Đang tải... (xem toàn văn)
TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CÓ ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHI TIẾT Xin cho tất cả các bạn mình xin giới thiệu với các bạn tuyển tập ĐỀ THI HỌC TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8. Tập hợp đề thi có kèm đáp án và biểu điểm chấm để các bạn tiện trong việc kiểm tra đánh giá năng lực bản thân. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn. Chúc các bạn luôn thành công ĐỀ 1 Câu1( 2 đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử Câu 2( 2 đ): Với giá trị nào của a và b thì đa thức: phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên Câu 3( 1 đ): tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = chia hết cho đa thức Câu 4( 3 đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx của góc AHB và phân giác Hy của góc AHC. Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy. Chứng minh rằngtứ giác ADHE là hình vuông Câu 5( 2 đ): Chứng minh rằng ĐÁP ÁN Câu Đáp án Biểu điểm 1 2 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 2 2 đ Giả sử: Khử a ta có : mn = 10( m + n – 10) + 1 vì m,n nguyên ta có: suy ra a = 12 hoặc a =8 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 3 1 đ Ta có: A(x) =B(x).(x21) + ( a – 3)x + b + 4 Để thì 0,5 đ 0,5 đ 4 3 đ Tứ giác ADHE là hình vuông Hx là phân giác của góc ; Hy phân giác của góc mà và là hai góc kề bù nên Hx và Hy vuông góc Hay = 900 mặt khác = 900 Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( 1) Do Hay HA là phân giác (2) Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 5 2 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ ĐỀ 2 Bµi 1 (3 ®iÓm)TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc Bµi 2 (4 ®iÓm) a Víi mäi sè a, b, c kh«ng ®ång thêi b»ng nhau, h•y chøng minh a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc 0 b Cho a + b + c = 2009. chøng minh r»ng Bµi 3 (4 ®iÓm). Cho a 0, b 0 ; a vµ b th¶o m•n 2a + 3b 6 vµ 2a + b 4. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = a2 – 2a – b Bµi 4 (3 ®iÓm). Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Mét « t« ®i tõ A ®Õn B . Cïng mét lóc « t« thø hai ®i tõ B ®Õn A v¬Ý vËn tèc b»ng vËn tèc cña « t« thø nhÊt . Sau 5 giê chóng gÆp nhau. Hái mçi « t« ®i c¶ qu•ng ®êng AB th× mÊt bao l©u? Bµi 5 (6 ®iÓm). Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, c¸c ®iÓm M, N thø tù lµ trung ®iÓm cña BC vµ AC. C¸c ®êng trung trùc cña BC vµ AC c¾t nhau t¹i O . Qua A kÎ ®êng th¼ng song song víi OM, qua B kÎ ®êng th¼ng song song víi ON, chóng c¾t nhau t¹i H a) Nèi MN, AHB ®ång d¹ng víi tam gi¸c nµo? b) Gäi G lµ träng t©m ABC , chøng minh AHG ®ång d¹ng víi MOG ? c) Chøng minh ba ®iÓm M , O , G th¼ng hµng? ĐÁP ÁN Néi dung §iÓm Bµi 1 (3 ®iÓm) Cã a4+ = 1,0 Khi cho a c¸c gi¸ trÞ tõ 1 ®Õn 30 th×: Tö thøc viÕt ®îc thµnh (12+1+ )(121+ )(32+3+ )(323+ )…….(292+29+ )(29229+ ) 0,5 MÉu thøc viÕt ®îc thµnh (22+2+ )(222+ )(42+4+ )(424+ )……(302+30+ )(30230+ ) 0,5 MÆt kh¸c (k+1)2(k+1)+ =………….