Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” BẢN TÓM TẮT ĐỀ TÀI Tên đề tài: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” Họ tên tác giả: Vũ Thái Châu Đơn vị công tác: Trường THCS Biên Giới, huyện Châu Thành, Tỉnh Tây Ninh Lý chọn đề tài: Trong chương trình đại số lớp 8, mối liên hệ kiến thức với thể rõ ràng dạng tốn như: Tính nhanh giá trị biểu thức, tốn tìm x, rút gọn phân thức đại số, giải phương trình tích… có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử Như vậy, nói phân tích đa thức thành nhân tử sở để giải số dạng toán khác Qua thực tế giảng dạy nhiều năm trường trung học sở, thấy nghiên cứu đề tài “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” việc làm có ý nghĩa lý luận thực tiễn Hơn nữa, thân tơi muốn tìm hiểu việc “Phân tích đa thức thành nhân tử học sinh lớp 8” đơn vị cơng tác, nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp dạy học bước giúp học sinh tháo gỡ, giải tốt khó khăn, vướng mắc q trình tìm phương pháp giải Từ đó, góp phần nâng cao chất lượng dạy học nhà trường Đối tượng, phương pháp nghiên cứu: a Đối tượng nghiên cứu: - Khách thể: Phân tích đa thức thành nhân tử; học sinh lớp - Đối tượng: Rèn kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp b Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu; điều tra; thống kê Đề tài đưa giải pháp mới: - Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử - Củng cố phương pháp phân tích - Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán - Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải tốn - Tìm tịi cách giải hay, khai thác toán - Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao) - Một số lưu ý trình phân tích đa thức thành nhân tử Hiệu áp dụng: Tác động trực tiếp đến học sinh lớp Hiệu nâng cao qua đợt vận dụng tốn phân tích đa thức thành nhân tử Trang Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” Phạm vi áp dụng: Vận dụng đơn vị, nhân rộng đơn vị bạn huyện, tỉnh Châu Thành, ngày 05 tháng 04 năm 2013 Người thực Vũ Thái Châu Trang Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” A MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Trong thời đại ngày nay, khoa học công nghệ phát triển việc nắm bắt, tiếp cận thơng tin kịp thời xác địi hỏi người phải có kiến thức, hiểu biết định Do đó, công tác giảng dạy người thầy phải hướng dẫn, bồi dưỡng cho em học sinh có lượng kiến thức đầy đủ và vững để tiếp tục lĩnh hội tiếp thu kiến thức nhằm trang bị cho các em có đủ lực phục vụ cho xã hội sau này Việc lĩnh hội, tiếp thu kiến thức khâu quan trọng q trình hồn thiện kiến thức tất mơn học nói chung Tốn học nói riêng Trong chương trình Đại số lớp 8, mối liên hệ kiến thức với thể rõ ràng dạng tốn như: Tính nhanh giá trị biểu thức, tốn tìm x, rút gọn phân thức đại số, giải phương trình tích… có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử Như vậy, nói phân tích đa thức thành nhân tử sở để giải số dạng toán khác Qua thực tế giảng dạy nhiều năm trường trung học sở, thấy nghiên cứu đề tài “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” việc làm có ý nghĩa lý luận thực tiễn Mặt khác, giáo viên dạy Toán Trường THCS Biên Giới, sau đào tạo, học tập trực tiếp giảng dạy, thân muốn tìm hiểu việc “Phân tích đa thức thành nhân tử học sinh lớp 8” đơn vị cơng tác, nhằm đáp ứng u cầu đổi phương pháp dạy học Bên cạnh đó, cịn giúp học sinh tháo gỡ, giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập, góp phần nâng cao chất lượng dạy học nhà trường Với lý khách quan chủ quan nêu trên, thân mạnh dạn chọn cho giải pháp “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” để làm đề tài nghiên cứu năm học 2012 – 2013 II Mục đích nghiên cứu: Nhằm nâng cao chất lượng dạy học: Từ mục tiêu “Học để biết, học để làm, học để chung sống học để làm người”, trước hết giáo dục nhà trường phải hình thành bồi dưỡng cho học sinh lực tự học, tự