Phần HÌNH HỌA Chương Mở đầu Cơ sở biểu diễn 1.1 Giới thiệu môn học Trong kỹ thuật, bản vẽ kỹ thuật( giấy) được sử dụng sản xuất và trao đổi thông tin giữa các nhà thiết kế Bản vẽ kỹ thuật là một mặt phẳng chiều còn hầu hết vật thể đều là các vật thể chiều Vậy làm để biểu diễn các đối tượng chiều lên mặt phẳng chiều? Gaspard Monge Hình họa Đối tượng môn học - Nghiên cứu phương pháp biểu diễn hình không gian mặt phẳng - Nghiên cứu phương pháp giải toán không gian mặt phẳng 1.2 – Cac phep chieu 1.2.1 Phép chiếu xuyên tâm S a) Xây dựng phép chiếu - Cho mặt phẳng Π, điểm S không thuộc Π điểm A - Gọi A’ giao đường thẳng SA với mặt phẳng Π *Ta có định nghĩa sau: + Mặt phẳng Π gọi mặt phẳng hình chiếu + Điểm S gọi tâm chiếu + Điểm A’ gọi hình chiếu xuyên tâm điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π + Đường thẳng SA gọi tia chiếu điểm A A A’ П Hình 1.1 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm b) Tính chất phép chiếu П S C S B A C’ C A A’ E F’ B D B’ F D C’=D’ A’ E’ B’ b) П a) D’ T’ Hình 1.2a,b Tính chất phép chiếu xuyên tâm - Nếu AB đoạn thẳng không qua tâm chiếu S hình chiếu xuyên tâm đoạn thẳng A’B’ - Nếu CD đường thẳng qua tâm chiếu S C’=D’.(Hình chiếu suy biến) (Hình 0.2.a) - Hình chiếu xuyên tâm đường thẳng song song nói chung đường đồng quy (Hình 0.2.b) 1.2.2- Phép chiếu song song a) Xây dựng phép chiếu - Cho mặt phẳng Π, đường thẳng s không song song mặt phẳng Π điểm A không gian - Qua A kẻ đường thẳng a//s A’ giao đường thẳng a với mặt phẳng Π * Ta có định nghĩa sau: + Mặt phẳng Π gọi mặt phẳng hình chiếu + Đường thẳng s gọi phương chiếu + Điểm A’ gọi hình chiếu song song điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π theo phương chiếu s + Đường thẳng a gọi tia chiếu điểm A a s A A’ П Hình 1.3 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm b) Tính chất phép chiếu C - Nếu đường thẳng AB không song song a) với phương chiếu s hình chiếu song song đường thẳng A’B’ - Nếu CD song song với phương chiếu s hình chiếu song song điểm C’=D’ - Nếu M thuộc đoạn AB M’ thuộc A’B’ + Tỷ số đơn điểm không đổi: b) D A C’=D’ A’ П I' K' //IK  I' K' = IK M’ N A' M' AM = M' B' MB - Nếu MN//QP thì: M' N' //P' Q'  M' N' MN  P' Q' = PQ - Nếu IK// Π thì: s B M M Q B’ K I s P N’ M’ П Q’ I’ K’ P’ Hình 1.4a,b Tính chất phép chiếu song song 1.2.3- Phép chiếu vuông góc a - Phép chiếu vuông góc trường hợp đặc a) biệt phép chiếu song song phương chiếu vuông góc với mặt phẳng hình chiếu - Phép chiếu vuông góc có đầy đủ tính chất phép chiếu song song, có thêm tính chất sau: + Chỉ có phương chiếu s b) + Giả sử AB tạo với П góc φ thì: A’B’=AB.cosφ A’B’ ≤ AB - Sau ứng dụng phép chiếu vuông góc mà ta gọi phương pháp hình chiếu thẳng góc s A A’ П B s A φ П A’ B’ Hình 1.5a,b