Đang tải... (xem toàn văn)
Vận dụng tính chất đối xứng của điểm và đường để giải một số bài tập về Oxy trong các đề thi Đại học ,Học sinh giỏi hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
A ĐẶT VẤN ĐỀ 1) LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong năm trở lại câu thuộc phần kiến thức hình học tọa độ Oxy đóng vai trò quan trọng đề thi Đại học, Cao đẳng (Nó có mặt cấu trúc đề thi nhằm mục đích phân hóa thí sinh khá, giỏi) Bắt đầu từ năm học 2015 với cách tổ chức kì thi Quốc gia THPT, theo nhận định tôi: Đa số kiến thức lớp 12 chủ yếu dành cho thí sinh lấy điểm để đạt tốt nghiệp, để đạt điểm cao đậu vào trường Đại học thí sinh phải làm câu hình học tổng hợp, hình học tọa độ Oxy, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Đối với phần kiến thức sách giáo khoa trình bày bản, đòi hỏi học sinh phát huy phẩm chất tìm tòi, sáng tạo tập trung tư Ngoài phần kiến thức đề thi yêu cầu người học nắm kiến thức hình học mặt phẳng tốt biết vận dụng vào toán hình học tọa độ Oxy Những kiến thức hình học phẳng thường sử dụng như: đối xứng qua điểm; đối xứng qua đường thẳng; quan hệ vuông góc hay góc hai đường thẳng … “giấu đi” thể cách khác từ thí sinh muốn giải toán cần phải phát vấn đề ẩn chứa nêu Ta xét ví dụ: Đề thi Đại học, Cao đẳng khối A; A1 năm 2013 sau: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh C nằm đường thẳng (d): 2x + y + = đỉnh A(-4; 8) Gọi M điểm đối xứng B qua C; N hình chiếu vuông góc B đường thẳng DM Tìm tọa độ điểm B C biết N(5; -4) Định hướng nhận xét Nhận tứ giác ACMD hình bình hành (AD song song A B CM) nên AC song song DM Từ có AC đường trung trực BN (hay B N đối xứng qua đường thẳng AC ⇒ ∠ANC = ∠ABC = 90 ⇒ tọa độ điểm C, D C viết phương trình đường thẳng AC ⇒ tọa độ điểm B B đối xứng với N qua đường thẳng AC H M Qua ta có nhận xét : Rõ ràng toán sử dụng tính đối xứng qua đường thẳng Nếu thí sinh phát điều toán giải nhẹ nhàng Hiểu khó khăn yêu cầu cao học sinh trình học tập, yêu cầu người giáo viên cần học tập nâng cao trình độ để có kiến thức vững vàng phương pháp dạy học tốt hình thành cho em học sinh tư tích cực, đam mê, sáng tạo tính tự học cao Từ lí nêu thực đề tài khoa học – sáng kiến kinh nghiệm có tên: “ SỬ DỤNG KIẾN THỨC ĐỐI XỨNG TRONG MẶT PHẲNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ Oxy” Với đề tài sáng kiến kinh nghiệm hi vọng giúp em học sinh 2) ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đề tài tập trung nghiên cứu tính chất đối xứng, khai thác, phát triển lồng ghép kiến thức đối xứng toán quen thuộc hình học phẳng, để đưa vào toán tọa độ Oxy 3) PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu tính chất đối xứng trình bày sách giáo khoa hai cấp học THCS; THPT số tài liệu tham khảo 4) MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nhằm tạo cho học sinh có hệ thống kiến thức, biến vận dụng cách có hệ thống, tạo niềm say mê, sáng tạo học tập Nhằm mục đích đưa lại hiệu cao giảng dạy, đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi đại học 5) GIẢ THIẾT KHOA HỌC *) Cơ sở lí luận Phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm kiến thức quen thuộc, quan trọng môn hình học trình bày hai cấp học(cấp THCS lớp 10 cấp THPT) Trong thực tế vận dụng tính đối xứng kiến trúc, xây dựng, hội họa… nhiều Như nghiên cứu