Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Nm hc : 2011-2012 Chuyờn TNH CHT CHIA HT CA S NGUYấN Kin thc cn nh Chứng minh quan hệ chia hết Gọi A(n) biểu thức phụ thuộc vào n (n N n Z) a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích có thừa số m + Nếu m hợp số ta phân tích m thành tích thừa số đôI nguyên tố chứng minh A(n) chia hết cho tất số + Trong k số liên tiếp tồn số bội k b/ Khi chứng minh A(n) chia hết cho n ta xét trờng hợp số d chia m cho n * Ví dụ1: C/minh A=n3(n2- 7)2 36n chia hết cho 5040 với số tự nhiên n Giải: Ta có 5040 = 24 32.5.7 A= n3(n2- 7)2 36n = n.[ n2(n2-7)2 36 ] = n [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6] = n.(n3-7n 6).(n3-7n +6) Ta lại có n3-7n = n3 + n2 n2 n 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) =(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3) Tơng tự : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d Do A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) Ta thấy : A tích số nguyên liên tiếp mà số nguyên liên tiếp: Tồn bội số (nên A M5 ) Tồn bội (nên A M7 ) Tồn hai bội (nên A M9 ) Tồn bội có bội (nên A M16) Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi nguyên tố A M 5.7.9.16= 5040 Ví dụ 2: Chng minh với số nguyên a : a/ a3 a chia hết cho b/ a5-a chia hết cho Giải: a/ a3-a = (a-1)a (a+1) tích số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1) Cách 1: Ta xết trờng hợp số d chia a cho Nếu a= k (k Z) A M (1) Nếu a= 5k a2-1 = (5k2 1) -1 = 25k2 10k M A M (2) 2 Nếu a= 5k a +1 = (5k 2) + = 25 k 20k +5 A M (3) Từ (1),(2),(3) A M 5, n Z Cách 2: Phân tích A thành tổng hai số hạng chia hết cho : + Một số hạng tích số nguyên liên tiếp + Một số hạng chứa thừa số Ta có : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1) = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1) Mà = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) M (tích số nguyên liên tiếp ) 5a (a -1) M 5 Do a -a M * Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a 5-a tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Ta có: a5-a (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1) = a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 5a M 5 a -a (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M a5-a M Mà (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M 5(Tính chất chia hết hiệu) c/ Khi chứng minh tính chia hết luỹ thừa ta sử dụng đẳng thức: an bn = (a b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ +abn-2+ bn-1) (HĐT 8) Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Nm hc : 2011-2012 an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - - abn-2+ bn-1) (HĐT 9) Sử dụng tam giác Paxcan: 1 1 1 3 1 Mỗi dòng bắt đầu kết thúc Mỗi số dòng (kể từ dòng thứ 2) số liền cộng với số bên trái số liền Do đó: Với a, b Z, n N: an bn chia hết cho a b( a b) a2n+1 + b2n+1 chia hết cho a + b( a -b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Bội số a) (a+1)n = Bsa +1 (a-1)2n = Bsa +1 (a-1)2n+1 = Bsa -1 * VD3: CMR với số tự nhiên n, biểu thức 16 n chia hết cho 17 n số chẵn Giải: + Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, k N thì: A = 162k = (162)k chia hết cho 162 1( theo nhị thức Niu Tơn) Mà 162 = 255 M 17 Vậy AM 17 - Nếu n lẻ : A = 16n = 16n + mà n lẻ 16n + M 16+1=17 (HĐT 9) A không chia hết cho 17 +Cách 2: A = 16n = ( 17 1)n = BS17 +(-1)n (theo công thức Niu Tơn) Nếu n chẵn A = BS17 + = BS17 chia hết cho 17 Nếu n lẻ A = BS17 = BS17 Không chia hết cho 17 Vậy biểu thức 16n chia hết cho 17 n số chẵn, n N d/ Ngoài dùng phơng pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết VD 4: CMR tồn bội 2003 có dạng: 2004 2004.2004 Giải: Xét 2004 số: a1 = 2004 a2 = 2004 2004 a3 = 2004 2004 2004 a2004 = 2004 20042004 2004 nhóm 2004 Theo nguyên lý Dirichle, tồn hai số có số d chia cho 2003 Gọi hai số am an ( n nên 3n > Ta lại có: 3n < 4n +5(vì n 0) nên để 12n2 5n 25 số ngyên tố thừa số nhỏ phải hay 3n = n = Khi đó, 12n2 5n 25 = 13.1 = 13 số nguyên tố Vậy với n = giá trị biểu thức 12n2 5n 25 số nguyên tố 13 b/ 8n2 + 10n +3 = (2n 1)(4n + 3) Biến đổi tơng tự ta đợc n = Khi đó, 8n2 + 10n +3 số nguyên tố 3 c/ A = n + 3n Do A số tự nhiên nên n(n + 3) M 4 Hai số n n + chẵn Vậy n , n + chia hết cho - Nếu n = A = 0, không số nguyên tố - Nếu n = A = 7, số nguyên tố -Nếu n = 4k với k Z, k > A = k(4k + 3) tích hai thừa số lớn nên A hợp số - Nếu n + = A = 1, không số nguyên tố - Nếu n + = 4k với k Z, k > A = k(4k - 3) tích hai thừa số lớn nên A hợp số Vậy với n = n + 3n số nguyên tố Bài 7: Đố vui: Năm sinh hai bạn Một ngày thập kỷ cuối kỷ XX, nhờ khách đến thăm trờng gặp hai học sinh Ngời khách hỏi: Có lẽ hai em tuổi nhau? Bạn Mai trả lời: Không, em bạn em tuổi Nhng tổng chữ số năm sinh chúng em số chẵn Vậy em sinh năm 1979 1980, không? Ngời khách suy luận nào? Giải: Chữ số tận năm sinh hai bạn phảI trờng hợp ngựoc lại tổng chữ số năm sinh hai bạn 1, số chẵn Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Nm hc : 2011-2012 Gọi năm sinh Mai 19a9 +9+a+9 = 19 + a Muốn tổng số chẵn a {1; 3; 5; 7; 9} Hiển nhiên Mai sinh năm 1959 1999 Vậy Mai sinh năm 1979, bạn Mai sinh năm 1980 Chuyờn 2: TNH CHT CHIA HT TRONG N Mt s du hiu chia ht Vớ d I.Mt s du hiu chia ht Chia hết cho 2, 5, 4, 25 8; 125 an an a1a0 M2 a0 M2 a0 = 0; 2; 4;6;8 an an a1a0 M5 a0 = 0;5 an an a1a0 M4 ( 25) a1a0 M4 ( 25) an an a1a0 M ( 125) a2 a1a0 M ( 125) Chia hết cho 3; an an a1a0 M3 (hoặc 9) a0 + a1 + + an M3 ( 9) Nhận xét: D phép chia N cho ( 9) d phép chia tổng chữ số N cho ( 9) Dấu hiệu chia hết cho 11: Cho A = a5 a4 a3a2 a1a0 AM 11 ( a0 + a2 + a4 + ) ( a1 + a3 + a5 + ) M 11 4.Dấu hiệu chia hết cho 101 101 ( a1a0 + a5a4 + ) ( a3a2 + a7 a6 + ) M 101 A = a5 a4 a3 a2 a1a0 AM II.Vớ d Ví dụ 1: Tìm chữ số x, y để: a) 134 x yM45 b) 1234 xyM72 Giải: a) Để 134 x yM45 ta phải có 134 x y chia hết cho y = y = Với y = từ 134 x 40M9 ta phải có 1+3+5+x+4 M9 x + 4M9 x = ta có số 13554 với x = từ : 134 x yM9 ta phải có 1+3+5+x+4 +5 M9 x M9 x = 0; x = lúc đóta có số: 135045; 135945 b) Ta có 1234 xy = 123400 + xy = 72.1713 + 64 + xy M72 64 + xy M72 Vì 64 64 + xy 163 nên 64 + xy 72 144 + Với 64 + xy =72 xy =08, ta có số: 123408 + Với 64 + xy =14 xy =80, ta có số 123480 Ví dụ Tìm chữ số x, y để N = x36 y5M 1375 Giải: Ta có: 1375 = 11.125 NM 125 y5M 125 y = N = x3625M 11 ( + + x ) ( + + ) = 12 x M 11 x = Vậy số cần tìm 713625 4 có chia hết cho 101 không? Ví dụ a) Hỏi số A1991 = 1991 1991 1991so1991 b) Tìm n để An M 101 Giải: a) Ghép chữ số liên tiếp A1991 có cặp số 91;19 Ta có: 1991.91-1991.19 = 1991 72 M101 nên A1991 M101 b) An M 101 n.91 n.19 = 72nM 101 nM 101 : II MT S NH L V PHẫP CHIA HT A.Tóm tắt lý thuyết Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Nm hc : 2011-2012 Định lý phép chia hết: a) Định lý Cho a, b số nguyên tuỳ ý, b , có số nguyên q, r cho : a = bq + r với r b , a só bị chia, b số chia, q thơng số r số d Đặc biệt với r = a = b.q Khi ta nói a chia hết cho b hay b ớc a, ký hiệu a Mb Vậy a Mb có số nguyên q cho a = b.q b) Tính chất a) Nếu a Mb b Mc a Mc M b) Nếu a Mb b Ma a = b c) Nếu a Mb , a Mc (b,c) = a Mbc d) Nếu ab Mc (c,b) = a Mc Tính chất chia hết tổng, hiệu, tích - Nếu a m a + b m b m - Nếu a m b m - Nếu a m a b m b m a b m - Nếu am a n m (n số tự nhiên) 3.Mt s tớnh cht khỏc: Trong n s t nhiờn liờn tip cú mt s chia ht cho n Tớch n s t nhiờn liờn tip chia ht cho n! A Ma A Mb v (a;b) = AMa.b B.Vớ d: ( ) Chng minh rng vi mi s nguyờn dng n ta cú: n + n 124 Gii: ( ) A = n + n = n ( n + 1) ( n 1) ( n + ) M4! = 24 Bi t luyn: Chng minh rng a n + 6n + 8n 48 vi n chn b n 10n + 384 vi n l Chng minh rng : n + n 2n 72 vi n nguyờn CMR vi mi s nguyờn a biu thc sau: a) a(a 1) (a +3)(a + 2) chia ht cho b) a(a + 2) (a 7)(a -5) chia ht cho c) (a2 + a + 1)2 chia ht cho 24 d) n3 + 6n2 + 8n chia ht cho 48 (mi n chn) CMR vi mi s t nhiờn n thỡ biu thc: a) n(n + 1)(n +2) chia ht cho b) 2n ( 2n + 2) chia ht cho Đồng d thức Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Nm hc : 2011-2012 I.Lớ thuyt ng d: a) Định nghĩa : Cho số nguyên m > Nếu số nguyên a, b cho số d chia cho m ta nói a đồng d với b theo môđun m Kí hiệu : a b(mod m) b) Tính chất a) a b(mod m) a c b c(mod m) b) a Mb(mod m) na Mnb(mod m) c) a b(mod m) a n b n (mod m) d) a b(mod m) ac bc(mod m) c) Mt s hng ng thc: a m b m Ma b a n + b n Ma + b (n l) n ( a + b ) = B (a ) + b II.Vớ d: Chng minh: 29 + 299 M200 Gii: + = = 512 112(mod 200) (1) = 112 (mod 200) 112 = 12544 12 (mod 200) 112 12 (mod 200) 12 = 61917364224 24(mod 200) 112 24.112(mod 200) 2688(mod 200) 88(mod 200) 88(mod 200) (2) T (1) v (2) + = 200(mod 200) hay 29 + 299 M200 III,Bi t luyn: S dng hng ng thc v ng d 1962 1964 (1961 + 1963 + 19651966 + 2) ( 241917 + 141917 ) 19 ( + 99 ) 200 13123456789 183 (19791979 19811981 + 1982) 1980 (3 + 32 + 33 + + 3100 ) 120 ( 2222 5555 + 5555 2222 ) 7 QUY NP TON HC I.PHNG PHP CHNG MINH B1: Kim tra mnh ỳng vi n = 1? B2: Gi s Mnh ỳng vi n = k Chng minh mnh ỳng vi n = k + II.V D: Chng minh rng vi mi s nguyờn dng n thỡ: n + + 82 n +1 M57 ( ) Gii: -Vi n = 1:A1 = + = 855 + 57 - Gi s Ak + 57 ngha l n + + 82 n +1 M57 Ak+1 = + =7 + 64.8 = 7(7 + ) + 57.8 Vỡ + ( gi thit qui np) v 57.8 M57 Ak+1 M57 Vy theo nguyờn