Phép chiếu vuông góc Chương Biểu diễn liên thuộc 2.1 – Điểm 2.1.1– Xây dựng đồ thức điểm a) Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu a) Π1 A1 A - Trong không gian lấy hai mặt phẳng vuông góc П1 П2 x Ax A2 Π2 - Mặt phẳng П1 có vị trí thẳng đứng - Mặt phẳng П2 có vị trí nằm ngang - Gọi x giao điểm П1 П2 b) (x = П1∩П2 ) - Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng П1và П2 ta nhận hình chiếu A1 A2 Π1 x - Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng A1 A Ax П2 quanh đường thẳng x theo chiều quay A2 Hình 1.1.a П2 trùng vớiП1 Ta nhận đồ thức điểm A hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.1.b) Π2 Hình 2.1a,b Xây dựng đồ thức điểm hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu 10 S1 4.3.3- Giao trụ chiếu mặt cong Ví dụ 1: Tìm giao trụ chiếu đứng với nón tròn xoay (Hình ) Giải: - Giao trụ chiếu đứng nón tròn xoay đường cong ghềnh bậc - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng giao tuyến - Tìm hình chiếu giao tuyến, xét điểm sau: + Điểm 1,4 thuộc đường sinh biên nón cắt trụ + Điểm điểm xét giới hạn thấy khuất + Điểm điểm đường sinh thấp - Để vẽ đường cong ghềnh xác tìm thêm điểm X, Y Hình 6.18 Tìm giao trụ chiếu đứng với nón tròn xoay 11 X1 21 41 Y1 31 Y2 32 22 X2 42 12 S2 X’2 2’2 3’2 Y’2 111 Ví dụ 2: Tìm giao tuyến mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu (Hình ) Giải: - Giao trụ chiếu đứng mặt cầu đường cong ghềnh bậc - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng giao tuyến - Tìm hình chiếu giao tuyến, xét điểm sau: + Điểm 2,6 điểm xét giới hạn thấy khuất + Điểm điểm đường sinh thấp trụ + Điểm điểm thuộc đường sinh cao trụ + Điểm điểm tiếp xúc trụ với cầu 71 51 61 21 31 32 22 62 52 72 5’2 6’2 Hình 6.19 Tìm giao mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu 2’2 3’2 112 Chú ý: Hai mặt cong tiếp xúc điểm chúng cắt theo đường cong ghềnh bậc 4, điểm tiếp xúc hai mặt cong đường cong ghềnh bậc tự cắt Hình 6.20 Giao mặt trụ tiếp xúc với mặt cầu 113 S1 Định lý 1: Nếu hai mặt cong bậc hai cắt theo đường bâc hai chúng cắt theo đường bậc hai thứ hai 11 21 31 32 22 S2 12 Hình 6.21 Minh họa định lý 2’2 3’2 114 S1 Định lý 2: Nếu hai mặt cong bậc hai tiếp xúc với hai điểm chúng cắt theo hai đường cong bậc hai qua hai điểm tiếp xúc 51 81 71 61 21 31 32 52 62 22 S2 Hình 6.22 Minh họa định lý 6’2 72 82 2’2 5’2 3’2 115 Chương Thay mặt phẳng hình chiếu 116 Đặt vấn đề: Mục đích phép biến đổi đưa yếu tố hình học vị trí tổng quát vị trí đặc biệt để thuận lợi cho việc giải toán Dưới số phương pháp biến đổi 117 a) Π1 4.1- Thay mặt phẳng hình chiếu 4.1.1 Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1 Điều kiện: ∏'1 ⊥ ∏ A1 Π’1 A’1 x * Xây dựng phép thay mặt phẳng hình chiếu: - Gọi x’ ≡ П’1∩П2 trục