phép đối xứng hoàn toàn có tính tự nhiên, thiết thực, không hàn lâm Dựa tiếp nối, kế thừa phát triển kiến thức học cho dạng toán khác tạo cho học sinh niềm đam mê, sáng tạo *) Cơ sở thực tiễn Dựa yêu cầu cao học sinh việc định hướng, phương pháp giải toán hệ thống tập hình học tọa độ Oxy phục vụ cho học tập thi cử Mặt khác gợi ý, xây dựng nguồn tài liệu cho đồng nghiệp giáo viên để tạo giao lưu, học hỏi dạy tốt Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Dựa kiến thức hình học phẳng, tìm tòi, sáng tạo, thu thập toán lồng ghép tính đối xứng chuyển qua toán hình học tọa độ Oxy Phân bố mục đề tài - Phần đặt vấn đề: trang 1, - Phần nội dung đề tài: +) sử dụng phép đối xứng qua điểm: trang đến trang +) sử dụng phép đối xứng qua đường thẳng: trang đến trang 12 +) Các tập vận dụng: trang 13, 14 - Phần kết luận: trang 14 - Phần kiến nghị, đề xuất: trang 14 B NỘI DUNG ĐỀ TÀI Loại 1: SỬ DỤNG TÍNH ĐỐI XỨNG QUA MỘT ĐIỂM Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình thang ABCD có diện tích 14 ( với hai đáy AB CD ) có đỉnh A(1; 1); trung điểm cạnh BC H − ;0 Viết phương trình đường thẳng AB biết đỉnh D có hoành độ dương D nằm đường thẳng (d) có phương trình x − y + = (Ví dụ tự ra) Phân tích toán - Nếu sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích hình thang gặp nhiều khó khăn - Thường sử dụng diện tích tam giác để chuyển khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, qua tìm tọa độ điểm Vậy có cách thức để chuyển diện tích hình thang diện tích tam giác không? - Sử dụng AB song song CD trung điểm H đoạn BC nào? Với lập luận, kết nối giả thiết toán ta sử dụng tính đối xứng qua điểm sau: LỜI GIẢI Kéo dài AH cắt CD E Do ABCD hình thang (AB//CD) H trung điểm BC nên dễ thấy ∆HAB = ∆HEC ⇒ S ∆ADE = S ABCD = 14 Ta có AE = AH = 13 phương trình đường thẳng AE: x − y + = A B H D C E Do đỉnh D có hoành độ dương D nằm đường thẳng (d) có phương trình x − y + = nên D(d; 5d+1) với d > S ∆ADE = ⇔ 2S 28 AE.d ( D; AE ) ⇔ d ( D; AE ) = ∆ADE = AE 13 2d − 3(5d + 1) + 13 30 d = − (loai ) − 13d − = 28 = ⇔ − 13d − = 28 ⇔ ⇔ 13 13 − 13d − = −28 d = 2(t / m) 28 Từ D(2; 11) E đối xứng với A qua H suy E(-2; -1) nên phương trình đường thẳng CD: x − y + = Đường thẳng AB qua A, song song với đt CD nên có pt: x − y − = Vậy phương trình đường thẳng AB cần tìm: 3x – y – = NHẬN XÉT Từ ví dụ ta nhận thấy việc chuyển đổi diện tích hình thang diện tích tam giác mấu chốt toán mà công cụ phép đối xứng qua điểm Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích có đỉnh A(0; 2); Gọi H hình chiếu vuông góc B đường thẳng AC Trên tia đối tia BH lấy điểm E cho BE = AC Tìm tọa độ đỉnh B; C; D biết phương trình đường thẳng DE: x − y = biết đỉnh D có tọa độ dương (Ví dụ sưu tập) Phân tích toán - Sử dụng giả thiết toán BE ⊥ AC BE = AC nào? Đây vấn đề toán Ta phân tích sau: - Thứ nhất: Nối BD để tạo ∆BDE cân B - Thứ hai: Từ B tạo đoạn thẳng song AC Từ phân tích ta nghĩ đến việc lấy K đối xứng với D qua A ta có BK = BD = BE suy tam giác BDK cân B tam giác BKE vuông cân B Từ ta có lời giải cụ thể sau: LỜI GIẢI Lấy K đối xứng với D qua A ta có BK = BD = BE suy tam giác BDK cân B tam giác BKE vuông cân B Đặt x = ∠ABD = ∠ABK = ∠BDC E K y = ∠BDE = ∠BED Xét tam giác BDE có x + y + 90 = 180 ⇔ x + y = 45 x A B x ⇒ ∠EDC = 45 Ta có d ( A; DE ) = 0−2 