B GIO DC V O TO TR NG I HC s PHM H N I Lấ XU N TR NG PHN LOI CC DNG NH X co C BN LUN VN THC s TON HC H Ni - 2015 Lấ XU N TR NG PHN LOI CC DNG NH X co C BN Chuyờn nghnh: Toỏn gi i tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN V N THC s TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS Trn Quc Bỡnh Li cỏm n Em xin gi li cm n sõu sc ti thy giỏo hng dn TS Trn Quc Bỡnh Thy ó giao ti v tn tỡnh hng dn em quỏ trỡnh hon thnh lun ny Nhõn dp ny em xin gi li cỏm n ca mỡnh ti ton b cỏc thy cụ giỏo Khoa Toỏn v Phũng Sau i hc ó ging dy v giỳp chỳng em sut quỏ trỡnh hc ti õy ng thi, tụi xin cm n cỏc bn lp cao hc K17 Toỏn Gii Tớch t ó nhit tỡnh giỳp tụi quỏ trỡnh hc ti lp H Ni, thỏng 12 nm 2015 Tỏc gi Lờ Xuõn Trng Li cam oan Tụi xin cam oan Lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn trc tip ca TS Trn Quc Bỡnh Trong quỏ trỡnh nghiờn cu, tụi ó k tha thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng 12 nm 2015 Tỏc gi Lờ Xuõn Trng Mc lc Li cỏm n Mc lc M u Chng im bt ng ca cỏc ỏnh x co c bn s kin thc chun b 1.1Mt 1.2Mt s nh lý ỏnh x co c bn Chng im bt ng chung ca cỏc ỏnh x co bt ng chung ca hai ỏnh x co 2.1im 2.2im bt ng chung ca bn ỏnh x co 2.3 im bt ng chung ca cỏc ỏnh x co giao hoỏn 20 20 32 40 47 47 Chng Phõn loi cỏc dng ỏnh x co c bn 3.1 S phỏt trin ca cỏc dng ỏnh x co c bn 3.2 S tng ng ca mt s dng ỏnh x co 3.3 nh lý v cỏc hm na liờn tc trờn t phi 51 56 56 3.4 So sỏnh nh lý Boyd-Wong v nh lý Browder 3.5 So sỏnh nh lý Matkowski v Browder Kt Ti lunliu tham kho 65 66 M u Lý chn ti Nm 1922, nh toỏn hc ngi Ba Lan, Stefan Banach ó phỏt biu nguyờn lý ỏnh x co ca mỡnh, v nú l kt qu u cho lý thuyt im bt ng dng co T nhng nm 60 ca th k trc, nhiu nh Toỏn hc ó m rng nguyờn lý ỏnh x CO Banach bng vic thay i cỏc d kin ban u thu c nhng nguyờn lý ỏnh x co mi Trong ú cú th k ti cỏc kt qu c bn ca cỏc nh toỏn hc nh: M A Krasnoselskii, E Rakotch, M Edelstein, D Boy - J Wong, F E Browder, A Meir - E Keeler Nhng nm tip theo, cỏc kt qu v im bt ng chung ca cp ỏnh x co, h ỏnh x co cng c nghiờn cu nhiu Cỏc tỏc gi quen thuc lnh vc ny cú th k n nh: G Juck, B Fisher, s s Chang, c s Wong, H Tõn Nm 1979, H Tõn ó so sỏnh cỏc dng ỏnh x co m chỳng tụi gi l c bn núi trờn v thu c s phỏt trin ca cỏc dng co theo trỡnh t: Rakotch, Krasnoselskii, Boyd-Wong, Meir-Keeler Trong ú, dng co Meir-Keeler tht s m rng hn dng co Boyd-Wong Nm 1997, Jachymski chng minh rng dng co Krasnoselskii, dng CO Browder v dng co khỏc tng ng Hn na, Jachymski cng ch rng dng co Boyd-Wong thc s m rng hn dng CO Browder, cũn dng co Browder m rng hn dng co Rakotch Qua cỏc kt qu nghiờn cu trờn, tụi nhn thy cỏc dng ỏnh x co cú th c phõn loi Vỡ vy, di s hng dn ca TS Trn Quc Bỡnh, tụi chn ti: Phõn loi cỏc dng ỏnh x co c bn lm lun tt nghip ca mỡnh Tuy ó cú nhiu c gng nhng thi gian v kh nng cú hn nờn cỏc khúa lun cha c trỡnh by sõu sc v khụng th trỏnh cú nhng sai sút cỏch trỡnh by Mong c s gúp ý xõy dng ca thy cụ v cỏc bn Em xin