giai toan tich phan bang nhieu cach lop 12 ( Luyen thi dai hoc 2016)

60 213 0
giai toan tich phan bang nhieu cach lop 12 ( Luyen thi dai hoc 2016)

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Nếu được, ở đây mình nói là nếu được, bạn nên trình bày bài theo thứ tự từ 1 >5. Tức làm một mạch từ bài hàm số đến bài hình học không gian rồi bài tự chọn. (nếu xác định mục tiêu từ đầu chỉ làm 9 điểm thì có thể bỏ bài khó ra luôn). Với những bài tương đối khó, chưa nghĩ ra cách giải ngay thì có thể chừa ra một trang giấy (khi làm rất nhiều bài tập, bạn có thể ước lượng được độ dài cơ bản cho mỗi bài tập) để viết vào lúc sau. Vì sao ư? Đơn giản, thầy cô sẽ cảm thấy rất thuận tiện khi chấm bài. Bình thường thầy cô sẽ đối chiếu bài của bạn với barem chấm bài hoặc đề thi, nếu dòng bài tập của bạn cũng mạch lạc từ 1>5 như barem chấm điểm đề thi thì thầy cô sẽ rất dễ theo dõi. Riêng việc đó thôi cũng đã khiến bài làm của bạn “bỗng dưng” được ưu ái hơn rồi.

(MỘT PHƯƠNG PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH) Bỉm sơn 14.02.2014 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14 GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH (Một phương pháp nhằm phát triển tư duy) I TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau: I   x3 dx x2  Giải: Cách 1: Phương pháp biến đối số Đặt x  tan t  dx  1  tan t  dt    x  t  Đổi cận    x  t  Khi   0   0 I   tan tdt   tan t  tan t   1 dt   tan t  tan t  1dt    tan tdt     tan td  tan t    0 d  cos t  cos t   tan t    ln cos t   ln  0  Nhận xét: Đối với tích phân dạng I   R  u , u  a  du , u  u  x  ta đặt u  a tan t  Cách 2: Phương pháp tích phân phần du  xdx u  x   Đặt  ln  x  1 xdx    dv  v   x 1  Khi I  x ln  x  1   x ln  x  1 dx  3ln   ln  x  1 d  x  1  J Tính J   ln  x  1 d  x  1  d  x  1 u  ln  x  1  du   Đặt   x2   dv  d  x  1  v  x   d x     ln   0  Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng phương pháp Khi I  3ln  1   x  1 ln  x  1  Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích dạng I   MATHEDUCARE.COM P  x Qn  x  https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 dx   f  x  Q'  x  Qn  x  dx 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14 u  f  x    du Đặt   Q'  x  dx v  dv  n Q x    Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số ' Nhận xét: Ta có x  x x  x  1  x từ ta định hướng giải sau Phân tích I   x3 dx  x2   x2 x dx x2   x2  t   Đặt t  x    dt  xdx   t   x  Đổi cận   t   x  4  t  1  1 dt     dt   t  ln t    ln   21 t 1 t 2 Cách 4: Phân tích đưa vào vi phân 3 x2  x  1  1   2 I   d  x  1   d  x  1   1  d  x  1  2 x 1 x 1 0 x 1 Khi I  3 d  x  1 x2 3  ln  x  1   ln 2 2 x 1 0 Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản 3 x3 x  x d  x  1 3  I   dx    x  dx     ln  x  1   ln   2 x 1 2 x 1 0 x 1    d  x  1    Nhận xét: Đây tích phân hàm phân thức mà có bậc tử lớn bậc mẫu ta chia đa thức để tách thành tổng tích phân phương pháp tối ưu Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất chia đa thức) Ta có x  x  x  1  x Khi I   x3 dx  x2  x  x2  x  dx   0  x   2 Bài 2: Tính tích phân bất định: I    d  x  1 x 1  3  ln  x  1   ln 2 2 3x3 3x dx    x  1 x   dx x  3x  Giải: Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức Phân tích x  x  x  3x     x  x     x  1  Khi x  x  x     x  x     x  1  x3 I dx   dx x  3x  x  3x    x2   x  3  dx   x  ln x    dx   x   x  1 x     x  1 x    MATHEDUCARE.COM https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14 x2 x2  x  ln x   ln x   ln x   C   x  8ln x   ln x   C 2 Cách 2: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức kĩ thuật “nhảy tầng lầu” Phân tích x  x  x  3x     x  1 x  1   x     x  x  3x     x  1  x    3   x    x  x  3x     x  1 x     x  1   x   Khi x  x  x     x  1  x    3   x  3 x3 dx  dx  x  3x  x  3x   2x  x2    x  3 dx  dx   x  ln x   ln x  x   C   x  x  x  2   Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức đồng thức Phân tích x  x  x  3x     x  3x    x  I x  x  3x     x  3x    x  x3 dx  dx  x  3x  x  3x  7x  x2    x  3 dx   dx   3x  I1 x  3x  2 Tính I1 phương pháp đồng thức… Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản x3 9x   9x   I  dx    x   dx dx    x  3 dx   x  3x  x  3x   x  x    Khi I   I1 Tính I1 phương pháp đồng thức… Bài 3: Tìm nguyên hàm sau: I   x3 x3 dx    x  12 dx x2  x  Giải: Cách 1: Phương pháp đổi biến số  du  dx Đặt u  x    x  u 1 Khi I    u  1 u2 du   u  3u  3u   du    u    2 u u u  u2  du   3u  3ln u   C  u  với u  x  Cách 2: Phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức Phân tích x  x  x  x  1   x  x  1   x  1  x  x  x  1   x  x  1   x  1  x3 Khi I   dx   dx x  2x 1 x2  2x    x2   x    dx   x  3ln x   C 2 x   x  1  x 1  Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức kĩ thuật nhảy tầng lầu Phân tích x  x  x  x  1   x  x  1    x   MATHEDUCARE.COM https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14 x  x  x  1   x  x  1    x   x3 Khi I   dx   dx x  2x 1 x2  2x  1  2x  x2    x   dx   x  ln x   ln x  x   C dx   x 1 x  2x  2  Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm mẫu thức đồng thức Phân tích x  x  x  x  1   x  x  1  3x  x  x  x  1   x  x  1  x  x3 Khi I   dx   dx x  2x 1 x2  x  3x  x2    x  dx   dx   x  I1 x  2x 1 Tính I1 phương pháp đồng thức Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng tích phân đơn giản  x3 x3  I  dx   dx  x     dx  x   x  1  x  2x   x  1   x   x  3ln x   C x 1 Cách 6: Sử dụng phương pháp tích phân phần u  x3  du  x dx   Đặt  dx   dv  v    x  1 x 1   Khi x3 x2 x3 x2   I  3 dx   3 dx x 1  x 1 x 1  x 1  x2  x3  x3    3  x      x   ln x   C dx   x 1 x 1 x 1    Bài 4: Tìm nguyên hàm: I   x dx 1  x  39 Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 2 Phân tích x  1  x   1  1  x   1  x   1  x   2(1  x)       39 39 37 38 39 1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  x2 I  37 1  x  dx   1  x  38 dx   39 1  x  dx  1 1   C 36 37 36 1  x  37 1  x  38 1  x 38 Cách 2: Đặt t   x  x   t  dx   dt 1  t  dt 1 1 1  I     39 dt   38 dt   37 dt    C 39 38 37 38 t 37 t 36 t 36 t t t t Nhận xét: Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần MATHEDUCARE.COM https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14 u  x du  xdx   Đặt  dx   v dv  38 39   38  x  1 1  x    1 x Khi I  x   dx … đến bạn tự làm 38 19  x  138 38  x  1 Bài 5: Tìm nguyên hàm: I   x dx ( x  1)10 Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 3 Sử dụng đồng thức: x   x  1  1   x  1   x  1   x  1  x3 3      10 ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)10 Khi dx dx dx dx I   3  3   ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)10 1 3 1     C ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)9 Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt t  x  ta có: x  t  nên dx  dt  t  1 (t  3t  3t  1)dt   t 7 dt 3 t 8 dt 3 t 9 dt   t 10 dt t 10 t10 1 3 1     C ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1) Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần u  x3 du  3x dx   Đặt  dx   dv  v 10    x  1  x  1   Khi 1 x2 I   x3  dx   x  19  x  1  A dt  I1 đến rùi ta tính I1 phương pháp tích phân phần phân tích x   x  1    x  1 x  1  Nhận xét : - Đối với 3, mà ta sử dụng phương pháp đồng thức giải hệ thật nan giải phải không, thể mà lựa chọn phương pháp mà hiệu nhanh đích Qua 3, ta ý P  x dx đặt t  x  a phương pháp hiệu - Đối với tích phân hàm phân thức có dạng I   n  x  a MATHEDUCARE.COM https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14 - Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích dạng I   P  x Qn  x  dx   f  x  Q'  x  Qn  x  dx ta sử dụng phương pháp tích phân phần nên làm bậc  x  a  n  1, u  f  x    du Đặt:   Q'  x  dx v  dv  n Q  x  Bài 11: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau: I   dx  x  x3 dx  x 1  x  HD: Cách 1: Biến đổi số