lớ qui np A = + M57 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Nm hc : 2011-2012 *Chỳ ớ: Trong trng hp tng quỏt vi n l s nguyờn v n n0 Thỡ ta kim tra mnh ỳng n = n0? III.BI TP: Chng minh : Vi n l s t nhiờn thỡ: (5 2n+1 + n+4 + n+1 ) 23 11 + 12 M133 (5 n+ + 26.5 n + 2n+1 ) 59 ( 2n+1 + 33n+1 ) ( 2n+2 + 24n + 14) 18 LUYN TP A = 1ab 2c 1025 B = abca = ( 5c + 1) E = ab cho ab = ( a + b ) A = ab = ( a + b ) HD: ab = ( a + b ) ( a + b )( a + b 1) = 9a (a + b) 3 v (a + b) = 9k + b = 9a = 9.8 = 72 a = v b = B = abcd = ( ab + cd ) HD: t x = ab ; y = cd 99x = (x + y)(x + y - 1) 992 x = 99(1) x < 99(2) Xột kh nng : (1) B = 9801 x + y = 9k x + y = 11l (2) x + y = 11k x + y = 9l ( B = 2025 B = 3025 C = abcdef = abc + def ) S: B = 9801;2025;3025 c + = dd H = abcd cho aa abb bcc d + n n n n Tỡm xyy1 + z = z Tớnh giỏ tr ca biu thc: 1/ Cho x +y = 3, tớnh giỏ tr A = x2 + 2xy + y2 4x 4y + 2/ Cho x +y = 1.Tớnh giỏ tr B = x3 + y3 + 3xy 3/ Cho x y =1.Tớnh giỏ tr C = x3 y3 3xy 4/ Cho x + y = m v x.y = n.Tớnh giỏ tr cỏc biu thc sau theo m,n a) x2 + y2 b) x3 + y3 c) x4 + y4 5/ Cho x + y = m v x2 + y2 = n.Tớnh giỏ tr biu thc x3 + y3 theo m v n 6/ a) Cho a +b +c = v a2 + b2 + c2 = 2.Tớnh giỏ tr ca bt: a4 + b4 + c4 b) Cho a +b +c = v a2 + b2 + c2 = 1.Tớnh giỏ tr ca bt: a4 + b4 + c4 k=1 a Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Nm hc : 2011-2012 Chuyờn S CHNH PHNG I NH NGHA: S chớnh phng l s bng bỡnh phng ỳng ca mt s nguyờn II TNH CHT: S chớnh phng ch cú th cú ch s tn cựng bng 0, 1, 4, 5, 6, ; khụng th cú ch s tn cựng bng 2, 3, 7, Khi phõn tớch tha s nguyờn t, s chớnh phng ch cha cỏc tha s nguyờn t vi s m chn S chớnh phng ch cú th cú mt hai dng 4n hoc 4n + Khụng cú s chớnh phng no cú dng 4n + hoc 4n + (n N) S chớnh phng ch cú th cú mt hai dng 3n hoc 3n + Khụng cú s chớnh phng no cú dng 3n + (n N) S chớnh phng tn cựng bng hoc thỡ ch s hng chc l ch s chn S chớnh phng tn cựng bng thỡ ch s hng chc l S chớnh phng tn cựng bng thỡ ch s hng chc l ch s chn S chớnh phng tn cựng bng thỡ ch s hng chc l ch s l S chớnh phng chia ht cho thỡ chia ht cho S chớnh phng chia ht cho thỡ chia ht cho S chớnh phng chia ht cho thỡ chia ht cho 25 S chớnh phng chia ht cho thỡ chia ht cho 16 III MT S DNG BI TP V S CHNH PHNG A DNG1: CHNG MINH MT S L S CHNH PHNG Bi 1: Chng minh rng vi mi s nguyờn x, y thỡ A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 l s chớnh phng Ta cú A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 t x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thỡ A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ỡ x, y, z Z nờn x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z Vy A l s chớnh phng Bi 2: Chng minh tớch ca s t nhiờn liờn tip cng luụn l s chớnh phng Gi s t nhiờn, liờn tiờp ú l n, n + 1, n+ 2, n + (n N) Ta cú n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + (*) t n2 + 3n = t (t N) thỡ (*) = t( t + ) + = t2 + 2t + = ( t + )2 10 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Bi 6: Nm hc : 2011-2012 AB = ( a 1)2 +(3b 2)2 + (c - 2)2 + Bi 7: A B = ( a 2b ) + ( b 1) Bi 8: y 3y x xy + y = x + Bi 9: Bi 10: Bi 11: Bi 12: Bi 13: Bi 14: Bi 15: Bi 16: Bi 17: Bi 18: Bi 19: Bi 20: 2 x2 xy + y2 -3x 3y + = ( x 1) ( x 1)( y 1) + ( y 1) Bin i tip nh bi Tng t bi x4 + x3y + xy3 +y4 = x xy + y ( x + y ) Tng t bi 11 Xem vớ d A B = (a2 + b2).(a2 + 1) - 4a2b A - B = ac + bd - bc - ad vi ( a b ; c d ) = ( c d )( a b ) ( A-B= ( ) ) a + b ( a + b) Xem bi 16 A - B = (a-c)(b-a)( b ( a ) + a ( b 3) + ab A-B= (Vi a b c 0) ( Vi a,b > 0) 2 ( ab bc ) + ( bc ac ) + ( ac ab ) A-B= abc (Vi a,b,c > 0) TèM GI TR LN NHT - GI TR NH NHT I: DNG 4ac-b 4ac-b b +ax + Nu a > : P = ax + bx +c = Khi ữ Suy MinP = 4a 2a 4a x=- b 2a a c+b b a x Nu a < : P = ax + bx +c = ữ 4a 2aữ a c+b b Suy MaxP = Khi x= a 4a Mt s vớ d: Tỡm GTNN ca A = 2x2 + 5x + 25 25 Gii:A = 2x2 + 5x + = 2( x + x + ) + = 16 16 25 56 25 31 = 2( x + )2 +7 = + 2( x + ) = + 2( x + ) 8 31 Khi x = Tỡm GTLN ca A = -2x2 + 5x + Suy MinA = 58 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Nm hc : 2011-2012 25 25 Gii: A = -2x2 + 5x + = - 2( x x + ) + = 16 16 25 56 + 25 81 = 2( x )2 + + = 2( x ) = 2( x ) 8 Suy MinA = 10 11 12 13 81 Khi x = Tỡm GTNN ca B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 Gii: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + MinB = : Tỡm GTLN ca C = -3x - y + 8x - 2xy + Gii: C = -3x - y + 8x - 2xy + = 10 - 10 GTLNC = 10 khi: BI TP: Tỡm GTNN A= x x + 2008 Tỡm GTLN B = + 3x - x2 Tỡm GTLN D = 2007 x x Tỡm GTNN ca F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + Tỡm GTNN ca G = x 10 x3 +25 x +12 Tỡm GTNN ca M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y Tỡm GTNN C = ( x 1) 3x + Tỡm GTNN ca N = (x +1) + ( x - 3) Tỡm GTNN ca K = x + y - xy +x + y 59 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Nm hc : 2011-2012 HNG DN A = x - 5x + 2008 = (x - 2,5)2 + 2001,75 MinA = 2001,75 x = 2,5 B = + 3x - x2 = -1,25 - ( x - 1,5)2 D = 2007 - x - 5x = 2004,5 - ( x + 2,5)2 F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + = (x +x+1) = G = x - 10x +25x + 12 = x(x - 5) + 12 10 M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y = (x - y + 1) + (y - 4) -16 11 C = ( x 1) 3x + * Nu x C = (3x - 3) + * Nu x < C = (3x + 1) + 12 N = (x +1) + ( x - 3) = 2(x- 1) + K = x + y - xy +x + y = ( x - y) + (x + 1) + (y + 1) - * Mt nhng phng phỏp thng dựng l s dng cỏc bt ng thc ó bit chng minh mt bt ng thc khỏc.Tuy nhiờn s dng ,ngoi hai bt ng thc Cụ-si v bt ng thc Bu-nhi-a-cp-ski Cỏc bt ng thc khỏc s dng lm bi thi cn chng minh li (Xem phn trờn). tin theo dừi, tụi s lit kờ cỏc bt ng thc vo di õy a + b 2ab (a,b>0) (BT Cụ-si) (a +b ) 2 ( ) 4ab a + b ( a + b) a b + 2; a, b > b a 1 + ; a, b > a b a+b a + b + c ab + bc + ca ( ax + by ) ( a + b )( x + y ) a b ( a + b) x + y ( Bu nhi a cop xki) x+ y a b c ( a + b + c) + + x y z x+ y+z ab bc ca + + a + b + c (Vi a,b,c > 0) Vớ d 9:Chng minh c a b ab bc ca Gii:2A - 2B = + + 2a 2b 2c c a b = a + + b + + c + b c c b a c c a p dng bt ng thc b a a b a b + 2; a, b > Ta cú:2A - 2B a ( 2) + b( ) + c( 2) b a Vy A B.ng thc xy a = b = c > Vớ d 10: Cho cỏc s dng x , y tho x + y = Chng minh rng : xy + x + y 60 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Nm hc : 2011-2012 1 2 + = + = + xy x + y xy x + y 2 xy x + y x + xy + y = = ng thc xy x = y = ( x + y) Gii: Vớ d 11: Chng minh bt ng thc : Gii: a2 b2 c2 a c b + + + + b2 c2 a2 c b a a2 b2 a b a b2 c2 a2 c a c b c b c ; ; + = + = + = c a a a2 b2 b c c c2 a2 b2 c2 a b b Cng tng v ba bt ng thc trờn ta cú: a b2 c b2 c a c b a c b a + + ữ + + ữ + + + + c a c a c b a c b a b b ng thc xy a = b = c Bi tp: 1 Cho a,b,c l s dng.Chng minh rng ( a + b + c ) + + a b c Cho cỏc s dng a,b,c bit a.b.c = Chng minh rng: (a + 1)(b + 1)(c + 1) Cho cỏc s a,b bit a + b = Chng minh rng a) a + b b) a + b Cho s dng a,b,c v a + b + c = Chng minh: + + Cho x , y , z 0v x + y + z Chng minh rng: + + + + Cho s dng a , b cú tng bng Chng minh rng a + b + 14 Cho s dng a , b cú tng bng Chng minh rng (a + ) + (b + ) Chng minh bt ng thc sau vi mi a,b,c>0 1 1 1 + + + + , a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b Cho a,b,c l s dng Chng minh : a b c 1 + + + + bc ac ab a b c 10 Cho a,b,c l s dng a2 b2 c2 a+b+c Chng minh rng : + + b+c a+c b+a 11 Chng minh: a + b vi a + b a b c + + Vi a,b,c > 12 Chng minh: b+c c+a a+b 13 Chng minh: a + b + c abc( a + b + c ) Bi 28: Cho x 0; y 0; z 0; Chng minh rng :(x + y).(y + z).(z + x) 8xyz 1 1 + + + + + + 15 Cho A = Chng minh rng A > n +1 n + 2n + 2n + 3n + 14 61 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Nm hc : 2011-2012 HNG DN: a b a c b c A = 3+ + + + + + 3+ 2+ 2+ = b a c a c a p dng (a + 1) 2a a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b) b) p dng cõu a Xem bi + + + + = ++ = + + = A = + = ( + ) + + = ( vỡ 2ab (a+b) ) B = + = 3( +) + (a + ) + + (b + ) + = + 5(a + ) + 5(b + ) = 5( a + b) + 5( + ) 5( a + b) + = 25 Suy ra: (a + ) + (b + ) + ; + ; + Cng theo v BT trờn ta c pcm Ta cú: + = ( + ) b c 1b c + = + ac ab a c b a c a c a + = + ab bc b a c b Cng tng v bt ng thc trờn ta c pcm ng thc xỏy v ch a = b = c (Hóy kim tra li) a b c ( a + b + c) + + 10 p dng BT x y z x+ y+z 11 a+b (a+b) 12 ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + + a b c + + = (a+b+c) ( + + ) (a+b+c) = Suy ra: b+c c+a a+b 13 p dng BT vớ d cho s a + b + c ri tip tc ỏp dng ln na cho s a2b2 + b2c2 + c2a2 ta cú pcm 14 p dng BT ( x + y ) xy Nhõn tng tha s ca BT suy PCM 15 A cú 2n + s hng (Kim tra li !).p dng BT hng thớch hp s cú pcm Chuyên đề 9: 1 + ; a, b > Vi tng cp s a b a+b Phơng pháp tam giác đồng dạng I Kiến thức Ta biết tam giác đồng dạng suy đợc cặp góc tơng ứng nhau, cặp cạnh tơng ứng tỉ lệ, đặc biệt tỉ số diện tích chúng bình phơng tỉ số đồng dạng Để chứng minh góc hay cặp đoạn thẳng tỉ lệ pp tam giác đồng dạng ta làm theo bớc sau : Bớc : Xét tam giác có chứa góc hay chứa cặp đoạn thẳng Bớc : Chứng minh tam giác đồng dạng Bớc : Suy cặp góc tơng ứng nhau, cặp cạnh tơng ứng tỉ lệ Để tạo đợc tam giác đồng dạng với tam giác khác, cách vẽ đờng song song với cạnh tam giác ta vẽ thêm đờng phụ nhiều cách khác, chẳng hạn : - Nối điẻm có sẵn hình