30/12/2015 CHƯƠNG V : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN I Phương trình vi phân cấp II Phương trình vi phân cấp cao III Hệ phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp – Khái niệm chung Bài toán 1: Tìm tất đường cong A y=f(x) cho đoạn [1,x], diện tích hình thang cong bị chắn cung đường cong tỉ số hoành độ x tung độ y Nhìn hình vẽ, ta có x  f (t )dt  B y  xy x  f ( x)   y  y  xy y y Ta gọi phương trình vi phân cấp 1(phương trình chứa đạo hàm cấp y’) 30/12/2015 Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung Bài toán 2: Một vật khối lượng m rơi tự với lực cản không khí tỉ lệ với vận tốc rơi Tìm mối liên hệ thời gian rơi t & quãng đường vật s(t) ds (1) dt ma  F (2) Gọi v(t) vận tốc rơi vật v (t )  Theo định luật Newton, ta có Trong a  dv , F  F1  F2 , F1  mg trọng lực dt F2   v lực cản không khí, α>0 hệ số cản Thay a, F, F1, F2 vào phương trình (2) ta d 2s ds dv (1) m  mg   v  m  mg   dt dt dt Ta gọi ptvp cấp (chứa đạo hàm cấp s”) Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung Định nghĩa 1: Phương trình vi phân phương trình chứa đạo hàm vi phân vài hàm cần tìm Định nghĩa 2: Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm có phương trình Ví dụ: Ptvp cấp 1: y  xy  x ( x  xy )dx  (e x  y )dy  Ptvp cấp : yy  yx  xy  Ptvp cấp : y  y  y  y  ln x 30/12/2015 Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung Dạng tổng quát phương trình vi phân cấp n F ( x, y, y, y, , y ( n ) )  giải với y(n) y ( n )  f ( x, y, y, , y ( n 1) ) Định nghĩa 3: Nghiệm phương trình vi phân khoảng (a,b) hàm số y=y(x) cho thay vào phương trình ta đồng thức (a,b) (đẳng thức với x (a,b)) Ví dụ: Nghiệm ptvp y  y  y  hàm số y  C1e x  C2e x Đồ thị hàm số y=y(x) gọi đường cong tích phân ptvp Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung Dạng tổng quát ptvp cấp 1: F ( x, y, y)  0(1) hoặc: y  f ( x, y )(2) Bài toán Cauchy: toán tìm nghiệm ptvp (1) (2) thỏa điều kiện đầu y ( x0 )  y0 Hay nói cách khác tìm đường cong tích phân ptvp (1) (2) qua điểm (x0,y0) Ví dụ: Tìm nghiệm ptvp xdx  y dy thỏa điều kiện y(1)=1 xdx  y dy  d ( x )  d ( y )  x2  C  y3 Với x=1, y=1 ta thay vào đẳng thức C=0 Vậy nghiệm toán y  x 30/12/2015 Phương trình vi phân cấp – Khái niệm chung x  y , y (1)  x   y , y (1)  x   y , y (0)  Đường cong tích phân ptvt với trường hợp Trong phạm vi môn học, toán Cauchy có nghiệm xác định lân cận ( x0   , x0   ) Phương trình vi phân cấp – Khái niệm chung Nghiệm tổng quát: Hàm y=y(x,C) gọi nghiệm tổng quát ptvp cấp miền D  R ( x0 , y0 )  D : !C0 , y  y ( x, C0 ) nghiệm toán Cauchy với điều kiện đầu y(x0) = y0 Nghĩa là:  y  y ( x, C0 ), x  ( x0   , x0   ) !C0 :   y0  y ( x0 , C0 ) Nghiệm nhận từ nghiệm tổng quát cách cho số C giá trị cụ thể gọi nghiệm riêng tức nghiệm toán Cauchy nghiệm riêng 30/12/2015 Phương trình vi phân cấp – Khái niệm chung Lưu ý 1: Không phải nghiệm ptvp nhận từ nghiệm tổng quát (NTQ) cách cho số C giá trị cụ thể Những nghiệm gọi nghiệm kì dị Ví dụ: Xét ptvp y   y Ta biến đổi pt  dy  dx arcsin y  x  C  2   y  1 y   1 y   y  1  y  1   y  sin( x  C ) Rõ ràng, y=1 hay y=-1  nghiệm ptvp Đó  y  1 nghiệm kì dị Phương trình vi phân cấp – Khái niệm chung Lưu ý 2: Trong phạm vi môn học này, ta tìm nghiệm ptvp cách không đầy đủ, tức ta biến đổi phương trình không chặt ví dụ Ta giải phương trình hệ không giải phương trình tương đương Ví dụ: Khi biến đổi ptvp y  y Ta không xét trường hợp y=0 hay y≠0 dy  dx  ln y  x  C y  y  e x C  y  Ce x y  y  Ta giải thiếu nghiệm y=0 pt ta không gpt tương đương, tức tìm nghiệm không đầy đủ 30/12/2015 Phương trình vi phân cấp 1- PT tách biến Dạng : f ( x )dx  g ( y )dy  Cách giải : Lấy tích phân vế phương trình  f ( x)dx   g ( y )dy  C Ví dụ: Tìm NTQ pt (3 x  1) dx  cos ydy  Lấy tích phân vế phương trình  (3 x  1)dx   cos ydy  C  x3  x  sin y  C  y  arcsin(C  x3  x) Phương trình vi phân cấp 1- PT tách biến Hai dạng ptvp đưa pt tách biến: f1 ( x) g1 ( y )dx  f ( x) g ( y )dy  f ( x) g ( y)  dx  dy  f ( x) g1 ( y ) y  f (ax  by  c) Đặt : z(x)=ax+by+c  y  z  a b 30/12/2015 Phương trình vi phân cấp 1- PT tách biến Ví dụ: Tìm NTQ pt xy dy  ( y  1) dx y2 dx xy dy  ( y  1) dx  dy  0 y 1 x y2 dx  dy    C y 1 x y   y  ln y   ln x  C 2 Trường hợp này, việc biến đổi để y=y(x,C) khó nên ta để nguyên dạng (dạng pt φ(x,y,C)=0 Ta gọi tích phân tổng quát ptvp Phương trình vi phân cấp 1- PT tách biến Ví dụ: Tìm nghiệm riêng pt y  x  xy  y  1, y (0)  y  x  xy  y   y  ( x  y )  Đặt z=x+y  y  z  thay vào pt dz  dx    x  C z z   x  y  y  x  xC xC z   z   Thay điều kiện đầu vào : = -C Nghiệm riêng cần tìm là: y  x 1 x 30/12/2015 Phương trình vi phân cấp 1- PT tách biến Bài tập: Tìm NTQ nghiệm riêng pt sau y  x  y 2.tan ydx  x ln xdy  y  cos y  4.x ( y  5)dx  ( y  5) y dy  0, y (0)  Một chất điểm chuyển động trục Ox theo chiều dương O với vận tốc 2m/s, gia tốc a= -v/2 (m/s2) Tính v(t) Phương trình vi phân cấp 1- PT tách biến 30/12/2015 Phương trình vi phân cấp 1- PT đẳng cấp y x Dạng : y  f ( ) Cách giải : Đặt u  y  y  u  ux x Ví dụ: Tìm NTQ phương trình y  y y  cos x x y  y  ux  y  u  ux Thay vào pt x du dx du dx u  ux  u  cos u      C cos u x cos u x u     tan     Cx  y  x  2arctan Cx    k 2  2 4   Đặt: u  Phương trình vi phân cấp 1- PT đẳng cấp Hai dạng ptvp đưa pt đẳng cấp: f ( x, y )dx  g ( x, y )dy  Trong đó, f, g hàm đẳng cấp bậc tức tồn số nguyên k cho f (tx, ty )  t k f ( x, y ), g (tx, ty )  t k g ( x, y )  a x  b1 y  c1  y  f   Ta xét hpt a x  b y  c  2  a D a2 b1 b2  a1 x  b1 y  c1    a2 x  b2 y  c2  D≠0: hpt có ng x=x0, y=y0 Đặt X=x-x0, Y=y-y0 D=0 : pt thành dạng y  g ( a2 x  b2 y ) 30/12/2015 Phương trình vi phân cấp 1- PT đẳng cấp Ví dụ: Tìm NTQ pt ( x  y ) dx  xydy  Đây pt đẳng cấp bậc Chia vế pt cho x2  y y2  y   y    dx  dy    y x x x   x y Đặt u   y  u  ux Thay vào pt trên: x u2 dx  ln Cx u  ux   u   udu    C  u x  y  x ln | Cx | Phương trình vi phân cấp 1- PT đẳng cấp Ví dụ: Tìm NTQ pt (2 x  y  1)dx  ( x  y  1)dy  Ta viết lại pt thành : 2 2( x  y )  Nên D   Ta pt ( x  y)  1 1 y   2  Dạng pt y  f ( ax  by  c ) ( x  y)  y   Đặt z=x-y+1 NTQ pt x  C  x  y   ln | x  y | 10 Phương trình tt cấp hệ số – pt Euler-Cauchy PT Euler – Cauchy pt có dạng n (n) an x y  an 1x n 1 ( n 1) y   a0 y  f ( x) Ta đưa pt tt hệ số không đổi cách đặt x = et (x>0) x = -et (x0) Vì x>0 nên ta đặt x=et Thay x yx  yt  yt , xyx  yt vào pt cho, ta y  y  y  t t t ytn  C1e  C2te yr  at  b  yr  a, yr  Thay vào pt yr  t  Vậy nghiệm pt cho ytn  C1x  C2 x ln x  ln x  Phương trình tt cấp hệ số – pt Euler-Cauchy Ví dụ: Tìm nghiệm riêng pt 2    x y  xy  y  x , y (1)  y (1)   Đặt x=et, ta pt y  y  y  e 2t ytn  C1et  C2e2t , yr  ate2t  yr  ae 2t (1  2t ), yr  ae 2t (4  4t ) Thay vào pt trên, ta : a=1 2 Suy ra, NTQ pt cho ytq  C1x  C2 x  x ln x Tính thêm y’tq, thay điều kiện đầu vào, tìm C1, C2 Vậy nghiệm riêng là: y  x  x  x ln x Phương trình tt cấp hệ số – Bài tập Tìm NTQ nghiệm riêng pt y  y  y  x cos x y  y  y  ( x  1)sin x y  y  y  xe x y  y  y  2e2 x y  y  cos x  x sin x y  y  y  xe3 x  cos x, y  y  tgx Phương trình tt cấp hệ số – Bài tập y  y  2sin x sin x y  y  y   e2 x 10.x y  xy  y  sin(2ln x) 11.x y  xy  y  x x 12.x y  xy  y  13.(4 x  1)2 y  2(4 x  1) y  y  14.x y  xy  y  cosln x 30/12/2015 Hệ phương trình tuyến tính hệ số Định nghĩa: Hệ ptvp hệ gồm ptvp chứa đạo hàm hàm cần tìm Ví dụ: Các hệ ptvp Hệ ptvp cấp  F (t , x, y, x, y ')  Trong  G (t , x, y, x, y ')  t biến độc lập, x(t), y(t) hàm cần tìm Hệ ptvp cấp dạng tắc  x  f (t , x, y, z )   y  g (t , x, y, z )  z  h(t , x, y, z )  Hệ pt tuyến tính cấp hệ số Hệ ptvp tuyến tính cấp hệ số hệ ptvp có dạng  dx1  dt  a11 x1  a12 x2   a1n xn  f1 (t )   dx2  a x  a x   a x  f (t ) 21 22 2n n  dt    dxn  a x  a x   a x  f (t ) n1 n2 nn n n  dt Trong fi(t), i=1,2, …,n hàm liên tục (a,b) 30/12/2015 Hệ pt tuyến tính cấp 1hệ số Đặt  a11 a A   21  : a  n1 a12 a1n   x1 (t )   f1 (t )   x (t )   f (t )  a22 a2 n   F (t )     X (t )    :   :  : : :   x (t )   f (t )  an ann   n   n  Thì hpt viết thành dX  AX  F (t ) dt dX  AX dt (1) Hệ không (2) Hệ Nghiệm hệ hàm vecto (a,b) gồm hàm khả vi, liên tục (a,b) thỏa hệ Hệ pt tuyến tính cấp hệ số – PP khử d Suy dt d2 d3 D = , D = , dt dt Ta kí hiệu phép lấy đạo hàm D  Ví dụ với hệ ptvp sau  x  x  y  et ( D  2) x  y  et  Ta viết thành   y  x  y  t    x  ( D  2) y  t Sau đó, ta dùng phương pháp khử hpt đại số tuyến tính 30/12/2015 Hệ pt tuyến tính cấp hệ số – PP khử  x1  x1  x2  et Ví dụ: Giải hpt   x2  x1  x2  t ( D  3) x1  x2  et (1) Ta viết lại hpt   2 x1  ( D  2) x2  t (2) Lấy 2*(1)+(D-3)*(2) để khử x1, ta : (2  ( D  2)( D  3)) x2  2et  ( D  3)t  D x2  5Dx2  x2  2et  3t  Viết lại kí hiệu thường x2  x2  x2  2et  3t  Ta giải pt Hệ pt tuyến tính cấp hệ số – PP khử x2  x2  x2  2et  3t  11 x2  C1et  C2e4t  tet  t  16 x t Thay vào pt (2)  x1   x2  2 1 41  x2  C2e 4t  C1et  et (t  1)  t  24 30/12/2015 Hệ pt tuyến tính cấp hệ số – PP khử  x1' Ví dụ: Giải hpt  x '   x'   x1  x2  x3  4 x1  x2  x3  x1  x2  x3 Ta viết lại hpt: ( D  2) x1  x2  x3  (1)  4 x1  ( D  6) x2  x3  (2) 3 x  x  ( D  1) x  (3)  Khử x3: (1)+(2) 3*(3)-(D-1)*(2) ( D  2) x1  ( D  2) x2   (4( D  1)  9) x1  (( D  1)( D  6)  9) x2  Hệ pt tuyến tính cấp hệ số – PP khử Hệ tương đương với: ( D  2) x1  ( D  2) x2   (4 D  5) x1  ( D  D  3) x2  (4) (5) Khử x2: (D2+5D+3)*(4)+(D+2)*(5) ( D  D  3)( D  2) x1  (4 D  5)( D  2) x1   ( D3  3D  4) x1   x1 x1  x1   x1  C1et  C2e2t  C3te2t Thay vào pt (4) để tìm x2: x2  C1et  C4 e 2t  C3te 2t Thay vào (1) để tìm x3: x3  C1et  (4C2  C3  4C4 )e 2t 30/12/2015 Hệ pt tt cấp hệ số – PP trị riêng vecto riêng Hệ pt dX  AX  F (t ) dt Với A ma trận thực, vuông chéo Tồn ma trận S khả nghịch cho A=SDS-1 dX  SDS 1 X  F (t ) dt dX  S 1  DS 1 X  S 1F (t ) dt dY dX Thay vào hpt Đặt Y=S-1X   S 1 dt dt dY  DY  S 1F (t ) Đây n-ptvp cấp riêng biệt dt Thay vào hpt Hệ pt tt cấp hệ số – PP trị riêng vecto riêng  x1  x1  x2  t Ví dụ: Giải hpt   x2  x1  x2   2    1  1   0 A  S  , S  , D    1 1     1     1 2   3 Đặt Y=S-1X, ta hpt:  y1  y1  t  dY 1  DY  S F (t )   dt  y2  y2  t   y1  e  dt  (t  2)e   dt dt  C1   dt   3dt dt  C2  y1  e   (t  4)e     30/12/2015 Hệ pt tt cấp hệ số – PP trị riêng vecto riêng  y   t  t   C1e 2t  2   y2  t  t  34  C2e3t  27 Ta tính    y1  X  SY      1 1 y2  2 17  x   t  t   2C1e 2t  C2e3t  54   x2   t  t  55  C1e 2t  C2e3t  18 108 Hệ pt tt cấp hệ số – PP trị riêng vecto riêng  x1  x1  x2  x3  e2t  Ví dụ: Giải hpt  x2  x1  x2  x3  e 2t  x  x  x  x  2t   e 2 t   3  1   A   5  F (t )   e2t   S       6  0  2t        3   2 S 1    2  , D   2      0  1 1  1 1  1  0 0   30/12/2015 Hệ pt tt cấp hệ số – PP trị riêng vecto riêng Đặt Y=S-1X, ta hpt  2t 1  y1  C1e  t   y1  2 y1  e2t  t   2 t   y   y  y  C2 e  2   y  y  t 1 3  y3  C3e 4t  t   16 3  2 t 4t Vậy ( C  C ) e  C e  t   16   x1    3    t t  X  SY   x2    C1e  C3e  t    16 x   3  1   C2e 2t  2C3e4t  t      Hệ pt tt cấp hệ số – PP trị riêng vecto riêng  x1   x1  x2  x3  t  Ví dụ: Giải hpt  x2  x1  x2  x3  t  x  x  x  x  2t   t2  1 1  1   2   A   1  F (t )   t   S   1 1    1   1 2  2t         1 2  0 0  S 1   1  , D          0 4       30/12/2015 Hệ pt tt cấp hệ số – PP trị riêng vecto riêng Đặt Y=S-1X, ta hpt  y1   t  C1   y1  t   1   y2  y2  t   y2  C2e 4t  t  16   y  4 y  t   y3  C3e  1  4t 4t x  C  C e  C e  t  t  1 2  16  1 X  SY   x2  C1  C2e4t  C2e4t  t  t  16  1  4t x   C  C e  t  t   16 Hệ pt tt cấp hệ số – Bài tập Giải hpt sau  x  x  y   y  x  y  x  x  y   y  x  y  t  x  y  x  y  cos t   y  x  y  sin t  x1'  x1  x2  x3  et   x2'  x1  11x2  x3  2t  ' 8 x1  x2  x3  x3  30/12/2015 Hệ pt tt cấp hệ số – Bài tập  x1'   x2'  '  x3  4 x1  x2  x3  t  x1  x2  x3  2t  8 x1  x2  x3  x1  x1  x2  x3  2t   x2  x1  x2  x3  e2t  x   x  x  [...]... vi phân cấp1 9 y ln 3 y  y  x  1  0 Pt x y x y Pt 10 y   e  e 11 .( x 4  6 x 2 y 2  y 4 )dx  4 xy ( x 2  y 2 )dy  0 Pt: 12 .(2 x  y  1) dx  ( x  2 y  1) dy  0 13 y   xy  arcsin x  x 1  x2 Pt: Pt 14 y  xy   y  ln y Pt: 15 ydx  ( x  x 2 y 2 )dy  0 1 16 y   1  xy Pt: Pt: 18 30 /12 /2 015 Phương trình vi phân cấp1 17 .( x 2 ln y  x )y   y 18 .y x 3 sin y  2y  xy  19 .y ...  1 2 y ln y  y  x Phương trình vi phân cấp 1- PT Bernullli Dạng : y  p ( x) y  q ( x ) y Trong đó: α≠0 vì nếu α=0 thì ta được pt tuyến tính α 1 vì nếu α =1 thì ta được pt tách biến Cách giải : Đặt z  y1  z  (1   ) y y  z y  y  Thay vào pt trên 1  zy  yp ( x)  q ( x) y 1  z  z. (1   ) p ( x)  (1   )q ( x) 13 30 /12 /2 015 Phương trình vi phân cấp 1- PT Bernulli Ví dụ:... vế phương trình với hàm h  h( x  y 2 ) thì ta được 1 ptvp toàn phần 17 30 /12 /2 015 Phương trình vi phân cấp1 Bài tập: Nhận dạng và giải các pt sau Pt: 1 xyy   y 2  2 x 2 y 2 xy   xe x y e2 x 1 x 2 3.e tgydx  dy x 1 x y 4 y   2 Pt: Pt: Pt: 5.( x  y  4)dy  ( x  y  2)dx  0 6 y  cos x  y  1  sin x Pt: 7 y ( x  y 2 )  y Pt: 8.4 xy   3 y  e x x 4 y 5 Pt: Pt: Phương trình vi phân. ..30 /12 /2 015 Phương trình vi phân cấp 1- PT đẳng cấp Bài tập: Tìm NTQ hoặc nghiệm riêng của các pt y y 1 x 2.x 2 y  y 2  xy  x 2  0 1 y  e x  3.