Nhân tử mẫu cho x I  dx  x  x3 3 dx xdx   x 1  x   x 1  x  2 dx  x x2  t   Đặt t   x   dt  xdx   Cách 3: Biến đổi số Đặt x  tan u … Bạn đọc tự giải Cách 4: Đưa vào vi phân Phân tích tử  1  x  – x 2 Khi I   dx  x x 0  x dx   Bài 12: Tính tích phân sau: I    d 1  x  1 x  ln x 3  ln x   ln 2 0 dx x  x3 Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích Cách 1.1: Phân tích:  x   x x2   x2 1 x2   x2 1 x    3    3  2 x x 1 x ( x  1) x x( x  1) x x( x  1) x x x 1   Khi 2 1 x 1  1 2 I   dx   dx   dx     ln x  ln x     ln  ln x 2  2x 1 x 1 x 1 Cách 1.2: Phân tích:  x   x  x  1  x 1  x     2 x4   x x   x  x x  x2 x        x 3  2 x x ( x  1) x ( x  1) x 1 x x 1 x x 1   tự làm Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích phương pháp biến đổi số 2 1 Phân tích I   dx   2 dx x x x 1 x 1 x   MATHEDUCARE.COM   https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14  x   t Đặt t    x  dx   dt  t2   x  t  Đổi cận   x  t  1 t3 t Khi I    t dt   dx đến lại trở thành 1, bạn mà làm 11  t 1   1 t2  t2  Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân tử phương pháp đổi biển số 2 x I  dx   dx x  x  1 x  x  1 dt  xdx  x  t  Đổi cận   x  t  Đặt t  x    1 1 1 t 5     dt     ln   ln  ln  2  2   t  1 t 1 t   t 1 t 1  2 t  t  1   Hoặc bạn đặt u  t  phân tích  t   t  1 đồng thức dt Khi I    Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân tử phương pháp đưa vào vi phân 2 x 1 I  dx     d  x  1  x x  x x  x x          2 2 x 1  x 1 1 2   d x 1   d x 1   2 d x2   x x 1 21x x x 1            1 dx   dx ôi đến lại thành cách rùi, lòng vòng quá, bỏ qua thui… x x x 1   Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng thức A B C Dx  E  3   đến đồng thức hai vế để giải hệ tìm I  A, B, C , D, E x x x 1 x  x  1 x nhiên việc giải hệ phức tạp thể trường hợp ta nên làm theo cách 1, cách cách hiệu Cách 6: Đặt x  tan u  dx   tan  1 dt … bạn đọc tự làm Bài 14: Tính tích phân sau: I   dx x 1 Giải: Nhận xét: x    x  1  x  x  1 Cách 1: Dựa vào nhận xét ta sử dụng đồng thức: MATHEDUCARE.COM https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14  x   x  1  x   x  1 x  1 Khi I   x2 x 1 dx   dx  I1  I x 1 x  x 1 1 d  x  1 Tính I1 cách đặt t  x  I1   x3  1  x  1  (kĩ thuật nhảy tầng lầu) 2 1 x 1 2x 1 dx Ta có I   dx   dx   x  x 1 x  x 1 20 1 x     2  Cách 2: Đồng thức A Bx  C Xét     A  x  x  1   Bx  C  x  1 x 1 x 1 x  x 1 Đến ta đồng hệ số giải hệ tìm A, B, C cho số giá trị riêng x  1  A  ; x   C  ; x   B   …Bạn tự giải tiếp 3  Kết ta I  ln  3 Cách 3: Đổi biến số kết hợp kĩ thuật “nhảy tầng lầu” 1 dx dx d  x  1 I      x  1  x  12   x  1  3   x 1 x 1 x  x 1 Đặt x   t  dx  dt  x  t  Đổi cận   x  t  Tính I phân tích x    t  3t  3   t  3t     dt    31 t  t  3t   t t  3t  dt 2   dt t 3 dt      t t  3t   2   dt d  t  3t   dt         t t  3t  21 3 t     4 11 t2 2t      ln  arctan   ln   t  3t  3 1 3   Bài 15: Tính tích phân bất định: I   x  x3  x  dx  x  50 Giải : Cách 1: Biến đổi số x  t  Đặt x   t    dx  dt 3t  2  t  2  t  2  3x  5x  x  Khi I   dx   dt 50 t 50  x  2 Cách 2: Đồng tử thức chứa nghiệm mẫu thức MATHEDUCARE.COM https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 02 Giáo viên: Nguyễn Thành Long  2014 Email: Changngoc203@gmail.com 14 Phân tích x  x  x   a  x    b  x    c  x    d  x    e … đồng để tìm a, b, c, d, e … Cách 3: Khai triển Taylor (tham khảo) Đặt P4  x   3x  x3  x  Áp dụng khai triển taylor ta có     P4  2  P4 2  P4  2  P4  2             x  4 P4 x  P4 2  x2  x2  x2  1! 2! 3! 4!  