Đang tải... (xem toàn văn)
Giải tích có thể đề cập đến:Giải tích toán học, còn gọi đơn giản là giải tích; Giải tích hàm; Giải tích phức; Giải tích số;Giải tích thực; Hình học giải tích
PDF by http://www.ebook.edu.vn 18Chương 2 DÃY VÀ CHUỖI SỐ Dãy số là hàm số có miền xác đònh là tập các số nguyên tự nhiên. Người ta thường dùng dãy số làm mô hình cho các hiện tượng rời rạc. Chẳng hạn khi người ta đo đạc các đại lượng tại những thời điểm cách đều nhau như sản lượng hàng năm, chỉ số giá tiêu dùng hàng tháng, kết toán năm . 1. KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT 1.1. Đònh nghóa. Dãy số là một ánh xạ từ vào liên kết mỗi ∈ n với ∈ nu; ký hiệu ()Φ→Φ≡an:nnu Khi khảo sát dãy số, người ta thường thay ()Φan n bằng ký hiệu annu, trong đó biến ∈ n được gọi là chỉ số. Dãy số còn được ký hiệu bởi ()∈nnu, ()nnu, ()nu, annu hay 1u, 2u, . trong đó nu được gọi là số hạng thứ n của dãy ()nu và 1u là số hạng đầu. Ví dụ 1. i) Dãy ()nu xác đònh bởi =nua, ∈n, trong đó a là một hằng số (nghóa là nu không phụ thuộc vào n). Loại dãy này còn được gọi là dãy hằng. ii) Dãy ()nu xác đònh bởi =nun, ∈ n. iii) Dãy ()nu xác đònh bởi =n1un, ∈ n. iv) Dãy ()nu xác đònh bởi ()=−nnu1, ∈ n. v) Dãy ()nu xác đònh bởi ()=+n1nnu1 , ∈ n. vi) Dãy ()nu xác đònh bởi ()+=+n11nnu1 , ∈ n. vii) Dãy ()nu cho bởi =1u1, =+2u11, =++3u111, . . Ta nói ()nu xác đònh bằng quy nạp theo n : =1u1 và với mọi ∈n, +=+n1 nu1u. PDF by http://www.ebook.edu.vn 19viii) Dãy ()nu xác đònh bằng quy nạp theo n : =1u2 và với mọi ∈n, +⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠n3n1 nu1uu2. ix) Lãi kép : Một lượng vốn C đầu tư với lãi suất i trong n năm với tiền lời được nhập vào vốn mỗi cuối năm. Giá trò của lượng vốn này vào cuối năm thứ nhất được ký hiệu là 1x, cuối năm thứ hai là 2x, ., cuối năm thứ n là nx. Ta có ()=+1xC1i; ()=+22xC1i; . ()−−=+n1n1xC1i; ()()−=+=+nnn1xx 1iC1i. và như vậy, ta nhận được dãy số ()nx với ()=+nnxC1i. x) Lãi liên tục : Với 1 đồng vốn đầu tư, xét trường hợp chu kỳ tính lãi nhập vào vốn giảm dần với lãi suất năm 7%, nửa năm 72%, quý 74%, tháng 712%, tuần 752%, ngày 7365% . và đặt 1y, 2y, 4y, 12y, 52y, 365y giá trò vốn thu được vào cuối năm, ta có =+ =1y 1 0,07 1,07; ()=+ =20,0722y 1 1,071225; ()=+ ≈40,0744y 1 1,071859; ()=+ ≈120,071212y 1 1,072290; ()=+ ≈520,075252y 1 