y = ⇒ AD = H D C Do đỉnh D có tọa độ dương D nằm đường thẳng (DE) có phương trình x − y = nên D ( d; d ) d = 0(loai ) Từ D(2; 2) d = 2(t / m) 2 2 với d > AD = ⇔ AD = ⇔ d + ( d − 2) = ⇔ d − 2d = ⇔ Đường thẳng AB qua A, nhận AD làm véc tơ pháp tuyến Từ đường thẳng AB có pt: x = nên B(0; b) b = b = −1 Có S ABCD = ⇔ AB AD = ⇔ AB = ⇔ b − = ⇔ 7 2 *) Với b = có B(0; 5), I 1; trung điểm BD tâm hình chữ nhật ABCD suy C(2; 3) 1 2 *) Với b = -1 có B(0; -1), tâm I 1; suy C(2; -1) Vậy có hai hình chử nhật thỏa mãn, có tọa độ đỉnh: B(0; 5); C(2; 3); D(2; 2) B(0; -1); C(2; -1); D(2; 2) NHẬN XÉT Từ ví dụ nhận thấy việc tạo tam giác cân, tam giác vuông cân đỉnh B quan trọng, để tạo điều nói việc sử dụng điểm K đối xứng với D qua A Từ ví dụ ta xây dựng thêm só toán khác sau: Ví dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh C(2; -1); trung điểm cạnh AB M 1 0; Gọi H hình chiếu vuông góc B đường thẳng AC Trên tia đối tia BH lấy điểm 2 E cho BE = AC Tìm tọa độ đỉnh A; B; D biết E(-3; -3) đỉnh B có tung độ âm (Ví dụ khai thác) Phân tích toán - Ví dụ có giả thiết tương tự ví dụ Nếu sử dụng điểm K đối xứng với D qua A ta suy M trung điểm KC ( tứ giác ACBK hình bình hành), kết hợp với tam giác BKE vuông cân B ta giải toán Lời giải cụ thể sau: LỜI GIẢI Lấy K đối xứng với D qua A ta có tứ giác ACBK hình bình hành suy K đối xứng với C qua M Từ tìm tọa độ điểm K(-2; 2) Nhận thấy tam giác BKE vuông cân B nên BK = BE BK = BE ⇔ (*) BK BE = BK ⊥ BE E y K x M A x y D H B C ( a + 2) + ( b − 2) = ( a + 3) + ( b + 3) Gọi B(a; b) với b < 0, từ (*) ta có hệ: Giải hệ: ( a + 2)( a + 3) + ( b − 2)( b + 3) = a = −5b − a = −5b − Chọn a = ⇔ b = b = −1 26b + 26b = b = −1 Suy B(0; -1) Đỉnh A đối xứng với B qua M nên A(0; 2) 1 2 Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD nên có I 1; Đỉnh D đối xứng với B qua điểm I từ D(2; 2) Vậy đỉnh cân tìm có tọa độ là: A(0; 2); B(0; -1); D(2; 2) NHẬN XÉT Qua ví dụ nhận thấy việc đưa điểm K chìa khóa toán Một lần khẳng định tính ưu việt phép đối xứng qua điểm Ví dụ 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD = Gọi H hình chiếu vuông góc B đường thẳng AC Trên tia đối tia BH lấy điểm E cho BE = AC Tìm tọa độ đỉnh A; B; C; D biết đỉnh C có hoành độ dương nằm đường thẳng ( d ) : x − y − = ; điểm K đối xứng với D qua A, biết K nằm đường thẳng ( d ) : x + y − = ; đường thẳng DE có phương trình x − y + = (Ví dụ khai thác) Phân tích toán - Ví dụ có giả thiết tường minh ví dụ ví dụ cho điểm K đối xứng với D qua A Trong ví dụ tập trung vận dụng giả thiết thực Lời giải cụ thể sau: LỜI GIẢI Do K đối xứng với D qua A ta có E BK = BD = BE suy tam giác BDK cân B tam giác BKE vuông cân B Đặt x = ∠ABD = ∠ABK = ∠BDC y K y = ∠BDE = ∠BED Xét tam giác BDE có x M A 0 B x x + y + 90 = 180 ⇔ x + y = 45 ⇒ ∠EDC = 45 0 Gọi M giao điểm đường thẳng DE đường thẳng AB y H D C Do AB = 2AD(gt) kết hợp ∠EDC = 45 suy M trung điểm AB Lại có tứ giác ACBK hình bình hành suy M trung điểm CK Do đỉnh C có hoành độ dương nằm đường thẳng ( d ) : x − y − = nên gọi C ( c; c − 3) với c > biết K nằm đường thẳng ( d ) : x + y − = nên gọi K (1 − 2k; k ) Từ suy M + c − 2k c + k − ; 2 Do M nằm đường thẳng DE có phương trình x − y + = nên tọa độ M thỏa mãn: 3(1 + c − 2k ) c + k − 2c + 3c − 9c − 13 ; − =0⇔k = ⇒ M 14 2 14 2 11c + 5c − 29 Từ AB = 2AD = nên MC = 10 ⇔ MC = 10 ⇔ + = 10 14 14 c = ⇔ 146c − 92c − 1038 = ⇔ 173 c=− 73 Từ lấy C(3; 0) M(0; 1) Đỉnh D nằm đường thẳng DE có phương trình x − y + = nên D(d; 3d + 1) d = d = −1 2 DC = ⇔ DC = 20 ⇔ ( d − 3) + ( 3d + 1) = 20 ⇔ *) Với d= có D(1; 4) Gọi N trung điểm CD nên N(2; 2) 3 2 Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD nên I trung điểm MN suy I 1; Đỉnh A đối xứng với C qua I nên A(-1; 3) Đỉnh B đối xứng với D qua I nên B(1; -1) 1 2 *) Với d= -1 có D(-1; -2); N(1; -1); I ;0 Đỉnh A đối xứng với C qua I nên A ( − 2;0) Đỉnh B đối xứng với D qua I nên B(2; 2) Vậy đỉnh cần tìm có tọa độ là: A(-1; 3); B(1; -1); C(3; 0); D(-1; -2) A(-2; 0); B(2; 2); C(3; 0); D(-1; -2) Loại 2: SỬ DỤNG TÍNH ĐỐI XỨNG QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB CD; AB = 3CD, đỉnh A(2; 1) Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm đoạn AB Tìm tọa độ đỉnh B; C; D biết đỉnh C có hoành độ dương nằm đường thẳng ( d ) : x + y − = biết điểm E(2; 3) (Ví dụ tự ra) Phân tích toán - Sử dụng giả thiết hình thang cân E điểm đối xứng D qua trung điểm đoạn AB nào? Đây ý quan trọng cần khai thác trước hết toán Ta phân tích sau: Nhận thấy tứ giác AEBD là hình bình hành hai đường chéo, hai cạnh bên hình thang cân nên có: AE = BD suy AE = AC BE = AD suy BE = BC Từ điều ta có E và C đối xứng qua đường thẳng AB Lời giải cụ thể sau: LỜI GIẢI Nhận thấy tứ giác AEBD là hình bình hành ( hai đường chéo cắt trung điểm đường) tứ giác ABCD là hình thang cân nên có: AE = BD suy AE = AC (1) BE = AD suy BE = BC (2) Từ (1) va (2) ta có E và C đối xứng qua đường thẳng AB D C H A B E Do điểm C có hoành độ dương và nằm đt (d) nên C ( c;1 − c ) với c > c = c = −4 2 Từ (1) có AC = AE nên: ( c + ) + ( − c ) = 20 ⇔ c + 2c − = ⇔ Nhận được c = ⇒ C(2; -1) Gọi H là chân đường vuông góc của C lên đt AB suy H trung điểm CE nên có H(2; 1) Gọi K là chân đường vuông góc của D lên đt AB Theo tính chất hình thang cân AB = 3CD nên có AK = KH = HB Từ đó K trung điểm AH nên K(0; 1) B đối xứng với K qua H nên B(4; 1) Gọi I trung điểm AB có I(1; 1) Đỉnh D đối xứng với E qua I nên D(0; -1) Vậy các điểm cần tìm sau: B(4; 1); C(2; -1); D(0; -1) NHẬN XÉT Qua ví dụ nhận thấy việc phát hai điểm E C đối xứng qua đường thẳng AB quan trọng Từ yêu cầu toán giải Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình thang ABCD vuông A B có AD = 2AB Gọi H hình −1 ; Đường thẳng qua trung điểm hai 5 chiếu vuông góc A đường thẳng BD biết H cạnh AB AD có phương trình: x + y + = Tìm tọa độ điểm A; B; D biết điểm B có tọa độ số nguyên (Ví dụ tự ra) Phân tích toán - Quan tâm đến giả thiết H hình chiếu vuông góc A đường thẳng BD đường thẳng qua trung điểm hai cạnh AB AD nào? - Ta có tính chất: Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tam giác vuông nửa cạnh huyền Ở có sử dụng hai tam giác HAB HAD Từ ta có H A đối xứng với qua đường thẳng qua trung điểm hai cạnh AB AD Lời giải cụ thể sau: LỜI GIẢI Gọi M; N trung điểm AB; AD ta có: HM = MA HN = NA (đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tam giác vuông nửa cạnh huyền) suy A đối xứng với H qua đường thẳng MN Từ phương trình đường MN: 9 8 x + y − = H ; 5 5 B A H M D N C suy A( -1; -1) Lại có AD = 2AB suy AN = 2AM Đặt AM = x( x > 0) ⇒ AN = x Điểm M nằm đường thẳng MN nên gọi M ( − 2m − 1; m ) Áp dụng tam giác vuông AMN có 1 1 + = ⇔ + = 2 AM AN AE x 4x 5 = ⇔ x = ⇔ x = AM = ⇔ ( − 2m ) + (m + 1) = 4x −2 Giải m = ; m = Với m = M(-1; 0) B đối xứng với A qua M nên có B(-1; 1) (thỏa mãn) −2 −1 3 1 Với m = M ; suy B ; (loại) 5 5 5 ⇔ Đường thẳng AD qua A nhận AB(0;2) làm véc tơ pháp tuyến nên phương trình đtAD: y + = N giao hai đường thẳng AD MN nên tìm N(1; -1) Đỉnh D đối xứng với A qua N nên D(3; -1) Vậy các điểm cần tìm sau: A( -1; -1); B(-1; 1); D(3; -1) NHẬN XÉT Qua ví dụ qua hình vẽ phần nhận hai điểm A H đối xứng qua đường thẳng MN Vấn đề phải chứng tỏ điều Vận dụng tam giác vuông quan trọng Ví dụ 3: Trong không gian Oxy, cho hình thang cân ABCD có đáy lớn CD nội tiếp đường tròn (ξ ) , biết tiếp tuyến đường tròn (ξ ) C có phương trình x + y − = , phân giác góc ∠ACB có phương trình x + y − = , AC cắt BD M (−1;1) Tìm tọa đỉnh hình thang nói (Ví dụ tự ra) Phân tích toán - Bài toán cho hình thang cân, cho tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp hình thang, cho phân giác góc ∠ACB Kết nối chúng lại nào? Chắc chắn toán liên quan đến góc sử dụng tính chất góc nội tiếp đường tròn? - Với lập luận ta đưa dần góc đỉnh C Lời giải cụ thể sau: LỜI GIẢI Gọi N giao điểm phân giác góc ∠ACB đường tròn (ξ ) ⇒ ∠ACB = ∠NCB A Lại có ABCD hình thang cân M ⇒ ∠ACD = ∠BDC Mặt khác Ct tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp hình thang nên ∠BDC = ∠BCt D Từ ⇒ ∠DCN = ∠NCt ⇒ CM phân giác góc ∠DCt Lấy điểm E (3;3) ∈ Ct , F điểm đối xứng với E qua CM ⇒ F ∈ CD r Gọi I trung điểm EF, u (3; −1) vectơ phương CM, ta có : t B C y +3 x +3 I ∈ CM +3 F −7 = x = F ⇔ F ⇒ F (2;0) uur r ⇔ y = EF ⊥ u F 3( xF − 3) − ( yF − 3) = C = CM ∩ Ct ⇒ tọa độ C nghiệm hpt: 2 x + y − = x = ⇔ ⇒ C (4;1) x + 3y − = y =1 CD qua C(4;1) F(2;0) nên có phương trình là: x − y −1 = ⇔ x − y − = ⇒ CD : x − y − = − −1 Gọi P trung điểm CD ⇒ PM ⊥ CD ABCD hình thang cân ⇒ PM có phương trình : 2( x + 1) + ( y − 1) = ⇔ x + y + = 2 x + y + = x = ⇔ ⇒ P (0, −1) +) P = PM ∩ CD nên có tọa độ nghiệm hpt: x − y − = y = −1 xD = xP − xC x = −4 ⇔ D y D = −3 yD = yP − yC Vậy tọa độ D là: Vậy D(-4;-3) NHẬN XÉT Qua ví dụ ta có liên tưởng đến toán phân giác góc nội tiếp đường tròn, chuyển qua độ dài dây cung ngược lại mà ta gặp nhiều số đề thi Qua ví dụ muốn tạo vận dụng tiếp tuyến đường tròn để dụng góc nhau, qua để tạo phép đối xứng qua đường thẳng ► Ta xét toán sau Cho hình vuông ABCD Gọi M; N hai điểm hai cạnh BC; CD Gọi E điểm tia đối tia DC cho ∠MAN = ∠EAN = ∠45 H hình chiếu vuông góc A đường thẳng MN Khi ta có: 1) H B đối xứng qua đường thẳng AM 2) H D đối xứng qua đường thẳng AN 3) E M đối xứng qua đường thẳng AN LỜI GIẢI Ta có AB = AD; ∠BAM = ∠DAE (cùng phụ với ∠MAD ) Từ có ∆ABM = ∆ADE suy AM = AE ∠AMN = ∠AEN Từ suy ∆AMN = ∆AEN (c.g.c) ∠AMN = ∠AEN ; ∠ANM = ∠ANE B A M H AD = AH ⇒ AB = AH ⇒ ∆ABM = ∆AHM Từ điều chứng chứng minh tức ba toán nói giải E D C N Từ toán chuyển qua hệ trục tọa độ Oxy ta có số ví dụ sau: Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi M; N hai điểm hai cạnh BC; CD cho ∠MAN = ∠45 Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết phương trình đường thẳng AM: x + y − = ; phương trình đường thẳng AN: x + y − = phương trình đường thẳng MN: x − y − = (Ví dụ tự ra) LỜI GIẢI Ta có đỉnh A nằm hai đường thẳng AM B A AN nên tọa độ A