P4  x   66  149  x    48  x    29  x     x   66  149  x    48  x    29  x     x   I  dx  x  50   66  x    66 49  x   49 50   149  x   149 48  x   48 49   48  x   48 47  x   47  48  29  x   29 46  x   1 Bài 16: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau: I   46  47  3 x  2 45  x   45 46  dx C x2  dx x  x2  Giải: 1 Ta có  x 1 dx  x  x2  1  1 x2 x 1 x 1 dx   1  1  x  1  x  x     dx 1 1    dt  1   dx x  x  x  t   Đổi cận    t   x   dt Khi I   Đặt t  tan u  dt  1  tan u  du 1 t Đặt t  x  u  t   Đổi cận    t  u     dt  tan u   du  du  u 4 2   1 t  tan u 0 0 Cách khác: 1   Ta gộp hai lần đặt x   tan u     dx  1  tan u  du … bạn đọc tự giải x x   Khi I   Bài 17: Tính tích phân: I   x2  dx x4  Giải: MATHEDUCARE.COM https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14  4sin x dx  cos x Bài 13: (Đề 68 IVa) Tính tích phân sau: I   Giải: Cách 1: Phân tích 4sin x 1  cos x  4sin x 1  cos x  4sin x    4sin x  4sin x cos x  4sin x  2sin x  cos x 1  cos x 1  cos x  sin x Khi    4sin x 2 I  dx    4sin x  2sin x dx   cos x  cos x    cos x 0 Cách 2:  I   4sin x dx    cos x    4sin x  4sin x cos x dx   sin xdx   cos xd  cos x  0    4 cos x  2cos x  0 Cách 3:    cos x sin x   dx 4sin x I  dx    cos x  cos x 0  dt  sin xdx Đặt t   cos x   cos x  t    t  x  Đổi cận   t   x  2 1   t  1    Khi I    dt    4t   dt   2t  8t   t Chú ý: Có thể đặt t  cos x Cách 4: x x 32sin cos3 4sin x 2  16sin x cos x …Quá hay phải không, bạn tự giải tiếp  x  cos x 2 2cos 2 Cách 5: 2dt   dx   t  x 2t  Đặt t  tan  sin x  … Chắc chắn yên tâm làm tiếp 2  t    t2 cos x   t2  Chú ý: MATHEDUCARE.COM https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 45 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14 4sin x 4sin x(1  cos x)(1  cos x)   4sin x  2sin x Phân tích đến rùi có cách nào,  cos x  cos x bạn đọc tự khám phá nhé!  4cos x dx   sin x Tương tự I    Bài 14: (KTQS – 1997) Tính tích phân sau: I    sin x  sin x cot xdx sin x Giải: Cách 1: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân  I    3 sin x  sin x sin x  sin x cot x cot xdx  dx  sin x sin x sin x     2    cot xd  cot x     cot x cot xd  cot x     cot xd  cot x    cot x    sin x    3 3 Cách 2: Phương pháp biến đổi số   I    sin x  sin x cot x cot xdx    dx sin x sin x sin x  Đặt t  cot x  dt   dx sin x   t   x   Đổi cận    x  t    Khi I  3 t tdt   t dt  t   8 3 3 Cách 3: Phương pháp biến đổi số  Ta có I    3  sin x  sin x cos x sin x  sin x cot xdx  dx  sin x sin x Nhận xét: Hàm dấu tích phân hàm lẻ cos Đặt t  sin x  dt  cos xdx   t   x   Đổi cận   x   t    MATHEDUCARE.COM https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 46 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14 Khi I   3 t t dt  t4  3 t dt 1 t 1 dt  u    u du  t t t t  u    Đổi cận   u   t   3   0 3 u4 Khi I   u du   2 3 3 3 Đặt u   3 Bài 15: ( Đề 104 IVa) Tính tích phân sau: I   sin  dx x cos x Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích nhờ đồng thức sin x  cos x  Khi 3 3 3 3 2 8 dx sin x  cos x   I    dx     dx   tan x  cot x  4 2 2  sin x   sin x cos x  sin x cos x   cos x 8 8 Cách 2: Sử dụng công thức nhân đôi 3 3 3 3 8 d x   dx dx I   4 2  2 cot 2 x 4 2 2   sin x cos x  sin x  sin x 8 8 Cách 3: Phương pháp biến đổi số 1  tan x  t dx Đặt t  tan x  dt    … cos x sin x tan x t  Bài 16: Tính tích phân sau: I   cos xdx sin x  cos x Giải: Cách 1: Đồng thức Ta phân tích: cos x   A sin x  B cos x  (sin x  cos x)  C  sin x  cos x  MATHEDUCARE.COM https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 47 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14  A    3B  C      ( 3B  C ) cos x  ( B  A)sin x cos x   A  C  sin x   B  A    B  A  C     C    cos x   sin x  cos x  4 sin x  cos x 4(sin x  cos x)   1  13 dx Khi I   cos x  sin x    4  sin x  cos x    I1  Tính: J  dx  sin x   I1   20 cos x  x   ln tan      2 6 sin  x   3  dx  1 3ln  x  I   cos x  sin x  ln tan      8 2 60 4 Cách 2: Tích phân liên kết  Sử dụng tích phân liên kết J  cos xdx  sin x  cos x  I  J  1 3ln   Giải hệ  ln  I   I  J    cos xdx sin xdx Tổng quát: I   tích phân liên kết thường J    A sin x  B cos x  A sin x  B cos x  Bài 17: Tính tích phân sau: I    cos6 x dx sin x Giải: Cách 1: Đưa vào vi phân cos x cos x.cos x  Phân tích   1  4 sin x sin x  tan Khi MATHEDUCARE.COM  4  tan x  tan x  