BỘ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO TRƯ Ờ NG ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘI Đ IN H T H Ị T H U S ự Ổ N Đ ỊN H C Ủ A P H Ư Ơ N G P H Á P S A P X E P SPL IN E ĐỐ I VỚI P H Ư Ơ N G T R ÌN H V I-T ÍC H P H  N L U Ậ N VĂN TH ẠC s ĩ TO Á N HỌC C h u yên ngành: T oán giải tích M ã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học T S N g u y ễn V ăn Tuấn H À N Ộ I, 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Tuấn, ngưòi thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lòi cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp, BGH tổ KHTN trường THCS Xuân Hòa thị xã Phúc Yên tỉnh Vĩnh Phúc cổ vũ, động viên, tạo điều kiện để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Đ in h T h ị T h u Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Nguyễn Văn Tuấn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tằi:((S ự ổ n đ ị n h c ủ a p h n g p h p s ắ p x ế p s p l i n e đ ố i v i p h n g t r ì n h v i t íc h p h â n ” hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Đ in h T h ị T h u Muc luc M ỏ dầu K iến th ứ c 1.1 Không gian v e c t o 1.2 Không gian định c h u ẫ n 12 1.2.1 Khái niệm không gian định chuẫn 12 1.2.2 Sự hội tụ không gian định chuẫn 16 1.3 Không gian H i l b e r t 16 1.4 Không gian hàm s p l i n e 19 1.4.1 Spline đa thức bậc ba vòi mốc cách 19 1.4.2 Spline đa thức tổng quát 24 1.5 Sai số, tốc đô hôi t u 28 1.5.1 Sai số 28 1.5.2 Xấp xỉ tốt 1.5.3 Tốc đô hôi tu nghiêm xấp x ỉ 30 1.5.4 Ma trận đường chéo trội 31 1.5.5 Các khái niệm cờ lý thuyết ổn định 32 29 Sự ổn đ ịn h củ a phương pháp xếp sp lin e phư ơng trìn h vi tíc h ph ân 36 2.1 36 Dịnh nghĩa phường pháp xếp spline 2.2 Sự ốn định phương pháp xếp spline vdi phương trình vi phân 2.2.1 38 Sử dụng ma trận đưòng chéo trội nghiên cứu tính ốn định phương trình vi p h â n 2.2.2 Sự ốn định phương pháp xếp spline cho phương trình vi phân bậc hai 2.3 45 Sự ốn định phương pháp xếp spline vdi phương trình vi tích phân 2.3.1 48 Phương pháp xếp spline cho phương trình vi tích phân Volterra bậc hai 2.3.2 48 Sự ốn định phương pháp xếp spline cho phương trình vi tích phân Volterra bậc hai 38 54 ứ n g dụng 58 3.1 ữ n g dụng với phương trình vi phân 58 3.2 Ung dụng với phương trình vi tích phân 60 K ế t lu ận 67 68 T ài liệu t h a m k h ả o B Ả N G KÍ HIỆU N N* R Tập số tự nhiên Tập số tự nhiên khác không Tập số thực c Tập số phức C[o Ị,] Tập tấ t hàm số thực liên tục \a, b] Ss(ĩĩ) Tập tấ t hàm spline đa thức bậc II • II Chuẩn Mở đầu Lí chọn đề tài Trong khoa học tự nhiên, kĩ thuật, kinh tế, lĩnh vực khác sống ta gặp nhiều toán đưa tới việc nghiên cứu phương trình vi phân, phương trình vi tích phân Giải phương trình vi tích phân khó ngưòi ta thường áp dụng phương pháp xấp xỉ để giải Có nhiều phương pháp giải gần khác nhau, phương pháp xếp spline phương pháp thường lựa chọn Ưu điểm phương pháp xếp spline sử dụng hàm đa thức tính toán để giải Các hàm đa thức dễ dàng lập trình đưa lên máy tính, tính toán thuận lợi, hiệu Trong số trường hợp phương pháp xếp spline thường đạt tốc độ hội tụ nhanh, độ xác nghiệm gần tốt phương pháp khác Có thể khái quát cho nghiệm xấp xỉ spline bậc cao hàm B-spline Sự ổn định nghiệm xấp xỉ nhà Toán học nước quan tâm nghiên cứu Với mong muốn tìm hiểu ổn định nghiệm xấp xỉ phương pháp xếp spline nhằm nâng cao kiến thức học chương trình đại học cao học nên em chọn đề tài để nghiên cứu làm luận văn tốt nghiệp cho M ục đích nghiên cứu Tìm hiểu khái niệm định lý phương pháp xếp spline Nghiên cứu ổn định phương pháp xếp spline với phương trình vi phân phương trình vi tích phân N hiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ổn định phương pháp xếp spline với phương trình vi phân, phương trình vi tích phân Nghiên cứu lập trình Maple để ứng dụng Đ ối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: “Sự ổn định phương pháp xếp spline ” Phạm vi nghiên cứu: khái niệm, định lý kết phương pháp xếp spline Các phương trình vi phân, vi tích phân Lập trình Maple với phương pháp xếp spline Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, phương pháp lấy ý kiến chuyên gia Đ óng góp Sẽ nghiên cứu ổn định lớp phương trình vi tích phân phương pháp xếp spline, chứng minh ổn định lớp phương trình vi tích phân phương pháp xếp spline Chương Kiến thức Chương trình bày số không gian thường dùng như: Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian hàm spline, sai số, tốc độ hội tụ, ổn định nghiệm để phục vụ chứng minh chương sau 1.1 K hông gian vectơ Đ ị n h n g h ĩa 1.1.1 Cho V tập khác rỗng mà phần tử kí hiệu : ã, /3, , I trường mà phần tử kí hiệu: x ,y ,z, Giả sử V trang bị hai phép toán, gồm: Phép toán cộng, kí hiệu + : Y X Y — >V (ã, ệ ) I— >ã + ệ Phép toán nhân, kí hiệu • : K X V — >V (X, ã) I— > X ■ã Chứng minh: Từ s (d + 1)ddị (ra + d ) ( m + d — l ) c ^ +d_2\ (d + l ) d c ị ~ l (ra + d ) ( m + d — l)c™+d~2 detv = det ( d + l ì d c ị - (ra + d ) ( m + d — \)c™+d~2 V / ( Ci c7*"1\ d - ( d + l) d c í X X ( m + d ) ( m + d —i ) c dm 1det ^0 „d • • • w V -1 / Với d > 1, V ma trận khả nghịch,vì V — Ị3hV1 —a h 2V2 — \ h ẵVs khả nghịch với h đủ nhỏ Khi d > 1,chúng ta ý trường hợp cỉ = v c ỉ = —1 chứng minh det {V - h V l - a h 2V2 - Xh3V3) Ỷ 0, vdi h đủ nhỏ Do đó, phương trình (2.47) viết dạng a n+i = (V -1 Vo + W ) a n + r n, n = 1, • • • , N - (2.48) Khi w = { h ) rn = { h 3) với / G c Sự ố n đ ịn h củ a p h n g p h p x ế p sp lin e cho p h n g tr ìn h vi tíc h p h â n V o lter r a b ậc hai Chúng ta thấy phương pháp spline xếp (2.391 cho phương trình (2.401 dẫn đến phép đệ quy (2.48) Chúng ta phân biệt phương pháp với giá trị ban đầu tx ^(o ) = y ^ ( 0), j = 0, ,d, với phương pháp khác mà dùng 'Ui(o) = t/(0), u\ (0) = y^o) bổ sung điểm xếp tũj = t 0+c 0jh , j = 1, , d - l với c0j không đổi c0j e (0, l] \{ c i, ,c m} khoảng thứ Chúng ta thấy tính bị chặn II u ||c[0 T] tương đương với bị chặn II a n II với chuẩn Km+d+1 Nguyên lý bị chặn cho phép thiết lập M ệ n h đ ề 2.3.2 Phương pháp xếp spline ổn định u llc[0,T] — c II / ||c d0[0 ,T ] ) V / £ C da[0,T}, (2.49) Trong số c phụ thuộc vào T , a , ¡3, A G c phụ thuộc vào tham số Cj Coj Để tìm nghiệm xếp spline cho phương trình tích phân Volterra cho phương trình vi - tích phân Volterra bậc S ị l+d( A n) thỏa mãn (2.39) t nj ta qua bước sau: Õn định cho phương trình tích phân Volterra tùy theo ma trận M = ỮQ1Ữ ỮQ ữ (ra + d + l ) ( m + d + 1) ma trận sau: ( E\ õJ Í A\ ũo = _ , V ỡ/ Ci C1m +d\ ỡ V ■■ r m +d L'm / E A xác định V Vo Nếu toàn giá trị riêng M nằm hình tròn đơn vị đóng giá trị nằm đường tròn đơn vị có hệ số đại số hình học nhau, phương pháp xếp spline ổn định 55 Nếu M có giá trị riêng nằm hình tròn đơn vị đóng, phương pháp không ổn định ( u tăng theo hàm số mũ : II u II00> ceKN cho số K > c > Nếu toàn giá trị riêng M nằm hình tròn đơn vị đóng có môt giá trị riêng nằm đưòng tròn đơn vị có hệ số đại số hệ số hình học khác nhau, phương pháp yếu không ổn định ( u có phát triển đa thức : II u ||o o ~ c N k, c > 0, k G N ) M ện h đề 3 Nếu M có giá trị riêng bên hình tròn đơn vị đóng, phương pháp xếp spline không ổn định Nghiệm xấp xỉ tăng theo hàm số mũ Chứng minh: Xét giá trị riêng ¡1 M + w cho \ụ,\ > + ổ với ổ > cố định, với h đủ nhỏ Cho OL\ Ỷ vec tơ riêng M + w , Ta có: {V - PhV - a h 2V2 - A h V 3) a i = h 2g0 (2.50) Khi 90 = («10) ■■■Jữlđ) / (íl 1);■■■; = ^ ¡ r , j = , , d Vì: y"{ 0) = a y { 0) + /3y'ị0) + /(0), ý ( ) = a y j ~2( 0) + / V - (0) + A ý “ 3(0) + / J_2(0), j = , , d (2.51) xác định vectơ OL\ qua (2.50)và (2.51) giá trị = , , d - l , / ( í n ) , , / ( í lm) Ta thấy / [0, h] đa thức nội suy với giá trị / ) ( ) ; j = 0, , d - 2, /(¿ Ij), j = 1, ,m , Và f ^ \ h ) = 0, j = 0, , d0 ( n ế u c m = th ì f {j){h) = , j = 0, • • • ,do, ) Trong trường hợp dùng phương pháp bổ sung điểm / [0, h] 56 đa thức nội suy /( ) , f { t 0j), j = 0, • • • , d f ^ ( h ) = ( = 1, • • • = cm = , f ( t i m) = f ( h ) cho sẵn bỏ qua yêu cầu f ( h ) = ) Trong hai trường hợp kiểm tra / [n h , (n + l)h] , n > đa thức nội suy giá trị f W ( n h ) = f ^ ( ( n + 1)h) = 0, j = 0, • • • ,do vdi j = • • • , đảm bảo 1, ••• ) f ( t n+I j ) = f { t i ị ) , j = ,d0 1, (nếu cm = / G do[0,T] r n = ,n > = Nội suy / biểu diễn [tn , t n+1] công thức k kị f { t ) = f {t n + Th ) = X Ì E í= phụ thuộc vào m + d + Cj II(r - (s° ( ) ) + + đ + 1, (fc d M- (2-52) r=0 Coj.Trong trường — (k = m + nút bổ sung k = h sW ỉ= c0j , tnj í j,0 < S( < Với òr ,Cj Pii i —1 hợp điều < Z, số kiện ban đầu k = — cm=i) Và trường hợp = m + d cm [0,h]và k = + 2do + 1, (fc= + 2do cm = = 1) khoảng 1) khoảng [nh, (n + 1)h],n > Thay h h/k, k = 1, , , Và giữ II oil 11= h2/ k 2,ta có II go 1100 bị chặn ,có nghĩa f ( t i j ) , j = , , ra, t i { ) / y , j = , , cỉ t i , j = 0, , d o bị chặn k —» oo Do (2.52) cho ■d„ [0, T] < ckda Mặt khác II a + di (2.53) cho < ệ t i + ổ)“ - k (2,54) Và (2.49) thoả mãn Bất đẳng thức (2.53 )và (2.54) trung bình tăng số mũ nghiệm xấp xỉ giữ tiêu chuẩn / bị chặn c d° xem [9] 57 Chương ứ n g dụng 3.1 ứ n g dụng với phương trình vi phân Ví dụ: Giải toán biên L x ( t ) = x " ( t ) — x(t) = a:(0) = a:(l) = Lòi giải: Giả sử ệ i ( t ) = t(t — 1) ộ 2(t) = t 2(t — 1) L ệ i ( t ) = — t(t — 1), L ệ 2(t) = 6í — — t 2(t — 1) ^ i ( O ) = 2,L^>2(0) = —2, L ệ ì (l) = , L ệ 2(l) = ấ, Cho t = t = 2, nghiệm xấp xỉ collocation có dạng: ót(t) = aiệi(t) + a2ệ 2(t) Như ta có hệ phương trình dạng ma trận: 58 Giải hệ ta dị = ^ Ũ2 = 0, Ẩ(í) = ^ ( í - 1) + g í 2( í - 1)Ta có nghiệm xác x ị t ) = (e* + e 1_i) — ữ n g dụng Maple tính nghiệm đúng, nghiệm xấp xỉ sai số phương pháp Đặt x ( t ) = y , x ( t ) = X tính x ( t ) , x ( t ) I x ị t ) — x ( t ) I Maple 13 với chương trình [> restart; [> for i from to 10 