=k2+k+ 0,5 Nªn A= 0,5 Bµi 2: 4 ®iÓm ý a: 2 ®iÓm Cã ý tëng t¸ch, thªm bít hoÆc thÓ hiÖn ®îc nh vËy®Ó sö dông bíc sau 0,5 ViÕt ®óng d¹ng b×nh ph¬ng cña mét hiÖu 0,5 ViÕt ®óng b×nh ph¬ng cña mét hiÖu 0,5 LËp luËn vµ kÕt luËn ®óng 0,5 ý b: 2 ®iÓm Ph©n tÝch ®óng tñ thøc thµnh nh©n tö 1,0 Rót gän vµ kÕt luËn ®óng 1,0 Bµi 3 : 4 ®iÓm Tõ 2a + b ≤ 4 vµ b ≥ 0 ta cã 2a ≤ 4 hay a ≤ 2 1,0 Do ®ã A=a2 2a b ≤ 0 0,5 Nªn gi¸ trÞ lín nhÊt cña A lµ 0 khi a=2vµ b=0 0,5 Tõ 2a + 3b ≤ 6 suy ra b ≤ 2 1,0 Do ®ã A ≥ a2 – 2a – 2 + = ( )2 ≥ 0,5 VËy A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ khi a = vµ b = 0,5 Bµi 4 : 3 ®iÓm Chän Èn vµ ®¹t ®iÒu kiÖn ®óng 0,25 BiÓu thÞ ®îc mçi ®¹i lîng theo Èn vµ sè liÖu ®• biÕt(4 ®¹i lîng) 0,25 x 4 LËp ®îc ph¬ng tr×nh 0,25 Gi¶i ®óng ph¬ng tr×nh 0,5 §èi chiÕu vµ tr¶ lêi ®óng thêi gian cña 1 « t« 0,5 LËp luËn , tÝnh vµ tr¶ lêi ®óng thêi gian cña « t« cßn l¹i 0,5 Bµi 5 : 6 ®iÓm ý a : 2 ®iÓm Chøng minh ®îc 1 cÆp gãc b»ng nhau 1.0 Nªu ®îc cÆp gãc b»ng nhau cßn l¹i 0,5 ChØ ra ®îc hai tam gi¸c ®ång d¹ng 0,5 ý b : 2 ®iÓm Tõ hai tam gi¸c ®ång d¹ng ë ý a suy ra ®óng tØ sè cÆp c¹nh AH OM 0,5 TÝnh ®óng tØ sè cÆp c¹nh AG GM 0,5 ChØ ra ®îc cÆp gãc b»ng nhau 0,5 KÕt luËn ®óng 2 tam gi¸c ®ång d¹ng 0,5 ý c : 2 ®iÓm Tõ hai tam gi¸c ®ång d¹ng ë c©u b suy ra gãc AGH = gãc MGO (1) 0,5 MÆt kh¸c gãc MGO + Gãc AGO = 1800(2) 0,5 Tõ (1) vµ (2) suy ra gãc AGH + gãc AGO = 1800 0,5 Do ®ã H, G, O th¼ng hµng 0,5
TUYN TP THI HC SINH GII LP Cể P N V BIU IM CHI TIT Xin cho tt c cỏc bn! mỡnh xin gii thiu vi cỏc bn tuyn THI HC TUYN CHN HC SINH GII MễN TON LP Tp hp thi cú kốm ỏp ỏn v biu im chm cỏc bn tin vic kim tra ỏnh giỏ nng lc bn thõn Hy vng ti liu ny s giỳp ớch cho cỏc bn Chỳc cỏc bn luụn thnh cụng! Cõu1( ): Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t A a a a a 15 Cõu 2( ): Vi giỏ tr no ca a v b thỡ a thc: x a x 10 phõn tớch thnh tớch ca mt a thc bc nht cú cỏc h s nguyờn Cõu 3( ): tỡm cỏc s nguyờn a v b a thc A(x) = x4 3x3 ax b chia ht cho a thc B( x) x2 3x Cõu 4( ): Cho tam giỏc ABC, ng cao AH,v phõn giỏc Hx ca gúc AHB v phõn giỏc Hy ca gúc AHC K AD vuụng gúc vi Hx, AE vuụng gúc Hy Chng minh rngt giỏc ADHE l hỡnh vuụng Cõu 5( ): Chng minh rng P Cõu 1 1 2 1002 P N ỏp ỏn A a a a a 15 a a a 8a 22 a 8a 120 8a 12 a a a a 2 0,5 0,5 0,5 0,5 a 8a a 8a 15 15 2 8a 11 2 8a 10 8a 10 Gi s: x a x 10 x m x n ;(m, n Z ) x a 10 x 10a x m n x mn m n a 10 m.n 10 a Kh a ta cú : mn = 10( m + n 10) + mn 10m 10n 100 m(n 10) 10n 10) vỡ m,n nguyờn ta cú: mn101011 v mn101011 Biu im suy a = 12 hoc a =8 Ta cú: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a 3)x + b + A( x) B( x) thỡ ba3400 ba 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 T giỏc ADHE l hỡnh vuụng Hx l phõn giỏc ca gúc AHB ; Hy phõn giỏc ca gúc AHC m 0,25 0,25 AHB v AHC l hai gúc k bự nờn Hx v Hy vuụng gúc 0,25 Hay DHE = 900 mt khỏc ADH AEH = 900 0,5 Nờn t giỏc ADHE l hỡnh ch nht ( 1) AHD AHB 900 450 2 0,5 Do AHE AHC 900 450 2 0,25 0,25 0,25 AHD AHE Hay HA l phõn giỏc DHE (2) T (1) v (2) ta cú t giỏc ADHE l hỡnh vuụng 1 1 2 1002 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 2 99 100 99 100 100 P 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài (3 điểm)Tính giá trị biểu thức 1+ 29 4 A= + 30 4 Bài (4 điểm) a/ Với số a, b, c không đồng thời nhau, chứng minh a2 + b2 + c2 ab ac bc b/ Cho a + b + c = 2009 chứng minh a + b3 + c3 - 3abc = 2009 a + b2 + c2 - ab - ac - bc Bài (4 điểm) Cho a 0, b ; a b thảo mãn 2a + 3b 2a + b Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A = a2 2a b Bài (3 điểm) Giải toán cách lập ph-ơng trình Một ô tô từ A đến B Cùng lúc ô tô thứ hai từ B đến A vơí vận tốc vận tốc ô tô thứ Sau chúng gặp Hỏi ô tô quãng đ-ờng AB bao lâu? Bài (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, điểm M, N thứ tự trung điểm BC AC Các đ-ờng trung trực BC AC cắt O Qua A kẻ đ-ờng thẳng song song với OM, qua B kẻ đ-ờng thẳng song song với ON, chúng cắt H a) Nối MN, AHB đồng dạng với tam giác nào? b) Gọi G trọng tâm ABC , chứng minh AHG đồng dạng với MOG ? c) Chứng minh ba điểm M , O , G thẳng hàng? P N Nội dung Điểm Bài (3 điểm) 1 Có a + = a a a a a a 2 Khi cho a giá trị từ đến 30 thì: Tử thức viết đ-ợc thành 1,0 0,5 1 1 )(1 -1+ )(32+3+ )(32-3+ ).(292+29+ )(292-29+ ) 2 2 2 Mẫu thức viết đ-ợc thành 1 1 1 (22+2+ )(22-2+ )(42+4+ )(42-4+ )(302+30+ )(302-30+ ) 2 2 2 1 Mặt khác (k+1)2-(k+1)+ =.=k2+k+ 2 12 Nên A= 1861 302 30 Bài 2: điểm ý a: điểm -Có ý t-ởng tách, thêm bớt thể đ-ợc nh- vậyđể sử dụng b-ớc sau -Viết dạng bình ph-ơng hiệu - Viết bình ph-ơng hiệu - Lập luận kết luận ý b: điểm Phân tích tủ thức thành nhân tử Rút gọn kết luận Bài : điểm *Từ 2a + b b ta có 2a hay a Do A=a2 - 2a - b Nên giá trị lớn A a=2và b=0 * Từ 2a + 3b suy b - a 2 22 22 Do A a2 2a + a = ( a )2 9 22 2 Vậy A có giá trị nhỏ a = b = 3 Bài : điểm - Chọn ẩn đạt điều kiện - Biểu thị đ-ợc đại l-ợng theo ẩn số liệu biết(4 đại l-ợng) - Lập đ-ợc ph-ơng trình - Giải ph-ơng trình - Đối chiếu trả lời thời gian ô tô - Lập luận , tính trả lời thời gian ô tô lại Bài : điểm ý a : điểm Chứng minh đ-ợc 1.0 cặp góc Nêu đ-ợc cặp góc 0,5 lại Chỉ đ-ợc hai tam 0,5 giác đồng dạng ý b : điểm Từ hai tam giác đồng 0,5 dạng ý a suy tỉ số cặp cạnh AH / OM Tính tỉ số cặp 0,5 (12+1+ 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 x 0,25 0,5 0,5 0,5 cạnh AG / GM Chỉ đ-ợc cặp góc Kết luận tam giác đồng dạng ý c : điểm A 0,5 0,5 H N G O C B M - Từ hai tam giác đồng dạng câu b suy góc AGH = góc MGO (1) - Mặt khác góc MGO + Góc AGO = 1800(2) - Từ (1) (2) suy góc AGH + góc AGO = 1800 - Do H, G, O thẳng hàng 0,5 0,5 0,5 0,5 Bi (4 im): Cho biu thc A 4xy y x2 : 2 y x y xy x a) Tỡm iu kin ca x, y gi tr ca A c xc nh b) Rt gn A c) Nu x; y l cc s thc lm cho A xc nh v tho mn: 3x + y2 + 2x 2y = 1, hy tỡm tt c cc gi tr nguyn dng ca A? Bi (4 im): a) Gii phng trỡnh : x 11 x 22 x 33 x 44 115 104 93 82 b) Tỡm cc s x, y, z bit : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx v x2009 y 2009 z 2009 32010 Bi (3 im): Chng minh rng vi mi n N thỡ n5 v n lun c ch s tn cng ging Bi (7 im): Cho tam gic ABC vung ti A Ly mt im M bt k trn cnh AC T C v mt ng thng vung gc vi tia BM, ng thng ny ct tia BM ti D, ct tia BA ti E a) Chng minh: EA.EB = ED.EC v EAD ECB b) Cho BMC 1200 v S AED 36cm2 Tớnh SEBC? c) Chng minh rng im M di chuyn trn cnh AC thỡ tng BM.BD + CM.CA c gi tr khng i d) K DH BC H BC Gi P, Q ln lt l trung im ca cc on thng BH, DH Chng minh CQ PD Bi (2 im): a) Chng minh bt ng thc sau: x y (vi x v y cng du) y x b) Tỡm gi tr nh nht ca biu thc P = x y x2 y y x y x (vi x 0, y ) P N Bi 1: (4 im) a) iu kin: x y; y (1 im) b) A = 2x(x+y) (2 im) c) Cn ch gi tr ln nht ca A, t tỡm c tt c cc gi tr nguyn dng ca A + T (gt): 3x2 + y2 + 2x 2y = 2x2 + 2xy + x2 2xy + y2 + 2(x y) = 2x(x + y) + (x y)2 + 2(x y) + = A + (x y + 1)2 = A = (x y + 1)2 (do (x y + 1) (vi mi x ; y) A (0,5) x y x + A = 2x x y y x y;y (x y 1)2 + A = 2x x y T , ch cn ch c mt cp gi tr ca x v y, chng x