Các dạng toán về khảo sát hàm số biến thiên cực trị

87 408 0
Các dạng toán về khảo sát hàm số  biến thiên cực trị

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Đỗ Minh Tuấn Các dạng tốn liên quan đến khảo sát hàm số www.VNMATH.com Đỗ Minh Tuấn Các dạng tốn liên quan đến khảo sát hàm số www.VNMATH.com Dạng 5: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x, m) đạt cực trị điểm x0 C¸c d¹ng to¸n liªn quan ®Õn kh¶o s¸t hµm sè Cách giải ' Dạng 1: Cho hàm số y  f ( x, m) có tập xác định D Tìm điều kiện tham số m để hàm số đơn điệu D  Hàm số đạt cực trị điểm x0 thì: y ( x0 )  GPT ta tìm giá trị m Cách giải  Thử lại giá trị m vừa tìm xem có thỏa mãn hay khơng?  Hàm số đồng biến D  y '  0, x  D  Hàm số nghịch biến D  y '  0, x  D  y '' ( x0 )   x0 điểm CT Chú ý:  a  a  y '  0,      Nếu y '  ax  bx  c thì: y '  0,          Nếu y  B2 kiểm tra cách lập bảng biến thiên B1 Dạng 6: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x, m) có cực trị hai điểm x1 , x2 điểm cực trị thỏa mãn hệ thức (I) Dạng 2: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x, m) đơn điệu khoảng (a; b) Cách giải Cách giải  Hàm số đồng biến (a; b)  y '  0, x  (a; b)  Hàm số nghịch biến (a; b)  y '  0, x  (a; b)  Sử dụng kiến thức: m  f ( x ), x  (a; b)  m  max f ( x ) m  f ( x ), x  (a; b)  m  f ( x )  Tìm điều kiện m để hàm số có cực trị  Vận dụng định lý Viet, ta có hệ thức liên hệ x1 x2  Biến đổi hệ thức (I) cho vận dụng định lý Viet để tìm m  Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết (1) Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số y  f ( x) ( a;b ) ( a;b ) Dạng 3: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x , m )  ax  bx  cx  d đơn điệu khoảng có độ dài k cho trước Cách giải  Cách giải ' y '' ( x0 )   x0 điểm CĐ Nếu y  B3 y  B4 vận dụng kiến thức: Đối với hàm số y  ax  bx  cx  d :  Thực phép chia đa thức y cho y ' viết hàm số dạng: y  u ( x) y '  Mx  N  Ta có: y  3ax  2bx  c  Gọi A( x1; y1 ) B( x2 ; y2 ) hai điểm cực trị Khi đó: y1  Mx1  N y2  Mx2  N  a  Hàm số đồng biến khoảng ( x1; x2 )  PT: y '  có hai nghiệm phân biệt x1 x2   (1)    Do đó, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng: y  Mx  N  Biến đổi x1  x2  k thành ( x1  x2 )2  x1x2  k  Sử dụng định lý Viet, đưa phương trình (2) thành phương trình theo m  Giải phương trình, kết hợp với điều kiện (1) đưa kết  (2) Dạng 4: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x, m) có cực trị Đối với hàm số y   Chứng minh bổ đề: Nếu hàm số y   Áp dụng bổ đề: Cách giải  ' u' ( x ) u ( x)  y ( x0 )  có  y( x0 )  v( x ) v' ( x0 ) v( x0 )  Gọi A( x1; y1 ) B( x2 ; y2 ) hai điểm cực trị Khi đó: y1  ' Đối với hàm số: y  ax  bx  cx  d Khi đó, ta có: y  3ax  2bx  c  Hàm số có cực trị  Hàm số có CĐ CT  PT: y '  3ax  2bx  c  có hai nghiệm phân biệt  ax  bx  c : mx  n Đối với hàm số: y  ax  bx  c amx  anx  (bn  cm) g ( x) Khi đó, ta có: y '   mx  n (mx  n)2 (mx  n)2 2ax1  b 2ax2  b y2  m m Do đó, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng: y  Dạng 8: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có điểm cực trị nằm hai phía trục tung Cách giải Hàm số có cực trị  Hàm số có CĐ CT  PT: g ( x)  amx  2anx  (bn  cm)  có hai nghiệm phân biệt khác  Trang 2a b x m m n m  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2) Trang Đỗ Minh Tuấn Các dạng tốn liên quan đến khảo sát hàm số www.VNMATH.com Đỗ Minh Tuấn Các dạng tốn liên quan đến khảo sát hàm số www.VNMATH.com  A B nằm hai phía trục Oy  x1x2  (sử dụng hệ thức (2)) Dạng 13: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có điểm cực trị A B thỏa mãn  Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết hệ thức (VD: AB  k , AB ngắn nhất, OA  2OB …) Cách giải Dạng 9: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1) Cách giải  Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính giá trị y1 y2 (tính giống Dạng 7)  Tọa độ điểm cực trị: A( x1; y1 ) , B( x2 ; y2 )  Từ hệ thức liên hệ điểm A, B ta tìm giá trị m  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính giá trị y1 y2 (tính giống Dạng 7)  Các điểm cực trị nằm hai phía trục Oy  y1 y2  (sử dụng hệ thức (2))  Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Dạng 14: Tìm điểm M thuộc đường thẳng d : Ax  By  C  cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  f ( x) nhỏ Cách giải  Tìm điểm cực trị A( x1; y1 ) B( x2 ; y2 ) ĐTHS y  f ( x) Dạng 10: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng d : Ax  By  C  cho trước  Viết phương trình đường thẳng AB Cách giải  Kiểm tra xem A va B nằm phía hay nằm hai phía đường thẳng d  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính giá trị y1 y2 (tính giống Dạng 7)  Tọa độ điểm cực trị: A( x1; y1 ) , B( x2 ; y2 )  A B nằm hai phía d  ( Ax1  By1  C )( Ax2  By2  C )   kết + Nếu: ( Ax1  By1  C )( Ax2  By2  C )   A B nằm hai phía d Khi đó: MA  MB  AB Do đó: MA  MB nhỏ  M giao điểm AB với đường thẳng d + Nếu: ( Ax1  By1  C )( Ax2  By2  C )   A B nằm phía d - Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d - Khi đó: MA  MB  MA'  MB  A' B Do đó: MA  MB nhỏ  M giao điểm A’B B với đường thẳng d Dạng 11: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có điểm CĐ CT đối xứng với qua đường thẳng d : Ax  By  C   Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2) d d A* Cách giải *M A *M0 H *B A’ A, B nằm hai phía  Tính giá trị y1 y2 (tính giống Dạng 7)  Tọa độ điểm cực trị: A( x1; y1 ) , B( x2 ; y2 )   AB  d A B đối xứng với qua d    I  d I trung điểm AB  Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết  giá trị m M A, B nằm phía Dạng 15: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có điểm CĐ, CT đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng d : Ax  By  C  góc α Cách giải Dạng 12: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có điểm CĐ CT cách đường thẳng d : Ax  By  C  Cách giải  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính giá trị y1 y2 (tính giống Dạng 7)  Tọa độ điểm cực trị: A( x1; y1 ) , B( x2 ; y2 )   AB  d A B cách đường thẳng   I  d I trung điểm AB  Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Trang  giá trị m  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị  Viết phương trình đường thẳng  qua hai điểm cực trị (1)      d  k   kd  Khi đó:    d  k kd  1  giá trị m   k k  tạo với d góc α   d  tan α  k k d   Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Trang Đỗ Minh Tuấn Các dạng tốn liên quan đến khảo sát hàm số www.VNMATH.com Dạng 16: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  ax  bx  c có điểm CĐ, CT tạo thành tam giác vng cân Đỗ Minh Tuấn Các dạng tốn liên quan đến khảo sát hàm số ' ' www.VNMATH.com  Tính y Từ suy ra: y ( x0 )  Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y  y ' ( x0 )( x  x0 )  y0 Cách giải Dạng 20: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) : y  f ( x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị (1)  Tìm tọa độ điểm cực trị A, B, C ĐTHS   Xác định k  Xác định xem ABC cân điểm nào, giả sử cân A   Khi đó: ABC vng cân  OA.OB   giá trị m  Tính f ' ( x) giải phương trình f ' ( x)  k để tìm hồnh độ tiếp điểm x0 Từ suy ra: y0  f ( x0 )  Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết  PT tiếp tuyến cần tìm: y  k ( x  x0 )  y0 Cách giải Chú ý: ĐTHS trùng phương có trục đối xứng trục Oy ĐTHS có điểm CĐ, CT  ĐTHS có ba điểm cực trị Dạng 17: Tìm giá trị m để tiệm cận xiên ĐTHS y  ax  bx  c chắn hai trục tọa độ tam mx  n Dạng 21: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) : y  f ( x) biết tiếp tuyến qua điểm A( x A ; y A ) Cách giải  Gọi  đường thẳng qua điểm A( x A ; y A ) có hệ số góc k  PT  : y  k ( x  x A )  y A   f ( x)  k ( x  x A )  y A  tiếp tuyến (C)  HPT:  '  k  f ( x) (1)  Thay k từ (2) vào (1) ta được: f ( x)  f ' ( x)( x  x A )  y A (3)  Giải phương trình (3) ta x  k (thay vào (2))  PT tiếp tuyến cần tìm (thay vào (*)) giác có diện tích k Cách giải  Tìm đường tiệm cận xiên ĐTHS  Tìm tọa độ giao điểm A( x A ;0) B(0; yB ) TCX với trục tọa độ   y B 1 Khi đó: OA  x A OB  yB  SOAB  OA.OB  x A yB 2 A O x Cách giải ax  b cho tổng khoảng cách từ điểm M đến giao điểm cx  d hai đường tiệm cận nhỏ  Giả sử: M ( x0 ; y0 ) Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k có dạng: y  k ( x  x0 )  y0   f ( x)  k ( x  x0 )  y0  tiếp tuyến (C)  HPT:  '  k  f ( x) (1)  Thay k từ (2) vào (1) ta được: f ( x)  f ' ( x )( x  x0 )  y0 (3)  Khi đó, từ M kẻ n tiếp tuyến đến (C)  PT (3) có n nghiệm phân biệt  kết Cách giải  Tìm đường tiệm cận ĐTHS  Giao điểm A B hai đường tiệm cận  Sử dụng phương pháp chia đa thức, viết lại hàm số cho dạng: y  p  q (với p, q   ) cx  d  q   Gọi M  m; p    (C ) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận cm  d    Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số khơng âm  kết Chú ý: - Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng  : Ax  By  C  là: d ( M ; )  có nghiệm (2) Dạng 22: Tìm điểm M cho từ điểm M kẻ n tiếp tuyến tới đồ thị (C ) : y  f ( x) Từ đó, suy kết m Dạng 18: Tìm điểm M đồ thị (C): y  có nghiệm (2) Dạng 23: Tìm điểm M cho từ điểm M kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C ) : y  f ( x) hai tiếp tuyến vng góc với Cách giải  Giả sử: M ( x0 ; y0 ) Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k có dạng: y  k ( x  x0 )  y0   f ( x)  k ( x  x0 )  y0  tiếp tuyến (C)  HPT:  '  k  f ( x) (1) (3) Ax0  By0  C A2  B - Bất đẳng thức Cơ-si cho hai số khơng âm A B: A  B  AB Dấu “=” xảy  A  B có nghiệm (2)  ax  bx  c - Đối với hàm số dạng y  cách làm hồn tồn tương tự mx  n Thay k từ (2) vào (1) ta được: f ( x)  f ' ( x )( x  x0 )  y0  Khi đó, qua M kẻ tiếp tuyến đến (C)  PT (3) có nghiệm phân biệt x1 x2 Dạng 19: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) : y  f ( x) điểm M ( x0 ; y0 )  Hai tiếp tuyến vng góc với  f ' ( x1 ) f ' ( x2 )  1  kết Cách giải  Chú ý: Qua M kẻ tiếp tuyến đến (C) cho hai tiếp điểm nằm hai phía trục hồnh (3) có nghiệm phân biệt   f ( x1 ) f ( x2 )  Xác định x0 y0 Trang (*) Trang Đỗ Minh Tuấn Các dạng tốn liên quan đến khảo sát hàm số www.VNMATH.com Dạng 24: Tìm giá trị m để đồ thị (C1 ) : y  f ( x, m) cắt đồ thị (C2 ) : y  g ( x) n điểm phân biệt Cách giải  (C1 ) cắt (C2 ) n điểm phân biệt  PT: f ( x, m)  g ( x) có n nghiệm phân biệt  Tìm m số cách: dựa vào điều kiện có nghiệm PT bậc hai, dựa vào bảng biến thiên, dựa vào đồ thị …  kết Đỗ Minh Tuấn Các dạng tốn liên quan đến khảo sát hàm số www.VNMATH.com Dạng 28: Tìm giá trị m để đường thẳng đồ thị (C ) : y  ax  bx  cx  d cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Cách giải  Dạng 25: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: F ( x, m)  Điều kiện cần:  Hồnh độ giao điểm x1, x2 , x3 nghiệm PT: ax3  bx  cx  d   b Theo định lý Viet, ta có: x1  x2  x3   a Cách giải (1) (2)  Biến đổi phương trình F ( x, m)  dạng: f ( x)  g (m) , đồ thị y  f ( x) vẽ đồ thị  Do x1, x2 , x3 lập thành cấp số cộng, nên: x1  x3  x2 Thay vào (2) ta được: x2    Số nghiệm PT cho số giao điểm đồ thị (C ) : y  f ( x) với đường thẳng d : y  g (m)  Thay vào (1), ta giá trị m  Dựa vào số giao điểm d với (C)  kết Dạng 26: Tìm giá trị m để đường thẳng d : y  px  q cắt đồ thị (C ) : y  ax  b hai điểm phân biệt cx  d M, N cho độ dài đoạn MN nhỏ  Điều kiện đủ: Thử lại giá trị m vừa tìm xem PT cho có nghiệm hay khơng  Kết luận: Đưa giá trị m Dạng 29: Tìm giá trị m để đường thẳng đồ thị (C ) : y  ax3  bx  cx  d cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số nhân Cách giải  Cách giải ax  b d cắt (C ) hai điểm phân biệt  PT:  px  q có hai nghiệm phân biệt cx  d  d  PT: Ax  Bx  C  (1) có hai nghiệm phân biệt khác  c  điều kiện m Điều kiện cần:  Hồnh độ giao điểm x1 , x2 , x3 nghiệm PT: ax3  bx  cx  d   Theo định lý Viet, ta có: x1x2 x3    Do x1, x2 , x3 lập thành cấp số nhân, nên: x1x3  x22 Thay vào (2) ta được: x2    Thay vào (1), ta giá trị m (*)  Khi đó, d cắt (C ) hai điểm phân biệt M ( x1; y1 ) N ( x2 ; y2 ) Theo định lý Viet ta có mối liên hệ x1 x2 ( x1 x2 hai nghiệm pt (1))  Tính: MN  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  kết m để MN nhỏ Chú ý: - Khi tính y1 y2 ta thay x1 x2 vào phương trình đường thẳng d   - OMN vng  OM ON   x1x2  y1 y2  - Đối với đồ thị hàm số (C ) : y  ax  bx  c cách làm hồn tồn tương tự mx  n Dạng 27: Tìm giá trị m để đường thẳng d : y  px  q cắt đồ thị (C ) : y  ax  b hai điểm phân biệt cx  d d a Điều kiện đủ: Thử lại giá trị m vừa tìm xem PT cho có nghiệm hay khơng Kết luận: Đưa giá trị m d a Dạng 30: Cho họ đường cong (Cm ) : y  f ( x, m) , với m tham số Tìm điểm cố định mà họ đường cong qua với giá trị m Cách giải  Gọi A( x0 ; y0 ) điểm cố định họ (Cm ) Khi ta có: y0  f ( x0 , m), m  Am  B  0, m A    x0 yo  điểm cố định A B   Xác định tiệm cận đứng (C)  d cắt (C ) hai điểm phân biệt thuộc nhánh (C)  ax  b  px  q có hai nghiệm phân biệt nằm phía TCĐ cx  d d nằm phía với TCĐ c  kết m (vận dụng điều kiện để hai điểm nằm phía đường thẳng) Trang (2)  Cách giải  PT: Ax  Bx  C  (1) có hai nghiệm phân biệt khác  (1)  thuộc nhánh (C)  PT: b 3a Kết luận điểm cố định mà họ (Cm ) ln qua Dạng 31: Cho họ đường cong (Cm ) : y  f ( x, m) , với m tham số Tìm điểm mà họ đường cong khơng qua với giá trị m Cách giải  Gọi A( x0 ; y0 ) điểm mà họ (Cm ) khơng qua m  Khi phương trình ẩn m: y0  f ( x0 , m) vơ nghiệm  điều kiện x0 y0 Trang GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 LÝ THUYẾT KHẢO SÁT HÀM SỐ Đỗ Minh Tuấn Các dạng tốn liên quan đến khảo sát hàm số www.VNMATH.com Dạng 32: Cho đồ thị (C ) : y  f ( x) Vẽ đồ thị hàm số y  f  x  Cách giải   f ( x) x  Ta có: y  f  x     f ( x) x   Do đó, đồ thị hàm số y  f  x  hợp hai phần:  Phần 1: phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Ox  Phần 2: phần đối xứng với phần qua trục Ox Dạng 33: Cho đồ thị (C ) : y  f ( x) Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x) Cách giải  Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x)   f ( x) f ( x)  Ta có: y  f ( x)    f ( x) f ( x)   Do đó, đồ thị hàm số y  f ( x ) hợp hai phần:  Phần 1: phần đồ thị (C) bên trục Ox  Phần 2: phần đối xứng với phần đồ thị (C) bên trục Ox qua trục Ox Dạng 34: Cho đồ thị (C ) : y  f ( x) Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x) Cách giải  Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x)   f (x)   Ta có: y  f ( x )    y  f ( x )   y   f ( x )  Do đó, đồ thị hàm số y  f ( x ) hợp hai phần:  Phần 1: phần đồ thị (C) nằm bên trục Ox  Phần 2: phần đối xứng với phần qua trục Ox Dạng 35: Cho đồ thị (C ) : y  f ( x) Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x )  u( x ) v( x ) Cách giải Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f đồng biến khoảng I f '(x ) ≥ 0, ∀x ∈ I b) Nếu f nghịch biến khoảng I f '(x ) ≤ 0, ∀x ∈ I Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f '(x ) ≥ 0, ∀x ∈ I ( f '(x ) = số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f '(x ) ≤ 0, ∀x ∈ I ( f '(x ) = số hữu hạn điểm) f nghịch biến I c) Nếu f '(x ) = f khơng đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục Điều kiện hàm số ln đồng biến miền xác định Cho hàm số y = f (x , m ) , m tham số, có tập xác định D • Hàm số f đồng biến D ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ D • Hàm số f nghịch biến D ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ D Từ suy điều kiện m Chú ý: ● y ' = xảy số hữu hạn điểm ●Nếu y ' = ax + bx + c thì: a = b =  c ≥  • y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  a >  ∆ ≤  a = b =  c ≤  • y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔  a <  ∆ ≤  ●Định lí dấu tam thức bậc hai g(x ) = ax + bx + c : ♣ Nếu ∆ < g (x ) ln dấu với a b ) 2a ♣ Nếu ∆ > g (x ) có hai nghiệm x1, x khoảng hai nghiệm g (x ) khác dấu với a , ngồi khoảng hai nghiệm g (x ) dấu với a ♣ Nếu ∆ = g (x ) ln dấu với a (trừ x = − ●So sánh nghiệm x1, x tam thức bậc hai g(x ) = ax + bx + c với số 0: u( x ).v( x ) u( x )  Ta có: y    u( x ).v( x ) u( x )   Định nghĩa: Hàm số f đồng biến K ⇔ ∀x1, x ∈ K , x1 < x ⇒ f (x1 ) < f (x ) Hàm số f nghịch biến K ⇔ ∀x1, x ∈ K , x1 < x ⇒ f (x1 ) > f (x ) Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x)   I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Do đó, đồ thị hàm số y  f ( x )  u( x ) v( x ) hợp hai phần:  Phần 1: phần đồ (C) miền u( x )   Phần 2: phần đối xứng với phần đồ thị (C) miền u( x )  qua trục Ox ∆ >  ♣ x1 < x2 < ⇔  P >  S <  ∆ >  ♣ < x1 < x ⇔  P >  S >  ●Để hàm số y = ax + bx + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2 ) d BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Trang ♣ x1 < < x ⇔ P < Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 • Tìm f '(x ) ta thực bước sau: Bước 1: Tính y ' Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: • Tìm điểm x i (i = 1, 2, …) mà đạo hàm khơng có đạo hàm • Xét dấu f '(x ) Nếu f '(x ) đổi dấu x qua x i hàm số đạt cực trị x i a ≠   ∆  > (1) Bước 3: Biến đổi x − x = d thành (x + x )2 − 4x 1x = d Qui tắc 2: Dùng định lí • Tính f '(x ) • Giải phương trình f '(x ) = tìm nghiệm x i (i = 1, 2, …) • Tính f ''(x ) f ''(xi ) (i = 1, 2, …) Nếu f ''(x i ) < hàm số đạt cực đại x i (2) Bước 4: Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Nếu f ''(x i ) > hàm số đạt cực tiểu x i III SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ Cho hai đồ thị (C ) : y = f (x ) (C ) : y = g(x ) Để tìm hồnh độ giao điểm (C1) (C2) ta II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ giải phương trình: f (x ) = g (x ) (*) (gọi phương trình hồnh độ giao điểm) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm hai đồ thị Đồ thị hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) cắt trục hồnh điểm phân biệt Khái niệm cực trị hàm số Giả sử hàm số f xác định tập D (D ⊂ R) x ∈ D ⇔ Phương trình ax + bx + cx + d = có nghiệm phân biệt a) x – điểm cực đại f tồn khoảng (a ;b ) ∈ D x ∈ (a;b) cho f (x ) < f (x ), ∀x ∈ (a;b) \ {x 0} ⇔ Hàm số y = ax + bx + cx + d có cực đại, cực tiểu yCĐ yCT < Khi f (x ) gọi giá trị cực đại (cực đại) f IV TỐN TIẾP TUYẾN b) x – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a ;b ) ∈ D x ∈ (a;b) cho Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C ) : y = f (x ) điểm M (x ; y ) : f (x ) > f (x ), ∀x ∈ (a;b) \ {x 0} • Nếu cho x tìm y0 = f (x ) Khi f (x ) gọi giá trị cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x điểm cực trị f điểm (x ; f (x )) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x đạt cực trị điểm f '(x ) = Nếu cho y0 tìm x nghiệm phương trình f (x ) = y0 • Tính y ' = f '(x ) Suy y '(x ) = f '(x ) • Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y − y0 = f '(x ).