SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI TRƯỜNG THPT SỐ I THÀNH PHỐ LÀO CAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Giáo viên: Hà Thị Tố Nga Chức vụ: Tổ trưởng chun mơn TỔ: TỐN – TIN Đơn vị: Trường THPT số TP Lào Cai NĂM HỌC: 2013-2014 PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình dạy học mơn Tốn nói chung ơn thi Đại học- Cao đẳng, HSG cho học sinh khối THPT nói riêng thường hay gặp tốn tính khoảng cách Loại tốn tính khoảng cách hình học khơng gian loại tốn hay, đòi hỏi tư học sinh THPT thường gặp đề thi đại học Khi gặp loại tốn này, đặc biệt tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, học sinh thường lúng túng khơng biết hướng giải Có nhiều ngun nhân để dẫn đến tình trạng như: học sinh giải tốn chưa tốt, chưa phát huy tính tư sáng tạo mình, học tập thụ động, đối phó Điều liên quan đến người dạy, người học nhiều vấn đề khác Nhằm giúp em có thêm kiến thức, phát triển lực tư sáng tạo gợi cho em hướng giải tốt gặp loại tốn Tơi xin trình bày suy nghĩ việc giải tốn tính khoảng cách hình học khơng gian dạng viết nhỏ, với hy vọng phần giúp em học sinh bớt lúng túng gặp dạng tốn Mục đích nghiên cứu Với mục đích giúp cho học sinh học có hiệu có nhìn tổng quan, hiểu chất vấn đề đặt ra, từ đưa phương pháp giải mạch lạc phù hợp với đòi hỏi thi, giúp học sinh tự tin có phương pháp phù hợp gặp phải tốn liên quan đến khoảng cách u cầu đặt phải trang bị cho học sinh, đặc biệt học sinh khối 12 chuẩn bị thi Đại học phương pháp giải dạng tốn khoảng cách hình học Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu Phương pháp giải tốn khoảng cách hình học khơng gian Đối tượng khảo sát thực nghiệm Đề tài thực nghiệm qua đối tượng học sinh lớp 11 học Hình học khơng gian học sinh lớp 12 ơn thi Đại học – Cao đẳng Phương pháp nghiên cứu 1 Lập kế hoạch chi tiết thời gian sưu tầm tìm hiểu kiến thức Viết đề cương chi tiết Thực lên lớp, tổ chức hướng dẫn học sinh xây dựng, củng cố nắm bắt kiến thức cách khái qt thơng qua hệ thống câu hỏi, tập áp dụng phù hợp Tổ chức kiểm tra nắm bắt kiến thức học sinh từ rút kinh nghiệm , đồng thời trao đổi học hỏi đồng nghiệp để bổ sung kiến thức phương pháp cho hồn thiện đề tài Phạm vi nghiên cứu Các kiến thức khn khổ chương trình tốn THPT Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 11 năm 2013 đến tháng năm 2014 Dưới tơi xin trao đổi với q đồng nghiệp số tốn phương pháp giải cho tốn về: ‘‘ Phương pháp tính khoảng cách hình học khơng gian” PHẦN NỘI DUNG I LÝ THUYẾT: Một số khái niệm khoảng cách khơng gian 1.1 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M đường thẳng a ( mp(P)) d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH O O P 1.2 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a mp(P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mp(P) Ta có: d(a,(P)) = OH 1.3 Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Là khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Ta có d((P),(Q)) = OH a H O H P P Q 1.4 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: • Đường vng góc chung : Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng chéo a, b vng góc với H a O H đường thẳng gọi đường vng góc chung đường thẳng a b M a • Khoảng cách đường thẳng chéo nhau: b N  Nếu đường vng góc chung ∆ cắt đường thẳng chéo a b M N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách đường thẳng chéo a b  Khoảng cách đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với chứa đường thẳng lại M a b a' α Ta có: d ( a, b ) = d ( a, ( α ) )  Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng N a M α b N Ta có: d ( a, b ) = d ( ( α ) , ( β ) ) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2.1.Kỹ thuật 1:Để xác định khoảng cách từ điểm A đến mp ( Q ) ta làm sau • Tìm mp ( P ) chứa A ( Q ) ⊥ ( P ) ; β • Tìm ∆ = ( Q ) ∩ ( P ) ; • Dựng AH ⊥ ∆ ;Suy AH ⊥ ( Q ) ; • Khi d ( A, ( Q ) ) = AH 2.2.Kỹ thuật 2: Cho mặt phẳng ( α ) điểm A khơng nằm mặt phẳng đó, M điểm nằm mp ( α ) Xét điểm E nằm EM =k đường thẳng qua AM cho AM d ( E , ( α ) ) EM = = k (*) • Khi đó: d ( A, ( α ) ) AM E A M