tan x x https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 48 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14     cos x dx    tan x  tan x  dx   tan xdx   tan xdx  sin x    4 4       I  I1 I2 Tính           I1   tan xdx    tan x  tan x    tan x  1  1 dx   tan  tan  1 dx    tan x  1   dx    tan xd  tan x   tan x  x   4   2   Tính I    tan x  1  1 dx    tan x  1 dx   dx   tan x  x  … tự giải     4 4 Cách 2:    2 cos x cos x 1  sin x   cos x  cos x sin x  cos x sin x Phân tích    cot x  cot x  cos x 4 sin x sin x sin x sin x Khi  I   cot x    4 dx   cot xdx   cos xdx sin x      4      cot xd  cot x      1 dx   1  cos x  dx 2 sin x      cot x 1 sin x   5 23      cot x  1   x     2    12  Cách 3: Nhận xét: Vì hàm dấu tích phân hàm chẵn sin va cos nên ta đặt t  tan x cách dài phức tạp nên không nêu ra, bạn đọc tự khám phá nhé!  Bài 18: Tính tích phân sau: I    cos x sin x.cos xdx Giải:  I    cos x cos3 x.sin x.cos xdx cos3 x   t Đặt  cos3 x  t   cos3 x  t   sin x.cos xdx  2t dt MATHEDUCARE.COM https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 49 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14   t  x  Đổi cận   t   x  1  t t13  12 Khi I   t 1  t  t dt    t  t12  dt       13  91 0 Hoặc : Đặt  cos x  t Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân   0 I    cos x cos x.sin x.cos xdx    cos x cos xd 1  cos x        cos3 x 1  cos x   1d 1  cos3 x    0     cos3 x 1  cos x  d 1  cos x     cos3 xd 1  cos3 x   sin x.cos x dx  cos x Bài 19: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I   Giải: Cách 1: Đổi biến số Phân tích   sin x.cos x sin x.cos x dx   dx  cos x  cos x 0 I  dt   sin xdx Đặt t   cos x   cos x  t    t  x  Đổi cận   t   x  2  t  1  t2 1  Khi I  2 dt    t    dt    2t  ln t t t 2 1 Cách 2:   2   2ln  1  1  cos x   1 sin x.cos x sin x.cos x  d cos x dx   dx       cos x  cos x  cos x 0 I      cos x     1  cos x   ln  cos x   ln   d  cos x    sin x   cos x   0 0 Chú ý: d  cos x   d 1  cos x  ta đặt t  cos x  Tổng quát: I    a sin x.cos x dx ta đặt t  b  c.cos x t  cos x b  c.cos x MATHEDUCARE.COM https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 50 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14 Bài tập tự giải có hướng dẫn:  Bài 1: (ĐH – A 2008) Tính tích phân sau: I   tan x 10 dx  ln   cos x   HD: Cách 1: Biến đổi cos x  cos x  sin x  1  tan x  cos2 x Đặt t  tan x Hoặc sử dụng công thức cos x   tan x  tan x Tổng quát:  a tan x I   dx với a, b    b cos x Biến đối b cos x  b  cos x  sin x   b 1  tan x  cos x đặt t  tan x Mở rộng  a tan x dx với a, b, c, d   2  b sin x  c sin x cos x  d cos x I  Biến đổi b sin x  c sin x cos x  d cos x   b tan x  c tan x  d  cos x đặt t  tan x  dx cos x Bài 2: (ĐH AN– 1998): Tính tích phân sau: I   Cách 1:        4 dx dx I     tan x d tan x  tan x  tan x    4     2  cos x cos x cos x 0 Cách 2: Biến đổi số 4 dx dx dx I     tan x    2  cos x cos x cos x cos x Đặt t  tan x Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần  u  cos x   dv  dx  cos x  Bài 3: (Đề 84.IVa) Tính tích phân sau: I     I    dx   sin x  dx sin x  cot x    1  cot x  d  cot x    (cot x  )   sin x  4 d  cot x  MATHEDUCARE.COM  https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 51 02 Giáo viên: Nguyễn Thành Long  2014 Email: Changngoc203@gmail.com 14  Bài 4: Tính tích phân sau: I   cos x.cos 2 xdx   HD: C1: Hạ bậc biến đổi tích thành tổng C2: Tích phân liên kết  Bài 5: Tính tích phân sau: I    2sin x  sin x  cos x  dx   HD:  2sin x  cos x   cos x  sin x  cos x  sin x   sin x  cos x   1  sin x   4cos  x   4  Từ ta có cách sau Cách 1:  Biến đổi I     2sin x  sin x  cos x  dx   cos x 1  sin x  dx đặt t   sin x t  sin x biến đổi vi phân trực tiếp  I    2sin x  sin x  cos x  dx    cos x 1  sin x  dx  d 1  sin x   1  sin x  đặt t  tan x Cách 2:  Biến đổi I     2sin x  sin x  cos x    cos x  sin x  cos x  sin x   cos x  sin x  dx   