Đang tải... (xem toàn văn)
Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thoả mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ thức liên quan đến môđun của số phức). Khi đó ta giải bài toán này như sau: Giả sử z = x+yi (x, y R). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y). Ta có: OM = = Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M.
CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC A CHUẨN BỊ KIẾN THỨC I DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Một số phức biểu thức có dạng a + bi, a, b số thực số i thoả mãn i2 = -1 Ký hiệu số phức z viết z = a + bi i gọi đơn vị ảo a gọi phần thực Ký hiệu Re(z) = a b gọi phần ảo số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b Tập hợp số phức ký hiệu C *) Một số lưu ý: - Mỗi số thực a dương xem số phức với phần ảo b = - Số phức z = a + bi có a = gọi số ảo số ảo - Số vừa số thực vừa số ảo Hai số phức Cho z = a + bi z’ = a’ + b’i a = a ' b = b ' z = z’ ⇔ Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức biểu diễn điểm M(a;b) mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại, điểm M(a;b) biểu diễn số phức z = a + bi Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i z − z ' = (a − a ') + (b − b ')i Phép nhân số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: zz ' = aa '− bb '+ (ab '− a ' b)i Số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi Số phức z = a – bi gọi số phức liên hợp với số phức Vậy z = a + bi = a - bi Chú ý: 10) z = z ⇒ z z gọi hai số phức liên hợp với 20) z z = a2 + b2 *) Tính chất số phức liên hợp: (1): z = z (2): z + z ' = z + z ' (3): z.z ' = z.z ' redrose2407@gmail.com Page CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC (4): z z = a + b (z = a + bi ) Môđun số phức Cho số phức z = a + bi Ta ký hiệu z môđun số phư z, số thực không âm xác định sau: uuuuu v - Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, z = OM = a + b - Nếu z = a + bi, z = z z = a + b Phép chia số phức khác Cho số phức z = a + bi ≠ (tức a2+b2 > ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 số phức z ≠ số 1 z-1= a + b z = z z Thương z' phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau: z z' z '.z = z.z −1 = z z Với phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường II DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Cho số phức z ≠ Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z Như ϕ acgumen z, acgumen có dạng: ϕ + 2kπ, k ∈ Z Dạng lượng giác số phức Xét số phức z = a + bi ≠ (a, b ∈ R) Gọi r môđun z ϕ acgumen z Ta có: a = rcosϕ , b = rsinϕ z = r(cosϕ +isinϕ), r > 0, gọi dạng lượng giác số phức z ≠ z = a + bi (a, b ∈ R) gọi dạng đại số z Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z = r(cosϕ +isinϕ) z' = r’(cosϕ’ +isinϕ’) (r ≥ 0, r’ ≥ 0) thì: z.z’ = r.r[cos(ϕ +ϕ’) +isin(ϕ +ϕ’)] z' r' = [ cos(ϕ '− ϕ ) + i sin(ϕ '− ϕ ) ] r > z r redrose2407@gmail.com Page CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC Công thức Moivre [z = r(cosϕ +isinϕ)]n = rn(cos nϕ +isin nϕ) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Cho số phức z = r(cosϕ +isinϕ) (r>0) ϕ ϕ r cos + isin ÷ 2 Khi z có hai bậc hai là: ϕ ϕ r cos + π ÷+ isin + π ÷÷ 2 2 ϕ ϕ - r cos + isin ÷ = 2 B MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VẤN ĐỀ 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Dạng 1: Các phép tính số phức Phương pháp giải: Sử dụng công thức cộng , trừ, nhân, chia luỹ thừa số phức Chú ý cho HS: Trong tính toán số phức ta sử dụng đẳng thức đáng nhớ số thực Chẳng hạn bình phương tổng hiệu, lập phương tổng hiệu số phức… Ví dụ 1: Cho số phức z = − i 2 Tính số phức sau: z ; z2; ( z )3; + z + z2 Giải: a) Vì z = 3 − i ⇒ z = + i 2 2 3 − i÷ b) Ta có z2 = = + i − i= − i ÷ 2 2 4 3 + i÷ = + i2 + i= + i ⇒ ( z ) = ÷ 2 4 2 1 3 i ÷ + i÷ + i+ i− =i ( z )3 =( z )2 z = + ÷ ÷= 2 2 4 Ta có: + z + z2 = + 1 3 + 1+ − i+ − i= − i 2 2 2 Nhận xét: Trong toán này, để tính ( z ) ta sử dụng đẳng thức số