giải vấn đề Việc trang bị tốt lực hoạt động trọng tâm việc đổi phương pháp dạy học điều kiện đổi chương trình phổ thơng Vì cốt lõi đổi phương pháp dạy học hướng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh, chống lại thói quen học tập thụ động Đổi phương pháp dạy học bao gồm đổi nội dung hình thức hoạt động giáo viên học sinh, đổi hình thức tổ chức dạy học, đổi Trang Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” hình thức tương tác xã hội dạy học, đổi kĩ thuật dạy học với định hướng: Bám sát mục tiêu giáo dục phổ thông, phù hợp với nội dung dạy học cụ thể, phù hợp với đặc điểm lứa tuổi học sinh, điều kiện dạy học nhà trường, ứng dụng công nghệ thông tin Khi vận dụng giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử, em lúng túng Phải điểm xuất phát từ học sinh làm quen với phân tích đa thức thành nhân tử, em chưa hiểu rõ hết chất vấn đề, chưa nắm rõ phương pháp phân tích, quy tắc tốn học nên dẫn đến nhầm lẫn giải tốn Chính vậy, từ phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên cần phải nghiên cứu để giúp học sinh hiểu rõ chất việc phân tích đa thức thành nhân tử, nắm thật vững kiến thức để hạn chế nhầm lẫn, sai sót sau III Đối tượng nghiên cứu: - Khách thể: Phân tích đa thức thành nhân tử; học sinh lớp - Đối tượng: Rèn kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp IV Phạm vi nghiên cứu: Giải pháp tập trung nghiên cứu việc rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường trung học sở Biên Giới V Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu: Đọc tạp chí dạy học ngày nay; tạp chí giáo dục; vấn đề đổi giáo dục trung học sở; sách giáo khoa toán 8; sách tập Toán 8; hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ mơn Tốn THCS làm sở thực giải pháp Điều tra: Qua dạy, dự học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp, trao đổi với học sinh để đưa biện pháp thực Thống kê: Thống kê số liệu học sinh qua theo dõi VI Giả thuyết khoa học: Nếu giáo viên hướng dẫn thực tốt việc “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” hiệu hay chất lượng giảng dạy nâng cao Trang Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” B NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Bất cứ môn khoa học nào trường phổ thông cũng có vai trò và tầm quan trọng của nó Riêng đối với môn Toán có vai trò rất quan trọng vì nó có khả to lớn góp phần thực hiện nhiệm vụ chung của nhà trường Các kiến thức Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác, giúp các em hoạt động có hiệu quả mọi lĩnh vực Môn Toán có khả to lớn giúp học sinh phát triển các lực và phẩm chất trí tuệ Thật vậy, tính trừu tượng cao độ của Toán học, môn Toán có thể giúp nhiều cho học sinh việc rèn luyện khả tư duy, sáng tạo Do tính chính xác cao, suy luận logic, chặt chẽ, là môn “Thể thao trí tuệ”, Toán học có khả phong phú làm cho học sinh tư chính xác, tư hợp với logic Việc tìm kiếm, tìm lời giải của một bài toán có tác dụng to lớn việc cho học sinh các phương pháp khoa học suy nghĩ, suy luận, học tập và việc giải quyết các vấn đề, rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo Môn Toán còn có khả đóng góp tích cực vào việc giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức cuộc sống và lao động Vì vậy dạy Toán là làm thế nào cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kĩ Toán học phổ thông bản Có lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể khác nhau, vào đời sống, vào lao động sản xuất và vào học tập các môn học khác Phát triển ở học sinh lực phẩm chất trí tuệ giúp học sinh biến những tri thức thu nhận được thành của riêng bản thân mình, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn các lĩnh vực hoạt động cũng học tập hiện và mãi mãi về sau Giáo dục cho học sinh về tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân, phát triển ở mọi học sinh khả tiếp thu môn Toán Các mục đích nói