Đang tải... (xem toàn văn)
Mời các bạn xem và tải tài liệu Tổng hợp lý thuyết ôn thi THPT quốc gia môn toán đây là tài liệu hay tổng hợp các công thức theo cấu trúc đề thi môn toán THPT quốc gia của BGD và đào tạo. Chúc các em thí sinh ôn thi tốt và thi đạt hiệu quả cao
Lờ Trung Kiờn THPT Nguyn Du-Thanh Oai-H Ni ễN TP KIN THC ễN THI I HC I, Kho sỏt hm s v cỏc liờn quan 1.Bng cỏc o hm x n = n.x n u n = n.u n 1.u ( ) ( ) ( x ) = 1x ( u ) = 2uu ữ = x x ( x ) = , c = , u ữ = u u ( u v ) = u v +) Nu > ( > ) phng trỡnh y = cú hai nghim phõn bit b b , sp xp hai = 2a a nghim x1 < x x x1 x2 x= ( s inx ) = cos x u u v uv ữ= v2 v ( sin u ) = u.cos u ( cos x ) = s inx ( cos u ) = u.sin u u ( tan x ) = ( tan u ) = cos x cos u u ( cot x ) = ( cot u ) = sin x sin u Xột du biu thc nh lý v du ca nh thc bc nht y = f ( x ) =ax + b ( a ) x y af ( x ) < b a + af ( x ) > nh lý v du ca tam thc bc hai y = ax + bx + c ( a ) b = b 4ac = ( b ) ac = , b = ữ +) Nu < ( < ) phng trỡnh y = vụ nghim https://www.facebook.com/letrungkienmath af ( x ) > +) Nu = ( = ) phng trỡnh y=0 b cú nghim kộp x1,2 = 2a x b + 2a y af ( x ) > af ( x ) > 0 ( k.u ) = k.u ( uv ) = uv + uv + x y af ( x ) > y af ( x ) < 0 nh lý vi-et: Khi phng trỡnh bc hai ax + bx + c = ( a ) cú hai nghim b x1 + x = a x1 ; x ta cú x x = c a Phng trỡnh tip tuyn ( PT ) PT vi th hm s y = f ( x ) ti im M ( x ; y ) cú h s gúc l f ( x0 ) PT vi th hm s y = f ( x ) ti im M ( x ; y ) cú dng : y = f ( x ) ( x x ) + y0 , y0 = f ( x ) M c gi l tip im x c gi l honh ca tip im y c gi l tung ca tip im https://sites.google.com/site/letrungkienmath + af ( x ) > Lờ Trung Kiờn f ' ( x ) c gi l h s gúc ca tip tuyn Nu PT song song vi ng thng y = ax + b thỡ f ( x ) = a Nu PT vuụng gúc vi ng thng y = ax + b thỡ f ( x ) = a Nu PT to vi trc 0x mt gúc thỡ f ( x ) = tan Nu PT ct hai trc ta to thnh mt tam giỏc vuụng cõn thỡ f ( x ) = Quy tc xột tớnh n iu hm s Tỡm xỏc nh ca hm s Tớnh o hn f ( x ) , tỡm cỏc im x i ( i = 1, n ) m ti ú o hm bng khụng hoc khụng xỏc nh Sp xp x i theo th t tng dn v lp bng bin thiờn Nờu cỏc kt lun v s ng bin nghch bin ca hm s Quy tc tỡm cc tr hm s Tỡm xỏc nh ca hm s Tớnh f ( x ) , tỡm cỏc im x i ( i = 1, n ) m ti ú o hm bng khụng hoc khụng xỏc nh Sp xp x i theo th t tng dn v lp bng bin thiờn T bng bin thiờn suy cỏc im cc tr ca hm s Quy tc tỡm cc tr ca hm s Tỡm xỏc nh Tớnh f ( x ) , gii phng trỡnh f ( x ) = v kớ hiu x i ( i = 1, n ) l cỏc nghim ca nú Tớnh f ( x ) v f ( x i ) Nu f ( x ) > thỡ x l im cc tiu Nu f ( x ) < thỡ x l im https://www.facebook.com/letrungkienmath THPT Nguyn Du-Thanh Oai-H Ni cc i Chỳ ý nu f ( x0 ) = thỡ ta khụng kt lun c v tớnh cc tr hm s ti x 7.Quy tc tỡm GTLN, GTNN ca hm s liờn tc trờn mt on Tỡm cỏc im x1 ; x ; ; x n trờn ( a; b ) m ti ú f ( x ) = hoc khụng xỏc nh Tớnh f ( a ) ; f ( x1 ) ; f ( x ) ; ;f ( x n ) ;f ( b ) Tỡm s ln nht M v s nh nht m cỏc s trờn Khi ú: M = max f ( x ) , m = f ( x ) [ a;b ] [ a;b] Chỳ ý: tỡm GTLN, GTNN ca hm s trờn mt khong, na khong ta cú th lp bng bin thiờn ca hm s trờn khong, na khong ú v t ú kt lun Khụng phi hm s no cng cú GTLN, GTNN ng tim cn ng tim cõn ngang: y = y l tim cn ngang ca th hm s y = f ( x ) nu: lim f ( x ) = y x ng tim cn ng: x = x l tim cn ng ca th hm s = y = f ( x ) nu xlim x S kho sỏt hm s Tỡm xỏc nh ca hm s Xột chiu bin thiờn ca hm s +Tỡm y +Tỡm cỏc im ti ú o hm bng hoc khụng xỏc nh +Xột du y v suy chiu bin thiờn ca hm s (ng bin,ngch bin) Tỡm cc tr Tỡm gii hn v tim cn (nu cú) Lp bng bin thiờn V th https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lờ Trung Kiờn 10 Tng giao ca hai th Xột hai hm s y = f ( x ) v y = g ( x ) ta giao im ca th hai hm s l nghim ca h phng trỡnh y = f ( x ) y = g ( x ) ng thng y = ax + b l PT ca th hm s y = f ( x ) , v ch f ( x ) = ax + b cú nghim f ( x ) = a phng trỡnh II, Lng giỏc 1.Cỏc hng ng thc lng giỏc c bn sin x + cos x = 1 1 + tan x = ,1 + cot x = cos x sin x sin x cos x t anx = , cot x = , tan x cot x = cos x s inx 2.Cụng thc cng lng giỏc sin ( a b ) = sin a cos b cos a sin b cos ( a b ) = cos a cos b msin a sin b t ana tan b mtan a tan b 3.Cụng thc cung nhõn ụi sin 2a = 2sin a cos a tan ( a b ) = cos2a = cos 2a sin a = cos a = 2sin a tan a tan 2a = tan a x Chỳ ý: Nu t tan = t thỡ ta cú: 2t t2 s inx = ; cos x = 1+ t2 1+ t2 2t t2 t anx = ; cot x = t2 2t 4.Cụng thc h bc https://www.facebook.com/letrungkienmath THPT Nguyn Du-Thanh Oai-H Ni + cos2a cos2a ; sin a = 2 Cụng thc cung nhõn ba sin 3a = 3sin a 4sin a; cos a = cos3a = cos a 3cos a 6.Cụng thc bin i tng thnh tớch a+b ab cos a + cos b = 2cos ữcos ữ a+b ab cosa- cos b = 2sin ữsin ữ a+b a b sin a + sin b = 2sin ữcos ữ a+b a b sin a sin b = 2cos ữsin ữ 7.Cụng thc bin i tớch thnh tng cos a cos b = cos ( a b ) + cos ( a + b ) sin a sin b = cos ( a b ) cos ( a + b ) sin a cos b = sin ( a b ) + sin ( a + b ) 8.Giỏ tr lng giỏc ca cỏc gúc liờn quan + Gúc GTLG cos sin sin sin cos cos sin cos tan tan cot tan cot cot tan cot 9.Phng trỡnh sinx=a a > phng trỡnh vụ nghim sin = a a cú gúc : c gi l arcsin a sin f ( x ) = sin g ( x ) f ( x ) = g ( x ) + k2 ,k f ( x ) = g ( x ) + k2 https://sites.google.com/site/letrungkienmath sin cos tan cot Lờ Trung Kiờn Cỏc trng hp c bit s inx = x = + k2, k  s inx = x = k, k  s inx = x = + k2, k  Bng sin cỏc gúc c bit Gúc 0 90 60 45 300 sin -1 2 0 0 30 45 60 900 sin 2 10.Phng trỡnh cosx=a a > phng trỡnh vụ nghim cos = a a cú gúc : c gi l arc cosa cosf ( x ) = cosg ( x ) Gúc f ( x ) = g ( x ) + k2 ,k  f ( x ) = g ( x ) + k2 Cỏc trng hp c bit cosx = x = k2, k  cosx = x = + k, k  cosx = x = + k2, k  Bng cos cỏc gúc c bit Gúc 0 0 30 45 60 900 cos 2 2 https://www.facebook.com/letrungkienmath THPT Nguyn Du-Thanh Oai-H Ni 1200 1350 1500 1800 cos 2 11.Phng trỡnh tanx=a k: x + k, k  tan = a Luụn cú gúc : < < c gi l arctana tan f ( x ) = tan g ( x ) f ( x ) = g ( x ) + k, k  Gúc Gúc tan Bng tan cỏc gúc c bit 600 450 300 3 00 0 30 45 600 tan 3 12.Phng trỡnh cotx=a k: x k, k  cot = a Luụn cú gúc : < < c gi l arccota cot f ( x ) = cot g ( x ) Gúc f ( x ) = g ( x ) + k, k  https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lờ Trung Kiờn Gúc THPT Nguyn Du-Thanh Oai-H Ni Bng cot cỏc gúc c bit 0 30 45 60 900 3 cot 600 Gúc 450 cot 300 - III, S phc S phc Z = a + bi , a l phn thc ca Z, b l phn o ca Z, i l s i = Mụ un ca s phc Z = a + bi c tớnh bi cụng thc Z = a + b2 Cho s phc Z = a + bi thỡ s phc Z = a bi c gi l s phc liờn hp ca Z = a + bi Cho Z1 = a + bi, Z2 = c + di Z1 Z2 = ( a c ) + ( b d ) i Z1Z2 = ( ac bd ) + ( ad + bc ) i Z2 ( ac + bd ) ( ad bc ) = + i Z1 a + b2 a + b2 ( Z1 ) Nu a l mt s thc õm thỡ cn Cỏc nghim ca phng trỡnh ax + bx + c = ( a ) < b i 2a u' ữ' = u u u' u '= u ( uv ) ' = u ' v + v 'u u u 'v v'u ữ' = v2 v ( s inx ) = cos x ( ku ) ' = k ( u ) ' ( ) ( ) ( sin u ) = cos u ( u ) ( cos x ) = s inx ( cos u ) = sin u.( u ) cos x ( cot x ) = sin x x x (e )'=e ( t anx ) = (a )'=a x x ln a ( ln x ) ' = 1x ( log a x )'= ( u) cos u ( cot u ) ' = ( u ) sin u u u ( e ) ' = e u ' ( tan u ) = ( a ) ' = a ln a.u ' u ( ln u ) ' = uu' x ln a ( log = a b a loga b = b log a ( a ) = ( x) =1 lg b = log b = log10 b https://www.facebook.com/letrungkienmath a u )'= u' u ln a a a = ữ b b Cỏc cụng thc Loogarớt log a b = a = b , log a = IV, M, Lụ-ga Bng cỏc o hm ( x ) ' = x ( u ) ' = u 1.u ' c = u Cỏc cụng thc ly tha a n = a.a a { , a = a n = n an m a a = a + a n = n am a a = a ( ) = a a ( ab ) bc hai ca a l: i a l: x = 1,2 1 ữ' = x x x '= x ( u + v ) ' = u '+ v ' ln a = log e a; https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lờ Trung Kiờn THPT Nguyn Du-Thanh Oai-H Ni log a ( b1b ) = log a b1 + log a b b log a ữ = log a b1 log a b b2 log a b = log a b log a n b = log a b n log c b log a b = ;log a b.log b c = log a c , log c a log a b = log b a log a b = log a b , Phng trỡnh- Bt phng trỡnh m a)Phng trỡnh m Dng c bn: x a = b ( a > 0, a 1) nu b phng trỡnh vụ nghim, nu b>0 phng trỡnh cú nghim nht x = log a b a v cựng c s f (x) a = a g( x ) f (x) = g(x) t n ph Dng 1: A.a 2x + B.a x + C = t t = a x ( t > ) phng trỡnh tr thnh A.t + Bt + C = Dng 2: x A.a 2x + B ( ab ) + C.b 2x = 2x x a a A ữ + B ữ + C = b b x a t t = ữ ( t > ) b Dng 3: A.a x + B.b x + C = vi ab = x hoc a x b x = ta t t = a ( t > ) Khi x ú b = t Loogarớt húa https://www.facebook.com/letrungkienmath Vi M, N > v a > 0, a M = N log a M = log a N a f ( x ) = M f ( x ) = log a M Dựng tớnh n iu: D oỏn nghim ca phng trỡnh, dựng tớnh n iu chng minh nghim ú l nht b)Bt phng trỡnh m f (x) g( x ) f (x) g(x) a > 1: a a < a 0, a 1) Chỳ ý: iu kin log a f (x) l f (x) > a > 0; a a v cựng c s f (x) = g(x) log a f (x) = log a g(x) f ( x ) > f (x) = g(x) g ( x ) > t n ph Dng 1: A(log a x) + B ( log a x ) + C = t t = log a x At + Bt + C = , chỳ ý ( log a b ) = log a2 b Dng 2: A log a x + Blog x a + C = t https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lờ Trung Kiờn t = log a x log x a = THPT Nguyn Du-Thanh Oai-H Ni ( x > 0, x 1) t M húa log a b = c b = a c Dựng tớnh n iu D oỏn nghim ca phng trỡnh, dựng tớnh n iu chng minh nghim ú l nht b b' ' = 2a a =0 ( ' = 0) ( ' > ) (2) cú hai nghim trỏi du ac < 2 2 ( A + B + C ) = A + B + C + 2AB + 2BC + 2AC (2) cú hai nghim cựng õm a A B2 = ( A B ) ( A + B ) ( ' ) 3 2 ( A B ) = ( A B) ( A mAB + B ) x1 x > ( A B ) = A3 3A B + 3AB2 B3 x + x < 2 Phng trỡnh ax + b = (2) cú hai nghim cựng dng ax + b = ( 1) a H s Kt lun ( ' ) a0 b (1) cú nghim nht x = x1 x > a x + x > a = b (1) vụ nghim Phng trỡnh bc cao b = (1) nghim ỳng vi mi x Dng 1: Nhm nghim ca phng trỡnh Phng trỡnh bc hai Phng trỡnh: ax + bx + c = (a 0) (2) = b 4ac a n x n + a n 1x n + a1x + a = vi cỏc b Kt lun p ' = b ' ac, b ' = ữ h s nguyờn cú nghim hu t thỡ p q (2) cú hai nghim >0 l c ca a v q l c ca a n phõn bit ( ' > 0) Dng 2: Phng trỡnh trựng phng x1,2= b)Bt phng trỡnh lụgarit a>1 f (x) g(x) log a f (x) log a g(x) f (x) > < a V, Phng trỡnh, bt phng trỡnh i s Cỏc hng ng thc ỏng nh ( A B ) = A 2AB + B2 https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lờ Trung Kiờn ax + bx + c = t x = t ( t ) chuyn v phng trỡnh bc hai Dng 3: Phng trỡnh hi quy: ax + bx + cx + dx + e = vi a v e d = ữ ,e0 a b Nhn xột x = khụng l nghim ca phng trỡnh, chia hai v cho x ta cú: e b a x + ì ữ+ b x + ì ữ+ c = a x d x b t t = x + ì phng trỡnh tr thnh d x phng trỡnh bc hai Dng 4: Phng trỡnh: ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) = m , vi a + b = c + d Bin i phng trỡnh v dng: x + ( a + b ) x + ab x + ( c + d ) x + cd = m t t = x + ( a + b ) x + ab bin i v phng trỡnh bc hai Dng 5: Phng trỡnh: ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) = mx vi a.b = c.d Bin i phng trỡnh v: x + ( a + b ) x + ab x + ( c + d ) x + cd = mx xột x = ; x chia hai v cho x ta cú : ab cd x + ( a + b ) + x x + ( c + d ) + x = m ab bin i phng trỡnh v x phng trỡnh bc hai Phng trỡnh cha du giỏ tr tuyt i: gii cỏc phng trỡnh cú cha du giỏ tr tuyt i ta tỡm cỏch phỏ du giỏ tr tuyt i ca phng trỡnh, cú hai cỏch phỏ du giỏ tr tuyt i ca phng trỡnh l xột du biu thc du giỏ tr tuyt i hoc bỡnh phng hai v ca phng trỡnh, bỡnh phng hai v t t = x + https://www.facebook.com/letrungkienmath THPT Nguyn Du-Thanh Oai-H Ni ca phng trỡnh ta cn phi chỳ ý iu kin hai v cựng ln hn hoc bng A, A A = ; A = A2 A, A < f ( x ) = g ( x ) f ( x) = g ( x) f ( x ) = g ( x ) ( f ( x) ) = ( g( x) ) 2 g(x) f(x) = g(x) f(x) = g(x) g(x) 2 ( f(x) ) = g ( x ) Phng trỡnh cha n di du cn gii phng trỡnh cha n di du cn thụng thng ta bỡnh phng hai v ca phng trỡnh, bỡnh phng hai v ca phng trỡnh ta cn chỳ ý iu kin hai v cựng ln hn hoc bng g(x) f(x) = g(x) f(x) = g ( x ) f(x) f ( x) = g ( x) f(x) = g(x) ( ( ) ) g(x) f(x) = g(x) H phng trỡnh i xng loi 1: H phng trỡnh i xng loi hai n x, y l h phng trỡnh gm cỏc phng trỡnh khụng thay i ta thay x bi y v y bi x i vi h phng