thực Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: z = (1 + i )(3 − 2i) + redrose2407@gmail.com 3+i Page CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC Giải: Ta có : z = + i + 3−i 3−i = 5+i + (3 + i )(3 − i ) 10 Suy số phức liên hợp z là: z = 53 − i 10 10 Ví dụ 3: Tìm mô đun số phức z = Giải: Ta có : z = (1 + i )(2 − i) + 2i 5+i = 1+ i 5 26 Vậy, mô đun z bằng: z = + ÷ = 5 Ví dụ 4: Tìm số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i Giải: Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i ⇔ (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i x=− 3 x + y = y − ⇔ Giải hệ ta được: 5 x = x − y y = Ví dụ 5: Tính: i105 + i23 + i20 – i34 Giải: Để tính toán này, ta ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ suy luỹ thừa đơn vị ảo sau: Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1… Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; ∀ n ∈ N* Vậy in ∈ {-1;1;-i;i}, ∀ n ∈ N −n −n 1 Nếu n nguyên âm, i = (i ) = ÷ = ( −i ) i n -1 -n Như theo kết trên, ta dễ dàng tính được: redrose2407@gmail.com Page CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + + = Ví dụ 6: Tính số phức sau: z = (1+i) 15 Giải: Ta có: (1 + i)2 = + 2i – = 2i ⇒ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i 16 1+ i 1− i Ví dụ 7: Tính số phức sau: z = ÷ + ÷ 1− i 1+ i Giải: Ta có: + i (1 + i )(1 + i ) 2i = = =i 1− i 2 16 1− i 1+ i − i 16 = −i Vậy + ⇒ ÷ ÷ =i +(-i) = 1+ i − i + i Dạng 2: Các toán chứng minh Trong dạng ta gặp toán chứng minh tính chất, đẳng thức số phức Để giải toán dạng trên, ta áp dụng tính chất phép toán cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, môđun số phức chứng minh Ví dụ 8: Cho z1, z2 ∈ C CMR: E = z1 z2 + z1.z2 ∈ R Để giải toán ta sử dụng tính chất quan trọng số phức liên hợp là: z∈R⇔z= z Thật vậy: Giả sử z = x + yi ⇒ z = x – yi z = z ⇔ x + yi = x – yi ⇔ y = ⇒ z = x ∈ R Giải toán trên: Ta có E = z1 z2 + z1.z2 = z1 z2 + z1 z2 = E ⇒ E ∈ R Ví dụ 9: Chứng minh rằng: ( ) ( 1) E1 = + i + − i n ) ∈R n 19 + 7i 20 + 5i 2) E2 = ÷ + ÷ ∈R − i + 6i redrose2407@gmail.com Page CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC Giải: ( ) ( 1) Ta có: E1 = + i + − i ) = ( 2+ i 5) +( 2−i 5) = ( −i 5) + ( 2+ i 5) 7 7 = E1 ⇒ E1∈R 19 + 7i 20 + 5i ( 19 + 7i ) (9 + i) ( 20 + 5i ) (7 − 6i) 2) E2 = ÷ + ÷ ÷ + ÷ = 82 85 − i + 6i n n n n n n n n 164 + 82i 170 − 85i = ÷ + ÷ = ( + i) + ( − i) 82 85 ⇒ E2 = E2 ⇒ E2 ∈ R Ví dụ 10: Cho z ∈ C CMR: z + ≥ |z2 + 1| ≥ Giải: z +1 < Ta chứng minh phản chứng: Giả sử z2 +1 < Đặt z = a+bi ⇒ z2 = a2 – b2 + 2a + bi 2 2 z +1 < (1 + a ) + b < 2(a + b ) + 4a + < ⇔ 2 ⇔ 2 2 z2 +1 < (1 + a − b ) + 4a 2b < (a + b ) + 2( a − b ) < Cộng hai bất đẳng thức ta được: (a2 + b2 )2 + (2a+1)2 < ⇒ vô lý ⇒ đpcm Dạng 3: Các toán môđun số phức biểu diễn hình học số phức Trong dạng này, ta gặp toán biểu diễn hình học số phức hay gọi tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z số phức z thoả mãn hệ thức (thường hệ thức liên quan đến môđun số phức) Khi ta giải toán sau: Giả sử z = x+yi (x, y ∈ R) Khi số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm M(x;y) Ta có: OM = x2 + y = z Sử dụng kiện đề để tìm mối liên hệ x y từ suy tập hợp điểm M Lưu ý: - Với số thực dương R, tập hợp số phức với z = R biểu diễn mặt phẳng phức đường tròn tâm O, bán kính R - Các số phức z, z < R điểm nằm đường tròn (O;R) - Các số phức z, z >R điểm nằm đường tròn (O;R) Ví dụ 11 : Giả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp redrose2407@gmail.com Page CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC điểm M(z) thoả mãn điều kiện sau đây: z − + i =2 2 + z = − i + z > z − z − 4i + z + 4i = 10 1≤ z + − i ≤ Giải: 1) Xét hệ thức: z − + i =2 (1) Đặt z = x +yi (x, y ∈ R) ⇒ z – + i = (x – 1) + (y + 1)i Khi (1) ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = ⇔ (x-1)2 + (y + 1)2 = 4.