không thể tách rời mà có mối quan hệ mật thiết, hỗ trợ, bổ sung cho nhau, thể hiện sự thống nhất giữa trí dục và đức dục, giữa dạy học và phát triển, giữa nâng cao dân trí và đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài quá trình dạy học các bộ môn ở trường phổ thông II Cơ sở thực tiễn Thực tiễn vấn đề nghiên cứu Do học sinh cịn yếu tính tốn, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, khơng biết áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt Do đó, dẫn đến việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cịn nhầm lẫn Ngồi ra, vài học sinh cịn chưa xác định rõ phân tích đa thức thành nhân tử nào? Và làm để phân tích đa thức cho thành nhân tử Trang Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” Mặt khác, phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng nhiều dạng tốn sau như: Tính nhanh giá trị biểu thức, tốn tìm x, rút gọn phân thức đại số, giải phương trình tích… Sự cần thiết đề tài: Xuất phát từ tình hình thực tế trường yêu cầu nội dung kiến thức, nhận thấy việc “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” thực cần thiết Bởi vì, cách giúp học sinh rèn kĩ quan sát, nhận xét vận dụng linh hoạt phương pháp học vào tập cụ thể Từ đó, giúp em tìm tịi, phát chiếm lĩnh tri thức cách tốt Không thế, giải pháp giúp em hứng thú học toán, xem việc giải tập cách giải trí sau học mơn khác III Nội dung vấn đề Vấn đề đặt Để phân tích đa thức thành nhân tử học sinh cần phải nắm vững phương pháp như: Đặt nhân tử chung; dùng đẳng thức; nhóm hạng tử; phối hợp nhiều phương pháp Ngồi ra, học sinh khá, giỏi giới thiệu thêm hai phương pháp phân tích (nâng cao): Tách hạng tử; thêm bớt hạng tử Vì vậy, giáo viên phải thực số việc sau: - Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử - Củng cố phương pháp phân tích - Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán - Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải tốn - Tìm tịi cách giải hay, khai thác toán - Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao) - Một số lưu ý trình phân tích đa thức thành nhân tử Giải pháp, chứng minh vấn đề giải 2.1) Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử * Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp chung: Ta thường làm sau: - Tìm nhân tử chung hệ số (ƯCLN hệ số) - Tìm nhân tử chung biến (mỗi biến chung lấy với số mũ nhỏ ) Khi đó, nhân tử chung đa thức tích nhân tử chung số nhân tử chung biến Nhằm đưa dạng: A.B + A.C = A.(B + C) Ví dụ 1: Phân tích đa thức 2x2 – 4x thành nhân tử Trang Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 2, hạng tử trên? (Học sinh trả lời ƯCLN(2,4 ) = 2) - Tìm nhân tử chung biến x2 x ? (Học sinh trả lời x) Khi nhân tử chung đa thức bao nhiêu? (Học sinh trả lời 2x) Giải: 2x2 – 4x = 2x.x – 2x.2 = 2x.(x – 2)  Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử ta cần đổi dấu hạng tử Ví dụ 2: Phân tích đa thức 3(x – y) – 5x(y – x) thành nhân tử Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số ? (Học sinh trả lời là: ƯCLN(3;5)= 1) - Tìm nhân tử chung (x – y) y(y – x) ? (Học sinh trả lời là: khơng có) - Sau giáo viên hướng dẫn thực đổi dấu tích 3(x – y) tích –5x(y – x) để có nhân tử chung (x – y) (y – x)? Cách 1: Nếu đổi dấu tích –5x(y – x)= 5x(x – y) nhân tử chung đa thức (x – y) Cách 2: Nếu đổi dấu tích 3(x – y)= –3(y – x) nhân tử chung đa thức (y – x) –(y – x) Giải: Cách 1: 3(x – y) – 5x(y – x) = 3(x – y) + 5x(x – y) = (x – y).3 + (x – y).5x = (x – y)(3 + 5x) Cách 2: 3(x – y) – 5x(y – x) = – 3(y – x) – 5x(y – x) = (y – x) (–3) – (y – x).5x = (y – x)( –3 – 5x) = – (y – x)( + 5x) = (x – y)(3 + 5x) * Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp chung: Sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ “dạng tổng hiệu” đưa “dạng tích” A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Trang Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” Giáo