(x − x ) Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a ;b ) chứa điểm x có đạo hàm (a;b) \ {x 0} a) Nếu f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua x f đạt cực tiểu x b) Nếu f '(x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua x f đạt cực đại x Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x , f '(x ) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x a) Nếu f ''(x ) < f đạt cực đại x b) Nếu f ''(x ) > f đạt cực tiểu x Quy tắc tìm cực trị Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C ) : y = f (x ) , biết ∆ có hệ số góc k cho trước Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm • Gọi M (x ; y ) tiếp điểm Tính f '(x ) • ∆ có hệ số góc k ⇒ f '(x ) = k (1) • Giải phương trình (1), tìm x tính y0 = f (x ) Từ viết phương trình ∆ Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc • Phương trình đường thẳng ∆ có dạng: y = kx + m • ∆ tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm: f (x ) = kx + m   f '(x ) = k  • Giải hệ (*), tìm m Từ viết phương trình ∆ Chú ý: Hệ số góc k tiếp tuyến ∆ cho gián tiếp sau: + ∆ tạo với chiều dương trục hồnh góc α k = tan α + ∆ song song với đường thẳng d : y = ax + b k = a (*) Qui tắc 1: Dùng định lí BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 + ∆ vng góc với đường thẳng d : y = ax + b (a ≠ 0) k = − GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 • Vẽ đồ thị hàm số tương ứng khoảng miền xác định a Cách 2: Thực phép biến đổi đồ thị k −a = tan α + ka Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C): y = f (x ) , biết ∆ qua điểm A(x A; yA ) Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm • Gọi M (x ; y ) tiếp điểm Khi đó: y0 = f (x ); y '0 f '(x ) + ∆ tạo với đường thẳng d : y = ax + b góc α Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f (x ) Đồ thị (C′) hàm số y = f (x ) suy từ đồ thị (C) hàm số y = f(x) sau: + Giữ ngun phần đồ thị (C) phía trục hồnh • Phương trình tiếp tuyến ∆ M : y − y0 = f '(x )(x − x ) • ∆ qua A(x A; yA ) nên: yA = −y = f '(x )(x A − x ) (2) + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) phía trục hồnh qua trục hồnh • Giải phương trình (2), tìm x Từ viết phương trình ∆ Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc • Phương trình đường thẳng ∆ qua A(x A; yA ) có hệ số góc k : y − yA = k (x − x A ) + Đồ thị (C′) hợp hai phần • ∆ tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm:  f (x ) = k (x − x ) + y  A A   f '(x ) = k  (*) • Giải hệ (*), tìm x (suy k ) Từ viết phương trình tiếp tuyến ∆ V ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC Điều kiện cần đủ để hai đường (C ) : y = f (x ) (C ) : y = g(x ) tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm:  f (x ) = g(x )    f '(x ) = g '(x )  Nghiệm hệ (*) hồnh độ tiếp điểm hai đường Nếu (C ) : y = px + q (C ) : y = ax + bx + c Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) Đồ thị (C′) hàm số y = f ( x ) suy từ đồ thị (C) hàm số y = f(x) sau: (*) + Giữ ngun phần đồ thị (C) bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung + Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung + Đồ thị (C′) hợp hai phần (C1) (C2) tiếp xúc ⇔ phương trình ax + bx + c = px + q có nghiệm kép VI KHOẢNG CÁCH Khoảng cách hai điểm A, B: AB = (x B − x A )2 + (yB − yA )2 Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = d(M, ∆) = ax + by + c a + b2 VII ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Cách 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị • Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối • Chia miền xác định thành nhiều khoảng, khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 0968.393.899 • Tập xác định: D = ℝ PHẦN I: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ HT GV.Lưu Huy Thưởng Cho hàm số y = (m − 1)x + mx + (3m − 2)x (1) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến tập xác định Giải y ' = 6x − 6(2m + 1)x + 6m(m + 1) có ∆ = (2m + 1)2 − 4(m + m ) = > x = m y ' = ⇔  x = m + Ta có: y’ ≥ 0, ∀x (-∞;m) (m + 1; +∞) • Tập xác định: D = R y ′= (m − 1)x + 2mx + 3m − Do đó: hàm số đồng biến (2; +∞) ⇔ m + ≤ ⇔ m ≤ (1) đồng biến R ⇔ y ′≥ 0, ∀x HT ⇔ (m − 1)x + 2mx + 3m − ≥ 0, ∀x m − = 2m = m >  3m − ≥  m >    ⇔  ⇔  ⇔ m ≤ ⇔ m ≥ −2m + 5m − ≤  m − >     m ≥ m − (m − 1)(3m − 2) ≤   HT Cho hàm số y = x + (1 − 2m )x + (2 − m )x + m + Tìm m để hàm đồng biến (0;+∞) Giải • Tập xác định: D = ℝ y ′= 3x + 2(1 − 2m )x + (2 − m ) Cho hàm số y = x + 3x − mx − (1) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) Hàm đồng biến (0; +∞) ⇔ y ′= 3x + 2(1 − 2m )x + (2 − m ) ≥ với ∀x ∈ (0; +∞) đồng biến khoảng (−∞; 0) ⇔ f (x ) = Giải x = −  2(2x + x − 1) ′ Ta có: f (x ) = = ⇔ 2x + x − = ⇔  x = (4x + 1)  • Tập xác định: D = ℝ ; y ' = 3x + 6x − m , (1) đồng biến khoảng (-∞;0) ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ (-∞;0) ⇔ 3x + 6x − m ≥ ∀x ∈ (-∞;0) x -∞ -1 f’(x) - + x + f(x) -3 ⇔ 3x + 6x ≥ m ∀x ∈ (-∞;0) Xét hàm số f(x) = 3x + 6x − m (-∞;0] 3x + 2x + ≥ m với ∀x ∈ (0; +∞) 4x + +∞ Lập bảng biến thiên hàm f (x ) (0; +∞) , từ ta đến kết luận: 1 f   ≥ m ⇔ ≥ m   Có f’(x) = 6x + 6; f’(x) = ⇔ x = -1 Từ bảng biến thiên: ⇒ m ≤ −3 HT Cho hàm số y = x − 2mx − 3m + (1), (m tham số) Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng (1; 2) Giải HT Cho hàm số y = 2x − 3(2m + 1)x + 6m(m + 1)x + có đồ thị (Cm) Tìm m để hàm số đồng • Tập xác định: D = ℝ biến khoảng (2; +∞) Ta có y ' = 4x − 4mx = 4x (x − m) Giải BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUN CẦN SẼ TỚI BẾN Page BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUN CẦN SẼ TỚI BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT Cho hàm số y = x + 3x + mx + m Tìm m để hàm số nghịch biến đoạn có độ dài + m ≤ , y ′≥ 0, ∀x ∈ (1;2) ⇒ m ≤ thoả mãn + m > , y ′= có nghiệm phân biệt: − m , 0, Giải m Hàm số (1) đồng biến (1; 2) khi m ≤ ⇔ < m ≤ Vậy m ∈ (−∞;1  Hàm số cho xác định ℝ Ta có: y ' = 3x + 6x + m có ∆ ' = − 3m + Nếu m ≥ y’ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ , hàm số đồng biến ℝ , m ≥ khơng thỏa mãn HT mx + Cho hàm số y = x +m (1) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (−∞;1) đoạn: x 1; x  với độ dài l = x − x Giải • Tập xác định: D = R \ {–m} y ′= m2 − (x + m )2 + Nếu m < 3, đó: y’ = có hai nghiệm phân biệt x1 , x (x1 < x ) hàm số nghịch biến Theo Vi-ét ta có: x + x = −2, x1x = m Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài ⇔ l = Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ y ′< ⇔ −2 < m < (1) ⇔ (x − x1 ) = ⇔ (x1 + x )2 − 4x1x = ⇔ − m = ⇔ m = Để hàm số (1) nghịch biến khoảng (−∞;1) ta phải có −m ≥ ⇔ m ≤ −1 (2) Kết hợp (1) (2) ta được: −2 < m ≤ −1  π HT Chứng minh rằng, hàm số y = sin2 x + cos x đồng biến đoạn 0;  nghịch biến  3   π  đoạn  ; π 3    Giải Hàm số cho xác định  0; π  Ta có: y ' = sin x (2 cos x − 1), x ∈ (0; π) Vì x ∈ (0; π) ⇒ sin x > nên (0; π) : y ' = ⇔ cos x = π ⇔x =  π + Trên khoảng 0;  : y ' > nên hàm số đồng biến đoạn    π 0;   3   π  + Trên khoảng  ; π : y ' < nên hàm số nghịch biến đoạn   BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUN CẦN SẼ TỚI BẾN π   ; π 3    Page BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUN CẦN SẼ TỚI BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 PHẦN 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HT GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Ta có y ' = 6[ x − (m + 2) x + 5m + 1], y ' = ⇔ m( x − 5) = x − x + (1) Cho hàm số y = x + (1 – 2m )x + (2 – m )x + m + (m tham số) (1) Tìm giá trị Do x = khơng nghiệm (1) ⇒ (1) ⇔ m = m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hồnh độ điểm cực tiểu nhỏ g '( x ) = Giải • Tập xác định: D = ℝ x − 10 x + ( x − 5)2 x2 − 2x + = g( x ) x−5 x = =0⇔ x = Bảng biến thiên: y ′= 3x + 2(1 − 2m )x + − m = g(x ) YCBT ⇔ phương trình y ′= có hai nghiệm phân biệt x 1, x thỏa mãn: x1 < x < + - - - +  ′ ∆ = 4m − m − >  ⇔ g(1) = −5m + > ⇔ ∆ ' = −m − 2m + > −3 < m <    m ⇔ P = ⇔ m < ⇔ m < ⇔ −3 < m < −2 >0    3(m + 2) m + < m < −2    −3  S= >0  m +2 HT 11 Cho hàm số y = x − 3(m + 2) x + 6(5m + 1) x − (4m3 + 2) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x0 ∈ (1;  x − mx + (1) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có cực tiểu mà 2 khơng có cực đại Giải • Tập xác định: D = ℝ x = y ′= 2x − 2mx = 2x (x − m) y ′= ⇔  x = m Đồ thị hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại ⇔ PT y ′= có nghiệm ⇔ m ≤ Giải Vì hàm số bậc nên để hàm số có hai điểm cực trị ⇔ y ' = có nghiệm phân biệt Do hệ số x dương nên đó: xCT > xCD BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 10 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 11 www.VNMATH.com 2 y = (x + 1) x − x 03 − x 02 + Hồnh độ giao điểm G ∆ d nghiệm phương trình 2x + 3x x ≠ 0; x ≠ −2 (1) (x + 1) x − x 03 − x 02 + = x + ⇔ x = (x + 2) ( ( (x + 2) cho tam giác IAB có diện tích khơng đổi ) ) , nên G  2x x 02 + 3x + ( ) + 3x x + 3x +  x + ; ) (x + 2)  (    22  2x + 3x + +  = =  (x + 2) Điểm G trọng tâm tam giác ABC ⇔   27 1+ +  x 02 + 3x + 14 =  =  (x + 2)  Giải hệ phương trình ta x = x = − Cả hai giá trị thỏa mãn điều kiện phương trình (1) 16 206 Với x = x = − ta tiếp tuyến cần tìm y = 16x − 26 y = x+ 25 125 ( Khảo sát hàm số x +2 Bài 18 Cho hàm số y = có đồ thị (C ) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận x −1 (C ) Chứng minh tiếp tuyến với (C ) ln cắt hai tiệm cận hai điểm A, B Ta có y ′ = x + 2x + Phương trình tiếp tuyến ∆ (C ) điểm (x ; y ) có dạng Tung độ giao điểm tương ứng y = www.VNMATH.com Khảo sát hàm số Giải Giải Trước hết ta thấy lim+ y = +∞ lim− y = −∞ nên (C ) có tiệm cận đứng ∆1 : x = x →1 x →+∞ x →1−∞ Do giao điểm ∆1 ∆2 I (1;1) Ta có y ′ = −3 (x − 1) Phương trình d tiếp tuyến với (C ) điểm (x ; y ) có dạng x0 + −3 y= ) (x − 1) (x − x ) + x x 02 + 4x − Với x = y = (x − 1) 0 +1 hay y = −3 (x − 1) x+ Khi IA = x0 − Tung độ giao điểm tương ứng y = 12m − (7m − 2) Giao điểm ∆ d cách hai trục tọa độ 6m − (7m − 2) = 12m − 2 − 1) S IAB = 1 IA.IB = x − = (khơng đổi) (đccm) 2 x0 − x +2 , biết tiếp tuyến cắt Ox x −2 Giải Ta có y ′ = −4 (x − 2) Phương trình tiếp tuyến với (C ) điểm M (x ; y ) , (x ≠ 2) có dạng d:y= x0 + −4 (x − x ) + x −2 − 2) Do tiếp tuyến d cắt Ox Oy A B cho tam giác OAB vng cân nên d vng góc với đường thẳng ∆1 : y = x ∆2 : y = −x Nếu d ⊥ ∆1 −4 (x − 2) (x 0 x = = −1 ⇔ (x − 2) = ⇔  x = Với x = ta có tiếp tuyến y = −x − (7m − 2)   m ≠  m ≠   ⇔m = ⇔  6m − = 12m − ⇔     m = 6m − = −12m +    14 IB = x − nên diện tích tam giác IAB Oy A B cho tam giác OAB vng cân Ta có y ′ = x + 4mx + 3m − ; y ′ (1) = 7m y (1) = 5m +   1  Phương trình tiếp tuyến (C m ) 1; 5m +  y = 7mx − 2m +   Hồnh độ giao điểm ∆ d nghiệm phương trình 6m − 7mx − 2m + = 2x ⇔ x = 3 (7m − 2) (x    x + 4x −  nên A 1;  giao điểm d ∆1   (x − 1)  Bài 19 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) hàm số y = Giải x 02 + 4x − Với y = x = x = 2x − nên B (2x − 1;1) giao điểm d ∆2 Bài 17 Cho hàm số y = x + 2mx + (3m − 1) x + có đồ thị (C m ) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C m ) điểm có hồnh độ Tìm giá trị m để giao điểm ∆ d : y = 2x cách trục tọa độ x →1 lim y = lim y = nên (C ) có tiệm cận ngang ∆2 : y = Với x = ta có tiếp tuyến y = −x + Nếu d ⊥ ∆2 −4 (x − 2) = Phương trình vơ nghiệm Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn u cầu tốn y = −x − y = −x + 15 www.VNMATH.com www.VNMATH.com Khảo sát hàm số Khảo sát hàm số Bài 20 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) hàm số y = x − 3x + , biết tiếp tuyến Giải qua điểm A (2; −3) Đường thẳng dm cắt (C ) hai điểm phân biệt ⇔ mx − m = biệt, tức Giải (m − 1) x Gọi dk đường thẳng qua điểm A (2; −3) có hệ số góc k dk : y = k (x − 2) − ) Với điều kiện đó, gọi x1, x nghiệm phương trình (1); giao điểm dm (C )  x = ⇔ 2x − 9x + 12x − = ⇔  x =  Với x = , thay vào (2) k = , ta có tiếp tuyến dk : y = −3 Với x = − (m − 1) x + m + = (1) có hai nghiệm phân biệt khác  m − ≠ m ≠    ⇔ ∆′ = (m − 1) − (m − 1)(m + 1) > ⇔ m < ⇔ m <   m ∈ »  m − − (m − 1) + m + ≠   x − 3x + = k (x − 2) − (1)  Khi đó, dk tiếp xúc với (C ) ⇔  có nghiệm 3x − 6x = k (2)  Thay (2) vào (1), ta x − 3x + = 3x − 6x (x − 2) − ( A (x1; mx1 − m ) , B (x ; mx − m ) Ta có CA = (x1 − 1; mx1 − m − 1) ; CB = (x − 1; mx − m − 1) ABC vng đỉnh C ⇔ CACB = ⇔ (x1 − 1)(x − 1) + (mx1 − m − 1)(mx − m − 1) = 9 , thay vào (2) k = − , ta có tiếp tuyến dk : y = − x + 4 2   ⇔ + m x1x − 1 + m m +  (x1 + x ) + m + + =   m +1   ⇔ + m2 − 1 + m m +  + m + + = m −1   Bài 21 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) hàm số y = x − 3x + , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng ∆ : y = x + góc α cho cos α = Giải Giả sử tiếp tuyến d cần tìm có hệ số góc k Các VTPT d ∆ nd = (k ; −1) n ∆ = (1; −1) Tiếp tuyến d tạo với ∆ góc α cho cos α = ⇔ 41 ( k +1 k2 +1 = ) ) ( ( ) ( ) ) d : y = x + cắt (C m ) ba điểm phân biệt A; B (0;1);C cho AC = Giao điểm (C m ) d có hồnh độ nghiệm phương trình 41 x − (m + 1) x − 3x + = x + (1) ) x = ⇔ x x − (m + 1) x − = ⇔  x − (m + 1) x − = (2) d có giao điểm ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ( (C ) m x = −2 có phương trình y = 9x − 15 y = 9x + 17 1 21 ta có f ′ (x ) = 3x 02 − = ⇔ x = ± Các tiếp tuyến 9 (C ) ) ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác ∆ = 9m + 18m + 25 > 0( ∀m ∈ » ) ⇔  ≠ 0( ∀m ∈ » )  Với k = ta có f ′ (x ) = 3x 02 − = ⇔ x = ±2 Các tiếp tuyến (C ) x = Giả sử A (x1; x1 + 1) C (x ; x + 1) 2 AC = 50 ⇔ (x − x1 ) + (x + 1) − (x1 + 1) = 50   2 21 243 ± 112 21 có phương trình y = x + 9 243 ⇔ (x − x1 ) = 25 ⇔ (x1 + x ) − 4x1x = 25 Dạng tốn Tìm giá trị tham số để giao điểm đồ thị hàm số đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 22 Tìm giá trị m để đường thẳng dm : y = mx − m cắt đồ thị (C ) : y = ( ) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác ABC vng đỉnh C 1; 16 ( ( Giải  k = ⇔ 9k − 82k + = ⇔  k =  x0 = ± ) Bài 23 Cho hàm số y = x − (m + 1) x − 3x + 1, (C m ) Tìm giá trị m để đường thẳng ⇔ 41(k + 1) = 50 k + Với k = ( ⇔ 2m (m − 1) = ⇔ m = (vì m < ) 41 x + 2x − có hai nghiệm phân x −1 x + 2x − x −1 m = ⇔ (m + 1) + 16 = 25 ⇔  m = −2 Bài 24 Tìm giá trị m để đường thẳng dk : y = kx + − k cắt đồ thị (C ) hàm số y= 2x + hai điểm phân biệt A B cho A B cách điểm D (2; −1) x −1 17 www.VNMATH.com www.VNMATH.com Khảo sát hàm số Giải 2x + = kx + − k có hai nghiệm phân biệt x −1 ⇔ kx − 2kx + k − = (1) có hai nghiệm phân biệt khác  k ≠ ⇔  ⇔ k > (2) ∆′ = k − k (k − 3) >  giao điểm dk (C ) Ta có dk cắt (C ) hai điểm phân biệt ⇔ Giả sử A (x1; y1 ), B (x ; y ) 2 Khảo sát hàm số y ( ) gọi C a ( ) ( ) Đồ thị (C ) gồm có hai phần (C ) (C ) Lấy đối xứng C 2a qua trục tung ta C 2b a 2 b -2 O c Ta vẽ đồ thị (C ) hàm số y = x − 3x + sau -1 x Từ đồ thị (C ) hàm số (C ) : y = x − 3x + , ta vẽ đồ thị AD = BD ⇔ (x1 − 2) + (kx1 − k + 3) = (x − 2) + (kx − k + 3) (C ) hàm số y = x ⇔ (x1 − x )(x1 + x − 4) + k (x1 − x ) k (x1 + x ) − 2k + 6 =   ⇔ (x1 − x ) (x1 + x ) − + k (x1 + x ) − 2k + 6k  =   y − 3x + Từ đồ thị (C ) , ta vẽ đồ thị (C ) hàm số y = x − 3x + ⇔ (x1 + x ) − + k (x1 + x ) − 2k + 6k = (vì x1 ≠ x ) O -2 -1 x ⇔ − + 2k − 2k + 6k = (do x1; x nghiệm phương trình (1) ⇔k = (thỏa mãn điều kiện (2)) Bài 26 Cho hàm số y = x − 4x + 3, (C ) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số Dạng tốn Các tốn liên quan đến đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối b Tìm giá trị m để phương trình x − 4x + − log2 m + = có nghiệm phân biệt Bài 25 Từ đồ thị hàm số (C ) : y = x − 3x + vẽ đồ thị hàm số sau Giải a (Học sinh tự khảo sát) 3 b y = x − 3x + a y = x − 3x + c y = x − 3x + Giải y Trước hết ta vẽ đồ thị (C ) hàm số y = f (x ) = x − 3x + 3 (C )  f (x ) , f (x ) ≥ a Ta có y = x − 3x + =  , C1 −f (x ), f (x ) < O ( ) b Ta biến đổi O -1 Do ta vẽ (C ) sau (C ) : y = x ( ) ( )  f (x ) , x ≥ , đồng thời hàm số f x  f (−x ), x <  b Ta có y = x − 3x + =  y (C ) ( ) Đồ thị (C ) gồm có hai phần C 1a C 1b ( ) hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung Do ta 1 O -1 x − 4x + đường thẳng dm : y = log m − 18 (C ) y dm x − 4x + 3, x − 4x + ≥ Vì x − 4x + =  , nên ta vẽ đồ x − 4x + 3, x − 4x + < thị (C ) sau O Giữ lại phần đồ thị (C ) khơng nằm trục hồnh, ta ( ) gọi C 1a ( ) Giữ lại phần đồ thị (C ) khơng nằm bên trái trục hồnh, ta x Lấy đối xứng phần lại (C ) qua trục hồnh, ta C 1b vẽ đồ thị (C ) sau x − 4x + − log m + = Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm ( ) Lấy đối xứng phần lại (C ) qua trục Ox, ta gọi C -1 ⇔ x − 4x + = log m − (1) a b x Giữ lại phần đồ thị (C ) khơng nằm bên trục hồnh, ta gọi C y (C ) ( ) ( ) Đồ thị gồm có C 1a C 1b 19 -1 x www.VNMATH.com Dạng tốn Tìm điểm đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 27 Cho hàm số y = www.VNMATH.com Khảo sát hàm số  2x + 1  = MO = x 02 +   x −  d Ta có 2x + , (C ) Tìm điểm M thuộc (C ) cho x −1 = ) d M cách gốc tọa độ O A + 5; ; e M có khoảng cách tới ∆ : x + 3y − = (x  2x + 1  , x ≠ Với M ∈ (C ) bất kỳ, ta có M x ;  x −  x ∈ »  a Điểm M có tọa độ ngun, tức  2x +  = 2+ ∈» x0 −  x − ⇔ (x − 1) x ∈ » ⇔ −2−2 − 1) ; ( )  2x +  +  − 2  x −  ) ( ) ( ) (x − 1) − 1) = (x ) − 1) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 04 − + x 03 + 33 + 16 x 02 − 52 + 20 x + 33 + (x ( ) ( − 1) ) x 04 − + x 03 + 33 + 16 x 02 − 52 + 20 x + 33 + (x ( − 1) )  x =  x = +   1 +   ; +  Vậy có hai điểm thỏa mãn u cầu tốn M (2; 5) M 10    2x + x0 − x x = + 13 x − 3x − = 2x +  u cầu tốn ⇔ ⇔ = x ⇔  02 x0 −  x = − 13 x + x + = (VN )    + 13  − 13    Vậy có hai điểm thoản mãn u cầu tốn M 3 + 13;  M 3 − 13;      c Ta có lim+ y = +∞ lim y = −∞ nên (C ) có tiệm cận đứng ∆1 : x = ) x + e Ta có d (M , ∆) = Do d (M , ∆) = x →1− 2x + −2 x0 −1 = x 02 − x + 3 x 02 − x + 3 3 3 ⇔ = 2 x2 −x = 0 ⇔ x0 = ⇔  x − x + = (VN ) Vậy có điểm thỏa mãn u cầu tốn M11 (0; −1) lim y = lim y = nên (C ) có tiệm cận ngang ∆2 : y = x →−∞ Khoảng cách từ điểm M tới tiệm cận d (M , ∆1 ) = x − d (M , ∆2 ) = x0 − Bài 28 Cho hàm số y = x − 3x − , (C ) Tìm đường thẳng d : y = −2 điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến (C ) Cosi d (M , ∆1 ) + d (M , ∆2 ) = x − + ≥ x0 −1 =2 x0 − x0 − Giải Ta có y ′ = 3x − 6x Gọi M (a; −2) ∈ d Khi đó, tiếp tuyến ∆ (C ) qua M có x = +  Đẳng thức xảy ⇔ x − = ⇔ x0 − = ⇔  x0 −1 x = −  ) dạng y = k (x − a ) − Hồnh độ tiếp điểm ∆ (C ) nghiệm hệ phương trình ( ) Vậy có hai điểm thỏa mãn u cầu tốn M + 3; + M − 3; − 20 ( b Khoảng cách từ điểm M tới các trục Ox Oy (   ⇔ (x − 1)(x − 2)  + x − 16 −  = ⇔   Vậy có điểm (C ) có tọa độ ngun M1 (−2;1) ; M (0; −1) ; M (2; 5) M (4; 3) (x x 04 − + x 03 + 33 + 16 x 02 − 52 + 20 x + 33 + x 04 − 2x 03 + 5x 02 + 4x + ( ⇔ x ∈ {−2; 0; 2; 4} x − 2x + 5x + 4x + ⇔ + x − 28 + 16 x + 56 + 20 x − 32 − = ⇔ (x − 1) ∈ {±1; ±3} Khi (x x 04 − 2x 03 + 5x 02 + 4x + x →+∞ Khảo sát hàm số Khi u cầu tốn tương đương với 3 Giải x →1 MA = a M có tọa độ ngun; b M cách hai trục tọa độ; c Tổng khoảng cách từ M tới hai đường tiệm cận nhỏ nhất; (  x − 3x − = k (x − a ) − (1)  (∗)  3x − 6x = k (2)  21 www.VNMATH.com ( ) x − mx + (2m − 1) x − m + a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = ⇔ (3) có nghiệm phân biệt khác  a <   ∆ a 48 a = + − > ( )  ⇔  ⇔ a >   6a ≠   a ≠  Cho hàm số y = x − 3mx + m − a Khảo sát vẽ đồ thi hàm số cho ứng với m = b Tìm giá trị m để hàm số nghịch biến (−∞; 0) g y = x + 2x + x −1 h y = x − c y = −x + 5x − 7x + f y = x −3 3x + i y = x +1 10 Tìm giá trị m để hàm số y = a Chứng minh hàm số khơng thể đồng biến » b Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (−∞; 0) ; c Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 0) ; x + (m + 1)x + 3x + ln đồng biến d Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (−∞;1) b y = (m − m )x + 2mx + 3x − ln nghịch biến c y = (m + m )x + 2mx + x + ln đồng biến d f (x ) = − x + 2x + (2a + 1)x − 3a + nghịch biến » e Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (4; +∞) f Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (1; 4) ) x3 + (m + 1) x (m ≥ 0) (m ≥ 1) (m ≤ −3) (m ≥ 1) m ( ≥ 13) (−5 ≤ m ≤ 13) x − 3x , (1) ( m tham số) x −m a Khảo sát hàm số (1) m = −1 12 Cho hàm số y = ( x + 2(m + 1)x + đồng biến (0; +∞) x +1 11 Cho hàm số y = (m − 1) x − (m + 2) x + (m + 3) x − x e y = m −   m ≥ 12    b Tìm giá trị m để hàm số đồng biến (0; 3) Tìm giá trị m để hàm số a y = (m − 1) (m ≥ 0) Cho hàm số y = − x + (m − 1)x + (m + 3)x − a Khảo sát vẽ đồ thi hàm số cho ứng với m = C CÁC BÀI TẬP VÀ ĐỀ THI x +1 3x −   m < −    b Tìm giá trị m để hàm số nghịch biến (−2; 0) Từ M kẻ tiếp tuyến với (C ) ⇔ (∗) có nghiệm phân biệt e y = (m < −10) Cho hàm số y = x = ⇔   2x − (1 + a ) x + 6a = (3) d y = x − 4x + Khảo sát hàm số b Tìm giá trị m để hàm số nghịch biến (−1;1) x − 3x − = 3x − 6x (x − a ) − ⇔ 2x − (1 + a ) x + 6ax = Tính đơn điệu hàm số Xét chiều biến thiên hàm số sau a y = −x + 5x − b y = x − 3x + www.VNMATH.com Khảo sát hàm số Thay (2) vào (1) ta (−1 ≤ m < 1) b Tìm m để hàm số (1) đồng biến [1; +∞) + 3x + đồng biến » Cho hàm số Với giá trị m hàm số y = x + + khoảng xác định? x + (m − 1)x + (2m − 3)x − 3 a Với giá trị m , hàm số đồng biến khoảng (1; +∞) ? b Với giá trị m , hàm số đồng biến » ? m đồng biến x −1 (m ≤ ) Cho hàm số y = (m ≥ 1) (m = 2) x − 2x + m , (1) ( m tham số) x −2 a Xác định m để hàm số (1) nghịch biến đoạn [−1; 0] Cho hàm số y = b Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Cho hàm số y = x + 3x + (m + 1) x + 4m a Khảo sát vẽ đồ thi hàm số cho ứng với m = −1 22 (m ≥ 9) 13 Tìm giá trị m để hàm số y = 14 Giải hệ phương trình sau x = y + y + y −  a y = z + z + z − ;  z = x + x + x −   2x +x   =y      2y +y   c   =z;    2 z + z     =x        mx + 6x − nghịch biến [1; +∞) x +2 (m ≤ − x + 3x − + ln(x − x + 1) = y  b y + 3y − + ln(y − y + 1) = z ;   z + 3z − + ln(z − z + 1) = x   x = y + sin y   z3 d y = + sin z   x3 z = + sin x  23 14 ) www.VNMATH.com (2 có hai nghiệm thực phân biệt + 24 ≤ m ≤ + ) c Tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu x1 x cho A = x1x b Chứng minh phương trình 2x x − = 11 có nghiệm 17 Tìm giá trị m để phương trình lớn x − + − x − (x − 3)(6 − x ) = m (−9 + có nghiệm d f (x ) = (x − 1)2 x +2 − 3x x g f (x ) = x +4 f f (x ) = e f (x ) = ) ≤m ≤3 b f (x ) = −5x + 3x − 4x + c f (x ) = −x + 2x − x + x + 8x − 24 x −2 (m = 2) x + mx , (1) ( m tham số) 1− x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu Với giá trị m khoảng cách hai điểm cực trị hàm số (1) 10? (m = 4) x + (2m + 1)x + m + m + , (1) ( m tham số) 2(x + m ) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để hàm số (1) có cực trị tính khoảng cách hai điểm cực trị (m < −2 m > 3) (−3 < m ≠ < 1) x + (m − m + 2)x + (3m + 1)x + m − đạt cực tiểu x = −2 (m = 3) 1 22 Tìm m để hàm số f (x ) = mx − (m − 1)x + 3(m − 2)x + đạt cực trị x1, x thỏa mãn điều 3 kiện x1 + 2x = (m = m = ) 3 23 Tìm m để hàm số f (x ) = x − mx + mx − đạt cực trị x1, x thỏa mãn điều kiện − 65 + 65 m > ) 2 24 Tìm m để hàm số f (x ) = x + 2(m − 1)x + (m − 4m + 1)x − 2(m + 1) đạt cực trị x1, x (m < (m = m = 5) 24 (m = −1) 30 Cho hàm số y = c f (x ) = sin x + sin 2x − đoạn [−π; π ] , d f (x ) = sin x + cos x đoạn [−π; π ] 20 Tìm m để hàm số sau có cực đại cực tiểu a y = x + mx + (m + 6)x − (2m + 1) b y = (m + 2)x + 3x + mx − 1 thỏa mãn điều kiện + = (x1 + x ) x1 x 2 (m < −3 < m < 3) 27 Cho hàm số y = (x − m )3 − 3x , (1) ( m tham số) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Xác định m để hàm số (1) đạt cực tiểu điểm có hồnh độ x = 29 Cho hàm số y = 2 x1 − x > b Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = a f (x ) = sin x − cos x đoạn [0; π ] , b f (x ) = sin x + cos 2x đoạn [0; π ] , 21 Tìm m để hàm số y = a Với giá trị m , hàm số đạt cực đại x = j f (x ) = x − 2x + 26 Cho hàm số y = mx + (m − 9)x + 10 , (1) ( m tham số) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị (−5 < m < −1) (−5 < m < −3) − (x + x ) đạt giá trị (m = −4) x + 2x + m 28 Cho hàm số y = x − 2x + h f (x ) = x − x i f (x ) = x − + x −2 19 Tìm cực trị hàm số sau ) b Tìm m để hàm số đạt cực trị hai điểm nằm bên phải trục tung; 16 Cho hàm số f (x ) = 2x x − a Chứng minh f đồng biến nửa khoảng [ 2; +∞) Khảo sát hàm số 25 Cho hàm số y = x + (m + 1) x + m + 4m + x − a Tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu x1 x ; ( 2x + 2x + − x + − x = m Cực trị hàm số 18 Tìm cực trị hàm số sau a f (x ) = 2x − 9x + 12x − www.VNMATH.com Khảo sát hàm số 15 Tìm giá trị m để phương trình (M M =4 ) x + (m + 1)x + m + , (1) ( m tham số) x +1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Chứng minh với m bất kỳ, đồ thị (C m ) hàm số (1) ln ln có điểm cực đại, điểm 31 Cho hàm số y = cực tiểu khoảng cách hai điểm 20 x + 2mx + − 3m 32 Cho hàm số y = , (C m ) (1) ( m tham số) x −m a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để đồ thị (C m ) có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung (−1 < m < 1) x − 2mx + , (1) ( m tham số) x −1 a Khảo sát hàm số (1) m = b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B Chứng minh đường thẳng 33 Cho hàm số y = AB song song với đường thẳng 2x − y − 10 = 25  3 m <    www.VNMATH.com 35 Cho hàm số y = 2x + 3(m − 3)x + 11 − 3m a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = b Tìm giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu đường thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị qua điểm A(0; −1) (m = 4) 36 Cho hàm số y = mx − 3mx + (2m + 1)x + − m a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = b Tìm giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu Chứng minh rẳng đường thẳng nối điểm cực trị ln qua điểm cố định (m < ∨ m > 1) 37 Tìm giá trị m để hàm số y = 2x − (2m + 1) x + 6m (m + 1) x + đạt cực đại cực tiểu cho yCD + yCT = b Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác 40 Cho hàm số y = mx + (m − 1)x + − 2m a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = b Tìm giá trị m để hàm số có điểm cực trị ( m= 33 d (C m ) đạt cực trị A, B nằm đường thẳng cách gốc tọa độ khoảng 1; ) (m ≤ ∨ m ≥ 1) x + (m + 1)x − m + y= x −m (m = −1) x + mx − m + , (1) ( m tham số) x −1 a Khảo sát hàm số (1) m = −1 b Chứng minh đồ thị hàm số (1) ln có cực đại cực tiểu với giá trị m Tìm giá trị m để ycd2 + yct2 = 72 (m = −2) 42 Cho hàm số y =   m = ∨ m =    46 Tìm giá trị m để hàm số y = x + 4mx + (m + 1) x + có cực tiểu, khơng có cực   1 − 17 + 17     \ −1  ; { } m ∈         đại 47 Tìm m để hàm số y = x + (m + 1)x − m + có cực đại cực tiểu nằm phía trục x −m Ox (m < −3 − m > −3 + 3) 49 Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = x + (1 − 2m )x + (2 − m )x + m + có hai điểm cực trị, đồng thời hồnh độ điểm cực tiểu nhỏ 50 Tìm giá trị m để hàm số y = x1, x thỏa mãn điều kiện x1 < −1 < x (m = 0)     m < − ∨ m >     m ≠   b y = x − 2mx + 2m − 52 Cho hàm số y = 2x − 3(m + 2)x + 6(5m + 1)x − (4m + 2) Tìm m để đồ thị hàm số có a Đúng điểm cực trị có hồnh độ lớn (m < 0) b Hai điểm cực trị có hồnh độ nhỏ 45 Cho hàm số y = x + 3x − (m − 1) x ,(C m ) Tìm giá trị m để c Có điểm cực trị có hồnh độ thuộc khoảng (−1;1) b (C m ) đạt cực trị A, B nằm khác phía trục hồnh; 26 (m = 1)   m ∈  ; +∞ \  { }      4    a y = mx − 3mx +    2 44 Tìm m để hàm số y = x − mx − x + m + có khoảng cách điểm cực đại cực tiểu nhỏ (m = 0) a (C m ) đạt cực trị A, B cho ∆ABO vng O; (m < −1 x + (m − 2)x + (5m + 4)x + m + đạt cực trị   − < m < −3    43 Tìm m để hàm số f (x ) = x − 3x + m 2x + m có cực đại cực tiểu đối xứng qua đường x− 2 (m = 2) (m ∈ ∅) e (C m ) có đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với trục hồnh tam giác có diện tích 41 Với giá trị m , gốc tọa độ thuộc đường thẳng nối điểm cực trị đồ thị hàm số thẳng y = Khảo sát hàm số c (C m ) đạt cực trị A, B cách đường thẳng y = ; x + mx − m + có cực tiểu có hồnh độ nhỏ 48 Tìm m để hàm số y = x −m +1 39 Cho hàm số y = x − 2mx + 2m + m a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = www.VNMATH.com Khảo sát hàm số 34 Cho hàm số y = x − 3x + 4m , (1) ( m tham số) a Khảo sát hàm số (1) m = b Chứng minh đồ thị hàm số ln có hai điểm cực trị Khi xác định m để hai điểm cực trị thuộc trục hồnh (m = m = 1) d Có điểm cực trị có hồnh độ lớn e Có điểm cực trị có hồnh độ x i > Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 53 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau 27 (− < m < 0) (− < m < 0) (m > 16) (m > 16 m < − 25 ) www.VNMATH.com c y = x + + khoảng (1; +∞) ; x −1 e y = a sin x + b cos x (a + b > 0) ; 61 Tìm hai nhánh khác (C ) : y = cos 2x ; + cos 2x j y = sin x − cos 2x + sin x + ; sin x + cos x − ; sin x − cos x + 3 i y = cos x − cos x + cos x + ; g y = l y = x +1 x2 +1 Tiếp tuyến đồ thị hàm số 62 Cho hai hàm số đoạn [−1; 2] 54 Chứng minh x3 x3 x5 x2 x2 x4 < sin x < x − + , với x > ; b − < cos x < − + , với x ≠ ; 3! 3! 5! 2! 2! 4!  π d e x > + x , với x > ; c sin x + tan x > 2x , với x ∈ 0;  ;   a x − f x −  π g x sin x + cos x > , với x ∈ 0;    x2 < ln(x + 1) < x , với x > ; Tiệm cận đồ thị hàm số −x + 55 Cho hàm số y = x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b Tung độ tiếp điểm y = 5, y = thẳng d qua E cắt (C ) số giao điểm hai giao điểm đối xứng qua E Từ suy E tâm đối xứng (C ) x + mx − x −1 a Khảo sát hàm số m = b Với giá trị m tiệm cận xiên hàm số tạo với trục tọa độ tam giác có 56 Cho hàm số y = (m = −1 ± 2 ) diện tích x +1 , (C ) x −2 a Tìm (C ) điểm có tọa độ ngun b Tìm (C ) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ 57 Cho hàm số y = (M 1,2 ) (2 ± 3;1 ± 3) x −1 , (C ) Chứng minh khoảng tích khoảng cách từ điểm x +1 (C ) đến hai đường tiệm cận (C ) số 58 Cho hàm số y = x +1 , (C ) Tìm tất điểm M ∈ (C ) cho khoảng cách từ M đến giao x −1 điểm hai đường tiệm cận (C ) ngắn 28 1 f (x ) = − x + x + g(x ) = x − x + 4 a Chứng minh đồ thị (P ) hàm số f đồ thị (C ) hàm số g tiếp xúc điểm A có hồnh độ x = b Viết phương trình tiếp tuyến chung (d ) (P ) (C ) điểm A c Chứng minh (P ) nằm phía đường thẳng (d ) (C ) nằm phía đường thẳng (d ) 63 Chứng minh đồ thị ba hàm số f (x ) = x − 3x + , g(x ) = + h(x ) = −4x + x x tiếp xúc điểm 64 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) hàm số y = x − 3x + biết a Hồnh độ tiếp điểm x1 = −1 , x = b Xác định tọa độ giao điểm E hai tiệm cận (C ) Chứng minh đường 59 Cho hàm số y = −x + 2x − điểm M1, M để độ dài đoạn x −1 thẳng M1M nhỏ h y = k y = x + − x ; Khảo sát hàm số 4x − 60 Tìm hai nhánh khác (C ) : y = điểm M1, M để độ dài đoạn thẳng x −3 M1M nhỏ x b y = nửa khoảng (−2; 4] ; x +2 x2 + d y = ; x + x +1 f y = sin x + cos 2x ; a y = x + 3x − 9x + đoạn [−4; 4] ; www.VNMATH.com Khảo sát hàm số (M (1 + ) 2;1 + ), M (1 − 2;1 − ) 65 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) hàm số y = x + 3x + 2x + xuất phát từ điểm uốn (C ) (y = −x ) 66 Cho hàm số y = 2x − 3x + 9x − , (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) giao điểm (C ) với đồ thị sau a Đường thẳng (d ) : y = 7x + ; b Parabol (P ) : y = −x + 8x − 67 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) : y = x − 3x , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x (y = −3x + 1) x − 2x + x − (C ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) , biết tiếp tuyến a Có hệ số góc k = −2 ; b Tạo với chiều dương trục Ox góc 600 ; c Song song với đường thẳng y = −x + ; d Vng góc với đường thẳng y = 2x + ; 68 Cho hàm số y = e Tạo với d : y = − x + góc 300 ; f Qua điểm A (0; −4) 69 Cho hàm số y = x − 3x + (C ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) , biết tiếp tuyến: a Có hệ số góc với hệ số góc đường thẳng 12x − 2y + = ; b Song song với đường thẳng y = 6x − ; d Tạo với chiều dương Ox góc 450 ; c Vng góc với đường thẳng y = − x + ; e Tạo với đường thẳng y = góc 450 ; f Tạo với đường thẳng y = 2x + góc 450 ; g Qua điểm A (−1; 9) 29 www.VNMATH.com 3x − 70 Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) : y = tạo với trục hồnh góc 450 x −1 (y = −x + 2, y = −x + 6) 71 Cho hàm số y = 3x − (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) , biết tiếp tuyến: −2x + x +1; c Tạo với đường thẳng y = −2x góc 450 ; a Song song với đường thẳng y = d Tạo với đường thẳng y = −x góc 600 ; x + x − 2x − , (1) 3 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 72 Cho hàm số y = 26 73 (y = 4x − y = 4x + ) 73 Cho hàm số y = (x + 1)2 (x − 2) a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b Xác định giáo điểm (C ) với trục hồnh chứng minh (C ) tiếp xúc với trục hồnh giao điểm 2x − 74 Cho hàm số y = , (1) x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C ) Tìm điểm M ∈ (C ) cho tiếp tuyến (M (0;1), M (2; 3)) (C ) M vng góc với đường thẳng IM 75 Cho hàm số y = x − 2x + 3x , (1) a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tiếp ∆ (C ) điểm uốn chứng minh ∆ tiếp tuyến   y = −x +  (C ) có hệ số góc nhỏ   m x − x + , (1) ( m tham số) 3 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Gọi M điểm thuộc (C m ) có hồnh độ −1 Tìm m để tiếp tuyến (C m ) M song 76 Gọi (C m ) đồ thị hàm số y = song với đường thẳng 5x − y = (m = 4) , (1) x a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến (C ) qua M (−1; 7) 77 Cho hàm số y = x + x + x +1 79 Cho hàm số y = , (1) x +2 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) , biết tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên (y = −x ± (y = 15x − y = −3x + 4) ) −5 x +1 , (1) x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Xác định m để đường thẳng d : y = 2x + m cắt (C ) hai điểm phân biệt A, B cho 80 Cho hàm số y = (m = −1) tiếp tuyến (C ) A B song song với 2x + mx + m , (1) ( m tham số) x +1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh hai điểm phân biệt A, B cho tiếp 81 Cho hàm số y = (m = ± 17 ) tuyến đồ thị hàm số (1) A B vng góc với 82 Cho hàm số y = x − mx − + m , (1) ( m tham số) a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) m = b Viết phương trình tiếp tuyến (C ) , biết tiếp tuyến qua điểm A(0; 2) 3 (m = m = ) c Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục Ox 83 Cho hàm số y = x + 3x + 3x + (C ) a CMR khơng tồn hai điểm (C ) để tiếp tuyến vng góc với b Tìm k để (C ) ln tồn điểm cho tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = kx + m (k < 0) 84 Cho hàm số y = x + 3x + mx + (C m ) a Tìm m để (C m ) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt C (0;1), D, E b Tìm m để tiếp tuyến (C m ) D E vng góc     0 ≠ m <   ± 65    m =   85 Cho hàm số y = x − 3x + (C )  23  a Viết phương trình tiếp tuyến (C ) qua A  ; −2  9  61    y = −2, y = 9x − 25, y = − x − 27  b Tìm d : y = −2 điểm kẻ đến (C ) hai tiếp tuyến vng góc với x + 2x + 78 Cho hàm số y = , (1) x +1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C ) Chứng minh khơng có tiếp tuyến (C ) qua I 30 Khảo sát hàm số (C ) b Vng góc với đường thẳng y = −4x y = 4x + www.VNMATH.com Khảo sát hàm số   55  M  ; −2    27   86 Cho hàm số y = 2x + 3x − a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b Chứng minh qua điểm A (1; −4) kẻ ba tiếp tuyến phân biệt (C ) 87 Cho hàm số y = x − 6x + 9x − a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho 31 www.VNMATH.com 88 Cho hàm số y = −x + 3x + (C ) Tìm trục hồnh điểm kẻ tiếp tuyến đến đồ (M (m; 0), m > −1 ≠ m < − ) thị (C ) 2x − 89 Cho hàm số y = (C ) điểm M ∈ (C ) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Tiếp x −1 tuyến M cắt hai tiệm cận A B a Chứng minh M trung điểm AB b Chứng minh diện tích tam giác IAB số c Tìm M để chu vi tam giác IAB bé (M1(0; −1), M (2; 3)) x − 3x + 2 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b Tìm điểm thuộc (C ) cho đó, tiếp tuyến (C ) có ba điểm chung phân biệt với  5 A x ; x − 3x +  , với x ∈ − 3; \ {±1} (C )  2  90 Cho hàm số y = ( )  9 b Tìm giá trị m để phương trình x − 3m(x + 1) = có ba nghiệm phân biệt? m >    92 Cho hàm số y = −x + 2x + a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho b Biện luận theo m số nghiệm phương trình x − 2x = m − 2m 93 Cho hàm số y = x − (m + 2)x + m , m tham số a Tìm m để hàm số cho có cực trị x = −1 b Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số ứng với m = c Biện luận theo k số giao điểm (C ) với đường thẳng y = k ( ) 95 Cho hàm số y = x + 2(m − 2)x + m − 5m + , (C m ) a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số m = 96 Cho hàm số y = x − 3x − 9x + m 32 99 Cho hàm số y = x + mx − a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số m = (m > −3) b Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm x − 2x + , (C ) (1) x −2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b Tìm m để đường thẳng y = mx + − 2m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt (m > 1) 101 Cho hàm số y = 2x − 3x − , (1) a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Gọi dk đường thẳng qua M (0; −1) có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng dk cắt (k > − k ≠ 0) −x + 3x − , (1) 2(x − 1) a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) c Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) y = 2x − m + m c Tìm giá trị m để đồ thị (C m ) cắt trục hồnh điểm phân biệt 98 Cho hàm số y = x − 3mx + 2m(m − 4)x + 9m − m a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số m = b Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng (m = 1) 102 Cho hàm số y = b Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C ) trục hồnh 97 Cho hàm số y = x + 3(m − 1)x + 2(m − 4m + 1)x − 4m(m − 1) a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số m = b Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng (m ≠ −1) (C ) điểm phân biệt 94 Cho hàm số y = −x + 3mx + 3(1 − m )x + m − m , (1) a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) ứng với m = b Tìm k để phương trình −x + 3x + k − 3k = có nghiệm phân biệt (−1 < k < k ≠ 0, k ≠ 2) Khảo sát hàm số a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số m = b Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng (m = 11) 100 Cho hàm số y = Giao điểm đường cong đường thẳng 91 Cho hàm số y = x − m(x + 1) a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = www.VNMATH.com Khảo sát hàm số b Từ điểm đường thẳng x = , kẻ tiếp tuyến (C )  16  S =  15    −   1 x2 −x + x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số b Tìm a để đường thẳng y = a cắt (C ) hai điểm phân biệt? 15 m ≠ 24) Khảo sát hàm số 114 Cho hàm số y = x − 3(m + 1)x + 2(m + 4m + 1)x − 4m(m + 1) (C m ) Tìm m để (C m ) cắt 1   < m ≠ 1   trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lớn 115 Cho hàm số y = x − 2mx + (2m − 1)x + m(1 − m ) (C m ) Tìm m để (C m ) cắt trục hồnh 106 Cho hàm số y = (a < −3 a > 5)   1 < m <    3 điểm phân biệt có hồnh độ dương 116 Cho hàm số y = x − 3mx + 3(m − 1)x − m + (C m ) Tìm m để (C m ) cắt trục hồnh −x + x + m 107 Cho hàm số y = , (C m ) với m tham số khác x +m a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số m = ( điểm phân biệt có hồnh độ dương < m −6 + m ≠ 0) x +3 108 Cho hàm số y = , (1) x +2 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) điểm, điểm, điểm phân biệt Điểm cố định đường cong mx − 118 Cho hàm số y = , m ≠ ±1 (C m ) x −m a Chứng minh với m ≠ ±1 , đường cong (C m ) ln qua hai điểm cố định A, B b Gọi M giao điểm hai đường tiệm cận (C m ) Tìm tập hợp điểm M m thay b Chứng minh đường thẳng y = x − m cắt (C ) điểm phân biệt A, B Xác định m cho độ dài đoạn AB nhỏ (m = −2) , (1) 109 Cho hàm số y = x + + x +2 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt cho khoảng cách (m = ±4) chúng 12 mx + x + m 110 Cho hàm số y = , (C m ) (1) x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) m = −1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) m = (m < m > m ≠ − ) 112 Cho hàm số y = x − 3x + m , (C m ) (1) ( m tham số) a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để (C m ) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ (m > 0) x +x −m , (1) x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh hai điểm A, B phân biệt tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) A, B vng góc với 113 Cho hàm số y = 34 a Chứng minh với giá trị m , (C m ) đường thẳng dm : y = 2mx − 4m + ln có điểm chung cố định b Tìm giá trị m cho dm cắt (C m ) ba điểm phân biệt c Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m = 120 Cho hàm số y = x + (m − 1)x − 2(m + 1)x + m − , (C m ) a Chứng minh với giá trị m , (C m ) ln qua điểm cố định tiếp tuyến chung đường cong (C m ) điểm   − < m < 0    111 Cho hàm số y = (x − 1)(x + mx + m ) , (C m ) (1) ( m tham số) 119 Cho hàm số y = x − 3mx + 3(2m − 1)x + , (C m ) b Chứng minh đường cong (C m ) tiếp xúc với điểm Viết phương trình b Tìm m để (C m ) cắt trục hồnh hai điểm phân biệt có hồnh độ dương b Tìm m để (C m ) cắt trục hồnh điểm phân biệt đổi 121 Cho hàm số y = x + mx − 9x − 9m a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = b Chứng minh với giá trị m , đồ thị hàm số cho ln qua hai điểm cố định Với giá trị m , trục hồnh tiếp tuyến đồ thị hàm số cho ? (m = ±3) 122 Cho hàm số y = (m + 1)x − (2m + 1)x − m + a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = ` b Chứng minh với giá trị m , đồ thị hàm số ln qua ba điểm cố định thẳng hàng Xác định điểm đường cong x +2 123 Cho hàm số y = x −3 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b Tìm điểm M ∈ (C ) cho cách hai đường tiệm cận (C ) 124 Cho hàm số y = x −2 x +2 35 ( M ± 5; ± ) www.VNMATH.com www.VNMATH.com Khảo sát hàm số a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b Tìm điểm M ∈ (C ) cho tổng khoảng cách từ M tới Ox Oy nhỏ (M (0; −1)) x −2 125 Cho hàm số y = x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho (M (0; 2), M (2; 0)) 11 126 Cho hàm số y = − x + x + 3x − , (1) 3 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) x − 2x + , (1) x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Tìm (C ) hai điểm A, B cho A B đối xứng qua đường thẳng x − y + = 127 Cho hàm số y =      − 23 15 + 23   + 23 15 − 23  ; ; , B   A   2 2      x2 đối xứng qua d : y = x − x −1  1 ;− − 1  2 128 Tìm A, B ∈ (C ) : y = thẳng y =          ;3 − ;3 + , M 1 +  M 1 −  3      thẳng qua hai điểm cực trị   16   16  b Tìm (C ) hai điểm phân biệt M , N đối xứng qua trục tung M 3; , M −3;       129 Cho đồ thị (C ) : y = x + x −1 , (1) x −1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Tìm điểm (C ) mà tiếp tuyến điểm với đồ thị (C ) vng góc với đường 133 Cho hàm số y = b Tìm điểm M ∈ (C ) cho M cách hai điểm O(0; 0) A(2; 2)   1   A − ; − 1, B        2 Khảo sát hàm số      M 1 ± 61 ; ∓ 61 , M  ± 21 ; −1 ∓ 21   3,4    1,2  6     x2 + x − Viết phương trình đồ thị (C ′) đối xứng với (C ) qua đường x −2  −x + 3x −    y = x −2   130 Viết phương trình đồ thị (C ′) đối xứng với (C ) : y = 2x − 3x + qua đường thẳng x = x −1  2x − 13x + 17   y =   3−x 2x − , (1) x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C ) Tìm (C ) điểm M cho tiếp tuyến 134 Cho hàm số y = (M (0;1), M (2; 3)) (C ) M vng góc với đường thẳng IM 3x + 135 Tìm (C ) : y = cặp điểm đối xứng với qua điểm I (1;1) 2x − (A(1 − ) ( 3;1 − , B + 3;1 + )) Hàm số chứa dấu GTTĐ 136 Cho hàm số y = f (x ) = x − 3x − , (1) a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Từ đồ thị (C ) , suy đồ thị (C ) hàm số y = x − 3x − c Từ đồ thị (C ) , suy đồ thị (C ) hàm số y = x − x − d Từ đồ thị (C ) , suy đồ thị (C ) hàm số y = x − x − x − 3x + , (1) x −2 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) 