Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PH NG TRÌNH Hình h c Oxy NG TH NG (PH N 02) ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng Ph ng pháp vi t ph ng trình đ ng th ng (d ng 2) thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Mơn Tốn (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng ng th ng d1 : x  y   , d2 : 3x  y   L p Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hai đ ph ng trình đ ng th ng qua m M (2; 1) cho đ ng th ng c t hai đ ng th ng d1 d t o m t tam giác cân t i đ nh giao m c a d1 d Gi i: Cách 1: +) ng th ng d1 , d l n l t có vecto pháp n n1  (2; 1) n2  (3;6) Ta có n1.n2  2.3  (1).6   d1  d2 +) G i  đ ng th ng c n l p có vecto pháp n n  (a ; b) v i a  b2  Khi  c t hai đ ng th ng d1 d s t o m t tam giác vng cân Suy góc t o b i  v i d1 (ho c d1 ) b ng 450 Do đó: cos(, d1 )  cos 450  2a  b a b 2   2(2a  b)  5(a  b2 )  a  3b  3a  8ab  3b   (a  3b)(3a  b)    3a  b a  +) V i a  3b , ch n  b  Suy  qua M (2; 1) có vecto pháp n n  (3;1) có ph ng trình: 3x  y   a  +) V i 3a  b , ch n  b  3 Suy  qua M (2; 1) có vecto pháp n n  (1; 3) có ph V yđ ng trình: x  y   ng th ng c n l p : 3x  y   ho c x  y   Cách 2: +) G i  đ ng th ng c n l p Do  c t hai đ ng th ng d1 d t o m t tam giác cân t i đ nh I giao m c a d1 d nên  vng góc v i phân giác c a góc I Hocmai.vn – Ngơi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) +) Các đ ng phân giác t o b i d1 , d có ph 2x  y  5  3x  y  45 Hình h c Oxy ng trình: 3x  y  22  (1 )  x  y   3x  y    9 x  y   (  ) +) V i   1 , suy n  u1  (3;1)  qua M (2; 1) nên có ph ng trình: 3( x  2)  ( y  1)   3x  y   +) V i    , suy n  u2  (1; 3)  qua M (2; 1) nên có ph ng trình: x  y   Nh n xét: Cách ta khai thác y u t đ c bi t c a toán ch d1  d N u không khai thác u b n có th t o ph ng trình n a , b b ng vi c s d ng cos(, d1 )  cos(, d2 ) thác theo m t góc nhìn khác ch đ giao c a d1 d Cách ta khai ng th ng  c n l p vng góc v i phân giác c a đ nh Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân t i A I trung m c a BC  11  G i M  ; 4  trung m c a IB N thu c đo n IC cho NC  NI Bi t ph ng trình 2  đ ng th ng AN x  y   m N có t a đ nguyên Tìm t a đ đ nh c a tam giác ABC Gi i: x2 x 10  IC  t IA  IB  IC  x  AN  IA2  IN  IA2     x2     IA x Suy cos IAN  G i n  (a ; b) (v i a  b2  ) vecto pháp n   AN x 10 10 a b  c a AI có nAN  (1; 1) Khi đó: cos IAN  cos n, nAN  10 a  b2  2a  b  9(a  b2 )  5(a  b)2  2a  5ab  2b2   (2a  b)(a  2b)    a  2b   a  +) V i 2a  b , ch n  , suy n  (1; 2) b  2  11  Khi BC qua M  ; 4  vng góc v i AI nên có vecto pháp n nBC  (2;1) 2  Do BC có ph ng trình: x  y   Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Mơn Tốn (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Suy t a đ m N nghi m c a h Hình h c Oxy 2 x  y   x    N (3;1)  x  y   y 1   11  x  2  xI    3(3  xI ) 2  I  I (4; 1) M t khác ta có: 2MI  3IN      y  I 2  y    3(1  y ) I I  Khi AI qua I (4; 1) có vecto pháp n n  (1; 2) nên có ph ng trình: x  y   x  y    x  2   A(2; 4) Suy t a đ m A nghi m c a h :  x  y    y  4 Do M trung m c a IB , suy B(7; 7) I trung m c a BC , suy C (1;5) a  +) V i a  2b , ch n  , suy n  (2; 1) b  1  11  Khi BC qua M  ; 4  vng góc v i AI nên có vecto pháp n nBC  (1; 2) 2  Do BC có ph ng trình: x  y    x   x  y     N  ;   Suy t a đ m N nghi m c a h :    (lo i) 2 2  x  y   y    V y A(2; 4), B(7; 7), C(1;5) 5 7 Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình vng ABCD i m M  ;  trung m c a AB 2 2 i m N n m đo n AC cho AN  3NC Tìm t a đ m A bi t ph ng trình đ ng th ng DN x  y   A có hồnh đ nh h n Gi i: +) t AB  4m g i vecto pháp n c a AC nAC  (a ; b) v i a  b2  G iđ ng th ng qua N song song v i AD c t AB, DC l n l t t i E, F  ME  NF  m Khi  N1  N1  MEN  NFD  D1 N2 = 900  MND = 900   NE DF m  Suy t giác AMND n i ti p đ ng tròn MN có ph ng trình: x  y  19  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Tốn (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy  11 2 x  y  19  x   11   Khi t a đ m N nghi m c a h :   N  ;   MN  2  2 x  y    y  +) Ta có ME  NE  MN  m2  (3m)2  +) M t khác: AMD  cos AMD 45 3 (*)  m2   m   AM  2m  AND (cùng ch n cung AD ) cos AND  +) V i a  , ch n b   nAC 2a  b 2m AM  cos nAC , nDN   MD (4m)  (2m) a  b2   a   a  b2  (2a  b)2  3a  4ab    3a  4b  11   (0;1)  AC qua N  ;  có ph ng trình: y   2  G i A(t; 2)  AC , : (*)  AM  2 t   A(1; 2)  5 3   t        t  5t       2 2 t   A(4; 2) a   11   nAC  (4;3)  AC qua N  ;  có ph +) V i 3a  4b , ch n  2  b  G i A(7  3t; 4t )  AC , : (*)  AM  9    3t   2  ng trình: x  y  28    14 28     t  A ;   7      4t     25t  55t  28     2  t    A 23 ; 16        5 nên ta đ c A(1; 2) Do A có hồnh đ nh h n Nh n xét: *) N u tốn khơng cho u ki n A có hoành đ nh h n , ta v n có m t u ki n đ lo i b t Khi ta s đ c đáp s c a toán A(1; 2) nghi m c a A MAN  450 hay cos( AM , AN )   14 28  ho c A ;  *) Ngồi cách tìm A b ng vi c vi t ph ng trình AC đ chuy n v m lo i nh 5  Chúng ta có th tìm A nh ch A giao m c a hai đ ng tròn (M ; MA) ( N; NA) Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình ch nh t ABCD có A(0; 2) G i H hình chi u vng góc c a B lên AC Trên tia đ i c a BH l y m E cho BE  AC Bi t ph ng trình đ ng th ng DE : x  y  Tìm t a đ đ nh C c a hình ch nh t, bi t B có tung đ d ng D khơng trùng v i g c t ađ Gi i : Hocmai.vn – Ngơi tr ng chung c a h c trị Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Mơn Tốn (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy K EF  AD t i F EF c t BC t i K    B1  A1 M t khác BE  AC , suy : A1  B4 ( ACB  900 )   BK  AB  KF  AF BKE  ABC     EF  DF  KE  BC  KE  AD Khi ta có: B1  B4 Suy FED vuông cân t i F nên ADE  450 G i n1  (a ; b) vecto pháp n c a AD , (v i a  b2  ) n2  (1; 1) vecto pháp n c a ED   Khi ta có: cos ADE  cos n1 , n2  cos 45o  +) V i a  , ch n b  ta đ n1.n2 n1 n2  a b  a  b2 a   (a  b)2  a  b  ab    b  c ph ng trình AD : y   y   x  y   D(2; 2) Khi t a đ m D nghi m c a h  x  y  Suy ph ng trình AB : x  G i B(0; b)  AB v i b  , đó: SABCD  AD AB   b   b  ho c b  1 (lo i), suy B(0;5)  7 Trung m c a BD có t a đ I 1;  , c ng trung m c a AC  C (2;5)  2 +) V i b  , ch n a  ta đ c ph ng trình AD : x  x   x  y   D(0;0)  O (lo i) Khi t a đ m D nghi m c a h  x  y  V y C (2;5)  4 Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình thoi ABCD có tâm I (3;3) AC  2BD i m M  2;   3  13  thu c đ ng th ng AB m N  3;  thu c đ ng th ng CD Vi t ph ng trình đ ng chéo BD  3 Gi i : Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Mơn Tốn (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy Cách :  5 +) G i N ' m đ i x ng v i N qua I (hay I trung m c a NN ' ) suy N '  3;  thu c đ  3  1 th ng AB AB nh n MN '  1;    3;1 làm véct ch ph ng , suy nAB  (1; 3)  3 Ph ng trình AB : x  y   +) t ABI   Do AC  2BD  AI  2BI , suy : cos   G i nBD  (a ; b) vecto pháp n c a đ   cos   cos nBD , nAB  BI  AB BI AI  BI 2  BI BI  BI 2  ng ng th ng BD , : a  3b a  b   2(a  b2 )  (a  3b)2  a  6ab  7b2    a  b2 10  a  7b +) V i a  b , ch n a  b  hay nBD  (1;1) Khi BD qua I (3;3) nên có ph ng trình : x y6  a  +) V i a  7b , ch n  hay nBD  (7; 1) Khi BD qua I (3;3) có ph b  1 x  y  18  V y ph ng trình : ng trình BD : x  y   ho c x  y  18  Cách 2: Các b n tham kh o cách gi i theo góc nhìn tìm m lo i (đã trình bày ( ví d có thêm u ki n t a đ B nguyên) tr c)  11  Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình vng ABCD G i E trung m c a AD , H  ;    5 3 6 hình chi u c a B lên CE M  ;   trung m c a đo n BH Xác đ nh t a đ đ nh c a 5 5 hình vng ABCD , bi t A có hồnh đ âm Gi i : Hocmai.vn – Ngơi tr ng chung c a h c trị Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Mơn Tốn (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy +) Do M trung m c a BH , suy B(1; 2)  11  Ta có CE qua H  ;   vng góc v i MH nên có ph ng trình: x  y    5 G i F đ i x ng v i E qua A , BCEF hình bình hành nên FB // EC  FB  BH Suy AM đ ng trung bình c a hình thang vng BHEF , AM  BH Khi AM có ph ng trình: x  y  Ta có: cos ECD  CD  CE ED ED  CD  ED 5ED 2 Do ECD  MAB  cos MAB  5  G i A(a ; 2a )  AM , suy BA  (a  1; 2a  2) ta có u AM  (1; 2) Khi cos MAB  BAu AM a   2(2a  2) 2     5 BA u AM (a  1)2  (2a  2) 11 (lo i) , suy A(1; 2) ng trình: y    5a  6a 11   a  1 ho c a  Do AD qua A(1; 2) vng góc v i AB nên có ph y  x    E (1; 2)  D(3; 2) Khi t a đ m E nghi m c a h :  2 x  y    y  Ta AB  CD  C (3; 2) V y A(1;2), B( 1; 2), C(3; 2), D(3;2) Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân t i A Bi t ph ng trình c nh BC d : x  y  31  , m N (7;7) thu c đ ng th ng AB Tìm ng th ng AC , m M (2; 3) thu c đ t a đ đ nh c a tam giác ABC Gi i: +) G i vecto pháp n c a AB nAB  (a ; b) v i a  b2  , AB qua M (2; 3) có ph ng trình: a ( x  2)  b( y  3)   ax  by  2a  3b  Ta có nBC  (1;7) , đó: ABC  450  cos ABC  cos 450  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t a  7b a b 7 2 2   (a  7b)2  25(a  b2 ) T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Mơn Tốn (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy 3a  4b  12a  7ab  12b2   (3a  4b)(4a  3b)     4a  3b a  suy ph ng trình AB : x  y   +) V i 3a  4b , ch n  b  Khi AC qua N (7;7) vng góc v i AB nên AC có ph ng trình: 3x  y   4 x  y    x  1   A(1;1) T a đ m A nghi m c a h  3x  y    y  4 x  y    x  4   B(4;5) T a đ m B nghi m c a h   x  y  31   y  3x  y    x    C (3; 4) T a đ m C nghi m c a h   x  y  31  y  a  suy ph ng trình AB : 3x  y 18  AC : x  y  49  +) V i 4a  3b , ch n  b  4 Khi ta có A(10;3)  B(10;3) (lo i) V y A(1;1), B( 4;5), C(3;4) Bài Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC cân t i A có ph l nl ng trình hai c nh AB AC t x  y   x  y   , m M (1; 2) thu c đo n BC Tìm t a đ m D cho DB.DC có giá tr nh nh t Gi i: t là: n1  (1; 2) n2  (2;1) +) Ta có vecto pháp n c a AB, AC l n l G i vecto pháp n c a BC n3  (a ; b) v i a  b2  Khi tam giác ABC cân t i A nên: cos B  cos C  n1.n3 n1 n3  n2 n3  n2 n3 a  ta đ +) V i a  b , ch n  b  1 a  2b a  b   a  b  a  2b  2a  b   a  b a  b 2a  b c n3  (1; 1) , suy ph ng trình BC : x  y   x  y   x    B(0;1) Khi t a đ m B nghi m c a h  x  y 1  y 1  x  2 x  y     1 T a đ m C nghi m c a h    C ;   3 x  y 1  y     5 Ta có MB  (1; 1), MC    ;    MC  MB  M n m đo n BC (lo i)  3 +) V i a  b , ch n a  b  ta đ c n3  (1;1) , suy ph ng trình BC : x  y   x  y   x    B(4; 1) Khi t a đ m B nghi m c a h  x  y    y  1 2 x  y    x  4   C (4;7) T a đ m C nghi m c a h  x  y   y  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Mơn Tốn (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy Ta có MB  (3; 3), MC   5;5  MC   MB  M n m thu c đo n BC (th a mãn) +) G i I trung m c a BC  I (0;3) Ta có DB.DC  ( DI  IB)( DI  IC )  DI  DI ( IB  IC )  IB.IC  DI  IB.IC  DI  BC BC  4 D u “=” x y D  I (0;3) V y D(0;3) Bài 9.Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC cân t i A , c nh BC n m đ ph đ ng trình x  y   ng cao k t B có ph ng th ng có ng trình x  y   , m M (1;0) thu c ng cao k t đ nh C Xác đ nh t a đ đ nh c a tam giác ABC Gi i:  x  y    x  2   B(2; 2) +) T a đ m B nghi m c a h  x  y   y  +) Ta có vecto pháp n c a BC , đ ng cao k t B l n l t là: n1  (1; 2) n2  (1; 1) G i vecto pháp n c a CM n3  (a ; b) v i a  b2  Khi tam giác ABC cân t i A nên: cos(n1 , n2 )  cos(n1 , n3 )  n1.n2  n1 n2 n1.n3 n1 n3  1  a  2b a  b 2  a  b  2(a  2b)  a  b  a  8ab  7b2   (a  b)(a  7b)     a  7b +) V i a  b , ch n a  1; b  1  n3  (1; 1) ph ng v i n2  (1; 1) (lo i) +) V i a  7b , ch n a  7; b  1  n3  (7; 1) , CM có ph ng trình: x  y    x  7 x  y     7 V y t a đ m C nghi m c a h    C ;   5 x  y   y    Khi ph ng trình AB, AC l n l t là: x  y  12  5x  y   13  x   x  y  12    13 19  10 Suy t a đ m A nghi m c a h    A  ;   10 10  5 x  y    y  19  10   13 19   7 V y A  ;  , B( 2;2), C   ;   10 10   5 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Mơn Tốn (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Hình h c Oxy Bài 10 Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân t i A , ph BC : x  y   , đ ng trình ng th ng AC qua m M (1;1) , m A n m đ ng th ng  : x  y   Tìm t a đ đ nh c a tam giác ABC , bi t r ng đ nh A có hồnh đ d Gi i: Cách 1: +) ng th ng BC có vecto ch ph ng ng uBC  (1; 2) G i AC có vecto pháp n nAC  (a ; b) v i a  b2  Khi tam giác ABC vuông cân t i A nên:   C  450  cos nAC , uBC  cos 450  a  2b a  b2   2(a  2b)2  5(a  b2 ) 3a  b  3a  8ab  3b   (3a  b)(a  3b)     a  3b a   nAC  (1; 3)  nAB  (3;1) +) V i 3a  b , ch n  b  3 V y AC qua M (1;1) có vecto pháp n nAC  (1; 3) nên có ph ng trình: x  y   x  3y   x    A(2; 2)  AB : 3x  y   Khi m A nghi m c a h  x  y    y  T ng t ta có B(3; 1) C (5;3) a   nAC  (3;1) , suy ph +) V i a  3b , ch n  b  ng trình AC : 3x  y   14  x  3x  y    13 Khi m A nghi m c a h    16 x y     y   13  V y A(2;2), B(3; 1), C(5;3)  14 16  A  ;  (không th a mãn)  13 13  , suy MA  (4t  5; t  1) Vì tam giác ABC vuông cân t i A nên : 4t   2(t  1)  cos 450   (4t  5)2  (t  1) Cách 2: G i A(4t  6; t ) v i t   C  450  cos MA, uBC   2(6t  7)2  5(17t  42t  26)  13t  42t  32   t  ho c t  16 (lo i) 13  A(2; 2)  AC : x  y   V i A(2; 2)   T ta suy đ  AB : 3x  y   V y A(2;2), B(3; 1), C(5;3) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t c B(3; 1) C (5;3) T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Mơn Tốn (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Bài 11 Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC cân t i A ph ng trình x  y  24  x  y   Vi t ph ng trình đ Hình h c Oxy ng th ng AB BC l n l t có ng cao k t B c a tam giác ABC Gi i: x  7 x  y  24    1  +) T a đ m B nghi m c a h   B  3;   2 x  y    y  +) t có vecto pháp n n1  (7;6) , n2  (1; 2) ng th ng AB, BC l n l G i vecto pháp n c a AC n3  (a ; b) v i a  b2  Do tam giác ABC cân t i A nên:     cos B  cos C  cos n1 , n2  cos n3 , n2   12 72  62 12  22  a  2b a  b2 12  22  2a  9b  25(a  b2 )  85(a  2b)2  12a  68ab  63b2   (2a  9b)(6a  7b)    6a  7b a   n3  (9; 2) vecto ch ph ng c a đ ng cao k t đ nh B +) V i 2a  9b , ch n  b  y x3  x  18 y    Suy ph ng trình đ ng cao k t B là: a   n3  (7;6)  AC // AB (lo i) +) V i 6a  7b , ch n  b  V yđ ng cao k t B có ph ng trình : x  18 y   Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CĨ TH H U ÍCH CHO B N Là khố h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua q trình ơn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ơn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng -