BỘ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO TRƯ Ờ NG ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘ I Đ IN H T H Ị T H U S ự Ổ N Đ ỊN H C Ủ A P H Ư Ơ N G P H Á P S A P X E P S P L IN E Đ Ố I V Ớ I P H Ư Ơ N G T R ÌN H V I -T ÍC H P H Â N L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C C h u yên ngành: T oán giải tích M ã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học T S N g u y ễ n V ăn T uấn H À N Ộ I, 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Tuấn, người thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp, BGH tổ KHTN trường THCS Xuân Hòa thị xã Phúc Yên tỉnh Vĩnh Phúc cổ vũ, động viên, tạo điều kiện để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Đ in h T h ị T h u Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Nguyễn Văn Tuấn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:“S ự ổ n đị nh phương pháp xếp spline đối vôi phương trình vi tích p h â n ” hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Đ in h T h ị T h u M ụ c lục M ỏ đầu K iến th ứ c cớ 1.1 Không gian vectơ 1.2 Khống gian định chuần 1.3 1.4 1.5 12 1.2.1 Khái niệm không gian định c h u ẩ n 12 1.2.2 Sự hội tụ không gian định chuẩn 16 Không gian Hilbert Không gian hàm spline 19 1.4.1 Spline đa thức bậc ba với mốc cách 19 1.4.2 Spline đa thức tồng q u t Ị 24 Sai số, tốc độ hội tụ 28 1.5.1 Sai số 28 1.5.2 Xấp xì tốt 29 1.5.3 Tốc độ hội tụ nghiệm xấp xì 30 1.5.4 Ma trận dường chéo trội 31 1.5.5 Các khái niệm lỷ thuyết ổn định 32 Sự ổn đ ịn h củ a ph ơng p h áp x ế p sp lin e đ ối với ph ơng trìn h v i tíc h ph ân 2.1 36 Định nghĩa phương pháp xếp spline 36 2.2 Sự ốn định phưdng pháp xếp spline với phưdng trình vi phân 2.1 38 Sử dụng ma trận đưòng chéo trội nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân 2.2 Sự ốn định phường pháp xếp spline cho phương trình vi phân bậc hai 2.3 45 Sự ổn định phương pháp xếp spline với phương trình vi tích phân 2.3.1 2.3.2 48 Phương pháp xếp spline cho phương trình vi tích phân Volterra bậc hai 48 Sự ốn định phưdng pháp xếp spline cho phương trình vi tích phân Volterra bậc hai 38 54 ứ n g dụng 58 3.1 ứng dụng với phương trình vi phân 58 3.2 ứng dụng với phương trình vi tích phân 60 K ết luận 67 68 Tài liệu th a m khảo B Ả N G K Í H IỆ U N N* R С с [а,6] а д Il • Il Tập số tự nhiên Tập số tự nhiên khác không Tập số thực Tập số phức Tập tất hàm số thực liên tục [a, b] Tập tất hàm spline đa thức bậc Chuẩn M đầu L í d o c h ọ n đ ề tà i Trong khoa học tự nhiên, kĩ thuật, kinh tế, lĩnh vực khác sống ta gặp nhiều toán đưa tới việc nghiên cứu phương trình vi phân, phương trình vi tích phân Giải phương trình vi tích phân khó người ta thường áp dụng phương pháp xấp xỉ để giải Có nhiều phương pháp giải gần khác nhau, phương pháp xếp spline phương pháp thường lựa chọn Ưu điểm phương pháp xếp spline sử dụng hàm đa thức tính toán để giải Các hàm đa thức dễ dàng lập trình đưa lên máy tính, tính toán thuận lợi, hiệu Trong số trường hợp phương pháp xếp spline thường đạt tốc độ hội tụ nhanh, độ xác nghiệm gần tốt phương pháp khác Có thể khái quát cho nghiệm xấp xỉ spline bậc cao hàm B-spline Sự ổn định nghiệm xấp xỉ nhà Toán học nước quan tâm nghiên cứu Với mong muốn tìm hiểu ổn định nghiệm xấp xỉ phương pháp xếp spline nhằm nâng cao kiến thức học chương trình đại học cao học nên em chọn đề tài để nghiên cứu làm luận văn tốt nghiệp cho M ụ c đ íc h n g h iê n u Tìm hiểu khái niệm định lý phương pháp xếp spline Nghiên cứu ổn định phương pháp xếp spline với phương trình vi phân phương trình vi tích phân N h iệ m v ụ n g h iê n u Nghiên cứu ổn định phương pháp xếp spline với phương trình vi phân, phương trình vi tích phân Nghiên cứu lập trình Maple để ứng dụng Đ ố i tư ợ n g v p h m v i n g h iê n u Đối tượng nghiên cứu: “Sự ổn định phương pháp xếp spline Phạm vi nghiên cứu: khái niệm, định lý kết phương pháp xếp spline Các phương trình vi phân, vi tích phân Lập trình Maple với phương pháp xếp spline P h n g p h p n g h iê n u Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, phương pháp lấy ý kiến chuyên gia Đ ó n g g ó p m ới Sẽ nghiên cứu ổn định lớp phương trình vi tích phân phương pháp xếp spline, chứng minh ổn định lớp phương trình vi tích phân phương pháp xếp spline Chương K iến th ứ c Chương trình bày số không gian thường dùng như: Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian hàm spline, sai số, tốc độ hội tụ, ổn định nghiệm để phục vụ chứng minh chương sau 1.1 K h ô n g g ia n v e c tơ Đ ịn h n gh ĩa 1.1 Cho ¥ tập khác rỗng mà phần tử kí hiệu : a , / ,7 , K trường mà phần tử kí hiệu: x,y,z, Giả sử V trang bị hai phép toán, gồm: Phép toán cộng, kí hiệu + : V X V — >v { ã, P) I— ỳ ấ + ặ Phép toán nhân, kí hiệu • : K X V — ►V (X, ã) I— > X • ã Chứng minh: Từ ( { d + l ) d c ị - (m + d)( m + d - l)c™+d- 2\ (.d + l ) dc 2ằ (m + d)( m + d - l ) c ™ + d ~ (d + )dc\d— m —2 (m + d)( m + d — )cí,m+d m d e t v = det V / Ci (■d + l ) d c Ị x x ( m + d ) ( m + d —l)c^ l det \ 1-1 ,771 — cd TU ■' ■ cL m / Với d > 1, V ma trận khả nghịch,vì V —Ị3hVi —a h 2V2 —\ h zVz khả nghịch với h đủ nhỏ Khi d > 1,chúng ta ý trường hợp d = Yầ d = —1 chứng minh d e t ị v — Ị3hVi — a h 2\ — Ằh3 V3) 7^ 0, với h đủ nhỏ Do đó, phương trình (2.47) viết dạng a n + = ( V~ V0 + W ) a n + rn, n = 1, • • • , N - (2.48) Khi w = ( h ) rn = ( h 3) với / e c S ự ỗn đ ịn h c ủ a p h d n g p h p x ế p s p lỉn e ch o p h n g tr ìn h v i tíc h p h â n V o lte r r a b ậ c h Chúng ta thấy phương pháp spline xếp (2.39) cho phương trình (2.40) dân đến phép đệ quy (2.48) Chúng ta phân biệt phương pháp với giá trị ban đầu = y ^ ( ) , j = , , d, với phương pháp khác mà dùng Wi(0 ) = y ( ), 1^ ( ) = y'( ) bổ sung điểm xếp toj = t + c j h , j = , , d - với c0j không đổi c0j e (0 , l ] \ { c i , , cm} khoảng thứ ơị Giả sử = max{c/ — 2, 0} với toán giá trị ban đầu = cho phương pháp với xếp 54 Đ ịnh nghĩa 2.3.1 Chúng ta nói phương pháp xếp spline ổn định cho a , /3, À ẽ c / € c ỗ°[0 , T] nghiệm xấp xỉ u bị chặn C[0,T] t —> Chúng ta thấy tính bị chặn II u ||c[0 T] tương đương với bị chặn II a n II với chuẩn ]Rm+d+1 Nguyên lý bị