dx 4  sin x  cos x  0  sin x  cos x  dx   Đặt t  sin x  cos x biến đổi vi phan trực tiếp Cách 3:  Biến đổi I   Đặt t  x    2sin x  sin x  cos x  dx   cos x dx   cos  x   4    Bài 6: (ĐHGT TPHCM – 2000) Tính tích phân: I    sin x dx cos x HD: sin x 1 dx  tan x dx  tan x 1  tan x  d  tan x  cos x cos x cos x 42  Đs: 15 Ta có  Bài 7: (ĐHĐN – 2000) Tính tích phân: I    sin x  cos x dx sin x  cos x HD: MATHEDUCARE.COM https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 52 02 Giáo viên: Nguyễn Thành Long  2014 Email: Changngoc203@gmail.com 14  I          d cos  x    sin  x        4   dx     dx   ln  cos  x              cos  x   cos  x   4 4     ln   Bài 8: Tính tích phân sau: I   tan xdx HD: Đặt t  tan x  dt  (tan x  1)dx x   t   Đổi cận:    x   t   1   t t3  t dt  13   Vậy I   tan xdx    t4  t2 1 dt    t  du       15 t 1 5 0 0 t 1 0  Bài 9: Tính tích phân sau: I   cos5 xdx  15  sin x cos x dx  cos x Bài 10: Tính tích phân sau: I   HD:  I  2 cos x t 1 1  ln d 1  cos x    dt   t  ln t    2  cos x 21 t 2 Bài 11: Tính tích phân sau: I   tan xdx HD:   I   tan xdx   tan x sin xd  tan x   tan x 1  cos x  d  tan x    tan x   d tan x      tg x  tan x   1   tan xd  tan x    d  tan x   tan x  tan x  x  C  tan x  3sin x  cos x dx 2 3sin x  cos x Bài 12: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân sau: I   Đs: I    ln V BÀI TẬP HỖN HỢP CỦA NHIỀU HÀM SỐ Bài tập giải mẫu: MATHEDUCARE.COM https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 53 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14  Bài 1: (ĐH TL2001) Tính tích phân sau: I   ln 1  tan x dx Giải: Cách 1:  dx   dt   Đặt x   t    tan t   1  tan x   tan   t     tan t   tan t       x   t  Đổi cận  x    t      4     Khi I   ln  dt  ln dt  ln 1  tan t  dt  (ln 2)  I  I  ln      tan t  0 Cách 2: Ta có      sin x  cos x  I   ln 1  tan x dx   ln   dx   ln  sin x  cos x  dx   ln  cos x  dx  cos x   0 0       ln cos   x  dx   ln  cos x  dx 4  0  J Tính      1        J   ln cos   x  dx  ln  dx   ln cos   x  dx  ln x   ln cos   x  dx  ln  K 2 4  4   0 0   K  Đặt t   x   dt  dx   Khi K   ln  cos t  dt   ln  cos x  dx 0  Khi I  ln Cách 3: Tích phân phần u  ln 1  tan x  Đặt  …Bạn đọc tự giải  dv  dx Bài 2: Tính tích phân: I   ln 1  x   x2 dx HD:  Đặt x  tan t ta I   ln 1  tan t dt ; MATHEDUCARE.COM https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 54 02 Giáo viên: Nguyễn Thành Long  2014 Email: Changngoc203@gmail.com 14   đặt t   x ta I   4 ln du  ln  du  I  tan u  Bài 3: Tính tích phân sau: I   ln( x   1) x 1 x 1 dx Giải: Cách 1:  dt  x  dx   t  1 dt  dx Đặt t  x   1   x   t  1   x  t  Đổi cận    x  t  Khi 3 3 (t  1) ln t ln t I  2 dt  dt  ln td  ln t   ln t  ln  ln 2   t (t  1)  t  2 Cách 2: Đặt t  x  bạn đọc tự giải  xdx  sin x Bài 4: Tính tích phân sau: I   Giải: Cách 1: Đặt t   x     Cách 2: Biến đổi  sin x   cos  x    2cos  x   , tích phân phần 2 4    I   x.sin x.cos xdx       1 3 xd cos x   x cos x  cos3 xdx       30 3      1 sin x      1  sin x  d  sin x     sin x    30 3 0 Bài 5: (ĐH DHN – A 2000) Tính tích phân sau:  I  1  sin x  e x    e x sin x dx   dx   dx  e x  cos x  cos x o cos e x Giải: Cách 1:      2  sin x x e x dx sin x e x dx sin x Ta có: I   e dx    e x dx    e x dx x  cos x  cos x  cos x  cos x 0 0 cos   I2  I1 MATHEDUCARE.COM https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 55 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14  e x dx x 0 cos 2 x u  e  du  e x dx   dx Đặt:  dv   x v  tan x   cos   Áp dụng công thức tính tích phân phần      2 e x dx x x x I1    e x tan   tan e x dx  e   tan e x dx x 20 2 cos 0    x x cos 2 2sin sin x 2 e x dx  tan x e x dx Tính: I   e x dx   0 x  cos x 0 cos 2 Tính: I1   Vậy I  e Cách 2:     e x sin x x x Ta có: I   dx   dx   e x d (tan )   e x tan dx x  cos x 2 cos 0  ex     x x x x2  e tan   e x tan dx   e x tan dx  e x tan  e2 20 2 0 Sử dụng định nghĩa: Ta có