trỡnh dng ny ta thng dựng phng phỏp t n ph S = x + y , iu kin: S2 4P P = xy H phng trỡnh i xng loi 2: H phng trỡnh i xng loi l h phng trỡnh nu thay i x cho y v y cho x thỡ phng trỡnh ny chuyn v phng trỡnh ca h https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lờ Trung Kiờn THPT Nguyn Du-Thanh Oai-H Ni i vi h phng trỡnh ny ta thng tr tng v ca phng trỡnh cho nhau, bao gi cng phõn tớch c thnh nhõn t ( x y ) x y H phng trỡnh ng cp: Phng trỡnh ng cp bc hai cú dng: a1x + b1xy + c1 y = d1 2 a x + b xy + c y = d Cỏch gii: Cỏch 1: t x = ty tỡm t v gii phng trỡnh Cỏch 2: Chuyn phng trỡnh v dng Ax + Bxy + Cy = Xột y = thay vo phng trỡnh Xột y chia v ca phng trỡnh ta x c phng trỡnh bc hai vi y nh lý v du ca nh thc bc nht: y = f ( x ) =ax + b ( a ) x af ( x ) < y b a af ( x ) > b 2a + af ( x ) > +) Nu > ( > ) phng trỡnh y = cú hai nghim phõn bit b b , sp xp hai = 2a a nghim x1 < x x x1 x2 x= y af ( x ) > 0 af ( x ) < 0 + af ( x ) > b = b 4ac = ( b ) ac = , b = ữ +) Nu +) Nu < ( < ) phng trỡnh y = vụ nghim af ( x ) > g(x) < f(x) coự nghúa f(x) > g(x) g(x) f(x) < g(x) f(x) > g(x) Vi B > ta cú : A < B B < A < B ; A < B A >B A > B Ta thng dựng cỏch bỡnh phng hai v ca phng trỡnh phỏ du giỏ tr tuyt i, bỡnh phng cn chỳ ý iu kin hai v cựng du + + 11 Bt phng trỡnh cha n du giỏ tr tuyt i g(x) > f(x) < g(x) g(x) < f(x) < g(x) 10 nh lý v du ca tam thc bc hai: y = ax + bx + c ( a ) x y af ( x ) > +) Nu = ( = ) phng trỡnh y=0 b cú nghim kộp x1,2 = 2a 12 Bt phng trỡnh cha n cn https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lờ Trung Kiờn THPT Nguyn Du-Thanh Oai-H Ni f(x) f(x) < g(x) g(x) > f(x) < g(x)2 g(x) < f(x) f(x) > g(x) g(x) f(x) > g(x)2 Ta thng dựng cỏch bỡnh phng hai v ca phng trỡnh phỏ du giỏ tr tuyt i, bỡnh phng cn chỳ ý iu kin hai v cựng du VI, Tớch Phõn v ng dng Bng cỏc nguyờn hm- tớch phõn Cỏc nguyờn hm c bn x dx = x +1 + C, 1, Ă +1 xdx = ln x + C , dx = x + c , x dx = +C x x sin x 1 co t(ax + b)dx = a ln sin(ax + b) + C e ax + b x + C , > 0, ln Cỏc nguyờn hm thng dựng (ax + b) +1 (ax + b) dx = a +1 + C, 1, Ă https://www.facebook.com/letrungkienmath dx = ax + b dx dx = ax + b e +C a ax + b + C , > 0, a ln =2 x +C x x dx = tan(ax + b)dx = a ln cos(ax + b) + C a +C dx = co t x + C x cos(ax + b) +C a sin (ax + b)dx = a co t(ax + b) + C e dx = e x x sin(ax + b) +C a dx = tan x + C co t xdx = ln sin x + C +C cos (ax + b)dx = a tan(ax + b) + C tan xdx = ln cos x + C a sin(ax + b)dx = x sin xdx = cos x + C ln ax + b cos(ax + b)dx = cos xdx = sin x + C cos ax + bdx = dx x = arctan + C a a +a dx xa = ln +C 2a x+a a dx a+x = ln +C 2a ax x dx x p dx a x2 = ln x + x2 p + C = arcsin x +C a b) Nu F(x) l mt nguyờn hm f(x) thỡ b b f ( x ) dx = F ( x ) a = F(b) F(a) a c) Tớnh tớch phõn Phng phỏp i bin s dng https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lờ Trung Kiờn THPT Nguyn Du-Thanh Oai-H Ni d) ng dng ca tớch phõn b I = f ( ( x ) ) ( x ) dx b t t = ( x ) Khi ú b ( b ) b ( a ) I = f ( ( x ) ) ( x ) dx = Chỳ ý: f ( t ) dt t = ( x ) dt = ( x ) dx g(t) = ( x ) g ( t ) dt = ( x ) dx Phng phỏp i bin s dng b I = f ( x ) dx Din tớch S ca hỡnh phng gii hn bi th ca hm s y = f ( x ) liờn tc v trc honh,x=a; x=b (a r (P) v (S) khụng cú im chung h = r (P) tip xỳc vi (S) h < r (P) ct (S) theo ng trũn tõm H, bỏn kớnh r = r h2 Chỳ ý: iu kin cn v (P) tip xỳc vi S(O; r) ti H l (P) vuụng gúc vi OH ti H v OH=r Khi ú ta gi H l tip im v mt phng (P) ng gi l mt phng tip xỳc hay mt phng tip din ca mt cu Nu h = thỡ (P) ct (S) theo ng trũn tõm O bỏn kớnh r ng trũn ny gl ng trũn ln v (P) gl mt phng kớnh ca mt cu (S) Mt cu ni tip-ngoi tip Mt cu gl ni tip hỡnh a din nu mt cu ú tip xỳc vi tt c cỏc mt ca hỡnh a din, mt cu gl ngoi tip hỡnh a din nu tt c cỏc nh ca hỡnh a din u nm trờn mt cu Mt hỡnh chúp cú mt cu ngoi tip v ch ỏy cú ng trũn ngoi tip, tõm mt cu ngoi tip hỡnh chúp l giao ca ng thng qua tõm ng trũn ngoi tip a giỏc ỏy, vuụng gúc vi mt