y;y x hn: y + Vy A ch c th c gi tr nguyn dng l: A = 1; A = (0,5 im) Bi 2: (4 im) x 11 x 22 x 33 x 44 a) 115 104 93 82 ( x 11 x 22 x 33 x 44 1) ( 1) ( 1) ( 1) 115 104 93 82 x 126 x 126 x 126 x 126 115 104 93 82 x 126 x 126 x 126 x 126 115 104 93 82 (1 im) (0,5 im) x 126 x 126 b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 2xy 2yz 2zx = (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = (0,5 im) (0,75 im) x y y z z x xyz x2009 = y2009 = z2009 (0,75 im) Thay vo iu kin (2) ta c 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z =3 Vy x = y = z = (0,5 im) Bi (3 im) Cn chng minh: n5 n 10 - Chng minh : n5 - n n5 n = n(n2 1)(n2 + 1) = n(n 1)(n + 1)(n2 + 1) (vỡ n(n 1) l tớch ca hai s nguyn lin tip) (1 im) - Chng minh: n n n5 - n = = n( n - )( n + 1)( n2 + 5) = n( n ) (n + 1)(n 2) ( n + ) + 5n( n 1)( n + ) lý lun dn n tng trn chia ht cho (1,25 im) 5 - Vỡ ( ; ) = nn n n 2.5 tc l n n 10 Suy n5 v n c ch s tn cng ging (0,75 im) Bài 4: đim E D A M Q B P I H Câu a: đim * Chng minh EA.EB = ED.EC C (1 đim) - Chng minh EBD đng dạng với ECA (gg) EB ED EA.EB ED.EC - T đ suy EC EA * Chng minh EAD ECB - Chng minh EAD đng dạng với 0,5 đim 0,5 đim (1 đim) ECB (cgc) 0,75 đim - Suy EAD ECB Câu b: 1,5 đim 0,25 đim - T BMC = 120o AMB = 60o ABM = 30o 0,5 đim - Xét EDB vuông D c B = 30o ED EB ED = EB 0,5 đim S EAD ED - Lý lun cho t đ SECB = 144 cm2 S ECB EB 0,5 đim Câu c: 1,5 đim - Chng minh BMI đng dạng với BCD (gg) 0,5 đim - Chng minh CM.CA = CI.BC 0,5 đim - Chng minh BM.BD + CM.CA = BC c giá trị không 0,5 đim 2 Cách 2: C th bin BM.BD + CM.CA = AB + AC = BC Câu d: đim - Chng minh BHD đng dạng với DHC (gg) 0,5 đim BH BD BP BD BP BD 0,5 đim DH DC DQ DC DQ DC - Chng minh DPB đng dạng với CQD (cgc) CQ PD ma`BDP PDC 90o BDP DCQ đim Bi 5: (2 im) x y (*) x2 y2 2xy y x (x y) (**) Bt ng thc (**) lun ng, suy bt (*) ng (pcm) (0,75) a) vỡ x, y cng du nn xy > 0, b) t x y t y x x y2 t y x (0,25) Biu thc cho tr thnh P = t2 3t + P = t2 2t t + + = t(t 2) (t 2) + = (t 2)(t 1) + (0,25) - Nu x; y cng du, theo c/m cu a) suy t t ; t > t t P ng thc xy v ch t = x = y (1) (0,25) - Nu x; y tri du thỡ x v y t < t < v t < y x (2) (0,25) t t > P > - T (1) v (2) suy ra: Vi mi x ; y thỡ lun c P ng thc xy v ch x = y Vy gi tr nh nht ca biu thc P l Pm=1 x=y Bài 1: (4 điểm) abc0 , tính A a b c4 2 a b c 2009 1, Cho ba số a, b, c thoả mãn 2, Cho ba số x, y, z thoả mãn x y z Tìm giá trị lớn B xy yz zx Bài 2: (2 điểm) Cho đa thức f x x2 px q với p Z,q Z Chứng minh tồn số nguyên k để f k f 2008 f 2009 Bài 3: (4 điểm) 1, Tìm số nguyên d-ơng x, y thoả mãn 3xy x 15y 44 2, Cho số tự nhiên a 29 2009 , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d tổng chữ số c Tính d Bài 4: (3 điểm) Cho ph-ơng trình 2x m x , tìm m để ph-ơng trình có nghiệm d-ơng x2 x2 Bài 5: (3 điểm) Cho hình thoi ABCD có cạnh đ-ờng chéo AC, tia đối tia AD lấy điểm E, đ-ờng thẳng EB cắt đ-ờng thẳng DC F, CE cắt O Chứng minh AEC đồng dạng CAF , tính EOF Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, đoạn thẳng DB, DC lần l-ợt điểm E F cho EAD FAD Chứng minh rằng: lấy BE BF AB CE CF AC Bài 7: (2 điểm) Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, ng-ời ta làm nh- sau lấy hai số thay hiệu chúng, làm nh- đến số bảng dừng lại Có thể làm để bảng lại số đ-ợc không? Giải thích Hết Thí sinh không