1,072458; ()=+ ≈3650,07365365y 1 1,072501. Tổng quát, khi một năm được chia thành n chu kỳ đều nhau với lãi suất trên mỗi chu kỳ là 7n% và tiền lời được nhập vào vốn sau từng chu kỳ thì giá trò vốn nhận được cuối năm là ()=+n0,07nny1. PDF by http://www.ebook.edu.vn 20Ta nhận được dãy số ()ny. 1.2. Đònh nghóa. i) Dãy số ()nu được gọi là tăng khi ∀∈n, +≤nn1uu và được gọi là tăng ngặt khi ∀∈n, +<nn1uu. Dãy số ()nu được gọi là giảm khi ∀∈n, +≤n1 nuu và được gọi là giảm ngặt khi ∀∈n, +<n1 nuu. Một dãy là tăng hay là dãy giảm được gọi là một dãy đơn điệu. Tương tự, một dãy là tăng ngặt hay là dãy giảm ngặt được gọi là dãy đơn điệu ngặt. ii) Dãy số ()nu được gọi là bò chận trên khi ∃∈A, ∀∈n, ≤nuA, nghóa là tồn tại số thực A lớn hơn mọi nu. Ta nói A là một chận trên của dãy số ()nu. Dãy số ()nu được gọi là bò chận dưới khi ∃∈B, ∀∈n, ≥nuB. Ta nói B là một chận dưới của ()nu. Dãy số ()nu được gọi là bò chận khi nó vừa bò chận trên, vừa bò chận dưới. Chẳng hạn, với số thực >b0 bất kỳ, dãy số =nunb, với ∈n là một dãy tăng ngặt vì với mọi ∈n, ()+=+ > =n1 nu n 1 b nb u , bò chận dưới bởi 0 vì >nu0, với mọi ∈n. Tuy nhiên, nó không bò chận trên. Để chứng minh điều này, ta dùng phép chứng minh phản chứng. Giả sử ()nu bò chận trên với một chận trên là M. Xét các tập con của , { }=∈nA u n và { }=∈∀∈ ≤nBM n ,u M. Dễ thấy rằng chúng là các tập con không rỗng của và ∀∈ ∈ ≤xA,yB,xy. Do tiền đề đầy đủ của , tồn tại số thực α∈ sao cho ∀∈ ∈ ≤α≤xA,yB,x y. Điều này cho thấy ()+= + ≤αnb b n 1 b , với mọi ∈ n, và do đó ≤α−nb b, với mọi ∈n. Điều này cho thấy α− ∈bB. Vô lý vì α− <αb. PDF by http://www.ebook.edu.vn 21Do dãy ()∈nnb không là dãy bò chận, nghóa là mọi số thực ∈a đều không là một chận trên của nó, ta được kết quả quan trọng sau 1.3. Đònh lý Archimède. Cho >b0. Ta có ∀∈ ∃∈ >a,n,nab. Đặc biệt, bằng cách lấy =∈ax bất kỳ, =>b10 và lấy =a1, =ε>b0 bất kỳ, ta được 1.4. Hệ quả. i) ∀∈ ∃∈ >x,n,nx; ii) ∀ε > ∃ ∈ < ε10, n ,n. Ví dụ 2. Dãy số ()nu, xác đònh bởi =1nnu, là dãy giảm ngặt và là dãy bò chận, với 0 là một chận dưới và 1 là một chận trên. Dãy ()nu, xác đònh bởi ()=−nnu 1 , không là dãy đơn điệu nhưng là dãy bò chận với một chận dưới là −1 và một chận trên là 1. 2. DÃY HỘI TỤ 2.1. Đònh nghóa. Dãy số ()nu được gọi là hội tụ khi tồn tại số thực a sao cho khoảng cách giữa nu và a đủ nhỏ khi số nguyên n đủ lớn. Chẳng hạn, với dãy số =1nnu, bằng cách dùng đònh lý Archimède, ta chứng minh được rằng khoảng cách giữa nu và số 0, −=1nnu0, sẽ đủ nhỏ khi n đủ lớn. Do vậy, ()nu là dãy hội tụ. Chính xác hơn, ()nu là dãy hội tụ khi ∃∈ ∀ε> ∃ ∈ ∀ ≥ − <ε00na, 0,n ,nn,ua.Điều này có nghóa là với mỗi ε dương (đủ nhỏ), ta tìm được một số nguyên tự nhiên 0n (có thể thay đổi theo từng ε), sao cho với mọi số nguyên n, nếu ≥0nn thì −<εnu a . Bấy giờ, ta viết →+∞=nnlim u a hay [→nua khi →+∞n] Ta còn nói rằng dãy ()nu hội tụ về a và a được gọi là giới hạn của dãy ()nu. Xuất phát từ nhận xét rằng PDF by http://www.ebook.edu.vn 22i) Nếu ()nu là dãy hội tụ với giới hạn u thì dãy ()na, xác đònh bởi =−nnauu, cũng là dãy hội tụ và có giới hạn là 0. ii) Nếu ()na và ()nb là các dãy hội tụ với cùng giới hạn là 0 thì các dãy ()nu, ()nv, ()nw, xác đònh bởi =+nnnuab, =αnnva (α∈ cố đònh), =⋅nnnwab, cũng là các dãy ho65u tụ về 0. iii) Nếu ()na là dãy hội tụ về 0 và ≤nnba, với mọi ∈ n, thì dãy ()nb cũng hội tụ về 0. ta suy ra kết quả sau 2.2. Mệnh đề. Nếu →+∞=nnlim u u và →+∞=nnlim v v thì i) ()→+∞+=+nnnlim u v u v, ii) ()→+∞α=αnnlim u u, với mọi α∈, iii) ()→+∞⋅=⋅nnnlim u v u v. iv) Hơn nữa, nếu ≠v0 và ≠nv0, với mọi ∈n, thì →+∞=nnnuulimvv. v) Nếu ≤≤nn nuvw, với mọi ∈n, và →+∞ →+∞==nnnnlim u lim w a thì →+∞=nnlim v a. Chứng minh. Đặt =−nnauu và =−nnbvv. Ta được hai dãy ()na và ()nb cùng hội tụ về 0. Ta suy ra i) ()()+−+=+→nn nnu v u v a b 0 và do đó +→+nnuv uv. ii) α−α=α→nnuua0 kéo theo α→αnuu. iii) −= + + →nn nn n nuv uv ab ub va 0 cho →nnuv uv. iv) Do −−=nnnnnuubvauvv vv và với n đủ lớn, ta có thể giả sử ≥vn2v, ta suy ra −≤ − →nnn2nuu2ub va 0vvv. PDF by http://www.ebook.edu.vn 23Từ đó suy ra →nnuuvv khi →+∞n. v) Do { }−≤ − − ≤ −+ −→nnnnnvamaxua,wa uawa0 ta suy ra →nva khi →+∞n. ª Áp dụng mệnh đề 2.2, ta nhận được một số dãy hội tụ thường dùng sau 2.3. Đònh lý. a) Nếu >p0 thì →+∞=pn1lim 0n. b) Nếu >p0 thì →+∞=nnlim p 1. c) →+∞=nnlim n 1. d) Với mọi α∈ và >p0, ta có ()α→+∞=+nnnlim 01p. e) Nếu <x1 thì →+∞=nnlim x 0. Chứng minh. a) Với mọi ε>0, ta có ()ε−= <ε⇔ >⇔>ε1/pp1pp11 10nnnn. Do vậy, ứng với mỗi ε>0, ta chọn ∈0n sao cho ()ε>1/p10n (hệ quả 1.4, i)). Khi đó ∀≥0nn, −<εp10n nên do đònh nghóa, →+∞=p1nnlim 0. b) Khi =p1, =np 1 với mọi n, và do vậy, hiển nhiên →+∞=nnlim p 1. Khi >p 1, bằng cách đặt =−≥nnup10, ta có ()==+ = ≥ =∑nnkk 1nnnnnnk0p1u Cu Cu nu. Do ≤≤→pnn0 u 0 ta suy ra →+∞=nnlim u 0 và do đó →+∞=nnlim p 1. Khi <<0 p 1 , bằng cách đặt =>1pq1, ta được =→n1nqp1. PDF by http://www.ebook.edu.vn 24c) Đặt =−≥nnxn10. Do ()()=−=+ = ≥ =∑nnkk 22 2nnnnn nk0nn 1n1x Cx Cx x2, với mọi ≥n2, ta suy ra ≤≤ = →−−n1/2 1n2120x 0n11n khi →+∞n . Từ đó suy ra →+∞=nnlim n 1. d) Chọn ∈0k sao cho >α0k (hệ quả 1.4, i)). Vì ()()()( )=−− −++= ≥ =∑00 0nnkk k0kknn0k0n n 1 n 2 . n k 11p Cp Cp pk!, với mọi ≥0nk, ta suy ra ()()()( )αα≤= ≤−− −++00nnk0k!nn0xnn 1 n 2 .n k 1p1p ()()−α−=→⎛⎞−− −⎜⎟⎝⎠0000kkk112nn nk!110pn11 .1 khi →+∞n . Suy ra ()α→+∞=+nnnlim 01p. e) Trường hợp =x0 thì hiển nhiên. Khi <<0 x 1, bằng cách chọn ∈ p sao cho −=⇔= >+1x1xp01px và dùng d), ta suy ra ()⎛⎞−= = = = →⎜⎟+⎝⎠+n0nnnn1nx0x x 01p1p và do đó →+∞=nnlim x 0 . ª Chú ý. a) Khi ()nu là một dãy hội tụ, giới hạn ∈ a của nó là duy nhất. Để chứng minh tính chất này (tính duy nhất của giới hạn), ta chứng minh rằng nếu dãy ()nu có hai giới hạn thì chúng phải bằng nhau. b) Nếu ()nu là một dãy hội tụ với giới hạn ∈a thì nó là dãy bò chận, nghóa là tồn tại >A 0 sao cho ≤nuA, với mọi ∈ n. PDF by http://www.ebook.edu.vn 25Từ đó, bằng suy luận đảo đề, ta suy ra rằng : Nếu ()nu là dãy không bò chận thì nó không là dãy hội tụ. Ta nói ()nu là một dãy phân kỳ. Chẳng hạn, dãy ()nu xác đònh bởi =2nun, ∈ n, không là dãy bò chận do với mọi số thực ∈A , hệ quả 1.4, i) khẳng đònh sự tồn tại số nguyên ∈0n sao cho >0nA. Khi đó, với mọi ≥0nn, ta có =≥>2nunnA. Từ đó, ta kết luận rằng ()nu là một dãy phân kỳ.Nhận xét rằng nu lấy giá trò đủ lớn khi giá trò của n đủ lớn. Dãy như vậy còn được gọi là “hội tụ” về +∞. chính xác hơn, ta có đònh nghóa sau 2.4. Đònh nghóa. Ta nói dãy ()nu tiến về +∞ khi n tăng ra +∞ khi ∀> ∃ ∈ ∀≥ >00nA 0, n , n n , u A. Bấy giớ, ta viết →+∞=+∞nnlim u hay [→+∞nu khi →+∞n] Dãy ()nu được gọi là tiến về −∞ khi n tăng ra +∞ khi ∀< ∃ ∈ ∀≥ <00nA 0, n , n n , u A. Ký hiệu →+∞=−∞nnlim u hay [→−∞nu khi →+∞n]. 