làm xuất tam giác - Từ điểm cho trớc, vẽ đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng - Trên tia cho trớc, đặt doạn thẳng đoạn thẳng khác 62 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Nm hc : 2011-2012 Một vài ứng dụng pp tam giác đồng dạng a) Dùng pp tam giác đồng dạng để CM điểm thẳng hàng Ta CM tam giác đồng dạng để suy cặp góc tơng ứng nhau, từ dùng cách cộng góc để dợc góc bẹt dẫn tới điểm thẳng hàng Ví dụ : Cho tam giác ABC, tia phân giác góc B góc C cắt O Trên cạnh AB, AC lần lợt lấy M N cho BM.BC = BO2 ; CN.CB = CO2 CMR điểm M, O, N thẳng hàng @ Bg : A BM BO BM.BC = BO2 ; = BOM BCO có BO BC N O =B ả ; BM = BO nên BOM ~ BCO (c.g.c) O =C B 2 1 M BO BC 12 ả ả Chứng minh tơng tự ta đợc CON ~ CBO (c.g.c) O2 = B2 B C +O ả +O ả =C +B ả +O ả = 1800 Suy điểm M, O, N thẳng hàng Ta có O 3 Nhận xét Điều gợi ý cho ta dùng pp đồng dạng để giải ví dụ ? Đó đề có cho BO trung bình nhân BM BC ; CO trung bình nhân CN CB, từ suy đợc cặp đoạn thẳng tỉ lệ dẫn tới tam giác đồng dạng b) Dùng pp tam giác đồng dạng để CM tích đoạn thẳng tổng tích cặp đoạn thẳng số cho trớc Ta CM tam giác đồng dạng để suy cáắccpj cạnh tơng ứng tỉ lệ, dẫn tới tích cặp đoạn thẳng Ví dụ : Cho hình bình hành ABCD, góc B nhọn Gọi H K lần lợt hình chiếu B AD CD Chứng minh DA.DH + DC.DK = DB2 @ Bg : *Tìm hớng giải : Các tích DA.DH, DC.DK cha có mối liên quan trực tiếp với nh với DB Vì ta thay tích tích khác chúng, có liên quan với nh liên quan với DB Muốn H phải tạo đợc cặp tam giác đồng dạng với điều kiện DB phải cạnh tam giác nh *Lời giải: A B Vẽ AI DB DA DI (1) = DA.DH = DB.DI IDA ~ HDB DB DH I BA BI DC BI K (2) C = = DC.DK = DB.BI D IBA ~ KDB DB DK DB DK Cộng vế BĐT (1) (2) ta đợc : DA DH + DC DK = DB DI + DB BI = DB(DI + BI) = DB2 (đpcm) = 900 hình bình hành ABCD trở thành hình chữ nhật Lúc áp dubgj định lý PtChú ý : Nếu B ta-go ta có điều phải chứng minh c) Dùng pp tam giác đồng dạng để giải toán dựng hình Đối với số toán dựng hình dựng hình tam giác, biết yếu tố độ dài, lại biết tỉ số độ dài biết số đo góc ta nghĩ đến pp tam giác đồng dạng Ví dụ : AB Dựng tam giác ABC biết àA = 600 ; = BC = a BC @ Bg : Phân tích : Giả sử dựng đợc tam giác ABC thoả mãn đề Vẽ đờng thẳng song song với BC, cắt AB, AC lần lợt M N Từ C vẽ đờng thẳng song song với AB cắt MN P Dễ thấy A AM AB MP = BC = a AMN ~ ABC = = i AN AC 600 Vậy AMN dựng đợc, từ dựng đợc P, C B Cách dựng : N p M i - Dựng AMN cho àA = 60 ; AM = ; AN = A i - Trên tia MN lấy điểm P cho MP = a i a - Dựng PC // AB (C thuộc tia AN) C B i - Dựng CB // MN (B thuộc tia AM) i i 63 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Nm hc : 2011-2012 Tam giác ABC tam giác phải dựng (Phần CM biện luận tự làm) II Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Gọi M N lần lợt trung điểm AH BH Gọi O giao điểm AN với CM Chứng minh : a) AN CM b) AH2 = MC.MO @ Bg AB BN AB BH BN A a) ABH ~ CAH (g-g) hay (1) = = = CA AH AM CA AM = àA Ta có B (2) 1 O M ả ả Từ (1) (2) suy ABN ~ CAM (c.g.c) A = C 2 ã ả = CAO ã Xét tam giác CAO có CAO +C + ảA2 = 900 = 900 Vậy AN CM O AM MO b) AOM ~ CHM (g.g) AM.MH = MC.MO = CM MH AH AH = MC.MO hay HA2 = MC.MO 2 B C N H Bài : Cho tam giác ABC, phân giác AE Chứng minh AB.AC > AE2 A @ Bg ãAEC > B (t/c góc ABE) AF < AC Trên AC lấy điểm F cho ãAEF = B F AE AF AB.AF = AE2 AB.AC > AE2 = AEF ~ ABE (g-g) C AB AE B E Bài : Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm di động AC Từ C vẽ đờng thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM H, cắt tia BA O Chứng minh : a) OA.OB = OC.OH b) Góc OHA có số đo không đổi c) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi @ Bg O OB OH a) BOH ~ COA (g-g) OA.OB = OC.OH = OC OA H OB OH OA OH b) (1) = = A M OC OA OC OB chung (2) OHA OBC có O Từ (1) (2) OHA ~ OBC (c.g.c) B K C ã ã OHA = OBC (không đổi) BM BK c) Vẽ MK BC ; BKM ~ BHC (g.g) (3) = BM.BH = BK.BC BC BH CM CK (4) = CM.CA = BC.CK CKM ~ CAB (g.g) CB CA Cộng vế (3) (4) ta đợc BM.BH + CM.CA = BK.BC + BC.CK = BC(BK + CK) = BC2 (không đổi) Bài : Cho tam giác ABC cân A, đờng cao AH Trên đoạn thẳng CH HB lần lợt lấy hai điểm M N cho CM = HN Đờng thẳng qua M vuông góc với BC cắt AC E Qua N vẽ đờng thẳng d NE Chứng minh M di động đoạn thẳng CH đờng thẳng d luôn A qua điểm cố định E @ Bg Dễ thấy CH = MN = BC 64 B N H M F C Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Nm hc : 2011-2012 HF HN CM = = HFN ~ MNE (g.g) MN ME ME AH CH CH CM = = AHC ~ EMC (g.g) EM CM AH EM (1) (2) 1 HF CH Do HF = MN CH BC BC BC (không đổi) = = = MN AH AH AH AH Vì H cố định nên F cố định Bài : Cho tam giác ABC, đờng cao AD, BE, CF Gọi M, N, I, K lần lợt hình chiếu D AB, AC, BE, CF Chứng minh điểm M, N, I, K thẳng hàng @ Bg Từ (1) (2) BM BD BI = = MI // FE BF BC BE CN CD CK Vì DN // BE DK // AB nên = = NK // FE CE CB CF AM AD = AMD ~ ADB AD AB Vì DM // CF DI // CA nên AND ~ ADC AN AD = AD AC (1) A (2) E (3) F (4) M N K I D B C AM AC = AN AB AF AC AM AF (5) MN // FE = = ACF ~ ABE AE AB AN AE Từ (1) ; (2) ; (5) suy điểm M, I, N, K thẳng hàng Bài : Lấy cạnh AB, AC BC ABC làm cạnh đáy, dựng tam giác vuông cân ABD, ACE, BCF, hai tam giác đầu dựng phía ABC tam giác thứ dựng nửa mặt phẳng bờ BC với ABC Chứng minh tứ giác AEFD hình bình hành (hoặc A, E, F, D thẳng hàng) @ Bg ã Nếu BAC 900 ; BAD ~ BCF(2 tam giác vuông cân) A E BD BA BD BF F o ) ã Mặt khác DBF = = = ãABC ( = 45 + B D BF BC BA BC ã ã BDF ~ BAC (c.g.c) BDF = BAC ã ã Chứng minh tơng tợ có FEC ~ BAC FEC = BAC Chia vế (3) cho (4) ta đợc B C o ã ã ã Ta có DAE ) + (900 - BDF ) = 1800 AE // DF + ãADF = (90 + BAC Chứng minh tơng tự ta đợc AD // EF Vậy AEFD hình bình hành ã Trờng hợp BAC = 900 điểm A, E, F, D thẳng hàng Bài : Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần lợt trung điểm AB, AD Gọi E F lần lợt giao điểm BN với MC AC Cho biết AB = 30 cm, tính diện tích tam giác BEM AFN @ Bg A M =C BN CM B ABN = BCM (c.g.c) B 1 ABN vuông A, AB = 30; AN = 15 BN2 = 1125 E S 225 BM = BEM ~ BAN BEM = ữ = S BAN BN 1125 1 SBAN = 30.15 = 225 SBEM = 225 = 45 (cm2) FN AN 1 = = FN = BF = BN AFN ~ CFB FB BC 2 65 N F D C Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Nm hc : 2011-2012 1 SAFN = SABN = 225 = 75 cm2 3 Bài : Qua điểm O nằm tam giác ABC ta vẽ đờng thẳng song song với cạnh Các đờng thẳng chia tam giác ABC thành hình bình hành tam giác nhỏ Biết diện tích tam giác a2 , b2 , c2 Tính SABC a) Chứng minh S a2 + b2 + c2 b) @ Bg a) Dễ thấy tam giác ODH, EON, FMO đồng dạng với ABC 2 Đặt SABC = d Ta có a = DH ữ a = DH d d BC BC (1) 2 E F b ON HC b HC = ữ = ữ = d d BC BC BC (2) M c O c MO BD c BD (3) = ữ = ữ = d d BC BC BC B a + b + c DH + HC + BD Cộng vế đẳng thức (1) , (2) , (3) ta đợc = =1 d BC a + b + c = d Vậy S = d2 = (a + b + c)2 b) S = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac a2 + b2 + c2 + (a2 + b2) + (b2 + c2) + (c2 + a2) = 3(a2 + b2 + c2) Dấu = xẩy a = b = c O trùng với trọng tâm G ABC A Rỳt gn Biu thc B = b Thc hin phộp tớnh: D 4a + 12a + Vi a 2 2a a 0,5a + a + a : + (a 2.) + 0,5a a + a( a ) Gii: ( 2a + 3) = 2a + 4a + 12a + = ( 2a + 3)( a 2) a 2a a 0,5a + a + a a + 2a + a + 2 : + = + b + 0,5a a + a( a ) a+2 a a( a ) a + 2a + a2 = = = ( a ) ( a + 2a + ) a ( a ) a ( a ) a 2 a B = Vớ d 9: Thc hin phộp tớnh: A = x + y xy x3 + y3 : ( Vi x y) x2 y2 x + y xy Gii: A= = a b ( x y) x + y xy x +y x + y xy : = 2 x y x + y xy ( x y )( x + y ) ( x + y ) ( x + y xy ) x y 2 3 2 ( x + y) Vớ d 10: Cho biu thc : A = x4 + x3 + x + x x + 2x x + Rỳt gn biu thc A Chng minh rng A khụng õm vi mi giỏ tr ca x Gii: 66 N a2 Vớ d 8: a b2 H C Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Nm hc : 2011-2012 x4 + x3 + x +1 x4 + x3 + x +1 A= = x x3 + 2x x +1 x x3 + x + x x + = = ( ) x ( x + 1) + ( x + 1) ( x + 1) x + = x2 x2 x +1 + x2 x +1 x2 x +1 x2 +1 ( ( x + 1) ( (x ) ( ) ( ) ) ( x + ( x + 1) = x x +1 x2 +1 x +1 2 )( )( ) ) ( x + 1) ; ( x + 1) 0; x + > A 2 b A = x +1 a5 + a6 + a + a8 Vớ d 11: Tớnh giỏ tr biu thc : a + a + a + a vi a = 2007 Gii: 8 a +a +a +a a +a +a +a B = = 1 1 a +a +a +a + 6+ + a a a a 8 a +a +a +a a a +a +a +a = = a + a + a +1 a3 + a + a +1 a8 a 13 + a + a + a = = a13 B = 200713 a3 + a + a +1 ( ( ) ) x 25 y2 : Vớ d 12: Tớnh giỏ tr biu thc : x 10 x + 25 x y y Bit x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - x Gii: x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - x ( x y ) + x = x = y x = x = y = x 25 y2 ( x 5)( x + 5) ( y 2)( y + 1) C= : = 2 y2 x 10 x + 25 x y y x ( x 5) = ( x + 5)( y + 1) = 8.2 = x( x 5) 3.( ) Bi tp: 13 Chng minh rng Biu thc (x P= (x 2 ) ) + a (1 + a ) + a x + a (1 a ) + a x + khụng ph thuc vo x x x + x x 3x + x + 2x 14 Cho biu thc M = a b c 15 Tỡm xỏc nh ca M Tớnh giỏ tr ca x M = Rỳt gn M Cho a,b,c l s ụi mt khỏc Chng minh rng : bc ca ab 2 + + = + + ( a b )( a c ) ( b a )( b c ) ( c a )( c b ) a b b c c a 67 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 16 Nm hc : 2011-2012 Cho biu thc : B = x + 10 x + x x + x 10 a b Rỳt gn B Chng minh rng : n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 16 vi n Z a 2x + 3y xy x2 + Rỳt gn biu thc : A = vi x xy + x y xy + x + y + x -3; x 3; y -2 2+ x 4x 2 x x 3x : x x + x 2x x b Cho Biu thc : A = a b c Tỡm iu kin cú ngha v Rỳt