đ-ợc sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: P N Bài 1.1 Nội dung Điểm abc0 , tính A a b c4 2 a b c 2009 2,00 Ta có a b2 c2 a b c ab bc ca ab bc ca 0,50 Cho ba số a, b, c thoả mãn 2 a b c2 20092 a b b c c a ab bc ca 2abc a b c 2 2009 A a b c a b c2 a b b c2 c2a 1.2 Cho ba số x, y, z thoả mãn x y z Tìm giá trị lớn B xy yz zx 2 2 2 0,50 1,00 2,00 B xy z x y xy x y x y xy x y x y x y xy 3x 3y y 3y 6y y x x y y y Dấu = xảy x x y z x y z 2 Vậy giá trị lớn B x = y = z = Cho đa thức f x x2 px q với p Z,q Z Chứng minh tồn số nguyên k để 1,25 0,50 0,25 2,00 f k f 2008 f 2009 f f x x f x x p f x x q f x 2.x.f x x p.f x p.x q f x f x 2x p x px q f x x px q 2x p f x x p x q f x f x Với x = 2008 chọn k f 2008 2008 Suy f k f 2008 f 2009 3.1 1,25 0,50 0,25 Tìm số nguyên d-ơng x, y thoả mãn 3xy x 15y 44 2,00 3xy x 15y 44 x 3y 49 0,75 x, y nghuyênd-ơng x + 5, 3y + nguyên d-ơng lớn 0,50 Thoả mãn yêu cầu toán x + 5, 3y + -ớc lớn 49 nên có: CU1 a Phn tớch cỏc a thc sau tha s: x4 x x x x 24 b Gii phng trỡnh: x4 30x2 31x 30 a b c a2 b2 c2 c Cho Chng minh rng: bc ca ab bc ca ab 10 x x Cõu2 Cho biu thc: A :x x2 x 2x x2 a Rỳt gn biu thc A b Tớnh gi tr ca A , Bit x = c Tỡm gi tr ca x A < d Tỡm cc gi tr nguyn ca x A c gi tr nguyn Cõu Cho hỡnh vung ABCD, M l mt im tu ý trn ng cho BD K ME AB, MF AD a Chng minh: DE CF b Chng minh ba ng thng: DE, BF, CM ng quy c Xc nh v trớ ca im M din tớch t gic AEMF ln nht Cõu a Cho s dng a, b, c c tng bng Chng minh rng: 1 a b c b Cho a, b d-ơng a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 Cõu Cõu (6 im) P N ỏp ỏn 4 a x + = x + 4x + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b x4 30x2 31x 30 x2 x x x (*) im (2 im) (2 im) ) + > x (*) (x - 5)(x + 6) = x x x x a b c c Nhn c v ca: bc ca ab vi a + b + c; rt gn pcm 10 x x Biu thc: A :x x2 x 2x x2 a Rt gn c kq: A x2 1 b x x hoc x 2 Vỡ x2 - x + = (x - Cõu (6 im) 4 hoc A c A x Z x 1;3 d A Z x2 A HV + GT + KL A (2 im) (1.5 im) (1.5 im) (1.5 im) (1.5 im) E B (1 im) F D Cõu (6 im) M C a Chng minh: AE FM DF AED DFC pcm b DE, BF, CM l ba ng cao ca EFC pcm c C Chu vi hỡnh ch nht AEMF = 2a khng i ME MF a khng i S AEMF ME.MF ln nht ME MF (AEMF l hỡnh vung) M l trung im ca BD (2 im) (2 im) (1 im) b c a a a a c a T: a + b + c = b b b a b c c c Cõu 4: (2 im) (1 im) 1 a b a c b c a b c b a c a c b 32229 Du bng xy a = b = c = 2001 2001 2000 b (a + b ).(a+ b) - (a + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) ab = (a 1).(b 1) = a = hoc b = Với a = => b2000 = b2001 => b = hoc b = (loại) Với b = => a2000 = a2001 => a = hoc a = (loại) Vy a = 1; b = => a2011 + b2011 = (1 im) Bi 1: (4 im) Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t: a) (x + y + z) x3 y3 z3 b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 Bi 2: (2 im) Gii phng trỡnh: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 Bi 3: (3 im) Tỡm x bit: 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 Bi 4: (3 im) Tỡm gi tr nh nht ca biu thc A 2010x 2680 x2 19 49 Bi 5: (4 im) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, D l im di ng trờn cnh BC Gi E, F ln lt l hỡnh chiu vung gc ca im D lờn AB, AC a) Xỏc nh v trớ ca im D t gic AEDF l hỡnh vung b) Xỏc nh v trớ ca im D cho 3AD + 4EF t giỏ tr nh nht Bi 6: (4 im) Trong tam giỏc ABC, cỏc im A, E, F tng ng nm trờn cỏc