2.5. Mệnh đề. Nếu →+∞=nnlim u 0 và ≠nu0, ∀∈n, thì →+∞=+∞n1unlim. Hơn nữa, nếu >nu0, ∀∈n thì →+∞=+∞n1unlim và nếu <nu0, ∀∈n thì →+∞=−∞n1unlim. Ngược lại, nếu →+∞=+∞nnlim u thì →+∞=n1unlim 0. Chứng minh. Với mỗi >A 0, tồn tại ∈0n sao cho <1nAu và do đó >n1uA , với mọi ≥0nn. Điều này chứng tỏ rằng →+∞=+∞n1unlim . Ngược lại, nếu →+∞=+∞nnlim u thì ứng với mỗi ε>0, tồn tại ∈0n sao cho, với mọi ≥0nn, ta có ε>1nu và do đó <εn1u. Điều này có nghóa là →+∞=n1unlim 0. PDF by http://www.ebook.edu.vn 26Ví dụ 3. i) Nếu <p0 thì →+∞=+∞p1nnlim. Thật vậy, bằng cách đặt =− >qp0, ta có =qp1n11n và →+∞=qn1lim 0n. Từ mệnh đề 2.5, ta kết luận →+∞=+∞p1nnlim. Tóm lại, ta có →+∞⎧>⎪==⎨⎪+∞ <⎩pn0khip01lim 1 khi p 0nkhi p 0 hay α→+∞⎧α<⎪=α=⎨⎪+∞ α >⎩n0khi 0lim n 1 khi 0khi 0 ii) Khi >x1, đặt =1xy, ta được <<0y1 và do đó =→+∞nn1yx vì →+∞=nnlim y 0 . Trường hợp ≤−x 1 , các dãy ()nx đều là dãy phân kỳ. Các dãy số được phân thành bốn loại như sau : Dãy số ()nu được gọi là thuộc loại I : khi →+∞=∈nnlim u a. loại II : khi →+∞=+∞nnlim u. loại III : khi →+∞=−∞nnlim u. loại IV : khi ()nu không thuộc về ba loại nêu trên, nghóa là khi nó không có giới hạn là một số thực, +∞ hay −∞ . Các dãy loại I gọi là hội tụ trong , dãy thuộc các loại còn lại đều là dãy phân kỳ. Tuy nhiên, trong một số bối cảnh, các dãy thuộc loại II (hay loại III) còn được gọi là “hội tu về” +∞ (hay −∞ ). Ví dụ dãy ()nx , với ≤−x1, thuộc loại IV. 2.6. Mệnh đề. a) Nếu →+∞=+∞nnlim u thì ()→+∞−=−∞nnlim u và nếu →+∞=−∞nnlim u thì ()→+∞−=+∞nnlim u. PDF by http://www.ebook.edu.vn 27b) Nếu →+∞=+∞nnlim u và →+∞=+∞nnlim v thì ()→+∞+=+∞nnnlim u v. c) Nếu →+∞=−∞nnlim u và →+∞=−∞nnlim v thì ()→+∞+=−∞nnnlim u v. d) Nếu →+∞=+∞nnlim u và →+∞=+∞nnlim v thì ()→+∞=+∞nnnlim u v. e) Nếu →+∞=−∞nnlim u và →+∞=−∞nnlim v thì ()→+∞=+∞nnnlim u v. f) Nếu →+∞=+∞nnlim u và →+∞=−∞nnlim v thì ()→+∞=−∞nnnlim u v. g) Nếu →+∞=+∞nnlim u và →+∞=>nnlim v a 0 thì ()→+∞=+∞nnnlim u v. h) Nếu →+∞=+∞nnlim u và →+∞=<nnlim v a 0 thì ()→+∞=−∞nnnlim u v . Chú ý. Để đơn giản, trong tính toán giới hạn, ta thường quy ước a) ()−+∞ =−∞, ()−−∞ =+∞; b) =±∞10. c) ()()+∞ + +∞ = +∞. d) ()()−∞ + −∞ = −∞ . e) ()()+∞ × +∞ = +∞ . f) ()()−∞ × −∞ = +∞. g) ()()+∞ × −∞ = −∞ . h) ()+∞ × = +∞a khi >a0; i) ()+∞ × = −∞a khi <a0. Các trường hợp ()()()+∞ − +∞ , +∞+∞, ()+∞ × 0 được gọi là các dạng vô đònh, nghóa là ta không có kết luận tổng quát cho mọi trường hợp. Ứng với dãy số ()nu cho trước, việc tìm a trong sao cho →+∞=nnlim u a không phải lúc nào cũng thực hiện được một cách dễ dàng. Các kết quả sau cho phép xác đònh sự tồn tại cũng như các tính chất của giới hạn một dãy, nếu có, trước khi xác đònh được giá trò của nó. 2.7. Đònh lý. Nếu ()nu là dãy đơn điệu và bò chận thì nó là dãy hội tụ. Chứng minh. Giả sử ()nu tăng và bò chận, nghóa là [...]... () − ∑ n 2 1 n hội tụ (tuyệt đối). ii) Xét chuỗi () + − ∑ n1 1 n . Ta có () + − = ∑ ∑ n1 1 1 nn là chuỗi điều hòa phân kỳ. Mặt khác, do () ()() ()() + ∞ = ∞ = − ⎛⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =−+−++ − + ⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ++ ⎝⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =+++ + ⋅⋅ ++ = ++ ∑ ∑ n1 n1 n0 1 111 1 1 1 n2342k12k2 11 1 12 34 2k 1 2k 2 1 2n 1 2n 2 và ()() ()() ++ =→> ++ 2 1 2n 1 2n 2 1 12 nn n 11 0 4 22 nên sự hội tụ của chuỗi điều hòa ∑ 2 1 n ... 7 12 % , tuần 7 52 % , ngày 7 365 % và đặt 1 y , 2 y , 4 y , 12 y , 52 y , 365 y giá trị vốn thu được vào cuối năm, ta có =+ = 1 y 1 0,07 1,07 ; () =+ = 2 0,07 2 2 y 1 1,07 122 5 ; () =+ ≈ 4 0,07 4 4 y 1 1,071859 ; () =+ ≈ 12 0,07 12 12 y 1 1,0 722 90 ; () =+ ≈ 52 0,07 52 52 y 1 1,0 724 58 ; () =+ ≈ 365 0,07 365 365 y 1 1,0 725 01 . Toång quát, khi một năm được chia thành n chu... PDF by http://www.ebook.edu.vn 31 () () () () + + + + + ⎛⎞ + + + ⎜⎟ == ⎜⎟ + + ⎜⎟ + ⎝⎠ n1 n1 2 1 n n n2 1 n1 n1 1 n1 v n1 vn2 nn 2 1 () () ( ) () () + ⎛⎞ + ⎜⎟ =+ ⎜⎟ + + ⎝⎠ ++ + ⎛⎞ ++ ⎜⎟ ≥+ = ⎜⎟ + + + ⎝⎠ +++ =≥ ++ n1 2 2 32 32 1n1 1 n2 nn 2 n 3n1n1 n1 n1 1 n2 nn 2 nn 2 n4n4n1 1 n4n4n b. ≤≤≤ nn 2u v 4 , với moïi ∈ n . c. ( ) ≤−= + ≤→ n 11 4 nn nn n 0v u 1 0 khi →+∞n . Từ định nghóa của... , ∈ n , f) =+ + + + 22 2 11 1 n 23 n u1 , ∈ n , g) =+++ + 11 1 n 23 n u 1 , ∈ n . 2. Khảo sát sự hội tụ của dãy () n u xác định bởi a) = 1 u1 và + =+ n1 n u1u, ∀∈ n . b) = 1 u2 vaø + ⎡⎤ =+ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ n1 n n 12 uu 2u , ∀∈ n . 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a) ∞ = ∑ n n0 1 3 b) ( ) ∞ = + ∑ n 1 n n1 1 c) ∞ − ++ = ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ∑ 2 n 1 32n4n n0 d) ∞ = + ∑ n n0 n 13 .... PDF by http://www.ebook.edu.vn 24 c) Đặt =−≥ n n xn10. Do () () = − =+ = ≥ = ∑ n n kk 22 2 nnnnn n k0 nn 1 n1x Cx Cx x 2 , với moïi ≥n2 , ta suy ra ≤≤ = → − − n 1 /2 1 n 21 2 0x 0 n1 1 n khi →+∞n . Từ đó suy ra →+∞ = n n lim n 1. d) Chọn ∈ 0 k sao cho >α 0 k (hệ quả 1.4, i)). Vì () ()()( ) = −− −+ += ≥ = ∑ 00 0 n n kk k 0 kk nn 0 k0 n n 1 n 2 n k 1 1p Cp Cp p k! , với mọi ≥ 0 nk ,... của nó. 2. 7. Định lý. Nếu () n u là dãy đơn điệu và bị chận thì nó là dãy hội tụ. Chứng minh. Giả sử () n u tăng và bị chận, nghóa là PDF by http://www.ebook.edu.vn 35 = + + 21 n n11 n 1 n1 và do đó + =→> + 2 n n1 11 nn 1 10 1 . Vì chuỗi điều hòa ∑ 1 n phân kỳ, ta suy ra chuỗi + ∑ 2 n n1 cũng phân kỳ. Tương tự, với chuỗi + + ∑ 3 2n 1 n1 , do + + = + + 1 n 321 n 2 2n 1 1 1 n1n ... riêng và tổng (nếu có ) của các chuỗi soá: a. () ∞ = + ∑ n1 1 nn 1 b. () ∞ = +− ∑ n n n1 21 3 c. () ∞ = + + ∑ 2 2 n1 2n 1 nn1 d. ∞ = + ∑ nn n n1 32 6 PDF by http://www.ebook.edu.vn 19 viii) Dãy () n u xác định bằng quy nạp theo n : = 1 u2 và với mọi ∈ n , + ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎝⎠ n 3 n1 n u 1 uu 2 . ix) Lãi kép : Một lượng vốn C đầu tư với lãi suất i trong n năm với tiền lời được nhập... năm thứ hai là 2 x , , cuối năm thứ n là n x . Ta có () =+ 1 xC1i; () =+ 2 2 xC1i; () − − =+ n1 n1 xC1i; ()() − =+=+ n nn1 xx 1iC1i. và như vậy, ta nhận được dãy số () n x với () =+ n n xC1i. x) Lãi liên tục : Với 1 đồng vốn đầu tư, xét trường hợp chu kỳ tính lãi nhập vào vốn giảm dần với lãi suất năm 7%, nửa năm 7 2 % , quý 7 4 % , tháng 7 12 % , tuần 7 52 % , ngày 7 365 % ... ra chuỗi + ∑ 2 n n1 cũng phân kỳ. Tương tự, với chuỗi + + ∑ 3 2n 1 n1 , do + + = + + 1 n 321 n 2 2n 1 1 1 n1n và do đó + + + =→> + 3 2 2n 1 1 n1 n 11 n n 2 20 1 , nên sự hội tụ của chuỗi điều hòa ∑ 2 1 n kéo theo sự hội tụ của chuỗi + + ∑ 3 2n 1 n1 . ª Với chuỗi có số hạng tổng quát tùy ý, ta có 4.6. Mệnh đề (hội tụ tuyệt đối). Nếu chuỗi ∑ n u hội tụ thì chuỗi ∑ n u hội tụ. ... ≤ ⇒ −<ε 0 nn n auuaua . 2. 8. Định nghóa. Một dãy được gọi là xác định bằng một hệ thức (hay phương trình ) đệ quy khi tồn tại một hệ thức cho phép tính giá trị của + n1 u từ các giá trị n u , − n1 u , , 1 u và n. Ví dụ 4. i) Dãy Fibonacci : 123 4567 uuuuuuu 1 1 2 3 5 8 13 được xác định bằng hệ thức đệ quy ++ ∀∈ = + n2 n1 n n,u u u , = 1 u1 và = 2 u1 . ii) Dãy xác định . 1 11 ... ...n2342k12k211 1... ... 12 342k 1 2k 21 2n 1 2n 2 và ()()()()++=→>+ +21 2n 1 2n 21 12nnn110 422 nên sự hội tụ của chuỗi điều hòa 21 n kéo theo sự. ()()−⎛⎞⎜⎟⎜⎟++++⎜⎟+⎜⎟⎝⎠ppk1 k11... .. .21 2 ()−≥+ + + + +k1pp pk11 11 2 ... 2 .. .24 2 ()()()∞−− − −==+ + + + + ≥∑2k n1p 1p 1p 1pn111 11 2 2 ... 2 ... 22 2 2 Do −≥p 12 1, chuỗi hình