nghiệm hệ: 2 x + y − = Giải ta A(-1; 3) x + y − = M H Gọi H hình chiếu A đường thẳng MN, 11 ; 5 tìm tọa độ điểm H D N Theo toán có đỉnh B đối xứng với H qua đường thẳng AM suy B(-1; 1) đỉnh D đối xứng với H qua đường thẳng AN tìm D(3; 3) Gọi I tâm hình vuông ABCD nên I trung điểm BD ⇒ I(1; 1) Đỉnh C đối xứng với A qua I ta tìm C(3; -1) Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có diện tích 16 Gọi M; N hai điểm hai cạnh BC; CD cho ∠MAN = ∠45 Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết 10 đỉnh A có hoành độ âm nằm đường thẳng (d ) : x − y + = ; phương trình đường thẳng MN: x − y − = cho M(1; -1) (Ví dụ tự ra) LỜI GIẢI Ta có AH = AB = ( ∆AHM = ∆ABM (c.g c) độ dài cạnh hình vuông 4) suy d ( A; MN ) = ⇔ 4a − 3( a + 4) − a = 39 ⇔ a − 19 = 20 ⇔ a = −1 B A M =4 H Lấy A(-1; 3), nên viết phương trình đường thẳng AM: 2x + y – = D C N 11 ; 5 Đến tương tự Ví dụ ta tìm H Đỉnh B đối xứng với H qua đường thẳng AM, tìm B(-1; 1) ⇒ phương trình đường thẳng BC (đường thẳng qua B M): y + = nên gọi C ( c;−1) c = ⇒ C (3;−1) Do M nằm B C nên lấy C(3; -1) a = −5 ⇒ C (−5;−1) BC = c + = ⇔ Gọi I tâm hình vuông ABCD nên I trung điểm AC nên I(1; 1) Đỉnh D đối xứng với B qua I nên D(3; 3) Vậy : A(-1; 3); B(-1; 1); C(3; -1); D(3; 3) Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông A B có đáy lớn BC; AB = AD; CD = 10 Gọi M; N hai điểm hai cạnh AB; BC cho ∠MDN = ∠CDN = 45 Tìm tọa độ đỉnh hình thang vuông ABCD nói biết đỉnh D(1; 2); phương trình đường thẳng MN: 7x – y – 25 = cho M có hoành độ nguyên (Ví dụ tự ra) LỜI GIẢI M có hoành độ nguyên nằm đường thẳng MN: 7x – y – 25 = nên gọi được: A D M (m;7 m − 25) với m ∈ Z 45 45 Ta có DM = DC = 10 (vì ∆DAM = ∆DKC (c.g c) DC = 10 ) Từ có: M ( m − 1) + ( 7m − 27 ) = 10 m = 4(t / m) ⇔ 5m − 38m + 72 = ⇔ m = 18 (loai ) H B C N từ M(4; 3) nên viết phương trình đường thẳng DM: x − y + = 19 ; 5 Gọi H hình chiếu D đường thẳng MN, tìm tọa độ điểm H 11 Đỉnh A đối xứng với H qua đường thẳng DM nên tìm A(4; 3) Phương trình đt AB: x + y – = 0(vì qua A, nhận AD làm vec tơ pháp tuyến ) suy B(b; – b) b = ⇒ B (5;2) b = ⇒ B (1;6) 2 Có BA = AD nên ( b − 3) + ( − b ) = ⇔ Do B A nằm khác phía đường thẳng DM nên lấy B(5; 2) Phương trình đường thẳng BC: x – y – = (vì qua B, vuông góc với AB) c = ⇒ C (2;−1) c = ⇒ C (4;1) 2 suy C(c; c – 3) Vận dụng CD = 10 ⇔ ( c − 1) + ( c − 5) = 10 ⇔ *) Với C(2; -1) ta có BC = > AD = 2 (t/m) *) Với C(4; 1) ta có BC = < AD = 2 (loại) Vậy : A(4; 3); B(5; 2); C(2; -1); D(3; 3) BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có AB = BC , điểm M ( 1;1) trung điểm cạnh CD, đường thẳng AC BM có phương trình: x − y − = x − y + = Tìm toạ độ đỉnh A, B, C, D Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông A D có CD = AB ; cạnh AD có độ dài nằm đường thẳng có phương trình x + = Gọi H hình chiếu vuông góc D 11 ; Tìm tọa độ đỉnh hình thang ABCD nói biết đỉnh A 5 đường thẳng BC biết H có tung độ dương Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu vuông góc A đường thẳng BD M N trung điểm cạnh AB cạnh AD, biết H(2; 1); M(1; 2) N nằm đường thẳng (d): x − y − = Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD nói Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ∆ABC Biết tam giác ∆ABC cân A , M (1;-1) trung điểm cạnh BC , tiếp tuyến với đường tròn (C) B