P H α P A M H α E 2.3.Kỹ thuật 3: Ứng dụng thể tích để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Khi tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mà ta đưa tốn tìm chiều cao hình chóp hình lăng trụ đó, chiều cao thường khơng tính trực tiếp cách sử dụng phương pháp thơng thường Tuy nhiên khối đa diện lại dễ dàng tính thể tích diện tích 3V đáy Khi đó, chiều cao khối chóp tính cơng thức h = S V khối chóp h = khối lăng trụ S - Giả sử ta đưa tốn tìm chiều cao kẻ từ đỉnh S hình chóp hình lăng trụ Ta tìm thể tích khối chóp khối lăng trụ theo cách khác mà khơng dựa vào đỉnh S Tính diện tích đáy đối diện với đỉnh S, từ ta có chiều cao kẻ từ đỉnh S cần tìm 2.4.Kỹ thuật 4: Sử dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng chéo Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đường vng góc chung hai đường thẳng Vì xác định đường vng góc chung việc tính độ dài coi giải Tuy nhiên, việc xác định đường vng góc chung hai đường thẳng chéo khơng phải việc dễ làm Hơn nhiều tốn người ta đòi hỏi tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo mà khơng u cầu xác định cụ thể đường vng góc chung chúng Vì vậy, thực tế người ta thường chuyển tốn xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo tốn dễ giải 3.1 Kĩ thuật : Xác định đoạn vng góc chung a) Khi a ⊥ b + Dựng ( P ) ⊃ b , ( P ) ⊥ a H + Trong (P) dựng HK ⊥ b K Đoạn HK đoạn vng góc chung a b b) Khi a b khơng vng góc ( Sử dụng mp song song): + Dựng ( P ) ⊃ b , ( P ) / / a + Dựng a ' = hch( P ) a , cách lấy M ∈a + Dựng đoạn MN ⊥ ( α ) N, lúc a’ đường thẳng qua N song song a Gọi H = a '∩ b , dựng HK / / MN Đoạn HK đoạn vng góc chung a b c, Khi a b khơng vng góc(Sử dụng mặt phẳng vng góc) • Dựng mặt phẳng (P) ⊥ a O (chứa hình chiếu b) • Dựng hình chiếu b′ b (P) • Dựng OH ⊥ b′ H • Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b B • Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A ⇒ AB đoạn vng góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = OH 3.2 Kỹ thuật 2: Nếu a // (P) b chứa mp(P) khoảng cách a , b khoảng cách a mp(P) 3.3 Kỹ thuật 3: Nếu a chứa mp(P), b chứa mp(Q) mà (P) // (Q) khoảng cách a b khoảng cách (P) (Q) Lưu ý a // (P) khoảng cách a (P) khoảng cách từ điểm a đến (P) Tương tự khoảng cách hai mặt phẳng song song (P) (Q) khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng 3.4 Kỹ thuật 4: Sử dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo II BÀI TẬP: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc với nhau, AB = 3, AC=AD=4 Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) z Lời giải D Cách 1: Dùng tọa độ + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A ≡ O D ∈Ox; C ∈ Oy B ∈ Oz ⇒ A(0;0;0); B(3;0;0); C(0;4;0); D(0;0;4) H ⇒ Phương trình mặt phẳng (BCD) là: x y z + + = ⇔ 4x + 3y + 3z - 12 = 4 A K Suy khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) −12 d ( A, ( BCD )) = 42 + 32 + 32 = 12 34 y C B x Cách 2: Tính trực tiếp Từ A hạ AH ⊥ (BCD), H trực tâm tam giác BCD Dễ thấy BC ⊥ AK Ta có: Vậy: AH = 1 1 1 1 34 = + = + + = + + = 2 2 2 2 AH AD AK AD AB AC 4 12 34 Cách 3: Dùng thể tích 1 3 Dễ thấy: BC=BD=5; CD= Suy diện tích tam giác BCD S=3 34 Thể tích tứ diện ABCD: V= AB AC AD = 4.3.3 = 12 Suy khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) d ( A, ( BCD )) = 3V 12 = S 34 Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC) Giải: z Cách 1: Tính trực tiếp S.ABCD hình chóp nên SO ⊥ (ABCD) Qua O kẻ OI vng góc với BC Dễ thấy (SOI) ⊥ (SAB) Kẻ OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ (SBC) ⇒ d(O;(SBC)) = OH Ta có: AC = BD = a, OI = Xét ∆SAO ta có: SO = SA - AO = Xét ∆SOI: = + = ⇒ OH = a 6 S H A D a Vậy: d(O; (SBC)) = B O I C x Cách 2: Dùng thể tích 1 a a3 = 24 3V a =a Diện tích tam giác SBC S= Vậy: d(O; (SBC)) = S ∆SBC Thể tích khối chóp SOBC V= a Cách 3: Dùng phương pháp tọa độ Lập hệ tọa độ hình vẽ a a a ; 0; 0); B(0; ; 0); S(0; 0; ) 2 a Phương trình mp(SBC): x+y+z =0 a − a Vậy: d(O; (SBC)) = = C( Bình luận: Nếu thay giả thiết tốn thành tính khoảng cách từ điểm O đến (SBC) ta làm nào: - Ta tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC) sử