y[i]:=evalf((l/(2*(exp(l) + l)))*(exp(i/10)+exp(l-i/10))-2) x[i]=evalf((l/12)*(i/10)*(i/10-l) + (l/6 )* (i/1 -l)* (i/1 )2 a[i]=evalf(abs(x[i]-y[i])); od; Chạy chương trình kết x ( t ) , x ( t ) sai số e(t ) =1 t 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 x(í) 0.0000 0000 -0.0206 4230 -0.0364 8703 -0.0476 9277 -0.0543 7166 -0.0565 9056 -0.0543 7166 -0.0476 9277 -0.0364 8703 -0.0206 4230 0.0000 0000 x(í) 0.0000 0000 -0.009 00000 -0.0186 6667 -0.0280 0000 -0.0360 0000 -0.0416 6667 -0.0440 0000 -0.0420 0000 -0.0346 6667 -0.0210 0000 0.0000 0000 Bảng 3.1: 59 x(t ) — x(t ) I số giá trị bảng sau : 0.0000 0.0116 0.0178 0.0196 0.0183 0.0149 0,0103 0.0056 0.0018 0.0003 0.0000 0000 4230 2037 9277 7166 2389 7166 9277 2037 5770 0000 3.2 ứ n g dụng với phương trình vi tích phân Ví dụ : Giải toán sau 'y"{t) = y { t ) + y ' { t ) + f * y ( s ) d s - s i n ( t ) - cos(í) < ky(0) = i,v '( ) = i , t e [0,1] Phương trình có nghiệm xác y(t) = (sin(í) + cos(í) + ei)/2 Chương trình chạy máy sau: [> r e s t a r t ; [> w i t h ( l i n a l g ): > D 2(y)(t ) = y(i) + D (y )(i) + i nt(y(s), s = o i ) - sin(t) - cos(t) - exp(t) > y (sin(i) + cos(i) + ezp (i)) , ị sin(t) + \ cos(í) + \ é — sin(t) — cos(t) — exp(t); f := t — sin(t) — cos(t) — e4 y '.= t > f := t > N := 4096 : h := ị : m := : d := : [> a := a r r a y ( l m + d + , 1) : [ > a [ l , l ] : = l : a [ , l ] := i : [> c := a7Tay(l đ, 1) : [> c [ l , 1] := 0,4 : c [2 , 1] := 0,6 : r > N - - a[ 3,1] + N • • a [ ,1] • c[l, 1] = a [l, 1] + a[ 2,1] • c[l, 1] + ữ [3, 1] • (c[l l] ) + ữ [4 , 1] • (c[l, l])3 + N • (a 1] + • c[l 1] • a [ ,1] + • a [ ,1] (c[l, l] ) 2) + ỵ c [1,1] • a[l, 1] + + a[3-l]-(e[l,l])3 « M M Ị l ! ) _|_ / ( ^ ĩ l l ) • > s i m p l i f y (%); 3.3554432 107a3,i + 4.026531840 107ữ4,i = 5.000000000 10“9+ 3276.960005a3,i + 1966.144002ữ4,i ‘ > (3.3554432 107 - 3276.960005) • a[3,1] + (4.026531840 1071966.144002) • a4,i = 5.000000000 10“9; 3.355115504 107a3,i + 4.026335226 107a4,i = 5.000000000 10“9 60 > • N ■ a [ , 1] + JV2 ■6 ■a [ ,1] ■c [ , 1] = a [l, 1] + a [ ,1] • c[ 2,1] + a [ ,1 • (c[2,1])2 + a[4,1] • (c[2, l] ) + N • (a[2 ,11 + - c [2 ,1] - a [ ,1] + ■a [ ,1] ■(c[2, l])2) q[3|1]’(c[2,1])3 + ^ ( c [ , l ] - a [ l , l ] + a'2'1lf 2'1|)‘ + | °[4,l]-(e[2,l])4 j _|_ j ; ^ c[2, l ]y 33554432o3 i + 6.03979776 107a41 = 1.0 10~8+ 4915.560018a3,i + 4423.896008a4’i > (33554432 - 4915.560018)a[3,1] + (6.03979776 1074423.896008) • a [ ,1] = 1.0 10“ 8; 3.354951644 107a 4+ 6.039355370 107a 4 = 1.000000000 10“ > so/ve({3.355115504 107a 3,i + 4.026335226 107a 4,i = 5.000000000 10“ 9, 3.354951644 107a + 6.039355370 107a 4 = 1.000000000 10“ 8}, { a[3,l],a[4, 1]});{ o3ii = -1.490334423 10“ 16, a 4ji = 2.4837087741Q-16} [ > a [ ,1] := —1.49033442310-16 : a [ ,1] := a [ ,1] := 2.4837087741Q-16 : [> [> [ > N := 4096 : h := £ : m := : d := : [> [> c := a r r a y ( l m, 1) : [> c [ l , 1] := 0,4 : c[2 ,1] := 0,6 : > p r i n t (c); [0.4 0.6 > t :=—t —^ k • h'j ' > T ■= in , j ) -> w • (n — t := t ^ kh 1) + c [+ !] ■hT := in , j ) ivT + > ^ (sin(t) + cos(t) + exp(t) [ / : = t —>• —sin(t) — cos(t) — e x p ( t ); / : — t —^ —s i n ( t ) — cos(t) — e* y := t —> | s m (t) + \cos(t) + _ > e v a l f ( f ( T ( , 1)) — / ( T ( l , 2))); -0,000390624 [> a[n] := a r r a y ( l m + d + , 1) : g[n] := a r r a y ( l m + d + , 1) : [> a[n + 1] := a r r a y ( l m + d + , 1) : [> 61 ' > a [l] [ l, 1] := : a[ 1][2,1] := ^ : a[ 1][3,1] := -1.490334423 10“ 16 a [l][4 ,l] := 2.483708774 10“ 16 : [> > a[l] := array([[a[l][l, 1]], [a[l][2,1]], [a[l][3,1]], [a[l][4,1]]]); r i a x := i 4096 -1.490334423 10~16 2.483708774 10~16 > V I := a r r a y ( l m + d + 1,1 m + d + 1) : V := a r r a y ( l m + d + 1,1 m + d + 1) : V3 := a r r a y ( l m + d + 1,1 m + d + 1) : V4 := a r r a y ( l m + d + 1,1 m + d + 1) : VO := a r r a y ( l m + d + 1, l m + d + 1) : V := a r r a y (l m + d + 1, l m + d + 1) : > for z t o d + d o for j t o r a + d + d o V I [i,j] := 0; V2[i , j ] := 0; V3p, j] := ;V [ z ,j] := 0; if i < j o r i > j t h e n V[i , j ] := else V[i, j] := 1; fi; V0[z, j] := bi nomi al (j — 1, i — 1); od; od; [> for i t o d + d o a[i] := 0; o d : > for j fro m d + to m + d + l d o a[j] : = e v a l f ( f ( T ( 2, j - ( d + 1))) - f ( T ( l , j - (d + 1))), 15); o d : ' > b[ 4] := e v a l f ( f ( T ( , 1)) - f ( T ( 1, 2)), 15); 64 := -0.00039062500000 [> r > »[1] := array([[a[l]], a[2]]> [o[3]], [&[4]]]); 0 9i ■= -0.00048828125000 -0.00039062500000 > for i from d + t o m + d + l d o for j to m + d + VI [2 , j] := (.3 ~ !) • c[i - (d + 1), l p “ 2; V2[i , j ] := c[i - (d + 1), l p “ 1; V3[i , j ] := {cl%- {d^ ’1]y; V ^ j ] V[i , j ] := (j - 1) • (j - 2) • {c[i - (d + 1), l ] p “ 3; VQ[i,j\ '■= (3 - !) • U - 2) • (c[* - { d + l , l ] ) J_3; o d ; o d ; > for i from d + t o m + d + l d o for j t o m + d + VI [2 , j] := (j - 1) • c[i - (d + 1), l]-7-2; V2[i , j ] := c[i - (d + 1), l p - ; V3[i , j ] := {cll- {d^ 1]y; V ^ j ] V[i , j ] := (j - 1) • (j - 2) • {c[i - (d + 1), l])7“ 3; y ^ [ h j \ '■= (3 - !) • U - 2) • {c[i - ( d + l , l ] p " 3; o d ; o d ; [> 62 > A := e v a l m ( V - h A 961046555 L L—5.961337593 > B := i n v e r s e ( A ) : > := e v a l m { { V G -5.959591363 —5.959882401 c ■V I - h2 ■V - h? ■V3)] 0 ' 0 10~8 -0.0002441644681 1.999804678 2.399882808 10“ -0.0002441763904 1.999707010 3.599736315 h ■V I - h2 ■V - h? ■{V3 - VA))] 1 ' 10“ -0.0002441644608 1.999804678 2.399882808 10“ -0.0002441763831 1.999707010 3.599736315 I> > G[ 1,1] := mul t i pl y(C, Cü[l]); f 1.000244141 0.0002441406250 G l4 -1.192063774 10“ L—1.192121982 10“ [> e v a l m ( h ■ H[ 1,1] := eval m(G[ 1,1] + h ■g[ 1]); " 1.000244141 „ 0.0002441406250 11[ 1,1 -1.192354812 10“ -1.192354813 lO“ > > fo r k fro m to N — l d o fo r i to d + d o g[k] [i, 1] : = : fo r j f r o m d + to m + d + l d o g[k][j, 1] : = e v a l f ( f ( T ( k + , j - ( d + 1))) - f { T ( k , j - {d + 1)))) : o d : o d : od; >> > evalf(g[U}[3, l])]evalf(g[U][A, 1], 15); -0.000488281 -0.000488281 [> f o r Î to IV — ld o L [î] := array{[[g[i][l, 1]], [g[i][2,1]], [ÿ[î][3,1]], [g[i][A, 1]]]); o d : > p r i n t ( L [ 20]); r -0.000488282 [-0.000488282 > fo r i to N — d o G[i, l] := mul t i pl y(C, a[i]) : H[i, l] := evalm(G[i, l] + h2 • L[i]) : a[i + 1] - := m u l t i p l y ( B , H[i,l]) : o d : 63 > p r i n t ( e v a l m ( H [22,1])); r 1.005371102 ■ 0.0002441406932 -1.195402116 -7 L—1.195402111 -7_ > p r i n t ( e v a l m ( a [ 4000])); f 2.021629379 ' 0.0002913217979 1.88659066 10“ L 8.5505 -12 > f o r z t o I V - I d o ß[j] := a r r ay {[[a[j][l,l]],[a[j][2,l]],[a[j][3, [ l]],[a[5][4; l] ] ]) ;o d : > p r i n t ( ß [ 2]); f 1.000244141 ■ 0.0002441406250 —5.8204 10-12 L 4.85156 10-12 ' > fo r j to N - do-u := { t , j ) ->• ß[j}[ 1,1] + ß[j}[2,1] • N • (í - ^ ) + : ß\m, 1] • ÌV2 - (í - í t i ì ) + ß\m, 1ì-N3-(t- % iì)3;od : ' > u{t, 1); + t - 2.500366253 lO“ 9*2 + 0.00001706791673 í [> > {u{t, 2)); 1.000000000 + l.OOOOOOOOOí - 0.00009765010801 (í - ¿ V 0,3333966646(í : > (u(t, 2015)); 0.9917256303 + 1.0222834521 + 0.07028297737{t - ẩ g ) 2+ 0, 4399833218(í - ||g f ) ' > ti(0.075, 3); 1.074897323 [> ' > K := array{ 11,1 5) : K[ 1,1] := T T : K[ 1, 2] := B L : i m , 3] GTÙị n : K ị 1, 4] := G T y : K ị 1, 5] := : for Î t o d o K \ ¡ + 1,1] : = i : K[i + 1, 2] := e v a l f i ^ + : ÜT[t + 1, 3] := e v a l f ( y ( ^ + J ^ ) ) : #■[* + 1, 4] := e v a l f { u { { ^ + ^ ) , TÍ)) : K[ i + 1,5] := e v a l f { a b s { y { ^ := } ss od : 64 > K := a r r a y (1 11,1 5) : K ị , 1] := T T : K ị 1, 2] := B L : K ị 1,3] := G T u ị 2] : k [ l ,4 ] := G T y : tf [ l,5 ] := 5 : for i to 10 K [i + 1,1] := i : K[i + 1, 2] := e v a l f { ^ + 1, 3] := e v a l f { y { ^ + jÿTîô)) : Ä’t« + 1, 4] := e v a ự ( í x ( ( ^ i + j^îô), 2)) : K [i + 1, 5] := e val f {abs {y{ ^ + jỹ^) - u ((^ r + jỹiõ), 2)), 13) : od : > p r i n t ị K ); BL -TT 0.0002685546875 0.0002929687500 0.0003173828125 0.0003417968750 0.0003662109375 0.0003906250000 0.0004150390625 0.0004394531250 0.0004638671875 0.0004882812500 G T u2 1.000268555 1.000292969 1.000317383 1.000341797 1.000366211 1.000390625 1.000415039 1.000439453 1.000463867 1.000488281 GTy 1.000268555 1.000292969 1.000317383 1.000341797 1.000366211 1.000390625 1.000415039 1.000439453 1.000463867 1.000488282 ss 3.74 3.75 3.74 3.74 3.74 3.74 3.75 3.73 3.73 3.74 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 > /Ịf := a rra y (l ll, 5) : Ä"[l, 1] := TT : / q i , 2] := 5L Ä"[l,3] := G T u 10] : K 1,4] := G T y : / q i , ] := 5 : f o r z t o l O d o i f i + 1,1 := z K[i + 1,2] := e v a l f ( 10-1 + N - 10-) : K[i + 1, 3] := e v a l f { y { lũ~l N + 10-1 K[i + 1, 4] := e v a l f ( u ( ( - N + JV-ỊQ> ị)j 10)) : K[i + 1,5] 0-1 , i \ r t \\ f := e v a l f { a b s { y { lữ~l JV +' JV’-10 ) - « ( ( % + v iñ ) ,1 ) ) ,1 ) : od : > p r i n t ị K ); BL GTy G T u2 -T T 0.002221679688 1.002221679 1.002221683 3.377 10“ 0.002246093750 1.002246094 1.002246097 3.379 10“ 0.002270507812 1.002270508 1.002270511 3.381 10“ 0.002294921875 1.002294922 1.002294925 3.383 10“ 0.002319335938 1.002319336 1.002319339 3.386 10“ 0.002343750000 1.002343750 1.002343753 3.387 10“ 0.002368164062 1.002368164 1.002368167 3.389 10“ 0.002392578125 1.002392578 1.002392582 3.391 10“ 9 0.002416992188 1.002416992 1.002416996 3.394 10“ 0.002441406250 1.002441406 1.002441410 3.397 10“ ss 65 N -10 )) > K K K = = = K := = array{ 11,1 5) : K[ 1,1] := T T : K[ 1, 2] := L : 1,3 := GTÙ[1000] : M := G T y : ÜT[1, 5] := S S : fo rz to lO d o  " [z + 1,1] := %: _ ( 1000—1 I jy\A I Ql , + 1, ni 2] ,:= e t> oJ fi/( M ỉ= l +' Nÿ-iL10/)\ ,’: A tf [^i + 1, 3] e v a l f ( y ( 1000-1 + )) : Â-[i + 1,4'I : e v a l f ( u ( ( - Æo+ NX-10) , 1000)) :üT[t + 1,5] N e val f ( abs ( y( 1000-1 -r + ^ IV-10 ' JV JV-10 ), 1000)), 13) od : > p r i n t ( K) ] -T T BL GTy SS GT u2 0.2439208984 1.244075592 1.244077166 0.000001574193 0.2439453125 1.244100068 1.244101643 0.000001574530 0.2439697266 1.244124546 1.244126120 0.000001574870 0.2439941406 1.244149022 1.244150597 0.000001575208 0.2440185547 1.244173499 1.244175074 0.000001575546 0.2440429688 1.244197976 1.244199551 0.000001575883 0.2440673828 1.244222452 1.244224028 0.000001576223 0.2440917969 1.244246929 1.244248506 0.000001576561 0.2441162109 1.244271406 1.244272983 0.000001576899 L L10 0.2441406250 1.244295883 1.244297460 0.000001577238J > K := a r r a y ( l l l , 5) : K[ 1,1] := T T : K[ 1,2 B L : K 1,3] := G T u 2015] S S : fo r i to 10 d o K[i + 1, ] : = K[ 1,-4 := G T y : K 1,5] K[i + 1,2] e v a l f i 2015 ) : K[i + 1, 3] := e v a l f ( y ( 2015+ N -10 )) N JV _ , JV-10 K[i + 1,4] = e v a l f ( u ( ( 2015-1 N N— -10 ) , 2015)) : TT[z + l,5 ] = e val f ( abs ( y( 2015-1 + N -10 ) - « ( ( 2015-1 + N -10 ), 2015)), 13) N N od : > p r i n t ( K) ] -TT BL GTy G T u2 SS 0.4917236328 1.494399264 1.494406563 0.000007299037 0.4917480469 1.494424222 1.494431521 0.000007299858 0.4917724609 1.494449179 1.494456479 0.000007300679 0.4917968750 1.494474137 1.494481438 0.000007301499 0.4918212891 1.494499094 1.494506396 0.000007302320 4918457031 1.494524052 1.494531356 0.000007303142 0.4918701172 1.494549010 1.494556314 0.000007303964 0.4918945312 1.494573968 1.494581273 0.000007304784 0.4919189453 1.494598926 1.494606231 0.000007305606 0.4919433594 1.494623884 1.494631190 0.000007306427J 66 Kết luận Luận văn trình bày kiến thức spline bậc 3,nghiên cứu không gian tuyến tính Trên sở nghiên cứu phương pháp Spline collocation giải lớp phương trìn h vi phân, phương trình vi tích phân Volterra bậc hai Luận văn nghiên cứu ổn định phương pháp Spline collocation phương trìn h vi tích phân Luận văn nêu ứng dụng máy tính vào tính toán nghiệm sai số nghiệm gần số điểm cụ thể Mặc dù tác giả cố gắng, song với phạm vi nghiên cứu thòi gian nghiên cứu khả kiến thức hạn chế nên luận văn không trán h khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cô giáo bạn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Đ in h T h ị T hu 67 Tài liệu tham khảo [A] T ài liệ u T iế n g V iệ t [1] Phạm Kỳ Anh (1996 ), Giải Tích 5”Ố,NXB Đại học quốc gia hà nội [2] Nguyễn Minh Chương (chủ biên),Nguyễn Văn K hải,K huất Văn Ninh,Nguyễn Văn Tuấn,Nguyễn Tưòng (2001), Giải Tích số ,Nhà xuất giáo dục [3] Nguyễn Minh Chương,Ya.D.mamedov, K huất Văn Ninh ( 1992 ), Giải xấp xỉ phương trình toán tử ,Nhà xuất Khoa học kỹ th u ật,H Nội [4] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple ,Nhà xuất khoa học kĩ th u ật Hà Nội [5] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm,NXB Khoa học Kĩ thuật [6] Phan Hồng Trường (2001), Giáo trình đại số tuyến tính ,NXB Khoa học Kĩ thuật [B] T ài liệ u T iế n g A n h [7] Nguyen Minh Chuông and Nguyen Van Tuan (1995), Collocation methods for Fredholm - Volterra integro - differential equations of second order,Acta M athem atica V ietnam ica (No 1),85 -98 [8] P.M Prenter (1975),Splines and Interscience,New York 68 Variational Methods,Wiley- [...]