gn biu thc A Tỡm giỏ tr ca x A > Tỡm giỏ tr ca A trng hp x = 19 a.Thc hin phộp tớnh: 1 16 + + + + + a.A = x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x + x 16 1 2 a a +9 a +9 b Rỳt gn C = a2 + a2 a2 + Cho a,b,c l s ụi mt ab bc ac + + Tớnh S = ( b c )( c a ) ( a b )( c a ) ( b c )( a b ) 2a b 5b a + 21 Tớnh giỏ tr ca biu thc : 3a b 3a + b 20 bit: 10a 3b 5ab = & 9a b 22 Cho a + b + c = v a + b + c = a Nu x y z = = Chng minh rng xy + yz + zx = a b c b.Nu a3 + b3 + c3 = Tớnh giỏ tr ca a,b,c 23 a b 24 25 26 Bi 11: Cho Biu thc : A = 2a a + 3a 3a + Tớnh giỏ tr ca A a = -0,5 Tớnh giỏ tr ca A : 10a2 + 5a = 1 + + = Chng minh nu xyz = thỡ: + x + xy + y + yz + z + zx a + 3ab 2a 5ab 3b a an + bn + ab + = a 9b 6ab a 9b 3bn a an + 3ab Thc hin phộp tớnh: 2008 Chng minh ng thc sau: 1 + + + ( 3n 1)( 3n + 2) 2.5 5.8 27 Tớnh tng : S(n) = 28 2a 12a + 17 a Rỳt gn ri tớnh giỏ tr ca biu thc :A = a2 Bit a l nghim ca Phng trỡnh : a 3a + = 68 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Nm hc : 2011-2012 b a c b a c Gi a,b,c l di cnh ca tam giỏc bit rng: + + + = 29 Chng minh rng tam giỏc ú l tam giỏc u 30 Chng minh rng nu a,b l s dng tha iu kin: a + b = thỡ : a b 2( b a ) = 2 b a a b + 3 31 Thc hin phộp tớnh: x yz y xz z xy + + A= ( x + y )( x + z ) ( x + y )( y + z ) ( y + z )( x + z ) 32 33 (1 x ) a + b + c 3abc Rỳt gn biu thc : A = a+b+c Chng minh rng biu thc sau luụn dng TX: 2 B= 1+ x2 34 x + x : + x x + x x Rỳt gn ri Tớnh giỏ tr biu thc vi x + y = 2007 A= x( x + 5) + y ( y + 5) + 2( xy 3) x( x + 6) + y ( y + 6) + xy Cho s a,b,c tha ng thc: 35 Tớnh giỏ tr biu thc P = ( a + b )( b + c )( c + a ) abc a+bc a+cb b+ca = = c b a xy z yz x zx y Cho biu thc : A = Chng minh rng nu : xy + z yz + x xz + y 36 x + y + z = thỡ A = HNG DN: x + a (1 + a ) + a x + 1 + a + a = P= x a (1 a ) + a x + 1 a + a ( ( 13 14 ) ) 2 x x + x x 3x + x + 2x ( x + 3) ( x 1) = x+4 M= 15 ab bc 1 ca 1 = + = + = ( a b )( a c ) a b c a ( b a )( b c ) b c a b 1 = ( c a )( c b ) = b c + c a 16 x + 10 x + 10 = a.Rỳt gn B = x + x x + x 10 ( x 1)( x + 10) ( x + 1) ( x 1) ( x + 1) ; ( x > 10lx 1) = ( x + 10) ( x 1)( x + 10 ) ( x + 1) ; ( x < 10 ) b n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 = [ n( n + 1) ] 69 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn A= 17 Nm hc : 2011-2012 2x + 3y xy x +9 xy + x y xy + x + y + x 2x + 3y xy x2 + = = xy + x y xy + x + y + x ( x 3)( x + 3)( y + 2) 18 2+ x 4x 2 x x 3x 4x : = a.A = x3 x x + x 2x x 4x b.A > >0 x>3 x3 x = 11 x = c x = x = 11 A = x = A khụng xỏc nh 19 a.A = 121 1 16 32 + + + + + = 16 x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x x 32 1 a2 + b Rỳt gn C = a a 1+ = a + a2 a2 + ab bc ac + + ( b c )( c a ) ( a b )( c a ) ( b c )( a b ) ab( a b ) + bc( b c ) + ac( c a ) ( a b )( b c )( c a ) = = = ( a b )( b c )( c a ) ( a b )( b c )( c a ) 21 T: 10a 3b 5ab = & 9a b 5ab = 3b 10a (1) 2a b 5b a 3a 15ab 6b Bin i A = (2) + 3= 3a b 3a + b 9a b Th (1) vo (2) ; A = - 22 T a + b + c = v a + b + c = suy ra: ab + bc + ca = (1) 20 S= a Nu x y z = = a b c x y z x+ y+z = = = = x+ y+z a b c a+b+c = x + y + z Suy xy + yz + zx = suy : ( x + y + z) b p dng ( a + b + c ) ( a + b + c ) = 3( a + b )( b + c )( c + a ) T a3 + b3 + c3 = Suy ra: 3( a + b )( b + c )( c + a ) = T ú tớnh c a , b , c 23 Xem bi 21 24 T xyz = Bin i 70 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Nm hc : 2011-2012 1 + + + x + xy + y + yz + z + zx y yz = + + + y + yz + y + yz + y + yz 25 Chng minh : a + 3ab 2a 5ab 3b a an + bn + ab a+b + = = 2 2 a 9b 6ab a 9b 3bn a an + 3ab 3b a 2008 26 = 1.2.3 1997 3.4.5 1999 1999 1999 = = 2.3.4 1998 2.3.4 1998 1998 3996 27 1 + + + ( 3n 1)( 3n + 2) 2.5 5.8 11 1 1 n = + + = 32 5 3n 3n + 2( 3n + ) 2a 12a + 17a = 2a 8a + a2 a = 0; a = A = 1; A = a 3a + = a = 1; a = A = 2 ( ( ( a b) b c) c a) b c a + + =0 29 + + + = ab bc ca a b c 30 Rỳt gn 28 A= ( ) ( a b) a + b a b 2( b a ) = = b a a 2b + ab b + b + a + a + ( 31 )( ) y xz y z x yz x y = = = ( x + y )( x + z ) x + z x + y ( x + y )( y + z ) x + y y + z z xy z x = Cng tng v c A = ( x + z )( y + z ) y + z x + z 32 a + b + c 3abc A= a+b+c ( a + b + c 3abc = ( a + b + c ) a + b + c ab bc ca 33 TX: 34 A= x ;B = 1 + x2 x( x + 5) + y ( y + 5) + 2( xy 3) ( x + y + )( x + y 1) = x( x + 6) + y ( y + 6) + xy ( x + y + 6)( x + y ) a +bc a +cb b+ca = = c b a a+bc a +c b b+ca +2= +2= +2 Suy ra: c b a 35 ) T: 71 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn a+b+c a+c+b b+c+a = = Suy ra: c b a Nm hc : 2011-2012 Suy ra: hoc a + b + c = hoc a = b = c P = -1 hoc P = 36 T: x + y + z = suy ra: x + y + z = 3xyz A= M N ( ) ( M = 63 x y z 16 xyz x + y + z + x y + y z + z x ( ) ( N = x y z + xyz x + y + z + x y + y z + z x 72 ) ) [...]