dụng bổ đề (*) để suy d(C;(SAB)) d (C , ( SBC )) a Ta có: d (O, ( SBC )) = = ⇒ d(C;(SBC)) = Nếu thay giả thiết tốn thành tính khoảng cách từ điểm trung điểm K SA đến (SBC) ta làm nào: - Ta tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC) sử dụng bổ đề (*) để suy d(K;(SBC)) Ta có OK // SC ⇒ OK // (SBC) ⇒ d(K;(SBC)) = d(O;(SBC)) = a 6 Nhận xét: Qua tập ta rút cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt bên khối chóp sau: - Tính khoảng cách từ hình chiếu đỉnh lên mặt đáy đến mp sử dụng bổ đề (*) để suy khoảng cách cần tính y Bài tập 3( ĐH khối D - 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng · B, AB=3a, BC=4a; mp(SBC) vng góc với mp(ABC) Biết SB=2a, SBC =30 Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a Giải: Cách 1: Tính trực tiếp Kẻ SH ⊥ BC ⇒ SH ⊥ (ABC) Xét ∆SHB ta có: z SH = SB.sin30 = a; BH = SB.cos30 = 3a Qua H kẻ HI ⊥ AC I S ⇒ (SHI) ⊥ (SAC) Kẻ HK ⊥ SI K ⇒ HK ⊥ (SAC) ⇒ d(H;(SAC)) = HK Ta có ∆CHI ∽∆CAB(g-g) K ⇒ HI = = y = + = ⇒ HK = ⇒ d(H;(SAC)) = I A Mà = = ⇒ d(B;(SAC)) = Cách 2: Dùng thể tích H Kẻ SH ⊥ BC ⇒ SH ⊥ (ABC) Xét ∆SHB ta có: B SH = SB.sin30 = a; BH = SB.cos30 = 3a Qua H kẻ HI ⊥ AC I ⇒ AC ⊥ SI (Định lí đường vng góc) 2 Ta có ∆CHI∽∆CAB(g-g) ⇒ HI = = Suy SI = SH + SI = x C 2a 21 = a 21 Thể tích khối chóp S.ABC là: V= SH S∆ABC = 2a 3 Diện tích tam giác SAC S∆SAC 3V = Vậy: d(B;(SAC))= S ∆SAC Cách 3: Dùng phương pháp tọa độ Kẻ SH ⊥ BC ⇒ SH ⊥ (ABC) Lập hệ tọa độ hình vẽ Ta có: B(-3a;0;0), C(a;0;0), A(-3a;3a;0), S(0;0;a) Tính d(B;(SAC))= · D= Bài tập 4(ĐH_D_2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ·ABC = BA 90, BA=CB=a, AD=2a Cạnh SA vng góc với mặt đáy, SA=a Gọi H hình chiếu A lên SB Tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD) theo a S Giải: Gọi I trung điểm AD ta có CI = AD ⇒ ∆ACD vng C hay AC ⊥ CD ⇒ (SAC) ⊥ (SCD) Kẻ AE vng góc SC E H A E I D ⇒ AE ⊥ (SCD) ⇒ d(A;(SCD)) = AE Ta có: AC = AB + BC = 2a C B K = + = AE ⇒ AE = a ⇒ d(A;(SCD)) = a Nối AB cắt CD K ⇒ B trung điểm AK ⇒ = BK = AK ⇒ d(B;(SCD)) = = = = = ⇒ d(H;(SCD)) = d(B;(SCD)) = Bài tập 5: ( ĐH khối A -2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, · ABC = 300 , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Giải: Gọi H trung điểm BC, ta có tam giác SBC cạnh a nên SH ⊥ BC , ( SBC ) ⊥ ( ABC ) nên SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SH = S a đường cao khối chóp S.ABC Ta có : AC = AH = BC a = (∆ACH đều) ; 2 AB = a.cos 300 = ⇒ a a2 ⇒ S∆ABC = AB.AC = 2 C H 300 a3 VSABC = SH.S∆ABC = 16 I Cách 1: Ta có: A ∆ABC vuông A H trung điểm BC nên HA = HB Mà SH ⊥ ( ABC ) ⇒ ∆SHA = ∆SHB ⇒ SA = SB = a AB a 13 Gọi I trung điểm AB , suy SI ⊥ AB ⇒ SI = SB − = 4 1 a 13 a a 39 ⇒ S∆SAB = SI AB = = 2 16 3a 3VS ABC a 39 Suy : d (C ,(SAB )) = = 16 = S∆SAB 13 a 39 16 a Cách 2: Ta có: HI = AC = K B 1 1 a = + = + ⇒ HK = 2 2 HI SH 52 a a 3 Vẽ HK ⊥ SI HK ⊥ (SAB), ta có HK  ÷  ÷ 4   2a a = Vậy d(C, SAB)= 2HK = 52 13 Bài tập 6: (ĐH khối B – 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tính khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Giải: Cách 1: SH ⊥ AB  Gọi H trung điểm AB , :  a ; (Do ∆SAB cạnh a) SH =  Mặt khác (SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH đường cao hình chóp S ABCD Vậy VS ABCD = a a a3 = Do AB//CD nên d(A,(SCD)) = d(AB,(SCD)) = d(H,(SCD)) Khi đó: Gọi I trung điểm CD K hình chiếu H lên SI, ta có:  HK ⊥ SI ⇒ HK ⊥ (SCD ) ⇒ d ( H ,(SCD )) = HK  HK ⊥ CD ( CD ⊥ ( SHI ))  Xét tam giác vng SHI, ta có: HK = SH + HI = a      a Vậy d(A, SCD) = HK = + [ a] ⇒ HK = a S K A' B C Lưu ý: Có thể tính khoảng cách cách sau:  Sx = (SAB ) ∩ (SCD )   AA'/ / SH ( A' ∈ Sx ) - Dựng  AK ' ⊥ A ' D (K ' ∈ A' D )  I H A D ⇒ AK ' = d ( A ,(SCD )) tính tương tự HK Cách 2: (Dùng phương pháp toạ độ)  H ≡ O ; SH ≡ Oz; AB ≡ Ox; HI ≡ Oy , :  -Gọi  a a a a a ), A( ; 0; 0), B(− ; 0; 0),C ( − ; a; 0), D( ; a; 0)  H (0; 0; 0), S (0; 0; 2 2  uur  a uu r uur  a  a a 3 a 3 a  uur  a a 3 ÷, SB =  − ; 0; − ÷, SC =  − ; a; − ÷, SD =  ; a; − ÷ Ta có: SA =  ; 0; −    ÷ ÷ ÷ ÷ 2      2  uur uur uur uur uur uur  a3 a 3  a 3      VS ABCD = VSABC + VSACD SA, SC SB + SA, SC SD ÷=  + ÷=     ÷    ur uur uur Mặt khác : mp(SCD ) cóVTPT n = SC , SD  = (0; a 3; 2a )   2 ⇒ pt (SCD) có dạng : a 3y + a z − a = =  6 SCD  a x =   ⇒ ptđt ∆ qua A vuông góc (SCD ) có dạng : y = a 3t , t ∈ ¡ z = a2 t    ⇒t = a 3a 2a ⇒ ∆ ∩ (SCD ) = M ( ; ; ) 7a 7 9a 12 a2 + = 49 49 21a2 a ⇒ d ( A, (SCD )) = AM = = 49 ( Lưu Ý : Sử dụng công thức tính khoảng cách nhanh a d ( A,(SCD )) = a − a3 a ) 3a + a Bài tập (ĐH khối D – 2013): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi · cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, BAD = 1200 , M trung điểm cạnh BC · SMA = 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) Giải: * Tính VS.ABCD · D = 1200 ⇒ ABC · Do BA = 60 ⇒ ∆ABC ⇒ AC = a 4 = · D = a + a − 2a.a.cos1200 = 2a + a = 3a ⇒ BD = a BD2 = AB + AD2 − 2AB AD.cos BA  AM ⊥ BC  ∆ABC đều, cạnh = a ⇒  a  AM =  S a · ∆SAM vng cận A có SMA = 450 ⇒ SA = AM = 1 1 a a3 VS.ABCD = SA.S ABCD = SA AC.BD = a.a = 3 2 * Tính d (D, (SBC)) Do AD //BC ⇒ AD // (SBC) ⇒ d (D, (SBC)) = d (A, (SBC)) Gọi H trung điểm SM Ta có: AH ⊥ SM (1),  AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ AH (2) Mặt khác:   SA ⊥ BC Từ (1) (2) ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d (A, (SBC)) = AH D ∆SAM vng cân A H A B 120 450 M C 3a 3a 3a + ⇒ SM SA + AM 4 = =a AH = = = 2 2 SM a ⇒ d (D, (SBC)) = d (A, (SBC)) = AH = = 2 (Có thể dùng phương pháp tọa độ, nhiên tốn trở nên phức tạp) Bài tập 8: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc ϕ (0o < ϕ < 90o ) Tính thể tích khối hình chóp S.ABC khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) Giải: Gọi H trung điểm BC Do S.ABC ∆ ABC nên chân đường cao đỉnh S trùng với giao điểm ba đường cao trực tâm O ∆ ABC có ∆ SBC cân S · suy ra: BC ⊥ SH, BC ⊥ AH, nên SHA = ϕ a Ta có: OH = AH = ∆SHO vng góc: SO = HO.tgϕ = S a tgϕ HO a = cos ϕ 6.cos ϕ Thể tích hình chóp S.ABC: SH = A C j O H B 1 a a2 a3tgϕ V = SO.SABC = tgϕ = 3 24 a2 Diện tích ∆ SBC: SSBC = SH.BC = 12.cos ϕ Gọi h khoảng cách từ A đến (SBC), ta có: 3.V a3 tgϕ a2 a V = h.SSBC ⇒ h = = : = sin ϕ SSBC 24 12 cos ϕ Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh A, AB=a Gọi I trung điểm BC, hình chiếu vng góc H S lên (ABC) thỏa mãn IA = -2 , góc SC mp(ABC) 60 Tính khoảng cách từ trung điểm E SB đến mp(SAH) Giải: BC = AB + AC = 4a ⇒ BC = 2a ⇒ BI = a Kẻ BK vng góc với AH K ⇒ BK ⊥ (SAH) ⇒ d(B;(SAH)) = BK Mà = + = ⇒ d(B;(SAH)) = BK = = = ⇒ d(E;(SAH)) = S I K B H C A Bài tập 10 (ĐH_B_2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chử nhật AB=a, AD=a Hình chiếu vng góc A’ lên mp(ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc mp(ADD’A’) (ABCD) 60 Tính khoảng cách từ điểm B’ đến mp(A’BD) Giải: B’ C’ A’ D’ B A C O H D Gọi O giao điểm AC BD ⇒ A’O ⊥ (ABCD) Gọi E trung điểm AD ⇒ OE ⊥ AD, A’E ⊥ AD ⇒ A’EO góc mp(ADD’A’) mp(ABCD) ⇒ A’EO = 60 ⇒ A’O = OE.tanA’EO = tan60 = Ta có B’C ∥(A’BD) ⇒ d(B’;(A’BD)) = d(C;(A’BD)) Kẻ CH ⊥ BD H ⇒ CH ⊥ (A’BD) ⇒ d(C;(A’BD)) = CH Mà = + = ⇒ CH = Vậy d(B’;(A’BD)) = Bình luận: Qua tập ta rút cách tính khoảng cách từ điểm I đến mp(α) chứa đường cao khối chóp sau: Bước 1: Xác định giao tuyến d mp(α) mặt đáy Bước 2: Chọn điểm M nằm mặt đáy thuận lợi nhất, tính khoảng cách từ điểm M đến mp(α), cách kẻ MH ⊥ d M ⇒ MH ⊥ (α) ⇒ d(M;(α)) = MH Bước 3: Sử dụng bổ đề (*) để suy Bài tập 11: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a M, N trung điểm AB C'D' Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN) Giải: Bốn tam giác vng: AA ' M, BCM, CC' N, A ' D' N (c.g.c) N D/ C/ ⇒ A ' M = MC = CN = NA ' ⇒ A 'MCN hình thoi Hai hình chóp B’.A’MCN B’.A’NC có chung đường cao vẽ từ đỉnh B/ SA/ MCN = 2.SA / NC nên: VB/ A / MCN = 2.VB/ A/ NC A/ B/ D A 1 a3 a3 / = V = CC S = a .a.a = ⇒ V = B/ ANC C.A / B/ N A / B/ N B/ A / MCN 3 Mà: V M C B a2 Ta có: SA/ MCN = A / C.MN, với A / C = a 3; MN = BC / = a ⇒ SA/ MCN = 2 Gọi H hình chiếu B/ (A/MCN), ta có: VB'.A'MCN = B'H.SA'MCN ⇒ B/ H = 3.VB/ A/ MCN SA / MCN = a3 a a : = 3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo · Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình thoi cạnh a có BAD = 60o Gọi O giao điểm AC BD , biết SO ⊥ (ABCD) SO = a a Xác định tính khoảng cách SB, AD b Tính góc (SBC) (SAD) Giải : a Qua O dựng đường thẳng d ⊥ AD cắt AD, BC I,J + Dựng IH ⊥ SJ ( H ∈ SJ ) SO ⊥ (ABCD)   ⇒ BC ⊥ (SIJ) ⇒ IH ⊥ BC ⇒ IH ⊥ (SBC) ⇒ IH ⊥ SB IJ ⊥ BC   AD // BC ⇒ IH ⊥ AD  Vậy IH = d(AD,SB) 3 a Dựng F hình chiếu O SJ, suy được: OF = a Suy : IH = 2.OF = a b Qua S dựng đường thẳng d // AD // BC, d = ( SAD ) ∩ ( SBC ) Dễ thấy OI = OJ = ( SIJ ) ⊥ AD ⇒ SI ⊥ AD  SI ⊥ d (do d / /AD / /BC) ⇒ SJ ⊥ AD  SJ ⊥ d ⇒ ∠ISJ = ∠((SAD), (SBC)) Ta có được:  IJ = 2.OI = a  SI = SJ = SO2 + OI = ⇒VSIJ 3 a + a = a 16 16 ¶ = 60o ⇒ ISJ ¶ = 60o Vậy góc (SAD) (SBC) ISJ Nhận xét : Ở tốn này, để tính độ dài khoảng cách hai đoạn AD SB ta làm sau : a 13 3 = a a = a 34 16 + ∠BAD = 60o ⇒ ∆ABD cạnh a ⇒ S∆SBD = SO ⊥ (ABCD) Suy : VS.ABD = SB.AD.d(AD,SB).sin ∠(AD,SB) 2 13 OB2 + SO = a + a = a 16 4 + Mặt khác : VS.ABD = Trong đó:  SB = SO.SVABD (1) 21 a + a = a 16 4  AD // BC ⇒ ∠(AD,SB) = ∠(BC,SB) = ∠SBC 13 21 a + a2 − a2 2 SB + BC − SC 39 16 = 13 ⇒ sin SBC · · cosSBC = = 16 = 2.SB.BC 13 13 13 2.a a a d(SB, AD) Suy ra: VS.ABD = (2) 12 + Từ (1) (2) ta suy : d(AD,SB) = a ≡ Cách 2: Chọn hệ tọa độ Oxyz sau: Tâm O O, B ∈ Ox, C∈ Oy; S ∈ Oz  SC = OC2 + SO = giải phương pháp tọa độ Bài 13 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa hình lục giác cạnh a, đường cao SA = a Dựng đường vng góc chung BD, SC ; xác định chân đường vng góc cạnh SC BD Tính độ dài đoạn vng góc chung Giải :Cách Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB AD K E Kẻ BH ⊥ SK ( H ∈ SK ) Từ H kẻ đường thẳng song song với BD cắt SC J, từ J kẻ đường thẳng song song với BH cắt BD I + Do ABCD nửa hình lục giác cạnh a nên BD ⊥ AB ⇒ KE ⊥ AB  ⇒ KE ⊥ (SAK) ⇒ KE ⊥ BH KE ⊥ SA   BH ⊥ SK   ⇒ BH ⊥ (SKE)  + BH ⊥ KE   ⇒ IJ ⊥ (SKE) ⇒ IJ ⊥ KE ⇒ IJ ⊥ BD (do BD / /KE)  IJ / / BH  + IJ ⊥ (SKE) ⇒ IJ ⊥ SC Vậy IJ đường vng góc chung SC BD a Dễ thấy : KB = , KC = a 3a a 13 , KA = , KS = SA + AK = 2 Lại có tứ giác SABH nội tiếp Do KH.KS = KB.KA 3a 13 KH KB.KA 3a 13 = 26 = ⇒ KH = = Vậy KS a 13 13 KS 26 CJ = Suy : (do HJ // KC) Điểm J xác định CS CS 13 SH HJ 10 10 5a Ta lại có: = = ⇒ HJ = KC = SK KC 13 13 13 5a Vì BI = HJ nên BI = 13 = Điểm I xác định BD BD a 13 BH BK a 13 = = ⇒ BH = IJ = SA SK 13 13 ( BH // IJ , HJ // BI ⇒ HJIB hình bình hành ) +Ta có: Cách 2: Chọn hệ tọa độ Oxyz sau: A ≡ O, B∈ Ox, D ∈ Oy; S ∈ Oz giải phương pháp tọa độ Bài tập 14 (Đề thi đai học khối A năm 2011) Cho hình chóp SABC có đáy tam giác vng cân B, AB = BC = 2a Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Giải: S Từ (SAB) ⊥ ( ABC) (SAC) ⊥ (ABC) nên SA ⊥ ( ABC) mà AB ⊥ BC Suy : SB ⊥ BC · hay SBA góc tạo mặt phẳng (SBC) (ABC) ⇒ SA = tgSBA ×AB = ×2a = ×a H Mặt khác: MN dường trung bình ∆ABC BC =a 1 MN + BC ×MB Vậy VSMNBC = ×SA ×S MNBC = ×SA × 3 ( a + 2a ) ×a = 3a = ×2 3a × nên MN = N C A M 60° B  Qua N, vẽ a // AB.Suy : d(AB; SN) = d(AB; (SND)) Hạ AD ⊥ a ( D ∈ a) Vì (SAC) ⊥ ( ABC ) ( SAB) ⊥ (ABC) nên SA ⊥ ( ABC ) Mà AD ⊥ a ⇒ SD ⊥ a hay a ⊥ ( SAD ) * Hạ AH ⊥ SD ⇒ AH ⊥ ( SND) Vậy AH khoảng cách A (SND) hay AH khoảng cách AB SN · = 900 ; AD = MN = a; Xét ∆SAD : SAD SA = tgSBA.AB = tg 600 ×2a = 3a AH = SA2 ×AD 12a ×a 2 39a = = 2 2 SA + AD 12a + a 13 Bài 15: ( Đề thi đại học khối A năm 2010 câu IV) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a Gọi M; N trung điểm cạnh AB AD.; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a S Giải: a) Ta có : ∆AMD = ∆DNC (c − g − c) · · = 900 hay MD ⊥ NC nên ·ADM + DNC ⇒ ·ADM = DCN + Áp dụng định lí Pitago Ta có : MD = AD + AM = 2 Vậy VS ×CDNM = ×SCDNM 1  = × × 2   5a a a + ÷ = 2 1  ×SH = × ×MD ×NC ÷×SH 2  5a  ÷ 3a × a = ÷ ÷ 24  ÷  K B C M H A N D  Từ chứng minh Ta có : MD ⊥ NC , mà SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ MD Vậy MD ⊥ ( SHC ) Hạ HK ⊥ SC mà MD ⊥ ( SHC ) nên HK ⊥ MD hay HK khoảng cách hai đường thẳng MD SC + Mặt khác : cos DCN = ⇒ HC = cos DCN ×CD = = + tg DCN 1 1+  ÷ 2 = 5 5a Áp dụng hệ thức lượng Ta có : HK = SH ×HC SH + HC 2 5a a 3× = ( a 3) 2  5a  + ÷   = 57 a 19 Bài tập 16(ĐH_A_2012) Cho hình chóp S.ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên (ABC) H nằm AB cho AH=2HB Góc SC (ABC) 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Giải: S K I A C H B · · Ta có SCH góc SC mp(ABC) ⇒ SCH = 60 Xét ∆ACH ta có: CH = AH + AC - 2AH.AC.cos60 = ⇒ CH = ⇒ SH = CH.tan60 = Qua A kẻ đường thẳng ∆ song song với BC, gọi (α) mp chứa SA ∆ ⇒ BC ∥ (α) ⇒ d(SA,BC) = d(B,(α)) = d(H,(α)) Kẻ HI ⊥ ∆ I ⇒ (SHI) ⊥ (α), kẻ HK ⊥ SI K ⇒ HK ⊥ (α) ⇒ d(H,(α)) = HK Ta có HI = AH.sin60 = ⇒ = + = ⇒ HK = ⇒ d(H,(α)) = ⇒ d(B,(α)) = Vậy: d(SA,BC) = Bài tập 17: Cho tứ diện OABC có đáy ∆ OBC vng O, OB = a, OC = a 3, (a > 0) đường cao OA = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM Giải: Gọi N điểm đối xứng C qua O Ta có: OM // BN(tính chất đường trung bình) ⇒ OM // (ABN)⇒ d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)) Dựng OK ⊥ BN, OH ⊥ AK (K ∈ BN; H ∈ AK) Ta có: AO ⊥ (OBC); OK ⊥ BN ⇒ AK ⊥ BN A BN ⊥ OK; BN ⊥ AK ⇒ BN ⊥ (AOK) ⇒ BN ⊥ OH OH ⊥ AK; OH ⊥ BN ⇒ OH ⊥ (ABN) ⇒ d(O; (ABN) = OH Từ tam giác vng OAK; ONB có: 1 1 1 = + = + + 2 2 OH OA OK OA OB ON = 1 a 15 + + = ⇒ OH = 3a2 a2 3a2 3a2 N H O C M K B a 15 Vậy, d(OM; AB) = OH = Bài tập 18: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác có cạnh 2a , SA vng góc với (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB, BC Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SE AF Giải: Gọi M trung điểm BF ⇒ EM // AF S · AF) = (EM; · · ⇒ (SA; AF) = SEM ∆ SAE vng A có: SE2 = SA + AE = a2 + 2a2 = 3a2 ⇒ SE = a AF = 2a =a a ; BF = a 2 SB2 = SA + AB2 = a2 + 8a2 = 9a2 ⇒ SB = 3a ⇒ EM = BM = MF = H A K C F E M B SF = SA + AF = a2 + 6a2 = 7a2 ⇒ SF = a Áp dụng định lý đường trung tuyến SM ∆ SBF có: SB2 + SF = 2.SM2 + BF 2 15a ⇔ 9a2 + 7a2 = 2SM + 2a2 ⇔ SM = 2 Gọi a góc nhọn tạo SE AF Áp dụng định lý hàm Cơsin vào ∆ SEM có: 3a2 15a2 3a + − 2 ES + EM − SM 2 = − = · cos α = cosSEM = = 2.ES.EM 2 a .a o ⇒ α = 45 a Dựng AK ⊥ ME; AH ⊥ SK Ta có: AK = MF = AH ⊥ (SME) Vì AF // ME ⇒ d(SE; AF) = d(AF; (SME)) = AH ∆ SAK vng có: Vậy, d(SE; AF) = 1 1 a = + = + = ⇒ AH = 2 AH SA AK a a a a Bài tập 19 Cho hình chóp S ABCD có SC ⊥ ( ABCD), đáy ABCD hình thoi có cạnh a ·ABC = 1200 Biết góc hai mặt phẳng (SAB) ( ABCD) 450 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng SA, BD Giải Kẻ SK ⊥ AB (K ∈ AB) ⇒ CK ⊥ AB (định lí đường vng góc) Khi góc hai mặt phẳng (SAB) · ( ABCD) góc SK CK Do SKC nhọn · · nên SKC = 450 ; ·ABC = 1200 ⇒ CBK = 600 Trong tam giác vng CBK : CK = CB sin 600 = Tam giác SCK vng cân C nên SC = 3a I D C 3a 2 3a 3a Do VS ABCD = S ABCD SC = (đvtt) Gọi O = AC ∩ BD  BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( SAC ) O Ta có   BD ⊥ SC Kẻ OI ⊥ SA (I ∈ SA) ⇒ OI đoạn vng góc Ta có S ABCD = AB.BC sin1200 = S O A a B K chung SA BD Dùng hai tam giác đồng dạng AOI ASC suy OI = 5a 5a Vậy d ( SA, BD ) = 10 10 Bài tập 20 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các mặt bên hình vng cạnh a Gọi D, F trung điểm cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách hai đường thẳng A'B B'C' Giải Cách 1: Vì các mặt bên lăng trụ hình vng nên AB = BC = CA = A ' B ' = B ' C ' = C ' A ' = a ⇒ tam giác ABC, A’B’C’ tam giác z C’ A’ Chọn hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đơi vng góc, A(0;0;0), a a   a a  B ; ; ÷, C  − ; ; ÷, A '(0; 0; a), 2 2    a a   a a  B ' ; ; a ÷, C '  − ; ; 2 2    Ta có: B ' C ' //BC , B ' C ' // ( A ' BC ) ⇒ d ( B ' C '; A ' B ) = d ( B ' C '; ( A ' BC ) ) = d ( B '; ( A ' BC ) ) uuuur  a a  uuuur  a a  A' B =  ; ; − a ÷; A ' C =  − ; ; − 2   2  uuuur uuuur r        A ' B, A ' C  =  0; a ; a ÷ = a  0; 1; ÷ = a nr , với n =  0; 1; ÷         r ’ ’ Phương trình mặt phẳng (A BC) qua A với vectơ pháp tuyến n : B’ a C A D x B y 0( x − 0) + 1( y − 0) + d ( B ' ( A ' BC ) ) 3 a ( z − a) = ⇔ ( A ' BC ) : y + z− =0 2 a 3 a a + a − a 21 a 21 2 = = = Vậy, d ( A ' B; B ' C ' ) = 7 1+ Cách 2: Vì các mặt bên lăng trụ hình vng nên AB = BC = CA = A ' B’ ' = B ' C ' = C ' A ' = a A ⇒ tam giác ABC, A’B’C’ tam giác Ta có: B ' C ' //BC ⇒ B ' C ' //( A ' BC ) B’ F ⇒ d ( A ' B; B ' C ') = d ( B ' C '; ( A ' BC ) ) = d ( F ; ( A ' BC ) ) H  BC ⊥ FD ⇒ BC ⊥ ( A ' BC ) Ta có:   BC ⊥ A ' D (∆A'BC cân A') Dựng FH ⊥ A ' D A Vì BC ⊥ ( A ' BC ) ⇒ BC ⊥ FH ⇒ H ⊥ ( A ' BC ) ∆A’FD vng có: FH = A' F2 a 21 Vậy, d ( A ' B; B ' C ' ) = FH = + FD = 3a + a2 = 3a ⇒ FH = D a 21 B Bài tập 21 (ĐH-D-2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng, AB=BC=a, cạnh bên A’A=a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng B’C AM theo a Giải: Ta có: AM = AB + BM = ⇒ AM = Qua C kẻ đường thẳng ∆ song song với AM, gọi (α) mặt phẳng chứa B’C ∆ ⇒ AM∥(α) ⇒ d(AM,B’C) = d(M,(α)) = d(B,(α)) Kẻ BI ⊥ ∆ I ⇒ (B’BI) ⊥ (α), kẻ BK ⊥ B’I K ⇒ BK ⊥ (α) ⇒ d(B,(α)) = BK · · Ta có: sin BCI = sin BMA = = A’ C’ · ⇒ BI = BC.sin BCI = ⇒ = + = ⇒ HK = ⇒ d(B,(α)) = ⇒ d(M,(α)) = Vậy: d(B’C,AM) = B’ K M I C tạo Bài tập 21: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tấtAcả cạnh a Góc cạnh bên đáy 30 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A'B'C') thuộc đường thẳng B'C' a) Tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy B A C b) Chứng minh hai đường thẳng AA' B'C' vng góc Tính khoảng cách chúng ? Giải: a) Gọi H hình chiếu vng góc A (A'B'C') H trung điểm B'C' B K A' C' Do (ABC)//(A'B'C'), mà AH ⊥ (A'B'C') B' H C’ C AH khoảng cách hai mặt phẳng Vì AA' tạo với đáy góc 300 nên tam 1 giác AHA' có AH = AA ' = a 2 b) Kẻ KH vng góc với AA’ HK đoạn vng góc chung AA' B'C' Dùng định lý Pitago tam giác vng AKH (vng K) ta tính KH Bài tập 22: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng BC' CD' Giải : Ta xét hai mặt phẳng (A'BC') (ACD') chứa hai cạnh BC' CD' (A'BC')//(ACD') nên khoảng cách BC' CD' khoảng cách hai mặt phẳng ((A'BC') với (ACD') Ta có DA=DC=DD'=a, B'B=B'A'=B'C'=a Vậy B'D trục hai mặt phằng Hai mặt phẳng chia đường chéo B'D thành ba phần Với B'D= a B O A I D K B' A' C C' O' D' BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB=AD=a, CD=2a, SA=a, hai mp (SCD) (SAD) vng góc với mặt đáy Gọi G trọng tâm ∆BCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) theo a Bài tập Cho hình chóp S.ABCcos đáy ABC tam giác vng cân C, cạnh huyền 3a Gọi G trọng tâm tam giác ABC, SG vng góc mp(ABC), SB= Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a Bài tập Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB=2a, BC=a, ABC=30 thể tích lăng trụ a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(A’BC) theo a Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng cách hai đường thẳng SC AB a Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B với AB=BC=a AD=2a, mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt đáy Biết góc tạo (SAB) (ABCD) 60 Tính thể tích khối chóp khoảng cách hai đường thẳng SB CD theo a Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có SA=a SA vng góc với mặt đáy Biết ABCD thang vng A B, AB=a, BC=2a SC vng góc với BD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AB SM theo a với M trung điểm BC D KẾT LUẬN - Chun đề rút phương pháp tính khoảng cách hình học khơng gian Với mục đích nâng cao lực tư duy, tính sáng tạo giải tốn học sinh THPT Hy vọng với kết nhỏ bổ sung phần kiến thức cho học sinh, giúp em nhận thức đầy đủ rèn luyện tốt kỹ giải tốn khoảng cách hình học khơng gian - Với kinh nghiệm nghề nghiệp chưa nhiều, song với tinh thần cầu tiến, học hỏi nên tơi cố gắng trình bày viết với tất có thể, chun đề nhiều thiếu sót nên tơi mong góp ý đồng nghiệp để chun đề hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Hình học lớp 11 – chương trình nâng cao Sách giáo khoa Hình học lớp 12 – chương trình nâng cao Sách Bài tập Hình học lớp 11 – chương trình nâng cao Sách Bài tập Hình học lớp 12 – chương trình nâng cao Sách giáo viên Hình học lớp 11 – chương trình nâng cao Sách giáo viên Hình học lớp 12 – chương trình nâng cao Bài giảng trọng tâm ơn luyện mơn Tốn – Trần Phương 360 tốn chọn lọc Hình học khơng gian ( Lê Quang Ánh – Nguyễn Thành Dũng – Trần Thái Hùng ) Các đề thi tuyển sinh Đại học [...]