chặn cho phép thiết lập M ện h đề Phương pháp xếp spline ổn định II u | | c [ , T ] < c II / 11C7d0[0, T ] V / £ C d°[0,T], (2 ) Trong số c phụ thuộc vào T : a : /3, A G thuộc vào tham số Cj c phụ CQj Để tìm nghiệm xếp spline cho phương trình tích phân Volterra cho phương trình vi - tích phân Volterra bậc ữn = ữn = G ,ỡ! ’ „m+d E A xác định V Vo Nếu toàn giá trị riêng M nằm hình tròn đơn vị đóng giá trị nằm đường tròn đơn vị có hệ số đại số hình học nhau, phương pháp xếp spline ổn định 55 Nếu M có giá trị riêng nằm hình tròn đơn vị đóng, phương pháp không ổn định ( u tăng theo hàm số mũ : II u lloo > ceKN cho số K > c > Nếu toàn giá trị riêng M nằm hình tròn đơn vị đóng có môt giá trị riêng nằm đường tròn đơn vị có hệ số đại số hệ số hình học khác nhau, phương pháp yếu không ổn định ( u có phát triển đa thức : II u II00~ c N k, c > 0, k & N ) M ệnh đề 2.3.3 Nếu M có giá trị riêng bên hình tròn đơn vị đóng, phương pháp xếp spline không ổn định Nghiệm xấp xỉ tăng theo hàm số mũ Chứng minh: Xét giá trị riêng ịi M + w cho Ị/LíỊ > + ô với ỏ > cố định, với h đủ nhỏ Cho «1 7^ vec tơ riêng M + w, Ta có: {V - phVi - a h V2 - A/i3y 3)a i = h g0 (2.50) Khi go = = 0, Vì: y"{ ) = a y ( ) + / V ( ) + / ( ), yj (0 ) = a y j ~2(0 ) + / V - 1(0 ) + Xyj ~3(0) + / j - (0 ), j = , ,d (2.51) xác định vectơ CCI qua (2.50)và (2.51) giá trị / W ( ) , j = , , d - l , / ( í n ) , , / ( í i m) Ta thấy / [0, h] đa thức nội suy với giá trị / W ( ) , j = Qì ì d - , f ( t l j ) ì j = Và f {j){h) = 0, j = , , dQ ( cm = f {j){h) = 0, j = 0, • • • , dQ, ) Trong trường hợp dùng phương pháp bổ sung điểm / [0, h] 56 đa thức nội suy / ( ), = 0, ••• ,d - f ^ ( h ) = (ở = cho = ĩ, - ,m cm = , f ( t i m) sẵnvàchúng ta bỏqua yêu cầu f ( h ) =f(h) = ) Trong haitrường hợp kiểm tra / [nh, (n + l)/ỉ], n > đa thức nội suy giá trị f ^ ( n h ) = f ^ ( ( n + 1)h) = , j —0 , • ■• , d ữ(nếu với j = , • • • , d Q ) f { t n+ljj) = cm — = , • • • , m đảm bảo / G do[0,T] r n = , n > — Nội suy / biểu diễn [tn,tn+ 1] công thức k m kị i —1 = í ( t n + Th) = £ ( E V p a / C l t ó ) ) i=0 1=0 r=0 M (2.52) Với br ì Cj c0j, t nj tj, < Si < dị, kị < i, số Pii phụ thuộc vào Cj Coj Trong trường hợp điều kiện ban đầu k = m + d + — l ( k = m + d + — cm=i) Và trường hợp nút bổ sung k = m + d + l , ( k = m + d cm = ) khoảng [0 , hịvầ k — m + d + , (k —m + d cm — ) khoảng [nh, (n + )h],n > Thay h h / k , k = , , , Và giữ II Qíi 11= h / k 2,ta có II g II00 bị chặn ,có nghĩa f ( t ị j ) , j = № , m , № yt i ì (0 ) / y , j = , , d (Q)/ №, j = , , bị chặn k —> oo Do (2.52Ị) cho II / ||ci0 [0,T] < ckd° (2.53) Mặt khác II a n+1 ỊỊ> (1 + ổ)n II «1 II cho II a kn ||< ^ { l + S)kN- \ (2.54) Và (2.49) thoả mãn Bất đẳng thức (2.53 )và (2.54) trung bình tăng số mũ nghiệm xấp xỉ giữ tiêu chuẩn / bị chặn c ế° xem [9] 57 Chương ứ n g dụng 3.1 ứ n g d ụ n g với phương trìn h v i phân Ví dụ: Giải toán biên Ị Lx{t) = x"(t) - x(t) = ị la;(0) = x ( l ) = Lời giải: Giả sử ộị (t) = t (t — 1) {t) — t 2(t — 1) Lộị ( t ) — — t ( t — 1), L ộ {t) = í — — t 2(t — 1) L 1(O) = , L (O) = - , L 1(1) = 2j L (1) = 4, Cho t = t = 2, nghiệm xấp xỉ collocation có dạng: x ( t ) = a i ộ i ( t ) + a 2ậ {t ) Như ta có hệ phương trình dạng ma trận: /2 2N 1-2 J m u V ịJ 58 Giải hệ ta ữi = Ũ2 = g, m = Ị ị t ụ - ) + ỉ í 2(í - ) Ta có nghiệm xác x ( t ) = 2( ^ (e + e1-í) — ứng dụng Maple tính nghiệm đúng, nghiệm xấp xỉ sai số phương pháp Đặt x ( t ) = y , x ( t ) = X tính x ( t ) , x ( t ) I a;(í) — x (í) I Maple 13 với chương trình [> restart; [> for i from to 10 y[i]:=evalf((l/(2* ( e x p (l)+ l)))* (e x p (i/10) + e x p ( l - i / 10))-2) x[i]=evalf( (1/ 12) * ( i/10) * ( i/10- 1) + ( 1/ 6) * ( i/ 10- 1)* ( i / 10)2 a [i]= evalf (abs (x [i]-y [i])); od; Chạy chương trình kết x ( t ) : x(t) sai số e(t) =1 x ( t ) — X (t) Ị số giá trị bảng sau : t 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 x{t) 0.0000 0000 -0.0206 4230 -0.0364 8703 -0.0476 9277 -0.0543 7166 -0.0565 9056 -0.0543 7166 -0.0476 9277 -0.0364 8703 -0.0206 4230 0.0000 0000 x(t) 0.0000 0000 -0.009 00000 -0.0186 6667 -0.0280 0000 -0.0360 0000 -0.0416 6667 -0.0440 0000 -0.0420 0000 -0.0346 6667 -0.0210 0000 0.0000 0000 B ảng 3.1: 59 1x {t) 0.0000 0.0116 0.0178 0.0196 0.0183 0.0149 0,0103 0.0056 0.0018 0.0003 0.0000 £ (i) 0000 4230 2037 9277 7166 2389 7166 9277 2037 5770 0000 3.2 ứ n g d ụ n g với phương trìn h v i tích phân Ví dụ : Giải toán sau I y"{t) = y{t) + № + ì : y {s) ds - s i n ( t ) - cos(t) - eí , u ( ) = 1, ^ ( ) = ụ e [0 , 1] Phương trình có nghiệm xác y ( t ) = (sin (í)+ c o s (í)+ eí)/2 Chương trình chạy máy sau: [> r e s t a r t ; [ > w i t h ( l i n a l g ): > -D2 (i/)(i) = y (í) - D{ y) ( t ) + i n t ( y ( s ), s = Í) - sin(í) - cos(í) - e xp(t ) : > ^ ị _ ị , (sỉn (f)+ c o s(t)+ ea p (t)) y :=t \ sin(í) + I cos(í) + \ é > f := t —sin(í) — cos(í) — e xp(t ); f := t —ì —sin(t) — cos(í) — ê > N : = : h : = jjr : 777, : = : d : = : [> a := a rra y (l m + d + , 1 ) : [ > o [ l , l ] : = l : a [ , l ] := ị : [> c := a rray(l d , 1 ) : [> c[ , 1] := ,4 : c[2 , 1] := , : r > iV2 • • a [3 ,1] + JV2 • • a[4,1] • c[l, 1] = a[l, 1] + a [2 ,1] • c[l, 1] + a [3 ,1] • (c[l l ])2 + a [4 ,1] • (c[l, l ])3 + N • (a 1] + ■c[l 1] a [3 ,1] + ■a [4 ,1] ■(c[í l])2) + l ( c [ l 1] • a [l, 1] + a [2 ,l]-(c [l,ĩ])2 a[3.1]-(c[l,l]) + a [ ,l] - ( e [ l,l] ) ^ + > simpỉify(%)-, 3.3554432 10 a 3ii + 4.026531840 107a 4,i = 5.000000000 10"9+ 3276.9Ổ0005a31 + 1966.144002a4,i ' > (3.3554432 107 - 3276.960005) • a [ 3,1] + (4.026531840 1071966.144002) • a 4,1 = 5.000000000 10"ố; 3.355115504 107a3,i + 4.026335226 107a4,i = 5.000000000 1(T 60 ' > - N - a[ 3,1] + iV2 • • a[ 4,1] • c [2 ,1] = a[ 1,1] + a[ 2,1] • c [2 ,1] + a [ ,1 ■(c[2 , l ])2 + a[4 1] (c [2 l ])3 + V • (a [2 ,1] + • c [2 ,1] • a [3 ,1] + ■a [4,1] • (c [2 I])2) + ^ ( c [ ,1] • a [l, 1] + _|_ a[3,l]-(c[2,l])8 I fl[4,lHc[2,l])^ I / ( [2,1] )• 3355443203,! + 6.03979776 107a4,i = 1.0 10"8+ 4915.560018a3ji + 4423.89600804,1 : > (33554432 - 4915.560018)a[3,1] + (6.03979776 1074423.896008) • a [4 ,1] = 1.0 10"8; 3.354951644 107a 3,i+ 6.039355370 107a4|i = 