x x ' ' e x 2sin cos 1  sin x  e x ex ex x x  x x x x '  x x 2     tan e   tan  e  tan  e    e tan  x x x  cos x 2 2   cos 2cos 2 cos 2 2 Hoặc ta biến đổi: x x  sin  cos   1  sin x   x x 2 1   1  tan  tan  x  cos x 2 2 cos x  Vậy I    x x x 1  tan dx   tan e dx  0 2 20  I1  x Tính I1   tan e x dx MATHEDUCARE.COM https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 56 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14 e2   Bài 6: (ĐH GTVT – 1998) Tính tích phân sau: I      dx ln x ln x  e  Cách 1: Đặt f  x   1  ln x ln x ' Ta có f  x   ' 1  ln x   x  ln x    x  ln x  x     F x  2 ln x ln x ln x ln x ln x Khi e2   x e2 e2  I    dx   e   ln x ln x  ln x e e  Cách 2: e2 e2 e2 e2 e2  dx x e2 dx dx    I        dx   xd    ln x  ln x e ln x e ln x  ln x  e ln x e  ln x e e  Bài 7: Tính tích phân sau I   x.sin x cos xdx Giải:   1 I   x.sin x cos xdx   x  sin x  sin x  dx 20 40  du  dx u  x  Đặt:    dv   sin x  sin x  dx v    cos x  cos x     1   1  Khi I  x  cos x  cos x     cos x  cos x dx   3  03    x  1 1 1     cos3 x  cos x    sin x  sin x    2   18  Cách 2: Đặt x    t … bạn đọc tự giải Chú ý: Qua toán ta có nhận xét Dựa vào đạo hàm ta tính Nguyên hàm dạng đặc biệt Dạng 1: Nguyên hàm hàm số dạng tích thương Dạng Tổng Cấu trúc hàm số ' f  x   u '  v'   u  v  Hiệu f  x   u'  v'  u  v  Tích f  x   u ' v  v ' u   uv  Thương f  x  ' F  x  u  v ' F  x   uv u ' v  v 'u  u    v2 v ' Dạng 2: Các dạng nguyên hàm đơn giản chứa ex https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 MATHEDUCARE.COM Nguyên hàm F  x  u  v F  x  u v 57 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14 Đặc trưng ex Nguyên hàm F  x  u  x ex Hàm số (đạo hàm) F  x   u '  x   u  x   e x  f  x  e x F  x   u  x  e x F '  x   u '  x   u  x   e  x  f  x  e ax b F  x   u  x  eax b F '  x   u '  x   au  x   e ax b  f  x  ev v  F  x   u  x  ev v  F '  x   u '  x   v '  x  u  x   ev x   f  x  Ví dụ: Tính tích phân sau: I   x2e x  x  2 ' dx Giải: Cách 1: Tích phân phần u  x e x du  xe x  x   dx   dx   Đặt  du  v    x  2 x2   x x e Khi I     xe x dx x2 0  I1 u  x du  dx Tính I1   xe x dx Đặt   x x  dv  e dx v  e 1 Khi I1  xe x   e x dx   xe x  e x  0 Vậy I   x2 ex   xe x  e x   x2 Cách 2: Phân tích x   x  x     x      x     x    Khi I   x2  x  2 x e dx    x  2   x  2   x  2 1 ex e x dx   e x dx   dx   dx x2 0  x  2  J Tính J làm xuất tích phân mà làm triệt tiêu tích phân Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: Tính tích phân sau: I   x 2e2x  x  1 dx HD: Sứ dụng tích phân phần 1 x2e2x   I  dx   x e2 x d     x 1  x  1 MATHEDUCARE.COM https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 58 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14 1 1 1 x 2e2x e2 e2 e2   d  x e2 x      xe2 x dx     xd  e x     xe2 x   e x dx x 1 0 x 1 2 e e2 x   2  e  e2       2   x x     Bài 2: Tính tích phân sau: I    x tan  x 1  tan    tan 2  8   Bài 3: (ĐHLN – 2001) Tính tích phân sau: I   x  1 e x  x  1 dx    Bài 4: Tính tích phân sau: I   esin x 1  x cos x  dx  e e2   Bài 5: (ĐHTN – 1996) Tính tích phân sau: I    ln x    2e  2e ln x  e  LỜI KẾT: Đây thực chưa phải toán cách giải hay, chưa có nhiều tập phong phú đa dạng, song góp phần nhỏ bé cho bạn Tôi hi vọng bạn thích thú tìm thêm tập hay cách giải đặc sắc hơn… Tuy nhiên lực kinh nghiệm thiếu Rất mong bạn học sinh bạn đồng nghiệp góp ý kiến, bổ sung thêm giúp bạn hoàn thiện … Xin chân thành cảm ơn Góp ý theo địa Email: Loinguyen1310@gmail.com địa chỉ: Nguyễn Thành Long Số nhà 15 – Khu phố – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố hóa MỤC LỤC I TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ……………………………………………… Trang II TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ……………………………………………………… Trang 18 III TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT…………………………………… Trang 26 IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Trang 35 MATHEDUCARE.COM https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 59 [...]