... khoa Hình học lớp 11 – chương trình nâng cao Sách giáo khoa Hình học lớp 12 – chương trình nâng cao Sách Bài tập Hình học lớp 11 – chương trình nâng cao Sách Bài tập Hình học lớp 12 – chương trình nâng cao Sách giáo viên Hình học lớp 11 – chương trình nâng cao Sách giáo viên Hình học lớp 12 – chương trình nâng cao Bài giảng trọng tâm ơn luyện mơn Tốn – Trần Phương 360 bài tốn chọn lọc Hình học khơng gian. .. chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD theo a Bài tập 6 Cho hình chóp S.ABCD có SA=a và SA vng góc với mặt đáy Biết ABCD là thang vng tại A và B, AB=a, BC=2a và SC vng góc với BD Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM theo a với M là trung điểm của BC D KẾT LUẬN - Chun đề đã rút ra được một phương pháp tính khoảng cách trong hình học khơng gian Với mục... khơng gian Với mục đích nâng cao năng lực tư duy, tính sáng tạo trong giải tốn của học sinh THPT Hy vọng với kết quả nhỏ này sẽ bổ sung được phần nào kiến thức cơ bản cho học sinh, giúp các em nhận thức đầy đủ và rèn luyện tốt kỹ năng giải các bài tốn khoảng cách trong hình học khơng gian - Với kinh nghiệm nghề nghiệp chưa nhiều, song với tinh thần cầu tiến, học hỏi nên tơi đã cố gắng trình bày bài viết... ∆BCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) theo a Bài tập 2 Cho hình chóp S.ABCcos đáy ABC là tam giác vng cân tại C, cạnh huyền bằng 3a Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, SG vng góc mp(ABC), SB= Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a Bài tập 3 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB=2a, BC=a, ABC=30 và thể tích lăng trụ bằng a Tính khoảng cách. .. Qua bài tập ta có thể rút ra cách tính khoảng cách từ điểm I nào đó đến mp(α) chứa đường cao của khối chóp như sau: Bước 1: Xác định giao tuyến d của mp(α) và mặt đáy Bước 2: Chọn 1 điểm M nằm trên mặt đáy thuận lợi nhất, rồi tính khoảng cách từ điểm M đến mp(α), bằng cách kẻ MH ⊥ d tại M ⇒ MH ⊥ (α) ⇒ d(M;(α)) = MH Bước 3: Sử dụng bổ đề (*) để suy ra Bài tập 11: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh... (A'B'C') do đó B' H C’ C AH chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng Vì AA' tạo với đáy một góc bằng 300 nên tam 1 1 giác AHA' có AH = AA ' = a 2 2 b) Kẻ KH vng góc với AA’ thì HK là đoạn vng góc chung của AA' và B'C' Dùng định lý Pitago trong tam giác vng AKH (vng tại K) ta tính được KH Bài tập 22: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC' và CD' Giải... Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, tam giác SAB đều và nằm trên mặt phẳng vng góc với mặt đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB bằng a Bài tập 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B với AB=BC=a AD=2a, các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vng góc với mặt đáy Biết góc tạo bởi (SAB) và (ABCD) bằng 60 Tính thể tích khối chóp và khoảng. .. d(B’C,AM) = B’ K M I C tạo bởi Bài tập 21: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tấtAcả các cạnh bằng a Góc cạnh bên và đáy bằng 30 0 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A'B'C') thuộc đường thẳng B'C' a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy B A C b) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA' và B'C' vng góc Tính khoảng cách giữa chúng ? Giải: a) Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên (A'B'C') thì H... 49 7 ( Lưu Ý : Sử dụng công thức tính khoảng cách nhanh hơn a 2 3 d ( A,(SCD )) = a − a3 3 2 a 3 ) 7 3a + 4 a Bài tập 7 (ĐH khối D – 2013): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi · cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, BAD = 1200 , M là trung điểm cạnh BC và · SMA = 450 Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) Giải: * Tính VS.ABCD · D = 1200 ⇒ ABC · Do... SA/ MCN = 2 2 1 3 Gọi H là hình chiếu của B/ trên (A/MCN), ta có: VB'.A'MCN = B'H.SA'MCN ⇒ B/ H = 3.VB/ A/ MCN SA / MCN = 3 a3 a 2 6 a 6 : = 3 2 3 2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau · Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi cạnh a có BAD = 60o Gọi O là giao điểm của AC và BD , biết SO ⊥ (ABCD) và SO = 3 a 4 a Xác định và tính khoảng cách giữa SB, AD b Tính góc giữa (SBC) và (SAD)