SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ KSCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến y = x − x thiên vẽ đồ thị hàm số Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn 2] x [ 1;3 giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = x + + đoạn Câu (1,0 điểm) a) Giải bất phương trình 32 x +1 − 2.3x − ≥ ( x ∈ ¡ ) b) Giải phương trình log3 ( x ) + log x = ( x ∈ ¡ ) Câu (1,0 điểm) 2= e =ln0, Tính diện tích hình phẳng giới hạn x =y1,x x y = đường , x O Câu (1,0 điểm) Trong không gian A ( Oxyz 2; αA−,)1;3) (Oz với hệ tọa độ , cho điểm Viết phương trình mặt phẳng qua vuông góc với trục Viết phương trình mặt cầu tâm tiếp xúc với mặt phẳng Câu (1,0 điểm) 2cos x + 8sin x − = ( x ∈ ¡ ) a) Giải phương trình b) Đội niên tình nguyện trường THPT có 100 học sinh, có 60 học sinh nam 40 học sinh nữ Nhà trường chọn ngẫu nhiên học sinh từ đội niên tình nguyện để tham gia tiết mục văn nghệ chào mừng ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh Tính xác suất để học sinh chọn có học sinh nữ aSA o, ABCD SC BC DE ,E Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp có S(.aSAB ) 30 đáy ABCD hình vuông cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi trung điểm góc mặt phẳng Tính theo thể tích khối chóp khoảng cách hai đường thẳng , ABCD +CE BBD D F E ∆ B − ,4;3 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng x C A 0; −5.5)5=) (yOxy (AC =D với hệ tọa độ , cho tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính Đỉnh thuộc đường thẳng có phương trình Các điểm hình chiếu vuông góc lên Tìm tọa độ đỉnh biết , Câu (1,0 điểm) Giải phương trình Câu 10 (1,0 x − 12 x + 38 x − 12 xa−2 67 + ba+2, b+, ccx2+≤11.+ − x = ( x ∈ ¡ ) điểm) Cho số thực dương thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 a b c  P=  + + ÷−  b + c c + a a + b2  ( ab + bc + ca ) − 3 abc Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………….Số báo danh:………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KSCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN (HDC gồm 07 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm toàn tính đến 0,25 không làm tròn - Với Câu Câu 8, thí sinh không vẽ hình vẽ hình sai không cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu (1,0 điểm) Thang Nội dung điểm D=¡ *) Tập xác định: *) Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: , = - 2) y' = 3x - 6x = x3x(x y'x=∈0 −∞ ⇔ ;0  ) ∪ ( 2; +∞ ) y' > 0, ∀ ( x=2 Hàm số đồng biến 2; −∞;0 +∞) ( y' < 0, ∀x ∈ ( 0;2 ) khoảng Hàm số nghịch biến ( 0;2 ) khoảng 0,25 + Cực trị: Hàm số đạt giá trị x = 0, yCĐ = y(0)= cực đại Hàm số đạt giá trị x = 2, yCT = y(2)= -4 cực tiểu + Giới hạn 3 3 lim y = lim x − x = lim x −  ÷ = −∞ tiệm cận: x →−∞ x →−∞ x →−∞ x  Đồ thị hàm  3 y = lim x − x = lim x3 1 − ÷ = +∞ số xlim →+∞ x →+∞ x →+∞  x tiệm cận + Bảng biến thiên: ( ( ) ) 0,25 0,25 *) Đồ thị hàm số: Đồ thị hàm số giao với trục ( 0;0Ox ) , ( 3;0 ) điểm: Oy ) điểm: Đồ thị hàm số giao với trục ( 0;0 Trang 0,25 Câu (1,0 điểm) Nội dung 2] x 1;3 +2 +11 f '(x) = −x 2+ x  x = ∈ [ 1;3] f '(x) = ⇔ − + = ⇔ x = ⇔  x Ta có ; 22 312 19  x = −2 ∉ [ 1;3] fff ((321)) == ++ ++11== 3; 312 22 26 Từ ta có: f ( x) = f ( ) =7 [ 1;3] f ( x)x==3f2.( 1) = , Vậy: Giá trị nhỏ max f[ 1;3 ( x]) [ 1;3] hàm số đoạn = Giá trị lớn hàm số xf[ 1;3 (7x1.]) đoạn Hàm số liên tục đoạn f ( x ) =[ Thang điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Nội dung Thang điểm Câu (1,0 điểm) a) 32 x +1 − 2.3x − ≥ ⇔ 3.32 x − 2.3x − ≥ ⇔ 3.3x + 3x − ≥ ⇔ 3x − ≥ 3.3x + > 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 3x ≥ ⇔ x ≥ Vậy bất phương trình cho S = [ 0; +∞ ) có tập nghiệm: b) Điều kiện xác định: x > ⇔ x>0  Khi ta có phương trình: x >  ⇔ log x +9log log3 39(+9 log x ) +3 log x =325x = ( ( )( ) ⇔ + ⇔ log log x + = 233 x = 3 (thỏa mãn điều kiện xác ⇔ log x = 22 ⇔ x2x=log ⇔ x=9 định) Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0,25 ) 0,25 0,25 0,25 Câu (1,0 điểm) Nội dung Trang Thang điểm Vì: nên diện tích hình phẳng ln x ≥ 0,∀x ∈ [ 1;e] cần tìm là: x e e ln x ln x S=∫ dx = ∫ dx Đặt: x t = ln x ⇒ tx ==dt 01 =1 x xdx Đổi cận: Với ta xt == 1e Với ta Khi đó: 0,25 0,25 1 S = ∫ t dt = t = Vậy: Diện tích hình 1 = − 0.= phẳng cần tìm 3 0,25 0,25 Câu (1,0 điểm) Nội dung r Oz Mặt phẳng qua vuông góc Ak( (2; α−)1;3) ) (0;0;1 với trục nên nhận làm véctơ pháp tuyến Mặt phẳng có 0.( x − ) + 0.( y + 1) +(1 α( )z − ) = ⇔ z − = phương trình: Mặt cầu tâm tiếp xúc với R = O d ((O, α( )α ) ) = (0;0;0 mặt phẳng có bán kính Mặt cầu cần tìm có phương x + y + z = trình: Thang điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (1,0 điểm) Nội dung 2cos x +2 8sin x − 5x=−05 = ⇔ 2(1 − 2sin x) + 8sin ⇔ 4sin x − 8sin x + = ⇔ ( 2sin x − 1) ( 2sin x − 3) = sin ( ) π < 0, ∀1x ∈ ¡  x− x⇔ = sin +5kπx2π=  π Vậy phương trình x= ⇔ + k2π , x6 = + k2(2kπ∈ Z (k) ∈ Z) cho có nghiệm :  5π x= + k 2π Thang điểm a)  0,25 0,25 b) Không gian mẫu: “ học sinh từ 100 học Ω : sinh đội niên tình nguyện” n ( Ω ) = C100 = 161700 Biến cố “ học sinh từ 100 học A : sinh đội niên tình nguyện cho có học sinh nữ ” n ( A ) = C602 C40 = 70800 Xác suất cần tìm 70800 236 P( A) = = 161700 539 0,25 0,25 Câu (1,0 điểm) Nội dung Trang Thang điểm S H D A I 0,25 B E C K Vì SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ CB ·AB mp ·SAB SC Do hình chiếu vuông CB ⊥ CSB ( SAB (CSB ) ) 30o ) ⇒ SB ⇒ ⇒ CB ⊥ (=SAB  góc mp Vậy CB ⊥ SA góc hợp với · ⇒ SB = BC cot CSB = BC cot 30o = a ⇒ SA = a Vậy thể tích 2a V = SA S = S ABCD ABCD khối chóp 3 DE AD CI ) Trong dựng đường thẳng qua song ( ABCD song với cắt 0,25 DE PCI ⇒ DE P( SCI ) ⇒ d ( DE a , SC ) = 3ad ( DE , ( aSCI5 ) ) = d ( D , ( SCI ) ) ⇒ DI = CE = , AI = , CI = 2 d ( D, ( SCI ) ) DI 1 =⊥ SK ⇒CI dH(( D ,SK ( SCI )()1=) d ( A, ( SCI ) ) Từ A kẻ , kẻ d A, ( SCI ) = AH AK ⊥ ∈ K ∈ CI ( ) ) ( AK ⊥ CI) AI Ta có:  ⇒ CI ⊥ ( SAK ) ⇒ CI ⊥ AH ( 2)  Từ 1) ,d( 2( )A,⇒( SCI AH ) ⊥ AH ) (⇒ ) =( SCI  SA ⊥ CI 0,25 Ta có CD AI 3a AK CI = CD AI ⇒ AK = = CI 1 1 19 38 = 2+ = 2+ = ⇒ AH = 21 38 19 AH d ED 9a =18 a ( SA , SCAK ) = d 2( aA, ( SCI ) ) aAH = 3 19 Trang uuur u uu uu u rr ·B ·F ·CE xCH + −CH −= ⊥ = || ,= AB 5·AD ++DAB 2a∆ 2AF y(2x=HCE y⇒ − 532aD 5⇒ = aD 0−.∆ = =5;0 ⇒ 5(3F ;y∈ ,=(2; 2(∆ 5;0 F 5;0 − −5=5;5 3;1 5=)5;0 xxAF (1; 5x)−x) 03==) −55 )EBAC (+−0aFAC (⇔ (BAF EC AB EF ⇒ 4) = E 3) ( )1;090 HCE = BAF ⇒ DCB ⇔     xx−+3yy−+55== a00= yy==00 0,25 Câu (1,0 điểm) Câu (1,0 điểm) Nội dung Điều kiện xác định: -1 ≤ x ≤ Phương trình cho tương đương Thang điểm 0,25 Trang với: x + + − x = − x + 12 x − 38 x + 12 x + 67 Với điều kiện ta có: x − 3) ( x-1+ ≤1) x( 7≤2−7 x ) + ≥ ( ⇔ x + + − x = ( x − 3) ( x + 1) ( − x ) + ( *) 0,25 Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: ( x +1 + − x ) ≤ ( + 1) ( x + + − x ) = 16 ⇔ x + + − x ≤ 0,25 Từ ta có phương trình tương đương ( *) với: ( x − ) ( x + 1) ( − x ) + = x = Vậy phương trình  ⇔ x = cho có nghiệm   x+1+ − x =4 : 0,25 Câu 10 (1,0 điểm) Thang điểm Nội dung a,2b+, cc ≤ Vì số thực dương thoả a + b mãn điều kiện nên ta có: 0 < a, b, c <  2 a + b ≤ − c  2 b + c ≤ − a c + a ≤ − b  ⇒ a b c a b c + + ≥ + + b2 + c c2 + a a + b2 − a − b2 − c2 Ta chứng minh: Thật vậy, ta xét : a b c 3 + + ≥ a + b2 + c2 ) ( 2 1− a 1− b 1− c 2 a 3 2 ≥ a ⇔ ≥ 3 a − a ⇔ a − 3a + ≥ ( ) − a2 ( )( ) (luôn với ) ∀a ∈ ( 0;1) Do : a 3 ≥ Chứng minh tương tự b 31 −3a 22 2c a 3 ≥ b , ≥ c ta có: 2 − b − c Từ ta có: a b c 3 2 1− a + 1− b + 1− c ≥ (a + b + c2 ) Mặt khác ta lại có: a + b + c ≥ ab + bc + ca ( ∀a, b, c ) Ta được: a b c 3 + + ≥ ( ab + bc + ca ) +) Xét: −+ aca c 22 ab2 + bc + ca ≥ 3 abc ab + bc ≥ 13−3 ab2b 2c12 −⇒ P ≥ ( ab + bc + ca ) − ( ab + bc + ca ) Suy Đặt điều kiện Khi Xét hàm số