qua điểm E (0; −2) , đường thẳng AB có phương trình x + y − = Viết phương trình đường tròn (C) PHẦN III: KẾT LUẬN Đề tài SKKN viết dựa yêu cầu thực tế học sinh thi học sinh giỏi lớp 10 học sinh ôn luyện để thi vào Đại học Qua trình dạy học nhận thấy học sinh tiếp thu nội dung đề tài hào hứng, hăng say đam mê tìm tòi kiến thức, nhiều học sinh có tiếp cận kiến thức sáng tạo, trí tuệ Sự giao lưu kiến thức, phương pháp giải toán, khai thác mở rộng toán thầy trò phong phú học sinh giúp ích nhiều đề tài SKKN Bên cạnh số ví dụ đề tài đợt thi thử ĐH, CĐ trường nhận nhiều phản hồi tích cực giáo viên đồng nghiệp trường, đặc biệt học sinh tham gia dự thi Tôi tìm hiểu sau đợt thi thử học sinh nâng cao kiến thức, kĩ năng, phương pháp giải loại toán này, tiếp sau học sinh thi ĐH, CĐ nhiều em đạt kết cao Qua đề tài giúp thân nâng cao trình độ chuyên môn, phương pháp dạy học bồi dưỡng HSG bồi dưỡng khối cho học sinh thi vào ĐH, CĐ Bản thân hi vọng SKKN phần góp vào hệ thống tài liệu bạn bè đồng nghiệp, tạo giao lưu học hỏi lẫn 12 Tuy nhiên thân có đầu tư cho SKKN, đặc biệt hệ thống ví dụ (Ở ví dụ xây dựng phép đối xứng hình tứ giác đặc biệt, loại hình có phổ biến khó tam giác) chưa phong, chưa thể hết tối ưu phương pháp đối xứng Trong thời gian tới tiếp tục đầu tư, bổ sung nhiều PHẦN IV: KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT Kiến nghị thầy cô giáo làm công tác chuyên môn Sở GD Hà tĩnh: Thứ nhất: Trong kì thi HSG lớp 12 cấp tĩnh nên câu thuộc phần kiến thức hình học tọa độ Oxy một câu khó cấu trúc đề thi Quốc gia THPT, em lớp 12 bước vào kì thi nên phần “đánh động; định hướng; tạo động hai một” tạo cho em có chuẩn bị, ôn tập để kì thi Quốc gia THPT đạt kết cao Thứ hai: Hàng năm SKKN có chất lượng thuộc mảng kiến thức nên có tập hợp lại, tạo tài liệu phổ biến rộng rãi cho giáo viên tỉnh, để giáo viên có nguồn tài liệu phong phú để phục vụ dạy học ngày tốt Tôi xin cám ơn! Hà tĩnh, tháng năm 2015 13 [...]... luyện để thi vào Đại học Qua quá trình dạy học tôi nhận thấy học sinh tiếp thu nội dung của đề tài hào hứng, hăng say và đam mê tìm tòi kiến thức, nhiều học sinh có sự tiếp cận kiến thức sáng tạo, trí tuệ Sự giao lưu kiến thức, phương pháp giải toán, khai thác mở rộng bài toán giữa thầy và trò phong phú và học sinh đã giúp ích tôi rất nhiều đề tài SKKN này Bên cạnh đó một số ví dụ trong đề tài được ra trong. .. dụ tôi xây dựng phép đối xứng trong các hình tứ giác đặc biệt, vì đối với loại hình này đang có sự phổ biến và khó hơn trong tam giác) nhưng chưa phong, chưa thể hiện hết sự tối ưu của phương pháp đối xứng Trong thời gian tới tôi sẽ tiếp tục đầu tư, bổ sung nhiều hơn nữa PHẦN IV: KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT Kiến nghị đối với thầy cô giáo làm công tác chuyên môn Sở GD Hà tĩnh: Thứ nhất: Trong kì thi HSG lớp... ra một câu thuộc phần kiến thức hình học tọa độ Oxy bởi vì đây là một đây là một câu khó trong cấu trúc đề thi Quốc gia THPT, các em lớp 12 sắp bước vào kì thi nên phần nào “đánh động; định hướng; tạo động cơ hai trong một tạo cho các em có sự chuẩn bị, ôn tập để kì thi Quốc gia THPT đạt kết quả cao Thứ hai: Hàng năm từng SKKN có chất lượng thuộc một mảng kiến thức nên có sự tập hợp lại, tạo ra một. .. độ các đỉnh A, B, C, D Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có