Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi đại số tuyến tính
ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010Môn học: Đại số tuyến tính.Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.Sinh viên không được sử dụng tài liệu.HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬNCA 2Câu 1 : a/ Cho ma trận A =7 −31 0 −4.a/ Chéo hoá ma trận A.b/ Áp dụng, tìm ma trận B sao cho B20= A.Câu 2 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3−→ IR3, biết ma trận của f trong cơ sởE = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =1 2 02 1 −13 0 2.Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc .Câu 3 : Cho ma trận A =3 2 2−3 −2 −32 2 3. Tìm trò riêng, cơ sở của các không gian con riêng củama trận A6.Câu 4 : Tìm m để vectơ X = ( 2 , 1 , m)Tlà véctơ riêng của ma trận A =−5 3 3−3 1 3−3 3 1.Câu 5 : Tìm m để ma trận A =1 3 −23 m −4−2 −4 6có đúng hai trò riêng dương và một trò riêng âm.Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f là phép quay trong hệ trục toạ độ Oxy quanh gốc tọa độ CÙNG chiềukim đồng hồ một góc 6 0o. Tìm ánh xạ tuyến tính f. Giải thích rõ.Câu 7 : Cho A là ma trận vuông cấp n. Chứng tỏ rằng A khả nghòch khi và chỉ khi λ = 0 KHÔNG làtrò riêng của A.Khi A khả nghòch chứng tỏ rằng nếu λ là trò riêng của A, thì1λlà trò riêng của A−1.Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 2Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm.Câu 1(1.5đ). Chéo hóa ma trận ( 0.5đ) A = P DP−1; P =3 15 2. D =2 00 1.Ta có A = P · D · P−1. Giả sử B = Q · D1· Q−1, ta có B20= Q · D201· Q−1= A. Chọn Q = P vàD1=20√2 0020√1. Vậy ma trận B = P · D1· P−1Câu 2 (1.5đ). Có nhiều cách làm. Gọi ma trận chuyển cơ sở từ E sang chính tắc làP. Khi đó matrận chuyển cơ sở từ chính tắc sang E là : P−1=1 1 12 1 11 2 1Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong1 cơ sở chính tắc là B = P−1AP=−6 5 2−9 6 4−1 2 8 4Câu 3 (1.5đ). Giả sử λ0là trò riêng của A ⇔ ∃x0: A · x0= λ0· x0. Khi đóA6· x0= A5· A· x0= A5· λ0· x0= λ0· A5· x0= · · · = λ60· x0.Lập ptrình đặc trưng, tìm được TR của A: λ1= 1 , λ2= 2 ,Cơ sở của Eλ1: {( −1 , 1 , 0 )T, ( −1 , 0 , 1 )T}, của Eλ2: {( 2 ,−3 , 2 )T}.TR của A6: δ1= 16, δ2= 26, Cơ sở của: Eδ1: {( −1 , 1 , 0 )T, ( −1 , 0 , 1 )T}, của Eδ2: {( 2 ,−3 , 2 )T}.Câu 4 (1.5đ). x là VTR của A ⇔ A · x = λ · x ⇔−5 3 3−3 1 3−3 3 121m= λ ·21m⇔ m = 1Câu 5 (1.5đ). Ma trận đối xứng thực. Dạng toàn phương tương ứng f( x, x) = x21+ mx22+ 6 x23+6 x1x2− 4 x1x3− 8 x2x3. Đưa về chính tắc bằng biến đổi Lagrange f( x, x) = ( x1+ 3 x2− 2 x3)2+2 ( x3+ x2)2+ ( m − 1 1 ) x23. Ma trận A có một TR dương, 1 TR âm ⇔ m < 1 1 .Câu 6 (1.5đ). f : IR2−→ IR2. f được xác đònh hoàn toàn nếu biết ảnh của một cơ sở của IR2.Chọn cơ sở chính tắc E = {( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) }.Khi đó f( 1 , 0 ) = (12,−√32) ,f( 0 , 1 ) = (√32,12) . f( x, y) = (x2+y√32,−x√32+y2)Câu 7 (1.0đ). A khả nghòch ⇔ det( A) = 0 ⇔ λ = 0 không là TR của A. Giả sử λ0là TR của A⇔ ∃x0: A · x0= λ0· x0⇔ A−1· A · x0= A−1· λ0· x0⇔ A−1· x0=1λ0· x0(vì λ0= 0 ) → đpcm.2 . x, x) = x21+ mx 22+ 6 x23+6 x1x2− 4 x1x3− 8 x2x3. Đưa về chính tắc bằng biến đổi Lagrange f( x, x) = ( x1+ 3 x2− 2 x3 )2+ 2 ( x3+ x2 )2+ ( m − 1 1 ) x23. Ma. của A, thì1λlà trò riêng của A−1.Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 20 09 -20 10, ca 2Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm.Câu 1(1.5đ).