phng a giỏc ỏy v mt phng trung trc ca mt cnh bờn Cỏc hỡnh thng gp: Hỡnh chúp l hỡnh cú ỏy l mt a giỏc v nh l mt im khụng nm trờn mt phng cha ỏy Tựy theo ỏy l tam giỏc, t giỏc m ta gi l hỡnh chúp tam giỏc, hỡnh chúp t giỏc Hỡnh chúp c gi l hỡnh chúp u nu nú cú ỏy l a giỏc u v cú chõn ng cao trựng vi tõm ca ỏy Hỡnh chúp ct l hỡnh to bi thit din song song vi ỏy ct cỏc cnh bờn ca hỡnh chúp v ỏy Hỡnh chúp ct u l hỡnh chúp ct hỡnh thnh ct hỡnh chúp u Hỡnh t din l hỡnh chúp tam https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lờ Trung Kiờn giỏc Hỡnh t din u l hỡnh chúp tam giỏc cú bn mt l cỏc tam giỏc u Hỡnh lng tr l hỡnh gm hai ỏy l hai a giỏc bng nm trờn hai mt phng song song, cỏc cnh bờn song song v bng Tựy theo ỏy ca hỡnh lng tr l tam giỏc, t giỏc ta cú hỡnh lng tr tam giỏc, t giỏc Hỡnh lng tr cú ỏy l hỡnh bỡnh hnh c gi l hỡnh hp Hỡnh lng tr ng l hỡnh lng tr cú cỏc cnh bờn vuụng gúc vi mt ỏy di cnh bờn l chiu cao ca hỡnh lng tr ng Tựy theo ỏy ca hỡnh lng tr ng l tam giỏc, t giỏc ta cú hỡnh lng tr ng tam giỏc, hỡnh lng tr ng ng giỏc Hỡnh lng tr ng cú ỏy l a giỏc u c gi l hỡnh lng tr u Hỡnh lng tr ng cú ỏy l hỡnh bỡnh hnh c gi l hỡnh hp ng Hỡnh lng tr ng cú ỏy l hỡnh ch nht c gi l hỡnh hp ch nht Hỡnh lng tr ng cú ỏy l hỡnh vuụng cỏc mt bờn u l hỡnh vuụng c gi l hỡnh lp phng Chỳ ý: a giỏc u l a giỏc cú cỏc cnh v cỏc gúc bng Cỏc kin thc v quan h vuụng gúc chng minh mt ng thng vuụng gúc vi mt phng ta chng minh nú vuụng gúc vi hai ng thng ct nm mt phng Hai mt phng vuụng gúc mt phng ny cha mt ng thng vuụng gúc vi mt phng Hai mt phng vuụng gúc thỡ ng thng no nm mt ny vuụng gúc vi giao tuyn s vuụng gúc vi mt phng Cỏch xỏc nh khong cỏch t mt im n mt mt phng https://www.facebook.com/letrungkienmath THPT Nguyn Du-Thanh Oai-H Ni +) tớnh khong cỏch t mt im M xung mt phng (P) ta thc hin: B1: Chn (P) mt ng thng a v dng mt phng (Q) qua M v vuụng gúc vi a B2: Xỏc nh giao tuyn b ca (Q) v (P) B3: Dng MH vuụng gúc vi b thỡ MH l khong cỏch t M n (P) +) Chỳ ý: Trc thc hin chn a v mt phng (Q) ta cn xem ng thng a v (Q) ó cú hỡnh cha Ta chn ng thng a cho mt phng (Q) d dng nht Nu cú sn ng thng vuụng gúc vi (P) thỡ ta ch cn k ng thng qua M v song song vi ng thng ú VIII, Phng phỏp ta mt phng Ta vộc t, cỏc phộp toỏn vộc t Cho hai im A ( x A ; y A ) v B ( x B ; y B ) Ta cú: uuur AB = ( x B x A ; y B y A ) r r Cho u ( u1 ; u ) , v(v1 ; v ) Khi ú r r r u v ( u1 u ; v1 v ) ; ku = ( ku1; ku ) , k Ă r r u = v1 u=v u = v2 Ta trung im, trng tõm Cho A, B, C A ( x A ; y A ) , B ( x B ; y B ) , C(x C ; y C ) Ta trung im I ca AB, trng tõm G ca tam giỏc ABC c tớnh theo cụng thc x + xB + xC xA + xB xG = A x I = , y = yA + yB y = y A + yB + yC I G 3 Biu thc ta ca tớch vụ hng https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lờ Trung Kiờn THPT Nguyn Du-Thanh Oai-H Ni Trong mt phng ta cho r r a = ( a1;a2 ) v b = ( b1; b2 ) Khi ú tớch r r vụ hng ca hai vộc t a v b l: rr a.b = a1.a2 + b 1.b r Hai vộc t a = (a1;a2 ) r r v b = ( b1; b2 ) vuụng gúc vi rr v ch a.b = a1.a2 + b 1.b = r di ca vộc t a = ( a1;a2 ) c tớnh theo cụng thc: r a = a12 + a22 Khong cỏch gia hai im A ( x A ; y A ) ;B ( x B;y B ) c dớnh bi cụng thc: AB = (x xA ) + ( yB yA ) B r r r Cho a v b u khỏc vộc t a1 b1 + a2 b2 rr c os a; b = thỡ ta cú: a12 + a22 b12 + b22 ( ) Phng trỡnh tham s ca ng thng ng thng qua im M ( x ; y0 ) r cú VTCP u ( u1 ; u ) thỡ cú phng x = x + u1 t , tĂ trỡnh tham s : y = y0 + u t (1) Mt s chỳ ý: r VTCP l vộc t cú giỏ song song hoc trựng vi ng thng r Nu cú VTPT n = ( a; b ) thỡ cú VTCP r u = ( b;a ) https://www.facebook.com/letrungkienmath Nu rcú h s gúc k thỡ cú mt VTCP u = ( 1; k ) Nu phng trỡnh ng thng cho dng (1) thỡ nú cú mt r VTCP u = ( u1 ; u ) Hai ng thng song song cú cựng VTCP Hai ng thng vuụng gúc thỡ VTPT ca ng ny l VTCP ca ng thng Phng trinh cỏc trc ta : x = t x = 0x : ; 0y : y = y = t Phng trỡnh tng quỏt ca ng thng Phng trỡnh : ax+by+c=0 (2) gl phng