( x 2  xy )dy  y 2 dx  0 y 4.xy  y ln , y (1)  1) x   5 y  x 2  y 2 dx  xdy  0, y (1)  0 Phương trình vi phân cấp 1- PT tuyến tính Dạng : y  p ( x) y  q ( x) pt không thuần nhất... y2 1 x   x  x  y Dùng công thức y y 1 1   dy   dy y y xe dy  C    ye      1  x  y   y dy  C   x  y 2  Cy  y  12 30 /12 /2 015 Phương trình vi phân cấp 1- PT tuyến tính Bài tập: Tìm NTQ hoặc nghiệm riêng của các pt 1 2 y  xe x  2e x x 2. (1  x 2 ) y  y  arctan x 1 y    3 ydx  ( x  y 2 sin y ) dy  0 4 y 1  x 2  y  arcsin x, y (0)  0 5 y  y , y (1)  1 2... x)e  p ( x ) dx dx  C  11 30 /12 /2 015 Phương trình vi phân cấp 1- PT tuyến tính Ví dụ: Tìm NTQ của pt y  2 xy  1  2 x 2 Sử dụng công thức nghiệm với p ( x)  2 x, q ( x)  1  2 x 2  y  e  p ( x ) dx  q ( x)e  p ( x ) dx dx  C 2  e 2 y  e x  (1  2 x 2 )e x dx  C y  ex 2  x2 y  x  Ce x 2   dx   xe x d ( x 2 )  C  2 Phương trình vi phân cấp 1- PT tuyến tính Ví dụ: Tìm... W ( y1 , y2 )  x e e 2x x xe 2x 2x  e (1  x)  xe x e (1  x)  x Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng thuần nhất y  a1 y  a0 y  0 (1. 1) Cấu trúc nghiệm: Nếu y1(x), y2(x) là 2 nghiệm riêng đltt của thì NTQ của pt (1. 1) là ytn=C1y1(x)+C2y2(x) Ta đi tìm nghiệm của (1) ở dạng y  e kx Thay vào (1) : k 2e kx  a1ke kx  a2e kx  0  k 2  a1k  a2  0 (3) kx Vậy hàm y  e là nghiệm của pt (1) khi... C1 ( x) y1( x)  C2 ( x) y2 ( x)  0 (a) Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất Khi đó:   C1( x) y1 ( x)  C2 ( x) y2 ( x) ytq Ta tính tiếp đh cấp 2, rồi thay y’, y’’ vào pt không t.nhất   C1 ( x) y1 ( x)  C1( x) y1( x)  C2 ( x) y2 ( x)  C2 ( x) y2 ( x) ytq Lưu ý rằng y1, y2 là nghiệm của pt t.nhất, tức là y1  a1 y1  a2 y1  0, y2  a1 y2  a2 y2  0 Ta được C1... 32. (1  2 x 2 )y   2 xy  (1 2 x 2 )3 19 30 /12 /2 015 Phương trình vi phân cấp1 34.(2x 2 y ln y  x )y   y 35.y cos xdx  sin xdy  cos 2xdx 36.e y dx  ( xe y  2y )dy  0 37.y  1 x 2  y  acr sin x 38.y   2ytgx  y 2 sin2 x  0 39.x 2 y   y 2  xy  x 2 20 Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Định nghĩa: PT vp tuyến tính cấp n hệ số hằng là ptvp có dạng an y an y (n) (n)  an 1 y  an 1. .. pt (1) Phương trình tt cấp 2 hệ số hằng thuần nhất Pt thuần nhất : y  a1 y  a2 y  0 Pt đặc trưng : k 2  a1k  a2  0 (3) TH 1: (3) có 2 nghiệm thực k1x k2 x k1  k 2 : y1  e , y2  e đltt TH 2: (3) có 1 nghiệm thực k  k1  k2 : y1  e kx ,y2  xe kx đltt TH 3: (3) có cặp nghiệm phức liên hợp k    i : y1  e x cos  x, y1  e x sin  xđltt NTQ của pt thuần nhất là y  C1 y1  C2 y2 Phương ... vào phương trình (2) ta d 2s ds dv (1) m  mg   v  m  mg   dt dt dt Ta gọi ptvp cấp (chứa đạo hàm cấp s”) Phương trình vi phân cấp 1 Khái niệm chung Định nghĩa 1: Phương trình vi phân phương. .. Tính v(t) Phương trình vi phân cấp 1- PT tách biến 30 /12 /2 015 Phương trình vi phân cấp 1- PT đẳng cấp y x Dạng : y  f ( ) Cách giải : Đặt u  y  y  u  ux x Ví dụ: Tìm NTQ phương trình y... x  x2 Pt: Pt 14 y  xy   y  ln y Pt: 15 ydx  ( x  x y )dy  16 y    xy Pt: Pt: 18 30 /12 /2 015 Phương trình vi phân cấp1 17 .( x ln y  x )y   y 18 .y x sin y  2y  xy  19 .y   20 y2