Ks Nguyễn Duy Hồng VỂ ĐẸP CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2004) Cho a, b, c dương thỏa mãn Chứng minh Giải: Tương tự (1) ta có: Mặt khác theo Cô – si ta có: Mặt khác ta có: Từ (1), (2), (3) (4) ta có: Dấu đẳng thức đạt khi: Vẻ đẹp bất đẳng thức Ks Nguyễn Duy Hồng Bài 2: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2005) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: Tương tự ta có: Cộng vế (1), (2) (3) lại ta được: Bài 3: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009) Cho số thực không âm x, y z thỏa mãn: Chứng minh rằng: Giải: Theo đề ta có: Theo Cô – si ta có: Mặt khác: Vẻ đẹp bất đẳng thức Ks Nguyễn Duy Hồng Tương tự ta có: Cộng vế bất đẳng thức (2), (3) (4) lại ta được: (4) Kết hợp (1) ta được: Dấu đẳng thức đạt x = y = z Bài 4: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2012) Cho x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức Giải: Nhận thấy x, y, z có vai trò bình đẳng nên P đạt GTNN x = y = z = Khi x – y = 0, y – z = z – x = ta đánh giá theo điều kiện xảy dấu đẳng thức sau: Mặt khác ta có: Ta có: Từ (2) cộng (3), (4) (5) lại ta Từ (6) (7) ta có: Từ (1) (8) ta có: Vẻ đẹp bất đẳng thức Ks Nguyễn Duy Hồng Dấu đạt khi: x = y = z = Bài 5: Chứng minh với số dương ta có: Giải: Đặt: Bất đẳng thức trở thành: Áp dụng Cô-si ta có: Cộng vế bất đẳng thức lại ta được: Bài 6: Chứng minh với số dương ta có: Giải: Vẻ đẹp bất đẳng thức Ks Nguyễn Duy Hồng Cộng vế bất đẳng thức (1), (2) (3) lại ta được: Áp dụng Cô – si ta có: Bài 7: Chứng minh với số dương ta có: Giải: Áp dụng Cô – si ta có: Tương tự ta có: Cộng vế bất đẳng thức (1), (2) (3) lại ta được: Mặt khác ta có: Vẻ đẹp bất đẳng thức Ks Nguyễn Duy Hồng Từ (4) (5) ta có: Bài 8: Chứng minh với số dương ta có: Giải: Áp dụng Cô-Si ta có: Tương tự ta có: Cộng vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: Cuối ta chứng minh: Thật ta có: Áp dụng Cô – si ta có: Tương tự ta có: Cộng vế (6), (7)và (8) lại ta được: Vẻ đẹp bất đẳng thức Ks Nguyễn Duy Hồng Dấu “=” đạt tại: a = b = c > Chú ý: Với số dương a, b, c ta có (Bạn đọc tự chứng minh) Bài 9: Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = Chứng minh Giải: Ta có: Cộng bất đăng thức (1), (2) (3) lại ta có: Áp dụng Cô – si ta có: Từ (4) (5) ta được: Dấu đạt a = b = c = Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 10: Cho a, b, c dướng tìm GTNN biểu thức Giải: Từ bất đẳng thức quen biết sau: Xét hàm số: Vẻ đẹp bất đẳng thức Ks Nguyễn Duy Hồng Bài 11: Cho a, b, c dương chứng minh Giải: Mặt khác áp dụng Cô – si ta có: Theo Cô – si ta có: Vậy ta có: Dấu đạt a = b = c Vậy bất đẳng thức chứng minh Vẻ đẹp bất đẳng thức Ks Nguyễn Duy Hồng Chú ý: Với a, b, c dương ta có: (Bạn đọc tự chứng minh) Bài 12: Cho a, b số dương, tìm GTNN biểu thức: Giải: Ta có: Áp dụng Cô – si ta có: Dấu đẳng thức xảy khi: Bài 13: Cho a, b, c dương chứng minh rằng: Giải: Ta có: Tương tự ta có: Cộng bất đẳng thức (1), (2) (3) lại ta được: Mặt khác ta lại có: Vẻ đẹp bất đẳng thức Ks Nguyễn Duy Hồng Từ (4) (5) ta có: Dấu đẳng thức xảy khi: Bài 14: Cho a, b, c dương chứng minh rằng: Giải: Áp dụng Cô – si ta có: Tương tự (1), (2) (3) ta có: Cộng vế bất đẳng thức (1), (2) (3) lại ta được: Dấu đẳng thức đạt a = b = c = Bài 15*: Cho số thưc không âm đôi khác không Tìm GTNN biểu thức Giải: Ta có: Vẻ đẹp bất đẳng thức 10 Ks Nguyễn Duy Hồng Theo Cô – si ta có: Theo Cô – si ta lại có: Vậy Dấu đẳng thức đạt Thân tặng bạn học sinh giỏi Chúc bạn học tập đạt kết cao Ks Nguyễn Duy Hồng duyhong_xd@yahoo.com nguyenduyhong.ksxd@gmail.com Vẻ đẹp bất đẳng thức 11 [...]...Ks Nguyễn Duy Hồng Theo Cô – si ta có: Theo Cô – si ta lại có: Vậy Dấu đẳng thức đạt khi Thân tặng các bạn học sinh khá giỏi Chúc các bạn học tập đạt kết quả cao Ks Nguyễn Duy Hồng duyhong_xd@yahoo.com nguyenduyhong.ksxd@gmail.com Vẻ đẹp của bất đẳng thức 11