trỡnh tng quỏt ca ng thng ng thng qua im M ( x ; y0 ) r cú VTPT n = ( a; b ) thỡ cú phng trỡnh tng quỏt : a ( x x ) + b ( y y0 ) = Mt s chỳ ý: r VTPT l vộc t v vuụng gúc vi VTCP r Nu cú VTCP u = ( a; b ) thỡ cú VTPT r n = ( b;a ) Nu r cú h s gúc k thỡ cú mt VTPT u = ( k; 1) Phng trỡnh ng thng qua M ( x ; y0 ) cú h s gúc k cú dng y = k ( x x ) + y0 Nu phng trỡnh ng thng cho dng (2) thỡ nú cú mt r VTPT n = ( a; b ) Hai ng thng song song cú cựng VTPT https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lờ Trung Kiờn THPT Nguyn Du-Thanh Oai-H Ni Phng trỡnh : ax+by+c=0 , nu P ' thỡ phng trỡnh ' : ax+by+m=0 , m c Hai ng thng vuụng gúc thỡ VTCP ca ng ny l VTPT ca ng thng Phng trỡnh cỏc trc ta : 0x : y = 0; 0y : x = V trớ tng i ca hai ng thng Xột hai ng thng: 1: a1x + b1y + c1 = v 2: a2x + b2y + c2 = Ta giao im ca v l nghim ca h : a1 x + b1y + c1 = a x + b y + c = (I ) 2 ct (I) cú nghim // (I) vụ nghim (I) cú VSN Chỳ ý: Trong trng hp cú mt hoc c hai phng trỡnh cho dng tham s ta xột h phng trỡnh v cú ba trng hp trờn Gúc gia hai ng thng Gúc gia hai ng thng ct l gúc khụng tự to bi hai ng thng ú + (1, 2) = 900 + // (1, 2) = 00 00 ( 1, 2) 900 Cho 1: a1x + b1y + c1 = 2: a2x + b2y + c2 = = (1, 2) r r n1.n r r cos = cos(n1,n ) = r r n1 n cos = a1a2 + b1b2 a12 + b12 a22 + b22 a1a2 + b1b2 = Khong cỏc t mt im n mt ng thng Cho : ax + by + c = v M0(x0; y0) ax + by + c d ( M; ) = a + b2 d ( M;0x ) = y0 ; d ( M;0y ) = x Phng trỡnh ng trũn Phng trỡnh ng trũn (C) tõm I(a; b), bỏn kớnh R: (x a)2 + (y b)2 = R2 Phng trỡnh ng trũn (C) tõm O(0; 0), bỏn kớnh R: x2 + y = R2 Phng trỡnh: x2 + y2 2ax 2by + c = vi a + b2 c > l phng trỡnh ng trũn tõm I(a; b), bỏn kớnh R = a2 + b2 c Cho (C) cú tõm I(a; b), M(x0; y0) (C) Phng trỡnh tip tuyn vi (C) ti M0(x0; y0): (x0a)(xx0) + (y0b)(yy0)=0 Nhn xột : l tip tuyn ca (C) d(I, ) = R 10 Phng trỡnh Elip Cho im c nh F1, F2 v mt di khụng i 2a ln hn F1F2 M (E) F1M + F2M = 2a F1, F2: cỏc tiờu im F1F2 = 2c: Tiờu c Phng trỡnh 2 x y2 E : ( ) + = (b = a c ) a b Cỏc nh A1(a; 0), A2(a; 0) B1(0; b), B2(0; b) A1A2 = 2a : Trc ln B1B2 =2b trc nh F1 ( c;0 ) ; F2 ( c;0 ) IX, Phng phỏp ta khụng gian 1.Cỏc cụng thc vộc t r r a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ) https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lờ Trung Kiờn THPT Nguyn Du-Thanh Oai-H Ni r r a + b = (a1 + b1; a2 + b2 ; a3 + b3 ) r r a b = (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) r ka = k (a1; a2 ; a3 ) = (ka1; ka2 ; ka3 ) (k R) ( x a) a = b r r 1 a = b a2 = b2 a = b 3 r r Vi b : rr a , b cuứng phửụng a1 = kb1 k R : a2 = kb2 a = kb 3 uuur AB = ( x B x A ; y B y A ; z B z A ) xA + xB + xC x G = y + yB + yC ; yG = A z A + z B + zC z G = Biu thc to ca tớch vụ hng r a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ) rr a.b = a1b1 + a2 b2 + a3b3 r a = a12 + a22 + a32 AB = ( xB x A )2 + ( yB y A )2 + (zB zA )2 a1b1 + a2b2 + a3b3 a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 r r a b a1b1 + a2 b2 + a3b3 = Tớch cú hng ca hai vộc t r + ( y b) + ( z c) = R 2 A ( x x ) + B ( y y0 ) + C ( z z0 ) = l trung im AB, G l trng tõm ca tam giỏc ABC thỡ ta cú: rr cos( a ,b) = r M(x ; y ; z ) cú VTPT n = ( A; B;C ) l A ( x A ; yA ; zA ) , B ( x B ; yB ; z B ) , C ( x C ; yC ; zC ) M r uur Phng trỡnh mt phng: Phng trỡnh mt phng qua Nu: xA + xB x M = yA + yB yM = zA + zB z M = r L vộc t vuụng gúc vi c hai vộc t n v n ' Phng trỡnh mt cu Phng trỡnh mt cu tõm I ( a; b;c ) bỏn kớnh R l: r Cho a ( a1 ;a ;a ) v p b = ( b1 ; b ; b3 ) rr a a a a a a a; b = ; ; ữ b b3 b3 b1 b1 b https://www.facebook.com/letrungkienmath Chỳ ý: r VTPT l vộc t cú giỏ vuụng gúc vi mt phng, Nu ng thng vuụng gúc vi mt phng thỡ VTCP ca ng thng l VTPT ca mt phng Mt phng qua A, B , C thỡ nú cú mt VTPT r uuur uuur n = AB; AC Hai mt phng song song cú cựng VTPT Phng trỡnh mt phng c bit ( 0xy ) : z = 0; ( 0yz ) : x = 0; ( 0xz ) : y = Phng trỡnh ng thng Phng trỡnh