137 Cho hàm số y = b Từ đồ thị (C ) , suy đồ thị (C 1) hàm số y = x − 3x + x −2 x2 + x +1 , (1) x +1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) 138 Cho hàm số y = x − 5x + , (1) x −2 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Tìm (C ) điểm có tọa độ ngun 131 Cho hàm số y = b Với giá trị m , phương trình x , (1) x +1 a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Tìm (C ) điểm M cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 3x + 4y = 132 Cho hàm số y = x2 + x +1 x +1 (m > 3) 139 Cho hàm số y = x − 4x + , (1) a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Tìm m để phương trình x − 4x + + 2m − = có nghiệm phân biệt 140 Cho hàm số y = 2x − 9x + 12x − , (1) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 36 = m có nghiệm phân biệt? 37   0 < m <    www.VNMATH.com b Tìm m để phương trình sau x − 9x + 12 x = m có nghiệm phân biệt (4 < m < 5) 2x + 141 Cho hàm số y = x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho b Tìm giá trị m để phương trình 2x − m x − + = có hai nghiệm 142 Biện luận theo m số nghiệm phương trình x (x + 3) = m + 2x + x −1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho b Biện luận theo m số nghiệm phương trình 2x − m x − + = 143 Cho hàm số y = m +1 x −x2 − − = 3 x2 + x +1 145 Cho hàm số y = x +1 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho b Biện luận theo m số nghiệm phương trình x + (1 − m ) x + − m = Đề thi năm gần x + 2(m + 1)x + m + 4m Cho hàm số y = , (1) ( m tham số) x +2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = −1 b Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị với gốc tọa (m = −4 ± ) (ĐH A_2007) độ O tạo thành tam giác vng cân O mx + (3m − 2)x − , (1) ( m tham số) x + 3m a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để góc hai đường tiệm cận hàm số (1) 450 Cho hàm số y = (m = ±1) (ĐH A_2008) x +2 , (C ) (1) 2x + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến (C ) , biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung ( y = −x − )(ĐH A_2009) Cho hàm số y = x − 2x + (1 − m )x + m , (1) ( m tham số) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ x1, x , x   − < m < ∧ m ≠ 0 (ĐH A_2010) thỏa điều kiện x12 + x 22 + x 32 <    −x + Cho hàm số y = 2x − a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho (m = −1) (ĐH A_2011) giá trị lớn Cho hàm số y = −x + 3x + 3(m − 1)x − 3m − , (1) ( m tham số) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị hàm số (1) cách gốc tọa   m = ±  (ĐH B_2007) độ O   Cho hàm số y = 2x − 4x , (1) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b Với giá trị m , phương trình x x − = m có nghiệm thực phân biệt? (0 < m < 1) (ĐH B_2009) 2x + , (C ) x +1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt (C ) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác Cho hàm số y = OAB có diện tích (m = ±2) (ĐH B_2010) 10 Cho hàm số y = x − (m + 1) x + m (1) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị A, B,C cho OA = BC , O gốc tọa độ, A cực trị thuộc trục tung B,C hai cực trị lại Cho hàm số y = hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vng cân O Khảo sát hàm số b Chứng minh với m đường thẳng y = x + m ln cắt (C ) hai điểm phân biệt A B Gọi k1 k hệ số góc tiếp tuyến A B Tìm m để tổng k1 + k đạt Cho hàm số y = 4x − 6x + , (1) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M (−1; −9) (ĐH B_2008) 144 Cho hàm số y = x − 3x − a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho b Biện luận theo m số nghiệm phương trình www.VNMATH.com Khảo sát hàm số (m = ± 2 ) (ĐH B_2011) 2x , (1) x +1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Tìm M ∈ (C ) cho tiếp tuyến (C ) M cắt trục Ox ,Oy điểm A, B 11 Cho hàm số y = cho tam giác OAB có diện tích     M − ; −2, M (1;1) (ĐH D_2007)     12 Cho hàm số y = x − 3x + , (1) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b Chứng minh đường thẳng qua điểm I (1; 2) với hệ số góc k ( k > −3 ) cắt (C ) điểm phân biệt A, I , B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB (ĐH D_2008) 13 Cho hàm số y = x − (3m + 2)x + 3m có đồ thị (C m ) ( m tham số) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (C m ) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ (− < m < 1, m ≠ 0) (ĐH D_2009) 14 Cho hàm số y = −x − x + , (C ) 38 39 www.VNMATH.com www.VNMATH.com Khảo sát hàm số a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y= x −1 15 Cho hàm số y = (y = −6x + 10) (ĐH D_2010) 2x + x +1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A B đến trục hồnh 40 (k = −3) (ĐH D_2011) www.VNMATH.com www.VNMATH.com [...]... 0 ⇒ đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất và điểm đó nằm trên trục tung HT 16 Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m – 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hồnh Giải Nếu m > 0 thì đồ thị hàm số khi đó có 3 điểm cực trị Một điểm cực trị nằm trên trục tung và 2 hai điểm cực trị còn lại có tọa độ: (± m ; m − 4) ⇒ Các điểm này... Cho hàm số y = x 3 − (m − 2)x 2 − 3(m − 1)x + 1 (1), m là tham số Tìm m > 0 để đồ thị 2 hàm số (1) có giá trị cực đại, cực tiểu lần lượt là yCD , yCT thỏa mãn: 2yCD + yCT = 4 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 36 Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1)x − m 3 + m (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực. .. Tìm m để (C m ) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của hàm số cách đều đường thẳng d : x − y − 1 = 0 HT 19 Cho hàm số y = −x 3 + 3mx 2 − 3m − 1 Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực Giải Ta có : y ' = 3x 2 − 6x + m; y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6x + m = 0 (1) đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x + 8y − 74 = 0 Giải Hàm số (C m ) có cực đại, cực tiểu khi và chỉ... 0 ⇔ (m + 1)(m 2 + 2m − 3) = 0 HT 31 Cho hàm số y = 2 3 x + (m + 1)x 2 + (m 2 + 4m + 3)x + 1 Tìm m để hàm số có cực trị Tìm 3 giá trị lớn nhất của biểu thức A = x 1x 2 − 2(x 1 + x 2 ) với x1, x 2 là các điểm cực trị cửa hàm số Giải m = −1(l )  ⇔ m = 1(t / m )  m = −3(t / m )  Ta có: y ' = 2x 2 + 2(m + 1)x + m 2 + 4m + 3 HT 33 Cho hàm số y = Hàm số có cực trị ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt yC... ta có giá trị của m là m = 1, m = HT 37 Cho hàm số y = x 3 − 3(m + 1)x 2 + 3m(m + 2)x − 2 + m (C ) Tìm m để đồ thị hàm số (C) −1 + 33 2 có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số (C) tới trục Ox bằng khoảng HT 35 Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 + 2 (1) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d : y = 3x − 2 sao tổng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (C) tới trục Oy Giải khoảng cách từ M... 3   3  Vậy các giá trị cần tìm của m là: m =  0; −   2  KL : m = 0 HT 23 Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + mx 3 2 HT 22 Cho hàm số y = x − 3x − mx + 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm) Xác định m để (Cm) có (1) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x – 2y – 5 = 0 các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng... (2) ⇒ m = 4 Câu hỏi tương tự đối với hàm số: y = x 3 − 3mx 2 − 3x + 3m + 2 HT 55 Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1)x − (m 2 − 1) ( m là tham số) (1) Tìm các giá trị HT 57 Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 − 9x + m , trong đó m là tham số thực Tìm tất cả các giá trị của của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ dương tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hồnh tại 3 điểm... m 3 − 1) Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có hai Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: (−2 − m + m )2 + (4 − 0)2 = 2 5 ⇒ Điều phải chứng minh nghiệm phân biệt ∆y' ' > 0 ⇔ ∀m ∈ ℝ x = m + 1 y ' = 0 ⇔  ⇒ Hai điểm cực trị: A(m − 1; m + 1), B(m + 1; m − 3) x = m − 1 HT 44 Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 − mx + 2 (1) với m là tham số thực Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng... + 2x 2 = 3 3 + 29 ∨ m < −1 8 HT 30 Tìm các giá trị của m để hàm số y = HT 28 Cho hàm số y = 2 3 4 x + (m + 1)x 2 + (m + 1)(m + 3)x + (1), m là tham số Tìm m để hàm 3 3 1 số (1) đạt cực đại, cực tiểu tại x 1x 2 sao cho x1 + x 2 − x 1x 2 đạt giá trị lớn nhất 2 ĐS: m = −105 1 3 1 x − mx 2 + (m 2 − 3)x có cực đại x1 , cực tiểu x 2 đồng 3 2 thời x1 ; x 2 là độ dài các cạnh góc vng của một tam giác vng có... Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm 3 2  7 cực trị A, B đồng thời các điểm cực trị tạo với hai điểm D 3;  và gốc tọa độ O tạo thành hình  2  bình hành OADB ⇔ AB.AC = 0 ⇔ (m − 2) = −1 ⇔ m = 1 (thoả (*)) HT 47 Cho hàm số y = x 4 + 2(m − 2)x 2 + m 2 − 5m + 5 (C m ) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành

Ngày đăng: 02/05/2016, 16:44

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan