B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGỌC CHI PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐŨNG PHƯƠNG TRÌNH ĐAO HÀM RIÊNG a LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGỌC CHI PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐŨNG PHƯƠNG TRÌNH ĐAO HÀM RIÊNG a Chuyền ngành: Toán Giải tích Mã sổ : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học, thầy cô giáo nhà trường, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích tạo điều kiện thuận lợi cho kết thúc tốt đẹp chương trình cao học hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng, người quan tâm động viên, tận tình hướng dẫn suốt trình làm luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục đào tạo Bắc Ninh, trường THPT Lý Thái Tổ, gia đình, bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Nguyễn Thị Ngọc Chi LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Ngọc Chi MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC c BẢN 1.1 Sai phân 1.1.1 Định nghĩa .3 1.1.2 Tỉnh chất sai phân 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính 1.2.1 Định nghĩa .8 1.2.2 Nghiệm 1.3 Tuyến tính hoá 21 1.4 Sai s ố 25 1.4.1 Định nghĩa 25 1.4.2 Quy tắc làm tròn 26 1.4.3 Sai số tỉnh toán 27 1.4.4 Bài toán ngược toán sai sổ .29 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GÀN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 31 2.1 Phương pháp sai phân giải phương trình Elliptic 31 2.1.1 Bài toán biên Dirichlet 31 2.1.2 Những bước việc sai phân hoả toán biên Dirichlet 31 2.2 Phương pháp sai phân giải phương trình Parabolic 46 2.2.1 Bài toán biên phương trình Parabolic 46 2.2.2 Những bước việc sai phân hoả toán (2.45), (2.46) ! 47 2.3 Phương pháp sai phân giải phương trình Hyperbolic 57 2.3.1 Bài toán 57 2.3.2 Những bước việc sai phân hoá toán Hyperbolic ! ! 58 CHƯƠNG 3: GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG MÁY TÍNH .61 Ví du 3.1 Giải toán: 61 • Ví dụ 3.2 Tìm nghiệm toán Dirichlet 64 Ví dụ 3.3 Tìm nghiệm gần phương trình: 68 Ví dụ 3.4 Tìm nghiệm gần phương trình Parabolic: 69 Ví dụ 3.5 Tìm nghiệm gần phương trình: 72 Ví dụ 3.6 Giải phương trình Hyperbolic 76 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 MỞ ĐẦU Lý chọn đè tài Phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất toán ứng dụng lí thuyết thủy động học, học lượng tử, điện học- từ trường Đa số toán phức tạp, phương pháp giải Nhiều toán nghiệm theo nghĩa cổ điển, vấn đề tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng không cần trường họp Bởi yậy ta dẫn đến việc tìm nghiệm gần phương trình đạo hàm riêng từ xuất phương pháp giải gần phương trình Trong số phương pháp giải gần phương trình đạo hàm riêng phương pháp sai phân (còn gọi phương pháp lưới) sử dụng phổ biến Mục đích phương pháp sai phân đưa toán phương trình đạo hàm riêng toán rời rạc điểm lưới, đặc biệt xung quanh điểm kì dị điểm biên để đưa toán xét hệ phương trình sai phân việc tìm nghiệm số toán chuyển việc giải hệ phương trình đại số phương pháp gần Tuy nhiên tăng cường việc ứng dụng công nghệ thông tin vào việc dạy học toán Và công cụ hữu hiệu để giải gần phương trình đạo hàm riêng phần mềm Maple Từ nhu cầu thực tiễn với mong muốn tìm hiểu sâu phương pháp sai phân phần mềm Maple giải gần phương trình đạo hàm riêng, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng em chọn đề tài nghiên cứu: “PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐỦNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG” để thực luận văn tốt nghiệp 2 Mục đích nghiền cứu Luận văn nghiên cứu phương pháp sai phân giải gần phương trình đạo hàm riêng Nhiệm vụ nghiền cứu Nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: - Các kiến thức sai phân - ứng dụng sai phân việc giải gần phương trình đạo hàm riêng Đổi tượng phạm vi nghiền cứu Các kiến thức cần thiết sai phân, phương trình đạo hàm riêng Phương pháp nghiền cứu Sử dụng kiến thức giải tích số phương trình đạo hàm riêng để nghiên cứu Đóng góp luận văn Trình bày cách có hệ thống ứng dụng sai phân việc giải phương trình đạo hàm riêng Sử dụng phần mềm Maple giải gần số phương trình đạo hàm riêng CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC c BẢN 1.1 Sai phân Xét dãy số {xn}; dạng khai triển là: { * 0, X >x 2> ■■■>x n> ■■■}• Thí dụ, dãy số tự nhiên kí hiệu N có dạng dãy số nguyên dương z +có dạng {n} = {1,2, , n , }; dãy số điều hoà Có thể xem dãy số hàm đối số nguyên n Kí hiệu x(n ) = xn 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi sai phân hữu hạn cấp hàm số x(n ) = xn với n e Z: {n} = {0, +1, +2, , +71, } (hoặc 71 e z +, 71 e N) hiệu: Thí dụ, hàm xn cho dạng bảng 71 3 4 Có sai phân hữu hạn câp Ax0 = X — X Q= —1 = 2; Ax2 = x — x 2= —4 = 3; Ax1 = x — x ±= —3 = 1; Ax3 = x4 — x 3= —7 = —1; Từ sau, nhầm lẫn với tỷ sai phân, ta gọi tắt sai phân hữu hạn cấp k sai phân cấp k, sai phân cấp gọi tắt sai phân Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi sai phân cấp hàm xn sai phân sai phân cấp xn, nói chung, sai phân cấp k hàm x nlầ sai phân sai phân cấp k — hàm số Như yậy, sai phân cấp hàm xn ầ 2xn = A(Axn) = ầ xn+1 - ầ xn = xn+2 - x n+1 - (xn+1 - Xn) ~ %n+2 —2xn+i + Xn\ Sai phân cấp hàm xn A xn A(A xn~) A Xn + + X n +1 ~ %n+ ~ X-n+3 A xn ( Xn+2 x n + ^-ị-Xn) ~ 3xn+2 + 3xn+1 — xn Nói chung, sai phân cấp k hàm xn Akxn = A(Ak~1xn') = Ak~1xn+1 - Ak~1xn = = Ỵ J C - I ỹ c i x n+I, _ i i=0 kị Ck ~ i \ ( k - i ) \ Từ công thức (1.1), suy số tính chất sai phân sau ( 1) 64 Nếu tăng số điểm lưới xét (giảm bước lưới), phương pháp cho nghiệm xác Ví dụ 3.2 Tìm nghiệm toán Dirichlet d2u ( x, y) d2u ( x, y) + dx2 dy2 = 0, X2 + y < 1, u(M) |Mer = 2xy G — hình tròn X + y < 1, r biên G Lời giải Do tính chất đối xứng phương trình, điều kiện biên miền G, nên ' cần xét phần tư hình tròn G Sử dụng lưới đều, bước h = l = J Phương trình sai phân có dạng: ttm + l.n u mn + u m_ l n um.n+1 h2 ^ thnn ~ u mn + Um.n-1 h2 ttm + l.n "T "T tím.n+1 "T t^rn.n-1 Q 65 Điểm nằm biên điểm gần với điểm i4(l; => U(A) * u(M) = V3 V3 = — - = — Tương tự: V3 V3 U(i4') « u(M') = 2xM yM = 2- 2 = w(£") = uCí1) = Gọi a,b,c giá trị hàm u(x, y) điểm lưới: a = u^, b = u12 = u c = u22 Nhờ tính đối xứng toán ta có hệ phương trình sai phân: 66 f a = - Ab b = (2c + a) fa = b b = (2c + a) 1/73 73 c _ 4(y + c = i(V + 2i.) + 2í’ y '■ a => < V Vậy nghiệm toán là: 73 W1 —- -, 73 w12 —W2 —- Ỵ , 373 u22 — Q ■ Ẵ Ta lập với bước lưới nhỏ hơn: h = l = ị v ầ xâp xỉ với giá trị biên Ta đặt: u(A) = u(A') = VI - 0,252.0,25 = ,5 , u ( B) = u(B') = 2yjl - 0,52 0,5 = ,7 67 u(C) = 2V l - 0,752 0,75 = 1,5^/0,4375 Ta có hệ phương trình: ' /V V3 N “ - ĩ ( t + t + 2c, 1/ V3\ 2e + + l - c = —(2 a + d) / a/3 3a/3 n d = —[ ——I— — — I- + c 4\ e = ^-(fc + đ + / + 0,5 ,9 375 ) / = ^ịe +V Õ 75 + 1,5-^/ 0,4375 + Giải hệ phương trình phần mềm Maple sau: Bước 1: Vào lệnh xác định phương trình hệ 68 >eqnl :=a-l/2*c=sqrt(3)/8; >eqn2 :=b-1/2* e=sqrt(3)/16; >eqn3:=-l/2*a+c-l/2*d=0; >eqn4:=-l/4*c+d-l/4*e=5*sqrt(3)/32; >eqn5:=-l/4*b-l/4*d+e-l/4*f=sqrt(0.9375)/8; >eqn6:=-l/4*e+f=sqrt(0.75)/4+3*sqrt(0.4375)/8+3*sqrt(3)/32; Bước 2: Giải hệ phương trình theo ẩn a,b,c,d,e,f > S lv e ( { e q n l ,e q n ,e q n ,e q n ,e q n ,e q n } ,{ a ,b ,c ,d ,e ,f } ) ; Chạy chương trình ta kết quả: r a = 0,4651709546 b = 0,3772976145 c = 0,4973292073 ' d = 0,5294874600 e = 0,5380888780 , / = 0,7614475191 Ví dụ 3.3 Tìm nghiệm gần phương trình: d2u ( x , y ) d2u(x,y') = x y 2, < + dx* dy2 X < 0,6,0 < y < 0,3 u W \ Mer = x + 3y với bước chia h = 0,2, l = 0,1 Lời giải Giá trị hàm điểm lưới w00 — UQ1 —0,3; UQ2 —0,6; w03 —0,9; w10 — 0,2; w20 —0,4 69 w 30 —0,6; U 31 —0,9; U32 — 1,2; U33 — 1,5 Ta cần tìm giá trị u điểm (1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2) Hàm / , y ) = z y nên /Ỉ! = 0,002; f 12 = 0,008; f 21 = 0,004; /22 = 0,016 Phương trình sai phân có dạng: u m +l.n ^U-m.n 4" u mm _- l n h2 + u m.n+l m.n ^ m n -1 - = x y l2 Từ ta có hệ phương trình đại số tuyến tính là: - u1± + 4uxl u1± u12 + u12 + U2 = -1,099992 10u12 + u22 = -4 ,9 9 10u21 + 4u22 = -2,499984 u 21 - 10u22 = -6 ,3 9 Giải hệ phương trình ta được: ị 0,499964132 u12 = 0,79994444 U21 = 0,699994356 U22 = 0,999907868 u 1± = Ví dụ 3.4 Tìm nghiệm gần phương trình Parabolic: du d 2u dt dx2 Thỏa mãn điều kiện ban đầu: u(x, 0) = cosn x (0 < X < 0,5) điều kiện biên: u(x, t) = 1; = (0 < t < 0,025) 70 Lời giải Ta chia đoạn [0; 0,5] thành năm phần với bước lưới h = 0,1 Áp dụng công thức: u m n + ^m+l.n "h ^m-l.n 0,005 Ta xét với giá trị X 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5 Để tìm nghiệm gần u(x, t) điểm lưới (m ,n) áp dụng công thức ^m.n+l với n = ta có ^m.l u m + 1.0 "h u m - 1.0 Như U11 = ( u 20 + woo) = ^(0,8090 + 1) = 0,9045 1 U21 = - ( u 30 + w10) = -(0 ,5 8 + 0,9511) = 0,7695 Lần lượt tính umm (m = 1,2 ,3 ,4 ,5 ) theo công thức 71 ^m.n+l ^m+l.n T" ^m-l.n tương tự umn t = 0,005; 0,010; 0,015; 0,020; 0,025 Ta có bảng giá trị gần u(x, t) điểm lưới (m, ri): n \ x t \ 0,1 0 1,0 0,9511 0,8090 0,5878 0,3090 0,005 0,9045 0,7695 0,5590 0,2939 0,010 0,8848 0,7318 0,5317 0,2795 0,015 0,8659 0,7083 0,5057 0,2659 0,020 0,8542 0,6858 0,4871 0,2529 0,025 0,8429 0,6707 0,4694 0,2436 0,2 0,3 0,4 0,5 Bây ta tính sai số \ũ — UI với ũ(x, t) nghiệm toán Ở re start; >n := 5; >m :=5; >h := 0.1; 72 >u := array (0 n, m) ; >for i from to n u[0,i] := od; >for j from to m u[m,j]:= 0; od; >for k from to m u[k,0] := cos((k/10)* evalf(Pi)) od; >for i from to n for j from to m u[ij] :=(u[i-l,j-l]+u[i+l,j-l])/2; od; od; Chạy chương trình ta kết quả: ARRAY([0 5, 5],[(0, 0) = 1, (0, 1) = 1, (0, 2) = 1, (0, 3) = 1, (0, 4) = 1, (0, 5) = 1, (1, 0) = 0.9510565163, (1, 1) = 0.9045084972, (1, 2) = 0.8847104422, (1, 3) = 0.8658813729, (1, 4) = 0.8540917994, (1, 5) = 0.8428792487, (2, 0) = 0.8090169943, (2, 1) = 0.7694208843, (2, 2) = 0.7317627457, (2, 3) = 0.7081835987, (2, 4) = 0.6857584973, (2, 5) = 0.6705488938, (3, 0) = 0.5877852522, (3, 1) = 0.5590169941, (3, 2) = 0.5316567552, (3, 3) = 0.5056356215, (3, 4) = 0.4870059882, (3, 5) = 0.4692881540, (4, 0) = 0.3090169938, (4, 1) = 0.2938926260, (4, 2) = 0.2795084971, (4, 3) = 0.2658283776, (4, 4) = 0.2528178108, (4, 5) = 0.2435029941, (5, 0) = 0, (5, 1) = 0, (5, 2) = 0, (5, 3) = 0, (5, 4) = 0, (5, 5) = 0]) Ví dụ 3.5 Tìm nghiệm gần phương trình: du d 2u dt dx2 Thỏa mãn điều kiện biên u(x, 0) = e x (0 < X < 0,5) 73 điều kiện ban đầu u(0, t) = 0; u Ị - , = V e-1 (0 < t < 0,025) Lời giải Ta chia đoạn [0; 0,5] thành năm phần với bước lưới h = 0,1 Áp dụng công thức: u m n + U m +l.n "h ^ m - l n h2 a = —=} l = — = 0,005 2 Ta xét với giá trị X 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5 Để tìm nghiệm gần u(x, t) điểm lưới (m, ri) áp dụng công thức V - m + l.n 4" V - m - l n u m n + l v i 71 = ta c ó Um.l um+1.0 + um -1.0 Như 1 Un = ị ( u 20 + u 00) = ^ (0,8187 + 1) = 0,9094 ^ _ 1Í21 = —(U20 T u10) ——(0,7408 + 0,9048) —0,8228 74 Lần lượt tính umm (m = 1, 2,3,4,5) theo công thức ^m.n+1 _ ^ m + l.n 4- u m _ l n ^ Với n=l ta có _ u m + l l 4~ ^m-1.1 u m2 — Và tương tự với giá trị n = 2,5 ta có bảng giá trị gần u(x, t) điểm lưới (m, ri) : n \ x t \ 0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,005 