ng thng qua r M(x ; y ; z ) cú VTCP u = ( u1 ; u ; u ) l x = x + u1 t d: y = y + u t l phng trỡnh tham s z = x + u t x x y y0 z z = = hoc l phng trỡnh u1 u2 u3 chớnh tc; ( u1 , u , u ) , Chỳ ý: r VTCP l vộc t cú giỏ song song hoc trựng vi ng thng uuur ng thng qua A, B thỡ nú cú mt VTCP l AB Nu ng thng vuụng gúc vi mt phng thỡ nú cú VTCP l VTPT ca mt phng, Hai ng thng song song thỡ cú cựng VTCP Phng trỡnh ng thng c bit: x = t x = x = 0x : y = 0; 0y : y = t ; 0z : y = z = z = z = t https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lờ Trung Kiờn THPT Nguyn Du-Thanh Oai-H Ni Khong cỏch t mt im n mt phng Khong cỏch t M ( x ; y0 ; z o ) n mt phng ( ) :Ax + By + Cz + D = l d ( M; ( ) ) = Gúc Ax + By + Cz + D A + B2 + C Nu ( ) :Ax + By + Cz + D = r thỡ ( ) cú mt VTPT n = ( A; B;C ) x = x + u1 t Nu d: y = y + u t hoc z = x + u t x x y y0 z z = = thỡ d cú mt VTCP u1 u2 u3 r u = ( u1 ; u ; u ) r r cos ( d;d ' ) = cos u d ; u d ' r r cos ( ( ) ; ( ) ) = cos n ( ) ; n ( ) r r sin ( d; ( ) ) = cos u d ; n ( ( ( ) ) ) V trớ tng i ca hai ng thng xột v trớ tng i ca hai ng thng x = x + u1t r d : y = y + u t , cú VTCP u = ( u1 ; u ; u ) , qua z = z + u t M ( x ; y0 ; z0 ) x + u1t = x '0 + u '1 t ' y + u t = y '0 + u '2 t ' z + u t = z ' + u ' t ' 3 -Nu h phng trỡnh vụ nghim thỡ d v d chộo - Nu h phng trỡnh cú nghim nht t, t thỡ hai ng thng ct x = x + u1t Cho d : y = y + u t v z = z + u t ( ) :Ax + By + Cz + D = xột v trớ tng i ca d v ( ) ta xột h phng trỡnh x = x + u1 t y = y + u t z = z + u t Ax + By + Cz + D = -Nu h phng trỡnh vụ nghim thỡ d song song ( ) -Nu h phng trỡnh cú vụ s nghim thỡ d nm ( ) -Nu h phng trỡnh cú mt nghim thỡ d ct ( ) x = x '0 + u '1 t ' r d ' : y = y '0 + u '2 t ' ,cú VTCP u ' = ( u '1 ; u '2 ; u '3 ) z = z ' + u ' t ' ta lm theo cỏc bc: r r u ' = ku Bc Nu thỡ d trựng d M d ' r r u ' = ku Nu thỡ d song song vi d M d ' r r Nu u ' ku chuyn sang bc Bc Xột hờ phng trỡnh https://www.facebook.com/letrungkienmath X, T hp xỏc sut Quy tc cng Mt cụng vic c hon thnh bi mt hai hnh ng Nu hnh ng ny cú m cỏch thc hin, hnh ng cú n cỏch thc hin khụng trựng vi bt kỡ cỏch no ca hnh ng th nht thỡ cụng vic ú cú m + n cỏch thc hin Quy tc nhõn https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lờ Trung Kiờn Mt cụng vic c hon thnh bi hai hnh ng liờn tip Nu cú m cỏch thc thin hnh ng th nht v ng vi mi cỏch ú cú n cỏch thc hin hnh ng th hai cú m.n cỏch hon thnh Hoỏn v Cho hp a gm n phn t ( n 1) Mi kt qu ca s sp xp th t n phn t ca hp A c gi l mt hoỏn v ca n phn t ú Ta kớ kiu s cỏc hoỏn v ca n phn t l Pn = n ( n 1) 2.1 = n! Chnh hp Cho hp A gm n phn t ( n 1) Kt qu ca vic ly k phn t ca hp A v sp xp chỳng theo m th t no ú gl mt chnh hp chp k ca n phn t ó cho Ta kớ hiu s cỏc chnh hp chp k ca n phn t n! k l: A n = ( n k) ! T hp Gii s hp A cú n phn t ( n 1) Mi gm k phn t ca A gl mt t hp chp k ca n phn t ó cho Ta kớ hiu s cỏc t hp chp k ca n phn t l : n! C kn = k!( n k ) ! THPT Nguyn Du-Thanh Oai-H Ni ( ab ) = a b a a = ữ b b Phộp th v bin c Kớ hiu Ngụn ng bin c Khụng gian mu A l bin c A A= A l bin c khụng A l bin c chc chn A= C = AB C l bin c: A hoc B C = AB C l bin c: A v B AB = A v B xung khc B = A = \ A A v B i Xỏc sut ca bin c n ( A) P ( A) = n ( ) P ( A ) : Xỏc sut ca bin c A n ( A ) : S phn t ca A; n ( ) : s cỏc kt qu xy ca mt phộp th P ( ) = 0, P ( ) = P ( A) A, B xung khc: P ( A B) = P ( A ) + P ( B) ( ) P A = P ( A) A v B l hai bin c c lp: P ( A.B ) = P ( A ) P ( B ) C kn = C nn k ; Ckn 11 + C kn = C kn Cụng thc nh thc Niu-Tn n ( a + b ) = C0n a n + C1n a n 1b + + Cnk a n k bk + n +C nn 1ab n + C nn b n = C kn a n k b k k =0 Nhc li cỏc cụng thc ly tha n a = a.a a { , a = a n = n an m a a = a + a n = n am a a = a ( ) = a a https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath [...]... k phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo mộ thứ tự nào đó đgl một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho Ta kí hiệu số các chỉnh hợp chập k của n phần tử n! k là: A n = ( n − k) ! 