⇒ Tập hợp điểm M(z) mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thoả mãn (1) đường tròn có tâm I(1;-1) bán kính R = 2) Xét hệ thức + z = z − i (2) y (2) ⇔ z − (−2) = z − i (*) Gọi A điểm biểu diễn số -2, B điểm biểu diễn số phức i (A(-2;0); B(0;1)) Đẳng thức (*) chứng tỏ M(z)A = M(z)B Vậy tập hợp tất điểm M(z) đường trung trực AB Chú ý: Ta giải cách khác sau: Giả sử z = x + yi, đó: B A -2 x O -1 -1 -2 (2) ⇔ |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i| ⇔ (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2 ⇔ 4x + 2y + = tập hợp điểm M(z) đường thẳng 4x + 2y + = nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + = phương trình đường trung trực đoạn AB 3) Xét: + z > z − (3) Giả sử z = x + yi, đó: (3) ⇔ |2+x+yi| > |x+yi-2| ⇔ (x+2)2 +y2 > (x-2)2 +y2 ⇔ x > ⇒ Tập hợp điểm M(z) nửa mặt phẳng bên phải trục tung, tức điểm (x;y) mà x > Nhận xét: Ta giải cách khác sau: (3) ⇔ |z-(-2)| >|z-2| Gọi A, B tương ứng điểm biểu diễn số thực -2 2, tức A(-2;0), B(2;0) Vậy (3) ⇔ M(z)A > M(z)B Mà A, B đối xứng qua Oy Từ suy tập hợp điểm M(z) nửa mặt phẳng bên phải trục tung redrose2407@gmail.com Page CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 4) Xét hệ thức: z − 4i + z + 4i = 10 Xét F1, F2 tương ứng biểu diễn điểm 4i -4i tức F1 (0;4) F2 =(0;-4) Do đó: (4) ⇔ MF1 + MF2 = 10 (M = M(z)) Ta có F1F2 = ⇒ Tập hợp tất điểm M nằm (E) có hai tiêu điểm F F2 có độ dài trục lớn 10 x2 y2 + =1 Phương trình (E) là: 16 5) Xét hệ thức 1≤ z + − i ≤ ⇔ 1≤ z − (−1 + i ) ≤ Xét điểm A(-1;1) điểm biểu diễn số phức -1 + i Khi 1≤ MA ≤ Vậy tập hợp điểm M(z) hình vành khăn có tâm A(-1;1) bán kính lớn nhỏ Cách 2: Giả sử z = x +yi (5) ⇔ ≤ |(x+1) +(y-1)i| ≤ ⇔ ≤ (x+1)2 + (y-1)2 ≤ ⇒ kết Ví dụ 12: Xác định điểm nằm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau đây: |z + z +3|=4 |z + z + - i| = 2|z-i|=|z- z +2i| |z2 – z 2| = Giải: 1) Xét hệ thức: z + z +3|=4 (1) Đặt x = x + yi ⇒ z = x – yi, (1) ⇔ |(x+yi)+(x-yi)+3|=4 x = ⇔ |2x+3|=4 ⇔ x = − Vậy tập hợp tất điểm M hai đường thẳng song song với trục tung x = − x = 2) Xét hệ thức: |z + z + - i| = Đặt z = x + yi ⇒ z = x – yi Khi đó: redrose2407@gmail.com Page CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 1+ y = (2) ⇔ |1+(2y-1)i| = ⇔ + (2y-1)2 = ⇔ 2y2 -2y-1 = ⇔ 1− y = Vậy tập hợp điểm M hai đường thẳng song song với trục hoành y = 1± 3) Xét hệ thức 2|z-i|=|z- z +2i| Đặt z = x + yi ⇒ z = x – yi Khi đó: (3) ⇔ |x+(y-1)i| = |(x+y)i| ⇔ x2 +(y-1)2 = (x+y)2 ⇔ x2 – 4y = ⇔ y = x2 x2 Vậy tập hợp điểm M parabol y = 4)Xét hệ thức: |z2 – z 2| = xy = Đặt z = x + yi ⇒ z = x – yi Khi đó: (4) ⇔ |4xyi| = ⇔ 16x2y2 = 16 ⇔ xy = −1 Vậy tập hợp điểm M hai nhánh (H) xy = xy = -1 z −1 z −i =1 Ví dụ 13: Tìm số phức z thoả mãn hệ: z − 3i = z + i z −1 = ⇔ |z-1| = |z-i| ⇔ |x+yi-1|=|x+yi-i| Giải: Giả sử z = x + yi, z −i ⇔ (x-1)2 + y2 = x2 + (y-1)2 ⇔ x=y Ta lại có: z − 3i = ⇔ |z-3i| = |z+i| ⇔ |x+yi-3i| = |x+yi+i| ⇔ x2 + (y – 3)2 = x2 + (y+1)2 z +i ⇔ y = ⇒ x = Vậy số phức phải tìm z =1+i Ví dụ 14: Trong số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2+3i| = Tìm số phức z có môđun nhỏ Giải: Giả sử z = x + yi, : |z – 2+3i| = ⇔ (x-2)2 + (y+3)2 = 3 ⇔ |(x-2) +(y+3)i|= 2 ⇒ Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện cho đường tròn tâm I(2;-3) bán kính 3/2 Môđun z đạt giá trị nhỏ M thuộc đường tròn gần O ⇒ M trùng với M1 giao đường thẳng OI với đường tròn redrose2407@gmail.com Page CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC Ta có: OI = + = 13 Kẻ M1H ⊥ Ox Theo định lý Talet ta có: M H OM = = OI 13 ⇒ 13M H = 13 − ⇒ M1H = Lại có: OH = 13 − 13 − = 2 13 − 78 − 13 = 26 13 ⇒ OH = 26 − 13 13 13 13 − Vậy số phức cần tìm là: z = 26 − 13 78 − 13 + 13 26 Ví dụ 15: Cho z1 = 1+i; z2 = -1-i Tìm z3 ∈ C cho điểm biểu diễn z 1, z2, z3 tạo thành tam giác Giải: Để giải toán ta cần ý đến kiến thức sau: Giả sử M1(x1;y1) biểu diễn số phức z1 = x1 + y1i Giả sử M2(x2;y2) biểu diễn số phức z2 = x2 + y2i Khi khoảng cách hai điểm M1M2 môđun số phức z1 – z2 Vậy: M1M2 = |z1 – z2| = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) Áp dụng vào toán: Giả sử z3 = x+yi Để điểm biểu diễn z1, z2 , z3 tạo thành tam giác 4+4 = z1 − z2 = z1 − z3 ⇔ z1 − z2 = z2 − z3 4+4 = ( x − 1) + ( y − 1) ( x + 1) + ( y + 1) 2 ( x − 1) + ( y − 1) = ⇔ x + y = ⇒ 2y2 = ⇒ y = ± ⇒ x = m Vậy có hai số phức thoả mãn là: z3 = (1+i) z3 = - (1-i) VẤN ĐỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHỨC Dạng 1: Tìm bậc hai số phức Cho số phức w = a + bi Tìm bậc hai số phức Phương pháp: +) Nếu w = ⇒ w có bậc hai +) Nếu w = a > (a ∈ R) ⇒ w có hai bậc hai redrose2407@gmail.com a - a Page 10 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC Vậy phương trình cho có nghiệm 3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 22: Giải phương trình: (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = Giải: Đặt t = z2 + z, phương trình cho có dạng: −1 + 23i z = z + z − = t = −6 −1 − 23i ⇔ ⇔ z = t2 + 4t – 12 = ⇔ t = z + z − = z = z = −2 Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 23: Giải phương trình: (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2 = Giải: Đặt t = z2 + 3z +6 phương trình cho có dang: t = z t2 +2zt – 3z2 = ⇔ (t – z)(t+3z) = ⇔ t = −3 z z = −1 + 5i + Với t = z ⇔ z2 + 3z +6 –z = ⇔ z2 + 2z + = ⇔ z = −1 − 5i z = −3 + + Với t = -3z ⇔ z + 3z +6 +3z = ⇔ z + 6z + = ⇔ z = −3 − 2 Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 24: Cho phương trình: z4 -2z3 – z2 – 2z + = (1) a) Bằng cách đặt y = z + đưa phương trình dạng: y2 – 2y – = z b) Từ giải (1) Giải: Do z = không nghiệm (1) ⇒ chia hai vế phương trình cho z2 ta được: z2 - 2z – - 1 + = z z Đặt y = z + y = −1 ⇒ phương trình có dạng: y2 – 2y – = ⇔ z y = redrose2407@gmail.com Page 15 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC Với y = -1 ⇒ = z + Với y = ⇒ = z + −1 ± i = -1 ⇔ z = z 3± =3⇔z= z Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 25: Giải phương trình: z2 z –z + +z+1=0 (1) Giải: Do z = nghiệm phương trình (1) nên: (1) ⇔ zz – z + z 1 + + =0 z z z ⇔ (z- )2 – (z- ) + = + 3i y= Đặt y = z- ⇒ pt có dạng: y2 – y + = ⇔ 2y2 – 2y + = ⇔ z y = − 3i +) Với y = + 3i 1 + 3i ⇒z- = ⇔ 2z2 – (1+3i)z – = (2) z Ta có : ∆ = (1+3i)2 + 16 = +6i = (3+i)2 ⇒ phương trình (2) có nghiệm: z1 = 1+i z2 = − + +) Với y = i − 3i 1 − 3i ⇒z- = ⇔ 2z2 – (1-3i)z – = (3) z Ta có : ∆ = (1-3i)2 + 16 = -6i = (3-i)2 ⇒ phương trình (3) có nghiệm: z3 = 1-i z4 = − - i Vậy phương trình cho có nghiệm Dạng 4: Giải hệ phương trình phức Ví dụ 26: Giải hệ phương trình ẩn z w: (1) z + w = 3(1 + i ) 3 z + w = 9(−1 + i ) (2) Giải: redrose2407@gmail.com Page 16 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC Từ (2) ta có: (z + w)3 – 3zw(z + w) = 9(-1+i) (3) Thay (1) vào (3) ta được: 27(1+i)3 – 9zw(1+i) = (-1+i) ⇒ 3(1+3i+3i2+i3) – zw(1+i) = -1 + i ⇒ zw = −5 + 5i = 5i 1+ i z + w = 3(1 + i ) z.w = 5i Vậy ta có hệ phương trình: Theo định lý Viet ⇒ z, w nghiệm phương trình: t2 -3(1+i) + 5i = (4) Ta có: ∆ = -2i = (1 – i)2 t = + i ⇒ Phương trình (4) có hai nghiệm t = + 2i Vậy hệ cho có hai nghiệm (z;w) (2+i; 1+2i) (1+2i;2+i) Ví dụ 27: Giải hệ phương trình ẩn z w: (1) z1 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = (2) z z z = (3) Giải: Ta có z1, z2 , z3 nghiệm phương trình: (z – z1)(z – z2)(z-z3) = ⇔ z – (z1+z2+z3)z2 +(z1z2 +z2z3 + z3z1 )z - z1z2z3 = ⇔ z3 – z2 + z – = ⇔ z = z = ±i Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (là hoán vị ba số 1, i –i) VẤN ĐỀ 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Dạng 1: Chuyển số phức sang dạng lượng giác Phương pháp: Dạng lượng giác có dạng: z = r(cos ϕ + i sin ϕ ) r > Để chuyển số phức sang dạng lượng giác ta cần tìm r ϕ; + Ta có r = |z| a cosϕ = r + ϕ số thực thoả mãn sin ϕ = b r Ví dụ 28: Viết số phức sau dạng lượng giác: 1) 2i 5) z1 = 6+6i 2) -1 6) z2 = − +i 3) 4 4) -3i 7) z3 = – 9i redrose2407@gmail.com Page 17 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC Giải: 1) Ta có: r1 = 2, ϕ = π π π ⇒ z1 = 2(cos +isin ) 2 2) Ta có: r2 = 1, ϕ = π ⇒ z2 = cosπ +isinπ 3) Ta có: r3 = 2, ϕ = ⇒ z3 = 2(cos0+isin0) 3π 3π 3π 4) Ta có: r4 = 3, ϕ = ⇒ z4 = 2(cos +isin ) 2 