... sau: I   (4  2 x  x x 2 dx 2 ) 2  2x  x 2  x 2 dx [3  ( x  1) 2 ] 3  ( x  1) 2 Giải: Cách 1: dx   3 sin tdt Đặt x  1  3 cos t   2 2  x  3cos t  2 3 cos t  1 Khi đó I =   3 sin t (3 cos2 t  2 3 cos t  1)dt 2 (3  3cos t ) 3 sin t    (1   2 3 cos t 2  )dt 2 3  3 cos t 3  3 cos2 t Cách 2:  dx (2 x  4)dx   I1  I 2 [3  ( x  1) 2 ] 3  ( x  1) 2 (2 x  4)dx 2tdt... Bài 12: ( HK D-2004) Tính tích phân sau: I   ln  x 2  x  dx 2 Giải: 2x 1  u  ln( x 2  x) du  2 dx Đặt:   x x dv  dx v  x 3  I = xln(x2-x) 32   2 2x  1 dx  3 ln 6  2 ln 2  (2 x  ln( x  1)) 32 = ln216 – ln4 – 2 – ln2 = ln27 – 2 x 1 3 3 3 3 Hoặc I   ln  x 2  x  dx   ln x  x  1 dx   ln xdx   ln  x  1 dx  I1  I 2 2 2 2 2 Áp dụng TPTP là xong ln 3 Bài 10: ( HDB... x2 Bài 13: (DBĐH 2 – A 2005) Tính tích phân: I   3 x 1 0 3 Bài 14: (DBĐH 1 – A 2008) Tính tích phân: I  x   1 2 3 2x  2 4 Bài 15: (DBĐH 1 – A 2007) Tính tích phân: I   0 3 1 dx  2x  1 1  2x  1 3 Bài 16: (CĐXD – 2005) Tính tích phân: I  231 10  12 5 dx  2  ln 2 x3 dx x 1  x  3 III TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT Bài tập giải mẫu: e ln x 3 2  ln 2 x dx x 1 Bài 1: (PVBCTT – 1999)... J1  J 2   2 2 2 2 2 2 [3  (x  1) ] 3  ( x  1) (3  t ) 3  t (3  t ) 3  t 2 I= 2  2x  x 2 Tính J1 bằng cách đặt 3  t 2  u , tính J 2 bằng cách đặt 3  t2  u  3t  Bài tập tự giải có hướng dẫn: 7 Bài 1: ( HĐN- 1997) Tính tích phân: I   2 1 2  x 1 dx  2  4 ln 2  2 ln 3 HD: Sử dụng phương pháp biến đổi số Đặt t  2  x  1 Hoặc t  2  x 2 Bài 2: ( HSP QN – 1999) Tính tích phân:... phương pháp tích phân từng phần như bài 20 thì cũng ra nhưng rất dài và phức tạp vì bậc của  x  1 là lớn 1 Bài 22: Tính tích phân: I   (1  3 x )(1  2 x  3 x 2 )10 dx 0 Giải: Cách 1: Đổi biến số Đặt t  1  2 x  3 x 2  dt  (2  6 x) dx  dt  2(1  3 x) dx  dt  (1  3 x) dx 2  x  0 t  1 Đổi cận:   x  1 t  6 10 6 6t dt t 11 6 611 111 611 I   t 10  dt     1 1 1 2 2 22 1 22 22... x5 Bài 3: Tính tích phân sau: I   2 dx 0 x 1 HD: 5 3 2 2 Đồng nhất thức: x  x ( x  1)  x ( x  1)  x 1 2 1 1 x  1 1  1 4 1 2 1  2  I    x3  x  2 dx   x  x  ln( x  1)]  ln 2  4 2 2  0 2 4 x 1  0 Hoặc chia tử cho mẫu để tách thành tổng các tính phân đơn giản Hoặc đặt x  tan t 1 x Bài 4: ( HKT – 1994) Tính tích phân sau: I   dx 3 0 1  2 x  HD:  1 x 1 1 1 1 Phân... số 1/ 5 1/ 2 3 1 5 1   ln 2t  4t 2  1  ln 2 1/ 5 4 3 (2 t ) 2  1 d (2 t ) Đặt x  2 tan t  dx  2 1  tan 2 t  dt với 0  t    t  x  2 3 3  Đổi cận:   5  x  5  tan    2   1 3 dt t 1 5 Khi đó: I    ln tan 3  ln 2  sin t 2 4 3   2 và x 2  4  2 cost (trong đó tan  1  cos  1   ) 2 1  cos  5 1 Bài 4: ( HDB – A 2003) Tính tích phân sau: I   x 3 1  x 2 dx 0... 9 11 10 9  x  x  1 dx    t  1 t dt    t  2t  1 t dt    t  2t  t  dt 1 12 0 11 0 0 10 t t t 1 1 2 1 1  2       11 10  0 12 11 10 660  12 Cách 2: Phương pháp phân tích 2 Phân tích x 2   x  1  2  x  1  1 Khi đó MATHEDUCARE.COM https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 12 02  2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 14 0 I 0 0 9 2 9 11...    2  ln t   1  ln 2 3 t 2 t  2t  2 1 t 2 2 2 2 Cách 5: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân 1 2 2 2 1  t 2   3  3 I   tan 3 xdx    4  4  3 2 2  3  3 4 4 (1  cos x) sin xdx (cos x  1)d (cos x) d (cos x)     cos 3 xd  cos x  3 3 cos x cos x cos x    4  1 3  ln | cosx |   2cos 2 x 4  3 1  1  ln 2   2 4  2 Bài 4: Tính tích phân sau: I   sin 3 xdx 0... xdx   dx     4  2 8  8 2 0 0 0 0 1 Cộng (1 ) và (2 ) theo từng vế ta được I   4    16 2 2 2  2 Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích  4    1  cos 2 x 14 14 14 I  cos 2 xdx    cos 2 x  cos 2 2 x  dx   cos 2 xdx   1  cos 4 x  dx 2 20 20 40 0  1 1 1 1    sin 2 x  x  sin 4 x  4     4  4 16 4  0 16  2 Bài 2: ( HTM – 2000) Tính tích phân sau: I   0 4sin x

Ngày đăng: 27/05/2016, 19:50

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan