Giáo trình ôn thi vào THPT Chơng trình ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2016 - 2017 phần I đại số Chuyên đề i: thức bậc hai - bậc ba Các phép biến đổi thức bậc hai- bậc ba A Những công thức biến đổi thức: 1) A = A 2) AB = A B ( víi A ≥ vµ B ≥ ) 3) A = B A B ( víi A ≥ vµ B > ) 4) A B = A B (víi B ≥ ) 5) A B = A B ( víi A ≥ vµ B ≥ ) A B = − A B ( víi A < vµ B ≥ ) 6) 7) 8) 9) A = B A = B C AB ( víi AB ≥ vµ B ≠ ) B A B ( víi B > ) B A±B C = A± B C ( A B ) ( Víi A ≥ vµ A ≠ B2 ) A− B = C( A  B ) ( víi A ≥ 0, B ≥ vµ A ≠ B A− B B Bµi tËp bản: Bài 1: Tìm ĐKXĐ biểu thức sau: − 2x + 1 b) x < a) x + b) c) x −1 x ≥ HD: a) x ≥ − c) x Bài 2: Phân tích thành nhân tử ( với x ) a) + + + b) x2 - c) x - HD: a) + + b) x + x − c) x + ( )( ) ( )( ) ( Bài 3: Đa biểu thức sau dạng bình phơng a) + 2 b) c) + 2 HD: a) ( + 1) b) ( − 1) c) ( + 2) Bài 4: Rút gọn biÓu thøc sau: a) (4 − 17 ) b) + 14 c) x2 − 2x d) d) x ≠ )( (víi x ≠ 5) x −2 ) d) x x − d) ( x − 1)( x + x + 1) d) 23 − d) ( − ) d) x x −1 x+ + 28 x −1 HD: a) 17 − b) c) x − d) x + x + Bài 5: Tìm giá trị x Z để biểu thức sau có giá trị nguyên Hoàng Quốc Nga 0914780828 ( víi x ≥ 0, x ≠ ) Giáo trình ôn thi vào THPT a) ( víi x ≥ 0) x +2 HD: a) x = {1} x +5 b) ( víi x ≥ 0) x +2 c) x +1 b) x = { 0;1;9} ( víi x ≥ vµ x ≠ 4) x c) x = { 0;1;9;16;36} Bài 6: Giải phơng trình, bất phơng trình sau: a) x5 = HD: a) x = 14 b) − x ≤ b) − ≤ x ≤ x +3 c) x −3 =2 d) x −1 >1 d) < x < 16 c) x = 81 C Bài tập tổng hợp: Bài 1: Cho biểu thøc: A = x x +1 x −1 − x x +1 a)Tìm ĐKXĐ rút gọn A b) Tính giá trị biểu thức A x = c) Tìm tất giá trị x ®Ĩ A < x ≥ , rót gän biÓu thøc ta cã: A = x ≠ HD: a) ĐKXĐ là: x x th× A = c) ≤ x < b) x = x +1 Bµi 2: Cho biÓu thøc: B = x −2 x + x +2 2+5 x x4 a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức B b) Tìm x ®Ó B = x ≥ x ≠ HD: a) §iỊu kiƯn:  , rót gän biĨu thøc ta cã: B = c) B = ⇒ x = 16  Bµi 3: Cho biĨu thøc: C =   a −1 − x x +2   a +1 a + 2   :  − a   a −2 a a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức C b) Tìm giá trị a ®Ĩ C d¬ng a >  a −2 HD: a) §iỊu kiƯn: a ≠ , rót gän biĨu thøc ta cã: C = a a ≠ b) C dơng a > Bài 4: Cho biÓu thøc D =  x  x −2 + x  x−4  x +  x a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức D b) Tính giá trị D x = − x > x ≠ HD: a) §iỊu kiƯn:  , rót gän biĨu thøc ta cã: D = x b) D = − Hoµng Quèc Nga 0914780828 Giáo trình ôn thi vào THPT x Bài 5: Cho biÓu thøc E = x +1 − x x x x + a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức E b) Tìm x ®Ĩ E = -1 x > x ≠ HD: a) §iỊu kiƯn:  c) x = ,rót gän biĨu thøc ta cã: E =  F =  Bµi 6: Cho biĨu thøc:  x −2 − −3 1+ x  x+4 x +4  x + 2 a) Tìm TXĐ rút gọn biểu thức F b) Tính giá trị biểu thức F x=3 + ; c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức F có giá trị nguyên ? x ≥ ,rót gän biĨu thøc ta cã: F = x ≠ HD: a) §KX§:  x +2 x −2 b) x = 3+ = + 2 = ( + 1) ⇒ A = 2 −1 c) BiÓu thøc A nguyªn khi: x − = { ± 4;±2;±1} ⇒ x = {0; 1; 9; 16; 36} D Bµi tËp lun tËp: Bµi1: Cho biĨu thøc: a +2 − + a +3 a+ a −6 2− a P= a) Tìn ĐKXĐ rút gọn P b) Tính giá trị P khi: a = c) Tìm giá trị a để P <    a +1 a + 2  −  :  − Bµi2 : Cho biÓu thøc: Q=   a − a a − a −    a Rút gọn Q b Tìm giá trị a để Q dơng Bài3: Cho biểu thức: A = x −9 x−5 x +6 − x +3 x a, Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A b, Tìm giá trị x để A > c, Tìm giá trị x Z ®Ĩ A ∈ Z Bµi4 : Cho biĨu thøc: C = x +1 − x x +1 + − x +1 3− x x − x +1 a, Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức C b, Tìm giá trị x để C =  x −2 x +  (1 − x)  ⋅ − Bµi5: Cho biĨu thøc: M =  x + x +   x −1 a) Rót gän M b) T×m giá trị x để M dơng c) Tìm giá trị lớn M Hoàng Quốc Nga 0914780828 Giáo trình ôn thi vào THPT x Bài6: Cho biÓu thøc: P =   x −1 −     :  +   x − x   x +1 x −1 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm giá trị x để P > c) Tìm x để P = Bài tập tự rèn Bµi 1: Cho biĨu thøc:  a +2 − + a +3 a+ a −6 2− a P= a −4 ÷ a −2÷  a) Rót gän P P = b) Tìm giá trị a ®Ó P 1 H·y so s¸nh P víi c) Tìm a để P = P d) Tìm giá trị nhỏ P Bài 16: Cho biĨu thøc: a) Rót gän P (− P=  a +1   a +1  ab + a ab + a  :  + − − +  ab +   ab +  ab − ab −    ab ) b) Tính giá trị P a = − 3 −1 1+ a+ b=4 b = c) Tìm giá trị nhỏ cđa P nÕu Bµi 17: Cho biĨu thøc: P = a a −1 a a +1   a + a −1  − + a − +  a− a a+ a  a  a − a +  a) Rót gän P b) Với giá trị a P =7 c) Với giá trị a P>6 Bài 18: Cho biÓu thøc: P =  a    −   a   a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a để P < c) Tìm giá trị a để P =-2 Bài 19: Cho biểu thức: ( P= )  a −1 a +1   −  a +1  a −   a − b + ab a b − b a a+ b ab a) Tìm điều kiện ®Ĩ P cã nghÜa b) Rót gän P c) TÝnh giá trị P a = b =  x+2 x  : + +  x x − x + x + 1 − x   Bµi 20: Cho biĨu thøc: P =  a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng P > ∀x ≠1 2 x + x −  x x −1 Bµi 21: Cho biĨu thøc: P =  a) Rót gän P b) TÝnh P x= + x −1   x +2   : 1 −    x −   x + x +  Bµi 22: Cho biĨu thøc: P = 3x     : 1:  + − 2+ x 4− x 4−2 x  4−2 x     Hoµng Quèc Nga 0914780828 Giáo trình ôn thi vào THPT a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P = 20 Bµi 23: Cho biĨu thøc: P  x− y + =   x− y x3 − y y−x  :   ( ) x − y + xy x+ y a) Rót gän P b) Chøng minh P ≥ Bµi 24: Cho biÓu thøc: ab   ab  a −b  . : + −      a + b a a + b b   a − b a a − b b  a + ab + b   P =  a) Rót gän P b) TÝnh P a =16 vµ b =  2a + a − 2a a − a + a  a − a  −  a −1 − a − a a   Bµi 25: Cho biĨu thøc: P = +  a) Rót gän P b) Cho P = 1+ tìm giá trÞ cđa a  x−5 x   25 − x − =  x − 25 − 1 :  x + x − 15    c) Chøng minh r»ng P > Bµi 26: Cho biÓu thøc: P x −5  x −  x +3 + x +5 a) Rót gän P b) Với giá trị x P Bài 29: Cho biÓu thøc: P 1 : y  x3 + y x + x y + y x y + xy a) Rót gän P b) Cho x.y =16 Xác định x,y để P có giá trị nhỏ Bài 30: Cho biểu thức: P = x3 2x 1− x − × xy − y x + x − xy − y x a) Rút gọn P b) Tìm tất số nguyên dơng x để y = 625 P < 0,2 Hoàng Quốc Nga 0914780828 Giáo trình «n thi vµo THPT Bµi 31 Cho biĨu thøc   1   A= + − ÷:  ÷+  1− x 1+ x   1− x 1+ x  1− x a) T×m ĐKXĐ rút gọn biểu thức A b) Tính giá trÞ cđa A x = + c) Với giá trị x A có giá trị nhỏ nhất? Bài 32 Cho biểu thức x   x +1 x −1   B= − − + ÷:  ÷  x −1 x +1   x −1 x −1 x +1 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị B x = + c) Tính giá trị x B = Bµi 33 Cho biĨu thøc  a a −1 a a +1  a + C =  − ÷ ÷: a − a − a a + a   a) T×m ĐKXĐ rút gọn biểu thức C b) Với giá trị a C có giá trị nguyên? Bài34 Cho biểu thức D= x +1 10 − + x + ( x + 3) ( x ) x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức D b) Xác định giá trị x để D > Bài 35 Cho biÓu thøc E= x 2x − x −1 x − x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức E b) Tính giá trị B x = + c) Với giá trị x E > 0?; E < 0? Bài 36 Cho biÓu thøc   x   x F =  + : − ÷  ÷ ÷ ÷  x +1   x −1 x x + x x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức F b) Tính giá trị x để F > c) Tính giá trị cđa x ®Ĩ F = d) x = 19 - Bµi 37 Cho biĨu thøc  x    G =  − : + ÷  ÷ ÷  x −1 x − x   x +1 x −1  a) T×m ĐKXĐ rút gọn biểu thức G b) Tính giá trÞ cđa B x = + c) Tìm x G = Bài 38 Cho biÓu thøc H= 1 x3 − x + + x −1 − x x −1 + x x −1 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức H b) Tính giá trị x H = c) Tìm giá trị nguyên x để H có giá trị nguyên? Bài 39 Cho biểu thức x −2 x +  x2 − 2x + M = ữ ữì x x + x +1  Hoµng Quèc Nga 0914780828 Giáo trình ôn thi vào THPT a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức M b) Tính giá trị cña M x = 0,16 c) CMR nÕu < x < M > d) Xác định giá trị lớn M e) Tìm giá trị nguyên x để M có giá trị nguyên? Bµi 40 Cho biĨu thøc: N = x + x − + x − x − a) Rút gọn biểu thức N b) Tìm giá trị x N = 4? Chuyên đề II PHNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Bậc nhất) A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Phương trình bậc ẩn -Quy đồng khử mẫu -Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0) −b -Nghiệm duy nhất là  x = a 2.Phương trình chứa ẩn mẫu -Tìm ĐKXĐ của phương trình -Quy đồng và khử mẫu -Giải phương trình vừa tìm được -So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận 3.Phương trình tích Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó.  A ( x ) =  Chẳng hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0  ⇔  B ( x ) = C x =  ( ) 4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải biện luận phương trình) Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song giá trị cụ   thể của a, b ta khơng biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình −b -Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất  x = a -Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vơ số nghiệm -Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vơ nghiệm 5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối A A ≥ Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức:  A =  −A A < 6.Hệ phương trình bậc Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương  pháp đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai  phương trình Hoàng Quốc Nga 0914780828 Giáo trình ôn thi vào THPT 7.Bất phương trình bậc Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc  nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều  bất phương trình B MỘT SỐ VÍ DỤ VD1.Giải phương trình sau 7x 20x + 1,5 − 5( x − 9) = a)  ( x − 3) + = ( x + 1) −                b)  13 + = c)       d)  x − + x − = 10 (*) 2x + x − 21 2x + x − Giải a) ( x − 3) + = ( x + 1) − ⇔ 2x − = 2x − ⇔ −5 = −7 (Vơ lý) Vậy phương trình vơ nghệm 7x 20x + 1,5 − 5( x − 9) = ⇔ 21x − 120x + 1080 = 80x + ⇔ −179x = −1074 ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = 6 b) 13 13 ⇔ + = + = ( x − 3) ( 2x + ) 2x + ( x − 3) ( x + 3) 2x + x − 21 2x + x − ĐKXĐ: x ≠ ±3; x ≠ − ⇒ 13 ( x + 3) + ( x − 3) ( x + 3) = ( 2x + ) ⇔ 13x + 39 + x − = 12x + 42 c)   x = ∉ DKXD ⇔ x + x − 12 = ⇔ ( x − 3) ( x + ) = ⇔   x = −4 ∈ DKXD Vậy phương trình có nghiệm x = - 4 d) Lập bảng xét dấu x                               3                                    7 x – 3                 -             0                +                                  + x - 7               -                                  -                 0                + -Xét x  AD; DE > AE ; DE = DB + EC Cộng vế ta đợc: 3DE > 2R DE > VËy R > DE > R R Đề Câu 1: Cho hàm số f(x) = x − x + a) TÝnh f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rót gän A = f ( x) x x2 Câu 2: Giải hệ phơng trình x( y 2) = ( x + 2)( y − 4)  ( x − 3)(2 y + 7) = (2 x − 7)( y + 3) C©u 3: Cho biĨu thøc  x x +1 x −1   x  : x +  víi x > vµ x ≠ − A =     x − x − x −     a) Rót gọn A 2) Tìm giá trị x để A = Câu 4: Từ điểm P nằm đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H chân đờng vuông góc hạ tõ A ®Õn ®êng kÝnh BC a) Chøng minh r»ng PC cắt AH trung điểm E AH b) Giả sử PO = d Tính AH theo R d Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biÖt x 1; x2 tháa m·n: 3x1 - 4x2 = 11 đáp án Câu a) f(x) = x − x + = ( x − 2) = x − Suy f(-1) = 3; f(5) = b) c)  x − = 10  x = 12 f ( x) = 10 ⇔  ⇔  x − = −10  x = −8 x−2 f ( x) A= = x − ( x − 2)( x + 2) Víi x > suy x - > suy A = x+2 Giáo viên: Hoàng Qc NGa THCS C¶nh Hãa 72 Víi x < suy x - < suy A = − C©u x+2  x( y − 2) = ( x + 2)( y − 4)  ( x − 3)(2 y + 7) = (2 x − 7)( y + 3)  xy − x = xy + y − x − ⇔ 2 xy − y + x − 21 = xy − y + x − 21  x − y = −4 x = -2 ⇔ ⇔  x + y = y = C©u 3a)  x x +1 x −1   x  : x +  − A =     x − x − x −     Ta cã:  ( x + 1)( x − x + 1) x −   x ( x − 1) x  :  − + =     ( x − )( x + ) x − x − x −     = = = b) A = => 2− x =3 x  x − x +1 x −1   x − x + x   :  −     x − x − x −     x − x +1− x +1 : x −1 − x +2 x : x −1 x −1 x x −1 = − x +2 x −1 => 3x + x - = C©u ⋅ x −1 = x 2− x x => x = 2/3 P a) Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC) b) Ta let ¸p dơng cho tam gi¸c CPB ta cã A EH CH = ; (1) PB CB Mặt khác, PO // AC (cùng vuông góc với AB) B => POB = ACB (hai góc đồng vị) => ∆ AHC ∞ ∆ POB Do ®ã: AH CH = PB OB E O H C (2) Do CB = 2OB, kết hợp (1) (2) ta suy AH = 2EH hay E trug điểm AH b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta cã AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) vµ AH = 2EH ta cã AH = (2 R − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ AH.CB AH.CB ) 2PB 2PB AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2 AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB AH = = 4R.CB.PB 4R.2R.PB = 2 4.PB + CB 4PB + (2R) 8R d − R 2.R d − R = 4(d − R ) + 4R d2 Giáo viên: Hoàng Quốc NGa THCS Cảnh Hóa 73 Câu (1đ) Để phơng trình có nghiệm phân biƯt x1 ; x2 th× ∆ > (2m - 1)2 - (m - 1) > Từ suy m 1,5 (1) Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có: 2m − 13 - 4m    x1 + x = −  x1 =   m −1 7m −   x x = ⇔  x1 =  26 - 8m   7m − 3x − 4x = 11  13 - 4m  3 − 26 - 8m = 11   13 - 4m 7m − −4 = 11 Gi¶i phơng trình 26 - 8m ta đợc m = - m = 4,125 (2) Đối chiếu ®iỊu kiƯn (1) vµ (2) ta cã: Víi m = - m = 4,125 phơng trình đà cho có hai nghiệm phân biệt t Đề 10 Câu I : Tính giá trị biểu thức: A= 3+ + 5+ + + .+ 7+ 3333     35 B = 35 + 335 + 3335 + + 97 + 99 99 sè C©u II :Ph©n tÝch thành nhân tử : 1) X2 -7X -18 2) (x+1) (x+2)(x+3)(x+4) 3) 1+ a5 + a10 C©u III : 1) Chøng minh : (ab+cd)2 ≤ (a2+c2)( b2 +d2) 2) ¸p dơng : cho x+4y = T×m GTNN cđa biĨu thøc : M= 4x2 + 4y2 C©u : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I trung điểm BC, M điểm đoạn CI ( M khác C I ) Đờng thẳng AM cắt (O) D, tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIM M cắt BD DC P Q a) Chứng minh DM.AI= MP.IB b) TÝnh tØ sè : MP MQ C©u 5: Cho P = x − 4x + 1− x Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức đáp án Câu : 1) A = 3+ + 5+ + 7+ + .+ 97 + 99 Giáo viên: Hoàng Quốc NGa THCS Cảnh Hóa 74 = ( 5− 3+ 7− 5+ − + .+ 99 − 97 ) = ( 99 − )     35 = 2) B = 35 + 335 + 3335 + + 3333 99 sè =33 +2 +333+2 +3333+2+ .+ 333 33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33) = 198 + ( 99+999+9999+ +999 99) ( 102 -1 +103 - 1+104 - 1+ +10100 – 1) = 198 – 33 +  10101 − 10   +165 B =  27   198 + C©u 2: 1)x2 -7x -18 = x2 -4 – 7x-14 = (x-2)(x+2) - 7(x+2) = (x+2)(x-9) (1®) 2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3 = (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3= [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3 = (x2+5x +4)2 + 2(x2+5x +4)-3=(x2+5x +4)2 - 1+ 2(x2+5x +4)-2 = [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1] = (x2+5x +3)(x2+5x +7) 3) a10+a5+1 = a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1 - (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a ) = a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2 +a+1) -a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1) =(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1) Câu 3: 4đ 1) Ta có : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) a2b2+2abcd+c2d2 ≤ a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2 ≤ a2d2 - 2cbcd+c2b2 ≤ (ad - bc)2 (®pcm ) DÊu = x·y ad=bc 2) áp dụng đẳng thức ta có : 52 = (x+4y)2 = (x + 4y) ≤ (x2 + y2) (1 + 16) => x + y2 ≥ 25 100 20 => 4x2 + 4y2 ≥ dÊu = x·y x= ,y= (2®) 17 17 17 17 Câu : 5đ Ta có : góc DMP= góc AMQ = góc AIC Mặt khác góc ADB = góc BCA=> MPD đồng dạng với ICA => DM MP = => DM.IA=MP.CI hay DM.IA=MP.IB CI IA Ta cã gãc ADC = gãc CBA, Gãc DMQ = 1800 - AMQ=1800 - gãc AIM = gãc BIA Do ®ã ∆ DMQ đồng dạng với BIA => DM MQ = => DM.IA=MQ.IB (2) BI IA Giáo viên: Hoàng Quốc NGa THCS Cảnh Hóa 75 (1) Từ (1) (2) ta suy MP =1 MQ Câu Để P xác định : x2-4x+3 1-x >0 Từ 1-x > => x < Mặt khác : x2-4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < nên ta cã : (x-1) < vµ (x-3) < tõ ®ã suy tÝch cđa (x-1)(x-3) > VËy víi x < th× biĨu thøc cã nghÜa Víi x < Ta cã : x − 4x + P= 1− x = ( x − 1)( x 3) x = x Đề 11 Câu : a Rót gän biĨu thøc A = + b Tính giá trị tổng 1 + a ( a + 1) B = 1+ Víi a > 1 1 1 + + + + + + + + 2 99 100 C©u : Cho pt x − mx + m − = a Chøng minh r»ng pt lu«n lu«n cã nghiƯm víi ∀m b Gäi x1 , x lµ hai nghiƯm cđa pt T×m GTLN, GTNN cđa bt P= x1 x + x1 + x + 2( x1 x + 1) C©u : Cho x ≥ 1, y ≥ Chøngminh 2 1 + 2 Câu Cho đờng tròn tâm o dây AB + x + y + xy M điểm chuyển động đờng tròn, từM kẻ MH AB (H AB) Gọi E F lần lợt hình chiếu vuông góc H MA MB Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với è cắt dây AB D Chứng minh đờng thẳng MD qua điểm cố định M thay đổi ®êng trßn MA2 AH AD 2.Chøngminh: MB = BD BH Hớng dẫn Câu a Bình phơng vÕ ⇒ A = a + a +1 a ( a + 1) (Vì a > 0) c áp dơng c©u a A = 1+ 1 − a a +1 9999 = 100 100 ∆ ≥ ∀m C©u a : cm ⇒ B = 100 B (2 đ) áp dụng hệ thức Viet ta cã:  x1 + x = m   x1 x = m − 1 ≤ P ≤1 theo Èn ⇒ GTLN = − ⇔ m = 2 viên: Hoàng Quốc Giáo GTNN = ⇔ m = ⇒− ⇒P= 2m + (1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm m2 + NGa THCS Cảnh Hóa 76 Câu : Chuyển vế quy đồng ta đợc x( y x ) y( x − y ) b®t ⇔ (1 + x )(1 + xy ) + (1 + y )(1 + xy ) ≥ ⇔ ( x − y ) ( xy − 1) ≥ ®óng xy Câu 4: a - Kẻ thêm ®êng phơ - Chøng minh MD lµ ®êng kÝnh cđa (o) => b Gọi E', F' lần lợt hình chiếu D MA MB Đặt HE = H1 HF = H2 AH AD HE.h1 MA ⇒ = BD BH HF h2 MB (1) ⇔ ∆HEF MA AH AD = MB BD BH Thay vµo (1) ta cã:  a+ b C©u 1: Cho biĨu thøc D =   − ab + M o E' F E A B H ⇒ HF h2 = HE.h ∆DF ' E ' F' D I §Ị 12 a + b   a + b + 2ab   : 1+ − ab  + ab   a) T×m điều kiện xác định D rút gọn D b) Tính giá trị D với a = c) Tìm giá trị lớn D Câu 2: Cho phơng trình 2 x2- mx + 2 2− m2 + 4m - = (1) a) Giải phơng trình (1) với m = -1 1 b) Tìm m để phơng trình (1) cã nghiÖm tho· m·n x + x = x1 + x2 Câu 3: Cho tam giác ABC đờng phân giác AI, biết AB = c, AC = b, Aˆ = α (α = 90 ) Chøng minh r»ng AI = 2bc.Cos b+c α (Cho Sin2 = SinCos ) Câu 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB điểm N di động nửa đờng tròn cho NA NB Vễ vào đờng tròn hình vuông ANMP a) Chứng minh đờng thẳng NP qua điểm cố định Q b) Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NAB Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp c) Chứng minh đờng thẳng MP qua điểm cố định Câu 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = vµ x + y + z = -1 HÃy tính giá trị của: B= xy zx xyz + + z y x Đáp án Giáo viên: Hoàng Quốc NGa THCS Cảnh Hóa 77 Câu 1: a) - Điều kiện xác định D lµ  a + 2b a   a + b + ab   :   − ab   − ab  - Rót gän D =  a ≥  b ≥ ab ≠  D= a a +1 2(2 + = = ( + 1) ⇒ a = + VËy D = b) a = 2+ 2+2 3−2 = +1 − 3 c) ¸p dụng bất đẳng thức cauchy ta có a a +1 D Vậy giá trị D lµ 1  x1 = −1 − 10 Câu 2: a) m = -1 phơng trình (1) ⇔ x + x − = ⇔ x + x − = ⇒   x = −1 + 10 b) §Ĩ phơng trình có nghiệm ⇔ −8m + ≥ ⇔ m ≤ ( ) * m + 4m − ( + Để phơng trình có nghiƯm kh¸c m1 ≠ −4 − * ⇒ m2 ≠ −4 +  x + x2 = 1 + = x1 + x ⇔ ( x1 + x )( x1 x − 1) = ⇔  x1 x  x1 x − = ⇔ m = 2m =  ⇔ ⇔ m = 19 Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta đợc m = m = −4 − 19 m + 8m − =  m = −4 + 19 C©u 3: α 2 + S ∆ABI = AI cSin ; A α 2 + S ∆ABC = bcSinα ; S ∆ABC = S ∆ABI + S ∆AIC + S ∆AIC = AI bSin ; α ⇒ bcSinα = AISin (b + c ) a α 2 b N B α 2bcCos bcSinα ⇒ AI = = α b+c Sin (b + c) C©u 4: a) Nˆ = Nˆ Gäi Q = NP ∩ (O) ) ) ⇒ QA = QB Suy Q cố định b) A = M (= Aˆ ) α I c 2 A M C I 1 P Q ⇒ Tø giác ABMI nội tiếp c) Trên tia đối QB lÊy ®iĨm F cho QF = QB, F cè định Giáo viên: Hoàng Quốc NGa THCS Cảnh Hóa F 78 B Tam gi¸c ABF cã: AQ = QB = QF ABF vuông A B = 45 ⇒ AFˆB = 45 L¹i cã Pˆ1 = 45 ⇒ AFB = Pˆ1 ⇒ Tø gi¸c APQF néi tiÕp ⇒ APˆ F = AQˆ F = 90 Ta cã: APˆ F + APˆ M = 90 + 90 = 180 ⇒ M1,P,F Thẳng hàng 1 =2 + +  =  = xyz xyz y z x Câu 5: Biến đổi B = xyz Đề 13 Bài 1: Cho biểu thức A = x − 4( x − 1) + x + 4( x − 1)   1 − x −1÷   x − 4( x − 1) a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn A Bài : Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) B(3; -4) a) Viết phơng tình đờng thẳng AB b) Xác định điểm M trục hoành để tam giác MAB cân M Bài : Tìm tất số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau: x - m2 x + m + = có nghiệm nguyên Bài : Cho tam giác ABC Phân giác AD (D BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A D đồng thời tiếp xúc với BC D Đờng tròn cắt AB AC lần lợt E F Chứng minh a) EF // BC b) Các tam giác AED ADC; AFD ABD tam giác đồng dạng c) AE.AC = AF.AB = AC2 Bµi : Cho số dơng x, y thỏa mÃn điều kiện x2 + y2 ≥ x3 + y4 Chøng minh: x + y3 ≤ x + y2 ≤ x + y Đáp án Bài 1: a) Điều kiện x tháa m·n x − ≠   x − 4( x − 1) ≥   x + 4( x − 1) ≥   x − 4( x − 1) > ⇔ x ≠ x ≥   x ≥  x ≠ ⇔ x > vµ x KL: A xác định < x < hc x > b) Rót gän A A= ( x − − 1)2 + ( x − + 1)2 x − x −1 ( x − 2)2 x −1 −1 + x −1 +1 x − x −2 x −1 Víi < x < A= 1− x A= Giáo viên: Hoàng Quốc NGa THCS Cảnh Hóa 79 Víi x > A= x −1 KÕt luËn Víi < x < th× A = Víi x > th× A = 2 1− x x −1 Bµi 2: a) A vµ B cã hoµnh độ tung độ khác nên phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b A(5; 2) ∈ AB ⇒ 5a + b = B(3; -4) ∈ AB ⇒ 3a + b = -4 Gi¶i hƯ ta cã a = 3; b = -13 Vậy phơng trình đờng thẳng AB y = 3x - 13 b) Gi¶ sư M (x, 0) ∈ xx’ ta cã MA = ( x − 5)2 + (0 − 2)2 MB = ( x − 3)2 + (0 + 4)2 ∆MAB c©n ⇒ MA = MB ⇔ ( x − 5)2 + = ( x − 3)2 + 16 ⇔ (x - 5)2 + = (x - 3)2 + 16 x=1 Kết luận: Điểm cần tìm: M(1; 0) Bài 3: Phơng trình có nghiệm nguyên ∆ = m4 - 4m - lµ sè chÝnh phơng Ta lại có: m = 0; < loại m = = = 22 nhËn m ≥ th× 2m(m - 2) > ⇔ 2m2 - 4m - > ⇔ ∆ - (2m2 - 2m - 5) < ∆ < ∆ + 4m + A ⇔ m4 - 2m + < ∆ < m4 ⇔ (m2 - 1)2 < < (m2)2 không phơng Vậy m = giá trị cần tìm F E Bµi 4: » · · = EFD (= sd ED ) (0,25) a) EAD B · · » ) (0,25) FAD = FDC (= sd FD D · · · · mµ EDA ⇒ EF // BC (2 gãc so le b»ng nhau) = FAD EFD = FDC ằ ằ b) AD phân giác góc BAC nên DE = DF 1 à ¼ − DF » ) = s® AE » = s® ADE · = s®( AED s® ACD 2 à à à à ACD EAD ∆DΑΕ ∼ ∆ADC (g.g) = ADE = DAC » · ¼ − DF » ) = (sd AFD ¼ − DE » ) = sd ABD · · · = sd AF = sd ( AFD T¬ng tù: s® ADF ⇒ ADF = ABD 2 ®ã ∆AFD ~ ∆ ΑΒD (g.g c) Theo trªn: + AED ~ DB Giáo viên: Hoàng Quốc NGa THCS C¶nh Hãa 80 C AE AD = hay AD2 = AE.AC (1) AD AC AD AF = + ∆ADF ~ ∆ABD ⇒ AB AD ⇒ ⇒ AD2 = AB.AF (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã AD2 = AE.AC = AB.AF Bài (1đ): Ta có (y2 - y) + ≥ ⇒ 2y3 ≤ y4 + y2 ⇒ (x3 + y2) + (x2 + y3) ≤ (x2 + y2) + (y4 + x3) mµ x3 + y4 ≤ x2 + y3 ®ã x3 + y3 ≤ x2 + y2 (1) + Ta cã: x(x - 1)2 ≥ 0: y(y + 1)(y - 1)2 ≥ ⇒ x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2 ≥ ⇒ x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y ≥ ⇒ (x2 + y2) + (x2 + y3) ≤ (x + y) + (x3 + y4) mµ x2 + y3 ≥ x3 + y4 ⇒ x2 + y2 ≤ x + y (2) vµ (x + 1)(x - 1) ≥ (y - 1)(y3 -1) ≥ x - x - x + + y - y - y3 + ≥ ⇒ (x + y) + (x2 + y3) ≤ + (x3 + y4) mµ x2 + y3 ≥ x3 + y4 ⇒ x + y ≤ Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã: x3 + y3 ≤ x2 + y2 ≤ x + y ≤ Đề 14 Bài 1: Cho biểu thức M = x −9 x−5 x +6 + x +1 x + x+3 x a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = c Tìm x Z để M Z 2: a) Tìm x, y nguyên dơng thoà mÃn phơng trình 3x2 +10 xy + 8y2 =96 b)t×m x, y biÕt / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = 1 + + =4 y x z 1 ≤1 Chøng ming r»ng: + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Bài 3: a Cho sè x, y, z d¬ng tho· m·n x − x + 2006 (víi x ≠ ) x2 Bài 4: Cho hình vuông ABCD Kẻ tia Ax, Ay cho xA y = 45 b Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: B = Tia Ax cắt CB BD lần lợt E P, tia Ay cắt CD BD lần lợt F Q a Chứng minh điểm E; P; Q; F; C nằm đờng tròn b S AEF = S APQ Kẻ đờng trung trực CD cắt AE M Tính số đo góc MAB biết CP D = CM D Bài 5: (1đ) Giáo viên: Hoàng Quốc NGa THCS Cảnh Hóa 81 1 + + =0 a b c Cho ba sè a, b , c kh¸c tho· m·n: ; H·y tÝnh P = ac bc ac + + c2 a2 b2 đáp án Bài 1:M = x + x +1 x +3 + x−5 x +6 x −3 2− x x ≥ ; x ≠ ; x a.ĐK 0,5đ x − x + x − + x +1 Rót gän M = x −2 x −3 ( Biến đổi ta có kết quả: M = ( x −3 ( x −2 )( ) ( )( x− x −2 ( x −1 b. . M = 5 ⇔ )( x −3 ) ) M= )( ( ( x −2 )( x − 3)( x +1 ) )⇔M = x − 2) x −2 x +1 x −3 =5 ) ⇒ x +1= x − ⇔ x + = x − 15 ⇔ 16 = x 16 ⇒ x= = ⇒ x = 16 c M = x +1 = x −3+4 =1+ x −3 x −3 x −3 ∈ z Do M nªn x − lµ íc cđa ⇒ x − nhận giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; ⇒ x ∈ {1;4;16;25;49} x ≠ ⇒ x ∈ {1;16;25;49} Bµi a 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 < > 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96 < > (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96 < > 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96 < > (x + 2y)(3x + 4y) = 96 Do x, y nguyên dơng nên x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng 3x + 4y > x + 2y ≥ mµ 96 = 25 có ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc biểu diễn thành tích thừa số không nhỏ là: 96 = 3.32 = 4.24 = 16 = 12 Lại có x + 2y 3x + 4y có tích 96 (Là số chẵn) có tổng 4x + 6y số chẳn x + y = Hệ PT vô nghiệm x + y = 24 x + y = x = ⇒ Hc  3 x + y = 16  y = x + y = Hoặc Hệ PT vô nghiÖm 3x + y = 12 VËy cÊp sè x, y nguyên dơng cần tìm (x, y) = (4, 1) b ta cã /A/ = /-A/ ≥ A∀A Nªn /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/ ≥ / x − 2005 + 2008 − x / ≥ / / = (1) mµ /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = (2) KÕt hỵp (1 vµ (2) ta cã / x - 2006/ + / y - 2007/ (3) Giáo viên: Hoàng Quèc NGa THCS C¶nh Hãa 82 / x − 2006 / =  x = 2006 ⇔ / y − 2007 / =  y = 2007 (3) sảy Bài a Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ a b ( a + b) + ≥ (*) x y x+ y b Víi mäi a, b thuéc R: x, y > ta cã < >(a2y + b2x)(x + y) ≥ ( a + b ) xy ⇔ a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy ≥ a2xy + 2abxy + b2xy ⇔ a2y2 + b2x2 ≥ 2abxy ⇔ a2y2 – 2abxy + b2x2 ≥ (ay - bx)2 (**) bất đẳng thức (**) với a, b, x,y > DÊu (=) x¶y ay = bx hay a b = x y áp dung bất đẳng thức (*) hai lÇn ta cã 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 + ÷ + ÷  + ÷   ÷  ÷  2 2 4 4 =  ≤  +  = + 2x + y + z 2x + y + z x + y x + z x+ y x+z 2 2 1 1 1 1  ÷  ÷  ÷  ÷ 2 1 4 4 ≤  +  +  +  =  + + ÷ x y x z 16  x y z  1 1 1 ≤ + + ữ Tơng tự x + y + z 16  x y z  1 1 2 ≤  + + ÷ x + y + z 16  x y z  Cộng vế bất đẳng thức ta có: 1 1 2 1 1 1 1 2 + + ≤  + + ÷+  + + ÷+  + + ÷ x + y + z x + y + z x + y + z 16  x y z  16  x y z  16  x y z  4 4 1 1 ≤  + + ÷ ≤  + + ÷ ≤ = 16  x y z  16  x y z  1 V× + + = x y z x − x + 2006 B= ( x ≠ 0) x2 Ta cã: B = x − x + 2006 ⇔B= 2006 x − 2.2006 x + 2006 2006 x x2 ( x − 2006) + 2005 x ⇔ ( x − 2006) + 2005 + 2005 ⇔B= 2006 x2 2006 x 2 V× (x - 2006) ≥ víi mäi x x2 > víi mäi x kh¸c ( x − 2006 ) ⇒ 2005 2005 ≥0⇒ B≥ ⇒B= khix = 2006 2006 x 2006 2006 ) ) ) Bµi 4a EBQ = EAQ = 450 ⇒Y EBAQ néi tiÕp; Bˆ = 900 gãc AQE = 900 gãcEQF = 900 