chõn thnh cm n! Mc ớch nghiờn cu + Nm c cỏc dng co c bn nh ó cp + H thng húa cỏc kt qu nghiờn cu v im bt ng ca cỏc ỏnh x co c bn v so sỏnh chỳng Nhim v nghiờn cu Lm rừ mi liờn h gia cỏc dng ỏnh x co c bn, mc tng quỏt v s tng ng gia chỳng i tng v phm vi nghiờn cu + i tng nghiờn cu: nh x co, im bt ng ca ỏnh x co + Phm vi nghiờn cu: Cỏc bi bỏo v cỏc ti liu liờn quan n i tng nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu Thu thp, tng hp cỏc bi bỏo, cụng trỡnh nghiờn cu v ngoi nc úng gúp mi ca lun Lun l ti liu tng quan v lnh vc nghiờn cu im bt ng dng co Chng im bt ng ca cỏc ỏnh x co c bn 1.1 Mt s kin thc chun b nh ngha 1.1 Cho X l mt hp, ỏnh x d : X X X > M+ tha cỏc iu kin sau vi Va;, y , z X : i) d, {x, y) > 0, d, {x, y) = X = y ii) d ( x , y ) = d ( y , x ) iii) d ( x , y ) < d ( x , z ) + d ( z , y ) c gi l mt mờtric trờn X Tp X vi mờtric d c gi l khụng gian mờtric (x , d ) nh ngha 1.2 Trong khụng gian mờtric ( X , d ) , dóy { x n } c X c gi l hi t ti im X Ê X nu d (x n, a;) > n > oo Khi ú X c gi l gii hn ca dóy { x n } nh ngha 1.3 Trong khụng gian mờtric ( X , d ) , dóy { x n } c X c gi l dóy Cauchy nu lim d (x n, x m) = 0, tc l; m,nỡo o (Ve > 0) (3iV) (Vra, n > N ) , d ( x m , x n ) < Ê nh ngha 1.4 Khụng gian metric (X, d ) c gi l y nu mi dóy Cauchy nú u l dóy hi t nh ngha 1.5 Cho T l mt ỏnh x i t X vo chớnh nú Khi ú T c gi l cú im bt ng nu tn ti X * Ê X cho T x * = X * nh ngha 1.6 nh x T i t khụng gian metric ( X , d ) vo chớnh nú c gi l ỏnh x co nu tn ti s k G [0,1) cho: d(Tx,Ty)^k.d(x,y), Vx, y G X nh ngha 1.7 nh x T i t khụng gian metric ( X , d ) vo chớnh nú c gi l ỏnh x co yu nu mi X y thỡ: d { T x , T y ) < d { x , y ) , Vx, y G X nh ngha 1.8 nh x T i t khụng gian metric ( X , d ) vo chớnh nú c gi l ta co v ch tn ti s a G [0,1) tha món: d{Tx,Ty) tha < ( t ) < 1, < j > ( t ) < t thỡ d ( T x , T y ) < ( d ( x , y ) ) nh ngha 1.10 Khụng gian metric X c gi l T-qu o y v ch mi dóy Cauchy o ( x , oo) = { x , T x , T X , } u hi t v mt im no ú nm X nh ngha 1.11 Vi A nm khụng gian metric X , bỏn kớnh A c kớ hiu l (A) v c xỏc nh nh sau: (A) = sup d (a, b) : a , b Ê A } nh ngha 1.12 Cho ( X , d ) l khụng gian metric Hm / : X > K u {+00} c gi l hm na liờn tc trờn ti X o Ê X nu : XƠXQ / (x0) ^ limsup/ (x) V c gi l hm na liờn tc di ti X o Ê X nu: XƠXQ / (xo) < lim inf / (x) Trong ú: lim sup / (2;) = sup inf {/ ( x ) : X^-Xo ^>0 lim inf / (a;) = inf sup {/ ( x ) : x->xa r )> X X Ê Ê x,d x,d (x, (x, Xo) Xo) ^ 77} , ^ T} 1.2 Mt s nh lý ỏnh x co c bn nh lý 1.1 (nh x CO Banach) C h o X Khi ú tn ti nht (x,d) X* Ê l m t khụng gian metric y v T l mt ỏnh x co X m Tx* = X* Ngoi ra, vi mi Xo Ê X ta cú T n x > X * n > 00 nh lý 1.2 (nh x co Rakotch) Gi s T l ỏnh x liờn tc t khụng gian metric y (V, d) vo chớnh nú tha món: d(Tx,Ty) < X (x,y) d{x,y) ú X ( x , y ) = X ( d ( x , y ) ) l h m n iu gim ch ph thuc vo d (X, y) v < A (d) < vi mi d > Khi ú T cú im bt ng nht X* v vi mi Xo Ê X thỡ T n x = X* nh lý 1.3 (nh x co Krasnoselskii) Gi sT l ỏnh x liờn tc t khụng gian metric y (X, d) vo chớnh nú tha mn: d(Tx,Ty) l ỏnh x tng v liờn tc phi Khi ú T cú mt im bt ng nht nh lý 1.5 (nh x CO Boyd - Wong) Cho T l ỏnh x i t khụng gian metric y (X,d) vo chớnh nú cho vi mi x,y G X ta cú: Chng minh V c A : t ( t ) = a ( t ) t , ( t > 0) ú a l hm c nhc ti nh ngha 3.5 Khi ú / ( e ) < Ê vi mi Ê > Do /3 l hm na liờn tc trờn nờn Ve > 0, > cho: e < t < e + =>/3(t) /3 ( d ( x , y ) ) < Ê = > d ( T x , T y ) < Ê Nh vy, T e M 3.2 S tng ng ca mt s dng ỏnh x co Nm 1997, tỏc gi Jacek R Jachymski ó nghiờn cu v kt lun rng ỏnh x CO Browder, ỏnh x CO Krasnoselskij v ỏnh x co khỏc tng ng Vn c trỡnh by nh lý sau õy: nh lý 3.2 Cho T l ỏnh x co i t khụng gian metric (X,d) vo chớnh nú Khi ú cỏc mnh sau l tng ng: a) (Browder) Tn ti hm : M+ > M+ tng v liờn tc t phi cho T l -co b) (Dwrungji - Granas) Tn ti ỏnh x : X X X > M+; vi mi , b > thỡ inf {0 ( x , y ) : a < d ( x , y ) < } > cho: d ( T x , T y ) < d ( x , y ) - ( x , y ) , Vs, y E V c) (Krasnoselskij - Vainikko) T n t i ỏ n h x m i a , b > t h ỡ sup {r ( x , y ) r:X X X > K+, v i : a < d ( x , y ) < b} < cho: d{Tx,Ty) < r (x,y)d{x,y), V x , y e X d) (Krasnoselskij - Stetsenko) Tn ti hm liờn tc -0 : M+ > M+, vi i> (t) > t > cho: d { T x , T y ) < d { x , y ) - i ) (d { x , y )), Vx,y e X e) (Boyd - Wong*) Tn ti hm na liờn tc trờn : M+ > M+ cho T l -co f) Tn ti hm : M+ > M+ vi limsup^(s) < t,t > cho T l s-Ơt -co g) (Matkowski) Tn ti mt hm tng ngt : M+ > M+, ú lim n (t) = vi t > cho T l -co n>oo h) Tn ti hm tng ngt v liờn tc : M+ > M+ cho T l -co Chỳ ý 3.1 Mnh e) l s c bit húa ca iu kin CO Boyd- Wong (1969), vi nguyờn bn thỡ l hm na liờn tc trờn t phi Tng t, mnh g ) l bin th ca iu kin co c phỏt biu bi Matkowski (1975), ú hm khụng bao gm tớnh n iu ngt Trc chng minh nh lý trờn, ta chng minh b sau: B 3.2 Cho < a < b v ta xột hm s : M+ > M+ tha (t) < t vi t > hoc: lim sup (s) k s^~* < t k h i t e (a, b ) lim sup ( s ) < a n u a > o Khi ú tn ti mt hm liờn tc v tng ngt i> : [a, b) > M+ cho: (t) < (t) < t , te (a, b) Chng minh Ta xột hai trng hp: Io) a > Chn {b n } l dóy tng ngt, vi b o : = a v b n ằ b Vi s t nhiờn bt k, ta nh ngha: T gi thit ca b ta cú d'n < t a : = s \ i p n ỗ N a n Khụng mt tớnh tng quỏt, cú th gi s a = 1, dóy {an} tng ngt Ta xột hm i > : [a, b ) > M+ vi nh ngha nh sau: th ca i > chớnh l a giỏc vi cỏc nh l phn t ca dóy {(b n , a n + i b n ) : n e N u {0}} T ú cú th d dng chng minh c hm i > tha tt c cỏc iu kin ca b 3.2 ) a = Xột hai dóy {a n} v { b n } ln lt hi t n v v tha món: < a n + < a n < b n < b n + < , n e N Tng t nh trng hp 1, ta cú a n < 1, t a := supn e N a n Khụng mt tớnh tng quỏt, cú th gi s a = 1, dóy { a n } tng ngt Ta nh ngha dóy v n : = 0, k e N nh sau: r k := max{ a n + i a n : n > nfc_i} n k := max { n > n k -1 : a n + a n = r k} Bõy gi ta xõy dng hm i > : M+ > M+ t i > (0) := 0, i > (t ) := a n + i t t G [ a n i , b n i ] Hn na, ta cú th nh ngha hm i > trờn [ũni,oo) nh trng hp 1, vi a : = b n i V trờn (0,anJ, hm i > nh ngha nh sau: th ca i > chớnh l a giỏc vi cỏc nh l phn t ca dóy {a n k , r k } : k G N T ú cú th chng minh c i > tha cỏc iu kin ca b T kt qu trờn, ta chng minh nh lý Vic chng minh s tng ng ca cỏc mnh nh lý s a v chng minh cỏc mnh sau: (ũ) & (c), ( d ) & (e), ( h ) => (o) => (e) => (/) => ( h ) , (h ) =4> ( g ) =4> (/) v { h ) =4> (c) =4> (/) Vic chng minh (ũ) (c) cú th tham kho ti [ ], chng minh (d) => (e) c suy t vic t ( t ) = t > ( t ) , t G M+, v (e) => (d) ó c chng minh bi Michael [11] Tip theo (h ) => (a) hin nhiờn ỳng, tng t vi (e) = > (/) Vi vic xột mi hm tng l na liờn tc trờn t trỏi ta thu c kt kt qu (e) = > (/) v (/) = > (h ) ó c trỡnh by b 3.2 Vic chng minh (h ) = > (g ) vui lũng tham kho ti [2 ] v ( g ) = > (/) s c chng minh nh lý 3.5 Cui cựng, ta s chng minh (h ) = > (c) = > (/) Gi s (h ) c tha món, ú ta nh ngha ỏnh x d(Tx,Ty) r :(x, x ) := v r ( x , y ) := ! r : X X X > M + vi X nh sau: y d{x,y Ly < a < b , T l ỏnh x - c o nờn ta cú: sup {r ( x , y ) : a < d (X , y ) < b} < {t) : a < t < b > (c) chng minh (c) => (/) ta xột nh ngha: A n := j(z,y) G X X X : - < d ( x , y ) < n I Khi chn n ln ( n > n 0) thỡ A n khụng rng Vi mi n ta t: d{Tx,Ty) OLr, sup :(x,y) e d{x,y) An> Khi ú, hm c nh ngha nh sau s tha (/): (0 ) :=0 (t) := a n o t t G , n |_n0 11 nn (t) := a n t t G u (n 1, n] Khi ú (c) => (/) Nh vy nh lý c chng minh Qua vic chng minh nh lý trờn, ta thu c kt qu: Krasnoselskij Browder => Boyd - Wong Kt hp kt qu ca nh lý 3.1, ta cú dóy quan h gia cỏc ỏnh x co nh sau: Banach => Rakotch => Browder Krasnoselskii => Boyd Wong => Meir Keeler => Edelstein Phn chng minh ỏnh x CO Browder m rng hn ỏnh x co Rakotch v kộm tng quỏt hn ỏnh x co Boyd-Wong s c trỡnh by phn tip theo ca lun 3.3 nh lý v cỏc hm na liờn tc trờn t phi Vi mi < j ) : M+ > M+ l hm na liờn tc trờn t phi tha ( t ) < t vi t > Ta kớ hiu: M _ ( ) := t > : lim sup ( s ) = t I s-Ơt~ nh lý 3.3 Vi mi : M+ > M+ l v S (t ) := inf M _ (>)n(i, 00 ) hm na liờn tc trờn t phi tha ( t ) < t vi t > luụn tn ti mt hm liờn tc phi l ) : M+ > M+ tha món: ( t ) < l ) (t) < t vi t > Ngoi ta cú c mt s kt qu sau: ) Nu M_ () = thỡ cú th gi thit > l hm liờn tc v tng ngt trờn K+ ii) Nu M_ () thỡ vi t G M_ () ta cú S (t) > t v hoc S (t) G M_ ( ) , hoc S (t) = 00 Hn na: Nu a := inf M _ () > 0, ú a Ê M _ () v M+ = [0,a) u Jt e M (0) [t, S ( t ) ) , hm l) cú th c gi thit l liờn tc v tng ngt trờn mi khong khai trin ny Nu inf M_ () = ; ú (0 , oo) = UieM ()\t> S (t)) v hm l) cú th c gi thit l liờn tc v tng ngt trờn mi khong khai trin ny Chng minh Gi s M _ ( ) = 0, ú bi tớnh liờn tc trờn t phi ta suy limsupỗii (s) < t vi t > chng minh c hm 1Ă ) nh s ^ t yờu cu ta ch cn ỏp dng B 3.2, ú a = v b = oo Gi s M _ ( ) 0> chng minh vi t G M _ ( ) thỡ s (t ) > t , s (t ) G M _ ( ) , nu S ( t ) l hu hn, cn phi chng minh M _ ( ) khụng cú im hi t bờn phi trờn khong (0, oo) Gi s t bờn trỏi, tn ti r > v mt dóy {tn} tha {tn} G M _ ( ) , t n > r + T nh ngha ca M _ ( ) , ta s tỡm c dóy {s} cho: 7" ^ s n t n ỡ \ (sn in) I ^ ' iu ú kộo theo lim sup+ (s) = r, mõu thun vi gi thit lim sup (s) sM" sfr + < { r ) < r Vi lp lun tng t ta cú th chng minh rng mi cm im bờn trỏi ca M _ ( ) luụn gn vi chớnh nú, t ú cú th d dng chng minh c 1J [ t , s (t)) D (inf M _ ( ), oo) Hin nhiờn khong tM_() ['t, s (t)), t G M _ ( ) l ri rc Khi ú ta cú th ỏp dng B 3.2 nh ngha hm i > trờn 1J [ t , s (t )) Nu a := inf M _ ( ) > thỡ tM_() a G M _ ( ) T kt qu 1J (inf M _ ( ), oo) ta cú th kt lun tM_() UieM (,) [ t , s (t)) = [0, 00 ) v hon ton cú th t i j j (0) := cú c hm nh mong mun Trong phn tip theo ca lun vn, chỳng ta s tip tc so sỏnh mi quan h gia hai s nhng nguyờn lý ỏnh x co c bn nht, ú l cỏc kt qu c a bi Boyd-Wong v Browder 3.4 So sỏnh nh lý Boyd-Wong v nh lý Browder Ti [1], hai nh toỏn hc D w Boyd v J s Wong ó a vớ d cho thy nh lý ca h (tng ng vi nh lý Boyd-Wong Chng 1) chớnh l s m rng cho kt qu m Rakotch ó nờu Xột V d: Cho khụng gian mờtric (X, d ) bao gm on [0,1] v cỏc s t nhiờn 2, , , Trong ú hm khong cỏch c nh ngha nh sau: d{x,y) = \ x y I nu X , y [0,1] [ x + y nu X hoc y [0,1] Hin nhiờn (X, d ) l khụng gian y Ta nh ngha ỏnh x T : X > X nh sau: {x ^ X vi X [0,1] X vi Ê = , , , Khi ú vi x , y [0,1], t X y = t > 0, ta cú: d { T x , T y ) = ( x - y ) ^1 - ( x + y ) ^ j < t ^ - , v vi X {2, , , } , Ê > y cú: d (Tx, Ty) = Tx + Ty < X + y = d(x,y) Do ú, nu ta nh ngha hm nh sau: t2 \ t vi < t < w=\ [ t - vi < t < o o Khi ú l hm na liờn tc trờn t phi trờn na on [0, oo), ( t ) < t vi mi t > 0, iu kin - c o c tha món, T l ỏnh x co Boyd-Wong d , ú khụng tn hm gim Tuy nhiờn n ằ oo thỡ d (n, ) (Tn, 0) a cho a ( t ) < vi t > nhm tha man iu kin co ca Rakotch d ( T x , 0) Ngoi ra, -> X > nờn cung khụng tn tai hm tng a d (Ê, ) cho a ( t ) < vi t > nhm tha iu kin co ca Rakotch Th nhng cú th nh ngha li hm < j ) (t ) vớ d trờn tha iu kin CO Browder, phn tip theo ca lun s hon tt vic so sỏnh gia cỏc nh lý im bt ng va nhc ti nh lý 3.4 Xột : M+ > M+ l hm na liờn tc trờn t phi cho ( t ) < t vi mi t > Ta nh ngha M_ () nh sau: K h i ú h a i mnh sau l tng ng: i ) M _ (>) = ii) Trờn khụng gian metric (X, d) bt k vi X : T ằ T l mt ỏnh x - co Khi ú luụn tn ti mt hm tng v liờn tc phi -0 : M+ > M+ cho T cng l ỏnh x l ) -co Chng minh (z) => ( i i ) Gi s cho trc mt ỏnh x T : X > X l ỏnh x - c o , t kt qu ca nh lý 3.3 s tn ti mt hm tng l ) : M+ > M+ cho ( t ) < I p (t ) vi t > 0, ng thi kộo theo T l ỏnh x l - c o ( i i ) ==> ( ) Gi s ngc li, M _ ( ) 0- Khi ú s tn ti mt to v < j > (t n ) > t o , ta cú th gi s rng (tn+i) > cỏch d ( t n , t m ) := max{tn,tm} nu n m d(tn,tn) tn dóy { t n } tng ngt v s thc vi n N nh ngha X : = {tn to cho t n > : n N}, hm khong : Khi ú (X, d ) l mt khụng gian metric Ta tip tc t: T ( t ) := t v T ( t n + ) := t n vi n N Nu ra, n N, m > n , ta cú: d (-^71) Ttm) = t m -i < () { t m ) = { d {tni t m)) Khi ú T l ỏnh x - c o T gi thit T l ỏnh x ' - c o vi i > l hm tng v liờn tc t phi Do ú vi mi X G X thỡ: d {T n x, ti) = d {T n x, T n t{) < i) n (d {x, t i ) ) < i) n { t o ) Kt qu trờn dn n T n x > 1 vi X G X Nhng õy l iu khụng th d ( T n t n + , ti) = t > Vy M _ { ) rng T nh lý 3.4, vi mi hm liờn tc t phi : K+ > M+ cho M _ ( ) khụng rng thỡ ú chớnh l mt ỏnh x - c o m ti ú nh lý im bt ng Browder khụng c tha phn tip theo, chỳng ta s tỡm hiu v cỏc nh x nh vy Núi chung mt cỏch chớnh xỏc hn thỡ mt s hm cú th núi l khụng tht s "tt" cho cỏc ỏnh x - c o , ú khụng tn ti mt metric tng ng d cho T l ỏnh x ' - c o trờn khụng gian (V, d ) vi ) l hm tng v na liờn tc phi nh lý 3.5 Xột : M+ > M+ l hm na liờn tc trờn t phi cho ( t ) < t vi mi t > Gi s rng M_ () l khụng rng Khi ú hai mnh sau tng ng: i) inf M_ () > ii) Xột khụng gian metric ( X , d ) v T : X > X l mt ỏnh x -co trờn ( X , d ) , ú tn ti mt metric p, mt hm tng v liờn tc phi T : M+ > M+ cho T cng l ỏnh x p-co trờn (V, d) Chng minh (z) => ( i i ) Gi thit cho trc ỏnh x T : X > X l mt ỏnh x - c o T kt qu ca nh lý 3.3 ta thy s tn ti mt hm liờn tc phi i > cho ( t ) < { t ) < t vi t > v i > tng ngt trờn [0 ,a) vi a := inf M _ ( ) Theo nh lý Boyd-Wong, T l im bt ng nht v T n X > X o vi mi X G X Hn na, nu d ( x , Ê0) < r < a thỡ ta thu c kt qu: d (T n x , Ê0) < > n ( d ( x , Ê0)) < > n (r) Do ú ta cú th kt lun rng T n X > X o vi X G B ( x o , r ) , l hỡnh cu m tõm X o bỏn kớnh r Theo kt qu ca Meyers ti [10], ú s tn ti mt metric p tng ng cho p ( T x , T y ) < - p ( x , y ) Kt qu ny cú c t T (t ) := - vi t G K Êd ( i i ) = > ( z ) Gi s ngc li, inf M _ ( ) = 0, ú s tn ti mt dóy gim ngt { t k } = v mt dóy tng ngt {ớn^} = cho: i tfc G M (0) , y 0, tn^ y Tớ y 00 () n > oo > tk ( t n + > t n { k \ { t n ) ( k ] > t k + k , n G N nh ngha X nh sau: X := { t n w : k , n G N} u {0} Chn d ( x , y ) = max { x , y } X y d ( x , x ) := Khi ú ( X , d ) l khụng gian metric, ỏnh x T c chn nh sau: T (0) := 0, T ( t n + ! M+ cho p (T x , T y ) < T ( p (X, y ) ) vi mi x , y X Nh vy s tn ti mt s thc r cho d ( x , 0) < r kộo theo p ( x , 0) < Vỡ t k > 0,tn(k) < t k nờn tn ti s t nhiờn k o cho t n { k o ỡ < r vi mi n G N iu ú dn dn d t n ^ , o) < r v p ( t n ^ , o) < T cỏc kt qu va thu c, thỡ vi n G N ta cú: < p ( t ("),0) = p (T n t n + l ' k \T n 0) M+ l hm tng v tha mn lim n (t) = vi t > Ta nh ngha M_ () nh sau: t > : lim sup ( s ) = t > Khi ú hai mnh sau tng ng: i) M + () = ii) Trờn khụng gian metric (V, d) bt k vi T : X > X l mt ỏnh x -co Khi ú luụn tn ti mt hm tng v liờn tc phi- : M+ > M+ cho T cng l ỏnh x ij-co Chng minh (t) = > (i i ) T gi thit suy lim ( s ) < t vi t > Do tớnh n iu S-H + ca < j > ta cú: lim (s) < (t) < t vi t > Kt hp hai kt qu thu s-Ơt~ c lim < t vi t > 0, ú da vo quan h (/) => (a) minh minh nh lý 3.2 ta cú iu phi chng óchng ( i i ) = > ( ) Gi s ngc li, M + ( ) 0- Khi ú s tn ti Ê (0, 00) cho lim (t) = to- t X : = K v vi X , y G X thỡ d ( x , y ) = max { x , y } , i->io + d (X , a;) = Tip theo t T := , tớnh n iu ca nờn: d (Tx, Ty) = (d {x, y))d {Tx, Ty) = (d {x, y ) ) T gi thit ca ( i i ) ta suy T l ỏnh x ' - c o vi i j j l hmtng v liờn tc t phi Do ú vi mi X G M+ ta cú: i){x) = l) (d (x, 0)) > d ( T x , TO) = ( x ) , t ú kộo theo: t Y t + 4> (to) = lim > (t) > lim (t) = to, t Y t + mõu thun vi iu kin i j j (to) < toTng t, ta cú th phỏt biu nh lý 3.7 da trờn nh lý 3.5 thuc Chng nh lý 3.7 Xột hm tng t nh ó nờu nh lý Khi ú vi mi khụng gian metric y (X, d) v ỏnh x -co T : X > X luụn tn ti mt metric tng ng p cho T l ỏnh x CO Banach trờn (x,p) Chng minh nh lý 1.2 ó nờu ti [6] ó chng minh ỏnh x T cú im bt ng Xo v T n x > x vi mi X X Hn na vi mi r > 0, d (X , ổ0) < r thỡ d ( T n x , ổ0) = d ( T n x , T n x ) < l ) 1 (r) Kt qu trờn ch T n x > X o X tha d (ổ, Êo) < T Kt hp kt qu ca Meyers ti [10], vic chng minh nh lý c hon tt Kt lun Lun ó trỡnh by c mt s nh lý im bt ng ca cỏc ỏnh x co c bn nh lý v im bt ng chung ca hai ỏnh x co, bn ỏnh x co, v ca cỏc ỏnh x co giao hoỏn c trỡnh by chi tit Chng ca lun Lun ó lm rừ mi liờn h gia cỏc dng ỏnh x co c bn; s tng ng ca dng co Krasnoselskii, dng CO Browder v dng co khỏc Hn na, lun ó trỡnh by s so sỏnh cỏc nh lý v hm na liờn tc trờn t phi Mc dự tỏc gi ó ht sc c gng, song kh nng kin thc cũn hn ch nờn lun khụng trỏnh nhng thiu sút, tỏc gi rt mong nhn c ý kin úng gúp ca cỏc Thy, Cụ giỏo v cỏc bn H Ni, thỏng 12 nm 2015 Tỏc gi Ti liu tham kho Lờ Xuõn Trng [1] Boyd D W and Wong J S (1969), On nonlinear contractions, P r o c A m e r M a t h S o c , (20), 458-464 [2] Browder F (1968), On the convergence of successive approximations for nonlinear functional equations, I n d a g o f M a t h , (30), 27-35 [3] Chang Shih-Sen (1981), A common fixed point theorem for commuting mappings, A m e r M a t h S o c , (83), 645-653 [4] Ciric Lj B (1974), A generalization of Banachs contraction principle, P r o c A m e r M a t h S o c , (45), 267-273 [5] Das K M and Naik K V (1979), Common fixed point theorems for commuting maps on a Metric space, A m e r M a t h S o c , (77), 369373 [6] Durungji J and Granas A (1978), Weakly contractive maps and elementary domain invariance theorems, I n d a g M a t h , (19), 27-35 [7] Edelstein M (1962), On fixed and periodic points under contractive mappings, J L o n d o n M a t h S o c , (37), 74-79 [...]... x ) Vỡ T l ỏnh x co yu nờn cng liờn tc, do ú / l hm liờn tc trờn khụng gian compact X Vy tn ti X o G X sao cho / (a^o) = min{/ (a;) : X G X} Nu f { x o) > 0 thỡ X o { T x o ) = d (T X 0 , T 2X 0 ) < d ( x 0 , T x 0) = / (so); ta gp mõu thun Vy / (so) = 0 v Tớnh duy nht ca im bt ng l hin nhiờn vỡ T l co yu Xo T x o nờn l im bt ng ca T nh lý 1.8 (nh x co Ciric) Cho T l ỏnh x ta co i t khụng gian... xn->x* el Vỡ T l ỏnh x co yu, vi mi n ta cú: d{x*,Tx*) 00 ta c d (a;*, T x *) = 0, tc l X * = T x * Vỡ T l co