1.000000000 10"8 ' > soỉi>e({3.355115504 107a3ji + 4.026335226 107a4ji = 5.000000000 10"9, 3.354951644 107a3,i + 6.039355370 107a4,i = 1.000000000 10"8}, {a [3 ,l],a [4 , l] } ) ; { a 3,i = -1.490334423 10 16,a 4,i = 2.483708774КГ16} [ > a [3 ,1] := —1.49033442310-16 : a[4,1] := a[4,1] := 2.48370877410-16 : [> [> [ > N := 4096 : h := Jj- : m := : d := : [> [> с := a r r a y ( l m, 1 ) : [> c[ , 1] := ,4 : c[2 , 1] := , : > p r i n t (c); [0.4' [ 0.6 [ > t : = t —>■ к ■ h; Г > T : = ( n , j ) -»• £ • ( n - [ t ' = t —¥ k h 1) + c [ j , 1] • h; T := ( n, j ) ^ ^ + cj:1h [> ' / : = * - > - s i n { t ) - cos(t) - exp{t)\ у := Í -> (™(«)+см(*)+в*Р(«); / := Í —> —sin(t) — cos(t) — ei у :=t \ s i n ( t ) + \cos(t) + \ é > e v a l f ( f ( T ( : 1)) — / ( T ( l , 2))); -0 ,0 0 [> a[n] := arra?/(l m + d + ,1 1) : g[n] := array(l m + d + ,1 1) : [> a[n + 1] := a r r a y ( l m + d + , 1 ) : [> 61 > a[l][l, := £iv ': a[l][3 ,1] := -1.490334423 10“ 16 : L^JL-^ 1] := 11 : a[l][2 ,1] ■ L' a[ 1][4,1] := 2.483708774 10"16 : [> > a[l] := array([[a[l][l, 1]], [a[l][2,1]], [a[l][3,1]], [a[l][4,1]]]); 4096 a-i := -1.490334423 10 “ 16 L 2.483708774 10“ 16 > V I := a r r a y ( l m + d + , l m + d + ) : V2 := a r r a y ( l m + d + 1,1 m + d + 1) , l m + d + ) ^3 = array(l m + d + , l m + d + ) V4 = array(l m + d + , l m + d + 1) y o = array(l m + d + V a r r a y (l m + d + 1, l m + d + 1) : > for i to d + for j t o m + d + d o V l [ i , j ] := ; V2[i ,j] : = - V [ i , j ] : = - V [ i , j ] := 0; if i < j or i > j th e n V[i, j] := e lse V"[*, j ] := ; fi; V0[i, j] := binomial(j — 1, i — 1); od; od; [> for i to d a[i] := ; od : > for j from d + tom + d + ld o a[j] : = e v a l f ( f ( T ( , j - (d + 1))) - f ( T ( l , j - (d + 1))), 15); od : > b[4] := e v a l f ( f ( T ( 2, 1)) - / ( T ( l , 2)), 15); 64 := -0.00039062500000 L> > g[ 1] := array([[a[l]], [a[2]], [a[3]], [6[4]]]); 0 := -0.00048828125000 ^—0.00039062500000^ > for i from d + to m + d + l d o for j to m + d + d o y i[« , j] := (j - 1) -c[i ~ ( d + l ) , l ] j ~2 -V2[i , j] := c[i - {d + l ) , l ] j_1; V3[i,j] := [i,j] := V[ i , j ] ■■= (j ~ 1) • (j ~ ) • (c[i ~ ( d + ), I])7'"3; V0[i,j] := (j - 1) • (j - 2) • (c[i - (d + 1, l])j_3;o d ;o d ; > for i from d + to m + d + l d o for j to m + d + d o y i[« , j] \— (j - 1) -c[i ~ ( d + l ) , l ] j ~2 -V2[i, j] := c[i ~ ( d + l ) , l ] j_1; V3[i, j } := (c[i~ ( B := i nver se(A) : ' > C := e v a l m ( ( V - h • V I - h ■V2 - h ■(V3 - V4))1 1 ' C := -5.959591363 10"8 -0.0002441644608 1.999804678 2.399882808 -5.959882401 10"8 -0.0002441763831 1.999707010 3.599736315 [> > G[ 1,1] := mul t ipl y(C, ccfl]); " 1.000244141 0.0002441406250 G l>! -1.192063774 10"7 -1.192121982 10"7 [> e val m( h • y[l]) : > H[ 1,1] := eval m(G[ 1,1 \ + h ■p[l]); " 1.000244141 0.0002441406250 := -1.192354812 10 “ -1.192354813 10 “ [> > f o r k f r o m t o N — d o f o r i t o d + d o g[k\ [i , 1] : = : f o r j f r o m d + t o m + d + l d o g[k\ \j, 1] : = e v a l f ( f (T(k + 1, j - (d + ) ) ) - f { T ( k , j - (d + ) ) ) ) : o d : o d : o d ; [> > eval f{g[ 14][3,1]); eva//(^ [14][4,1], 15); -0.000488281 -0.000488281 [> for %to N — doL[z] := array{[[g[i\[ 1,1]], \g[i\[2 , 1]], |>[*][3,1]], \g[i\[4, l]]]);od : > print(L[20]); 0 -0.000488282 ^—0.000488282^ > f o r i t o N — d o G[i: I] := mul t ipl y(C, a[z]) : H[i, I] := evalm(G[i, I] + h • L[i]) : a[i + 1] : = mul t i pl y( B, H[i, /]) : o d : 63 > print(evaỉm(H[22,1])); 1.005371102 0.0002441406932 -1.195402116 IO"7 -1.195402111 IO"7 2.021629379 0.0002913217979 1.88659066 IO"8 8.5505 IO"12 > for i t o N — I d o ß[j] := array([[a[j][ 1,1]], [a[j][2,1]], [a[j][3, l]],[«[5][4,l]]]);od: > print(ß[2]); 1.000244141 0.0002441406250 - 8204 10 12 4.85156 10“ 12 > for j to TV - и := (t, j ) / З Д З , 1] ■JV2 ■ (Í - / Щ , 1] + / Щ , 1] • N ■(t - ^ ) + f c l i ) + ß № , 1] ■iV3 ■ (Í - ^ ) 3;о " > (w (í, )); 1.000000000 + l.OOOOOOOOOí - 0.00009765010801 (í ,3 3 6 6 (í-^ )3 : > (u(t, 2015)); 0.9917256303 + 1.0222834521 + 0.07028297737(t - |ịỊg)2+ 0,4399833218(í- |ỊỊg)3 > w(0.075,3); 1.074897323 Г > К := a r r a ì/( l ll, 5) : i f [1,1] := T T : K ị 1, 2] := B L : tf[l,3 ] := GTÙ[n] : k [ l , 4] := GTy : X [l,5] := 5 : for i to 10 K[i + 1,1] := i : K[i + 1,2] := e v a l f ( ^ + i y : tf[i + 1,3] := e v a l f ( y ( ^ + j S - ) ) ; K[i + 1,4] := ev a l f ( u ( ( ^ + ^ ) , n)) : K[i + 1, 5] := evalf(abs(y( ^ +r a od : ) - ^ + r a ) ^ ) ) > 8) : 64 > к := array{ 11,1 5) : К [ 1,1] := T T : К [ 1, 2] := B L : К [ 1,3] := GTu[2] : i f [1,4] := G T y : х [1 , 5] := 5 : for г to 10 К [г + 1,1] := г : К [г + 1, ] := e r a ự ( ^ + ^ ) : К[г + ,3] := e v a l f ( y { ^ + ^ ) ) : # [г + 1,4] := е г а / ( и ( ( х + Ш0)>2)) : # [ « + ! > 5] := e v a l f ( a b s ( y ( 2-j ± + - u ( ( ^ + ^ ) , 2)), 13) : od : > p r i n t ( K ); -TT BL G T u2 GTy SS 0.0002685546875 1.000268555 1.000268555 3.74 IO"10 0.0002929687500 1.000292969 1.000292969 3.75 IO"10 0.0003173828125 1.000317383 1.000317383 3.74 IO“10 0.0003417968750 1.000341797 1.000341797 3.74 IO“10 0.0003662109375 1.000366211 1.000366211 3.74 IO“10 0.0003906250000 1.000390625 1.000390625 3.74 IO"10 0.0004150390625 1.000415039 1.000415039 3.75 IO"10 0.0004394531250 1.000439453 1.000439453 3.73 IO"10 0.0004638671875 1.000463867 1.000463867 3.73 IO“10 0.0004882812500 1.000488281 1.000488282 3.74 IO"10 > К := a r r a y ( l ll , 5) : ÜT[1,1] := T T : Jf[l, 2] := L : # [1 ,3 ] := GTu[ 10] : ÜT[1,4] := G T y : ür[l,5] := S S : for i to 10 К [г + 1,1] := г : К[ъ + 1, 2] := e v a l Ị Ọ ^ + ^ õ ) : к [г + 1,3] := e v a l f ( y { ^ + ^ ) ) К [г + 1,4] := е г а ! / ( й ( ( ^ + ^ ц ) , 10 )) : К[г + ,5] := e v a l f { a b s ( y {^ - и Ц -1 ^ + ^ ) , 10)), 13) : od : > p r ỉ n t ( K ); -TT BL GTy G T u2 SS 1 0.002221679688 1.002221679 1.002221683 3.377 IO“9 0.002246093750 1.002246094 1.002246097 3.379 IO“9 0.002270507812 1.002270508 1.002270511 3.381 IO“9 0.002294921875 1.002294922 1.002294925 3.383 IO"9 0.002319335938 1.002319336 1.002319339 3.386 IO"9 0.002343750000 1.002343750 1.002343753 3.387 IO“9 0.002368164062 1.002368164 1.002368167 3.389 