5) Ta có: r5 = 12 cosϕ = π π π Chọn ϕ số thực thoả mãn ⇒ϕ= z5 = 12(cos +isin ) 3 sin ϕ = 2 6) Ta có r6 = −1 ÷ = ÷ + cosϕ = − 2π 2π 2π Chọn ϕ số thực thoả mãn ⇒ϕ= z6 = 12(cos +isin ) 3 sin ϕ = 7)Ta có: r7 = 18 cosϕ = π π π Chọn ϕ số thực thoả mãn ⇒ ϕ = − z7 = 12(cos( − )+isin( − )) 3 sin ϕ = − Nhận xét: Đây dạng tập phổ biến, cần ý cho học sinh cách chọn số ϕ thỏa a cosϕ = r mãn hệ phương trình lượng giác Trong trình dạy, thấy nhiều học sinh sin ϕ = b r mắc sai lầm sau: tìm ϕ thỏa mãn cosϕ = a/r mà không để ý đến sin ϕ = b/r Chẳng hạn với hệ cosϕ = π học sinh chọn ϕ = sin ϕ = − redrose2407@gmail.com Page 18 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC Ví dụ 29: Viết số phức sau dạng lượng giác: 1) (1-i )(1+i) 2) 1− i 1+ i 3) + 2i π π 1) Ta có: 1- i =2 cos − ÷+ isin − ÷ 3 Giải: (1+i) = π π cos + i sin 4 Áp dụng công tthức nhân, chia số phức ta đuợc: π π (1-i )(1+i) = 2 cos − ÷+ isin − ÷ 12 12 2) 7π 1− i = cos − 1+ i 12 7π ÷+ isin − 12 3) π 1 2 π π π cos − ÷+ isin − ÷ = (1 − i) = cos − ÷+ isin − ÷ = + 2i 4 4 ÷ Ví dụ 30: Tìm phần thực phần ảo số phức sau: 1) ( (1 − i )10 +i ) π π 2) cos − i sin ÷i (1 + 3i) 3 Giải: 1) Xét số phức: 10 ( (1 − i )10 +i ) π π 5π 5π 25 cos+ i sin − ÷ cos- + i sin − ÷ 1 12 12 = = =− = 3π 3π (cosπ + i sin π ) 16 π π 29 cos + i sin ÷ c os + i sin ÷ 2 6 Vậy: phần thực bằng: − phần ảo 16 2) Xét số phức: redrose2407@gmail.com Page 19 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC π π cos − i sin ÷i (1 + 3i) = 3 π π cos − i sin ÷i 3 π π π π 7 cos + i sin ÷ = cos − ÷− i sin − ÷÷i = 27 [ cos2π + i sin 2π ] i = 27 i 7π 7π cos + i sin ÷ Vậy: phần thực bằng: phần ảo 128 Ví dụ 31: Tính số phức sau: z= (1 − i )10 ( +i ( −1 − i ) ) 10 Giải: ( ) z= = 10 10 π π π π cos − ÷+ i sin − ÷÷ cos + i sin ÷ 10 4π 4π 210 cos + isin ÷ 3 10π 210 cos − 5π 5π 10π 5π 5π + i sin + i sin − ÷+ i sin − ÷÷ cos ÷ cos − ÷ ÷ 6 = 40π 40π 40π 40π cos + isin 210 cos + isin ÷ 3 3 = cos(-15π) + isin(-15π) = -1 Ví dụ 32: Viết số sau dạng lượng giác: 1) cosa – isina, a ∈ [0;2π) 2) sina +i(1+cosa), a ∈ [0;2π) 3) cosa + sina + i(sina – cosa), a ∈ [0;2π) Giải: Ta có: 1) cosa - isin a = cos(2π - a) + isin(2π -a) a ∈ [0;2π) a 2) z2 = sina +i(1+cosa) = 2sin cos - Nếu a ∈ [0;π ) ⇒ cos a a a a a + 2icos2 = 2cos (sin + i cos ) 2 2 a a π a π a > ⇒ z2 = 2cos (cos( - ) + i sin ( - ) 2 2 2 - Nếu a ∈ (π ;2π ) ⇒ cos a a 3π a 3π a < ⇒ z2 = -2cos (cos( - ) + i sin ( - ) 2 2 2 - Nếu a ⇒ z2 = 0(cos0 + isin0) 3) z3 = cosa + sina + i(sina – cosa) = redrose2407@gmail.com π (cos a − ÷+ i sin 4 π a − ÷ 4 Page 20 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC Dạng 2: Ứng dụng dạng lượng giác Ví dụ 33: Chứng minh rằng: sin5t = 16sin5t – 20sin3t +5sint cos5t = 16cos5t – 20cos3t +5cost Giải: Dùng công thức Moivre công thức khai triển nhị thức (cost + isint) Ta được: cos5t + isin5t = cos5 t + 5icos4tsint + 10i2cos3tsin2t + 10i3 cos2t.sin3t +5i4 cost.sin4t + i5sin5t ⇒ cos5t + isin5t = cos5 t -10cos3t(1-cos2t) + 5cost(1-sin2t)2 + i[5(1-sin2t)2sint – 10(1-sin2t)sin3t +sin5t] Đồng hai vế ta điều phải chứng minh Ngoài ứng dụng công thức Moivre vào lượng giác, thấy chuyển số phức dạng lượng giác tìm bậc hai cách dễ dàng nhanh chóng Sau số ứng dụng dạng lượng giác để tìm bậc hai số phức giải phương trình bậc hai Ví dụ 34: Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + = (1) Giải: Ta có: (1) ⇔ z4 (z + 1) + z2 (z + 1) + (z + 1) = ⇔ (z+ 1) (z4 + z + 1) = z = −1 ⇔ z + z +1 = 2π 2π i = cos + i sin z = − + 2 3 −1 ± 3i Xét phương trình: z4 + z + = ⇔ z2 = ⇔ 2π 2π i = cos − z = − − ÷+ i sin − ÷ 2 π π z = cos + i sin 2π 2π 3 Từ z2 = cos + i sin ⇒ π 3 z = −cos -i sin π 3 π π z = cos − ÷+ i sin − ÷ 2π 2π Từ z2 = cos − ÷+ i sin − ÷⇒ π π z = −cos − ÷-i sin − ÷ 3 3 Tóm lại phương trình cho có tất nghiệm: redrose2407@gmail.com Page 21 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC z = -1; z = 3 3 + i; z = − − i; z = − i; z = − + i 2 2 2 2 Ví dụ 35: Cho z1 z2 hai số phứ xác định z1 = 1+i