... Bài 4: Cho dãy số 49; 4 489 ; 44 488 9; 444 488 89; … Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương Ta có 44… 488 89 = 44… 488 8 + 1 = 44…4 10n + 8 11…1 + 1 n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1 10 n − 1 10 n − 1 n = 4 10 + 8 +1 9 9 4.10 2 n − 4.10 n + 8. 10 n − 8 + 9 4.10 2 n + 4.10 n... 0 ∈ Z hay các số có dạng 44… 488 89 là số chính phương Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương: A = 11…1 + 44…4 + 1 2n chữ số 1 n chữ số 4 B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8 2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6 C = 44…4 + 22…2 + 88 8 + 7 2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8 2 11 2 2 Giáo án BDHSG Toán 8  10 + 2   Kết quả: A =   3  Năm học : 2011-2012  10 + 8   B =   3  n n ; ;... 11…1 ; b = 100…05 20 08 chữ số 1 2007 chữ số 0 Chứng minh ab + 1 là số tự nhiên 10 20 08 − 1 Cách 1: Ta có a = 11…1 = ; b = 100…05 = 100…0 + 5 = 1020 08 + 5 9 20 08 chữ số 1 ⇒ ab+1 = ab + 1 = Ta thấy 10 20 08 (10 20 08 2007 chữ số 0 − 1)(10 9  10 20 08 + 2    3   2 = 20 08 + 5) +1= (10 20 08 chữ số 0 ) + 4.10 9 20 08 2 20 08 2  10 20 08 + 2  −5+9  =  3   10 20 08 + 2 3 10 20 08 + 2 + 2 = 100…02 ... 13x2 + 36 8 x4 + 3x2 – 2x + 3 9 x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1 (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 2 (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3 3 x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) 4 (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 33 Giáo án BDHSG Toán 8 5 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 8 Năm học : 2011-2012 6 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24 7 15x3 + 29x2 – 8x – 12 8 x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – 8 9 x3... 3x2 + 9 18 x12 – 3x6 + 1 3 x4 + 3x2 + 4 19 x8 - 3x4 + 1 4 2x4 – x2 – 1 20 a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1 5 x4y4 + 4 21 m3 – 6m2 + 11m - 6 6 x4y4 + 64 22 x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 7 4 x4y4 + 1 23 x3 + 4x2 – 29x + 24 32 Giáo án BDHSG Toán 8 Năm học : 2011-2012 8 32x4 + 1 24 x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1 9 x4 + 4y4 25 x7 + x5 + x4 + x3 + x2 + 1 10 x7 + x2 + 1 26 x5 – x4 – x3 – x2 – x - 2 11 x8 + x + 1 27 x8 + x6... 17 x 3 – 4x2 + 4x - 1 18 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2 19 (xy + 4)2 – (2x + 2y)2 20 (a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2 Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 1 x2 – 6x + 8 23 x3 – 5x2y – 14xy2 2 x2 – 7xy + 10y2 24 x4 – 7x2 + 1 3 a2 – 5a - 14 25 4x4 – 12x2 + 1 4 2m2 + 10m + 8 26 x2 + 8x + 7 5 4p2 – 36p + 56 27 x2 – 13x + 36 6 x3 – 5x2 – 14x 28 x2 + 3x – 18 31 Giáo án BDHSG Toán 8 Năm học : 2011-2012 7... 1 28 Lời giải x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 1 28 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 1 28 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng : (y - 12)(y + 12) + 1 28 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8) (x2 + 10x + 8) Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc 4 đối với x thành đa thức bậc 2 đối với y Ví dụ 17 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 27 Giáo án BDHSG Toán. ..  11 ⇒ a2 - b2  11 Hay ( a-b )(a+b )  11 Vì 0 < a - b ≤ 8 , 2 ≤ a+b ≤ 18 nên a+b  11 ⇒ a + b = 11 2 2 Khi đó ab - ba = 32 112 (a - b) 2 2 Để ab - ba là số chính phương thì a - b phải là số chính phương do đó a-b = 1 hoặc a -b=4 • Nếu a-b = 1 kết hợp với a+b = 11 ⇒ a = 6, b = 5, ab = 65 Khi đó 652 – 562 = 1 089 = 332 18 Giáo án BDHSG Toán 8 Năm học : 2011-2012 • Nếu a - b = 4 kết hợp với a+b = 11... thích hợp để phân tích tiếp Ví dụ 5 Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + 4 thành nhân tử 21 Giáo án BDHSG Toán 8 Hướng dẫn Năm học : 2011-2012 - Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12) - Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci) - Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix) Lời giải 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2)... ⇒ n  8 (1) 16 Giáo án BDHSG Toán 8 Năm học : 2011-2012 2 2 Ta có k + m = 3n + 2 ≡ 2 (mod3) Mặt khác k2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1 Nên để k2 + m2 ≡ 2 (mod3) thì k2 ≡ 1 (mod3) m2 ≡ 1 (mod3) ⇒ m2 – k2  3 hay (2n+1) – (n+1)  3 ⇒ n  3 (2) Mà (8; 3) = 1 (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ n  24 Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương Giả sử 28 + 211