2 + 8b Δ = Ù a2 + 8b = (2) Từ (1) (2) ta có hệ: -a + b = (1) a2 + 8b = (2) Từ (1) Ö b = + a (*) thay vào (2) ta : a2 + 8a + 16 = Ù (a + 4)2 = Ö a = -4 Thay a = -4 vào (*) ta b = -2 Vậy phương trình đường thẳng cần lập y = -4x – IV Các tập hàm số : Bài tập : Cho hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2 a) CMR hàm số nghịch biến (-∞; 0), đồng biến (0; +∞) với m b) Xác định giá trị m để đồ thị hàm số qua (1; 5) Bài tập 2: Cho hàm số y = ax2 (P) a) Xác định a để đồ thị hàm số qua (-4; 8) Vẽ đồ thị trường hợp b) Xác định a để đường thẳng y = 2x – cắt (P) hai điểm phân biệt Bài 3: Cho hàm số y = 2x2 (P) a) Vẽ đồ thị hàm số b) Tìm đồ thị điểm cách hai trục toạ độ http://violet.vn/honghoi Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 c) Tuỳ theo m, xác định số giao điểm (P) với đường thẳn (d) có phương trình: y = mx – d) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc (P) qua A(0; -2) Bài 4: Cho parabol y = x2 (P) a) Viết phương trình đường thẳng qua A(-1; 3) B(2; 6) b) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng AB với (P) Bài 5: Cho đường thẳng có phương trình : 2(m - 1)x + (m - 2)y = (d) a) Xác định m để đường thẳng cắt parabol y = x2 hai điểm phân biệt b) CMR đường thẳng cho qua điểm cố định với m Bài 6: Cho parabol y = x (P) a) Vẽ đồ thị hàm số b) Xác định m để đường thẳng y = x – m cắt (P) hai điểm phân biệt Tìm toạ độ giao điểm với m = -2 c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) qua A (2; -1) Bầi 7: Cho hàm số y = (m - 2)x + n (d) a) Tìm giá trị m n để đường thẳng (d) qua hai điểm A (-1; 2) B (3; -4) b) Xác định m n để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ - √2 cắt trục hoành điểm có hoành độ + √2 DETOAN.NET Bài 8: Cho parabol y = ax2 (P) 10 Trần Hồng Hợi - THCS Lê Đình Chinh a) Xác định a để đồ thị hàm số qua A(-2; 8) b) Tìm giá trị a để đường thẳng y = -x + tiếp xúc với (P) Bài 9: Cho parabol y = x2 – 4x + (P) a) Viết phương trình đường thẳng qua A (2; 1) có hệ số góc k b) CMR đường thẳng vừa lập cắt (P) hai điểm phân biệt với giá trị k Bài 10: Cho parabol y = x2 (P) đường thẳng y = mx -1 d) Hãy tìm giá trị m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) Khi tìm toạ độ tiếp điểm Bài 11: Cho hàm số y = (m2 + 1)x – a) Hàm số cho đồng biến hay nghịch biến? sao? b) Chứng tỏ đồ thị hàm số cho qua điểm cố đinh với giá trị m c) Biết điểm (1; 1) thuộc đồ thị hàm số Xác định m vẽ đồ thị hàm số ứng với m vừa tìm Bài 12: Cho hàm số y = x y = 2x – 2 a) Vẽ đồ thị hai hàm số mặt phẳng toạ độ b) Tìm toạ độ giao điểm hai đồ thị Bài 13: Cho hàm số y = -2x2 (P) a) Vẽ đồ thị hàm số b) Một đường thẳng (d) cắt trục tung điểm (0; -4), cắt trục hoành điểm (2; 0) Viết phương trình đường thẳng (d) c) Tìm toạ độ giao