Đang tải... (xem toàn văn)
Giải tích có thể đề cập đến:Giải tích toán học, còn gọi đơn giản là giải tích; Giải tích hàm; Giải tích phức; Giải tích số;Giải tích thực; Hình học giải tích
PDF by http://www.ebook.edu.vn 74Chương 4 TÍCH PHÂN 1. NGUYÊN HÀM Tất cả các hàm số khảo sát trong phần này đều được giả đònh là xác đònh và liên tục trên một khoảng. Khi f là một hàm số sơ cấp, nó có đạo hàm và ta có thể tính đạo hàm f′ của f bằng các công thức tường minh (đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương hay hợp của hai hàm có đạo hàm). Thao tác này được gọi là “phép tính vi phân” và nếu đão hàm của một hàm số tồn tại, nó duy nhất. Bây giờ, ta xét thao tác ngược lại : từ một hàm số f cho trước, tìm tất cả các hàm F sao cho F f′= . Thao tác này được gọi là “phép tính tích phân” hay cụ thể hơn, “phép tính nguyên hàm”. 1.1. Đònh nghóa. Cho I là một khoảng mở của , f và F là hai hàm số xác đònh trên I. Ta nói F là một nguyên hàm của f trên I nếu x I∀∈, () ()Fx fx′= , nghóa là F có đạo hàm là f trên I. 1.2. Mệnh đề. Nếu F là một nguyên hàm của f trên I thì tập hợp P các nguyên hàm của f trên I là () (){ }G:I x I,G x F x C,C hằng số =→∀∈ =+=P. Chứng minh. G∀∈P, GFf′′== cho thấy G là một nguyên hàm của f. Ngược lại, cho G là một nguyên hàm của f. Do GfF′′== nên GF0′′−= và do đó GFC hằng số−==. ª Ký hiệu : Ký hiệu f(x)dx∫ được dùng để chỉ một nguyên hàm bất kỳ của f (gọi là tích phân bất đònh của f), nghóa là một phần tử bất kỳ P. Vì vậy, nếu F là một nguyên hàm của f, ta viết ()f(x)dx F x C=+∫. Ví dụ 1. i) Cho ()2Fx lnx x 1⎛⎞=++⎜⎟⎝⎠. Ta có ()22xx12221xx11Fxx x1 x x1 x1+′⎛⎞+++⎜⎟⎝⎠′===++ ++ +. Do đó, 22dxln x x 1 Cx1⎛⎞=+++⎜⎟⎝⎠+∫, C ∈ . PDF by http://www.ebook.edu.vn 75ii) Từ đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản, ta có a) 1x1Ckhi 1xdxln x C khi 1α+αα+⎧+α≠−⎪=⎨⎪+α=−⎩∫. b) xxedx e C=+∫. c) sin xdx cos x C=− +∫. d) cos xdx sin x C=+∫. e) ()22dx1tanxdx tanxCcos x=+ = +∫∫. f) 2dxarcsin x C arccos x C1x=+=−+−∫. g) 2dxarctan x C1x=++∫.Do đònh nghóa, nếu () ()fxdx Fx C=+∫ và () ()gxdx Gx C=+∫, thì () () () () () ()aF x bG x aF x bG x af x bg x⎡⎤′′+=+=+⎣⎦ và do đó 1.3. Mệnh đề. () ()()() ()afx bgx dx a fxdx b gxdx+= +∫∫∫, với mọi a, b∈. Ví dụ 2. ()231 3 1323xdx 2x 3x dx 2 x dx 3 x dxx−− − −−=− = −∫∫ ∫∫ 43x123lnxC 3lnxC42x−=− +=−− +−.Cho u là một hàm có đạo hàm trên một khoảng I và f là một hàm xác đònh trên một khoảng ()JuI⊃. Nếu () ()fxdx Fx C=+∫, nghóa là () ()Fx fx′= , thì ()()()()() ()()()Fux F ux u x f ux u x′⎡⎤′′ ′==⎣⎦. Vì vậy, ta được PDF by http://www.ebook.edu.vn 761.4. Đònh lý (công thức đổi biến). ()()() ()()fux uxdx Fux C′=+∫.Bằng cách viết ()uux≡ , ()du u x dx′≡ , đẳng thức (1) trở thành ()()() () () ()()fux uxdx fudu Fu C Fux C′==+≡+∫∫. Ví dụ 3. Với ()ux cosx= , ()du u x dx sin xdx′==−, sin xdx dutan xdx ln u C ln cos x Ccos x u==−=−+=−+∫∫ ∫. Đặc biệt, với ()ux ax b=+; du adx=, ta được 1.5. Hệ quả. () ()1fax bdx fudua+=∫∫. Ví dụ 4. i) Với ()ux 3x 2=+; du 3dx=, dx 1 du 1 1ln u C ln 3x 2 C3x 2 3 u 3 3==+= +++∫ ∫. ii) Với ()ux xlna= ; ()du ln a dx= , xlnaxxlna u u11eadx e dx edu e C Cln a ln a ln a== =+=+∫∫ ∫. iii) Bằng cách viết ()()2222x 134x 4x 10 2x 1 9 9 1+⎡ ⎤++= + += +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦, và với ()2x 13ux+=; 23du dx=, ta có ()2222x 13dx 1 dx 1 du 1arctan u C9664x 4x 10 1 u1+===+++ ++∫∫∫ ()2x 131arctan C6+=+.Cho u, v là hai hàm có đạo hàm tr ên một khoảng I. Do () () () () () ()uxvx u xvx uxv x′⎡⎤′′=+⎣⎦, ta suy ra () () () () () ()u xvx uxv x dx uxvx C⎡⎤′′+=+⎣⎦∫, và ta được PDF by http://www.ebook.edu.vn 771.6. Đònh lý (công thức tích phân từng phần). () () () () () ()uxv xdx uxvx vxu xdx′′=−∫∫.Với các ký hiệu ()du u x dx′=; ()dv v x dx′=, công thức (2) được viết lại thành udv uv vdu=−∫ ∫. Ví dụ 5. Với u arctan x= ; dv dx=, ta có 2dx1xdu+= và vx=. Do đó, 2arctan xdx udv uv vduxdxxarctanx1x==−=−+∫∫∫∫ Với 2t1x=+; dt 2xdx=, ta có ()22xdx 1 dt 1 1ln t C ln 1 x C2t 2 21x==+=+++∫∫. Vì vậy, ()21arctan xdx x arctan x ln 1 x C2=−++∫.2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Trong phần này, mọi hàm số khảo sát đều được giả đònh là liên tục và nếu có đạo hàm thì đạo hàm của nó cũng là hàm liên tục. Ta sẽ tìm cách tính “diện tích” phần mặt phẳng nằm dưới đồ thò C một hàm số f0≥, ký hiệu baf(x)dx∫ và đọc là “tích phân từ a đến b của f (x)dx ”. Cho f là một hàm số xác đònh trên a, b⎡ ⎤⎣ ⎦ và ()01 nd x , x , ., x=, 01 na x x . x b=<<<=, là một phân hoạch bất kỳ của a, b⎡⎤⎣⎦ và ()01 n1T t ,t , .,t−= là một họ gồm n điểm của a, b⎡ ⎤⎣ ⎦ sao cho iii1tx,x+⎡⎤∈⎣⎦, với i 0,1, .,n 1=−. Tổng, ký hiệu ()dST, xác đònh bởi () ( )( ) ( )( ) ( )( )()( )d010121 ii1in1 n n1S T ft x x ft x x . ft x x . f t x x+−−=−+−++ −+++ − nghóa là () ( )( )n1dii1ii0ST ft x x−+==−∑ PDF by http://www.ebook.edu.vn 78được gọi là một tổng Riemann của hàm f tương ứng với d và T. Tổng ()dST này chính là tổng diện tích các hình chữ nhật gạch chéo trong hình sau Ta đònh nghóa bước của phân hoạch d, ký hiệu d , bởi biểu thức i1 ii 0, .,n 1dmaxxx+=−=−. Gọi S là giới hạn của các tổng Riemann ()dS T khi bước d tiến về 0, nghóa là ứng với mỗi 0ε>, ta tìm được 0δ>, sao cho với mọi phân hoạch ()01 nd x , x , ., x= của a, b⎡⎤⎣⎦ và với mọi ()01 n1T t ,t , ., t−= sao cho iii1tx,x+⎡⎤∈⎣⎦, nếu d<δ, thì ()dST S−<ε. Khi S tồn tại, ta viết ()dd0SlimST→=. 