PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỪ LIÊM TRƯỜNG THCS CẦU DIỄN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ TRUNG HỌC CƠ SỞ Môn: TOÁN Tên tác giả: Nguyễn Đức Quỳnh Giáo viên môn: TOÁN NĂM HỌC 2012 - 2013 ĐẶT VẤN ĐỀ Sau nhiều năm dạy toán học bậc trung học sở, nhận thấy toán cực trị không xây dựng thành hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà hình thành bước cho học sinh qua số tập sách giáo khoa Nhưng toán cực trị lại vấn đề thường gặp kỳ thi, đợt kiểm tra hàng năm Do việc hình thành phương pháp giải toán cực trị cách hệ thống cho học sinh việc giải baì toán học sinh gặp nhiều trở ngại Xuất phát từ kinh nghiệm có thân qua thực tế giảng dạy tìm hiểu thêm tài liệu tham khảo, đặc biệt dạy toán THCS Tôi chọn nội dung : Cách giải toán cực tri đạisố THCS” làm sáng kiên kinh nghiệm năm học 2012-2013 Qua sáng kiến kinh nghiệm, mong thân tìm hiểu sâu vấn đề này, tự sưu tầm phân loại số dạng toán cực trị, nêu lên số phương pháp giải cho dạng tập Từ giúp học sinh dễ dàng việc nắm kiến thức dạng toán Tôi hy vọng áp dụng vào thực tế giúp học sinh phát triển tư sáng tạo, khả phân tích, tổng hợp, tự tập tương tự qua tập góp phần nhỏ nâng cao trình độ học sinh Nội dung sáng kiến kinh nghiệm gồm phần: Phần I: Cơ sở lý thuyết sáng kiến kinh nghiệm Phần II: Các toán cực trị đại số Phần III : Các kiểm tra ; kết kết luận PHẦN I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM A Mục đích yêu cầu: - Tuyển chọn,sưu tầm phân loại dạng tập nêu lên phương pháp giải loại toán cực trị - Dự đoán sai sót học sinh, nêu điểm cần ý giải toán cực trị - Hiểu chất khái niệm cực trị nắm bước giải toán cực trị - Nhận dạng loại toán cực trị, vận dụng sáng tạo phương pháp giải toán cực trị vào cụ thể, từ dễ đến khó B Lý thuyết áp dụng: 1) Hằng đẳng thức đáng nhớ : (a+b)2 ≥ ;vv…… 2) Tính chất trị tuyệt đối +f (x) + g (x) ≥  f (x) + g (x) dấu “ = ” xảy ⇔ f (x) g (x) ≥ + f (x) - g (x) ≤  f (x) - g (x) dấu “ = ” xảy ⇔ f (x) g (x) ≥ f (x) ≤ g (x) 3) Đa thức bậc f(x) =ax2 + bx + c (a≠ 0) =a(x+ b b − 4ac )2a 4a 4) ) Bất đẳng thức Cô si a1 + a2 ≥ ≥- b − 4ac 4a (với a>0) ; ≤ - b − 4ac (với a Nhưng kết luận A = không đồng thời xảy dấu đẳng thức Do ta phải giải sau: A = (x+2)2 + (x-1)2 = x2 + 4x + + x2 - 2x + = 2x2 + 2x + = ( x2 +x + =2 (x2 + 2x Do A = ) 1 + )+ 4 = (x + ) + 2 x = 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: B = - ( x-1) (x + ) (x + 3) (x + 6) Giải: Ta có: B = - ( x2 + 5x - 6) (x2 + 5x + 6) Đặt: x2 + 5x = t Ta có: B = - (t- 6) (t+6) = - (t2-36) => B = 36 - t2 ≤ 36 x=0 Vậy B = 36 x2 + 5x = ⇔ x = -5 Do đó: max B = 36 Khi ⇔ x= x = -5 2- Một số nhận xét: - Dựa vào tính biến thiên hàm số tam thức bậc hai, ta có kết tam thức bậc hai có cực trị (hoặc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ) - Trong toán cực trị, ta đổi biến Cụ thể ví dụ ta dặt y = x + kho A = ( y-1) + ( y-1) 3- Một số tập tương tự: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x4 - 6x3 + 10x2 - 6x + 19 C = (x+1)2 + ( x+3)2 ; B = x - 2x3 + 3x2 - 2x + 11; D = x( x+1) ( x+2) ( x+3)-24 Bài 2: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: A= 4x - x2 +11 ;B = 50- 8x- x ; C = -5x 2- 4x + 108; D =101- x- x2 II/ Cực trị hàm số đa thức nhiều biến số: Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ đa thức P = 19x2 + 54y2 + 16z2- 16xz- 24yz + 36x + Giải: P = (9x2+36xy+36y2)+(18y2- 24yz+8z2)+ (8x2 -16xz+8z2)+2x2 + = (x + 2y)2 + (3y- 2z)2 + (x- y)2 + 2x2 + Ta thấy P ≥ Với x = y = z = P = Do P = x = y = z = Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn biểu thức: Q = 15- 10x- 10x2 + 24 xy- 16y2 Giải: Q = - (x2 + 10x + 25) - (9x2- 24xy + 16y2) + 40 = 40- (x + 5)2 - (3x- 4y)2 ≤ 40 15 Vậy max Q = 40 ⇔ x = -5 y = Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ M M = a2- 4ab + 5b2 + 10a- 22b + 28 Giải: M = a2- 4ab + 5b2 + 10a- 22b + 28 = (a2- 4ab + 4b2) + (b2- 2b + 1) + 27 + 10a-20b = (a- 2b)2 + (b- 1)2 + 27 + 10 (a- 2b) Đặt a- 2b = t ta D = t2 + (b- 1)2 + 27 + 10t = (t + 5)2 + (b- 1)2 + ≥ Dấu “ = ” xảy ⇔ a = -3 b = Vậy M = ⇔ b = 1; a = -3 Bài tập tương tự: Bài 3: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: A = 19- 4x- 5x2 B = xy- x2- y2 + 4x+ 51 C = x2 + y2- 6x- 2y + 107 Bài 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = 5x2- 12xy + 9y2- 4x + 41 B = x2 + xy + y2- 3x- 3y + 2013 C = 10x2 + 12xy + 4y2 + 6x + 71 D = 2x2 + 9y2- 6xy- 6x- 12y + 2013 III/ Cực trị phân thức đại số: 1- Một số kiến thức cần lưu ý: Cho P = m với A > : A - Nếu m = ⇒ P = - Nếu m > max P = 1 ; P = A max A - Nếu m < ta có max P = 1 ; P = max A P Bằng cách áp dụng tính chất trên, ta đưa toán tìm cực trị phân thức toán cực trị đa thức 2- Các ví dụ: Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn biểu thức: M= Giải: M = 4x − 4x + 3 = (2 x − 1) + 4x − 4x + Ta thấy: (2x- 1)2 ≥ nên (2x- 1)2 + ≥ 3 Do (2 x − 1) + ≤ (Theo quy tắc so sánh hai phân thức tử, tử mẫu dương) Vậy maxM = với x = Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: N= Giải: 2x + 6x + x + 4x + N= 2x + 6x + x + 4x + + x + 2x + = x + 4x + x + 4x + (x + 1)2 ≥ ∀ x ( x + 1) =1+ ( x + 2) + ≥ ∀ x (x+2)2 + > ∀ x Dấu “ = ” xảy ⇔ x = -1 N = ⇔ x = -1 Ví dụ 8: a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P= x2 − x +1 x2 − 2x +1 x − 2x + + x − + x2 − x +1 Giải: P = = ( x − 1) x − 2x + = 1+ Đặt 1 + ( x − 1) x −1 = A ta có P = +A + A2 x −1 P = A2 + A + = A2 + 2A P= 1 3 + + = (A + )2 + 4 ≥ A = - hay x = -1 Vậy P = ⇔ x = -1 b)Từ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Hương Yờn(2012-2013) ta cú toỏn Cho số thực dương x, y , z thỏa x + y + z = Tỡm giỏ trị nhỏ 1 A= xy + xz -1 Hướng dẫn: Vỡ x + y + z = nờn suy x = – (y + z) A= 2  1  11  1 1 11  + − =  + − x ÷=  + − + y + z ÷=  + y÷  + z ÷ ≥ 0( x, y, z > 0) ÷ x z xy xz x y z   x y z  x  y  Dấu xảy : y = z = 1, x = 2.