hình chiếu Ax A A’x - Giả sử điểm A hệ thống (П1 , П2) có hình chiếu (A1 , A2) - Chiếu vuông góc điểm A lên П’1 ta có hình chiếu A’1 Cố định П2 xoay П’1 quanh trục x’cho đến П’1≡П2 ( Chiều quay xác định hình 4.1) - Ta nhận đồ thức điểm A hệ thống A’1 Π2 b) A2 x’ A1 Ax x (П’1, П2), A’1 hình chiếu đứng điểm A Π1 Π2 A’1 *Tính chất: - Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu (П’1, П2): A’x Gọi A’x ≡ A’1A2 ∩ x’ + A’1 , A’x , A2 nằm đường dóng vuông góc với x’ + A’xA’1=AxA1 (Độ cao điểm A không thay đổi) A2 x’ Π Π’ 118 П’ Hình 4.1.a,b Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2,B2) B1 Tìm độ lớn thật góc nghiêng đoạn thẳng AB П2 Giải: Dựa vào tính chất đường mặt - AB cho vị trí - Thay П1 thành П’1 cho hệ thống A1 x B2 (П’1, П2) đoạn thẳng AB đường mặt A2 Khi hình chiếu đứng A’1B’1 độ lớn thật AB A’1B’1,x’ = φ góc AB với П2 - Bx Ax Để thực hiện: +Chọn x’//A2B2 x’ Π1 Π2 Π2 Π’ B’x A’x φ A’1 ĐL T: AB B’1 +Tìm A’1B’1 (dựa vào tính chất) - Chú ý : Độ cao điểm A’1, B’1 Hình 4.2 Ví dụ: Tìm độ lớn thật góc nghiêng đoạn thẳng AB П2 119 4.1.2 Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2 A’2 Điều kiện: ∏'2 ⊥ ∏1 Cách xây dựng thay П1 thành П’1 A’x * Bài toán: Cho điểm A (A1,A2) A1 Hãy tìm hình chiếu điểm A phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2 x’ Π Π’ biết trước trục x’ giao П’2 với П1 (Hình 4.3) *Tính chất: - Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu (П1, П’2) x Ax Π1 Π2 + A1A’xA’2 nằm đường dóng vuông góc với x’ + A’xA’2 =AxA2 A2 Hình 4.3 Thay mặt phẳng П2 thành П’2 120 A’2 Ví dụ 2: Tìm hình dạng độ lớn thật tam giác ABC cho đồ thức (Hình 4.4) B’2 A’x A1 Giải: Dựa vào tính chất mặt phẳng đồng mức - (ABC) cho mặt phẳng chiếu đứng - Thay mặt phẳng П2 thành П’2 cho П’2 //(ABC) B’x C’x B1 C1 Muốn vậy, chọn trục hình chiếu x’// A1B1C1 Tìm A’2B’2C’2? C’2 x Ax Bx Cx - Kết ΔA’2B’2C’2 hình dạng độ lớn thật ΔABC Π Π1 C2 x’ Π’ Π2 A2 B2 Hình 4.4.Tìm hình dạng thật tam giác ABC 121 4.2- Thay hai mặt phẳng hình chiếu 4.2.1 Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1rồi thay П2 thành П’2 Điều kiện: ∏'1 ⊥ ∏ ∏'2 ⊥ ∏'1 A1 x Ax Π1 Π2 Bài toán: Cho điểm A (A1,A2) Hãy tìm hình chiếu điểm A phép thay mặt phẳng hình chiếu П1thành П’1 П2 thành П’2, biết trước trục x’ giao П2 với П’1, trục x” Π2 Π’ A2 x’’ x’ A’x giao П’1 với П’2 (Hình 4.5) Giải: - Tìm A’1: A’1A2 ⊥ x’ ; A’xA’1=AxA1 A’1 A”x A’2 - Tìm A’2: A’2A’1 ⊥ x” ; A’xA”2=AxA’2 Chú ý: Không nhầm độ xa AxA2 với A’xA2 Π’1 Π’2 Hình 4.5 Thay mặt phẳng П1 thành П’1 A thay П2 thành П’2 122 Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2B2) Ax + Tìm A’1B’1? - Π2 Π’ A’1 B’x (П’1,П2), AB đường mặt + Muốn vậy, chọn trục x’//A2B2 Π1 Π2 B2 A1 A2 Bx Π’ x Π’ Bằng phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu đưa đoạn thẳng AB vị trí đường thẳng chiếu hệ thống mới.