yu nờn X * l duy nht nh lý 1.7 (nh x co Edelstein) C h o T l ỏ n h x c o y u i t khụng gian mờtric y (X, d) vo chớnh nú Hn na vi mi Xo G X, dóy { T n x 0} cú mt dóy con hi t Khi ú T cú duy... t phi Khi ú T cú duy nht mt im bt ng x* v vi mi x 0 X thỡ T n x 0 = X* Do cú dóy quan h gia cỏc dng ỏnh x co (c trỡnh by trong Chng 3 ca lun vn), ta ch vic trỡnh by chng minh mt s nh lý ỏnh x co sau õy nh lý 1.6 (nh x co Meir-Keeler) Cho (X,d) l mt khụng gian metric y , T l mt ỏnh x (e, ) co trong X, tc l vi mi Ê > 0, tn ti > 0 tha mn nu Ê < d ( x , y ) < Ê + thỡ d (T x , T y ) < Ê Khi ú T cú... a ) d ( x \ T n + l x ) + a d (:T n x , T n + 1 x ) + a.d{Tnx,x*)} Cho n > 00 ta thu c d (ổ*, T x *) = 0 Chng t rng X * l im bt ng ca T Tớnh duy nht ca im bt ng c suy ra t gi thit T l ta co nh lý 1.9 (nh x co Walter) C h o { X , d ) l khụng gian metric y , ỏnh x T : X > X cú qu o b chn, hn na vi mi X, y G X ta cú: d(Tx,Ty) < diamo (x,y))] (1.3) ú , o ( x , y ) = 0 ( x ) u o ( y ) = { x , T x... > k 0 thỡ d ( z k, z l) < Do ú, vi s p no ú m 0 < P < k o thỡ nú phi ri vo trng hp p ( k ) = p vi k vụ hn ln Vỡ th, cú mt dóy con {r ( k ) } ca dóy { q ( k ) } sao cho lim d ( z p , z r ^ ) = A Nu r ( k ) = q vụ hn ln thỡ d (z p, z q ) = A k> 00 Trng hp ngc li, tn ti mt dóy con {s ( k ) } ca dóy {r (k )} tha món d (z p, z ) = A, vi s ( k ) > 00, k > 00 Trong bt k trng hp no, luụn tn ti p , q > 0... d (zfc, z q) < [ d i a m ( ( z k ~ 1 , z q ~ l koa Nh vy, trong bt c trng hp no ta cng cú iu mõu thun do (A) < A vi mi A > 0 Suy ra T ( z ) = z m Chng 2 im bt ng chung ca cỏc ỏnh x co 2.1 im bt ng chung ca hai ỏnh x co nh lý 2.1 Cho s, T l cỏc ỏnh x i t khụng gian mờtric y (x,d) vo chớnh nú Gi s tn ti cỏc s thc khụng m tha món cỏc iu kin sau vi mi x,y phõn bit thuc X: ( i ) ai + 2 + 3 + 4 + 5 X * k h i n > 00 Chng minh Ly X o tựy ý trong X t X n + 1 = T x n , c n = d ( x n , x n + i ) vi n = 0,1, 2, Gi s c n > 0 Vỡ T l (e, ) co nờn: C n d (*Enj ' E n + 1) d ( T x n 1, T x n ) < Ê ^ d (ớCn 1, ^ n ) C n 1' Suy ra c n < cn_i, hay {c n } l dóy khụng õm v gim Do ú c n > Ê > 0 Vi Ê ú, tn ti > 0 tha món: nu Ê < d (x,y) < Ê +... < 1, chỳng ta cú th tỡm c a3, a4 thuc [0, 00) tha món (z) nhng khụng tha món (2.1) iu ny cú th thy khi xột hm /: / (x, ) = (1 - a 2 - X ) (1 - Oi - y ) - (01 + X + o5) (o2 + y + o5), ta nh ngha mt tp compact li nh sau: K = { ( x , y ) Ê [0,1] X [0,1] : i + 2 + X + y + 5 < 1} , / t giỏ tr nh nht ti im cc biờn ca K Bng tớnh toỏn, chỳng ta kt lun rng: min(i^) = |i 2| (1 i 2 5) T i + 2 + 5 < 1, minf... (/) & 2 { l n ) c^3 (^7i) Vỡ th t (2.11) ta cú T x * = X* Tng t ta cú S x * = X* nu J l vụ hn T ú s hoc T cú im bt ng Tớnh duy nht ca im bt ng chng minh tng t nh lý 2 1 2.2 im bt ng chung ca bn ỏnh x co Cho s , T , I , J l bn ỏnh x i t khụng gian mờtric (X, d ) vo chớnh nú Chỳng ta nh ngha: m (Sx, Ty) = max{d x, Jy), d x, Sx), d (Jy, Ty), [dx,Ty) + d{Jy,Sx)}} (2.1 2) Vi mi Ê > 0, tn ti > 0, ta xột