=> A min=0 ⇔ y = z = 1, x = 3- Một số tập tương tự: Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: 202 A= 6x − − 9x2 x + x + 18 ; B= ( x + 1) x + 14 ; C= x − x +1 Bài tập 6: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: D= x 31 ; E = ( x + 1) − x + 53 ;G= 2x + x2 + IV/ Cực trị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1- Kiến thức cần thiết: a, f (x) = f (x) f (x) ≥ f (x) = - f (x) f (x) ≤ 10 Ví dụ 16 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thanh Hoá(2012-2013) a,b số thực cho a+b ≥ 1,a dương Tìm giá trị nhỏ A= 9a + b + b2 4a Hướng dẫn A=2a+ b a+b 1 1 + b = 2a − + + b ( a + b ≥ 1) ⇒ A = a + + (b + ) + ≥ + = 1,5 4a 4a 4a 2 => Amin=1,5 a=b=0,5 Ta thấy ví dụ 15,16 phải áp dụng BĐT CoSi cho cặp số không âm 4x2;9y2 a; 4a 3- Bài toán tương tự: a, Cho x, y cho ≤ x ≤ 4; ≤ y ≤ Tìm giá trị lớn A = (3-x) ( 4-y) ( 2x+3y) b, Giả sử x,y,z,t thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1; ≤ t ≤ Tìm giá trị lớn B = xyz + txy+ txz+ tyz+ tx+ ty + tz c, Cho số x,y thoả mãn x2 + y2 = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ C = 3x + 4y Ví dụ 17 Đề tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Nam Đinh(2004-2004) Tìm GTNN y= x2 + 2x + x2 + x + Hướng dẫn: Vì x2+2x+5=(x+1)2+4 ≥ => x + x + ≥ =>(2 x + x + -1)( x + x + -2) ≥ => x2 + 2x + x + 2x + ≥ hay y ≥ Vậy ymin = ⇔ x = −1 Ta xây dưng nhiều toán tương tự: 16 x + x + 12 1) Tìm GTNN y= x − x + 18 2) Tìm GTNN y= x + x + 10 x − x + 17 x − x + 26 3) Tìm GTNN y= x − x + 29 4- Cách giải số đề thi tuyển sinh vào lớp 10 PTTH tỉnh,thành phố 1)Đề thi TS vào lớp 10 Trường ĐHKHTN (2012-2013) a)Giả sử x, y la số thực dương thỏa điêu kiện ( )( x +1 ) y +1 ≥ Tim giỏ trị nhỏ biểu thức : x2 y2 P= + y x Hướng dẫn: ( )( ) x +1 y +1 ≥ => xy + x + y + ≥ => xy + x + y ≥ (1) ( x+ y ) ≥ xy Ta lại có : (2) Từ (1) (2) ( Mà ) => => x+ y ( + x + y ≥ x + y −2 2x + y ≥ ( )( ) ( x + y +6 ≥ x+ y ) x+ y ) +4 ( ) x + y − 12 ≥ => x + y ≥ ≥ => x + y ≥ (3)  x y  x2 y2 x + y ( )  + ÷= + + x + y x  y x y Ta có : =>  x y + ÷= P + x + y  y x ( x + y)  => P = x y  + − 1÷ y x  ( x + y)  x y x y + ≥ => + − ≥ y x Ta có : y x (4) 17 Từ (3) (4) => P = x y  + − 1÷ ≥ 2.1 = y x  ( x + y)  P(min) = x = y = b) Giả sử a,b,c số thực dương thỏa a ≤ b ≤ ≤ c; c ≥ b + 1; a + b ≥ c Tỡm giỏ trị nhỏ biểu thức: Q= 2ab + a + b + c(ab − 1) (a + 1)(b + 1)(c + 1) Hướng dẫn: Ta có : a + b ≥ c => a + b –c ≥ (1) Từ a + b ≥ c ≥ b + => a ≥ mà b ≥ a ab ≥ a + b − ab ≥ c − (a − 1)(b − 1) ≥ =>  =>  a + b ≤ ab +  a + b ≤ ab + (2) => Sử dụng (1) (2) ta có Q= 2ab + a + b + c(ab − 1) 2ab + a + b − c + abc 2ab + abc = ≥ (a + 1)(b + 1)(c + 1) ( a + 1)(b + 1)(c + 1) (a + 1)(b + 1)(c + 1) Q≥ ab(2 + c) ab(2 + c) ab(2 + c) ≥ = (ab + a + b + 1)(c + 1) (ab + ab + + 1)(c + 1) 2(ab + 1)(c + 1) Q≥ Q≥ => ab c+2 c+2 = ≥  c +1 2( ab + 1) c +  1 + ÷  ab  c + (c − 1)(c + 2) =  c +1 2c(c + 1)  1 + ÷  c −1  (c − 1)(c + 2) c + c − 1 1 = = − ≥ − = 2c (c + 1) ( c + c ) c + c + 12 Q(min) = 12 Vì c ≥ a + b = c a =    ab = a + b − => b = c = c =   18 2) a Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường ĐHSP Hà Nội (2012-2013) Cho số thực dương x, y thoả điều kiện : x + y = ( x − y ) xy Tỡm giỏ trị nhỏ biểu thức P = x + y Hướng dẫn x+y=(x-y) xy ⇔ (x+y)2= (x-y)2xy ⇔ (x+y)2=xy(x+y)2-4(xy)2 ⇔ (x+y)2= 4( xy ) 2 4( xy ) ⇔ => xy-1>0 (x+y) = = 4(xy-1)+ xy − +8 ≥ 16 xy − xy − ⇔ (x+y)2 ≥ 16 ⇔ (x+y) ≥ (v́ x+y>0) => GTNN (x+y) = ⇔ 4(xy-1)= xy − ⇔ xy=2 mà x+y =4 => x=2+ ; y=2- b Đề tuyển sinh vào lớp 10 TP Hà Nội (2012-2013) Với x, y cỏc số dương thỏa điều kiện x ≥ 2y , tỡm giỏ trị nhỏ biểu thức: M = x + y2 xy Hướng dẫn x + y ( x − xy + y ) + xy − y ( x − y ) + xy − y ( x − y)2 3y = = +4− M= = xy xy xy xy x Vỡ (x – 2y)2 ≥ 0, dấu “=” xảy ⇔ x = 2y x ≥ 2y ⇒ y −3 y −3 ≤ ⇒ ≥ , dấu “=” xảy ⇔ x = 2y x x 3)Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc (2012-2013) Cho hai số x, y liên hệ với đẳng thức x + xy + 7( x + y ) + y + 10 = T́m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = x + y + Hướng dẫn Viết lại biểu thức đă cho thành ( x + y + 1)2 + 5( x + y + 1) + = − y (*) Như với x y ta có S + 5S + ≤ (với S = x + y + ) Suy ra: ( S + 4)( S + 1) ≤ ⇔ −4 ≤ S ≤ −1 19  x = −5 y = Từ có: Smin = −4 ,   x = −2 S max = −1 ,  y = 4)Cho số dương x y thay đổi thoả điều kiện : x – y ≥ Tỡm giỏ trị lớn biểu thức P = x − y Hướng dẫn : Vỡ x , y cỏc số dương thoả x – y ≥ nờn ta cú : 4 1 P = x − y ⇔ P ≤ ( x – y )  − ÷ x y ⇔ P ≤ 4- x 4y − +1 y x  x 4y  ⇔ P ≤ 5-  + ÷ y x  x 4y x 4y x 4y ⇔ + ≥ Áp dụng BĐT Cô Si cho số dương ta có : y + x ≥ y x y x Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ x = ± 2y => P ≤ – => P ≤ Dấu ‘‘=’’ xảy ⇔ x = ± 2y Vậy P đạt giá trị lớn x = ± 2y 5)Cho x ≥ xy + Tỡm giỏ trị lớn biểu thức P = 3xy x + y2 Hướng dẫn: Từ giả thiết suy x ≠ Nếu y = P = Nếu y ≠ P ≠ Nếu x, y trái dấu P < Nếu x, y dấu TH1: x < 0, y < xy + > nên x < xy +1 Trái với giả thiết x ≥ xy +1 x TH2: x > 0, y > Từ x ≥ xy +1 suy ≥ y + ≥ y y ⇔ ≤ x x 20 Đặt t = y  1 3t 0 A = ( x + y ) + (x+y) + ( x + y ) ≥ ( x + y ) ( ≥4 x + y  x+ y  Vậy Min A =  (x+y) = ( x + y )  (x+y  x + y = ±1 Kết hợp với điều kiện 4xy = ta x = y = - 1 Hoặc x = y = 2 8)Cho x,y l cỏc số dương thoả : x + y = 33 2 T ỡm giỏ trị nhỏ c : P = x + y + xy Hướng dẫn: Từ x+y=4 Áp dụng BĐT Côsi ta có: xy ≤ 33 33 ( x + y )2 ≥ = Do xy 4 Mặt khỏc: x2+y2= ( x + y )2 -2xy=16-2xy ≥ 16 − 2.4 =8( xy ≤ 4) Do : MinP= 65 , đạt x=y=2 9) Tỡm giỏ trị nhỏ biểu thức P= 4(a + b3 + c3 ) + 15abc Vậy P ≥ + 33 65 = 4 Hướng dẫn: Cú a ≥ a − (b − c)2 = (a − b + c)(a + b − c ) (1) , b ≥ b2 − (c − a) = (b − c + a)(b + c − a) (2) c ≥ c − (a − b) = (c − a + b)(c + a − b) (3) Dấu ‘=’ xảy ⇔ a = b = c Do a,b,c độ dài cạnh tam giác nên vế (1), (2), (3) dương Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta có : abc ≥ (a + b − c)(b + c − a )(c + a − b) (*)Từ a+b+c = nờn (*) ⇔ abc ≥ (2 − 2a)(2 − 2b)(2 − 2c) ⇔ − 8(a + b + c) + 8(ab + bc + ca) − 9abc ≤ ⇔ + 9abc − 8(ab + bc + ca ) ≥ ⇔ 9abc − 8(ab + bc + ca) ≥ −8 (*)Ta có a + b3 + c3 = (a + b + c)3 − 3( a + b + c )(ab + bc + ca ) + 3abc = − 6(ab + bc + ca ) + 3abc Từ 4(a + b3 + c3 ) + 15abc = 27 abc − 24( ab + bc + ca) + 32 = [ 9abc − 8( ab + bc + ca) ] + 32 (**) Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4(a + b3 + c ) + 15abc ≥ 3.(−8) + 32 = 22 Dấu “=” xảy a = b = c = Từ giá trị nhỏ P= 4(a + b3 + c ) + 15abc đạt a=b=c= 10)Cho a, b, c số thực không âm thoả măn a + b + c = Tỡm giỏ trị nhỏ P=(a – 1)3 + (b – 1)3 + (c – 1)3 Hướng dẫn: Ta có: 3  (a − 1) = a − 3a + 3a − = a(a − 3a + 3) − = a  a − ÷ + a − 2  3 2 ⇒ (a − 1) ≥ a − Tương tự: (b − 1) ≥ (1) 3  (do a ≥  a − ÷ ≥ ) 2  b − (2) (c − 1) ≥ c − (3) Cộng (1), (2) (3) vế theo vế ta : (a – 1)3 + (b – 1)3 + (c – 1)3 ≥ 3 (a + b + c) − = ×3 − = − 4 VậyP= (a – 1)3 + (b – 1)3 + (c – 1)3 ≥ − => Pmin= -0,75 Dấu đẳng thức xảy   3  a  a − ÷ = a = ∨ a =       a = 0, b = c =    b  b −  = b = ∨ b =  ÷ ⇔ ⇔ b = 0, a = c = :      c  c −  = c = ∨ c =  c = 0, a = b =    2÷     a + b + c =  a + b + c = 3 3 11) Tỡm giỏ trị nhỏ biểu thức M = 3x − 8x + x − 2x + 23 Hướng dẫn: = 2+ (x − 2) (x − 1) M= 3x − 8x + x − 2x + = (2x − 4x + 2) + (x − 4x + 4) x − 2x + ≥ ⇒ M = x = 12) Cho a, b c ác số dương thảo a + b = Tỡm giỏ trị nhỏ P = a2 + b2 + 33 ab Hướng dẫn: Ta cú (a-b)2≥ => a2+b2≥ 2ab (a+b)2≥ 4ab hay ab≤ => ≥ Nên P = a2 + b2 + ≥ 2ab + + ≥ ≥ + =16 + = Dấu "=" xảy 2ab= a=b hay ab = a = b =>a = b= Vậy Min P = a = b = 13) Các số thực dương x, y, z thoả điều kiện: x + y +z = Tỡm giỏ trị nhỏ biểu thức: Hướng dẫn: F= x4 y4 z4 + + ( x + y )( x + y ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + x) a2 + b2 ≥ ( a + b ) (dấu “=” xảy a = b) Ta cú (a − b) ≥ ⇔ 2 Ta cú: x4 y4 − = x− y; ( x + y )( x + y ) ( x + y )( x + y ) Tương tự: y4 z4 z4 x4 − = y − z ; − = z−x ( y + z )( y + z ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + x) ( z + x )( z + x ) Do F = x4 y4 z4 + + ( x + y )( x + y ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + x) 24  1 x4 + y y4 + z4 z + x4 =  + + ÷ 2 2 2  ( x + y )( x + y ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + x)  2 2   y2 + z2 ) z + x2 ) ( ( 1 ( x + y ) ÷ ≥ + +  ( x + y )( x + y ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + x) ÷   2 2 2 1( x + y ) ( y +z ) ( z +x )  ÷ =  + +  ( x + y) ( y + z) ( z + x) ÷   2 ( y + z ) + ( z + x ) ÷ = x + y + z = 1  ( x + y) ≥  + ( )  ( x + y ) ( y + z) ( z + x) ÷ 4  Do F đạt giá trị nhỏ 1 x = y = z = 14)Cho x; y∈ R , thỏa x2 + y2 = Tỡm GTLN : P = x y+ Hướng dẫn: Từ x + y = ⇒ −1 ≤ x, y ≤ ⇒ − ≤ y + ≤ + x Vỡ P = y + ⇒ x = P( y + ) thay vào x + y = Đưa pt: ( P + 1) y + 2 P y + P − = Dùng điều kiện có nghiệm pt bậc hai ⇒ P ≤ ⇒ PMax  x =  =1⇔  y = −  −2 xy 15)Cho thỏa x + y = Tỡm giỏ trị nhỏ biểu thức A = + xy A= Hướng dẫn: −2 xy xy 1 + xy 1 ⇒ −A = ⇒ = = + + xy + xy −A xy xy Vỡ x > 0, y > ⇒ A < ⇒ − A > ⇒ 1 > Amin ⇔ − Amax ⇔ −A −A 2 Mặt khỏc ( x − y ) ≥ ⇔ x + y ≥ xy ⇒ xy ≤ ⇒ xy ≥ (vỡ xy > ) Do 1 ≥ + = Dấu “ = ” xảy x = y −A 2 25  x > 0, y >  ⇒x= y= Từ  x = y  2 x + y =  −2 × 2 =−2 A = − x = y = Lúc A = Vậy 3 1+ 16) Cho cỏc số x,y thỏa x ≥ 0; y ≥ x + y = Tỡm giả trị lớn nhỏ A = x2 + y2 Hướng dẫn: ( x + y ) = x + xy + y = Ta cú: ( x − y ) = x − xy + y ≥ * Tỡm Min A Cộng vế với vế ta cú: ( x + y ) ≥ ⇔ ( x + y ) ≥ ⇔ A ≥ Vậy Min A = 1 Dấu “=” xảy x = y = 2 * Tỡm Max A 0 ≤ x ≤  x ≤ x ⇔ ⇔ x + y ≤ x + y = Vậy : Amax = x = Từ giả thiết suy   ≤ y ≤  y ≤ y  0, y=1 x=1,y=0 Các ví dụ cho ta thấy có nhiều cách giải toán cực trị đại số chương trỡnh THCS vớ dụ cú thể dựng kết hợp nhiều phương pháp khác nhiên ví dụ vào hạng tử điều kiên kèm theo ta phải dự đoán điểm dừng bất đẳng thức biết để có hướng biến đổi hợp lí,ngắn gọn 26 PHẦN III CÁC BÀI KIỂM TRA ;KẾT QUẢ VÀ KẾT LUẬN A Các kiểm tra: Đề 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x4 - 6x3 + 10x2 - 6x + 22 2.Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: B = 5x2- 12xy + 9y2- 4x + 2011 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: 6x − − 9x2 C= D = x -1 + x- 4 5.Cho x, y cho ≤ x ≤ 4; ≤ y ≤ Tìm giá trị lớn E = (3-x) ( 4-y) ( 2x+3y) Đề 1) G = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 2) H = x2 + xy + y2- 3x- 3y + 2013 3) I = x2 +1 x2 − x +1 4) K= x − 2+ 5) Giả sử x,y,z,t thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1; ≤ t ≤ Tìm giá trị lớn R = xyz + txy+ txz+ tyz+ tx+ ty + tz Đề 1) M = (x+1)2 + ( x+3) 2) N = 10x2 + 12xy + 4y2 + 6x + 70 3)Tìm giá trị lớn biểu thức sau: 4) P = − 4x + Q = x- 1 + x- 3 + x- 6 5)Cho số x,y thoả mãn x2 + y2 = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ X = 3x + 4y Đề 1) Y = x( x+1) ( x+2) ( x+3) 27 2) T = 2x2 + 9y2- 6xy- 6x- 12y + 2015 3) U = 2x + x2 + 4) V = x -1 + x- 4 5) Biết x + y + z = Tìm giá trị nhỏ của: B T= 1+ x 1+ y 1+ z x y z Kết : Tại trường THCS Cầu Diễn so sánh với kết năm học trước 28 C Kết luận,kiến nghị: Trên số dạng toán cực trị thường gặp chương trình lớp THCS Trong phần trình bày này, cố gắng sưu tầm phân loai dạng toán cách cụ thể Trong phần, dạng có gắng nêu lên cách giải bản, kiến thức cần thiế để đạt kết cao ki thi Tôi mong tài liệu góp phần nhỏ vào việc giúp học sinh học tốt dạng toán cực trị, phát triển óc sáng tạo em qua dạng, cụ thể Tôi chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THCS Cầu Diễn tạo điều kiện cho áp dụng sáng kiến vào thực tế đạt kết quả.Tuy có cố gắng tìm tòi, nghiên cứu trình độ thời gian có hạn việc áp dụng chưa phổ biến chắn sáng kiến có thiếu sót hạn chế,rất mong góp ý phê bình ban giám khảo để nội dung đầy đủ áp dụng rộng rãi Từ Liêm, ngày 15 tháng năm 2013 Người thực Nguyễn Đức Quynh 29 TÀI LIỆU ,SÁCH THAM KHẢO 1.Nâng cao phát triển toán 7,8 (Tác giả Nguyễn Ngọc Đạm-Vũ Dương Thuỵ) 2.Nâng cao phát triển toán 7,8,9.( Tác giả Vũ Hữu Bình) 3.Tuyển tập toán hay khó.(Tác giả Nguyễn Đức Tấn) 4.Các toán cực trị (Tác giả Phan Huy Khải) 5.Tuyển tập đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh,thàng phố (Sưu tầm) 30 [...]... nhiều cách giải một bài toán cực trị đại số trong chương trỡnh THCS và trong mỗi vớ dụ cú thể dựng kết hợp nhiều phương pháp khác nhau tuy nhiên ở mỗi ví dụ căn cứ vào các hạng tử và điều kiên kèm theo ta phải dự đoán được điểm dừng của các bất đẳng thức đó biết để có hướng biến đổi hợp lí,ngắn gọn nhất 26 PHẦN III CÁC BÀI KIỂM TRA ;KẾT QUẢ VÀ KẾT LUẬN A Các bài kiểm tra: Đề 1: 1 Tìm giá trị nhỏ nhất... Tìm giá trị nhỏ nhất của: B T= 1+ x 1+ y 1+ z x y z Kết quả : Tại trường THCS Cầu Diễn và so sánh với kết quả của năm học trước 28 C Kết luận ,kiến nghị: Trên đây là một số dạng toán về cực trị thường gặp trong chương trình lớp THCS Trong phần trình bày này, tôi đã cố gắng sưu tầm và phân loai các dạng toán một cách cụ thể Trong mỗi phần, mỗi dạng tôi cũng đã có gắng nêu lên những cách giải cơ bản,... gắng nêu lên những cách giải cơ bản, những kiến thức cần thiế để đạt được kết quả cao trong các ki thi Tôi mong rằng tài liệu này sẽ góp phần nhỏ vào việc giúp học sinh học tốt hơn về dạng toán cực trị, phát triển được óc sáng tạo của các em qua từng dạng, bài cụ thể Tôi chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THCS Cầu Diễn đã tạo điều kiện cho tôi áp dụng sáng kiến vào thực tế đạt kết quả.Tuy đã có cố... thể xây dưng nhiều bài toán tương tự: 16 x 2 + 2 x + 12 1) Tìm GTNN y= x 2 − 2 x + 18 2) Tìm GTNN y= x 2 + 2 x + 10 x 2 − 2 x + 17 x 2 − 2 x + 26 3) Tìm GTNN y= x 2 − 2 x + 29 4- Cách giải một số đề thi tuyển sinh vào lớp 10 PTTH các tỉnh,thành phố 1)Đề thi TS vào lớp 10 Trường ĐHKHTN (2012-2013) a)Giả sử x, y la các số thực dương thỏa món điêu kiện ( )( x +1 ) y +1 ≥ 4 Tim giỏ trị nhỏ nhất của biểu... dụ 16 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thanh Hoá(2012-2013) a,b là 2 số thực sao cho a+b ≥ 1,a dương Tìm giá trị nhỏ nhất A= 9a 2 + b + b2 4a Hướng dẫn A=2a+ b 1 a+b 1 1 1 1 + b 2 = 2a − + + b 2 ( a + b ≥ 1) ⇒ A = a + + (b + ) 2 + ≥ 1 + = 1,5 4a 4 4a 4a 2 2 2 => Amin=1,5 a=b=0,5 Ta thấy ở 2 ví dụ 15,16 đều phải áp dụng BĐT CoSi cho các cặp số không âm 4x2;9y2 và a; 1 4a 3- Bài toán tương tự: a,... = 3  a + b + c = 3 3 2 3 2 3 2 11) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức M = 3x 2 − 8x + 6 x 2 − 2x + 1 23 Hướng dẫn: = 2+ (x − 2) 2 (x − 1) 2 M= 3x 2 − 8x + 6 x 2 − 2x + 1 = (2x 2 − 4x + 2) + (x 2 − 4x + 4) x 2 − 2x + 1 ≥ 2 ⇒ min M = 2 khi và chỉ khi x = 2 12) Cho a, b là c ác số dương thảo món a + b = 4 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P = a2 + b2 + 33 ab Hướng dẫn: Ta cú (a-b)2≥ 0 => a2+b2≥ 2ab và (a+b)2≥... ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 4 Tìm giá trị lớn nhất của A = (3-x) ( 4-y) ( 2x+3y) b, Giả sử x,y,z,t thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1; 1 ≤ t ≤ 2 Tìm giá trị lớn nhất của B = xyz + txy+ txz+ tyz+ tx+ ty + tz c, Cho 2 số x,y thoả mãn x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của C = 3x + 4y Ví dụ 17 Đề tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Nam Đinh(2004-2004) Tìm GTNN y= x2 + 2x + 6 x2 + 2 x + 5 Hướng dẫn: Vì x2+2x+5=(x+1)2+4 ≥ 4... tuyển sinh vào lớp 10 TP Hà Nội (2012-2013) Với x, y là cỏc số dương thỏa món điều kiện x ≥ 2y , tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: M = x 2 + y2 xy Hướng dẫn x 2 + y 2 ( x 2 − 4 xy + 4 y 2 ) + 4 xy − 3 y 2 ( x − 2 y ) 2 + 4 xy − 3 y 2 ( x − 2 y)2 3y = = +4− M= = xy xy xy xy x Vỡ (x – 2y)2 ≥ 0, dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y x ≥ 2y ⇒ y 1 −3 y −3 ≤ ⇒ ≥ , dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y x 2 x 2 3)Đề thi tuyển sinh vào... −2 S max = −1 , khi  y = 0 4)Cho các số dương x và y thay đổi thoả món điều kiện : x – y ≥ 1 4 1 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức P = x − y Hướng dẫn : Vỡ x , y là cỏc số dương thoả món x – y ≥ 1 nờn ta cú : 4 4 1 1 P = x − y ⇔ P 1 ≤ ( x – y )  − ÷ x y ⇔ P ≤ 4- x 4y − +1 y x  x 4y  ⇔ P ≤ 5-  + ÷ y x  x 4y x 4y x 4y ⇔ + ≥ 4 Áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương ta có : y + x ≥ 2 y x y x Dấu... thức Bunhiakoxki) Cho hai số dương x,y luôn nghiệm đúng với hệ thức: 2 3 + tìm giá trị nhỏ nhất của x + y x y Giải: Ta thấy 2 + 3 = 2 x+ x 3 y y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopsky cho hai cặp số ( Ta có: ( 2 x+ x ⇔ ( 2 x + 3 ) 2 ≤ 6( x + y ) Dấu “=” xảy ra khi 3 y)2 y ⇔ ≤ 2 3 ( x + y ) (x+y) 1 6 (x+y) ≥ ( 2 + 3 ) 2 = 5+ 2 6 6 2 2 2 3 + = 6 hoặc x = y x y 2 3 Tức là x,y là nghiệm hệ trên từ đó ta có: ... pháp giải loại toán cực trị - Dự đoán sai sót học sinh, nêu điểm cần ý giải toán cực trị - Hiểu chất khái niệm cực trị nắm bước giải toán cực trị - Nhận dạng loại toán cực trị, vận dụng sáng. .. nghiệm gồm phần: Phần I: Cơ sở lý thuyết sáng kiến kinh nghiệm Phần II: Các toán cực trị đại số Phần III : Các kiểm tra ; kết kết luận PHẦN I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM A Mục đích yêu... giáo khoa Nhưng toán cực trị lại vấn đề thường gặp kỳ thi, đợt kiểm tra hàng năm Do việc hình thành phương pháp giải toán cực trị cách hệ thống cho học sinh việc giải baì toán học sinh gặp nhiều