CD = 2 AB ; cạnh AD có độ dài bằng 4 và nằm trên đường thẳng có phương trình x + 1 = 0 Gọi H là hình chiếu vuông góc của D 11 3 ; Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD nói trên biết đỉnh A 5 5 trên đường thẳng BC biết H có tung độ dương Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD... qua B, vuông góc với AB) c = 2 ⇒ C (2;−1) c = 4 ⇒ C (4;1) 2 2 suy ra C(c; c – 3) Vận dụng CD = 10 ⇔ ( c − 1) + ( c − 5) = 10 ⇔ *) Với C(2; -1) ta có BC = 3 2 > AD = 2 2 (t/m) *) Với C(4; 1) ta có BC = 2 < AD = 2 2 (loại) Vậy : A(4; 3); B(5; 2); C(2; -1); D(3; 3) BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có AB = 2 BC , điểm M ( 1;1) là trung điểm của cạnh CD,... hồi tích cực của giáo viên đồng nghiệp trong cũng như ngoài trường, đặc biệt là học sinh tham gia dự thi Tôi tìm hiểu rằng sau những đợt thi thử đó học sinh nâng cao kiến thức, kĩ năng, phương pháp giải loại toán này, tiếp sau đó học sinh thi ĐH, CĐ rất nhiều em đạt kết quả cao Qua đề tài này giúp bản thân tôi nâng cao trình độ chuyên môn, phương pháp dạy học trong bồi dưỡng HSG và bồi dưỡng khối cho... giữa B và C nên chỉ lấy được C(3; -1) a = −5 ⇒ C (−5;−1) BC = 4 c + 1 = 4 ⇔ Gọi I là tâm hình vuông ABCD nên I trung điểm AC nên I(1; 1) Đỉnh D đối xứng với B qua I nên D(3; 3) Vậy : A(-1; 3); B(-1; 1); C(3; -1); D(3; 3) Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và B có đáy lớn BC; AB = AD; CD = 10 Gọi M; N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB; BC sao cho ∠MDN = ∠CDN =... ABCD nói trên Bài 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ∆ABC Biết tam giác ∆ABC cân tại A , M (1;-1) là trung điểm cạnh BC , tiếp tuyến với đường tròn (C) tại B đi qua điểm E (0; −2) , đường thẳng AB có phương trình 4 x + y − 7 = 0 Viết phương trình đường tròn (C) PHẦN III: KẾT LUẬN Đề tài SKKN của tôi được viết dựa trên yêu cầu thực tế của học sinh trong thi học... 0 và cho M(1; -1) (Ví dụ tự ra) LỜI GIẢI Ta có AH = AB = 4 ( vì ∆AHM = ∆ABM (c.g c) và độ dài cạnh hình vuông bằng 4) suy ra d ( A; MN ) = 4 ⇔ 4a − 3( a + 4) − 7 5 a = 39 ⇔ a − 19 = 20 ⇔ a = −1 B A M =4 H Lấy được A(-1; 3), nên viết được phương trình đường thẳng AM: 2x + y – 1 = 0 D C N 11 3 ; 5 5 Đến đây tương tự Ví dụ 4 ta tìm được H Đỉnh B đối xứng với H qua đường thẳng AM, tìm được... hình chiếu của D trên đường thẳng MN, tìm được tọa độ điểm H 11 Đỉnh A đối xứng với H qua đường thẳng DM nên tìm được A(4; 3) Phương trình đt AB: x + y – 7 = 0(vì qua A, nhận AD làm vec tơ pháp tuyến ) suy ra B(b; 7 – b) b = 5 ⇒ B (5;2) b = 1 ⇒ B (1;6) 2 2 Có BA = AD nên ( b − 3) + ( 3 − b ) = 8 ⇔ Do B và A nằm khác phía đối với đường thẳng DM nên chỉ lấy được B(5; 2) Phương trình đường thẳng ... học sinh thi vào ĐH, CĐ Bản thân hi vọng SKKN phần góp vào hệ thống tài liệu bạn bè đồng nghiệp, tạo giao lưu học hỏi lẫn 12 Tuy nhiên thân có đầu tư cho SKKN, đặc biệt hệ thống ví dụ (Ở ví dụ... phương pháp giải toán, khai thác mở rộng toán thầy trò phong phú học sinh giúp ích nhiều đề tài SKKN Bên cạnh số ví dụ đề tài đợt thi thử ĐH, CĐ trường nhận nhiều phản hồi tích cực giáo viên đồng... đường thẳng AB có phương trình x + y − = Viết phương trình đường tròn (C) PHẦN III: KẾT LUẬN Đề tài SKKN viết dựa yêu cầu thực tế học sinh thi học sinh giỏi lớp 10 học sinh ôn luyện để thi vào Đại