z2 = – i a) Xác định dạng đại số dạng lượng giác b) Từ suy giá trị xác của: cos Giải: Ta có z1 ⇒ cos 7π 12 7π 7π sin 12 12 z1 + i − + + i = = ÷ ÷ z2 1− i Ta có: z1 = 2(cos ⇒ z = z1 z2 (cos = π π + isin ); z2 = 3 π π (cos − ÷ + isin − ÷) 4 4 7π 7π + isin ) 12 12 7π + 1− sin = 12 2 Nhận xét: Qua tập ta thấy ứng dụng quan trọng số phức, ta tính sin, cos góc công cụ số phức thông qua liên hệ dạng đại số dạng lượng giác số phức 2π Ví dụ 36: Cho số phức z0 có môđun argument 5 a) CMR z0 nghiệm phương trình z – = b) Rút gọn biểu thức (z – 1)(1+z + z2 + z3 + z4) c) Hãy suy z0 nghiệm phương trình: z + 1 1 + z+ ÷+ = ÷ z z d) Giải phương trình câu c) e) Từ suy giá trị z0 biểu thức giá trị cos 2π 2π sin 5 Giải: a) Ta có: z0 = cos 2π 2π + i sin 5 Áp dụng công thức Moavrơ ta có: z05 = (cos 2π 2π + i sin )5 = cos2 π + isin2π = ⇒ z0 5 nghiệm phương trình z5 – = b) Khai triển đẳng thức ta z5 – = c) z5 – = ⇔ (z – 1)(1+z + z2 + z3 + z4) = redrose2407@gmail.com Page 22 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC mà z0 ≠ ⇒ z0 nghiệm phương trình 1+z + z2 + z3 + z4 = ⇔ z2 ( (với z ≠ 0) ⇒ z0 nghiệm phương trình d) Đặt y = z + 1 + + z + z2 ) + z z 1 + + z + z2 = (*) ⇒ đpcm + z z −1 ± ⇒ phương trình (*) có dạng: y2 – y + = ⇔ y1,2 = z e) Từ câu ta có: z0 nghiệm hai phương trình sau: z + 1 = y1 z + z z = y2 *) Xét phương trình: z + 1− ÷ ÷ ∆ = −1 + i + z1 = + 2 5+ 5+ ⇒ -4== i z = −1 + − i + 2 *) Xét phương trình: z + 1+ ÷ ÷ ∆ = Vì cos 1− = y1 ⇔ z2 – y1z + = ⇔ z2 + z+1=0 z 1+ = y2 ⇔ z2 – y2z + = ⇔ z2 + z+1=0 z −1 − i − z1 = + 2 5− 5− ⇒ -4== i z = −1 − − i − 2 2π 2π sin dương ⇒ phần thực phần ảo z0 dương 5 ⇒ z0 = z1 = 2π 2π + −1 + −1 + i + ⇒ cos = sin = + 5 2 2 Ví dụ 37: Giải phương trình: z6 = -64 (1) Giải: Giả sử z = x + yi = r(cosϕ + isinϕ) Ta có: -64 = 64(cos π + isin π ) Z = -64 ⇒ r6 (cos6 ϕ + isin6 ϕ )= 64(cos π + isin π ) ⇒ r6 = 64 ⇒ r = π π Và cos6 ϕ + isin6 ϕ = cos π + isin π ⇒ ϕ = π +2k π (k ∈ Z) ⇒ ϕ = + 2k 6 Với k = ⇒ z1 = cos π π + isin ÷ = 6 redrose2407@gmail.com +i Page 23 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC π π Với k = -1 ⇒ z1 = cos - ÷+ isin − ÷÷ = -i 6 π π + isin ÷ = 2i 2 Với k = ⇒ z1 = cos π π Với k = -2 ⇒ z1 = cos - ÷+ isin − ÷÷ = -2i 2 5π 5π ÷+ isin - ÷÷ = - -i Với k = -3 ⇒ z1 = cos ( Ví dụ 38: Tìm n số nguyên dương n ∈ [1,10] cho số phức z = + i ) n số thực Giải: π π nπ nπ Ta có: + i = cos + i sin ÷ ⇒ z = 2n cos + i sin ÷ 3 3 Để z ∈ R ⇒ 2n.sin nπ nπ = ⇒ sin = ⇒ n chia hết cho 3, mà n nguyên dương ∈ [1;10] ⇒ n 3 ∈ [3;6;9] C BÀI TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC Các tập dạng đại số số phức z1 + z2 Bài 1: Chứng minh rằng: Nếu |z1| = |z2 | = 1, z1.z2 ≠ A = + z z ∈ R HD: Ta có: A = A suy A số thực Bài 2: Tìm điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: a) |z-2| = z−2 e) Re ÷ =0 z −1 b) |z+i| 1+ z f) ∈R d) z + z =2 z Đáp số: a) Đường tròn tâm (2;0), bán kính b) Hình tròn tâm (0;-1), bán kính c) Phần đường tròn tâm (1;-2) bán kính d) Giả sử z = x + yi ⇒ z+ = ⇔ z2 +1 = z z ⇔ (x2 – y2 +1)2 +4x2y2 = 4(x2 + y2) redrose2407@gmail.com Page 24 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC x2 + y −1 = y ⇔ (x + y -1) = 4y ⇔ 2 x + y − = −2 y 2 2 ⇒ Tập hợp điểm M(x;y) biểu thị số phức z hợp hai đường tròn: x2 + y2-2y – = x2 + y2 +2y – = e) Tập hợp điểm M(x;y) đường tròn: x2 + y2 – 3x + = + z + x − yi [ (1 + x ) − yi ] ( x − yi ) (1 + x ) x − y − [ y (1 + x) + xy ] i = = f) Giả sử z = x + yi ⇒ = x + yi x2 − y2 x2 − y z Gt ⇒ 2xy + y = ⇒ y = x = -1/2 Bài : Tìm số thực x, y thỏa mãn đẳng thức : x(3+5i) + y(1-2i)3 = + 14i Phương trình bậc hai, phương trình bậc cao, hệ phương trình Bài 4: Giải phương trình sau: a) z2 = -9 b) z2 = - c) 4z2 – 2z + = d) z2 – 2zcos α + = e) z − (3 − i)z + (4 − 3i) = Bài 5: Tìm số phức z biết z2+ |z| = Đáp số: z= 0; z = i; z = -i Bài 6: a) Tìm số phức a, b để có phân tích: z4 + 2z3 +3z2 + 2z + = (z2 + 1)(z2 +az + b) b) Giải phương trình: z4 + 2z3 +3z2 + 2z + = Đáp số: a) a = 2; b = b) z1,2 = ± i; z3,4 = -1 ± i Bài 7: Cho phương trình: z3 – 2(1+i)z2 + 3iz + 1-i = (1) a) Chứng minh z = nghiệm phương trình (1) b) Tìm hai số α β cho z3 – 2(1+i)z2 + 3iz + 1-i = (z – 1) (z2 + α z + β ) = c) Giải phương trình (1) Đáp số: a) α = -2i-1; β = i – b) z = 1; z = i ; z = 1+i Bài 8: Giải phương trình sau: a) z4 + 3z2 + = b) 2z4 + z3 + 3z2 + z + = Bài 9: Cho hai phương trình sau redrose2407@gmail.com Page 25 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC z4 – 4z3 + 14z2 – 36z + 45 = z4 + z3 + z2 + 4z + = a) Chứng minh phươn trình sau có hai nghiệm ảo b) Hãy giải phương trình (1) (2) Bài 10: Giải hệ phương trình sau: z1 z2 = z + 2z = Đáp số: ( −i +i +i −i ) ( ) ; ; 4 Dạng lượng giác số phức ứng dụng Bài 11: Viết số sau dạng lượng giác: a) z1 = + 6i 4 b) z2 = − + i c) z2 = − − i d) z3 = – 9i e) z5 = -4i Đáp số: z1 = 12 cos π π + i sin ÷; 3 z1 = 12 18 cos 5π 5π + i sin 3 z2 = ÷; 1 2π 2π 4π 4π + i sin + i sin cos ÷; z3 = cos 2 3 3 3π 3π z2 = cos + i sin 2 ÷; Bài 12: Viết số phức sau dạng lượng giác: π π a) -2(cos +isin ) 6 π π - isin 17 17 π π c) sin + icos 17 17 b) cos d) – cos a+ isina, a ∈ [0;2π) Đáp số: a) 2(cos 7π 7π +isin ) 6 redrose2407@gmail.com Page 26 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC π π ÷+ isin − ÷ 17 17 b) cos − c) cos 15π 15π + isin 34 34 d) - Nếu a ∈ (0;2π ) ⇒ sin a a π a π a > ⇒ z2 = 2sin (cos( - ) + i sin ( - )) 2 2 2 - Nếu a = ⇒ không tồn số phức dạng lượng giác Bài 13: Cho số phức z = 1+ i Hãy viết dạng lượng giác số phức z5 Bài 14: Sử dụng dạng lượng giác để tính số phức sau: 1 a) − i 2 3 ÷( −3 + 3i ) + 2i ÷ ( ) b) (1+i)(-2-2i)i c) -2i(-4+4 i)(3+3i) d) 3(1-i)(-5+5i) Đáp số: a) 12 (cos 7π 7π +isin ) 4 b) 4(cos0 + isin0) 5π 5π c) 48 (cos +isin ) 12 d) 30(cos 12 π π +isin ) 2 12 − 3+i Bài 15: Chứng minh rằng: ÷ ÷ số thực 1+ i 12 − 3+i Đáp số: Sử dụng công thức Moavrơ : ÷ ÷ = -64 1+ i Bài 16: Tìm môđun z argument: a) z = (2 b) z = c) + 2i (1− i) ( −1 + i ) ) + ( (1+ i) − 2i + ( − i ) ( + 2i ) z = ( 1+ i ) + ( 1− i ) 10 n ) n Đáp số: redrose2407@gmail.com Page 27 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC a) |z| = 213 + b) |z| = 5π 13 ; arg z = ; arg z = π 29 n +1 c) |z| = cos 5nπ ; arg z = ϕ ∈ {0;π } Bài 17 :Cho hai số phức z1 = + i z2 = 1+ i a) Tính môđun argument hai số phức nói z13 b) Tính môđun argument z z2 z2 c) Từ suy giá trị xác cos π π sin 12 12 Đáp số : a) Ta có |z1| = 2; ϕ1 = π π ; |z2| = 2; ϕ2 = 3π 2π z13 π b) |z | = 8; ϕ3 = ; |z2| = 4; ϕ4 = ; = 2; ϕ5 = z2 12 c) cos π = 12 π 2+ sin = 12 6− Bài 18: Cho z số phức thoả mãn z2 = +i a) Tính nghiệm phương trình viết nghiệm dạng lượng giác π π b) Hãy tính xác giá trị cos sin 8 Bài 19: Tìm bậc hai số phức sau: a) z = 1+i b) z = i c) i + 2 d) -2(1+i ) e) 7- 24i Đáp số: a) zk = π π + kπ + kπ cos + isin 2 redrose2407@gmail.com ÷ ÷ , k ∈ {0;1} ÷ Page 28 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC π π + 2kπ + 2kπ b) zk = cos , k ∈ {0;1} + isin 2 π π + 2kπ + 2kπ c) zk = cos , k ∈ {0;1} + isin 2 4π 4π + kπ + kπ 3 + isin d) zk = cos 2 ÷ ÷, k ∈ {0;1} ÷ e) z1 = 4-3i; z2 = -4 + 3i Các toán số phức đề thi tốt nghiệp tuyển sinh đại học năm học 2009_2010 Bài 20 (Câu 5a_TNPT 2009) Giải phương trình: 8z2 – 4z + = tập số phức Bài 21 (Câu 5b_TNPT 2009) Giải phương trình: 2z2 – iz + = tập số phức Bài 22 (ĐHKA_2009) Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình: z2 + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = |z1|2 + |z2|2 Đáp số: A = 20 Bài 23 (ĐHKB_2009) Tìm số phức z thỏa nãm |z-(2+i)|= 10 z z =25 Đáp số: z = 3+4i z = redrose2407@gmail.com Page 29 [...]... nghiệm (là hoán vị của bộ ba số 1, i và –i) VẤN ĐỀ 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Dạng 1: Chuyển một số phức sang dạng lượng giác Phương pháp: Dạng lượng giác có dạng: z = r(cos ϕ + i sin ϕ ) trong đó r > 0 Để chuyển một số phức sang dạng lượng giác ta cần tìm r và ϕ; + Ta có r = |z| a cosϕ = r + ϕ là số thực thoả mãn sin ϕ = b r Ví dụ 28: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: 1) 2i 5)... 