T¬ng tự góc FDP = góc FAP = 450 Giáo viên: Hoàng Quốc NGa THCS Cảnh Hóa 83 Tứ giác FDAP néi tiÕp gãc D = 900 gãc APF = 900 góc EPF = 900 0,25đ Các điểm Q, P,C nhìn dới 1góc900 nên điểm E, P, Q, F, C nằm đờng tròn đờng kính EF 0,25đ góc APQ = góc AFE b Ta cã gãc APQ + gãc QPE = 1800 (2 gãc kÒ bï) Gãc AFE + gãc EPQ = 180 Tam giác APQ đồng dạng với tam gi¸c AEF (g.g) S ∆APQ S ∆AEF   =k = ÷ = ⇒ S∆APQ = S∆AEE  2 c gãc CPD = gãc CMD tø gi¸c MPCD néi tiÕp gãc MCD = góc CPD (cùng chắn cung MD) Lại có gãc MPD = gãc CPD (do BD lµ trung trùc cña AC) gãc MCD = gãc MDC (do M thuéc trung trùc cña DC) gãc CPD = gãcMDC = góc CMD = gócMCD tam giác MDC góc CMD = 600 tam giác DMA cân D (vì AD = DC = DM) Và góc ADM =gãcADC – gãcMDC = 900 – 600 = 300 gãc MAD = gãc AMD (1800 - 300) : = 750 gãcMAB = 900 – 750 = 150 Bài 5Đặt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c x + y + z = (v× 1/a = 1/b + 1/c = 0) x = -(y + z) x3 + y3 + z3 – xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz à-( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz = Tõ x3 + y3 + z3 – 3xyz = x3 + y3 + z3 = 3xyz 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 1/ a3 1/ b3 1/ c3 = 3/abc Do ®ã P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = nÕu 1/a + 1/b + 1/c =o th× P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = §Ị 15 Bµi 1Cho biĨu thøc A = ( x − 3) + 12 x + x2 ( x + 2) − x a Rót gọn biểu thức A b Tìm giá trị nguyên cđa x cho biĨu thøc A cịng cã gi¸ trị nguyên Bài 2: (2 điểm) Cho đờng thẳng: y = x-2 (d1) y = 2x – (d2) y = mx + (m+2) (d3) a Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d3 ) qua với giá trị m b Tìm m để ba đờng thẳng (d1); (d2); (d3) đồng quy Bài 3: Cho phơng trình x2 - 2(m-1)x + m - = (1) a Chứng minh phơng trình có nghiệm phân biệt b Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình (1) mà không phụ thuộc vào m c Tìm giá trị nhỏ cđa P = x21 + x22 (víi x1, x2 lµ nghiệm phơng trình (1)) Bài 4: Cho đờng tròn (o) với dây BC cố định điểm A thay đổi vị trí cung lớn BC cho AC>AB AC > BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến (O) D C cắt E Gọi P, Q lần lợt giao điểm cặp đờng thẳng AB với CD; AD CE Giáo viên: Hoàng Quốc NGa THCS Cảnh Hóa 84 a Chứng minh r»ng DE// BC b Chøng minh tø gi¸c PACQ néi tiếp c Gọi giao điểm dây AD BC lµ F Chøng minh hƯ thøc: Bµi 5: 1 = CQ + CE CE Cho c¸c sè dơng a, b, c Chứng minh rằng: < đáp ¸n a b c + +   2 − y = y = Vậy N(-1; 2) điểm cố định mà (d3) qua b Gọi M giao điểm (d1) (d2) Tọa độ M nghiƯm cđa hƯ y = x − x = =>    y = 2x − y = VËy M (2; 0) NÕu (d3) qua M(2,0) M(2,0) nghiệm (d3) Ta có : = 2m + (m+2) => m = - (d1); (d2); (d3) đồng quy 3 Bµi 3: a ∆' = m2 –3m + = (m - )2 + >0 ∀ m Vậy m = - Vậy phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt  x1 + x2 = 2(m − 1)  x1 + x2 = 2m − =>   x1 x2 = m − 2 x1 x2 = 2m − b Theo ViÐt:  x1+ x2 – 2x1x2 – = kh«ng phơ thuéc vµo m a P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – (m-3) = (2m VËyPmin = 15 15 ) + ≥ ∀m 4 15 víi m = 4 Bài 4: Vẽ hình viết giả thiết kết luận a Sđ CDE = 1 S® DC = S® BD = ∠BCD 2 Giáo viên: Hoàng Quốc NGa THCS Cảnh Hóa 85 => DE// BC (2 gãc vÞ trÝ so le) s® (AC - DC) = ∠ AQC => APQC néi tiÕp (v× ∠ APC = ∠ AQCcïng nh×n ®oan AC) c.Tø gi¸c APQC néi tiÕp ∠ CPQ = ∠ CAQ (cïng ch¾n cung CQ) ∠ CAQ = ∠ CDE (cïng ch¾n cung DC) Suy ∠ CPQ = ∠ CDE => DE// PQ DE CE QE DE Ta cã: PQ = CQ (v× DE//PQ) (1) = QC (v× DE// BC) (2) FC DE DE CE + QE CQ 1 Céng (1) vµ (2) : PQ + FC = CQ = CQ = => PQ + FC = DE (3) 1 ED = EC (t/c tiÕp tuyÕn) tõ (1) suy PQ = CQ Thay vµo (3) : CQ + CF = CE a a a+c Bµi 5:Ta cã: < < (1) a+b+c b+a a+b+c b b b+a < < (2) a+b+c b+c a+b+c c c c+b < < (3) a+b+c c+a a+b+c b ∠ APC = Céng tõng vÕ (1),(2),(3) : 1< a c b + +