... ổn định tiệm cận khi t —> + 00 , nếu: 1 Nó ổn định theo Liapunốp 2 Với mọi t 0 E (ữ,oo) tồn tại A = A ( í0) > 0 sao cho mọi nghiệm V (t)(t „ < t < oo) thỏa mãn điều kiện II Y(to) — Z(to) II< A, sẽ có tính chất lim II Y ( t ) - Z ( t ) 11= 0 i— >0o (1.24) Như vây ổn định tiệm cận là "ổn định có tải",tức là ổn định kèm thêm điều kiên Đặc biệt nghiệm tầm thường z ( t ) = 0 ổn định tiệm cận,nếu nó ổn định. .. < t < oo) ổn định nếu với mọi £ > 0 và to G (a, oo) tồn tại ô = Ô(e , to) sao cho bất đẳng thức II y ( t o ) I M Kéo theo bất đẳng thức Y ( t ) II< £ khi to < t < oo 33 Định nghĩa 1.5.8 Nếu số ổ > 0 có thể chọn không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu to G G , tức là ổ = ổ(e) thì ổn định được gọi là ổn định đều trong miền G Định nghĩa 1.5.9 Nghiệm z = z ( t ) (ữ < t < oo) được gọi là không ổn định theo... spline B ị ( t ) với các nút cách đều Tổng quát chúng ta có : F t (s) = ( * - * ) " và ycr+i{xi K ( t ) = A m+iF,(x) = X ) ( - 1 - í); (1.18) i= 0 với ra = 1 , 2 , 3 , mà (Xị — t)Ỵ = 0 , t > Xi suy ra K ( t ) = 0 khi t < X0 và t > x m+ị Hơn nữa K ( t ) là tổng của ra — 1 hàm số khả vi liên tục và K ( t ) khả vi liên tục, từ đó ta có K ( t ) e s m(7I-) Đ ị n h n g h ĩ a 1.4.2 Giả sử 7Ĩ là một phân. .. thẳng A B chính xác hơn đoạn thẳng C D tuy chúng có cùng sai số tuyệt đối Aữ = Aồ = 0, Olra Sai số tuyệt đối cũng như sai số tương đối của một số gần đúng a của số đúng a* là không duy nhất Độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối 1.5.2 X ấ p xỉ t ố t n h ấ t Đ ị n h n g h ĩ a 1.5.5 Cho X là không gian định chuẩn với chuẩn IIII, M c X và p E X Điểm yQ E M được gọi là xấp xỉ tốt nhất... vectơ con của E nếu nó ổn định với hai phép toán của E , nghĩa là thỏa mãn các điều kiện sau: 1 V a J e W , a + ß e W , 2 Va G w và Va: G K thì x ã G w ( xem [6]) 11 1.2 K hông gian định chuẩn 1.2.1 K h á i niệm k h ô n g gian đ ịn h chuẩn Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường p ( P = K hoặc p = C) cùng với một... gian định chuẩn X và Y Kí hiêu L(J*r, Y ) là tập tấ t cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y Ta đưa vào L (X , Y ) hai phép toán: 1 Tổng của hai toán tử A, B G L (X , Y ) là toán tử,kí hiệu A + B , xác định bởi biểu thức (A + B ) ( x ) = A x + B x , với mọi 2 Tích vô hướng của a G p ( p = R hoặc P = X & X; c) với toán tử AG L (X , V) là toán tử, kí hiệu a A , được xác định. .. hướng, số (a;, y) gọi là tích vô hướng của hai nhân tử X và y ,các tiên đề trên gọi là tiên đề tích vô hướng Đ ị n h lý 1.3.1 Đối với mỗi X G X Ta đặt ||z|| = (x, x) ( 1 2 ) Khi đó V x , y G X ta có bất đẳng thức Schwarz \{x,y)\ < ||x|| \\y\\ (1.3) Công thức (1^2) xác định một chuẩn trên không gian X Đ ị n h n g h ĩa 1.3.2 Không gian tuyến tính trên trưòng p cùng với một tích vô hướng gọi là không... cứu và đánh giá sự sai khác giữa số gần đúng và số đúng là yêu cầu bắt buộc trong vi c giải bài toán Đ ị n h n g h ĩa 1.5.1 số a được gọi là số gần đúng của số a * nếu a sai khác với á* không nhiều Kí hiệu a ~ a* 28 Đ ị n h n g h ĩa 1.5.2 Đại lượng A =1 a — a* I được gọi là sai số thực sự của a Nói chung ta không biết a* nên ta không biết A Tuy nhiên ta có thể ước lượng sai số thực sự của a bằng số dương... Kroneckes,ổịj = 0 với % Ỷ (1-5) = 1 v