5 Tổ hợp Giải sử tập hợp A có n phần tử ( n ≥ 1) Mỗi tập con gồm k phần tử của A đgl một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho Ta kí hiệu số các tổ hợp chập k của n phần tử là : n! C kn = k!( n − k ) ! THPT Nguyễn Du-Thanh... đứng có đáy là hình vuông các mặt bên đều là hình vuông được gọi là hình lập phương Chú ý: Đa giác đều là đa giác có các cạnh và các góc bằng nhau 5 Các kiến thức về quan hệ vuông góc • Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta chứng minh nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng • Hai mặt phẳng vuông góc khi mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng... Hai mặt phẳng vuông góc thì đường thẳng nào nằm trong mặt này vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia • Cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng https://www.facebook.com/letrungkienmath THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội +) Để tính khoảng cách từ một điểm M xuống mặt phẳng (P) ta thực hiện: B1: Chọn trong (P) một đường thẳng a và dựng mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với a... những bài toán về tính thể tích khối chóp đôi khi ta sử dụng định lý: Cho hình chóp S.ABC Trên các tia SA, SB, SC ta lấy các điểm A’, B’, C’ khi đó: VS.A 'B'C ' SA '.SB'.SC ' = (bài tập 4 trang VS.ABC SA.SB.SC 25 sgk.) 2 Giao của mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu S(O; r) và mp (P) https://www.facebook.com/letrungkienmath THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội Đặt h = d(O, (P)) • h > r ⇔ (P) và (S) không có điểm... https://www.facebook.com/letrungkienmath X, Tổ hợp xác suất 1 Quy tắc cộng Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện 2 Quy tắc nhân https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lê Trung Kiên Một công việc được hoàn thành bởi hai... liên tiếp Nếu có m cách thực thi n hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai có m.n cách hoàn thành 3 Hoán vị Cho tập hợp a gồm n phần tử ( n ≥ 1) Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó Ta kí kiệu số các hoán vị của n phần tử là Pn = n ( n − 1) 2.1 = n! 4 Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1)... Hàm số y = f ( x ) − g ( x ) không đổi dấu trên đoạn [ a; b ] thì : b ∫ a b f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a • Thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) trục 0x và hai đường thẳng x=a, x=b xung quanh trục 0x được b 2 tính: V = π f ( x ) dx ∫ a VII, Hình học không gian 1 Công thức tính diện tích các hình: • Công thức tính thể tích hình hộp... Elip Cho 2 điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2 M ∈ (E) ⇔ F1M + F2M = 2a F1, F2: các tiêu điểm F1F2 = 2c: Tiêu cự Phương trình 2 2 2 x 2 y2 E : ( ) 2 + 2 = 1 (b = a – c ) a b Các đỉnh A1(–a; 0), A2(a; 0) B1(0; –b), B2(0; b) A1A2 = 2a : Trục lớn B1B2 =2b trục nhỏ F1 ( −c;0 ) ; F2 ( c;0 ) IX, Phương pháp tọa độ trong không gian 1.Các công thức véc tơ r r a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1;... có cùng VTCP 6 Hai đường thẳng vuông góc thì VTPT của đường này là VTCP của đường thẳng kia 7 Phương trinh các trục tọa độ: x = t x = 0 0x : ; 0y : y = 0 y = t 5 Phương trình tổng quát của đường thẳng • Phương trình ∆ : ax+by+c=0 (2) đgl phương trình tổng quát của đường thẳng • Đường thẳng ∆ qua điểm M ( x 0 ; y0 ) r có VTPT n = ( a; b ) thì ∆ có phương trình tổng quát ∆ : a ( x − x 0 ) + b... số các tổ hợp chập k của n phần tử là : n! C kn = k!( n − k ) ! THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội ( ab ) α = a α bα α aα a = ÷ bα b 7 Phép thử và biến cố Kí hiệu Ngôn ngữ biến cố Ω Không gian mẫu A là biến cố A⊂Ω A=∅ A là biến cố không A là biến cố chắc chắn A=Ω C = A∪B C là biến cố: “A hoặc B” C = A∩B C là biến cố: “A và B” A∩B = ∅ A và B xung khắc B = A = Ω \ A A và B đối nhau 8 Xác suất của biến