điểm (d) (P) Bài 14: Cho hàm số y = x (P) http://violet.vn/honghoi Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Trần Hồng Hợi - THCS Lê Đình Chinh a) Với giá trị m đường thẳng y = -x + m cắt (P) hai điểm phân biệt b) Xác định toạ độ giao điểm trường hợp m = Ví dụ : Giải hệ phương trình sau : ⎧2 x + y = ⎩ x+ y =3 c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) qua A (1; -4) Tìm toạ độ tiếp điểm Bài 15: Cho hàm số y = 2x2 a) Vẽ đồ thị hàm số b) Tìm giá trị x để 2x2 -3x + < -x + 17 (1) a) ⎨ (2) Từ phương trình (2) ta có: x = – y (*) Thay x = – y vào phương trình (1) ta : 2(3 - y) + 3y = 6 – 2y + 3y = ⇒ y = Thay y = vào phương trình (*) ta : x = ⎧x = ⎩y = Vậy nghiệm hệ là: ⎨ CHUYÊN ĐỀ III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ⎧ 2x + y = ⎩4 x − y = (1) (2) b) ⎨ I Hệ phương trình bậc ẩn: ⎧ ax + by = c ⎩a ' x + b ' y = c ' Từ phương trình (1) ta có : y = – 2x (*) Thay y = – 2x vào phương trình (2) ta : 4x – (5 – 2x) = 4x -25 + 10x = 14x = 28 ⇒ x = Thay x = vào (*) ta : y = – 2.2 ⇒ y = ¾ Dạng tổng quát : ⎨ ¾ Số nghiệm hệ: a b ≠ ⇔ Hệ có nghiệm a ' b' a b c + Nếu = ≠ ⇔ Hệ vô nghiệm a ' b' c ' a b c + Nếu = = ⇔ Hệ có vô số nghiệm a ' b' c ' + Nếu ⎧x = ⎩y =1 Vậy nghiệm hệ : ⎨ Phương pháp cộng : ¾ Các phương pháp giải hệ phương trình: Phương pháp thế: - Từ phương trình hệ biểu thị ẩn (chẳng hạn ẩn x) theo ẩn - Thay biểu thức x vào phương trình lại để tìm y - Thay y vừa tìm vào biểu thức x để tìm x KL : Nghiệm hệ cặp giá trị (x; y) vừa tìm - Biến đổi hệ số ẩn cho có giá trị tuyệt đối - Cộng trừ vế hệ để khử ẩn - Giải phương trình tìm ẩn chưa khử - Thay giá trị vào phương trình hệ để tìm ẩn lại DETOAN.NET http://violet.vn/honghoi11 Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Trần Hồng Hợi - THCS Lê Đình Chinh KL : nghiệm hệ cặp giá trị (x; y) vừa tìm Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau : ⎧ x + y = 14 (1) a) ⎨ ⎩− x + y = −9 (2) Cộng vế hệ ta : 5y = ⇒ y = Thay y = vào phương trình (1) ta : x + 2.1 = 14 ⇒ x = 12 Vậy nghiệm hệ (x; y) = (12; 1) ⎧4 x + y = −1 (1) a) ⎨ (2) ⎩3x − y = 12 Nhân phương trình (1) với 2, nhân phương trình (2) với ⎧8 x + y = −2 ta : ⎨ ⎩9 x − y = 36 Cộng vế hệ ta : 17x = 34 ⇒ x = Thay x = vào phương trình (1) ta : 4.2 + 3y = -1 ⇒ y = −9 ⇒ y = −3 ⎧− 3x + y = 11 (1) b) ⎨ (2) ⎩ 5x + y = Trừ vế hệ ta : -8x = ⇒ x = −1 Thay x = -1 vào phương trình (2) ta được: 5.(-1) + 4y = ⇔ 4y = ⇒ y = ⎧ x = −1 Vậy nghiệm hệ phương trình : ⎨ ⎩y=2 Chú ý : ⎧ ax + by = c Với hệ phương trình ⎨ ⎩a ' x + b ' y = c ' +Nếu a = a’ b = b’ ta nên sử dụng phép cộng vế +Nếu a = -a’ b = -b’ ta nên sử dụng phép trừ +Nếu hệ số a; a’; b; b’ -1 ta nên dùng phương pháp + Nếu hệ số a; a’; b; b’ khác ± giá trị tuyệt đối ta tìm BCNN (a;a’) BCNN (b; b’) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau : 12 ⎧x=2 Vậy nghiệm hệ phương trình : ⎨ ⎩ y = −3 ⎧5 x − y = −6 (1) b) ⎨ (2) ⎩3x − y = −4 Nhân phương trình (2) với ta : ⎧5 x − y = −6 ⎨ ⎩6 x − y = −8 Trừ vế hệ ta : -x = ⇒ x = −2 Thay x = -2 vào phương trình (1) ta được: 5.(-2) – 4y = -6 - 4y = ⇒ y = −1 Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y) = (-2; -1) 4.MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG : Bài 1: Giải hệ phương trình sau: ⎧2 x + y = ⎩ 3x − y = a) ⎨ ⎧ x − y = 17 ⎩6 x + y = −4 b) ⎨ ⎧12 x + y = −5 ⎩9 x − y = −14 c) ⎨ http://violet.vn/honghoi Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Trần Hồng Hợi - THCS Lê Đình Chinh Chú ý : Với tập dạng tìm điều kiện tham số để nghiệm hệ thoả mãn điều kiện α ta làm sau: + Coi tham số số biết + Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y).Nghiệm (x; y) phụ thuộc vào tham số + Giải phương trình (Bất phương trình) biểu thức chứa tham số Ví dụ: Cho hệ phương trình: ⎧ x − 2y = ⎨ ⎩mx − y = (1) (2) ⎧ x − 2y = ⎩− x − y = (1) (3) thay vào (*) ⇒ x = − 7 ⎧ ⎪x = − Vậy nghiệm hệ : ⎨ ⎪y = − ⎩ -2.2y – 3y = ⇒ y = − b)Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào phương trình (2) ta được: Thay vào (*) ta : x = 2m − 3 Vậy với m > hệ phương trình có nghiệm dương ⇒ m> Bài 2: Cho hệ phương trình ⎧2 x + y = a ⎨ ⎩ 5x − y = ⎧ 4x − y = ⎨ ⎩− x + ay = Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào (3) ta được: m.2y – 3y = ⇔ y (2m − 3) = ⇒ y = ⎧ ⎪ 2m − > ⇒ 2m – > ⎨ ⎪ >0 ⎩ 2m − a) Giải hệ phương trình với a = b) Giải hệ với a c) Tìm a để hệ có nghiệm dương Bài 3: Cho hệ phương trình a) Giải hệ với m = -2 b) Tìm m để hệ có nghiệm dương - Giải a) Với m = -2 ta có hệ : ⎨ ⎧x > Để hệ có nghiệm ⎨ ⇔ ⎩y > 2m − DETOAN.NET a) Giải hệ phương trình với a = b) Tìm giá trị a để hệ co nghiệm âm Bài 4: Cho hệ phương trình ⎧ mx − y = ⎨ ⎩3x + my = Tìm giá trị m để hệ có nghiệm x = 1; y = − Bài 5: Cho hệ phương trình ⎧ x + (m − 1) y = 12 ⎨ ⎩(m − 1) x + 12 y = 24 a) Giải biện luận hệ phương trình b) Tìm m để hệ có nghiệm cho x < y http://violet.vn/honghoi 13 Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Trần Hồng Hợi - THCS Lê Đình Chinh Bài 6: Cho hệ phương trình ⎧(a + 1) x − y = ⎨ ⎩ ax + y = a a) Giải hệ với a = b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm x + y > Bài 7: Cho hệ phương trình ⎧ x + (m − 4) y = 16 ⎨ ⎩(4 − m) x − 50 y = 80 a) Giải biện luận hệ phương trình b) Tìm m để hệ có nghiệm x +y >1 Bài : Cho hệ phương trình ⎧ mx + my = −3 ⎨ ⎩(1 − m) x + y = a) Giải hệ với m = b) Tìm m để hệ có nghiệm âm Bài 9: Cho hệ phương trình ⎧ ( a + b) x + ( a − b) y = ⎨ ⎩(2a − b) x + (2a + b) y + a) Giải hệ với a = b = b) Tìm tất cặp giá trị nguyên a b để hệ có nghiệm nguyên Bài 10: DETOAN.NET 14 http://violet.vn/honghoi [...]... tuyệt đối bằng nhau - Cộng hoặc trừ từng vế của hệ để khử đi một ẩn - Giải phương trình tìm ẩn chưa khử - Thay giá trị vào một phương trình của hệ để tìm ẩn còn lại DETOAN.NET http://violet.vn/honghoi11 Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Trần Hồng Hợi - THCS Lê Đình Chinh KL : nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau : ⎧ x + 2 y = 14 (1) a) ⎨ ⎩− x + 3 y...Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Trần Hồng Hợi - THCS Lê Đình Chinh a) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = -x + m cắt (P) tại hai điểm phân biệt b) Xác định toạ độ giao điểm trong trường hợp m = Ví dụ 1 : Giải các hệ phương trình sau : ⎧2 x + 3 y = 6 ⎩ x+ y =3 3 2 c) Viết phương trình đường thẳng... BÀI TẬP ÁP DỤNG : Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: ⎧2 x + 3 y = 8 ⎩ 3x − y = 1 a) ⎨ ⎧ 7 x − 5 y = 17 ⎩6 x + 5 y = −4 b) ⎨ ⎧12 x + 7 y = −5 ⎩9 x − 5 y = −14 c) ⎨ http://violet.vn/honghoi Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Trần Hồng Hợi - THCS Lê Đình Chinh 9 Chú ý : Với bài tập dạng tìm điều kiện của tham số để nghiệm của hệ thoả mãn một điều kiện α nào đó ta làm như sau: + Coi tham số như số đã biết... hệ phương trình ⎧ ( a + b) x + ( a − b) y = 1 ⎨ ⎩(2a − b) x + (2a + b) y + 2 a) Giải hệ với a = 2 và b = 1 b) Tìm tất cả các cặp giá trị nguyên của a và b để hệ có nghiệm nguyên Bài 10: DETOAN.NET 14 http://violet.vn/honghoi ... Cho hệ phương trình ⎧ 3 x + (m − 1) y = 12 ⎨ ⎩(m − 1) x + 12 y = 24 a) Giải và biện luận hệ phương trình b) Tìm m để hệ có một nghiệm sao cho x < y http://violet.vn/honghoi 13 Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10 Trần Hồng Hợi - THCS Lê Đình Chinh Bài 6: Cho hệ phương trình ⎧(a + 1) x − y = 3 ⎨ ⎩ ax + y = a a) Giải hệ với a = 2 b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm x + y > 0 Bài 7: Cho hệ phương trình... > 0 2 2m − 3 DETOAN.NET a) Giải hệ phương trình với a = 3 b) Tìm giá trị của a để hệ co nghiệm âm duy nhất Bài 4: Cho hệ phương trình ⎧ mx − y = 2 ⎨ ⎩3x + my = 5 Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x = 1; y = 3 − 1 Bài 5: Cho hệ phương trình ⎧ 3 x + (m − 1) y = 12 ⎨ ⎩(m − 1) x + 12 y = 24 a) Giải và biện luận hệ phương trình b) Tìm m để hệ có một nghiệm sao cho x < y http://violet.vn/honghoi 13 Các dạng... (1) (2) b) ⎨ I Hệ phương trình bậc nhất một ẩn: ⎧ ax + by = c ⎩a ' x + b ' y = c ' Từ phương trình (1) ta có : y = 5 – 2x (*) Thay y = 5 – 2x vào phương trình (2) ta được : 4x – 5 (5 – 2x) = 3 4x -25 + 10x = 3 14x = 28 ⇒ x = 2 Thay x = 2 vào (*) ta được : y = 5 – 2.2 ⇒ y = 1 ¾ Dạng tổng quát : ⎨ ¾ Số các nghiệm của hệ: a b ≠ ⇔ Hệ có nghiệm duy nhất a ' b' a b c + Nếu = ≠ ⇔ Hệ vô nghiệm a ' b' c ' a b