2 Ta có: z1 = 2(cos ⇒ z = 2 z1 z2 2 (cos = π π + isin ); z2 = 3 3 π π 2 (cos − ÷ + isin − ÷) 4 4 7π 7π + isin ) 12 12 7π 1 + 3 1− 3 và sin = 12 2 2 Nhận xét: Qua bài tập này ta thấy được một ứng dụng quan trọng của số phức, ta có thể tính sin, cos của một góc bằng công cụ số phức thông qua sự liên hệ giữa dạng đại số và dạng lượng giác của số phức 2π Ví dụ 36: Cho số phức z0 có môđun... Đáp số: redrose2407@gmail.com Page 27 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC a) |z| = 213 + b) |z| = 1 5π 13 ; arg z = 2 6 1 ; arg z = π 29 n +1 c) |z| = 2 cos 5nπ ; arg z = ϕ ∈ {0;π } 3 Bài 17 :Cho hai số phức z1 = 2 + i 2 và z2 = 1+ 3 i a) Tính môđun và argument của hai số phức nói trên z13 b) Tính môđun và argument của z và z2 và 2 z2 3 1 2 c) Từ đó suy ra giá trị chính xác của cos π π và sin 12 12 Đáp số : a) Ta có. .. = 0 Bài 9: Cho hai phương trình sau redrose2407@gmail.com Page 25 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC z4 – 4z3 + 14z2 – 36z + 45 = 0 z4 + z3 + 6 z2 + 4z + 8 = 0 a) Chứng minh rằng phươn trình sau có hai nghiệm thuần ảo b) Hãy giải phương trình (1) và (2) Bài 10: Giải hệ phương trình sau: 1 z1 z2 = 2 z + 2z = 3 1 2 Đáp số: ( 3 −i 3 +i 3 +i 3 −i ) và ( ) ; ; 4 2 4 2 Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng Bài. .. Đáp số: a) 2(cos 7π 7π +isin ) 6 6 redrose2407@gmail.com Page 26 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC π π ÷+ isin − ÷ 17 17 b) cos − c) cos 15π 15π + isin 34 34 d) - Nếu a ∈ (0;2π ) ⇒ sin a a π a π a > 0 ⇒ z2 = 2sin (cos( - ) + i sin ( - )) 2 2 2 2 2 2 - Nếu a = 0 ⇒ không tồn tại số phức dưới dạng lượng giác Bài 13: Cho số phức z = 1+ 3 i Hãy viết dạng lượng giác của số phức z5 Bài 14: Sử dụng dạng. .. minh Ngoài ứng dụng của công thức Moivre vào lượng giác, chúng ta có thể thấy nếu chuyển được một số phức về dạng lượng giác thì có thể tìm căn bậc hai một cách dễ dàng và nhanh chóng Sau đây là một số ứng dụng của dạng lượng giác để tìm căn bậc hai của một số phức và giải phương trình bậc hai Ví dụ 34: Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 (1) Giải: Ta có: (1) ⇔ z4 (z + 1) + z2 (z + 1) + (z... Tóm lại phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm: redrose2407@gmail.com Page 21 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC z = -1; z = 1 3 1 3 1 3 1 3 + i; z = − − i; z = − i; z = − + i 2 2 2 2 2 2 2 2 Ví dụ 35: Cho z1 và z2 là hai số phứ xác định bởi z1 = 1+i 3 và z2 = 1 – i a) Xác định dạng đại số và dạng lượng giác của b) Từ đó suy ra giá trị chính xác của: cos Giải: Ta có z1 ⇒ cos 7π 12 7π 7π và sin 12 12 z1 1 + i 3 1 −... là số thực Giải: π π nπ nπ Ta có: 1 + i 3 = 2 cos + i sin ÷ ⇒ z = 2n cos + i sin ÷ 3 3 3 3 Để z ∈ R ⇒ 2n.sin nπ nπ = 0 ⇒ sin = 0 ⇒ n chia hết cho 3, mà n nguyên dương ∈ [1;10] ⇒ n 3 3 ∈ [3;6;9] C BÀI TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC Các bài tập về dạng đại số của số phức z1 + z2 Bài 1: Chứng minh rằng: Nếu |z1| = |z2 | = 1, z1.z2 ≠ 1 thì A = 1 + z z ∈ R 1 2 HD: Ta có: A = A suy ra A là số thực... 28 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC π π + 2kπ + 2kπ b) zk = cos 2 , k ∈ {0;1} + isin 2 2 2 π π + 2kπ + 2kπ c) zk = cos 4 , k ∈ {0;1} 4 + isin 2 2 4π 4π + 2 kπ + 2 kπ 3 3 + isin d) zk = 2 cos 2 2 ÷ ÷, k ∈ {0;1} ÷ e) z1 = 4-3i; z2 = -4 + 3i Các bài toán về số phức trong đề thi tốt nghiệp và tuyển sinh đại học năm học 2009_2010 Bài 20 (Câu 5a_TNPT 2009) Giải phương trình: 8z2 – 4z + 1 = 0 trên tập số phức. .. hai là: 1+i và -1 –i ⇒ Phương trình có hai nghiệm là: z1 = z2 = redrose2407@gmail.com 3i − 1 + 1 + i = 2i 2 3i − 1 − 1 − i = −1 + i 2 Page 12 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC Nhận xét: Ngoài phương pháp tìm căn bậc hai như ở trên, đối với nhiều bài ta có thể phân tích ∆ thành bình phương của một số phức Chẳng hạn: 2i = i2 + 2i + 1 = (i+ 1)2 từ đó dễ dàng suy ra hai căn bậc hai của 2i là 1 + i và -1 – i Dạng 3: Phương