viên cần rèn cho học sinh kĩ nhận đẳng thức vận dụng nên lấy nháp ghi lại đẳng thức Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2 – 4x + b x2 – c – x3 Hướng dẫn a x2 – 4x + Gợi ý: Đa thức có dạng đẳng thức nào? (Học sinh trả lời có dạng: A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 với A = x, B= 2) Giải: x2 – 4x + = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2 b x2 – Gợi ý: Đa thức có dạng đẳng thức nào? (Học sinh trả lời có dạng: A2 – B2 = (A – B)(A + B) với A = x, B = ) Giải: x2 – = x2 – ( 2) = (x – )(x + ) c – x3 Gợi ý: Đa thức có dạng đẳng thức nào? (Học sinh trả lời có dạng: A – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)) với A=1, B=x) Giải: – x3 = (1 – x)(1 + x + x2) = (1 – x)(1 + x + x2) Lưu ý: Giáo viên cần rèn cho học sinh kỹ vận dụng đẳng thức đáng nhớ, kĩ nhận dạng đẳng thức qua toán, dựa vào hạng tử, số mũ hạng tử (Ở đẳng thức đáng nhớ) để học sinh sử dụng đẳng thức cho thích hợp dạng * Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Phương pháp chung Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất nhân tử chung đẳng thức Thông thường ta dựa vào mối quan hệ sau: - Quan hệ hệ số, biến hạng tử tốn - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: + Mỗi nhóm phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực  Nhóm hạng tử nhằm xuất nhân tử chung: Ví dụ 4: Phân tích đa thức x2 – 3x + xy – 3y thành nhân tử Trang Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” Gợi ý: - Các hạng tử có nhân tử chung không? - Làm để xuất nhân tử chung? (Học sinh trả lời: nhóm (x2 – 3x) (xy – 3y)) Giải: x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x) + (xy – 3y) = x(x – 3) + y(x – 3) = (x – 3)(x + y)  Nhóm nhằm xuất đẳng thức: Ví dụ 5: Phân tích đa thức x2 – 2x + – 4y2 thành nhân tử Gợi ý: x2 – 2x + có dạng đẳng thức nào? (Học sinh: A2– 2AB+B2=(A–B)2) Giải: x2 – 2x +1– 4y2 = (x2 – 2x +1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – 1– 2y)(x –1+2y)  Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2 + 2xy + y2 + 4x + 4y thành nhân tử Gợi ý: Có thể nhóm ba hạng tử đầu thành nhóm, hai hạng tử sau thành nhóm Giải x2 + 2xy + y2 + 4x + 4y = (x2 + 2xy + y2) + (4x + 4y) = (x + y)2 + 4(x + y) = (x + y)(x + y + 4) Lưu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử khơng thực nữa, cách nhóm sai, phải thực lại * Phối hợp nhiều phương pháp Phương pháp chung: Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì vậy, học sinh cần nhận xét toán cách cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hướng giải thích hợp Thơng thường ta xét theo thứ tự phương pháp: Đặt nhân tử chung; dùng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử? Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 5x3 + 10x2y + 5xy2 b) x2 – 2xy + y2 – Gợi ý: Đặt nhân tử chung ? Dùng đẳng thức ? Nhóm nhiều hạng tử ? Hay phối hợp phương pháp trên? Trang Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” Giải a) 5x3 + 10x2y + 5xy2 = 5x(x2 + 2xy + y2)= 5x(x + y)2 b) x2 – 2xy + y2 – = (x2 – 2xy + y2) – = (x – y)2 – 32 = (x – y – 3)(x – y + 3) 2.2) Củng cố phương pháp Để học sinh nắm vững phương pháp phân tích cách tổng quát giáo viên yêu cầu học sinh làm việc theo nhóm (4 học sinh) tóm tắt lại phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử dạng sơ đồ tư cho học sinh trình bày lại Sau ví dụ minh họa cách tóm tắt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trang 10 Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” * Sai lầm 6: Cách nhóm hạng tử đặt dấu sai Ví dụ 20: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết dấu sai) Sai lầm học sinh là: Nhóm đặt dấu sai ngoặc thứ hai x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) thay x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (–2x – 4y ) Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) + (–2x – 