IO"9 0.002392578125 1.002392578 1.002392582 3.391 IO"9 0.002416992188 1.002416992 1.002416996 3.394 IO“9 0.002441406250 1.002441406 1.002441410 3.397 IO"9 65 > к := a r r a y i 11,1 5) : Kị 1, Il := TT : Kị 1, 21 := BL X [l,3 ] := GTw[1000 ] : X [ l , 4] := GTy : ür[l, 5] := S S : for г to 10 к [ г + 1,1] := г : tf[ + ] := e v a l fV C N- ^ +1 ỊV-10/ : К[гL +1 1,3] : = ev al f ( y Ọ' 1000-1 N 1000-1 = eva +1 Nл^п) 1000» : ЛГ[г + 1,5]: N 10 = eval f ( abs( y( 0N0 - i ) _ u ((ioòo-i + ), 1000)), 13) ' N-10 N N -10 od oa : > p r i n t ( K) ; TT BL GTu2 Gĩ X 0.2439208984 1.244075592 1.244077166 0.000001574193 0.2439453125 1.244100068 1.244101643 0.000001574530 0.2439697266 1.244124546 1.244126120 0.000001574870 0.2439941406 1.244149022 1.244150597 0.000001575208 0.2440185547 1.244173499 1.244175074 0.000001575546 0.2440429688 1.244197976 1.244199551 0.000001575883 0.2440673828 1.244222452 1.244224028 0.000001576223 0.2440917969 1.244246929 1.244248506 0.000001576561 0.2441162109 1.244271406 1.244272983 0.000001576899 L 10 0.2441406250 1.244295883 1.244297460 0.000001577238J > К := a r r a y i 11,1 5) : K ị 1,11 := T T : i m , 21 \= B L : # [1 ,3 ] := ỞTu[2015] : K [ 1,4] := G T y : K [ 1,5] := s s : f o r ỉ t o 10 d o K [ i + 1,1] : j r [ i4+- 1l , ] := e v a l f i ^ ^JV F +1 лг-10 : к [г + ,3] := e v a l f ( y { + АГ 10 )) К[г + 1,4] ет;аг/(ц ((201л " ), 2015)) : N5Г~1 +1 ЛГ-10 -1 -1 = evaỉ f (abs(y( К[г + 1,5] JV + ЛГ-IO ) - w(( N + N -10 ),2015)), 13) od : > p r i n t ( K) ; ГT T BL GTu2 GTy SS 1 0.4917236328 1.494399264 1.494406563 0.000007299037 0.4917480469 1.494424222 1.494431521 0.000007299858 0.4917724609 1.494449179 1.494456479 0.000007300679 0.4917968750 1.494474137 1.494481438 0.000007301499 0.4918212891 1.494499094 1.494506396 0.000007302320 4918457031 1.494524052 1.494531356 0.000007303142 0.4918701172 1.494549010 1.494556314 0.000007303964 0.4918945312 1.494573968 1.494581273 0.000007304784 0.4919189453 1.494598926 1.494606231 0.000007305606 0.4919433594 1.494623884 1.494631190 0.000007306427 + *9) =*■[[...]... gọi là ổn định tiệm cận khi t —> +oo, nếu: 1 Nó ổn định theo Liapunốp 2 Với mọi ío € (a, oo) tồn tại A = A(ío) > 0 sao cho mọi nghiệm ^ t < 00) thỏa mãn điều kiện II Y ( t ữ) — Z ( t ữ) II< A , sẽ có tính chất lim II Y ( t ) - Z i t ) 11= 0 í->00 (1.24) Như vây ổn định tiệm cận là "ổn định có tải",tức là ổn định kèm thêm điều kiên Đặc biệt nghiệm tầm thường Z ( t ) = 0 ổn định tiệm cận,nếu nó ổn định. .. (1.17) là 5 — spline Bị(t) với các n ú t cách đ ều Tổng quát chúng ta có : và K { t ) = A m+1Ft {x) = E ( - ! ) ‘c r +1f e - t ) ĩ - (1-18) i=0 với m = 1 , 2 , 3 , mà (:Ej — í)™ = 0, í > Xị suy ra K ( t ) = 0 khi t < X0 và í > Xm+1- Hơn nữa -ft"(í) là tổng của 777, — 1 hàm số khả vi liên tục và K (t ) khả vi liên tục, từ đó ta có K { t ) e Sm(7T) Đ ịn h n gh ĩa 1.4 2 Giả sử 7T là một phân hoạch to... thẳng ^45chính xác hơn đoạn thẳng C D tuy chúng có cùng sai số tuyệt đối A a = Ab = 0,01 m Sai số tuyệt đối cũng như sai số tương đối của một số gần đúng a của số đúng a* là không duy nhất Độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối 1.5.2 X ấ p xỉ t ố t n h ấ t Đ ịn h n gh ĩa 1.5 5 Cho X là không gian định chuẩn với chuẩn IIII, M c X và p E X Điểm yữ G M được gọi là xấp xỉ tốt nhất... chéo trội thì A không suy biến Khi đó hệ phương trình a l l x l + 0,12X2 + • • • + 0-inx n = Vi ^ a2ịXị + a 22^2 + • • • + ữ2nx n —V2 kQ"nl%l 0"n2%2 + + ũnnx n —y n luôn có nghiệm Đặt ma trận A = {aij)ịj=1, y = (yi, y2, , yn)T№ được phương trình A x = y luôn có nghiệm 31 1.5.5 C á c k h ái n iệ m cơ b ả n c ủ a lý t h u y ế t ổ n đ ịn h Xét hệ phương trình vi phân thường = ỉ j ( t , VuV2, - , Vn)... t < oo) ổn định nếu với mọi £ > 0 và to ẽ (a, oo) tồn tại ô = ố(e,to) sao cho bất đẳng thức y {to) II < ổ Kéo theo bất đẳng thức Y ( t ) II< £ khi t 0 < t < oo 33 Đ ịn h n g h ĩa 1.5 8 Nếu số ỗ > 0 có thể chọn không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu to ẽ G , tức là ỏ = ỏ(e) thì ổn định được gọi là ổn định đều trong miền G Đ ịn h n gh ĩa 1.5.9 Nghiệm z = z(t) (a < t < oo) được gọi là không ổn định theo... gian định chuẩn X và Y Kí hiêu L (X , Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y Ta đưa vào L ( x , Y ) hai phép toán: 1 Tổng của hai toán tử A, B £ L (X , Y ) là toán tử,kí hiệu A + B, xác định bởi biểu thức (A + B) ( x) = A x + Bx, với mọi X £ X; 2 Tích vô hướng của a € P ( P — R hoặc p = c ) với toán tử A € L ( X , Y ) là toán tử, kí hiệu OiA, được xác định. .. Cho không gian định chuẩn X Đối với hai vectơ bất kì X, y € X ta đặt d(x,y) = \ \ x - y \ \ ( 1 1) Khi đó d là một metric trên X Chứng minh của định lý trên dễ dàng suy ra từ hệ tiên đề chuẩn và hệ tiên đề tuyến tính Mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric với metric (1.1) Do đó mọi khái niệm,mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn Đ ịn... hướng, số (x, y) gọi là tích vô hướng của hai nhân tử X và y , các tiên đề trên gọi là tiên đề tích vô hướng Đ ịn h lý 1 3 1 Đối với mỗi X G X Ta đặ t \\x\\ = ^/ ( x, x) ( 1 2 ) Khi đó Vx, y G X ta có bất đẳng thức Schwarz \(x,y)\ < IMI ||y|| (1.3) Công thức (1.2) xác định một chuẩn trên không gian X Đ ịn h n gh ĩa 1.3 2 Không gian tuyến tính trên trường p cùng với một tích vô hướng gọi là không... = ổy 0 với ỉ Ỷ j , ỏ i j = (1-5) 1 với ỉ = j , ( i , j = 1,2, ) N h ậ n x ét: Không gian định chuẩn và không gian Hilbert có hai cấu trúc tôpô và đại số Về cấu trúc tôpô: Họ lân cận của 0, 1Ầ — { Ua} aeI, Ua là lân cận của 0 X ẽ X , { z + Ua } aeI là họ lân cận củ a X Đ ịn h n gh ĩa 1.3.7 Mọi họ các lân cận của điểm 0 (Kí hiệu: u ) được gọi là họ cơ sở của lân cận nếu: 1 u bất kỳ là lân cận của điểm... s{t) = f { t ) G B 3(7r) Kết luận B 3(7ĩ) = £ 3 (71-) H ệ qu ả 1.4.1 s 3(7r) /Ồ không gian tuyến tính n + 3 chiều với hệ cơ sở B = I , B n+1Ị 23 H ệ quả 1.4.2 Tồn tại duy nhất một spline bậc 3 sịt) là nghiệm của bài toán (1.6) Hàm s ( t ) như vậy gọi là spline nội suy bậc 3 của f ( t ) Các spline bậc ba nội suy đến hàm f ( t ) không phải chỉ là đa thức nội suy bậc ba của f ( t ) tại các điểm nút