0,9094 0,8228 0,7445 0,6737 0,6065 0,010 0,9114 0,8270 0,7483 0,6755 0,6065 0,015 0,9135 0,8297 0,7513 0,6774 0,6065 0,020 0,9149 0,8324 0,7536 0,6789 0,6065 0,025 0,9162 0,8343 0,7557 0,6801 0,6065 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Bây ta tính sai số \ũ — u\ với ũ( x, t ) nghiệm toán Ở (p(t) = 0; ĩỊj{t) = 0,0605 f ^ ( x ) = e X, M = ta có: \ũ —u\ 0,025 , 0,025 l.h2 = ,1.0,12 = 0,00083 3 75 Ta giải toán cách sử dụng phần mềm Maple sau: >re start; >n := 5; >m :=5; >h := 0.1; >u := array (0 n, m) ; >for i from to n u[0,i] := od; >for j from to m u[mj]:= evalf(sqrt(exp(-l))); od; >for k from to m u[k,0] := evalf(exp(-k/10)) od; >for i from to n-1 for j from to m-1 u[ij] := (u [i-lj-l]+ u [i+ l,j-l])/2 ; >od; >od; Chạy chương trình ta kết quả: ARRAY([0 5, 5],[(0, 0) = 1., (0, 1) = 1, (0, 2) = 1, (0, 3) = 1, (0, 4) = 1, (0, 5) = 1, (1, 0) = 0.9048374180, (1, 1) = 0.9093653766, (1, 2) = 0.9114139097, (1, 3) = 0.9134726941, (1, 4) = 0.9149162600, (1, 5) = 0.9161773508, (2, 0) = 0.8187307531, (2, 1) = 0.8228278194, (2, 2) = 0.8269453881, (2, 3) = 0.8298325199, (2, 4) = 0.8323547016, (2, 5) = 0.8342639838, (3, 0) = 0.7408182207, (3, 1) = 0.7445253996, (3, 2) = 0.7482511299, (3, 3) = 0.7512367090, (3, 4) = 0.7536117075, (3, 5) = 0.7556191930, (4, 0) = 0.6703200460, (4, 1) = 0.6736744403, (4, 2) = 0.6755280297, (4, 3) = 0.6773908949, (4, 4) = 0.6788836844, (4, 5) = 0.6800711836, (5, 0) = 0.6065306597, (5, 1) = 0.6065306597, (5, 2) = 76 0.6065306597, (5, 3) = 0.6065306597, (5, 4) = 0.6065306597, (5, 5) = 0.6065306597]) Ví dụ 3.6 Giải phương trình Hyperbolic d2u{x, t) d2u{x, t) dx2 dt2 miền Q < X [...]... 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính giữa sai phân các cấp: F A xn, , A x n~) 0 trong đó, xn hiểu là sai phân cấp 0 của hàm x n; cấp lớn nhất của sai phân (ở đây là bằng k), là bậc của phương trình sai phân tuyến tính Do tính chất 1.1.1 của sai phân, sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm. .. nghiệm riêng X* ứng với fn bằng K = Xni +Xn2 +Xn3 = s in ^ Ệ + n 2 n - n 1.3 Tuyến tính hoá Một số bài toán sai phân không tuyến tính, ta đổi biến đưa về phương trình sai phân tuyến tính, được gọi là tuyến tính hoá Một số phương trình sai phân hệ số thay đổi, nhiều khi cũng có thể biến đổi để dẫn về phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số Điều này làm tăng hiệu quả ứng dụng của phương trình sai. .. yÍ2)a - 2b = 2 - yp2 2a + (2 - V2)b = 2 Giải hệ này, ta được a = 1,b = 0 và nn = cos'^f d Trường hợp fn = fnl + fn 2 + - + fnsTrong trường họp này ta tìm nghiệm riêng x*ni ứng với từng hàm f ni,i = 1,2, Nghiệm riêng Xn ứng với hàm fn sẽ là Xn = Xni + x *2 + + Xns, do tính tuyến tính của phương trình sai phân Vỉ dụ: Tìm nghiệm riêng X* của phương trình sai phân: X.n+4 ^xn+3 4" 3x■ n+2 3x.n + 1 +2xn... hơn Định nghĩa 1.2.2 Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn là một biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn tại các điểm khác nhau: ( 1.2) 9 trong đó Lh là kí hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm xn, xác định trên lưới có bước lưới h; aũtal t ,a k với a 0 ^ 0, ak ^ 0 là các hằng số hoặc các hàm số của 71, được gọi là các hệ số của phương trình sai phân; fn là một hàm số của 71, được... riêng X* Phương pháp chung để tìm nghiệm riêng Xn của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (1.2) là xây dựng hàm Grin Sau đây là một số trường hợp đặc biệt, có thể tìm đơn giản hơn và nhanh hơn Các dạng đặc biệt này của x*n là chuyển tương ứng từ các dạng đặc biệt của phương trình vi phân thường Để xác định các tham số trong các 16 dạng nghiệm này, người ta dùng phương pháp hệ số bất định... trị cần tìm được gọi là ẩn Phương trình (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc k, vì để tính được tất cả các giá trị xn, ta phải cho trước k giá trị liên tiếp của xn, rồi tính các giá trị còn lại của xn theo công thức truy hồi Định nghĩa 1.2.3 Nếu fn = 0 thì (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Nếu /n í 0 thì (1.2) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần... fn = 0 và aũtalt ,ak là các hằng số, a 0 & 0, ak & 0 thì phương trình (1.2) trở thành Lfix n ~ a 0x n+k "h a l x n + k - l + ■■■ + a k x n ~ 0 (1 '3 ) và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với các hệ số hằng số 1.2.2 Nghiệm Hàm số xn biến 71, thoả mãn (1.2) được gọi là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (1.2) Hàm số xn phụ thuộc k tham số, thoả mãn (1.3) được gọi là... hằng sổ Trong trường hợp này nghiệm riêng x*n được tìm dưới dạng Xn = acosnx + bsinnx 19 Vỉ dụ: Tìm nghiệm riêng X* của phương trình sai phân: x n+ 3 2*n+2 x n+1 , nn _ ĨITĨ + 2xn = [2 - V2)cos — + 2sin — Lời giải Tìm X* dưới dạng: nn ĨITĨ x t = acos -1- bsin — 4 4 Thay X* vào phương trình sai phân và rút gọn, ta được [(2 - ypĩ)a — 2b]cos — + + [2a + (2 - V2)b]sin — = ĨITĨ _ ĨITĨ = [2 — \ 2 ) c o... Phương trình sai phân x n+ 6 3 £ n + 5 "h 4 x n + 4 b£ n + 3 + 5 ^ n+2 3 ^ n+1 + 2 z n — 0 C phương trình đặc trưng Ã6 - 3Ã5 + 4Ắ4 - 6Ã3 + 5Ắ2 - 3Ắ + 2 = 0 Phương trình đặc trưng có các nghiệm Ảị = 3, Ă2 = 2, Ă3 = i (kép), Ằ3 = - i (kép), với i2 = - 1 Ta có r = 1, (Ọ = và + c2.2 n + (A± + A2n ) c o s ^ - + (B± + B2ri)sin trong đó C1, C2,A 1,A 2,B 1,B 2 là các hằng số tuỳý 1.2.2.2 Nghiệm riêng X* Phương. .. cỳ, cf là các hằng số tuỳ ý Vỉ dụ: Phương trình sai phân x n+ 3 — 5xn+ 2 "h 8xn+1 —6xn có phương trình đặc trưng Ã3 - 5Ã2 + 8 Ầ - 6 = 0 phương trình đặc trưng có các nghiệm Ầị = 3, /L2 = 1 + i, À2 = 1 — i; với i2 = - 1 , ta có r = V l + 1 = V2, tg