B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI PHẠM ANH NGHĨA PHƯƠNG PHÁP LẢP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON - KANTOROVICH GIẢI HÊ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC • « • HÀ NỘI, 2015 B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI PHẠM ANH NGHĨA PHƯƠNG PHÁP LẢP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON - KANTOROVICH GIẢI HÊ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Chuyên ngànhỉ Toán Gỉảỉ Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC • « • Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, kính trọng sâu sắc thầy Tác giả trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Tác giả Phạm Anh Nghĩa LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài: “ Phương pháp lặp đơn phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến” công trình nghiên cứu riêng tác giả hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh Trong suốt trình nghiên cứu hoàn thành luận văn, tác giả kế thừa thành quảkhoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Tác giả Phạm Anh Nghĩa MỤC LỤC Mở đầu Chương Một sổ kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Nguyên lý ánh xạ co 18 1.2 Không gian Banach 20 1.3 Phép tính vi phân không gianBanach 23 Chương Phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton - Kantorovich gỉảỉ hệ phương trình phỉ tuyến .29 2.1 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến 29 2.1.1 Phương pháp lặp đơn giải phương trình phi tuyến 29 2.1.2 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến 37 2.2 Phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến 45 2.2.1 Phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình toán tử phi tu y ến 45 2.2.2 Phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến M” 2.3 51 Sự kết hợp phương pháp lặp đơn phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi tu y ến 56 Chương ứ n g dụng 3.1 61 Giải hệ phương trình phi tu y ến 61 3.1.1 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tu y ến 61 3.1.2 Phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi tu y ến 64 -4 - 3.2 Lập trình Maple giải số hệ phương trình phi tuyến 75 Kết luận 88 Tài liệu tham khảo 89 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết giải số phương trình vi phân, phương trình tích phân thường dẫn đến giải hệ phương trình phi tuyến; có nhiều vấn đề, nhiều toán khoa học tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế dẫn đến việc nghiên cứu nghiệm hệ phương trình Hệ phương trình thường có dạng tổng quát Ax = f (1), A toán tử từ không gian định chuẩn Mnvào không gian định chuẩn Mn Trong thực tế người ta khó tìm nghiệm xác hệ phương trình Vì việc giải xấp xỉ hệ phương trình (1) vấn đề quan tâm nghiên cứu Có nhiều phương pháp giải xấp xỉ phương trình đề xuất sử dụng : Phương pháp lặp,phương pháp Newton mở rộng, phương pháp biến phân Người ta xét đến đặc thù toán tử Ađể chọn phương pháp xây dựng nghiệm xấp xỉ phương trình Phương pháp lặp dựa nguyên lí ánh xạ co Banach phương pháp thường sử dụng để chứng minh tồn nghiệm phương trình tìm nghiệm xấp xỉ thông qua phép lặp đơn Để sử dụng phương pháp người ta phải đưa phương trình (1) dạng X = Bx hình cầu đóng toàn không gian I ” , cho nghiệm phương trình (1) điểm bất động ánh xạ B Bước tìm điểm bất động ánh xạ Nguyên lí điểm bất động cách tìm xấp xỉ điểm bất động Phương pháp Newton mở rộng Newton - Raphson, Newton - Kantorovich cho ta cách tìm nghiệm xấp xỉ phương trình phi tuyến thông qua việc giải