4y) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x +2y) = (x + 2y)(x – 2y– 2) Qua ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sai dấu, học sinh cần ý cách nhóm kiểm tra lại kết sau nhóm Cách nhóm hạng tử đặt dấu: - Nếu nhóm hạng tử đặt dấu “+” trước dấu ngoặc giữ nguyên dấu tất hạng tử mang vào - Nếu nhóm hạng tử đặt dấu “–” trước dấu ngoặc phải đổi dấu tất hạng tử mang vào * Sai lầm 7: Vận dụng đẳng thức chưa thành thạo Ví dụ 21: Phân tích đa thức x2 – 4y2 thành nhân tử Lời giải sai: x2 – 4y2 = (x + 4y)(x – 4y) (kết sai) Sai lầm học sinh là: dùng đẳng thức A2 – B2 mà không đưa dạng Chưa phân tích 4y2 dạng bình phương biểu thức Lời giải đúng: x2 – 4y2 = x2 – (2y)2 = (x + 2y)(x – 2y) Qua ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Khi vận dụng đẳng thức A2 – B2 , A3 – B3 , A3 – B3… cần phân tích đưa hạng tử dạng 2.5) Tìm tịi cách giải hay, khai thác tốn: * Tìm tịi cách giải hay Ví dụ 22: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử (Bài 47a, trang 22,sgk, toán tập I) Giải: Trang 16 Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” - Nếu học sinh chọn cách nhóm hạng tử (x – xy) (x – y) kết sai lầm nhóm trước nhóm mang dấu cộng Cụ thể sau: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 1) - Nếu học sinh chọn cách nhóm hạng tử (x + xy) (– x – y) kết dễ dẫn đến sai lầm nhóm hai hạng tử – x – y đặt dấu trừ đằng trước mà không đổi dấu hạng tử mang vào Cụ thể sau: x2 – xy + x – y = (x2 + xy) – (x – y)= x(x + y) – (x + y)=(x + y)(x – 1).(lời giải sai) Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y) = x(x + 1) –y (x + 1) = (x + 1)(x – y) Như vậy, sai lầm cách sai lầm mà học sinh thường mắc phải Học sinh thường không ý đến dấu nhóm Cịn nhóm hạng tử theo cách 1, học sinh sai hạng tử đầu nhóm mang dấu cộng Như vậy, nhóm theo cách học sinh sai Ví dụ 23: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử (Bài tập 57- SBT - trang tốn tập 1) Trong ví dụ có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn Cách 1: Áp dụng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Giải: A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 – y3 – z3 = [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = [x3 + y3 + 3xy(x + y) – x3 – y3] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)[ (xy + xz) + (yz + z2)] = 3(x + y)[ x(y + z) + z(y + z)] = 3(x + y)(y + z)(x + z) Cách 2: Áp dụng hệ sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B) suy từ đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Giải Ta có: x3 + y3 + z3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) + z3 Trang 17 Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” = ( x + y ) + z3  − 3xy ( x + y )  = ( x + y + z ) − 3z ( x + y ) ( x + y + z )  − 3xy ( x + y )  = ( x + y + z ) − ( x + y ) z ( x + y + z ) + xy  = ( x + y + z ) − ( x + y ) ( zx + zy + z + xy ) = ( x + y + z) ( ) − ( x + y )  zx + z + ( zy + xy )  = ( x + y + z ) − ( x + y ) z ( x + z ) + y ( z + x )  = ( x + y + z ) − 3( x + y ) ( x + z ) ( z + y) Từ x + y3 + z = ( x + y + z ) − ( x + y ) ( x + z ) ( z + y ) Suy ( x + y + z ) − x − y3 − z3 = ( x + y ) ( x + z ) ( z + y ) * Khai thác tốn Từ ví dụ 23 khai thác thành toán sau: 1) Chứng minh A= ( x + y + z ) − x − y3 − z3 chia hết cho với x, y, z nguyên 2) Cho x + y + z = Chứng minh x + y3 + z3 = 3xyz (Bài tập 38-SBTtr7) Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) x + y + z = ⇔ x + y = – z 3) Phân tích đa thức x3 + y3 + z3– 3xyz thành nhân tử (Bài tập 28c)-SBTtr6) Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) 2.6) Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao) Trong chương trình sách giáo khoa Tốn hành giới phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử, phối hợp nhiều phương pháp Tuy nhiên, phần tập lại có khơng thể áp dụng ba phương pháp để giải, (Chẳng hạn:bài tập 53, 57 sgk/tr 24-25) Sách giáo khoa có gợi ý cách “tách” hạng