Đang tải... (xem toàn văn)
chứa nhiều phương pháp hữu ích về hình học phẳng, tài liệu này chứa các bài tập và tính chất trong hình học phẳng, các bạn có thể vận dụng dễ dàng khi làm bài tập. muốn làm tốt dạng bài về OXY, bạn nên sử dụng tài liệu này, học các tính chất và luyện nhiều bài tập.chcus bạn thành công với tập tài liệu đầy bổ ích này, đùa đấy, mình chỉ copy phần mô tả thôi, đừng bận tâm bạn nhé
WWW.VNMATH.COM TAM GIÁC TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ DẠNG 1: Ba điểm cực trị tạo thành tam giác Ví dụ ( DB-2004 ) Cho hàm số y x 2m x Cm (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) với m=1 Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác vuông cân GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (C) x Ta có : y ' x3 4m2 x x x m2 2 x m m (*) - Với điều kiện (*) hàm số (1) có ba điểm cực trị Gọi ba điểm cực trị : A 0;1 ; B m;1 m ; C m;1 m Do ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân , đỉnh A - Do tính chất hàm số trùng phương , tam giác ABC tam giác cân , để thỏa mãn điều kiện tam giác vuông , AB vuông góc với AC AB m; m ; AC m; m ; BC 2m; Tam giác ABC vuông : BC AB AC 4m m m8 m m8 2m m 1 0; m m 1 Vậy với m = -1 m = thỏa mãn yêu cầu toán * Ta có cách khác - Tam giác ABC tam giác vuông trung điểm I BC : AI = IB , với I 0; m IA 0; m IA2 m8 ; IB m; IB m IA2 IB m8 m Hay m m 1 Ví dụ : Cho hàm số y x 2mx (1) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = 2.Tìm giá trị tham số m để đồ thi hàm số (1) có ba điểm cực trị đường tròn qua ba điểm có bán kính GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (C) Ta có y ' x 4mx x y' x m - Hàm số có cực trị y’ đổi dấu lần phương trình y’ = có nghiệm phân biệt m > Khi m > , đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị A( m ; m ) , B ( m ; m ) , C (0 ; 1) - Gọi I tâm R bán kính đường tròn qua điểm A, B, C WWW.VNMATH.COM Vì điểm A, B đối xứng qua trục tung nên I nằm trục tung y0 Đặt I(0 ; y0) Ta có : IC = R (1 y ) y0 I O(0 ; 0) I (0 ; 2) * Với I O(0 ; 0) m m 2 1 m m m m m ( ) m IA = R 1 m So sánh điều kiện m > 0, ta m = m = 1 * Với I(0 ; 2) IA = R m (1 m ) m 2m m (*) Phương trình (*) vô nghiệm m > Vậy toán thỏa mãn m = m = 1 BÀI TẬP Câu1 Cho hàm số y x 2mx m (1) , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m 1 Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có diện tích 2 Câu Cho hàm số y x 2m x (1), m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm giá trị tham số m để hàm số (1) có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có diện tích 32 Câu Cho hàm số y x 2mx m m (1) , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m 2 Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có góc 1200 Câu Cho hàm số y = x4 – 2m2x2 + 1, (1) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C diện tích tam giác ABC 32 Câu Cho hàm số y = x4 – 2m2x2 + (1) Khảo sát hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị h/s (1) có điểm cực trị đỉnh tam giác vuông cân Câu Cho hàm số y x 2x m có đồ thị (Cm) với m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C).của hàm số m = WWW.VNMATH.COM Chứng minh với giá trị m tam giác có ba đỉnh ba điểm cực trị đồ thị ( Cm ) tam giác vuông cân Câu Cho hàm số y x 2(m 2) x m 5m Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = 2.Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân Câu Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m – (1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = Xác định m để hàm số (1) có ba cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp 2 Câu Cho hàm số y x 2mx 2m m (1) với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Định m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác vuông Câu 10 Cho hàm số y = x - 2mx + 2m + m (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Xác định m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số (1) lập thành tam giác DẠNG : Hai điểm cực trị điểm khác tao thành tam giác Ví dụ Cho hàm số y x3 3x m2 1 x 3m2 1 Khảo sát vẽ đồ thị (1) với m=1 Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu , đồng thời điểm cực đại cực tiểu với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị Ta có : y ' 3x x m2 1 - Để hàm số có cực đại , cực tiểu : y ' 3x x m2 1 =0 có hai nghiệm phân biệt ' m 1 9m 0; m (*) 3 3m x1 3 m x 3 3m m 3 - Với điều kiện (*) hàm số có cực đại , cực tiểu Gọi A x1; y1 ; B x2 ; y2 hai điểm cực đại ,cực tiểu hàm số Nếu A, B với O tạo thành tam giác vuông O OA OA.OB vuông gócvới OB : - Ta có : OA x1 ; y1 ; OB x2 ; y2 OA.OB x1 x2 y1 y2 1 - Bằng phép chia phương trình hàm số cho đạo hàm , ta có : x 1 x x m 1 x 3m 3 x x m 1 2m x m 1 3 WWW.VNMATH.COM - Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị : y 2m x m 1 - Do : y1 2m x1 m 1 ; y2 2m x2 m 1 y1 y2 4m x1 x2 m 1 x1 x2 m 1 x1 x2 - Áp dụng Vi-ét cho (1) , thay vào : x x m y1 y2 m 1 m 2(m 1) (m 1) m 11 m m - Vậy : x1 x2 y1 y2 (1 m2 ) m2 11 m2 m4 m 1 1 m m 1 m 1 m 1 m 2 3 * Hay : m 1 4m 4m 0; m m m m 4 Kết luận : Với m thỏa mãn (*) hai điểm cực đại , cực tiểu hàm số với O tạo thành tam giác vuông O Ví dụ Cho hàm số y x 3x 1 m x 3m Cm Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) với m = Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu , đồng thời điểm cực đại cực tiểu với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (C) Để hàm số có cực đại , cực tiểu phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt x – 2x + (1 – m) = có nghiệm phân biệt ' – (1 – m) > m > (*) - Với điều kiện (*), hàm số có CĐ, CT Gọi A x1; y1 ; B x2 ; y2 hai điểm cực trị Với x1 , x2 hai nghiệm phương trình ( x x m) = (1) - Bằng phép chia phương trình hàm số cho đạo hàm , ta : x 1 y y '2mx 2m Suy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị 3 d : y = -2mx + 2m + y1 2mx1 2m 2; y2 2mx2 2m - Ta có : AB x2 x1 ; 2m( x1 x2 ) AB x2 x1 4m2 x2 x1 x2 x1 4m2 - Gọi H hình chiếu vuông góc O (AB), h khoảng cách từ O đến AB : h 2 - S AB.h | x x1 | 4m | 2m | 4m 2 | 2m | 4m | x x1 || m | m m m 4; m m 1 m 2m m m 1 m 3m m - Theo giả thiết : Kết luận : với m = thỏa mãn yêu cầu toán BÀI TẬP Bài Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m , (1) WWW.VNMATH.COM Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = 2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu , đồng thời điểm cực đại, cực tiểu gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích y x 3mx 3(m 1) x m3 m (1) Bài Cho hàm số 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) ứng với m=1 2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị điểm cực trị với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông O 3 Câu Cho hàm số y x x 3x (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Gọi A, B điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc trục hoành cho tam giác MAB có diện tích Câu Cho hàm số y x3 3x m 1 x 3m (1), với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị với gốc toạ độ O tạo thành tam giác vuông O Câu Cho hàm số y x 3x mx (1) với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2.Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác cân DẠNG : Giao điểm đồ thị điểm khác tao thành tam giác Ví dụ 1.Cho hàm số y x3 3x C Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Gọi d đường thẳng qua điểm A(- 1; 0) với hệ số góc k ( k thuộc R) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) ba điểm phân biệt hai giao điểm B, C ( B, C khác A ) với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (C) Đường thẳng d qua A(-1; 0) với hệ số góc k , có phương trình : y = k(x+1) = kx+ k - Nếu d cắt (C) ba điểm phân biệt phương trình: x3 – 3x2 + = kx + k 2 x – 3x – kx + – k = (x + 1)( x – 4x + – k ) = x 1 có ba nghiệm phân biệt g(x) = x2 – 4x + – k = có hai g ( x) x x k ' k k (*) nghiệm phân biệt khác - g (1) 9 k Với điều kiện : (*) d cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, C Với A(-1;0) , B,C có hoành độ hai nghiệm phương trình g(x) = - Gọi B x1 ; y1 ; C x2 ; y2 với x1 ; x2 hai nghiệm phương trình : x x k Còn y1 kx1 k ; y2 kx2 k - Ta có : BC x2 x1 ; k x2 x1 BC x2 x1 1 k x2 x1 1 k WWW.VNMATH.COM k - Khoảng cách từ O đến đường thẳng d : h 1 k - Vậy theo giả thiết : S 1 k h.BC k 2 1 k 1 k k3 k3 Đáp số : k Ví dụ Cho hàm số y 1 k3 k 4 , thỏa mãn yêu cầu toán mx x2 Hm Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) với m = Tìm m để đường thẳng d : 2x + 2y - 1= cắt H m hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (H) 2 Đường thẳng d viết lại : y x Để d cắt H m hai điểm phân biệt A, B mx x ( x 2) g ( x) x x 2m có hai nghiệm phân x2 17 1 8(2m 2) m biệt khác - (*) 16 4 m g (2) m 2 phương trình: - Gọi 2 A x1 ; x1 ; B x2 ; x2 AB x2 x1 ; x1 x2 AB x2 x1 x2 x1 x2 x1 1 - Khoảng cách từ O đến d h , : h 2 2 2 1 1 17 16m - Theo giả thiết : S AB.h x2 x1 2 2 a 17 17 16m m Hay : ; 17 16m 16 m , thỏa mãn điều kiện (*) 16m - Đáp số : m = Ví dụ Cho hàm số y 2x 1 C x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) 2.Tìm tham số m để đường thẳng d : y = - 2x + m cắt đồ thị hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (C) WWW.VNMATH.COM Nếu d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B phương trình : 2x 2 x m ( x 1) g ( x) x (m 4) x m (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 (m 4) 8(1 m) m m2 m R khác -1 g (1) g (1) 1 Chứng tỏ với m d cắt (C) hai điểm phân biệt A,B - Gọi : A x1; 2 x1 m ; B x2 ; 2 x2 m Với : x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) - Ta có : AB x2 x1 ; x x2 AB x2 x1 x2 x1 x2 x1 - Gọi H hình chiếu vuông góc O d , khoảng cách từ O đến d h : m m h 22 1 - Theo giả thiết : S AB.h x2 x1 5 m2 2 Vậy : m2 42.3 m2 42.3 m2 40 m 10 (*) Với m thỏa mãn điều kiện (*) d cắt (C) A, B thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ Cho hàm số y x3 2mx m 3 x Cm (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) với m = Tìm m để đường thẳng d : y = x + cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A, B, C cho tam giác MBC có diện tích ( Điểm B, C có hoành độ khác không ; M(1;3) ) GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (C) Đồ thị (1) cắt d ba điểm A,B,C có hoành độ nghiệm phương trình : x x3 2mx m 3 x x 4; x x 2mx m x 2mx m ' m m m 1 m (*) Với m thỏa mãn (*) d cắt (1) ba điểm A(0; 4) , hai điểm B,C có hoành độ hai nghiệm phương trình : ' m2 m x 2mx m m 1 m 2; m 2 m - Ta có : B x1 ; x1 ; C x2 ; x2 BC x2 x1 ; x2 x1 BC x2 x1 x2 x1 2 x2 x1 -Gọi H hình chiếu vuông góc M d h khoảng cách từ M đến d : h 1 2S 1 BC.h x2 x1 2 2 x2 x1 - Theo giả thiết : S = x2 x1 4; ' 4; m m m m Kết luận : với m thỏa mãn : m 2 m m ( chọn ) Bài Cho hàm số y x3 2mx 3(m 1) x (1), m tham số thực WWW.VNMATH.COM 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 2.Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng : y x điểm phân biệt A(0; 2) ; B; C cho tam giác MBC có diện tích 2 , với M (3;1) Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị với () là: x3 2mx 3(m 1) x x x y g ( x) x 2mx 3m 0(2) Đường thẳng () cắt dồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A(0;2), B, C Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác m m m 3m ' g (0) 3m m Gọi B x1 ; y1 C x2 ; y2 , x1 , x2 nghiệm (2); y1 x1 y1 x2 1 2 S MBC 2.2 4 h 2 Mà BC ( x2 x1 )2 ( y2 y1 ) ( x2 x1 ) x1 x2 = 8(m2 3m 2) Ta có h d M ;() BC Suy 8(m 3m 2) =16 m (thoả mãn) m (thoả mãn) BÀI TẬP Bài Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4, có đồ thị (Cm) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = Cho d đường thẳng có phương trình y = x + điểm K(1 ; 3) Tìm m để d cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0 ; 4), B, Csao cho tam giác KBC có diện tích Bài Cho hàm số y x3 2mx 3(m 1) x (1), m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 2.Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng : y x điểm phân biệt A(0; 2) ; B; C cho tam giác MBC có diện tích 2 , với M (3;1) Bài Cho hàm số y = 2x x 1 (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Định k để đường thẳng d: y = kx + cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm M, N cho tam giác OMN vuông góc O ( O gốc tọa độ) Bài Cho hàm số y mx có đồ thị ( H m ) , với m tham số thực x2 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m 2.Tìm m để đường thẳng d : x y cắt ( H m ) hai điểm với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích S Câu Cho hàm số y x x có đồ thị (C) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số WWW.VNMATH.COM Gọi dk đường thẳng qua điểm A(1; 0) với hệ số góc k (k ¡ ) Tìm k đểđường thẳng dk cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A, B, C giao điểm B, C với gốc toạ độ O tạo thành tam giác có diện tích Câu Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Gọi E tâm đối xứng đồ thị (C) Viết phương trình đường thẳng qua E cắt (C) ba điểm E, A, B phân biệt cho diện tích tam giác OAB Câu Cho hàm số y 2x x 1 (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm m để đường thẳng d: y x m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho OAB vuông O DẠNG 4: Tiếp tuyến với trục tọa đô tạo thành tam giác Ví dụ (KA-2009) Cho hàm số y x2 1 x 2 x 3 C Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến cắt trục hoành , trục tung tai hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (C) 2.Gọi d tiếp tuyến (C) M x0 ; y0 d : y - d cắt trục Oy B : yB - d cắt trục Ox A : x0 3 x0 3 x0 y0 x0 3 x0 x0 3 x x0 y0 x A x0 A - Tam giác OAB cân OA OB x02 x0 x0 3 2 x x0 y0 x0 2 x x0 x0 3 x0 32 x0 2 x x0 xA x0 x0 x0 1 x0 3 x0 1 x02 x0 ; 2 x0 x0 x0 3 x0 x0 y0 ; x0 3 x0 1 x0 3 ; x0 x0 0; x0 x0 (2 x0 3) x0 x0 2 y0 Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán : M 0; ; M 2;0 3 Ví dụ (KD-2007) Cho hàm số y 2x x 1 C WWW.VNMATH.COM Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) , biết tiếp tuyến M cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A, B cho tam giác OAB có diện tích GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Gọi M x0 ; y0 C y0 - Tiếp tuyến M d : y x0 x0 x0 1 x x0 x0 x x0 1 y x02 x0 - d cắt Ox tạiA 0 x0 ( x A x0 ) x A x0 x0 ( x0 1) x A x02 A( x02 ; 0) x0 ( x 2) - d cắt Oy điểm B : yB x0 1 x0 x0 x02 x02 B yB 0; x 12 x0 x0 1 - Gọi H hình chiếu vuông góc O d, h khoảng cách từ O đến d : h x02 AB x02 ; ( x0 1) 1 Vậy : S AB.h 2 ( x0 1) 4 x04 ( x 1) AB x 04 x ( x0 1) ( x0 1) x0 1 x04 2 x0 1 x0 1 x02 x0 1 | x02 | 4 x x y0 x02 x0 x02 x0 Cho nên x x0 1 x0 x0 x0 x0 x0 y0 2 Do có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán : M 1;1 ; M ; 2 Ví dụ 3: Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2.Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A, B tam giác OAB cân O GIẢI Học sinh tự vẽ đồ thị (C) Gọi M ( x0 ; y ) (C ) y x03 x02 - Tiếp tuyến M d: y (3x02 x0 )( x x0 ) ( x03 x02 1) 10