phương trình tuyến tính Phương pháp Newton mở rộng có ưu điểm bậc hội tụ cao, nhiên phải biết thông tin hình cầu đủ nhỏ chứa nghiệm Với mong muốn tìm hiểu nghiên cứu sâu phương pháp giải xấp xỉ hệ phương trình (1), nên em chọn đề tài : “ Phương pháp lặp đơn phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phỉ tuyến” để thực luận văn Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày số phương pháp giải hệ phương trình phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton - Kantorovich, kết hợp hai phương pháp giải phương trình tập số thực Mvà hệ phương trình phi tuyến không gian Mn ứ n g dụng giải số phương trình hệ phương trình cụ thể Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình hệ phương trình phi tuyến Đổi tượng phạm vỉ nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến - Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton Kantorovich, kết hợp hai phương pháp hệ phương trình phi tuyến không gian Mn; ứng dụng vào giải phương trình hệ phương trình cụ thể § Phương pháp nghiên cứu - Vận dụng kiến thức, phương pháp Giải tích hàm, Giải tích số áp dụng phần mềm Maple tính toán vẽ đồ t h ị Dự kiến đóng góp đề tài Hệ thống lại phương pháp lặp đơn phương pháp Newton Kantorovich giải phương trình hệ phương trình phi tuyến Áp dụng giải số hệ phương trình phi tuyến cụ thể CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co l.l.l.K hông gian metric Định nghĩa 1.1.1 Xét tập hợp X * (|) với ánh xạ d : X xX —>R thoả mãn tiên đề sau đây: 1)d(x,y)>0,(Vx,y€X) , d(x,y) = •» X= y 2)d(x,y) = d(y,x),(Vx,y €X) 3)d(x,y) : b : - l ị ị ^ k 1=1 1_ j=l J = 1=1 j=l 1=1 j=l Ẻ*ỉ VẺo; j=i V j=i ( -2 k + ii> w 1=1 j=l V É a Jb J ^ j=i ) Từ suy bất đẳng thức (1.1.3) Với véc tơ x = (x1,x2, ,xk),y = (y1,y2, ,yk),z = (z1,z2, ,zk)thuộc M1 ta có : d (x ’ y ) = Ề ( xj - y j ) j=i = È ( xi j=i = Ề [ ( x j - zj ) + (zj - y j ) ] j=i ~zi f + Ềj=i ( xi “ zi)(zi - y j ) + Èj=i ( zi - y j ) = d2(x,z) + 2d(x,z)d(z,y) + d2(z,y) = [ d (x ,z ) + d ( z ,y ) ] =^>d(x,y) u, = -0,3227 -0,2645 0,9982 3,8492 -4,8561 Y -0,3227 n +1,93155 19,443 2,5336 -8,2475 ,[-0 ,2 , Tìm nghiệm u3 T acó : f'(u2) = -7,9977 -1,9872 5,0048 4,0063 d et(f’(u2)) = -22,0956 4,0063 -5,0048 TL f 'VK2 y, Jr 1- — — -22,0956 1,9872 -7,9977 X 00037N 2,00169 -78- Lại có : f (u2) = => u, = ^0,0055 ^ 0,006 , u3 =u2- [ f '( u 2)] ‘ f(u 2) 1,00037 +2,00169 22,0956 4,0063 -5,0048 \ '0,0055N '1,00001" 1,9872 -7,9977 / 0,006 1,99999 • Lặp lại trình ta có : u4 = "1,0000 ĩ Ạ,99999 Vậy nghiệm gần hệ phương trình cho là: I X« 1,00001 y »1,99999 Bài tập Giải hệ phương trình sau miền D =[0;2]x[0;l] : cos(x2 +0,4y) + x2 + y -1,6 = l,5x2— £ — = 0,36 Lời giải: F(x,y) = cos(x2 +0,4y) + x2 + y -1,6 Dùng Maple vẽ đồ thị hàm số G (x,y) = l,5x2— ^ — 0,36 ’ miền D = [0;2]x[0;l] hệ trục tọa độ hình 3.2 > with(plots); [animate, animate3d, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformai, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, cylinderplot, densityplot, display, display3d, fîeldplot, fíeldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot, implicitplot3d, inequal, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot, pareto, pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d, polyhedraplot, replot, rootlocus, semilogplot, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, surfdata, textplot, textplot3d, tubeplot] > with(plottools); -79- [arc, arrow, circle, cone, cuboid, curve, cutin, cutout, cylinder, disk, dodecahedron, ellipse, ellipticArc, hemisphere, hexahedron, hyperbola, icosahedron, line, octahedron, pieslice, point, polygon, rectangle, rotate, scale, semitorus, sphere, stellate, tetrahedron, torus, transform, translate] > im p lic itp lo t( { c o s ( x A2 + * y ) + x A2 + y A2 ~ l = ,1 * x A2 - y A2 /0 l= } ,x = ,y = ,n u m p o in ts= 0 ); H in h N h in v a o d o thi h in h ta chQn x a p x i b a n d a u -80- u0 = (x ,y )T=(l,04;0,47)T Ta có f (u) = X (x ) gft (x) ổx ổy df2(x) ổx ôf2(x) ổy x |l-s in (x + 0,4y)j -0,4sin(x2 + 0,4y) + 2y 3x 0,18 V ới u0=(l,04;0,47)T^ f - ( u 0) = ^0,9364 0,55801 ^ ^ 3,12 -2,61111 =^det(f'(u0)) = -1,98549; X = , 04 + => u, = y = 0,47 + ,, v -0,00084 0,55801 1,98549 0,00879 -2,61111 = 1,04-0,0136 = 1,03864 0,09364 -0,00084 = 0,47 + 0,00173 = 0,47173 0,00879 1,98549 3,12 V r0,09483 0,56172 ’ -2,62072 ^3,11592 det(f'(u1)) = -1,99889 / X = 1,03864 + 0,00000 0,56172 1,98549 0,00002 -2,62072 y = 0,47173 + , = 1,03864 - 0,00000 = 1,03864 0,09483 0,00000 = 0,47173 + 0,00000 = 0,47173 1,98549 3,11592 0,00002 Qua bước lặp ta có ÍF(x,y)« 0,000003 G (x,y) 0,00002 m Vậy nghiệm hệ phương trình cho miền D là: I - 81 - Fi (x>y>z) —x + y + z = Bài tập Giải hệ phương trình F2( x , y, z) - X 4- 2y2 F3( x , y, z) - X - 2y + z = -3z =0 L i giả i: Trước tiên ta dùng phần mềm Maple để vẽ đồ thị hàm số F1(x,y,z) = x2+y2+z2, F2(x,y,z) = x2+2y2-3 z , F3(x,y,z) = x2-2 y + z trục toạ độ hình 3.3 > with(plots); [animate, animate3d, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, cylinderplot, densityplot, display, display3d, fieldplot, fíeldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot, implicitplot3d, inequal, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot, pareto, pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d, polyhedraplot, replot, rootlocus, semilogplot, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, surfdata, textplot, textplot3d, tubeplot] > wiứi(plottools); [arc, arrow, circle, cone, cuboid, curve, cutin, cutout, cylinder, disk, dodecahedron, ellipse, ellipticArc, hemisphere, hexahedron, hyperbola, icosahedron, line, octahedron, pieslice, point, polygon, rectangle, rotate, scale, semitorus, sphere, stellate, tetrahedron, torus, transform, translate] > impliicitplot3d ( {xA2+yA2+zA2= 1,xA2+2*yA2-3 *z=0,xA2-2*y+z=0},x=3 3,y=-3 3,z=-3 3); -82- H m h 3 Đ ặt u = y ,f ( x ) = X2 + 2y - 3z , x2-2 y + z ^ II v + y + z 2- l ' ír V Ịlx 2y 2z> 2x 4y -3 , 2x -2 T a c ó th ể c h ọ n đ iể m x ấ p x ỉ b a n đ u : u0 = ( x ,y ,z ) = (0,5;0,5;0,5) K h ỉ đ ó ta có : 0,52 + ,5 + ,5 - fK )= 52 + 2.0,52 - 3.0,5 ,5 ~ ,5 + 0,5 - ,2 ' = - ,7 - ,2 , -83- '1 1N f '(u o) = -2 -3 T a CÓ th ể tín h đ ịn h th ứ c v m a trận n g h ịc h đ ả o n h p h ầ n m ề m M a p le n h sau: J0 > : = matrix ( 3, , [ 1, , , , , -3 , , -2 , 1] ) ; lí ì 1 -2 -3 > d e tỤ ) ; -12 > NI := in verseỤ ) ; NI := Ị_ _5_ 12 -3 12 '\ 3 T a tín h n g h iệ m jcl \_ 5_ 12 -3 \_ J_ 12 n h sau: F0:=wữírà(3,l,[-0,25;-0,75;-0,25]); -0,25 F0:= -0,75 > -0,25 > Tì :=m ultỉplyịN l,F ữỴ, -84- -0,3750000000 T\ := 0,1250000000 > X0:= maim(3,l,[0.5,0.5,0.5]); X0:= 0.5 0.5 0.5 > X0-T1; XO-Tl >X\ :=eva/w(%); XI := 0,8750000000 0,5 0,3750000000 0,5 =>«1 = 0,5 v0,5y 1 12 '-0,25' '0,875' -0,75 = 0,5 _3 ,-0,25, ,° ’375> 12 '0,8752 +0,52 +0,3752 -1 n ' 0,15625 N f (u.) = 0,8752 +2.0,52- 3.0,375 = 0,140625 ^0,140625, ^ 0,8752-2.0,5 + 0,375 J "1,75 f ,0 = 1,75 ¿ -2 > 0,75" -3 y J\ := matrix(3,3, [l 75,1,0.75,1,75,2, -3,1 75, -2, l]); 1.75 J 1:= 1.75 1.75 -2 > d e t ( J 1); 0.75 -3 -85- -19.2500 > N2 := inverseự iy, N2:= 0.2077922078 0.1298701299 0.2337662338 0.3636363636 -0.02272727273 -0.3409090909 0.3636363636 -0.2727272727 -0.09090909091 0.2077922078 0.1298701299 Vậy [f-(Ul)] = 0.3636363636 -0.02272727273 0.3636363636 -0.2727272727 0.2337662338 ' -0.3409090909 -0.09090909091 F > := maírâ ( , 1, [o 15625,0.140625,0.140625]); 0.15625 F1:= 0.140625 0.140625 > Tì :=multiply{N2,F\y, 0.08360389612 Tì:= 0.00568181817 0.00568181818 > XI - Tl ; Xì-Tì >X2:= evaỉmị%y, X2 0.7913961039 := 0.4943181818 0.3693181818 Ta CÓ nghiệm: u2 = Uj - [f' (Uj)] 1f (Uj); '0,875" u2= 0,5 , 0’375, - '0.2077922078 0.1298701299 0.3636363636 -0.02272727273 0.3636363636 -0.2727272727 0.2337662338 0,15625 N 0,140625 0,140625 -86- f0,7913961039^ 0,4943181818 0,3693181818 0,7913961039 +0,4943181818 +0,36931818182 -1 f ( u 2) = 0,79139610392 + 2.0,49431818182 - 3.0,3693 18 18 18 0,79139610392 - 2.0,4943181818 + 0,3693181818 V ¿5827922078 0,9886363636 0,7386363636' -3 f ’K ) = 1,5827922078 1,9772727272 -2 \ 1,5827922078 y y > : = matrix(3, 3, [1.5827922078,0.9886363636,0.7386363636, 1.5827922078,1.9772727272, -3,1.5827922078, -2,1]); 1.5827922078 0.9886363636 0.7386363636 72 := 1.5827922078 1.9772727272 -3 1.5827922078 -2 > í/eí(y2); -17.27622601 > jV3 := inverse(./2); 0.2328475716 0.1427342459 0.2562130540 N3:= 0.3664671224 -0.02394529492 -0.3425218275 0.3643849228 -0,2738092420 -0.09057568077 Ta có: 0.2328475716 0.1427342459 0.2562130540 0.3664671224 -0.02394529492 -0.3425218275 0.3643849228 -0,2738092420 -0.09057568077 > F2:=maírix(ĩ,ì,[0.0070541775,0.0070541775,0.0069896114]); F2:= > 0.0070541775 0.0070541775 0.069896114 T2:=multiply(iV3,F2); 0,0070541775" 0,0070541775 0,0069896114 -87- 0.004440250490 := 0.000022115298 0.0000058481191 T2 X2-T2; X2-T2 >X3 := evaỉmị%); > 0.7869558534 X3 := 0.4942960665 0.3693123337 Theo công thức : u3 =u2- [f'(u 2)] 1f (u2), ta có 0.7913961039 ^ ^0.2328475716 0.1427342459 0.2562130540 "0.0070541775" 0.3664671224 -0.02394529492 -0.3425218275 0.0070541775 0.4943181818 0.3693181818 V 0.3643849228 -0.2738092420 -0.09057568077 ^ 0.069896114 0.7869558534 0.4942960665 \ 0.3693123337 / Vậy sau bước lặp ta có nghiệm hệ phương trình cho là: X« 0.7869558534 y * 0.4942960665 z * 0.3693123337 KET LUẠN • Luận văn trình bày số nội dung sau: Trong chương 1trình bày kiến thức chuẩn bị bao gồm khái niệm Giải tích hàm không gian metric nguyên lí ánh xạ co, không gian định chuẩn phép tính vi phân không gian định chuẩn Một số ví dụ khái niệm Trong chương trình bày: - Cơ sở lí thuyết phương pháp lặp phương pháp Newton, Newton Kantorovich; - Phương pháp lặp để giải phương trình hệ phương trình phi tuyến; - Phương pháp Newton để giải phương trình hệ phương trình phi tuyến ứng dụng vào giải số phương trình cụ thể; - Áp dụng phương pháp để giải số phương trình hệ phương trình cụ thể; Trong chương trình bày ứng dụng phương phápnêu chương với việc áp dụng Maple tính toán Trên luận văn với đề t i P h n g pháp lặp đơn phương pháp Newton - Kantorovich gỉảỉ hệ phương trình phỉ tuyến” Em mong thầy cô nhận xét, hướng dẫn em chi tiết, hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! bảođể luận văn [...]... PHÁP NEWTON « KANTOROVICH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN • 2.1 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến 2.1.1 Phương pháp lặp đơn giải phương trình phi tuyến • Giả sử X là một không gian Banach Xét phưong trình toán tử phi tuyến: x = a (x ) (2.1.1) Kí hiệu s (x 0,r) = |x