(Hình 4.6) Độ cao âm Giải: - Thay П1thành П’1 để hệ thống B1 x’ A’x B’1 A”x ≡ B”x (Độ cao điểm A âm) Thay П2 thành П’2 để hệ thống A’2 ≡ B’2 (П’1,П’2), AB đường thẳng chiếu + Muốn vậy, chọn trục x”⊥A’1B’1 + Tìm A’2B’2? (A’2 ≡B’2 có độ xa nhau, AB chiếu bằng) x’’ Hình 4.6 Ví dụ 123 4.2.2 Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2 thay П1 thành П’1 x’’ A’2 A’’x A’1 Điều kiện: ∏'2 ⊥ ∏1 ∏'1 ⊥ ∏'2 A’x Thực phép thay tương tự mục a) Bài toán: Cho điểm A (A1,A2) Hãy tìm hình chiếu điểm A phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành Π’2 Π’1 x’ A1 Π Π’ П’2 П1 thành П’1, biết trước trục x’ giao П’2 với П1, trục x’’ giao П’1 với П’2 (Hình 4.7) Giải: Tìm A’2: A1A’2 ⊥ x’ ; A’xA’2=AxA2 Tìm A’1: A’1A’2 ⊥ x” ; A’’xA’1=A’xA1 Chú ý: Không nhầm độ cao A1A’x với A1Ax Ax x Π1 Π2 A2 Hình 4.7 Thay mặt phẳng П2 thành П’2 thay П1 thành П’1 124 phẳng mặt Muốn vậy, chọn trục x’//A’2B’2C’2 Tìm A’1B’1C’1? - Ta có A’1B’1C’1là hình dạng, độ lớn thật tam giác ABC x’ B”x B’2 A”x B1 C’1 chiếu Muốn vậy, vẽ đường mặt Af Chọn trục x’⊥A1f1 thống (П’1, П’2) (ABC) mặt x’’ B’x thống (П1, П’2) (ABC) mặt phẳng - Thay П1 thành П’1 cho hệ Π’ Π1 Ví dụ 4: Tìm hình dạng, độ lớn thật tam giác ABC cho đồ thức.(Hình 4.8) Giải: - Thay П2 thành П’2 cho hệ Tìm A’2B’2C’2? A’1 B’1 C”x A’2 f1 A’x C’2 11 A1 x Ax C’x Bx Cx C1 Π1 Π2 B2 A2 Π’ Π’ 12 f2 C2 Hình 4.8 Ví dụ 4: Tìm hình dạng thật 125 tam giác ABC [...]... phẳng (α) cho bởi vết 34 b) Bài toán cơ bản 2 Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, I1 điểm K thuộc mặt phẳng α đó Biết hình chiếu đứng K1, tìm hình Giải: K1 11 chiếu bằng K2 (Hình 3.13) 21 l1 b1 a1 - Gắn điểm K vào một đường thẳng l∈(α) - Khi đó l1 qua K1 Tìm l2 ? (bài toán cơ bản 1) - K2 ∈ l2 (Điểm thuộc đường thẳng) b2 a2 12 K2 22 l2 I2 Hình 3.13 Bài toán cơ bản 2 35 Ví dụ 2: Cho mặt phẳng α(mα,... song với một trong hai đường a1 b1 - VD: l1//b1 Hình 3.11 Bài toán cơ bản 1 - Dựa vào điểm 1(11,12) l2 đi qua 12, l2//b2 33 Ví dụ 1: Mặt phẳng α( mα, nα) Biết l1, tìm l2 M1 (Hình 3.12) Giải: - Lấy M1≡ l1 ∩ mα → M2∈ x mα l1 - Lấy N1≡ l1 ∩ x → M2∈ nα - l2 qua M2 và N2 là đường thẳng cần tìm N1 x M2 l2 nα N2 Hình 3.12 Ví dụ về bài toán cơ bản 1 Chú ý: - Sử dụng vết của đường thẳng và mặt phẳng - Ví dụ này... trục x + Độ xa âm: A2 nằm phía trên trục x *Chú ý: Với một điểm A trong không gian có đồ thức là một cặp hình chiếu A1, A2 Ngược lại cho đồ thức A1 A2 , ta có thể xây dựng lại điểm A duy nhất trong không gian Như vậy đồ thức của một điểm A có tính phản chuyển a) Π1 A1 A x Ax A2 Π2 b) A1 x Ax A2 Π2 Hình 2.1a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu 13 b) Hệ thống ba mặt phẳng... (Hình 3.14) Giải: - Gắn