tử thành hai hạng tử khác “thêm bớt hạng tử” thích hợp áp dụng phương pháp để giải Xin giới thiệu thêm hai phương pháp này, để học sinh vận dụng rộng rãi thực hành giải toán * Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác Ví dụ 24: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + thành nhân tử Gợi ý: ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích) Trang 18 Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” Giải: Cách 1: (tách hạng tử : 3x2 = 4x2 – x2) 3x2 – 8x + = 4x2 – 8x + – x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – – x)( 2x – + x)= (x – 2)(3x – 2) Cách 2: (tách hạng tử : – 8x = – 6x – 2x) 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách (tách hạng tử : = 16 – 12) 3x2 – 8x + = 3x2 – 12 – 8x + 16 = 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(3x + – 8) = (x – 2)(3x – 2) Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm: - Làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phương (cách 1) - Làm xuất hệ số hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ làm xuất nhân tử chung x – (cách 2) - Làm xuất nhân tử chung đẳng thức (cách 3) Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhằm làm xuất phương pháp học như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử việc làm cần thiết học sinh giải toán Khai thác: Trong đa thức 3x2 – 8x + đặt a = 3, b = – 8, c = Tính tích a.c phân tích a.c = b1.b2 cho b1 + b2 = b ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – Tổng quát: Để phân tích đa thức dạng ax + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho b1b2 = ac Trong thực hành ta làm sau: Bước 1: Tìm tích ac Bước 2: Phân tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b Trang 19 Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” Áp dụng: Phân tích đa thức – 6x + 7x – thành nhân tử (Bài tập 35c)-SBTtr7) Ta có: a = – ; b = ; c = – Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12 Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1 Bước 3: b = = + Khi ta có lời giải: –6x2 + 7x – = – 6x2 + 4x + 3x – = (– 6x2 + 4x) + (3x – 2) = –2x(3x – 2) + (3x – 2) = (3x – 2)(–2x + 1) Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vận dụng phương pháp nhóm đẳng thức đặt nhân tử chung Ví dụ 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: n3 – 7n + Giải: n3 – 7n + = n3 – n – 6n + = n(n2 – 1) – 6(n – 1) = n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1) = (n – 1)[n(n + 1) – 6] = (n – 1)(n2 + n – 6) = (n – 1)(n2 – 2n + 3n – 6) = (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2)) = (n – 1)(n – 2)(n + 3) Ví dụ 26: Phân tích đa thức x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử Ta có cách tách sau: 31x = x + 30x Giải: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 = x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1) = x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x – 30) * Phương pháp thêm bớt hạng tử Phương pháp thêm bớt hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhóm để xuất dạng đặt nhân tử chung dạng đẳng thức Ví dụ 27: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Ta phân tích: Cách 1: Thêm x2 bớt x2 : (làm xuất đẳng thức) Trang 20 Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” Ta có x4 + x2 + = x4 + x2 + x2 +1 – x2 = x4 + 2x2 +1 – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 Giải: x4 + x2 + = x4 + x2 + x2 +1 – x2 = x4 + 2x2 +1 – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách 2: Thêm x bớt x:(làm xuất đẳng thức nhân tử chung) Ta có x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) Giải: x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Ví dụ 28: Phân tích đa thức x5 + x4 + thành nhân tử Cách 1: Thêm x3 bớt x3 (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + = (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 ) = x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1) = (x2+ x + 1)(x3 – x + ) Cách 2: Thêm x3, x2, x bớt x3, x2, x (làm xuất đặt nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + = (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x + ) Chú ý: Các đa thức có dạng x4+ x2+1, x5+ x+1, x5+ x4+ 1, x7+ x5+1,…; tổng quát đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 +1 x3 – 1, x6 – có chứa nhân tử x2 + x + Ví dụ 29: Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử (Bài tập 57d)-SGK-tr 25) Gợi ý: Thêm 4x2 bớt 4x2 : (làm xuất đẳng thức) Trang 21 Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” Giải: x4 + = x4 + 4x2 + – 4x2 = (x2 + 2)2 –(2x)2 = (x2 + – 2x)(x2 + + 2x) Khai thác tốn: * Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có toán: x4 + 64y4 Hướng dẫn giải: Thêm 16x2y2 bớt 16x2y2 : (làm xuất đẳng thức) x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2 = (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy) Trên vài ví dụ điển hình giúp em học sinh giải khó khăn q trình giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử 2.7) Một số lưu ý trình phân tích đa thức thành nhân tử: * Quan sát đặc điểm toán; nhận dạng toán; chọn lựa phương pháp giải thích hợp: - Quan sát đặc điểm toán: Nhận xét quan hệ hạng tử toán (về hệ số, biến) - Nhận dạng toán: Xét xem toán cho thuộc dạng nào? áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau (đặt nhân tử chung dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử, phối hợp phương pháp, phương pháp tách hạng tử, thêm bớt hạng tử) - Chọn lựa phương pháp giải thích hợp:Từ sở mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với toán * Một số lưu ý thực phân tích đa thức thành nhân tử: - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung bước biểu thức lại ngoặc, thường thu gọn, sử dụng phương pháp nhóm dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp nhóm hạng tử bước biểu thức nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp dùng đẳng thức bước toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức - Phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng liên tiếp hai bước liền - Phương pháp nhóm khơng thể sử dụng liên tiếp hai bước liền Trang 22 Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” - Phương pháp dùng đẳng thức sử dụng liên tiếp hai bước liền - Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử - Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận thực phép biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm hạng tử, sau bước giải phải có kiểm tra; phải có đánh giá tốn xác theo lộ trình định, từ lựa chọn sử dụng phương pháp phân tích cho phù hợp Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng toán, nhận xét đánh giá tốn theo quy trình định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào tốn, sử dụng thành thạo kĩ giải toán thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tịi sáng tạo Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác, khai thác toán nhiều dạng khác Kết thực Qua giảng dạy môn tốn kinh nghiệm rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8, nhận thấy nội dung thiết thực có lợi việc đổi phương pháp dạy học mơn tốn, em tích cực học tập hứng thú giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Đặc biệt vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào dạng tốn sau cách có hiệu Với việc em nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử kết hợp với việc đổi phương pháp giảng dạy môn tốn khối 8, tơi thấy chất lượng mơn tốn ngày tiến rõ rệt Cụ thể là: GIỮA HKI HKI LỚP (trước nghiên cứu) ( sau nghiên cứu) TS Đạt TB↑ TL% Đạt TB↑ TL% 8A 27 18 66,7 24 88,9 8B 27 19 70,4 24 88,9 Phạm vi áp dụng: Giải pháp áp dụng tốt đơn vị và áp dụng cho số đơn vị huyện, tỉnh Trang 23 Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Biên Giới” C KẾT LUẬN Bài học kinh nghiệm Thông qua việc nghiên cứu đề tài kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép rút số kinh nghiệm sau: Đối với học sinh yếu kém: Là trình liên tục củng cố sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kỹ để học sinh có khả nắm phương pháp vận dụng tốt phương pháp phân tích vào giải tốn, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung SGK Đối với học sinh trung bình: Giáo viên cần ý cho học sinh nắm phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng phương pháp đa dạng vào tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi say mê hứng thú học, kích thích khơi dậy óc tìm tịi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức Đối với học sinh khá, giỏi: Ngoài việc nắm phương pháp bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm phương pháp phân tích nâng cao khác, tập dạng mở rộng giúp em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử tốt Qua đó, tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tịi sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách toàn diện cho trình tự nghiên cứu em Hướng phổ biến, áp dụng đề tài Giải pháp áp dụng tốt đơn vị trường THCS Biên Giới và áp dụng cho số đơn vị huyện, tỉnh Hướng nghiên cứu tiếp đề tài Đề tài nghiên cứu tiếp tục phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác (nâng cao): phương pháp đặt biến phụ, phương pháp giảm dần số mũ lũy thừa, phương pháp hệ số bất định Đề tài nghiên cứu cho đa thức phức tạp hơn, sâu vào việc nghiên cứu đa thức đặc biệt Châu Thành, ngày 05 tháng 04 năm 2013 Người thực Vũ Thái Châu Trang 24 MỤC LỤC Trang Bản tóm tắt đề tài …………………………………………………………… A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Mục đích nghiên cứu 3 Đối tượng nghiên cứu 4 Phạm vi nghiên cứu .4 Phương pháp nghiên cứu .4 Giả thuyết khoa học .4 B NỘI DUNG I Cơ sở lý luận II Cơ sở thực tiễn .5 III Nội dung vấn đề Vấn đề đặt Giải pháp, chứng minh vấn đề giải Kết thực hiện 23 Phạm vi áp dụng 23 C KẾT LUẬN Bài học kinh nghiệm 24 Hướng phổ biến, áp dụng đề tài 24 Hướng nghiên cứu tiếp đề tài .24 Trang 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO Toán Tập I, II - Phan Đức Chính (Chủ biên) – NXB Giáo dục – năm 2004 Sách giáo viên Toán Tập I, II - Phan Đức Chính– NXB Giáo dục – năm 2004 Vở Bài tập Toán Tập I, II-Nguyễn Văn Trang – NXB Giáo dục–năm 2004 Sách Thiết kế giảng Toán - tập I, II - Nguyễn Hữu Thảo NXB Hà Nội – năm 2004 Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học trường THCS mơn Tốn - Bộ Giáo dục Đào tạo – năm 2004 Tài liệu tập huấn “Dạy học, kiểm tra đánh giá theo chuẩn kiến thức, kĩ chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn cấp THCS – năm 2010” Bộ Giáo dục đào tạo Sách thiết kế đồ tư dạy – học môn Tốn – Trần Đình Châu – Đặng Thị Thu Thủy – NXB Giáo Dục Việt Nam Trang 26 Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC 1/ Cấp trường (đơn vị) : - Nhận xét: - Xếp loại: 2/ Cấp phòng (huyện) : - Nhận xét: - Xếp loại: 3/ Cấp ngành (tỉnh) - Nhận xét: - Xếp loại: Trang 27 PHIẾU ĐIỂM TIÊU CHUẨN Sáng kiến kinh nghiệm đưa giải pháp mới Hiệu quả áp dụng Phạm vi áp dụng NHẬN XÉT ĐIỂM - Tởng cợng : điểm - Xếp loại : Biên Giới, ngày ……tháng……năm 2013 Họ tên, chữ kí giám khảo Giám khảo 1: Giám khảo 2: Giám khảo 3: Trang 28 TIÊU CHUẨN NHẬN XÉT ĐIỂM Mức độ giải quyết mâu thuẫn (hệ số 3) Tính chất các giải pháp để giải quyết mâu thuẫn (hệ số 3) Tính chính xác của phương pháp (hệ số 2) Phạm vi phổ biến (hệ số 2)  Tổng cộng : điểm  - Xếp loại: Biên Giới, ngày ……tháng……năm 2013 Họ và tên, chữ kí của giám khảo  Giám khảo : Ký tên :  Giám khảo : Ký tên :  Giám khảo : Ký tên : Trang 29 Ý KIẾN NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC 1/ Cấp trường (đơn vị) : - Nhận xét: - Xếp loại: Chủ tịch Hội đồng khoa học 2/ Cấp huyện (Phòng GD-ĐT) - Nhận xét: - Xếp loại: Chủ tịch Hội đồng khoa học _ 3/ Cấp ngành: (Sở GD – ĐT) - Nhận xét: - Xếp loại: Chủ tịch Hội đồng khoa học Trang 30