2.1. Đònh nghóa. Khi giới hạn S tồn tại (nghóa là S∈), ta nói f là hàm Riemann-khả tích trên a, b⎡⎤⎣⎦. Khi đó, ta viết ()baSfxdx=∫ và giá trò này được gọi là tích phân xác đònh của f trên a, b⎡ ⎤⎣ ⎦. Ta gọi a và b là các cận tích phân và x là biến giả. Đặt ()aafxdx 0=∫ và () ()abbafxdx fxdx=−∫∫. 2.2. Mệnh đề. Các hàm số sau thì Riemann-khả tích trên a, b⎡⎤⎣⎦ : - các hàm liên tục trên a, b⎡ ⎤⎣ ⎦; - các hàm liên tục từng khúc trên a, b⎡ ⎤⎣ ⎦, nghóa là các hàm bò chận và liên tục trên a, b⎡⎤⎣⎦ ngoại trừ tại một số hữu hạn các điểm bất liên tục loại một (các điểm bất liên tục với bước nhảy hữu hạn) Ta chấp nhận kết quả này. 2.3. Mệnh đề. Cho f và g là hai hàm Riemann-khả tích trên a, b⎡⎤⎣⎦. Ta có PDF by http://www.ebook.edu.vn 79i) Tính tuyến tính : Với hai số thực a và b bất kỳ, nếu α và β là hai hằng số (độc lập với biến giả x) thì () () () ()bbbaaaf x g x dx f x dx g x dx⎡⎤α+β =α +β⎣⎦∫∫∫ ii) Hệ thức Chasles : Với ba số thực bất kỳ a, b, c, ta có () () ()bcbaacfxdx fxdx fxdx=+∫∫∫ iii) a) Nếu ab< và xa,b⎡⎤∀∈⎣⎦, ()fx 0≥ thì ()bafxdx 0≥∫. b) Nếu ab< và xa,b⎡⎤∀∈⎣⎦, () ()fx gx≤ thì () ()bbaafxdx gxdx≤∫∫ iv) Công thức trung bình : Nếu xa,b⎡ ⎤∀∈⎣ ⎦, ()gx 0≥ thì tồn tại Γ sao cho () () ()bbaafxgxdx gxdx=Γ⋅∫∫ với mM≤Γ≤, trong đó ()xa,bmminfx⎡⎤∈⎣⎦= và ()xa,bMmaxfx⎡⎤∈⎣⎦=. Đặc biệt, với ()gx 1=, xa,b⎡⎤∀∈⎣⎦, ta có () ( )bafxdx b a=Γ⋅ −∫, mM≤Γ≤. Cuối cùng, nếu f liên tục trên a, b⎡ ⎤⎣ ⎦ thì tồn tại 0xa,b⎡⎤∈⎣⎦ sao cho ()0fx=Γ và ta được () ( )( )b0afxdx fx b a=⋅−∫, 0xa,b⎡ ⎤∈⎣ ⎦. Chứng minh. Ta chấp nhận i) và ii). iii) a) Với mọi phân hoạch ()01 nd x , x , ., x= của a, b⎡⎤⎣⎦ và ()01 n1T t ,t , .,t−= là họ gồm n điểm của a, b⎡ ⎤⎣ ⎦ sao cho iii1tx,x+⎡⎤∈⎣⎦, với i 0,1, .,n 1=−, ta có ()ift 0≥ và i1 ixx0+−≥ nên ()( )ii1ift x x 0+−≥, với mọi i 0,1, .,n 1=−. Vì vậy () ( )( )n1dii1ii0ST ft x x 0−+==−≥∑ và PDF by http://www.ebook.edu.vn 80() ()bdad0f x dx lim S T 0→=≥∫. b) Suy ra từ 1 và 3.a do () ()gx fx 0−≥, xa,b⎡ ⎤∀∈⎣ ⎦. iv) Vì x a, b⎡ ⎤∀∈⎣ ⎦, ()mfx M≤≤ nên () () () ()mgxfxgxMgx≤≤. Từ iii) b) và i), ta có () () () ()bb baa am gxdx f xgxdx M gxdx⋅≤ ≤⋅∫∫ ∫ Nếu ()bagxdx 0>∫ thì ()()()babafxgxdxgxdxmM∫≤≤∫ và khi đó ()()()babafxgxdxgxdx∫=Γ∫ chính là giá trò cần tìm. Nếu ()bagxdx 0=∫ thì () ()bafxgxdx 0=∫, và khi đó công thức trung bình vẫn thỏa. Khi ()gx 1=, x a, b⎡⎤∀∈⎣⎦, ta có ý nghóa hình học của công thức trung bình là : tồn tại Γ sao cho () ( )()bagxdx b a Diện tích hình chữ nhật đáy b a ,chiều cao (hình chữ nhật ABCD trong hình)=Γ⋅ −=−Γ∫ Nếu f liên tục trên a, b⎡⎤⎣⎦, thì ()fa,b m,M⎡ ⎤⎡ ⎤=⎣ ⎦⎣ ⎦ và do đó m,M⎡ ⎤∀Γ ∈⎣ ⎦, 0xa,b⎡⎤∃∈⎣⎦ sao cho ()0fx=Γ.2.4. Hệ quả : Nếu ab≤ thì () ()bbaafxdx fxdx≤∫∫. Chứng minh. Áp dụng iii), b), mệnh đề 2.3 vào bất đẳng thức PDF by http://www.ebook.edu.vn 81 xa,b⎡⎤∀∈⎣⎦, () () ()fx fx fx−≤≤.Cho f là hàm liên tục trên a, b⎡ ⎤⎣ ⎦. Ứng với mỗi x a, b⎡ ⎤∈⎣ ⎦, f là hàm liên tục nên khả tích trên a, x⎡⎤⎣⎦, nên ta xác đònh được hàm số F như sau ()xaF: a,bxftdt⎡⎤→⎣⎦∫a trong đó cận x của tích phân chính là biến số của hàm F và t là biến giả trong tích phân xác đònh. 2.5. Đònh lý. Cho f là hàm liên tục trên a, b⎡ ⎤⎣ ⎦. Ta có hàm số () ()xaxFx ftdt=∫a có đạo hàm liên tục trên a, b⎡ ⎤⎣ ⎦ và Ff′=, nghóa là F chính là một nguyên hàm của f trên a, b⎡ ⎤⎣ ⎦. Chứng minh . Do f là hàm liên tục trên khoảng đóng và bò chận a, b⎡⎤⎣⎦ nên nó bò chận trên a, b⎡ ⎤⎣ ⎦, nghóa là M∃∈ sao cho xa,b⎡ ⎤∀∈⎣ ⎦, ()fx M≤ . Với x và h sao cho x a, b⎡⎤∈⎣⎦ và x h a, b⎡ ⎤+∈⎣ ⎦, ta có ()() () ()xh xhxx0 Fx h Fx ftdt ftdt++≤+− = ≤∫∫ và ()() ()xhx0Fxh Fx ftdtMh+≤+− ≤ ≤⋅∫. ()()0Fxh Fx Mh 0≤+− ≤⋅→, khi h0→, và do đó ()()h0lim F x h F x→+= , nghóa là F liên tục tại điểm x. Ta sẽ chứng minh () ()Fx fx′=. Thật vậy, do f liên tục tại x, nghóa là 0∀ε >, 0∃η > , sao cho () ( )tx ft fx−<η⇒ −<ε. Với 0ε> và h sao cho h <η, ta có ()()() () ( )() ( )xhxxhxFx h Fx1fx ftdt hfxhh1ft fx dth+++−⎡ ⎤−= −⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎡⎤=−⎢ ⎥⎣⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫ PDF by http://www.ebook.edu.vn 82()()() () ( )xhxFx h Fx1fx ft fxdthh++−−≤ −∫. Do t x,x h⎡⎤∈+⎣⎦, nên () ( )htxftfx<η⇒ −<η⇒ −<ε, và do đó () ( )xh xhxxf t f x dt dt h++−≤ε=⋅ε∫∫ Suy ra ()()()Fx h Fxfxh+−−≤ε nếu h <η nghóa là ()()()()0Fx h FxF x lim f xhε→+−′==.2.6. Đònh lý. Nếu F là một nguyên hàm của f trên a, b⎡ ⎤⎣ ⎦ thì () () ()bafxdx Fb Fa=−∫. Chứng minh. Do f liên tục trên a, b⎡ ⎤⎣ ⎦, mệnh đề 2.5 cho thấy hàm số () ()xaF: a,bxFxftdt⎡⎤→⎣⎦=∫a là một nguyên hàm của f trên a, b⎡ ⎤⎣ ⎦. Hơn nữa () ()baFb ftdt=∫ và () ()aaFa f tdt=∫. Mặt khác, do mệnh đề 1.2, với G là một nguyên hàm khác của f trên a, b⎡⎤⎣⎦, ta có () ()Gx Fx hằng số=+ và do đó () () () () ()baftdt Fb Fa Gb Ga=−=−∫.Ký hiệu : () () ( ) ( )bbaaftdt Ft Fb Fa⎡⎤==−⎣⎦∫. Cho I và J là hai khoảng của , F, f, u là ba hàm số với uFJI⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→ sao cho F là một nguyên hàm của f, f liên tục trên I, u có đạo hàm liên tục trên J. Ta có ( )() ( )() () ( )() ()tJ,Fut Futut futut′′′ ′∀∈ = ⋅ = ⋅oo o PDF by http://www.ebook.edu.vn 83Điều này cho thấy Fuo là một nguyên hàm của ()fuu′⋅o trên J khi F là một nguyên hàm của f trên I. Do mệnh đề 2.6, ta suy ra ( )() () () ( )() ()()bafututdt Fu FuFb Fafxdxβα′⋅=β −α=−=∫∫ooo trong đó , Jαβ ∈ , ()ubβ = et ()uaα= . Ta được 2.7. Mệnh đề (công thức đổi biến). ()()() ()()()uufututdt fxdxββαα′⋅=∫∫o. Với công thức này, ta nói rằng đã thực hiện việc đổi biến ()xut= trong tích phân ()bafxdx∫. Từ công thức lấy đạo hàm hàm tích fg⋅ các hàm có đạo hàm trên khoảng I, xI∀∈, () ()()() () () ()fxgx f xgx fxg x′′′=+. Với aI∈, bI∈, mệnh đề 2.6 cho ta : () () () ()() () () ()bbaabbaafxgx dx fxgxfxgxdx fxgxdx′⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦′′=+∫∫∫ và ta được 2.8. Đònh lý (công thức tích phần từng phần). () () () () () ()bbbaaa(1) (2)f x g x dx f x g x f x g x dx⎡⎤′′=−⎣⎦∫∫14442 4 4 4314442 4 4 43 Công thức trên cho phép ta tính tích phân (1) khi ta biết tích phân (2) và khi biết một nguyên hàm của hàm ký hiệu ()gx′. 3. TÍCH PHÂN SUY RỘNG Trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân tăng ra vô cực trên miền lấy tích phân (chẳng hạn như 1dtt0∫, với 1t→+∞, khi t0+→), hoặc trong trường [...]... dx ⎡⎤ ′′ =− ⎣⎦ ∫∫ 144 42 4 4 43 144 42 4 4 43 Công thức trên cho phép ta tính tích phân (1) khi ta biết tích phân (2) và khi biết một nguyên hàm của hàm ký hiệu () gx ′ . 3. TÍCH PHÂN SUY RỘNG Trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân tăng ra vô cực trên miền lấy tích phân (chẳng hạn như 1 dt t 0 ∫ , với 1 t →+∞ , khi t0 + → ), hoặc trong trường PDF by http://www.ebook.edu.vn 76 1 .4. Định lý (công... dụ 4 . i) Với () ux 3x 2=+; du 3dx= , dx 1 du 1 1 ln u C ln 3x 2 C 3x 2 3 u 3 3 ==+= ++ + ∫ ∫ . ii) Với () ux xlna= ; () du ln a dx= , xlna xxlna u u 11e adx e dx edu e C C ln a ln a ln a == =+=+ ∫∫ ∫ . iii) Bằng cách viết () ( ) 2 2 2 2x 1 3 4x 4x 10 2x 1 9 9 1 + ⎡ ⎤ ++= + += + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , vaø với () 2x 1 3 ux + = ; 2 3 du dx= , ta có ( ) 222 2x 1 3 dx 1 dx 1 du 1 arctan u C 966 4x 4x... tại (nghóa là S ∈ ), ta nói f là hàm Riemann-khả tích trên a, b ⎡⎤ ⎣⎦ . Khi đó, ta viết () b a Sfxdx = ∫ và giá trị này được gọi là tích phân xác định của f trên a, b ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ . Ta gọi a và b là các cận tích phân và x là biến giả . Đặt () a a fxdx 0 = ∫ và () () ab ba fxdx fxdx =− ∫∫ . 2.2. Mệnh đề. Các hàm số sau thì Riemann-khả tích trên a, b ⎡⎤ ⎣⎦ : - các hàm liên tục trên a,... lim ftdt + → = ∫∫ và nói rằng f khả tích ở a khi giới hạn trên tồn tại. Cuối cùng khi f liên tục trên () a, b nhưng không liên tục tại cả a lẫn b, ta khảo sát tính khả tích của f tại a và tại b độc lập với nhau. Tương tự như trong trường hợp miền lấy tích phân không bị chận, khi hàm f liên tục trên ) a, b ⎡ ⎣ , không bị chận tại b, ta khảo sát tính khả tích của f tại b bằng cách khảo sát sự... t dt − → ∫ . Giống trường hợp tích phân suy rộng với miền lấy tích phân không bị chận, khi ta có một nguyên hàm tường minh F cho hàm số f, bài toán trở thành việc khảo sát giới hạn () xb lim F x − → do () ( ) ( ) x a ftdt Fx Fa=− ∫ , trường hợp ta không có một nguyên hàm tường minh cho f, ta cũng nhận được các điều kiện đủ cho tính khả tích của f tại b như sau 3 .4. Mệnh đề. Cho f là hàm... 2 1x ==+=++ + ∫∫ . Vì vậy, ( ) 2 1 arctan xdx x arctan x ln 1 x C 2 =−++ ∫ . 2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Trong phần này, mọi hàm số khảo sát đều được giả định là liên tục và nếu có đạo hàm thì đạo hàm của nó cũng là hàm liên tục. Ta sẽ tìm cách tính “diện tích phần mặt phẳng nằm dưới đồ thị C một hàm số f0≥ , ký hiệu b a f(x)dx ∫ và đọc là tích phân từ a đến b của f (x)dx ”. Cho f là một hàm số xác định trên... hiện việc đổi biến () xut= trong tích phân () b a fxdx ∫ . Từ công thức lấy đạo hàm hàm tích fg⋅ các hàm có đạo hàm trên khoảng I, xI∀∈, () () () () () () () fxgx f xgx fxg x ′ ′′ =+ . Với aI∈ , bI∈ , mệnh đề 2.6 cho ta : () () () () () () () () b b a a bb aa fxgx dx fxgx fxgxdx fxgxdx ′ ⎡⎤⎡⎤ = ⎣⎦⎣⎦ ′′ =+ ∫ ∫∫ và ta được 2.8. Định lý (công thức tích phần từng phần). () () () ()... ) 1 aa,b ⎡ ∈ ⎣ , các tích phân () b a ftdt ∫ và () 1 b a ftdt ∫ có cùng bản chất và khi chúng cùng tồn tại thì PDF by http://www.ebook.edu.vn 88 () () () 1 1 ba b aa a ftdt ftdt ftdt=+ ∫∫ ∫ . Chứng minh. Do ) xa,b ⎡ ∀∈ ⎣ , () () () 1 1 xa x aa a ftdt ftdt ftdt=+ ∫∫ ∫ nên mệnh đề được chứng minh bằng cách lấy giới hạn đẳng thức trên khi xb→ . ª Ý nghóa : Tính khả tích của tích phân suy rộng... fx fx −≤≤ . Cho f là hàm liên tục trên a, b ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ . Ứng với mỗi x a, b ⎡ ⎤ ∈ ⎣ ⎦ , f là hàm liên tục nên khả tích trên a, x ⎡⎤ ⎣⎦ , nên ta xác định được hàm số F như sau () x a F: a,b xftdt ⎡⎤ → ⎣⎦ ∫ a trong đó cận x của tích phân chính là biến số của hàm F và t là biến giả trong tích phân xác định. 2.5. Định lý. Cho f là hàm liên tục trên a, b ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ . Ta có hàm số () () x a xFx ftdt= ∫ a ... hình học của công thức trung bình là : tồn tại Γ sao cho () ( ) () b a gxdx b a Diện tích hình chữ nhật đáy b a , chiều cao (hình chữ nhật ABCD trong hình) =Γ⋅ − =− Γ ∫ Nếu f liên tục trên a, b ⎡⎤ ⎣⎦ , thì () fa,b m,M ⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⎣ ⎦⎣ ⎦ và do đó m,M ⎡ ⎤ ∀Γ ∈ ⎣ ⎦ , 0 xa,b ⎡⎤ ∃∈ ⎣⎦ sao cho () 0 fx =Γ . 2 .4. Hệ quả : Nếu ab≤ thì () () bb aa fxdx fxdx ≤ ∫∫ . Chứng minh. Áp dụng iii), b), . thức tích phần từng phần). () () () () () ()bbbaaa(1) (2)f x g x dx f x g x f x g x dx⎡⎤′′=−⎣⎦∫∫ 144 42 4 4 43 144 42 4 4 43 Công thức trên cho phép ta tính tích. viết ()()2222x 134x 4x 10 2x 1 9 9 1+⎡ ⎤++= + += +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦, và với ()2x 13ux+=; 23du dx=, ta có ()2222x 13dx 1 dx 1 du 1arctan u C9664x 4x 10 1 u1+===+++