K vào đường thẳng a∈(α) → a1 qua K1 Tìm K2? αx - K2 ∈ a2 M1 K2 x a1 N1 M2 Chú ý: Trong hai bài toán cơ bản trên, nếu cho hình chiếu bằng của đường thẳng và của điểm, tìm hình chiếu đứng của chúng, ta cũng làm tương tự a2 nα N2 Hình 3.14 Ví dụ về bài toán cơ bản 2 36 ... điểm A,B,C,D thuộc mặt phẳng phân giác (P1) và (P2) 18 2.1.3 Bài toán: Tìm hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thức Bài toán: Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm, tìm hình chiếu cạnh của điểm đó trên đồ thức Ví dụ: Vẽ hình chiếu cạnh của các điểm A, B, C, D, E được cho trên đồ thức z(+) a) Az A1 Δ’ A3 Δ z(+) Δ’ b) B1 B3 B2 x(+) Ax O Bz z(+) c) Δ C2 Cy By Ay x(+) O Cy Cx y(+) y(+) x(+)... y(+) By y(+) d) O Δ’ x(+) Ex Ey y(+) 19 2.2 Đường thẳng 2.2.1 Biểu diễn đường thẳng Vì một đường thẳng đươc xác định bởi hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng đó Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l; Π1 B1 l1 l x A AB ∈ l , A ≠ B l2 B2 A2 A(A1, A2) B(B1, B2) B1 - l1 đi qua A1B1 gọi là hình chiếu đứng của đường thẳng l - l2... nhận biết trên đồ thức: + Độ cao dương: A1 nằm phía trên trục x + Độ cao âm: A1 nằm phía dưới trục x Π1 x A1 A Ax A2 Π2 Hình 2.1a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu 12 * Độ xa của một điểm - Ta có: AxA2 = A1A gọi là độ xa của điểm A - Quy ước: + Độ xa dương : khi điểm A nằm phía trước П1 + Độ xa âm: khi điểm A nằm phía sau П1 - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: + Độ... b) - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: + Độ xa cạnh dương: A3 nằm phía bên Π1 phải trục z + Độ xa cạnh âm: A3 nằm phía bên trái x A1 Ax z A A3 Π3 Az O Ay y Ay trục z Π2 A2 y Hình 2.2a,b Xây dựng đồ thức của một16 điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu 2.1.2 – Một số định nghĩa khác a) Góc phần tư - Hai mặt phẳng hình chiếu П1, П2 vuông góc với nhau chia không gian thành bốn phần, mỗi phần được gọi... góc phần tư (IV) thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác II.(Pg2) Ví dụ: Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳng phân giác I; C, D thuộc mặt phẳng phân giác II, A thuộc góc phần tư (I), B thuộc (III), C thuộc (II), D thuộc (IV) ( II ) Π1 Π1 (Pg1) x ( III ) A1 x C1 =C2 B2 Ax Bx A2 B1 Cx Dx (I) Π2 A2 (Pg2) Hình 2.5 Mặt phẳng phân giác I và II ( IV ) D1 =D2 Π2 Hình 2.6 Đồ thức các điểm... A1: hình chiếu đứng của điểm A Ax A2 Π2 - A2: hình chiếu bằng của điểm A - Gọi Ax là giao của trục x và mặt phẳng (AA1A2) - Trên đồ thức, A1,Ax, A2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x gọi là đường dóng thẳng đứng b) Π1 x A1 A Ax A2 Π2 Hình 2.1a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu 11 * Độ cao của một điểm - Ta có: AxA1 = A2A gọi là độ cao của điểm A