cnh BC, CA, AB cho: AFE BFD, BDF CDE, CED AEF a) Chng minh rng: BDF BAC b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tớnh di on BD P N Bi 1: a) (x + y + z) x3 y3 z3 = x y z x y3 z3 = y z x y z x y z x x y z y yz z = y z 3x 3xy 3yz 3zx = y z x x y z x y = x y y z z x b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = x x 2010x 2010x 2010 = x x x x 2010 x x = x x x x 2010 Bi 2: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 40 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 17 19 21 23 1 1 x 258 17 19 21 23 x 258 Bi 3: 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 49 2 KX: x 2009; x 2010 t a = x 2010 (a 0), ta c h thc: a a a a 19 a a 19 a a a a 49 3a 3a 49 49a 49a 49 57a 57a 19 8a 8a 30 a 2 2a 42 2a 2a (tho K) a 4023 4015 hoc x = (tho K) 2 4023 4015 Vy x = vx= l gi tr cn tỡm 2 Bi 4: 2010x 2680 A x2 335x 335 335x 2010x 3015 335(x 3) = 335 335 x2 x2 Vy gi tr nh nht ca A l 335 x = Bi 5: a) T gic AEDF l hỡnh ch nht (vỡ E A F 90o ) C t giỏc AEDF l hỡnh vung thỡ AD l tia phn gic ca BAC b) Do t gic AEDF l hỡnh ch nht nn AD = EF Suy 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nh nht AD nh nht F D l hỡnh chiu vung gc ca A ln BC Bi 6: a) t AFE BFD , BDF CDE , CED AEF Suy x = D A E B Ta c BAC 1800 (*) Qua D, E, F ln lt k cỏc ng thng vuụng gúc vi BC, AC, AB ct ti O Suy O l giao im ba ng phõn giỏc ca tam giỏc DEF A OFD OED ODF 90o (1) E F o Ta c OFD OED ODF 270 (2) O o (1) & (2) 180 (**) s s s (*) & (**) BAC BDF b) Chng minh tng t cõu a) ta cú: B , C AEF DBF DEC ABC B D C 5BF 5BF 5BF BD BA BD BD BD BF BC 8 7CE 7CE 7CE CD CA CD CD CD 8 CE CB AE AB 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24 AF AC CD BD (3) Ta li c CD + BD = (4) (3) & (4) BD = 2,5 Bi 1(3 im): Tỡm x bit: a) x2 4x + = 25 x 17 x 21 x b) 1990 1986 1004 c) 4x 12.2x + 32 = 1 x y z yz xz xy Tớnh gi tr ca biu thc: A x yz y 2xz z 2xy Bi (1,5 im): Cho x, y, z ụi mt khỏc v Bi (1,5 im): Tỡm tt c cc s chớnh phng gm ch s bit rng ta thờm n v vo ch s hng nghỡn , thm n v vo ch s hng trm, thờm n v vo ch s hng chc, thờm n v vo ch s hng n v , ta c mt s chớnh phng Bi (4 im): Cho tam giỏc ABC nhn, cỏc ng cao AA, BB, CC, H l trc tõm HA' HB' HC' a) Tớnh tng AA' BB' CC' b) Gi AI l phn gic ca tam gic ABC; IM, IN th t l phn gic ca gc AIC v gc AIB Chng minh rng: AN.BI.CM = BN IC.AM (AB BC CA) c) Tam giỏc ABC nh th no thỡ biu thc t giỏ tr nh nht? AA' BB' CC' P N Bi 1(3 im): a) Tớnh ỳng x = 7; x = -3 b) Tớnh ỳng x = 2007 c) 4x 12.2x +32 = 2x.2x 4.2x 8.2x + 4.8 = x x x x x (2 4) 8(2 4) = (2 8)(2 4) = x x x x (2 )(2 ) = 2 = hoc 2 = x x = hoc = x = 3; x = ( im ) ( im ) ( 0,25im ) ( 0,25im ) ( 0,25im ) ( 0,25im ) Bi 2(1,5 im): xy yz xz 1 xy yz xz yz = xyxz ( 0,25im ) xyz x y z x2+2yz = x2+yzxyxz = x(xy)z(xy) = (xy)(xz) ( 0,25im ) Tng t: y2+2xz = (yx)(yz) ; z2+2xy = (zx)(zy) Do ú: A yz xz xy ( x y)(x z) ( y x )( y z) (z x )(z y) ( 0,25im ) ( 0,25im ) Tớnh ỳng A = Bi 3(1,5 im): Gi abcd l s phi tỡm a, b, c, d ( 0,5 im ) N, a, b, c, d 9, a (0,25im) Ta c: abcd k vi k, m N, 31 k m 100 (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m (0,25im) abcd k abcd 1353 m Do ú: m2k2 = 1353 (m+k)(mk) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41 mk = 11 hoc mk = 33 m = 67 m = 37 hoc k = 56 k= Kt lun ỳng abcd = 3136 Bi (4 im): V hỡnh ỳng (0,25im) a) S HBC S ABC (0,25im) HA'.BC HA' ; AA' AA'.BC Tng t: (0,25im) (0,25im) (0,25im) (0,25im) A C H N x B M I A C B S HAB HC' SHAC HB' ; S ABC CC' SABC BB' (0,25im) HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC AA' BB' CC' SABC SABC SABC b) p dng tớnh cht phn gic vo cc tam gic ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC IC NB MA AC BI AI AC BI BI AN.CM BN.IC.AM c)V Cx CC Gi D l im i xng ca A qua Cx -Chng minh c gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC - Xột im B, C, D ta cú: BD BC + CD - BAD vung ti A nn: AB2+AD2 = BD2 2 AB + AD (BC+CD) AB2 + 4CC2 (BC+AC)2 4CC2 (BC+AC)2 AB2 (0,25im) D (0,25im) (0,5im ) (0,5im ) (0,5im ) (0,25im) (0,25im) (0,25im) Tng t: 4AA2 (AB+AC)2 BC2 4BB2 (AB+BC)2 AC2 -Chng minh c : 4(AA2 + BB2 + CC2) (AB+BC+AC)2 (AB BC CA) (0,25im) AA'2 BB'2 CC'2 ng thc xy BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC u Kt lun ỳng (0,25im) *Ch ý :Hc sinh c th gii cch khc, nu chớnh xc thỡ hng trn s im cõu ú Bi (4 im) x3 x2 x : Cho biu thc A = vi x khc -1 v x x x x a, Rt gn biu thc A b, Tớnh gi tr ca biu thc A ti x c, Tỡm giỏ tr ca x A < Bi (3 im) 2 Cho a b b c c a 4. a b c ab ac bc 2 Chng minh rng a b c Bi (3 im) Gii bi toỏn bng cỏch lp phng trỡnh Mt phõn s cú t s hn mu s l 11 Nu bt t s i n v v tng mu lờn n v thỡ s c phõn s nghch o ca phõn s cho Tỡm phn s ú Bi (2 im) Tỡm gi tr nh nht ca biu thc A = a4 2a3 3a2 4a Bi (3 im) Cho tam gic ABC vung ti A c gc ABC bng 600, phn gic BD Gi M,N,I theo th t l trung im ca BD, BC, CD a, T gic AMNI l hỡnh gỡ? Chng minh b, Cho AB = 4cm Tớnh cc cnh ca t gic AMNI Bi (5 im) Hỡnh thang ABCD (AB // CD) c hai ng chộo ct ti O ng thng qua O v song song vi ỏy AB ct cc cnh bn AD, BC theo th t M v N a, Chng minh rng OM = ON b, Chng minh rng 1 AB CD MN c, Bit SAOB= 20082 (n v din tớch); SCOD= 20092 (n v din tớch) Tớnh SABCD P N Bi 1( im ) a, ( im ) Vi x khc -1 v thỡ : A= 0,5 x x x (1 x)(1 x) : x (1 x)(1 x x ) x(1 x) 0,5 (1 x)(1 x x x) (1 x)(1 x) : x (1 x)(1 x x ) = (1 x ) : (1 x) = (1 x )(1 x) = 0,5 0,5 b, (1 im) Ti x = = thỡ A = 0,25 ( ) ( ) 0,25 25 )(1 ) 34 272 10 27 27 = (1 0,5 c, (1im) Vi x khc -1 v thỡ A[...]... Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 20 08, ng-ời ta làm nh- sau lấy ra hai số bất kỳ và 1,00 1,25 0,50 0,25 2,00 thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh- vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại Có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 đ-ợc không? Giải thích Khi thay hai số a, b bởi hiệu hiệu hai số thì tính chất chẵn lẻ của tổng các số có trên bảng không đổi Mà S 1 2 3 20 08 20 08 20 08 1 2 vậy... 17 19 21 23 x 2 58 x 2 58 x 2 58 x 2 58 0 17 19 21 23 1 1 1 1 x 2 58 0 17 19 21 23 x 2 58 Bi 3: 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 49 2 2 KX: x 2009; x 2010 t a = x 2010 (a 0), ta c h thc: 2 a 1 a 1 a a 2 19 a 2 a 1 19 2 a 1 a 1 a a 2 49 3a 2 3a 1 49 49a 2 49a 49 57a 2 57a 19 8a 2 8a 30 0 3 a ... BD BA 5 BD BD BD BF BC 8 8 8 8 7CE 7CE 7CE CD CA 7 CD CD CD 8 8 8 CE CB 8 AE AB 5 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24 AF AC 7 CD BD 3 (3) Ta li c CD + BD = 8 (4) (3) & (4) BD = 2,5 8 Bi 1(3 im): Tỡm x bit: a) x2 4x + 4 = 25 x 17 x 21 x 1 4 b) 1990 1 986 1004 c) 4x 12.2x + 32 = 0 1 1 1 0 x y z yz xz xy 2 2 Tớnh gi tr ca biu thc: A 2... 6 1) 20 08 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 20 08 2007 2006 2005 2004 2003 20 08 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0 20 08 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25) ( x 2009)( Do : 1 1 1 1 1 1 ) 0 (0,5) 20 08 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1 0 20 08 2007 2006 2005 2004 2003 Vỡ 1 1 ; 1 1 ; 20 08 2005 2007... c BAC 180 0 (*) Qua D, E, F ln lt k cỏc ng thng vuụng gúc vi BC, AC, AB ct nhau ti O Suy ra O l giao im ba ng phõn giỏc ca tam giỏc DEF A OFD OED ODF 90o (1) E F o Ta c OFD OED ODF 270 (2) O o (1) & (2) 180 (**) s s s (*) & (**) BAC BDF b) Chng minh tng t cõu a) ta cú: B , C AEF DBF DEC ABC B D C 5BF 5BF 5BF BD BA 5 BD BD BD BF BC 8 8 8 8 7CE 7CE... S BOC OB S S , AOB BOC S AOB S DOC S BOC S AOD S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC 0,5 Chng minh c S AOD S BOC 0,5 0,5 S AOB S DOC (S AOD ) 2 Thay s cú 20 082 .20092 = (SAOD)2 SAOD = 20 08. 2009 Do ú SABCD= 20 082 + 2.20 08. 2009 + 20092 = (20 08 + 2009)2 = 40172 (n v DT) 0,5 10 Bi 1: (2 im) 2 1 1 1 x 1 Cho biu thc: A 1 2 3 2 1 : 3 x x 1 x x 2x 1 x a/ Thu gn A b/ Tỡm cc gi tr ca... 3,00 Cho ph-ơng trình 0,25 0,75 m = 1ph-ơng trình có dạng 0 = -12 vô nghiệm 0,25 m 1 ph-ơng trình trở thành x 0,50 2m 14 1 m 2m 14 1 m 2 m4 2m 14 Ph-ơng trình có nghiệm d-ơng 2 1 m 7 1 m 2m 14 1 m 0 m4 Vậy thoả mãn yêu cầu bài toán khi 1 m 7 5 0,75 Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đ-ờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm E, đ-ờng thẳng EB cắt đ-ờng thẳng DC tại F Chứng... 2 a 2 (0,25) (0,25) b) (1) T gic BDEC c din tớch nh nht 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 AB AB AB2 1 AB 1 AB 2 AB = (AD2 2 AD + )+ = (AD ) + 4 8 8 2 2 2 4 2 2 2 AB AB 3 Vy SBDEC = SABC SADE = AB2 khụng i 2 8 8 3 Do ú min SBDEC = AB2 khi D, E ln lt l trung im AB, AC 8 Ta c: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB AD)= (AD2 AB.AD) (0,25) THE END (0,25) (0,25) (0,25) ... 2 c) Tam giỏc ABC nh th no thỡ biu thc t giỏ tr nh nht? AA' 2 BB' 2 CC' 2 P N Bi 1(3 im): a) Tớnh ỳng x = 7; x = -3 b) Tớnh ỳng x = 2007 c) 4x 12.2x +32 = 0 2x.2x 4.2x 8. 2x + 4 .8 = 0 x x x x x 2 (2 4) 8( 2 4) = 0 (2 8) (2 4) = 0 x 3 x 2 x 3 x 2 (2 2 )(2 2 ) = 0 2 2 = 0 hoc 2 2 = 0 x 3 x 2 2 = 2 hoc 2 = 2 x = 3; x = 2 ( 1 im ) ( 1 im ) ( 0,25im ) ( 0,25im ) ( 0,25im ) ( 0,25im ) Bi... ph-ơng trình có nghiệm nguyên là x = y = 2 3.2 Cho số tự nhiên a 29 2009 , b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d là 2,00 tổng các chữ số của c Tính d a 29 2009 23 3.2009 23 6027 106027 b 9.6027 54243 c 5 4.9 41 d 4 1.9 13 1 23 1mod9 a 1mod9 mà a b c d mod9 d 1mod9 4 1,00 2 Từ (1) và (2) suy ra d = 8 0,25 2x m x 1 3 , tìm m để ph-ơng trình có nghiệm ... 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 40 17 19 21 23 x 2 58 x 2 58 x 2 58 x 2 58 17 19 21 23 1 1 x 2 58 17 19 21 23 x 2 58 Bi 3: 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 2... : điểm *Từ 2a + b b ta có 2a hay a Do A=a2 - 2a - b Nên giá trị lớn A a= 2và b=0 * Từ 2a + 3b suy b - a 2 22 22 Do A a2 2a + a = ( a )2 9 22 2 Vậy A có giá trị nhỏ a = b = 3 Bài : điểm. .. 20 08, ng-ời ta làm nh- sau lấy hai số thay hiệu chúng, làm nh- đến số bảng dừng lại Có thể làm để bảng lại số đ-ợc không? Giải thích Hết Thí sinh không đ-ợc sử dụng tài liệu Cán coi thi